វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១១

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់៖

១ ត្រីកោណ \(ABC\) មួយមាន \(\angle BAC = 90^\circ\), \(AB = 3\), \(AC = m\) និង \(BC = 4\) ។ រកតម្លៃ \(m\)

☐ ក. \(m = 5\)☐ ខ. \(m = 7\)☐ គ. \(m = \sqrt{7}\)☐ ឃ. \(m = 1\)

២ \(AI\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណកែង \(ABC\) លើអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ហើយ \(IB = 4\,\mathrm{cm}\) និង \(IC = 3\,\mathrm{cm}\) ។

គណនាកម្ពស់ \(AI\)

☐ ក. \(AI = 2\sqrt{2}\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(AI = 12\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(AI = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(AI = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}\)

II. (២០ ពិន្ទុ)

១ ចម្ការរាងចតុកោណកែងមួយមានវិមាត្រ \(2x + 1\) និង \(20\) គិតជាម៉ែត្រ។ គេដាំពោតនៅលើផ្ទៃដី \(160\,\mathrm{m}^2\)

ហើយគេដាំល្ពៅនៅលើផ្ទៃដីនៅសល់ដែលមានរាងចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(x\) និង \(5\) គិតជាម៉ែត្រ។

កំណត់តម្លៃ \(x\)

២ សព្វថ្ងៃនេះ សុខមានអាយុ \(35\) ឆ្នាំ ហើយសៅមានអាយុ \(14\) ឆ្នាំ។ គេដឹងថា \(t\) ឆ្នាំទៅមុខទៀត សុខនឹងអាយុ

តិចជាង ៣ដង តែធំជាង ២ដងនៃអាយុរបស់សៅ។ រកគ្រប់តម្លៃគត់វិជ្ជមាននៃ \(t\) ដែលអាចមាន

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីស ឃ្លីខ្មៅ និងឃ្លីក្រហមទាំងអស់ចំនួន \(24\) គ្រាប់។

ក គេចាប់យកឃ្លី ១គ្រាប់ដោយចៃដន្យចេញពីថង់។ គេដឹងថាប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីសស្មើនឹង \(\dfrac{1}{3}\) និង

ប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីក្រហមស្មើនឹង \(\dfrac{1}{4}\) ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខ្មៅ

ខ រកចំនួនឃ្លីខ្មៅ

IV. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានចំណុច \(M(-1, 1)\) និង \(N(3, 1)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) ។

ក រកប្រវែង \(MN\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(P\) នៃអង្កត់ \(MN\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(P\) និង \(R(2, -2)\)

គ សង់អង្កត់ \(MN\) និងបន្ទាត់ \((d)\) ក្នុងតម្រុយ \((xOy)\) តែមួយ

V. (៣០ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) ចារឹកក្រៅត្រីកោណ \(ABC\) មួយដែលមានកម្ពស់ \(AH\) និងមុំក្នុងទាំងបីជាមុំស្រួច។

\(D\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(A\) ធៀបនឹង \(O\) ។

ក បង្ហាញថា \(\angle ABC = \angle ADC\) និង \(\angle ACB = \angle ADB\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle HAB\) និង \(\triangle CAD\) ហើយប្រៀបធៀប \(\triangle HAC\) និង \(\triangle BAD\)

គ បង្ហាញថា \(AB \times AC = AD \times AH\) ហើយ \(\angle BAD = \angle HAC\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(m\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(A\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

\[\begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ 4^2 &= 3^2 + m^2 \\ 16 &= 9 + m^2 \\ m^2 &= 7 \Rightarrow m = \sqrt{7} \quad{} (m > 0) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle m = \sqrt{7}\)

២ គណនាកម្ពស់ \(AI\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)

\[\begin{aligned} AI^2 &= IB \times IC \\ &= 4 \times 3 = 12 \\ AI &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AI = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (២០ ពិន្ទុ)

១ កំណត់តម្លៃ \(x\)

ផ្ទៃក្រឡាចម្ការសរុប = ផ្ទៃដីដាំពោត + ផ្ទៃដីដាំល្ពៅ

\[\begin{aligned} (2x + 1) \times 20 &= 160 + x \times 5 \\ 40x + 20 &= 160 + 5x \\ 40x - 5x &= 160 - 20 \\ 35x &= 140 \\ x &= 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 4\)

២ រកគ្រប់តម្លៃគត់វិជ្ជមាននៃ \(t\)

អាយុរបស់សុខក្នុង \(t\) ឆ្នាំទៀត គឺ \(35 + t\)

អាយុរបស់សៅក្នុង \(t\) ឆ្នាំទៀត គឺ \(14 + t\)

តាមបម្រាប់ប្រធាន

\[\begin{aligned} 2(14 + t) < 35 + t &< 3(14 + t) \\ 28 + 2t < 35 + t \quad{} &\text{និង} \quad{} 35 + t < 42 + 3t \\ t < 7 \quad{} &\text{និង} \quad{} -7 < 2t \Rightarrow t > -3.5 \end{aligned}\]

នោះ \(-3.5 < t < 7\)

ដោយ \(t\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះតម្លៃដែលអាចមានគឺ

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle t \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខ្មៅ

តាងព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានឃ្លីខ្មៅ ស និងក្រហមដោយ \(B\), \(W\), \(R\)

\[\begin{aligned} P(B) &= 1 - (P(W) + P(R)) \\ &= 1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \\ &= 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(B) = \frac{5}{12}\)

ខ រកចំនួនឃ្លីខ្មៅ

\[n(B) = 24 \times P(B) = 24 \times \frac{5}{12} = 10\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនឃ្លីខ្មៅ \(\displaystyle 10\) គ្រាប់

លំហាត់ IV (២៥ ពិន្ទុ)

ក រកប្រវែង \(MN\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(P\)

\[\begin{aligned} MN &= \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} \\ &= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} \\ &= \sqrt{4^2 + 0} = 4 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} P &= \left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}\right) \\ &= \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (1, 1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle MN = 4, \quad{} P(1, 1)\)

ខ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((d)\)

\[a = \frac{y_R - y_P}{x_R - x_P} = \frac{-2 - 1}{2 - 1} = -3\]

សមីការមានរាង \(y - y_P = a(x - x_P)\)

\[\begin{aligned} y - 1 &= -3(x - 1) \\ y &= -3x + 3 + 1 \\ y &= -3x + 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (d):\ y = -3x + 4\)

គ សង់អង្កត់ \(MN\) និងបន្ទាត់ \((d)\)

លំហាត់ V (៣០ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\angle ABC = \angle ADC\) និង \(\angle ACB = \angle ADB\)

ដោយ \(A, B, C, D\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់តែមួយ

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ABC\) និង \(\angle ADC\) ស្កាត់ធ្នូ \(AC\) រួម

\[\angle ABC=\angle ADC\]

មុំចារឹករង្វង់ \(\angle ACB\) និង \(\angle ADB\) ស្កាត់ធ្នូ \(AB\) រួម

\[\angle ACB=\angle ADB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle ABC=\angle ADC,\quad{} \angle ACB=\angle ADB\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle HAB\) និង \(\triangle CAD\)

ដោយ \(D\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(A\) ធៀបនឹង \(O\) នាំឱ្យ \(AD\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ \((O)\)

ត្រីកោណ \(HAB\) និង \(CAD\) មាន៖

\[\angle AHB=90^\circ\text{ (ព្រោះ }AH\perp BC\text{)}\]

\[\angle ACD=90^\circ\text{ (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នោះ \(\angle AHB=\angle ACD=90^\circ\)

\(\angle ABH=\angle ADC\) (សម្រាយខាងលើ)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle HAB\sim\triangle CAD\quad{}\) (ម.ម)

ប្រៀបធៀប \(\triangle HAC\) និង \(\triangle BAD\)

ត្រីកោណ \(HAC\) និង \(BAD\) មាន៖

\[\angle AHC=90^\circ\text{ (ព្រោះ }AH\perp BC\text{)}\]

\[\angle ABD=90^\circ\text{ (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នោះ \(\angle AHC=\angle ABD=90^\circ\)

\(\angle ACH=\angle ADB\) (សម្រាយខាងលើ)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle HAC\sim\triangle BAD\quad{}\) (ម.ម)

គ បង្ហាញថា \(AB\times AC=AD\times AH\)

ដោយ \(\triangle HAB\sim\triangle CAD\) ទាញបានផលធៀប៖

\[\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB\times AC=AD\times AH\)

បង្ហាញថា \(\angle BAD=\angle HAC\)

ដោយ \(\triangle HAC\sim\triangle BAD\) ទាញបានមុំទី៣ ប៉ុនគ្នា៖

\[\angle HAC=\angle BAD\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle BAD=\angle HAC\)