វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៣

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (២០ ពិន្ទុ)

ចូរសម្រួលកន្សោមខាងក្រោម

ក \(5\sqrt{11}+7\sqrt{44}-3\sqrt{99}\)

ខ \(\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

គ \(\sqrt{20}+\sqrt{80}-\sqrt{45}\)

ឃ \(\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{24}+\sqrt{40}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{10}}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោមពីជគណិត \(A=x^2-x-6\) និង \(B=2x^2-10x+12\)។

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

ខ សម្រួលប្រភាគ \(E=\dfrac{A}{B}\)។

គ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(E\) ចំពោះ \(x=\sqrt{2}\)។

III. (២០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម

ក \(\begin{cases} 2x+3y=4\\ 3x-y=-5 \end{cases}\)

ខ \(\begin{cases} y+6=3x\\ 9x-2y=3 \end{cases}\)

គ \(\begin{cases} x+y=9\\ 4x+4y=9 \end{cases}\)

ឃ \(\begin{cases} 2x+3y=4\\ 4x+6y=8 \end{cases}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីខៀវចំនួន \(4\) គ្រាប់ និងឃ្លីក្រហមចំនួន \(3\) គ្រាប់។

គេចាប់យកឃ្លីម្ដង \(2\) គ្រាប់ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ ចូររកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម

ក ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងពីរគ្រាប់។

ខ ចាប់បានឃ្លីក្រហមមួយគ្រាប់យ៉ាងតិច។

V. (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(0,-1)\) និង \(B(3,2)\)។

ក ចូររកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) កាត់តាមចំណុច \(A\) និង \(B\)។

ខ ចូរសរសេរសមីការ \((D)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(C(0,3)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \((AB)\)។

គ ចូររកកូអរដោនេនៃចំណុច \(H\) ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \((AB)\) និង \((D)\)។

VI. (២០ ពិន្ទុ)

ធរណីមាត្រ គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) ចារឹកក្រៅត្រីកោណ \(ABC\) មួយ ដែលមានកម្ពស់ \(AH\) និងមុំទាំងបីជាមុំស្រួច។

\(D\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(A\) ចំពោះផ្ចិត \(O\)។

ក ចូរបង្ហាញថា \(\angle ABC=\angle ADC\) និង \(\angle ACB=\angle ADB\)។

ខ ចូរប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(HAB\) និងត្រីកោណ \(CAD\)។

គ ចូរប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(HAC\) និងត្រីកោណ \(DAB\)។

ឃ ចូរបង្ហាញថា \(AB\times AC=AD\times AH\) ហើយ \(\angle BAD=\angle HAC\)។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (២០ ពិន្ទុ)

សម្រួលកន្សោម

ក

\[\begin{aligned} &5\sqrt{11}+7\sqrt{44}-3\sqrt{99}\\ &=5\sqrt{11}+7(2\sqrt{11})-3(3\sqrt{11})\\ &=5\sqrt{11}+14\sqrt{11}-9\sqrt{11}\\ &=10\sqrt{11} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle 10\sqrt{11}\)

ខ

\[\begin{aligned} &\sqrt{6-2\sqrt5}\\ &=\sqrt{5-2\sqrt5+1}\\ &=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}\\ &=\sqrt5-1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \sqrt 5-1\)

គ

\[\begin{aligned} &\sqrt{20}+\sqrt{80}-\sqrt{45}\\ &=2\sqrt5+4\sqrt5-3\sqrt5\\ &=3\sqrt5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle 3\sqrt 5\)

ឃ

\[\begin{aligned} &\frac{\sqrt8-\sqrt{24}+\sqrt{40}}{\sqrt2-\sqrt6+\sqrt{10}}\\ &=\frac{2\sqrt2-2\sqrt6+2\sqrt{10}}{\sqrt2-\sqrt6+\sqrt{10}}\\ &=\frac{2(\sqrt2-\sqrt6+\sqrt{10})}{\sqrt2-\sqrt6+\sqrt{10}}\\ &=2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle 2\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A&=x^2-x-6\\ &=(x-3)(x+2) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} B&=2x^2-10x+12\\ &=2(x^2-5x+6)\\ &=2(x-2)(x-3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} A=(x-3)(x+2)\\ B=2(x-2)(x-3) \end{gathered}\)

ខ សម្រួលប្រភាគ \(E=\dfrac{A}{B}\)

\[\begin{aligned} E&=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-2)(x-3)}\\ &=\frac{x+2}{2(x-2)} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E=\frac{x+2}{2(x-2)}\)

គ គណនាតម្លៃ \(E\) ចំពោះ \(x=\sqrt2\)

\[\begin{aligned} E(\sqrt2)&=\frac{\sqrt2+2}{2(\sqrt2-2)}\\ &=\frac{(\sqrt2+2)^2}{2(\sqrt2-2)(\sqrt2+2)}\\ &=\frac{2+4\sqrt2+4}{2(2-4)}\\ &=\frac{6+4\sqrt2}{-4}\\ &=-\frac{3+2\sqrt2}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E(\sqrt 2)=-\frac{3+2\sqrt 2}{2}\)

លំហាត់ III (២០ ពិន្ទុ)

ក \(\begin{cases}2x+3y=4\\3x-y=-5\end{cases}\)

តាមសមីការទី២ \(y=3x+5\) ជំនួសក្នុងទី១

\[\begin{aligned} 2x+3(3x+5)&=4\\ 2x+9x+15&=4\\ 11x&=-11\\ x&=-1 \end{aligned}\]

នោះ \(y=3(-1)+5=2\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(-1,2)\)

ខ \(\begin{cases}y+6=3x\\9x-2y=3\end{cases}\)

តាមសមីការទី១ \(y=3x-6\) ជំនួសក្នុងទី២

\[\begin{aligned} 9x-2(3x-6)&=3\\ 9x-6x+12&=3\\ 3x&=-9\\ x&=-3 \end{aligned}\]

នោះ \(y=3(-3)-6=-15\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(-3,-15)\)

គ \(\begin{cases}x+y=9\\4x+4y=9\end{cases}\)

តាមសមីការទី១ គុណនឹង ៤ បាន \(4x+4y=36\) ដែលផ្ទុយនឹងសមីការទី២ \(4x+4y=9\)

ដូចនេះ ៖ ប្រព័ន្ធសមីការគ្មានចម្លើយ

ឃ \(\begin{cases}2x+3y=4\\4x+6y=8\end{cases}\)

តាមសមីការទី២ ចែកនឹង ២ បាន \(2x+3y=4\) ដូចគ្នានឹងសមីការទី១

ដូចនេះ ៖ មានចម្លើយអនន្តតាម \(\displaystyle 2x+3y=4\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនឃ្លីសរុប \(4+3=7\) គ្រាប់

ក រកប្រូបាបចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងពីរគ្រាប់

\[P(\text{ខៀវទាំងពីរ}) =\frac{4}{7}\times\frac{3}{6} =\frac{12}{42} =\frac{2}{7}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវទាំងពីរ \(\displaystyle )=\frac{2}{7}\)

ខ រកប្រូបាបចាប់បានឃ្លីក្រហមយ៉ាងតិចមួយ

\[\begin{aligned} P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិច១}) &=1-P(\text{ខៀវទាំងពីរ})\\ &=1-\frac{2}{7}\\ &=\frac{5}{7} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហមយ៉ាងតិច១ \(\displaystyle )=\frac{5}{7}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) កាត់ \(A(0,-1)\) និង \(B(3,2)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-(-1)}{3-0}=1\]

សមីការមានរាង

\[\begin{aligned} y-y_A&=a_{AB}(x-x_A)\\ y-(-1)&=1(x-0)\\ y+1&=x \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=x-1\)

ខ សរសេរសមីការ \((D)\) កាត់ \(C(0,3)\) កែង \((AB)\)

ដោយ \((D)\perp(AB)\) នោះ \(a_D\cdot a_{AB}=-1\)

\[a_D(1)=-1\Rightarrow a_D=-1\]

សមីការ \((D)\) មានរាង

\[\begin{aligned} y-y_C&=a_D(x-x_C)\\ y-3&=-1(x-0) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (D):\ y=-x+3\)

គ រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ \(H\)

ផ្ទឹមសមីការ \((AB)\) និង \((D)\)

\[\begin{aligned} x-1&=-x+3\\ 2x&=4\\ x&=2 \end{aligned}\]

យក \(x=2\) ជំនួសក្នុង \(y=x-1\) បាន \(y=2-1=1\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle H(2,1)\)

លំហាត់ VI (២០ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\angle ABC=\angle ADC\) និង \(\angle ACB=\angle ADB\)

ដោយ \(A, B, C, D\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់តែមួយ

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ABC\) និង \(\angle ADC\) ស្កាត់ធ្នូ \(AC\) រួម

\[\angle ABC=\angle ADC\]

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ACB\) និង \(\angle ADB\) ស្កាត់ធ្នូ \(AB\) រួម

\[\angle ACB=\angle ADB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle ABC=\angle ADC,\quad{} \angle ACB=\angle ADB\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle HAB\) និង \(\triangle CAD\)

ត្រីកោណ \(HAB\) និង \(CAD\) មាន៖

\[\angle AHB=90^\circ\text{ (ព្រោះ }AH\perp BC\text{)}\]

\[\angle ACD=90^\circ\text{ (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នោះ \(\angle AHB=\angle ACD=90^\circ\)

\(\angle ABH=\angle ADC\) (សម្រាយខាងលើ)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle HAB\sim\triangle CAD\)

គ ប្រៀបធៀប \(\triangle HAC\) និង \(\triangle DAB\)

ត្រីកោណ \(HAC\) និង \(DAB\) មាន៖

\[\angle AHC=90^\circ\text{ (ព្រោះ }AH\perp BC\text{)}\]

\[\angle ABD=90^\circ\text{ (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នោះ \(\angle AHC=\angle ABD=90^\circ\)

\(\angle ACH=\angle ADB\) (សម្រាយខាងលើ)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle HAC\sim\triangle DAB\)

ឃ បង្ហាញថា \(AB\times AC=AD\times AH\)

ដោយ \(\triangle HAB\sim\triangle CAD\) ទាញបានផលធៀប៖

\[\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB\times AC=AD\times AH\)

បង្ហាញថា \(\angle BAD=\angle HAC\)

ដោយ \(\triangle HAC\sim\triangle DAB\) ទាញបានមុំទី៣ ប៉ុនគ្នា៖

\[\angle HAC=\angle DAB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle BAD=\angle HAC\)