វិញ្ញាសាព្យាករណ៍សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៤

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ តើសមីការ \(x^2 - 6x + 5 = 0\) មានឫសជាអ្វី?

☐ ក. \(x = -1, x = -5\)☐ ខ. \(x = 1, x = 5\)☐ គ. \(x = 2, x = 3\)☐ ឃ. \(x = 0, x = 5\)

២ គេយកជណ្តើរមួយប្រវែង \(4\,\mathrm{m}\) ទៅផ្អែកនឹងជញ្ជាំងដោយដឹងថាគម្លាតរវាងជញ្ជាំងនិងជើង

ជណ្តើរស្មើនឹង \(2\,\mathrm{m}\)។ ចូររកចម្ងាយពីដីទៅចំណុចដែលជណ្តើរប៉ះនឹងជញ្ជាំង។

☐ ក. \(\sqrt{3}\,\mathrm{m}\)☐ ខ. \(2\sqrt{3}\,\mathrm{m}\)☐ គ. \(4\sqrt{3}\,\mathrm{m}\)☐ ឃ. \(2\,\mathrm{m}\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោមខាងក្រោម

១. \(A=\sqrt{75}-2\sqrt{27}+\sqrt{108}\) ២. \(B=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម

១. \(\dfrac{4x+1}{3}+\dfrac{x+2}{5}=-2\) ២. \(\begin{cases} 2x-3y=7 \\ 5x+y=9 \end{cases}\)

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិត \(A=(2x-1)^2-(x+2)^2\) និង \(B=x^2-6x+9\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

ខ. សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\dfrac{A}{B}\) គ. គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(F\) បើ \(x=\dfrac{1}{3}\)

V. (១៥ ពិន្ទុ)

PISA៖ ការជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូន

អ្នកស្រីធីតាជាអ្នកលក់ឥវ៉ាន់អនឡាញម្នាក់។ គាត់កំពុងសម្រេចចិត្តរើសក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូនដើម្បីដឹកឥវ៉ាន់ឱ្យភ្ញៀវក្នុងក្រុង។ មានក្រុមហ៊ុនពីរដែលផ្តល់តម្លៃសេវាកម្មដូចខាងក្រោម៖

ក្រុមហ៊ុន	តម្លៃថេរ	តម្លៃតាមចម្ងាយ
A	\(5000\) រៀល	\(0\) រៀល
B	\(2000\) រៀល	\(500\) រៀល / \(\mathrm{km}\)

ក បើភ្ញៀវម្នាក់នៅចម្ងាយ \(5\,\mathrm{km}\) តើគាត់ត្រូវចំណាយប្រាក់តិចបំផុតប៉ុន្មាន?

☐ A. \(4000\) ៛☐ B. \(4500\) ៛☐ C. \(5000\) ៛☐ D. \(5500\) ៛

ខ បើមានភ្ញៀវ \(10\) នាក់នៅចម្ងាយ \(5\,\mathrm{km}\) និង \(8\) នាក់នៅចម្ងាយ \(7\,\mathrm{km}\)

តើគាត់គួរជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុនមួយណាទើបចំណាយតិចជាង?

គ តើចម្ងាយប៉ុន្មាន \(\mathrm{km}\) ទើបតម្លៃសេវាកម្មដឹកជញ្ជូននៃក្រុមហ៊ុនទាំងពីរស្មើគ្នា? ចូរបង្ហាញការគណនា។

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហមចំនួន \(5\) ដើម ប៊ិចពណ៌ខៀវចំនួន \(3\) ដើម និងប៊ិចពណ៌បៃតង

ចំនួន \(2\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិចមួយចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បាន

ក. ប៊ិចពណ៌ក្រហម ខ. ប៊ិចពណ៌ខៀវ ឬបៃតង

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេឱ្យចំណុច \(A(1,2)\) និង \(B(3,-2)\)។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

ខ. រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) គ. រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(I\) កែងនឹង \((AB)\)

VIII. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) និងមានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\)។ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់កាំ \(OB\)។

បន្ទាត់មួយកែងនឹង \(AB\) ត្រង់ \(H\) ហើយកាត់រង្វង់ \((O)\) ត្រង់ចំណុច \(C\) និង \(D\)។ បន្ទាត់ \(AC\)

និងបន្ទាត់ \(BD\) បន្លាយជួបគ្នាត្រង់ចំណុច \(E\)។ ក. ប្រាប់ឈ្មោះ \(\triangle ACB\) និងទាញរកមុំ \(\angle ACB\)

ខ. ប្រៀបធៀប \(\triangle EAB\) និង \(\triangle ECD\) គ

ទាញបង្ហាញថា \(EC \cdot EA = ED \cdot EB\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ តើសមីការ \(x^2 - 6x + 5 = 0\) មានឫសជាអ្វី?

ដោយ \(a+b+c = 1-6+5=0\) នោះ \(x_1=1, x_2=\frac{c}{a}=5\)

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x = 1, x = 5\)

២ រកចម្ងាយពីដីទៅចំណុចដែលជណ្តើរប៉ះនឹងជញ្ជាំង

តាង \(h\) ជាចម្ងាយពីដីទៅចំណុចដែលជណ្តើរប៉ះនឹងជញ្ជាំង។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} h^2 + 2^2 &= 4^2\\ h^2 + 4 &= 16\\ h^2 &= 12\\ h &= \sqrt{12}=2\sqrt{3}\,\mathrm{m} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 2\sqrt{3}\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=\sqrt{75}-2\sqrt{27}+\sqrt{108}\\ &=\sqrt{25\times 3}-2\sqrt{9\times 3}+\sqrt{36\times 3}\\ &=5\sqrt{3}-2(3\sqrt{3})+6\sqrt{3}\\ &=5\sqrt{3}-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\ &=5\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=5\sqrt{3}\)

២ គណនាកន្សោម \(B\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\ &=\frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})-(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\ &=\frac{(2+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3)-(2-\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3)}{2^2-(\sqrt{3})^2}\\ &=\frac{(5+3\sqrt{3})-(5-3\sqrt{3})}{4-3}\\ &=\frac{5+3\sqrt{3}-5+3\sqrt{3}}{1}\\ &=6\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=6\sqrt{3}\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{4x+1}{3}+\frac{x+2}{5}&=-2\\ 5(4x+1)+3(x+2)&=-2(15)\\ 20x+5+3x+6&=-30\\ 23x+11&=-30\\ 23x&=-30-11\\ 23x&=-41 \Rightarrow x=-\frac{41}{23} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=-\frac{41}{23}\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 2x-3y=7 \quad{} &(1)\\ 5x+y=9 \quad{} &(2) \end{cases}\]

តាមសមីការ (2) \(y = 9-5x\) ជំនួសចូលសមីការ (1)៖

\[\begin{aligned} 2x-3(9-5x)&=7\\ 2x-27+15x&=7\\ 17x&=7+27\\ 17x&=34 \Rightarrow x=2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x=2\) ក្នុង \(y=9-5x\)៖

\[y = 9-5(2)=9-10=-1\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(2,-1)\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

គេមាន \(A=(2x-1)^2-(x+2)^2\) និង \(B=x^2-6x+9\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A&=(2x-1)^2-(x+2)^2\\ &=[(2x-1)-(x+2)][(2x-1)+(x+2)]\\ &=(2x-1-x-2)(2x-1+x+2)\\ &=(x-3)(3x+1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(x-3)(3x+1)\)

\[\begin{aligned} B&=x^2-6x+9\\ &=x^2-2(x)(3)+3^2\\ &=(x-3)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=(x-3)^2\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\frac{A}{B}\)

\[\begin{aligned} F&=\frac{(x-3)(3x+1)}{(x-3)^2} \end{aligned}\]

ចំពោះ \(x\neq 3\)

\[F=\frac{3x+1}{x-3}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F=\frac{3x+1}{x-3}\)

គ គណនាតម្លៃលេខនៃ \(F\) បើ \(x=\frac{1}{3}\)

\[\begin{aligned} F\left(\frac{1}{3}\right)&=\frac{3\left(\frac{1}{3}\right)+1}{\frac{1}{3}-3}\\ &=\frac{1+1}{\frac{1-9}{3}}\\ &=\frac{2}{-\frac{8}{3}}=2\times\left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{6}{8}\\ &=-\frac{3}{4} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{3}{4}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

ក បើភ្ញៀវម្នាក់នៅចម្ងាយ \(5\,\mathrm{km}\)

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន A៖ \(5000\) ៛

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន B៖

\[2000+500\times 5 = 2000+2500 = 4500\text{ ៛}\]

ដោយ \(4500\) ៛ \( < 5000\) ៛ ទើបជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុន B ដែលត្រូវនឹងចម្លើយ B។

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស B. \(\displaystyle 4500\) ៛

ខ បើមានភ្ញៀវ \(10\) នាក់នៅចម្ងាយ \(5\,\mathrm{km}\) និង \(8\) នាក់នៅចម្ងាយ \(7\,\mathrm{km}\)

ការចំណាយសរុបលើក្រុមហ៊ុន A៖

\[(10+8)\times 5000 = 18\times 5000 = 90\,000\text{ ៛}\]

ការចំណាយសរុបលើក្រុមហ៊ុន B៖

\[\begin{aligned} &10\times (2000+500\times 5) + 8\times (2000+500\times 7)\\ &= 10(4500) + 8(5500)\\ &= 45\,000 + 44\,000 = 89\,000\text{ ៛} \end{aligned}\]

ដោយ \(89\,000\) ៛ \( < 90\,000\) ៛

ដូចនេះ ៖ គាត់គួរជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុន B ទើបចំណាយតិចជាង

គ តើចម្ងាយប៉ុន្មានទើបចំណាយស្មើគ្នា?

តាង \(x\) ជាចម្ងាយគិតជា \(\mathrm{km}\) (\(x>0\))

ដើម្បីឱ្យការចំណាយលើក្រុមហ៊ុនទាំងពីរស្មើគ្នា គេបាន៖

\[\begin{aligned} 2000+500x &= 5000\\ 500x &= 5000-2000\\ 500x &= 3000\\ x &= \frac{3000}{500}=6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ចម្ងាយ \(\displaystyle 6\,\mathrm{km}\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ិចសរុបគឺ \(5+3+2=10\)។

ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហម

\[P(\text{ក្រហម})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហម \(\displaystyle )=\frac{1}{2}\)

ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិចពណ៌ខៀវ ឬបៃតង

\[\begin{aligned} P(\text{ខៀវ ឬបៃតង})&=\frac{3+2}{10}\\ &=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ ឬបៃតង \(\displaystyle )=\frac{1}{2}\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(1,2)\) និង \(B(3,-2)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2}\\ &=\sqrt{2^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}\]

កូអរដោនេចំណុច \(I\) កណ្តាល \(AB\)

\[\begin{aligned} I&=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ &=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)\\ &=(2,0) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt{5},\quad{} I(2,0)\)

ខ រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-2}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-2&=-2(x-1)\\ y&=-2x+2+2\\ y&=-2x+4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=-2x+4\)

គ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(I\) កែងនឹង \((AB)\)

ដោយ \((\Delta)\perp (AB)\) នោះ \(a_\Delta\cdot a_{AB}=-1 \Rightarrow a_\Delta(-2)=-1 \Rightarrow a_\Delta=\frac{1}{2}\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(I(2,0)\)៖

\[\begin{aligned} y-y_I&=a_\Delta(x-x_I)\\ y-0&=\frac{1}{2}(x-2)\\ y&=\frac{1}{2}x-1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y=\frac{1}{2}x-1\)

លំហាត់ VIII (១៥ ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ឈ្មោះ \(\triangle ACB\) និងទាញរកមុំ \(\angle ACB\)

គេមាន

\[\angle ACB=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle ACB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} \triangle ACB\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }C \\ \text{ និង } \angle ACB=90^\circ \end{gathered}\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle EAB\) និង \(\triangle ECD\)

គេមាន

\[\angle EAB = \angle EDC\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់ស្កាត់ធ្នូ } CB \text{ ដូចគ្នា)}\]

ហើយ

\[\angle E \quad{} \text{(ជាមុំរួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle EAB \sim \triangle ECD \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

គ ទាញបង្ហាញថា \(EC \cdot EA = ED \cdot EB\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle EAB & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC}\\[-1pt] \triangle ECD & \end{array}\]

គេបាន

\[EC \cdot EA = ED \cdot EB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle EC \cdot EA = ED \cdot EB\)