វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៤

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

គណនា

ក \(A = 2\sqrt{45} + \sqrt{5} - 3\sqrt{80}\)

ខ \(B = \dfrac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} + \dfrac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និង ប្រព័ន្ធវិសមីការ

ក \(\dfrac{3x - 1}{6} - \dfrac{x + 1}{12} = \dfrac{x - 5}{4} + \dfrac{x}{6}\)

ខ \(\begin{cases} \dfrac{3x}{4} - \dfrac{2}{3} \leq \dfrac{4x - 3}{12} \\[8pt] 2x - 1 > \dfrac{3x - 4}{2} \end{cases}\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោម \(A = x^2 - 16 - (3x - 1)(x - 4)\) និង \(B = x^2 - 8x + 16\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(P = \dfrac{A}{B}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

ថង់មួយមានឃ្លី \(12\) គ្រាប់ ដែលមានតែឃ្លីពណ៌ស និងពណ៌ខ្មៅ ។ គេចាប់ឃ្លីម្តងមួយចេញពីថង់ ។

ក ចូររកចំនួនឃ្លីពណ៌ខ្មៅ បើប្រូបាបនៃការចាប់បានឃ្លីពណ៌ខ្មៅស្មើនឹង \(\dfrac{1}{3}\) ។

ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ស ។

V. (២០ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ គេឱ្យបីចំណុច \(A(0, 6)\), \(B(-3, 0)\) និង \(C(6, 0)\) ។

ក ចូររកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\) និង \((AC)\) ។

ខ ចូររកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាមចំណុច \(C\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \((AB)\)

គ ចូររកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta')\) កាត់តាមចំណុច \(B\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \((AC)\)

VI. (១០ ពិន្ទុ)

(ដូចរូប) គេមាន \(MN \parallel AB\) ។

ចូរគណនាតម្លៃ \(x\) និង \(MN\) បើ \(AB = 24\,\mathrm{cm}\)

VII. (២០ ពិន្ទុ)

ក្នុងរង្វង់ ដែលមានអង្កត់ធ្នូពីរមិនប៉ុនគ្នា \(AB\) និង \(CD\) កែងគ្នាត្រង់ \(I\) ។

\(M\) ជាចំណុចមួយនៃអង្កត់ \(AC\) ដែល \(MI\) កែងនឹង \(AC\) ។

ក ចូរបង្ហាញថា \(\triangle IBD\) និង \(\triangle IMA\) ជាត្រីកោណដូចគ្នា ។

រួចទាញបង្ហាញថា \(AM \times IB = IM \times ID\)

ខ គណនារង្វាស់ \(AC\) បើ \(IA = 12\,\mathrm{cm}\) និង \(IC = 9\,\mathrm{cm}\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

ក គណនា

\[\begin{aligned} A &= 2\sqrt{45} + \sqrt{5} - 3\sqrt{80} \\ &= 2\sqrt{9 \times 5} + \sqrt{5} - 3\sqrt{16 \times 5} \\ &= 6\sqrt{5} + \sqrt{5} - 12\sqrt{5} \\ &= -5\sqrt{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = -5\sqrt{5}\)

ខ គណនា

\[\begin{aligned} B &= \frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \\ &= \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{5}) + 3(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})} \\ &= \frac{5\sqrt{3} + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{3 - 5} \\ &= \frac{8\sqrt{3} + 2\sqrt{5}}{-2} \\ &= -4\sqrt{3} - \sqrt{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = -4\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{3x - 1}{6} - \frac{x + 1}{12} &= \frac{x - 5}{4} + \frac{x}{6} \\ 2(3x - 1) - (x + 1) &= 3(x - 5) + 2x \\ 6x - 2 - x - 1 &= 3x - 15 + 2x \\ 5x - 3 &= 5x - 15 \\ 0x &= -12 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ សមីការគ្មានឫស

ខ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ

\[\begin{cases} \dfrac{3x}{4} - \dfrac{2}{3} \leq \dfrac{4x - 3}{12} \quad{} &(1) \\[8pt] 2x - 1 > \dfrac{3x - 4}{2} \quad{} &(2) \end{cases}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (1) ៖

\[\begin{aligned} 9x - 8 &\leq 4x - 3 \\ 5x &\leq 5 \\ x &\leq 1 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (2) ៖

\[\begin{aligned} 4x - 2 &> 3x - 4 \\ x &> -2 \end{aligned}\]

ប្រសព្វចម្លើយទាំងពីរ គឺ

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle -2 < x \leq 1\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A &= x^2 - 16 - (3x - 1)(x - 4) \\ &= (x - 4)(x + 4) - (3x - 1)(x - 4) \\ &= (x - 4)(x + 4 - 3x + 1) \\ &= (x - 4)(-2x + 5) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = (x - 4)(-2x + 5)\)

\[\begin{aligned} B &= x^2 - 8x + 16 \\ &= x^2 - 2(x)(4) + 4^2 \\ &= (x - 4)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = (x - 4)^2\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(P\)

\[\begin{aligned} P &= \frac{A}{B} \\ &= \frac{(x - 4)(-2x + 5)}{(x - 4)^2} \end{aligned}\]

លក្ខខណ្ឌ \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\)

\[P = \frac{-2x + 5}{x - 4}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P = \frac{-2x + 5}{x - 4}\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនឃ្លីសរុបគឺ \(12\) គ្រាប់ ។

ក រកចំនួនឃ្លីពណ៌ខ្មៅ

តាង \(n(\) ខ្មៅ \()\) ជាចំនួនឃ្លីខ្មៅ

\[\begin{aligned} P(\text{ខ្មៅ}) &= \frac{n(\text{ខ្មៅ})}{12} \\ \frac{1}{3} &= \frac{n(\text{ខ្មៅ})}{12} \\ n(\text{ខ្មៅ}) &= \frac{12}{3} = 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ឃ្លីខ្មៅ \(\displaystyle 4\) គ្រាប់

ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ស

ចំនួនឃ្លីស \(n(\) ស \() = 12 - 4 = 8\) គ្រាប់

\[\begin{aligned} P(\text{ស}) &= \frac{n(\text{ស})}{12} \\ &= \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{aligned}\]

ឬប្រើលក្ខណៈព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ៖ \(P(\) ស \() = 1 - P(\) ខ្មៅ \() = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ស \(\displaystyle ) = \frac{2}{3}\)

លំហាត់ V (២០ ពិន្ទុ)

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\) និង \((AC)\)

មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((AB)\) ៖

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 6}{-3 - 0} = \frac{-6}{-3} = 2\]

សមីការ \((AB)\) មានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - 6 &= 2(x - 0) \\ y &= 2x + 6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = 2x + 6\)

មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((AC)\) ៖

\[a_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0 - 6}{6 - 0} = \frac{-6}{6} = -1\]

សមីការ \((AC)\) មានរាង \(y - y_A = a_{AC}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - 6 &= -1(x - 0) \\ y &= -x + 6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AC):\ y = -x + 6\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta) \perp (AB)\) នាំឱ្យ៖

\[a_{\Delta} \times a_{AB} = -1 \Rightarrow a_{\Delta} \times 2 = -1 \Rightarrow a_{\Delta} = -\frac{1}{2}\]

សមីការ \((\Delta)\) មានរាង \(y - y_C = a_{\Delta}(x - x_C)\)

\[\begin{aligned} y - 0 &= -\frac{1}{2}(x - 6) \\ y &= -\frac{1}{2}x + 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = -\frac{1}{2}x + 3\)

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((\Delta')\)

បន្ទាត់ \((\Delta') \parallel (AC)\) នាំឱ្យ៖

\[a_{\Delta'} = a_{AC} = -1\]

សមីការ \((\Delta')\) មានរាង \(y - y_B = a_{\Delta'}(x - x_B)\)

\[\begin{aligned} y - 0 &= -1(x - (-3)) \\ y &= -x - 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta'):\ y = -x - 3\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃ \(x\) និង \(MN\)

តាមរូប គេមាន \(BC = 12\) និង \(BN = 4\) នាំឱ្យ \(CN = BC - BN = 12 - 4 = 8\)

ក្នុង \(\triangle ABC\) ដោយ \(MN \parallel AB\) តាមទ្រឹស្តីបទតាលែស គេបាន៖

\[\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}\]

គណនាតម្លៃ \(x\) ៖

\[\begin{aligned} \frac{6}{x} &= \frac{8}{12} \\ 8x &= 72 \\ x &= 9 \end{aligned}\]

គណនាតម្លៃ \(MN\) ៖

\[\begin{aligned} \frac{MN}{24} &= \frac{8}{12} \\ MN &= \frac{24 \times 8}{12} = 16\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 9, \quad{} MN = 16\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ VII (២០ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\triangle IBD \sim \triangle IMA\)

គេមាន៖

\[\angle DIB = 90^\circ \quad{} \text{(ព្រោះ } AB \perp CD \text{ ត្រង់ } I)\]

\[\angle IMA = 90^\circ \quad{} \text{(បម្រាប់ } MI \perp AC)\]

នាំឱ្យ

\[\angle DIB = \angle IMA = 90^\circ\]

ម្យ៉ាងទៀត ក្នុងរង្វង់ មុំចារឹករង្វង់ \(\angle BDC\) និង \(\angle BAC\) ស្កាត់ធ្នូ \(BC\) រួម នាំឱ្យ

\[\angle IDB = \angle IAM\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle IBD \sim \triangle IMA \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញបង្ហាញថា \(AM \times IB = IM \times ID\)

តាមផលធៀបដំណូច៖

\[\begin{array}{c|c} \triangle IBD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{ID}{MA} = \frac{IB}{IM}\\[-1pt] \triangle IMA & \end{array}\]

\[\begin{aligned} ID \times IM &= MA \times IB \\ AM \times IB &= IM \times ID \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AM \times IB = IM \times ID\)

ខ គណនារង្វាស់ \(AC\)

គេមាន \(\triangle AIC\) កែងត្រង់ \(I\) (ព្រោះ \(AB \perp CD\) ត្រង់ \(I\))

តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} AC^2 &= IA^2 + IC^2 \\ &= 12^2 + 9^2 \\ &= 144 + 81 = 225 \\ AC &= \sqrt{225} = 15\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC = 15\,\mathrm{cm}\)