វិញ្ញាសាព្យាករណ៍សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៥

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ តើសមភាពមួយណាត្រឹមត្រូវ?

☐ ក. \(\sqrt{(-3)^2}=-3\)☐ ខ. \(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=1-\sqrt{2}\)☐ គ. \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\)☐ ឃ. \(\sqrt{9}= \pm 3\)

២ គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ដែលមាន \(AB=6\,\mathrm{cm}\) និង \(BC=10\,\mathrm{cm}\)។ គណនាប្រវែង \(AC\)។

☐ ក. \(4\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(8\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(12\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(16\,\mathrm{cm}\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោមខាងក្រោម

១. \(A=\sqrt{12}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}\) ២. \(B=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមីការខាងក្រោម

១. \((x-2)^2-x(x+1)=14\) ២. \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+1}{4}>\dfrac{x-2}{2}\)

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិត \(A=(2x-1)^2-(x+1)^2\) និង \(B=x^2-4x+4\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

ខ. សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\dfrac{A}{B}\) គ. គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(F\) បើ \(x=-1\)

V. (១៥ ពិន្ទុ)

PISA៖ សេវាកម្មបោះពុម្ពឯកសារ

សិស្សានុសិស្សមួយក្រុមចង់បោះពុម្ពសៀវភៅលំហាត់ដើម្បីចែកគ្នារៀន។

ហាងបោះពុម្ពពីរមានជម្រើសគិតប្រាក់ដូចខាងក្រោម៖

ហាងបោះពុម្ព	ថ្លៃរៀបចំចងក្រង	ថ្លៃបោះពុម្ព ១សន្លឹក
កសាង	\(5000\) រៀល	\(100\) រៀល
បញ្ញា	\(0\) រៀល	\(150\) រៀល

ក បើសៀវភៅនោះមានកម្រាស់ \(50\) សន្លឹក តើត្រូវចំណាយប្រាក់ប៉ុន្មានសម្រាប់ហាងនីមួយៗ? តើគួរជ្រើសរើស

ហាងណា?

ខ បើសៀវភៅនោះមានកម្រាស់ \(150\) សន្លឹក តើគួរជ្រើសរើសហាងមួយណាទើបចំណេញជាង?

គ តើសៀវភៅត្រូវមានប៉ុន្មានសន្លឹកទើបការចំណាយនៅហាងទាំងពីរស្មើគ្នា?

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហមចំនួន \(5\) ដើម ប៊ិចពណ៌ខៀវចំនួន \(3\) ដើម និងប៊ិចពណ៌បៃតង

ចំនួន \(2\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិចម្ដង \(2\) ដើមចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន៖

ក. ប៊ិចពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម ខ. ប៊ិចពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេឱ្យចំណុច \(A(-2,3)\) និង \(B(4,1)\)។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

ខ. រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) គ. រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\)

VIII. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=8\,\mathrm{cm}\)។ គូសបន្ទាត់ប៉ះ \(d\) នឹងរង្វង់ត្រង់ \(B\)។ ដៅចំណុច \(C\)

លើបន្ទាត់ \(d\) ដែលមានអង្កត់ \(BC=6\,\mathrm{cm}\)។ បន្ទាត់ \(AC\) កាត់រង្វង់ \((O)\) ត្រង់ចំណុច \(D\)។

ក ប្រាប់ឈ្មោះ \(\triangle ABC\) និង \(\triangle ADB\)

ខ. គណនាប្រវែង \(AC\) និង \(BD\) គ. ប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BCD\) រួចទាញថា \(BD^2=AD\times CD\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ តើសមភាពមួយណាត្រឹមត្រូវ?

ដោយ \(\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\)

ដោយ \(\sqrt{3} > 1\) នោះ \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1\)

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\)

២ គណនាប្រវែង \(AC\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(A\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2\\ 10^2 &= 6^2 + AC^2\\ 100 &= 36 + AC^2\\ AC^2 &= 64 \Rightarrow AC = 8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 8\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=\sqrt{12}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}\\ &=\sqrt{4\times 3}-2\sqrt{9\times 3}+\sqrt{25\times 3}\\ &=2\sqrt{3}-2(3\sqrt{3})+5\sqrt{3}\\ &=2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}\\ &=\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=\sqrt{3}\)

២ គណនាកន្សោម \(B\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\ &=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\ &=\frac{(3-2\sqrt{6}+2)+(3+2\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}\\ &=\frac{5-2\sqrt{6}+5+2\sqrt{6}}{3-2}\\ &=\frac{10}{1}\\ &=10 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=10\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} (x-2)^2-x(x+1)&=14\\ x^2-4x+4-x^2-x&=14\\ -5x+4&=14\\ -5x&=14-4\\ -5x&=10 \Rightarrow x=-2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=-2\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{4}&>\frac{x-2}{2}\\ 4(2x-1)-3(x+1)&>6(x-2)\\ 8x-4-3x-3&>6x-12\\ 5x-7&>6x-12\\ 5x-6x&>-12+7\\ -x&>-5 \Rightarrow x<5 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x<5\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

គេមាន \(A=(2x-1)^2-(x+1)^2\) និង \(B=x^2-4x+4\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A&=(2x-1)^2-(x+1)^2\\ &=[(2x-1)-(x+1)][(2x-1)+(x+1)]\\ &=(2x-1-x-1)(2x-1+x+1)\\ &=(x-2)(3x) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=3x(x-2)\)

\[\begin{aligned} B&=x^2-4x+4\\ &=x^2-2(x)(2)+2^2\\ &=(x-2)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=(x-2)^2\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\frac{A}{B}\)

\[\begin{aligned} F&=\frac{3x(x-2)}{(x-2)^2} \end{aligned}\]

ចំពោះ \(x\neq 2\)

\[F=\frac{3x}{x-2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F=\frac{3x}{x-2}\)

គ គណនាតម្លៃលេខនៃ \(F\) បើ \(x=-1\)

\[\begin{aligned} F(-1)&=\frac{3(-1)}{-1-2}\\ &=\frac{-3}{-3}\\ &=1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F(-1)=1\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

ក បើសៀវភៅនោះមានកម្រាស់ \(50\) សន្លឹក

ការចំណាយលើហាងកសាង៖

\[5000 + 100\times 50 = 5000+5000 = 10\,000\text{ ៛}\]

ការចំណាយលើហាងបញ្ញា៖

\[0 + 150\times 50 = 7500\text{ ៛}\]

ដោយ \(7500\) ៛ \( < 10\,000\) ៛ ទើបជ្រើសរើសហាងបញ្ញា។

ដូចនេះ ៖ គួរជ្រើសរើសហាងបញ្ញា

ខ បើសៀវភៅនោះមានកម្រាស់ \(150\) សន្លឹក

ការចំណាយលើហាងកសាង៖

\[5000 + 100\times 150 = 5000+15\,000 = 20\,000\text{ ៛}\]

ការចំណាយលើហាងបញ្ញា៖

\[0 + 150\times 150 = 22\,500\text{ ៛}\]

ដោយ \(20\,000\) ៛ \( < 22\,500\) ៛ គាត់គួរជ្រើសរើសហាងកសាង។

ដូចនេះ ៖ គួរជ្រើសរើសហាងកសាង ទើបចំណេញជាង

គ តើសៀវភៅត្រូវមានប៉ុន្មានសន្លឹកទើបការចំណាយស្មើគ្នា?

តាង \(x\) ជាចំនួនសន្លឹកនៃសៀវភៅ (\(x>0\))

ដើម្បីឱ្យការចំណាយលើហាងទាំងពីរស្មើគ្នា គេបាន៖

\[\begin{aligned} 5000+100x &= 150x\\ 150x-100x &= 5000\\ 50x &= 5000\\ x &= \frac{5000}{50}=100 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួន \(\displaystyle 100\) សន្លឹក

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ិចសរុបគឺ \(5+3+2=10\) ដើម។

ការចាប់យកប៊ិចម្តងពីរដើម ស្មើនឹងការចាប់ម្តងមួយមិនដាក់ចូលវិញ។

ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

\[\begin{aligned} P(\text{ខៀវ, ខៀវ})&=\frac{3}{10}\times\frac{2}{9}\\ &=\frac{6}{90}=\frac{1}{15} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ, ខៀវ \(\displaystyle )=\frac{1}{15}\)

ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចាប់មិនបានប៊ិចក្រហមសោះ (ពោលគឺចាប់បានប៊ិចពណ៌ផ្សេងដែលសរុបមាន \(5\) ដើម)។

\[\begin{aligned} P(\text{គ្មានក្រហម}) &= \frac{5}{10}\times\frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}\\ P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិចមួយ}) &= 1 - P(\text{គ្មានក្រហម})\\ &= 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហមយ៉ាងតិចមួយ \(\displaystyle )=\frac{7}{9}\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(-2,3)\) និង \(B(4,1)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(4-(-2))^2+(1-3)^2}\\ &=\sqrt{6^2+(-2)^2}\\ &=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{aligned}\]

កូអរដោនេចំណុច \(I\) កណ្តាល \(AB\)

\[\begin{aligned} I&=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ &=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3+1}{2}\right)\\ &=(1,2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt{10},\quad{} I(1,2)\)

ខ រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-3}{4-(-2)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-3&=-\frac{1}{3}(x-(-2))\\ y&=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}+3\\ y&=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)

គ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([AB]\)

ដោយ \((\Delta)\perp (AB)\) នោះ \(a_\Delta\cdot a_{AB}=-1 \\ \Rightarrow a_\Delta\left(-\frac{1}{3}\right)=-1 \Rightarrow a_\Delta=3\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) ជាមេដ្យាទ័រ នោះវាកាត់តាម \(I(1,2)\)៖

\[\begin{aligned} y-y_I&=a_\Delta(x-x_I)\\ y-2&=3(x-1)\\ y&=3x-3+2\\ y&=3x-1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y=3x-1\)

លំហាត់ VIII (១៥ ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(ABC\) និង \(\triangle ADB\)

គេមាន

\[\angle ABC=90^\circ\quad{} \text{(បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹងកាំត្រង់ចំណុចប៉ះ)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\)

និង

\[\angle ADB=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle ADB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(D\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} \triangle ABC\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }B \\ \triangle ADB\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }D \end{gathered}\)

ខ គណនាប្រវែង \(AC\) និង \(BD\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

\[\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2\\ &= 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\\ AC &= \sqrt{100} = 10\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) គេមាន \(BD\) ជាកម្ពស់ (ព្រោះ \(BD \perp AC\) ត្រង់ \(D\))

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)៖

\[\begin{aligned} BD\times AC &= AB\times BC\\ BD\times 10 &= 8\times 6\\ 10BD &= 48 \Rightarrow BD = 4.8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC=10\,\mathrm{cm}, \quad{} BD=4.8\,\mathrm{cm}\)

គ ប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BCD\)

គេមាន

\[\angle ADB = \angle BDC = 90^\circ\quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)}\]

និង

\[\angle DAB = \angle DBC\quad{} \text{(មុំមានជ្រុងកែងរៀងគ្នា)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABD \sim \triangle BCD \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញថា \(BD^2=AD\times CD\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle ABD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{CD}\\[-1pt] \triangle BCD & \end{array}\]

គេបាន

\[BD \times BD = AD \times CD\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BD^2 = AD \times CD\)