វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៨

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយត្រឹមត្រូវដែលមានតែមួយគត់៖

១ តើសមីការមួយណាដែលមានឫសពីរផ្សេងគ្នា?

☐ ក. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)☐ ខ. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)☐ គ. \(x^2 + 2x + 5 = 0\)☐ ឃ. \(x^2 + x + 1 = 0\)

២ ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ ចម្ងាយពីចំណុច \(A(-1, 2)\) ទៅចំណុច \(B(2, 6)\) គឺ៖

☐ ក. \(AB = 3\)☐ ខ. \(AB = 4\)☐ គ. \(AB = 5\)☐ ឃ. \(AB = 25\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិត៖ \(A = (x - 3)^2 - (2x + 1)^2\) និង \(B = x^2 - 6x + 9\) ។

១ ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១។

២ សម្រួលប្រភាគ \(E = \dfrac{B}{A}\) ។

III. (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ និងសមីការខាងក្រោម៖

១ ដោះស្រាយសមីការ៖ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}\)

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានទិន្នន័យពិន្ទុប្រឡងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សិស្សមួយក្រុមដូចខាងក្រោម៖

ពិន្ទុ (\(x\))	\(13\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)
ចំនួនសិស្ស (\(f\))	\(3\)	\(7\)	\(8\)	\(2\)

ចូរគណនា៖

១ មធ្យមនៃពិន្ទុសិស្ស។

២ មេដ្យាននៃទិន្នន័យនេះ ដោយសង់តារាងប្រេកង់កើន។

V. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ គេមានបន្ទាត់ \((d_1): y = 2x - 1\) និង \((d_2): y = -x + 5\) ។

១ សង់បន្ទាត់ \((d_1)\) និង \((d_2)\) ក្នុងតម្រុយតែមួយ។

២ រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ \(M\) រវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ។

៣ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(N(1, 4)\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \((d_1)\) ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) និងអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) ។ តាមចំណុច \(M\) មួយនៃរង្វង់ (\(M\) ខុសពី \(A\) និង \(B\)) គេគូស

បន្ទាត់ប៉ះ \((t)\) មួយ។ តាម \(A\) និង \(B\) គេគូសបន្ទាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប៉ះ \((t)\) ត្រង់ \(C\) និង \(D\) រៀងគ្នា។

ក បង្ហាញថាចតុកោណ \(ABDC\) ជាចតុកោណព្នាយកែង។

ខ បង្ហាញថា \(OM\) ស្របនឹង \(AC\) និង \(BD\)។ រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(CD\)។

គ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(AC + BD = 2R\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ តើសមីការមួយណាដែលមានឫសពីរផ្សេងគ្នា?

សមីការ \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
មាន \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0\)
នោះសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា គឺ \(x_1=2, x_2=3\)។

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0\)

២ ចម្ងាយពីចំណុច \(A(-1, 2)\) ទៅចំណុច \(B(2, 6)\)

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AB = 5\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A &= (x - 3)^2 - (2x + 1)^2 \\ &= [(x - 3) - (2x + 1)][(x - 3) + (2x + 1)] \\ &= (x - 3 - 2x - 1)(x - 3 + 2x + 1) \\ &= (-x - 4)(3x - 2) \\ &= -(x + 4)(3x - 2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = -(x + 4)(3x - 2)\)

\[\begin{aligned} B &= x^2 - 6x + 9 \\ &= x^2 - 2(x)(3) + 3^2 \\ &= (x - 3)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = (x - 3)^2\)

២ សម្រួលប្រភាគ \(E\)

\[\begin{aligned} E &= \frac{B}{A} \\ &= \frac{(x - 3)^2}{-(x + 4)(3x - 2)} \end{aligned}\]

លក្ខខណ្ឌ \(x \neq -4\) និង \(x \neq \frac{2}{3}\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E = -\frac{(x - 3)^2}{(x + 4)(3x - 2)}\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)

\[\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25\]

សមីការមានឫសពីរ

\[x_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}\]

\[x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = \frac{1}{2}, \quad{} x = 3\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} x + y = 5 \quad{} &(1)\\ 2x - y = 4 \quad{} &(2) \end{cases}\]

បូកសមីការ (1) និង (2) អង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} 3x &= 9 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 3\) ក្នុងសមីការ (1)៖

\[\begin{aligned} 3 + y &= 5 \\ y &= 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (3, 2)\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

ចំនួនសិស្សសរុប \(N = 3 + 7 + 8 + 2 = 20\) នាក់

១ គណនាមធ្យមនៃពិន្ទុសិស្ស

ពិន្ទុ (\(x\))	ប្រេកង់ (\(f\))	\(fx\)	ប្រេកង់កើន (\(f^\uparrow\))
\(13\)	\(3\)	\(39\)	\(3\)
\(14\)	\(7\)	\(98\)	\(10\)
\(15\)	\(8\)	\(120\)	\(18\)
\(16\)	\(2\)	\(32\)	\(20\)
សរុប	\(N=20\)	\(\Sigma fx=289\)

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum fx}{N} \\ &= \frac{13(3) + 14(7) + 15(8) + 16(2)}{20} \\ &= \frac{39 + 98 + 120 + 32}{20} \\ &= \frac{289}{20} = 14.45 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \bar{x} = 14.45\)

២ សង់តារាងប្រេកង់កើន និងរកមេដ្យាន

ទីតាំងមេដ្យាន \(= \frac{N+1}{2} = \frac{20+1}{2} = 10.5\)

មេដ្យាននៃទិន្នន័យនេះ ស្ថិតនៅចន្លោះតួទី \(10\) និងតួទី \(11\) ។
តាមតារាងប្រេកង់កើន៖

តួទី \(10\) គឺ \(14\)
តួទី \(11\) គឺ \(15\)

\[\text{មេដ្យាន } Me = \frac{14 + 15}{2} = 14.5\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle Me = 14.5\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

១ សង់បន្ទាត់ \((d_1)\) និង \((d_2)\)

\((d_1): y = 2x - 1\)

តារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline y & -1 & 3 \end{array}\]

\((d_2): y = -x + 5\)

តារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|cc} x & 0 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 \end{array}\]

២ រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ \(M\)

ផ្ទឹមសមីការ \((d_1)\) និង \((d_2)\) ៖

\[\begin{aligned} 2x - 1 &= -x + 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 2\) ក្នុង \((d_2)\)៖

\[y = -2 + 5 = 3\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M(2, 3)\)

៣ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((d_1): y = 2x - 1\) នោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នាគឺ \(a_{\Delta} = 2\) ។
សមីការមានរាង \(y - y_N = a_{\Delta}(x - x_N)\)
ដោយកាត់តាម \(N(1, 4)\)៖

\[\begin{aligned} y - 4 &= 2(x - 1) \\ y &= 2x - 2 + 4 \\ y &= 2x + 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = 2x + 2\)

លំហាត់ VI (៣៥ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថាចតុកោណ \(ABDC\) ជាចតុកោណព្នាយកែង

តាមសមត្ថិកម្ម គេមាន

\[AC \perp (t) \quad{} \text{និង} \quad{} BD \perp (t)\]

នាំឱ្យ \(AC \parallel BD\) (ព្រោះកែងនឹងបន្ទាត់ \((t)\) រួម)

ចតុកោណ \(ABDC\) មានជ្រុងឈម \(AC \parallel BD\) នោះវាជាចតុកោណព្នាយ

ម្យ៉ាងទៀត វាមានមុំ \(\angle ACD = \angle BDC = 90^\circ\)

ដូចនេះ \(ABDC\) ជាចតុកោណព្នាយកែង

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle ABDC \) ជាចតុកោណព្នាយកែង

ខ បង្ហាញថា \(OM\) ស្របនឹង \(AC\) និង \(BD\)

ដោយ \((t)\) ជាបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(M\) នាំឱ្យ \(OM \perp (t)\)

ម្យ៉ាងទៀត គេមាន \(AC \perp (t)\) និង \(BD \perp (t)\)

ដូចនេះ \(OM \parallel AC \parallel BD\) (ព្រោះកែងនឹងបន្ទាត់ \((t)\) រួម)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle OM \parallel AC \parallel BD\)

ទាញបញ្ជាក់ថា \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(CD\)

ក្នុងចតុកោណព្នាយកែង \(ABDC\) គេមាន

\[O \text{ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ } AB\]

និង \(OM \parallel AC \parallel BD\)

តាមលក្ខណៈមេដ្យាននៃចតុកោណព្នាយ នាំឱ្យ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(CD\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M \) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(\displaystyle CD\)

គ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(AC + BD = 2R\)

ក្នុងចតុកោណព្នាយកែង \(ABDC\) មាន \(O\) និង \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុង \(AB\) និង \(CD\) នាំឱ្យអង្កត់ \(OM\) ជាមេដ្យាន។

តាមលក្ខណៈមេដ្យាននៃចតុកោណព្នាយ គេបាន

\[OM = \frac{AC + BD}{2}\]

ដោយ \(OM = R\) (កាំរង្វង់) គេទាញបាន

\[R = \frac{AC + BD}{2}\]

នាំឱ្យ \(AC + BD = 2R\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC + BD = 2R\)