វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៣

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (២០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(F = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{10} - 2}{3} - \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}\)

២ ដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តាតាម បន្ថែម និងបន្ថយតួ \(A = x^2 - 3x - 18\)

៣ គេមានកន្សោម \(B = (3x - 6)(4x^2 - 1) - (2x - 4)(4x^2 + 4x + 1)\)

ក ដាក់កន្សោម \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

ខ ដោះស្រាយសមីការ \(B\) បើ \(B = 0\)

II. (២០ ពិន្ទុ)

១ កាក់មួយមានមុខពីរ \(T\) និង \(H\) ។ គេបោះកាក់នេះចំនួន ២ដង។

ក រកចំនួនករណីអាច

ខ រកប្រូបាបដែលបោះបានមុខដូចគ្នា។

២ ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(16\) គ្រាប់ ដែលមានពណ៌ស និងខ្មៅ។ គេចាប់យកឃ្លីមួយចេញពីក្នុងថង់

ដោយចៃដន្យ។ រកចំនួនឃ្លីស បើប្រូបាបចាប់បានឃ្លីស ស្មើ \(\dfrac{1}{3}\) ។

III. (២០ ពិន្ទុ)

ខាងក្រោមនេះជាម៉ាសសិស្សនៅក្នុងថ្នាក់រៀនមួយគិតជា \(kg\) ៖

ថ្នាក់ម៉ាស (\(kg\))	\(40-45\)	\(45-50\)	\(50-55\)	\(55-60\)	\(60-65\)	\(65-70\)
ចំនួនសិស្ស (\(f\))	\(4\)	\(6\)	\(14\)	\(12\)	\(8\)	\(6\)

ក បង្កើតតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងប្រេកង់កើន

ខ គណនាមធ្យម មេដ្យាន និង ម៉ូត នៃម៉ាសសិស្ស

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \(\dfrac{4x + 1}{3} + \dfrac{x + 2}{5} = -2\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ \(\begin{cases} 2x - 3 > 5x - 1 \\ x + 4 > 3x - 2 \end{cases}\)

V. (២៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB = 2R\) ។ តាមចំណុច \(E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(OB\)

គូសបន្ទាត់ \((\Delta)\) កែងនឹង \(AB\) ហើយកាត់រង្វង់ត្រង់ \(C\) និង \(D\) ។

ក បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) និង \(\triangle BCE\) ជាត្រីកោណដូចគ្នា

ខ បង្ហាញថា \(BC^2 = AB \times BE\)

គ គណនា \(BC\) និង \(AC\) ជាអនុគមន៍នៃ \(R\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (២០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(F\)

\[\begin{aligned} F &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{10} - 2}{3} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} - \frac{\sqrt{10} - 2}{3} - \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{3}(1 - \sqrt{2})} \\ &= \frac{\sqrt{10} - 2}{5 - 2} - \frac{\sqrt{10} - 2}{3} - \frac{\sqrt{2} - 1}{-(\sqrt{2} - 1)} \\ &= \frac{\sqrt{10} - 2}{3} - \frac{\sqrt{10} - 2}{3} - (-1) \\ &= 1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F = 1\)

២ ដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តាតាម បន្ថែម និងបន្ថយតួ

\[\begin{aligned} A &= x^2 - 3x - 18 \\ &= x^2 - 2(x)\left(\frac{3}{2}\right) + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 18 \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - \frac{72}{4} \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{81}{4} \\ &= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 \\ &= \left(x - \frac{3}{2} - \frac{9}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2} + \frac{9}{2}\right) \\ &= (x - 6)(x + 3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = (x - 6)(x + 3)\)

៣

ក. ដាក់កន្សោម \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

\[\begin{aligned} B &= (3x - 6)(4x^2 - 1) - (2x - 4)(4x^2 + 4x + 1) \\ &= 3(x - 2)(2x - 1)(2x + 1) - 2(x - 2)(2x + 1)^2 \\ &= (x - 2)(2x + 1)[3(2x - 1) - 2(2x + 1)] \\ &= (x - 2)(2x + 1)(6x - 3 - 4x - 2) \\ &= (x - 2)(2x + 1)(2x - 5) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = (x - 2)(2x + 1)(2x - 5)\)

ខ. ដោះស្រាយសមីការ \(B = 0\)

\[\begin{aligned} (x - 2)(2x + 1)(2x - 5) &= 0 \\ x - 2 = 0 &\Rightarrow x = 2 \\ 2x + 1 = 0 &\Rightarrow x = -\frac{1}{2} \\ 2x - 5 = 0 &\Rightarrow x = \frac{5}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 2, \quad{} x = -\frac{1}{2}, \quad{} x = \frac{5}{2}\)

លំហាត់ II (២០ ពិន្ទុ)

១ ក. រកចំនួនករណីអាច

កាក់មួយមានមុខពីរ \(T\) និង \(H\) ហើយគេបោះ ២ដង ។
ករណីអាច \(S = \{HH, HT, TH, TT\}\)
ចំនួនករណីអាចគឺ \(n(S) = 4\) ករណី

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle n(S) = 4\)

ខ. រកប្រូបាបដែលបោះបានមុខដូចគ្នា

តាង \(E\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះបានមុខដូចគ្នា
គេបាន \(E = \{TT, HH\}\) នោះ \(n(E) = 2\)

\[P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(E) = \frac{1}{2}\)

២ រកចំនួនឃ្លីស

តាមរូបមន្តប្រូបាប

\[\begin{aligned} P(\text{ស}) &= \frac{\text{ចំនួនករណីស្រប}}{\text{ចំនួនករណីអាច}} \\ \frac{1}{3} &= \frac{\text{ចំនួនឃ្លីស}}{16} \\ \text{ចំនួនឃ្លីស} &= \frac{16}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនឃ្លីស \(\displaystyle = \frac{16}{3}\)

*(បញ្ជាក់៖ ចំនួនឃ្លីត្រូវតែជាចំនួនគត់ ដូច្នេះប្រធានលំហាត់អាចមានកំហុស)*

លំហាត់ III (២០ ពិន្ទុ)

ក បង្កើតតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ និងប្រេកង់កើន

ថ្នាក់ម៉ាស (\(kg\))	\(f\)	ផ្ចិត \(x\)	\(fx\)	\(f^\uparrow\)
\(40-45\)	\(4\)	\(42.5\)	\(170\)	\(4\)
\(45-50\)	\(6\)	\(47.5\)	\(285\)	\(10\)
\(50-55\)	\(14\)	\(52.5\)	\(735\)	\(24\)
\(55-60\)	\(12\)	\(57.5\)	\(690\)	\(36\)
\(60-65\)	\(8\)	\(62.5\)	\(500\)	\(44\)
\(65-70\)	\(6\)	\(67.5\)	\(405\)	\(50\)
សរុប	\(N=50\)		\(2785\)

ខ គណនាមធ្យម មេដ្យាន និង ម៉ូត

មធ្យម ៖

\[\bar{x} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{2785}{50} = 55.7\,\mathrm{kg}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \bar{x} = 55.7\,\mathrm{kg}\)

មេដ្យាន ៖
ទីតាំងមេដ្យាន \(= \dfrac{N+1}{2} = \dfrac{50+1}{2} = 25.5\)
មេដ្យានស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \(55-60\) ។

ដូចនេះ ៖ ថ្នាក់មេដ្យាន \(\displaystyle 55-60\)

ម៉ូត ៖
ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \(50-55\) ព្រោះវាមានប្រេកង់ធំជាងគេ \(14\) ។

ដូចនេះ ៖ ថ្នាក់ម៉ូត \(\displaystyle 50-55\)

ចំណាំ (សម្រាប់អ្នកចង់ដឹងបន្ថែម)៖ គណនាតម្លៃពិតប្រាកដ
– មេដ្យាន ៖

\[\begin{aligned} Me &= L_m + \frac{\frac{N}{2} - F_{m-1}}{f_m} \times c \\ &= 55 + \frac{25 - 24}{12} \times 5 \approx 55.42\,\mathrm{kg} \end{aligned}\]

– ម៉ូត ៖

\[\begin{aligned} Mo &= L_o + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \times c \\ &= 50 + \frac{8}{8 + 2} \times 5 = 54\,\mathrm{kg} \end{aligned}\]

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{4x + 1}{3} + \frac{x + 2}{5} &= -2 \\ 5(4x + 1) + 3(x + 2) &= -30 \\ 20x + 5 + 3x + 6 &= -30 \\ 23x + 11 &= -30 \\ 23x &= -41 \\ x &= -\frac{41}{23} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = -\frac{41}{23}\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ

\[\begin{cases} 2x - 3 > 5x - 1 \quad{} &(1) \\ x + 4 > 3x - 2 \quad{} &(2) \end{cases}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (1) ៖

\[\begin{aligned} 2x - 5x &> -1 + 3 \\ -3x &> 2 \\ x &< -\frac{2}{3} \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (2) ៖

\[\begin{aligned} x - 3x &> -2 - 4 \\ -2x &> -6 \\ x &< 3 \end{aligned}\]

ចម្លើយនៃវិសមីការ (1) គឺ \(x < -\dfrac{2}{3}\) ។

ចម្លើយនៃវិសមីការ (2) គឺ \(x < 3\) ។

ប្រសព្វចម្លើយទាំងពីរ គឺ

\[x < -\frac{2}{3}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x < -\frac{2}{3}\)

លំហាត់ V (២៥ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) និង \(\triangle BCE\) ជាត្រីកោណដូចគ្នា

គេមាន

\[\angle ACB = 90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

\[\angle CEB = 90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ } (\Delta) \perp AB\text{ ត្រង់ }E\text{)}\]

នាំឱ្យ

\[\angle ACB = \angle CEB = 90^\circ\]

ហើយ

\[\angle B\text{ ជាមុំរួម}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle CBE \quad{}\) (ករណីទី១ ម.ម)

ខ បង្ហាញថា \(BC^2 = AB \times BE\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle ABC & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{BC}{BE}=\frac{AB}{CB}\\[-1pt] \triangle CBE & \end{array}\]

\[\begin{aligned} BC\times CB &= AB \times BE\\ BC^2 &= AB \times BE \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BC^2 = AB \times BE\)

គ គណនា \(BC\) និង \(AC\)

រង្វង់មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB = 2R\) និងកាំ \(OB = R\)។

ដោយ \(E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(OB\) នោះ \(BE = \frac{R}{2}\)។

តាមសម្រាយខាងលើ

\[\begin{aligned} BC^2 &= AB \times BE \\ &= 2R \times \frac{R}{2} \\ &= R^2 \\ BC &= \sqrt{R^2} = R \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BC = R\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

\[\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 - BC^2 \\ &= (2R)^2 - R^2 \\ &= 4R^2 - R^2 = 3R^2 \\ AC &= \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC = R\sqrt{3}\)