វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៧

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់៖

១ តើសមីការ \(x^2 - 6x + 5 = 0\) មានឫសជាអ្វី?

☐ ក. \(x = -1, x = -5\)☐ ខ. \(x = 1, x = 5\)☐ គ. \(x = 2, x = 3\)☐ ឃ. \(x = 0, x = 5\)

២ ចម្ងាយរវាងចំណុច \(C(0,3)\) និង \(D(4,0)\) ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់៖

☐ ក. \(CD = 3\)☐ ខ. \(CD = 4\)☐ គ. \(CD = 5\)☐ ឃ. \(CD = 7\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិតពីរ៖ \(A = (2x - 1)^2 - (x + 2)^2\) និង \(B = x^2 - 6x + 9\) ។

១ ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១។

២ សម្រួលប្រភាគសនិទាន \(F = \dfrac{B}{A}\) ។

III. (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយវិសមីការ និងប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

១ ដោះស្រាយវិសមីការ \(4x - 5 < 2x + 3\) រួចបកស្រាយចម្លើយនៅលើបន្ទាត់ចំនួន។

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}\) ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហមចំនួន ៥ ប៊ិចពណ៌ខៀវចំនួន ៣ និងប៊ិចពណ៌បៃតងចំនួន ២។

គេចាប់យកប៊ិចមួយចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហម។

២ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌ខៀវ ឬ បៃតង។

៣ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌លឿង។

V. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេមានចំណុច \(A(1, 2)\) និង \(B(3, -2)\) ។

១ ដៅចំណុច \(A\) និង \(B\) រួចគណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \(AB\) ។

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A\) និង \(B\) ។

៣ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(I\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \((D): y = 2x + 1\) ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) និងមានអង្កត់ធ្នូ \(AB\) មួយមិនមែនជាអង្កត់ផ្ចិត។ ចំណុច \(C\) មួយស្ថិតនៅក្រៅ

រង្វង់ ដែលបន្ទាត់ \(CA\) និង \(CB\) ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ \(A\) និង \(B\) ។ អង្កត់ \(OC\) កាត់អង្កត់ធ្នូ

\(AB\) ត្រង់ចំណុច \(H\) ។ (សង់រូបបានត្រឹមត្រូវមាន ៥ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថាត្រីកោណ \(OAC\) និងត្រីកោណ \(OBC\) ជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។ ទាញបញ្ជាក់ថា \(CA = CB\) ។

ខ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ \((OC)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\) ។

គ គេស្គាល់ \(OA = 3\,\mathrm{cm}\) និង \(OC = 5\,\mathrm{cm}\) ។ គណនាប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះ \(CA\) និងប្រវែងអង្កត់ \(OH\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកឫសនៃសមីការ \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

ដោយ \(a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) នោះ \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{c}{a} = 5\)

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x = 1, x = 5\)

២ គណនាចម្ងាយ \(CD\)

\[\begin{aligned} CD &= \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} \\ &= \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} \\ &= \sqrt{25} = 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle CD = 5\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A &= (2x - 1)^2 - (x + 2)^2 \\ &= [(2x - 1) - (x + 2)][(2x - 1) + (x + 2)] \\ &= (2x - 1 - x - 2)(2x - 1 + x + 2) \\ &= (x - 3)(3x + 1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = (x - 3)(3x + 1)\)

\[\begin{aligned} B &= x^2 - 6x + 9 \\ &= x^2 - 2(x)(3) + 3^2 \\ &= (x - 3)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = (x - 3)^2\)

២ សម្រួលប្រភាគសនិទាន \(F\)

\[\begin{aligned} F &= \frac{B}{A} \\ &= \frac{(x - 3)^2}{(x - 3)(3x + 1)} \end{aligned}\]

លក្ខខណ្ឌ \(x \neq 3\) និង \(x \neq -\frac{1}{3}\)

\[F = \frac{x - 3}{3x + 1}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F = \frac{x - 3}{3x + 1}\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} 4x - 5 &< 2x + 3 \\ 4x - 2x &< 3 + 5 \\ 2x &< 8 \\ x &< 4 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x < 4\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} x + 2y = 8 \quad{} &(1)\\ 3x - 2y = 0 \quad{} &(2) \end{cases}\]

បូកសមីការ (1) និង (2)

\[\begin{aligned} 4x &= 8 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 2\) ក្នុងសមីការ (1)

\[\begin{aligned} 2 + 2y &= 8 \\ 2y &= 6 \\ y &= 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (2, 3)\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ិចសរុបមាន \(5 + 3 + 2 = 10\) ប៊ិច

១ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហម

ចំនួនករណីស្របគឺ \(5\) (ចំនួនប៊ិចក្រហម)

\[P(\text{ក្រហម}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហម \(\displaystyle ) = \frac{1}{2}\)

២ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌ខៀវ ឬ បៃតង

ចំនួនករណីស្របគឺ \(3 + 2 = 5\)

\[P(\text{ខៀវ ឬ បៃតង}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ ឬ បៃតង \(\displaystyle ) = \frac{1}{2}\)

៣ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ិចពណ៌លឿង

ចំនួនករណីស្របគឺ \(0\) (គ្មានប៊ិចលឿង)

\[P(\text{លឿង}) = \frac{0}{10} = 0\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) លឿង \(\displaystyle ) = 0\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

១ គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(I\) នៃអង្កត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} I &= \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + (-2)}{2}\right) \\ &= (2, 0) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle I(2, 0)\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 2}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\]

សមីការមានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - 2 &= -2(x - 1) \\ y &= -2x + 2 + 2 \\ y &= -2x + 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = -2x + 4\)

៣ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((D): y = 2x + 1\) នោះមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នាគឺ \(a_{\Delta} = 2\) ។ សមីការមានរាង \(y - y_I = a_{\Delta}(x - x_I)\)

\[\begin{aligned} y - 0 &= 2(x - 2) \\ y &= 2x - 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = 2x - 4\)

លំហាត់ VI (៣៥ ពិន្ទុ)

ក បង្ហាញថា \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\) រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(CA = CB\)

គេមាន \(\triangle OAC\) និង \(\triangle OBC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\) និង \(B\) រៀងគ្នា (ព្រោះ \(CA, CB\) ជាបន្ទាត់ប៉ះ)

ត្រីកោណកែងទាំងពីរមាន

\[OC \text{ ជាអ៊ីប៉ូតេនុសរួម}\]

\[OA = OB = R \quad{} \text{(កាំរង្វង់តែមួយ)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle OAC \cong \triangle OBC\quad{}\) (ករណី អ.ជ)

ពីភាពប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណ គេទាញបានជ្រុងដែលនៅសល់ប៉ុនគ្នាដែរ គឺ \(CA = CB\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle CA = CB\)

ខ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ \((OC)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\)

គេមាន

\[OA = OB = R \Rightarrow O \text{ ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ } AB\]

\[\begin{aligned} &CA = CB \quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)} \\ &\Rightarrow C \text{ ស្ថិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ } AB \end{aligned}\]

ដូចនេះ បន្ទាត់ \((OC)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(AB\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (OC)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(\displaystyle AB\)

គ គណនាប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះ \(CA\) និងប្រវែងអង្កត់ \(OH\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(OAC\)

\[\begin{aligned} CA^2 &= OC^2 - OA^2 \quad{} \text{(ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ)} \\ &= 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \\ CA &= \sqrt{16} = 4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle CA = 4\,\mathrm{cm}\)

ក្នុង \(\triangle\!\perp OAC\) មាន \(AH\) ជាកម្ពស់ (ព្រោះ \(AH \perp OC\))

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(OAC\)

\[\begin{aligned} OA^2 &= OH \times OC \\ OH &= \frac{OA^2}{OC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle OH = 1.8\,\mathrm{cm}\)