វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៧

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ បើ \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{z}\) នោះ \(25y^2\) ស្មើនឹង

☐ ក. \(x^2z\)☐ ខ. \(x^2z^2\)☐ គ. \(5x^2\)☐ ឃ. \(\dfrac{x^2}{25}\)

២ គេមាន \(A(0,3)\) , \(B(4,0)\) នោះប្រវែង \(AB\) ស្មើនឹង

☐ ក. \(7\)☐ ខ. \(3\)☐ គ. \(4\)☐ ឃ. \(5\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរបំពេញពាក្យ (ខុស) ឬ (ត្រូវ) ពីមុខអំណះអំណាងខាងក្រោមនេះ៖

(..........) បើ \(x=x+3\) នោះ \(x=0\) ។

(..........) ផលបូកមុំក្នុងនៃចតុកោណស្មើនឹង \(180^\circ\) ។

(..........) \(\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}\) ។

(..........) បើ \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\) នោះ \(\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{4}{9}\) ។

III. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណនៃកត្តា

\(I = x^2 - 16\) \(J = (x - 1)^2 - 2(x - 1)\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

កាក់មួយមានមុខអក្សរ \(H\) និងអក្សរ \(T\) ហើយគេបោះកាក់នោះពីរដង ។

ក រកចំនួនករណីអាច ។

ខ រកប្រូបាបដែលបោះបានអក្សរ \(T\) មួយនិងអក្សរ \(H\) មួយ ដោយមិនគិតលំដាប់ថាបោះបានអក្សរណាមុន ។

V. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} 4x - 3y = 15 \\ 8x + 2y = -10 \end{cases}\) ។

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងចំណតយានយន្តមួយមានរថយន្ត និងម៉ូតូសរុប \(45\) គ្រឿង ។ គេរាប់កង់រថយន្ត និងកង់ម៉ូតូឃើញសរុប

\(140\) កង់ ។ ចូររកចំនួនរថយន្ត និងចំនួនម៉ូតូក្នុងចំណតនោះ ។

VII. (២០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យពីរចំណុច \(A(3, -4)\) និង \(B(4, 2)\) ។

ក សង់ចំណុច \(A(3, -4)\) និងចំណុច \(B(4, 2)\) ដាក់ក្នុងប្លង់ \((xOy)\) ។ (យក \(1\) ឯកតា = \(1\,\mathrm{cm}\) )

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\) ។

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាម \(I(-1, 2)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង \(2\) ។

VIII. (២០ ពិន្ទុ)

ត្រីកោណសមបាត \(ABC\) មួយមានកម្ពស់ \(AH\) និងជ្រុង \(AB = AC = 2\sqrt{5}\,\mathrm{cm}\) ហើយ \(BC = 4\,\mathrm{cm}\) ។

ក គណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណ \(ABC\) ។

ខ គណនាកម្ពស់ \(AH\) ។

គ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃស្មើនឹង \(25y^2\)

\[\begin{aligned} \frac{x}{y} &= \frac{5}{z} \\ 5y &= xz \\ (5y)^2 &= (xz)^2 \\ 25y^2 &= x^2z^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x^2z^2\)

២ គណនាប្រវែង \(AB\)

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} \\ &= \sqrt{4^2 + (-3)^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} \\ &= \sqrt{25} = 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle 5\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

(ខុស) បើ \(x=x+3\) នោះ \(x=0\) ។

(ខុស) ផលបូកមុំក្នុងនៃចតុកោណស្មើនឹង \(180^\circ\) ។

(ត្រូវ) \(\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}\) ។

(ត្រូវ) បើ \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\) នោះ \(\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{4}{9}\) ។

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

ដាក់កន្សោមជាផលគុណនៃកត្តា

កន្សោម \(I\):

\[\begin{aligned} I &= x^2 - 16 \\ &= x^2 - 4^2 \\ &= (x - 4)(x + 4) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle I = (x - 4)(x + 4)\)

កន្សោម \(J\):

\[\begin{aligned} J &= (x - 1)^2 - 2(x - 1) \\ &= (x - 1)(x - 1 - 2) \\ &= (x - 1)(x - 3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle J = (x - 1)(x - 3)\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

ក រកចំនួនករណីអាច

កាក់មួយមានមុខពីរ (\(H\) និង \(T\)) បោះពីរដង នោះករណីអាចសរុបមាន៖

\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle n(S) = 4\)

ខ រកប្រូបាបដែលបោះបានអក្សរ \(T\) មួយ និង \(H\) មួយ

តាង \(E\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានអក្សរ \(T\) មួយ និង \(H\) មួយ៖

\[E = \{HT, TH\}\]

ចំនួនករណីស្រប \(n(E) = 2\)

\[P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(E) = \frac{1}{2}\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 4x - 3y = 15 \quad{} &(1) \\ 8x + 2y = -10 \quad{} &(2) \end{cases}\]

គុណសមីការ (១) នឹង \(-2\) គេបាន៖

\[\begin{cases} -8x + 6y = -30 \\ 8x + 2y = -10 \end{cases}\]

បូកសមីការទាំងពីរអង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} 8y &= -40 \\ y &= -5 \end{aligned}\]

ជំនួស \(y = -5\) ក្នុងសមីការ (១)៖

\[\begin{aligned} 4x - 3(-5) &= 15 \\ 4x + 15 &= 15 \\ 4x &= 0 \Rightarrow x = 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (0, -5)\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

តាង \(x\) ជាចំនួនរថយន្ត និង \(y\) ជាចំនួនម៉ូតូ (\(x, y \in \mathbb{N}\))
រថយន្តមាន \(4\) កង់ ម៉ូតូមាន \(2\) កង់ គេបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} x + y = 45 \quad{} &(1) \\ 4x + 2y = 140 \quad{} &(2) \end{cases}\]

ពីសមីការ (១) ទាញបាន \(y = 45 - x\) ជំនួសចូលសមីការ (២)៖

\[\begin{aligned} 4x + 2(45 - x) &= 140 \\ 4x + 90 - 2x &= 140 \\ 2x &= 140 - 90 \\ 2x &= 50 \Rightarrow x = 25 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 25\) ក្នុង \(y = 45 - x\)៖

\[y = 45 - 25 = 20\]

ដូចនេះ ៖ រថយន្ត \(\displaystyle 25 \) គ្រឿង \(\displaystyle , \quad{} \) ម៉ូតូ \(\displaystyle 20 \) គ្រឿង

លំហាត់ VII (២០ ពិន្ទុ)

ក សង់ចំណុច \(A(3, -4)\) និង \(B(4, 2)\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស៖

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-4)}{4 - 3} = \frac{6}{1} = 6\]

សមីការមានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - (-4) &= 6(x - 3) \\ y + 4 &= 6x - 18 \\ y &= 6x - 22 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = 6x - 22\)

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(I(-1, 2)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិស \(a = 2\) សមីការមានរាង \(y - y_I = a(x - x_I)\)

\[\begin{aligned} y - 2 &= 2(x - (-1)) \\ y - 2 &= 2(x + 1) \\ y &= 2x + 2 + 2 \\ y &= 2x + 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = 2x + 4\)

លំហាត់ VIII (២០ ពិន្ទុ)

ក គណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណ \(ABC\)

បរិមាត្រ \(P = AB + BC + CA\)
ដោយ \(AB = AC = 2\sqrt{5}\,\mathrm{cm}\) និង \(BC = 4\,\mathrm{cm}\)៖

\[\begin{aligned} P &= 2\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5} \\ &= (4\sqrt{5} + 4)\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P = (4\sqrt{5} + 4)\,\mathrm{cm}\)

ខ គណនាកម្ពស់ \(AH\)

ត្រីកោណ \(ABC\) សមបាតមាន \(AH\) ជាកម្ពស់ នោះ \(AH\) ក៏ជាមេដ្យានដែរ។ នាំឱ្យ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\) នោះ

\[BH = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\mathrm{cm}\]

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABH\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} AB^2 &= AH^2 + BH^2 \\ (2\sqrt{5})^2 &= AH^2 + 2^2 \\ 20 &= AH^2 + 4 \\ AH^2 &= 16 \Rightarrow AH = 4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AH = 4\,\mathrm{cm}\)

គ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\)

ផ្ទៃក្រឡា \(S = \dfrac{1}{2} \times BC \times AH\)៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \\ &= 8\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle S = 8\,\mathrm{cm}^2\)