វិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ឆ្នាំ២០២៣

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០២ តុលា ២០២៣

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ តើសមភាពមួយណាត្រឹមត្រូវ?

☐ ក. \(\sqrt{(-5)^2}=-5\)☐ ខ. \(\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=-1-\sqrt{3}\)☐ គ. \(\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

២ រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការបន្ទាត់ \(d:y=2mx+1\) ស្របនឹង \(L:y=4x-1\)។

☐ ក. \(m=-2\)☐ ខ. \(m=2\)☐ គ. \(m=4\)☐ ឃ. \(m=-4\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}}-2\sqrt{6}\)

២ គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(B=\dfrac{x^{12}+x^{11}-x^2-x}{x^{11}-x}\) ចំពោះ \(x=2023\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \((x-1)^2-x\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+7=\dfrac{1}{2}\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ \(8x^2-2x<2(2x+1)^2\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

សួនច្បារមួយរាងចតុកោណកែងមានបរិមាត្រស្មើនឹង \(28m\)។ គេដឹងថា បីដងនៃទទឹងស្មើនឹង ពាក់កណ្តាលនៃបណ្តោយ។

រកប្រវែងទទឹង និងបណ្តោយនៃសួនច្បារនោះ

V. (១៥ ពិន្ទុ)

ប្រអប់មួយមានស្ករគ្រាប់រសជាតិសូកូឡា \(7\)គ្រាប់ រសជាតិទឹកដោះគោ \(3\)គ្រាប់ និងរសជាតិទុរេន \(2\)គ្រាប់។ សុភាពចាប់

យកស្ករមួយគ្រាប់មកញ៉ាំដោយចៃដន្យ បន្ទាប់មកប្អូនស្រីរបស់គាត់បានយកស្ករមួយគ្រាប់មកញ៉ាំដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបដែលសុភាពញ៉ាំស្ករគ្រាប់រសជាតិទឹកដោះគោ និងប្អូនស្រីគាត់ញ៉ាំស្ករគ្រាប់រសជាតិទុរេន

២ រកប្រូបាបដែលកុមារទាំងពីរបានញ៉ាំស្ករគ្រាប់រសជាតិសូកូឡា

VI. (២០ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមែតមួយ ចូរដៅចំណុច \(A(-2,4)\) \(B(1,1)\) និង \(C(4,-2)\)។

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

៣ បង្ហាញថាចំណុច \(C\) ស្ថិតលើបន្ទាត់ \(AB\)

VII. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(MN\) ដែល \(MN=10cm\)។ \(B\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែលមាន

មានអង្កត់ធ្នូ \(BN=8cm\)។

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(MBN\) រួចគណនាប្រវែង \(BM\)

២ គូសបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(M\) កាត់បន្ទាត់ \(NB\) ត្រង់ \(H\)។

ប្រៀបធៀប \(\triangle BMN\) និង \(\triangle HMN\) រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(MN^2=NH\times BN\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ តើសមភាពមួយណាត្រឹមត្រូវ?

ដោយ

\[(\sqrt3-\sqrt2)^2=3+2-2\sqrt6=5-2\sqrt6\]

ហើយ \(\sqrt3>\sqrt2\) នោះ

\[\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt3-\sqrt2\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt 6}=\sqrt 3-\sqrt 2\)

២ រកតម្លៃ \(m\)

បន្ទាត់ \(d:y=2mx+1\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(2m\)
បន្ទាត់ \(L:y=4x-1\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(4\)

បើ \(d\parallel L\) លុះត្រាតែមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា

\[\begin{aligned} 2m&=4\\ m&=2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle m=2\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១. គណនាកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)^{-1}}-2\sqrt6\\ &=(\sqrt3+\sqrt2)^2-2\sqrt6\\ &=3+2+2\sqrt6-2\sqrt6\\ &=5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=5\)

២. គណនាតម្លៃលេខនៃ \(B\) ចំពោះ \(x=2023\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{x^{12}+x^{11}-x^2-x}{x^{11}-x}\\ &=\frac{x^{11}(x+1)-x(x+1)}{x^{11}-x}\\ &=\frac{(x+1)(x^{11}-x)}{x^{11}-x}\\ &=x+1 \end{aligned}\]

បើ \(x=2023\) គេបាន

\[B=2023+1=2024\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=2024\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} (x-1)^2-x\left(x+\frac12\right)+7&=\frac12\\ x^2-2x+1-x^2-\frac{x}{2}+7&=\frac12\\ -\frac52x+8&=\frac12\\ -\frac52x&=-\frac{15}{2}\\ x&=3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=3\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} 8x^2-2x&<2(2x+1)^2\\ 8x^2-2x&<8x^2+8x+2\\ -2x&<8x+2\\ -10x&<2\\ x&>-\frac15 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x>-\frac 15\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

រកប្រវែងទទឹង និងបណ្តោយនៃសួនច្បារ

តាង \(x\) ជាប្រវែងទទឹង \((x>0)\)
\(y\) ជាប្រវែងបណ្តោយ

ដោយបរិមាត្រស្មើ \(28\,\mathrm{m}\)

\[2(x+y)=28\Rightarrow x+y=14\]

បីដងនៃទទឹងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃបណ្តោយ

\[3x=\frac12y\Rightarrow y=6x\]

ដូចនេះ

\[\begin{aligned} x+6x&=14\\ 7x&=14\\ x&=2 \end{aligned}\]

នោះ

\[y=6(2)=12\]

ដូចនេះ ៖ ទទឹង \(\displaystyle 2\,\mathrm{m},\quad{} \) បណ្តោយ \(\displaystyle 12\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

ចំនួនស្ករគ្រាប់សរុបគឺ

\[7+3+2=12\]

១ រកប្រូបាបដែលសុភាពញ៉ាំរសជាតិទឹកដោះគោ និងប្អូនស្រីញ៉ាំរសជាតិទុរេន

ចំនួនករណីអាចសម្រាប់លើកទី \(1\) គឺ \(12\)
ចំនួនករណីស្របសម្រាប់ទឹកដោះគោគឺ \(3\)

បន្ទាប់ពីយកទឹកដោះគោមួយគ្រាប់ ចំនួនករណីអាចសម្រាប់លើកទី \(2\) គឺ \(11\)
ចំនួនករណីស្របសម្រាប់ទុរេនគឺ \(2\)

\[\begin{aligned} P(\text{ទឹកដោះគោ, ទុរេន}) &=\frac{3}{12}\times\frac{2}{11}\\ &=\frac{6}{132}=\frac{1}{22} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ទឹកដោះគោ, ទុរេន \(\displaystyle )=\frac{1}{22}\)

២ រកប្រូបាបដែលកុមារទាំងពីរបានញ៉ាំរសជាតិសូកូឡា

\[\begin{aligned} P(\text{សូកូឡា, សូកូឡា}) &=\frac{7}{12}\times\frac{6}{11}\\ &=\frac{42}{132}=\frac{7}{22} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) សូកូឡា, សូកូឡា \(\displaystyle )=\frac{7}{22}\)

លំហាត់ VI (២០ ពិន្ទុ)

ដៅចំណុច \(A(-2,4)\), \(B(1,1)\) និង \(C(4,-2)\)

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(1-(-2))^2+(1-4)^2}\\ &=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=3\sqrt 2\)

រកកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) &=M\left(\frac{-2+1}{2},\frac{4+1}{2}\right)\\ &=M\left(-\frac12,\frac52\right) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M\left(-\frac 12,\frac 52\right)\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & AB:\ y-y_A=a(x-x_A)\\[3pt] \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{1-4}{1-(-2)} =\frac{-3}{3}=-1\\[3pt] \text{នោះ}\qquad{} y-4&=-1(x-(-2))\\ y-4&=-x-2\\ y&=-x+2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y=-x+2\)

៣ បង្ហាញថាចំណុច \(C\) ស្ថិតលើបន្ទាត់ \(AB\)

ចំពោះ \(C(4,-2)\)

\[-4+2=-2\]

ត្រូវនឹង \(y_C=-2\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle C\in AB\)

លំហាត់ VII (២៥ ពិន្ទុ)

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(MBN\) រួចគណនាប្រវែង \(BM\)

គេមាន

\[\angle MBN=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle MBN\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MBN\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle B\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(MBN\)

\[\begin{aligned} BM^2&=MN^2-BN^2\quad{} \text{(ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ)}\\ &=10^2-8^2=100-64=36\\ BM&=6\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BM=6\,\mathrm{cm}\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle BMN\) និង \(\triangle HMN\)
រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(MN^2=NH\times BN\)

គេមាន

\[\angle MBN=90^\circ\quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)}\]

\[\angle HMN=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }MH\text{ ប៉ះរង្វង់ត្រង់ }M\text{)}\]

នាំឱ្យ

\[\angle MBN=\angle HMN=90^\circ\]

ហើយ

\[\angle BNM=\angle HNM \quad{} \text{(ជាមុំរួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle BMN\sim\triangle HMN \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle BMN & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{BN}{MN}=\frac{MN}{NH}\\[-1pt] \triangle HMN & \end{array}\]

\[\begin{aligned} MN\times MN&=NH\times BN\\ MN^2&=NH\times BN \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle MN^2=NH\times BN\)