វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៤

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ចម្លើយត្រឹមត្រូវមានតែមួយគត់

១ តើមួយណាជាសមភាពត្រឹមត្រូវ

☐ ក. \(\sqrt[4]{81} = \pm 3\)☐ ខ. \(\sqrt[3]{16} = 4\)☐ គ. \(\sqrt{1.69} = 1.3\)☐ ឃ. \(\sqrt{25} = -5\)

២ ត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) និងមាន \(AI\) ជាកម្ពស់ហើយ \(IB = 3\text{cm}\) និង \(IC = 4\text{cm}\) ។

គណនាប្រវែង \(AI\) ។

☐ ក. \(AI = 2\sqrt{2}\text{cm}\)☐ ខ. \(AI = 12\text{cm}\)☐ គ. \(AI = 2\sqrt{3}\text{cm}\)☐ ឃ. \(AI = 3\sqrt{2}\text{cm}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោមពីជគណិត \(A = x^2 - x - 6\) , \(B = 2x^2 - 10x + 12\) ។

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

ខ សម្រួលប្រភាគ \(E = \dfrac{A}{B}\)

គ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(E\) ចំពោះ \(x = \sqrt{2}\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សស្រីចំនួន 17 នាក់ និងសិស្សប្រុសចំនួន 23 នាក់ ។ គ្រូបានហៅសិស្ស 2 នាក់

ជាបន្តបន្ទាប់ដោយចៃដន្យដើម្បីឡើងដោះស្រាយលំហាត់ប្រូបាបប្រឡងប្រណាំងគ្នា ។

ក រកប្រូបាបដែលគ្រូហៅសិស្សស្រីបានទាំងពីរនាក់។

ខ រកប្រូបាបដែលគ្រូហៅបានសិស្សប្រុសមួយនាក់យ៉ាងតិច។

គ រកប្រូបាបដែលគ្រូហៅបានសិស្សទាំងពីរភេទ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

ចូរគណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណ \(ABC\) ដែល \(A(3,7)\) , \(B(5,2)\) និង \(C(-7,3)\) ។

V. (២០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យត្រីកោណមួយដែលមានកំពូល \(A(-2,6)\) , \(B(-1,-1)\) និង \(C(1,0)\) ។

ចូររកសមីការបន្ទាត់នៃជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ ។

VI. (២៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) ចារឹកក្រៅ \(\Delta ABC\) មួយដែលមាន \(AH\) ជាកម្ពស់និងមុំទាំងបីជាមុំស្រួច ។ \(D\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(A\)

ចំពោះផ្ចិត \(O\) ។

ក បង្ហាញថា \(\angle ABC = \angle ADC\) និង \(\angle ACB = \angle ADB\) ។

ខ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\Delta HAB\) និង \(\Delta CAD\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ ជ្រើសរើសចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ

\[\begin{aligned} \sqrt[4]{81}&=3\\ \sqrt[3]{16}&\neq4\\ \sqrt{1.69}&=1.3\\ \sqrt{25}&=5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle \sqrt{1.69}=1.3\)

២ គណនាប្រវែង \(AI\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង៖

\[\begin{aligned} AI^2&=IB\cdot IC\\ &=3\cdot4=12\\ AI&=\sqrt{12}=2\sqrt3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AI=2\sqrt 3\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A&=x^2-x-6\\ &=(x-3)(x+2) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} B&=2x^2-10x+12\\ &=2(x^2-5x+6)\\ &=2(x-2)(x-3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} A=(x-3)(x+2)\\ B=2(x-2)(x-3) \end{gathered}\)

ខ សម្រួលប្រភាគ \(E=\dfrac{A}{B}\)

\[\begin{aligned} E&=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-2)(x-3)}\\ &=\frac{x+2}{2(x-2)} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E=\frac{x+2}{2(x-2)}\)

គ គណនាតម្លៃ \(E\) ចំពោះ \(x=\sqrt2\)

\[\begin{aligned} E(\sqrt2)&=\frac{\sqrt2+2}{2(\sqrt2-2)}\\ &=\frac{(\sqrt2+2)^2}{2(\sqrt2-2)(\sqrt2+2)}\\ &=\frac{2+4\sqrt2+4}{2(2-4)}\\ &=\frac{6+4\sqrt2}{-4}\\ &=-\frac{3+2\sqrt2}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E(\sqrt 2)=-\frac{3+2\sqrt 2}{2}\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ចំនួនសិស្សសរុបមាន \(40\) នាក់

សិស្សស្រីមាន \(17\) នាក់ និងសិស្សប្រុសមាន \(23\) នាក់

ក រកប្រូបាបដែលរើសបានសិស្សស្រីទាំងពីរនាក់

\[\begin{aligned} P(\text{ស្រីទាំងពីរ}) &=\frac{17}{40}\times\frac{16}{39}\\ &=\frac{272}{1560}=\frac{34}{195} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ស្រីទាំងពីរ \(\displaystyle )=\frac{34}{195}\)

ខ រកប្រូបាបដែលរើសបានសិស្សប្រុសយ៉ាងតិចម្នាក់

\[\begin{aligned} &P(\text{ប្រុសយ៉ាងតិចមួយ})\\ &=\frac{23}{40}\times\frac{22}{39} +\frac{23}{40}\times\frac{17}{39} +\frac{17}{40}\times\frac{23}{39}\\ &=\frac{506+391+391}{1560}\\ &=\frac{1288}{1560}=\frac{161}{195} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ប្រុសយ៉ាងតិចមួយ \(\displaystyle )=\frac{161}{195}\)

គ រកប្រូបាបដែលរើសបានសិស្សទាំងពីរភេទ

\[\begin{aligned} &P(\text{ទាំងពីរភេទ})\\ &=\frac{17}{40}\times\frac{23}{39} +\frac{23}{40}\times\frac{17}{39}\\ &=\frac{391+391}{1560}\\ &=\frac{782}{1560}=\frac{391}{780} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ទាំងពីរភេទ \(\displaystyle )=\frac{391}{780}\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

គណនាបរិមាត្រត្រីកោណ \(ABC\) ដែលមានកូអរដោនេ \(A(3,7)\), \(B(5,2)\), \(C(-7,3)\)

រង្វាស់ជ្រុងនីមួយៗ៖

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(5-3)^2+(2-7)^2}\\ &=\sqrt{2^2+(-5)^2}\\ &=\sqrt{4+25}=\sqrt{29} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} BC&=\sqrt{(-7-5)^2+(3-2)^2}\\ &=\sqrt{(-12)^2+1^2}\\ &=\sqrt{144+1}=\sqrt{145} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} CA&=\sqrt{(3+7)^2+(7-3)^2}\\ &=\sqrt{10^2+4^2}\\ &=\sqrt{100+16}\\ &=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \end{aligned}\]

បរិមាត្រត្រីកោណ \(P=AB+BC+CA\)

\[\begin{aligned} P&=\sqrt{29}+\sqrt{145}+2\sqrt{29}\\ &=3\sqrt{29}+\sqrt{145} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=3\sqrt{29}+\sqrt{145}\)

លំហាត់ V (២០ ពិន្ទុ)

រកសមីការបន្ទាត់ជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ \(ABC\) ដែលមានកូអរដោនេ \(A(-2,6)\), \(B(-1,-1)\), \(C(1,0)\)

ក សមីការបន្ទាត់ \((AB)\) កាត់តាម \(A\) និង \(B\)

\[a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-1-6}{-1-(-2)}=-7\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-6&=-7(x+2)\\ y&=-7x-14+6\\ y&=-7x-8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=-7x-8\)

ខ សមីការបន្ទាត់ \((BC)\) កាត់តាម \(B\) និង \(C\)

\[a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{0-(-1)}{1-(-1)}=\frac12\]

សមីការមានរាង \(y-y_C=a_{BC}(x-x_C)\)

\[\begin{aligned} y-0&=\frac12(x-1)\\ y&=\frac12x-\frac12 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (BC):\ y=\frac 12x-\frac 12\)

គ សមីការបន្ទាត់ \((CA)\) កាត់តាម \(C\) និង \(A\)

\[a_{CA}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}=\frac{6-0}{-2-1}=-2\]

សមីការមានរាង \(y-y_C=a_{CA}(x-x_C)\)

\[\begin{aligned} y-0&=-2(x-1)\\ y&=-2x+2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (CA):\ y=-2x+2\)

លំហាត់ VI (២៥ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\angle ABC=\angle ADC\) និង \(\angle ACB=\angle ADB\)

ដោយ \(A, B, C, D\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់តែមួយ

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ABC\) និង \(\angle ADC\) ស្កាត់ធ្នូ \(AC\) រួម

\[\angle ABC=\angle ADC\]

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ACB\) និង \(\angle ADB\) ស្កាត់ធ្នូ \(AB\) រួម

\[\angle ACB=\angle ADB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle ABC=\angle ADC,\quad{} \angle ACB=\angle ADB\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle HAB\) និង \(\triangle CAD\)

ត្រីកោណ \(HAB\) និង \(CAD\) មាន៖

\[\angle AHB=90^\circ\text{ (ព្រោះ }AH\perp BC\text{)}\]

\[\angle ACD=90^\circ\text{ (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នោះ \(\angle AHB=\angle ACD=90^\circ\)

\[\angle ABH=\angle ADC\]

(សម្រាយខាងលើ)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle HAB\sim\triangle CAD\)