វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៦

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ គណនាផលដកនៃ \(5\sqrt{50} - 8\sqrt{32}\)

☐ ក. \(-3\sqrt{2}\)☐ ខ. \(-6\)☐ គ. \(-7\sqrt{2}\)☐ ឃ. \(7\sqrt{2}\)

២ គេយកជណ្តើរមួយប្រវែង \(4\,\mathrm{m}\) ទៅផ្អែកនឹងជញ្ជាំងដោយដឹងថាគម្លាតរវាងជញ្ជាំងនិងជើងជណ្តើរស្មើនឹង \(2\,\mathrm{m}\) ។

ចូររកចម្ងាយពីដីទៅចំណុចដែលជណ្តើរប៉ះនឹងជញ្ជាំង។

☐ ក. \(\sqrt{3}\)☐ ខ. \(2\sqrt{3}\)☐ គ. \(4\sqrt{3}\)☐ ឃ. \(2\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម

ក. \(19 - (3 - x) = 5x\) ខ. \(\sqrt{3}x - 1 = \sqrt{3}\) គ. \(\dfrac{2k + 1}{3} + \dfrac{5 - k}{4} = 1 - \dfrac{3k + 2}{6}\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

១ ចូរដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

ក. \(5x(x - 2) - 3(2 - x)\) ខ. \(x^2(x + 5) - 9(x + 5)\) គ. \(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab\)

២. ចរិយាមានប្រាក់ \(20\) លានរៀល នាងដកប្រាក់នេះ \(25\%\) យកទៅទិញម៉ូតូមួយគ្រឿង ហើយប្រាក់ដែលនៅសល់

នាងយកទៅចងការឱ្យគេដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ \(12\%\) ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ចូររកការប្រាក់ដែលចរិយាទទួលបាន

ក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A = \dfrac{9x^2 - 1}{9x^2 + 6x + 1}\) និង \(B = \dfrac{x^2 - 9x + 20}{x(3x + 1) - 5(3x + 1)}\) ។

ក ចូរសម្រួលកន្សោម \(A\) និង \(B\) ។

ខ ចូរគណនាកន្សោម \(E = \dfrac{A}{B}\) រួចកំណត់តម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោម \(E\) គ្មានន័យ។

V. (៥ ពិន្ទុ)

១ បើគេបន្ថយ \(2025\) ពីពីរដងនៃមួយចំនួន ស្មើនឹង \(2027\) ។ ចូររកចំនួននោះ។

២. អ្នកស្រីធីតាជាអ្នកលក់ឥវ៉ាន់អនឡាញម្នាក់។ គាត់កំពុងសម្រេចចិត្តរើសក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូនដើម្បីដឹកឥវ៉ាន់ឱ្យភ្ញៀវ

ក្នុងក្រុងភ្នំពេញ។ មានក្រុមហ៊ុនពីរដែលផ្តល់តម្លៃដូចខាងក្រោម៖

ក្រុមហ៊ុន	តម្លៃថេរ	តម្លៃតាមចម្ងាយ
A	\(5000\) រៀល	\(0\) រៀល
B	\(2000\) រៀល	\(500\) រៀល / \(\mathrm{km}\)

តើគាត់គួរជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុនមួយណាទើបចំណេញជាង ប្រសិនបើមានភ្ញៀវ \(10\) នាក់ស្ថិតនៅចម្ងាយ \(5\,\mathrm{km}\)

និងមានភ្ញៀវ \(8\) នាក់ស្ថិតនៅចម្ងាយ \(7\,\mathrm{km}\) ?

VI. (១០ ពិន្ទុ)

គេមាន \(PA\) និង \(PB\) ជាបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងរង្វង់ផ្ចិត \(O\) តែមួយដែលមាន

កាំស្មើនឹង \(3\,\mathrm{cm}\) ។ គេដឹងថា \(PA = 3x - 5\) និង \(PB = x + 5\)

ក ចូរកំណត់តម្លៃ \(x\) ។

ខ ចូរគណនាបរិមាត្រនិងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណ \(PAOB\) ។

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) មួយដែលមានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) និងអង្កត់ធ្នូ \(CD\) កាត់គ្នាត្រង់ចំណុច \(E\) ។ គេដឹងថា \(\angle CAB = 65^\circ\) ។

ក ចូរគណនារង្វាស់ \(\angle CDB\) ។

ខ គណនារង្វាស់ \(\angle COB\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាផលដក

\[\begin{aligned} 5\sqrt{50} - 8\sqrt{32} &= 5\sqrt{25 \times 2} - 8\sqrt{16 \times 2} \\ &= 5(5\sqrt{2}) - 8(4\sqrt{2}) \\ &= 25\sqrt{2} - 32\sqrt{2} \\ &= -7\sqrt{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle -7\sqrt{2}\)

២ រកចម្ងាយពីដីទៅចំណុចដែលជណ្តើរប៉ះជញ្ជាំង

តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} h^2 + 2^2 &= 4^2 \\ h^2 + 4 &= 16 \\ h^2 &= 12 \\ h &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\mathrm{m} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 2\sqrt{3}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ

ក

\[\begin{aligned} 19 - (3 - x) &= 5x \\ 19 - 3 + x &= 5x \\ 16 + x &= 5x \\ 4x &= 16 \\ x &= 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 4\)

ខ

\[\begin{aligned} \sqrt{3}x - 1 &= \sqrt{3} \\ \sqrt{3}x &= \sqrt{3} + 1 \\ x &= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \\ x &= \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}\)

គ

\[\begin{aligned} \frac{2k + 1}{3} + \frac{5 - k}{4} &= 1 - \frac{3k + 2}{6} \end{aligned}\]

តម្រូវភាគបែងរួម ១២៖

\[\begin{aligned} 4(2k + 1) + 3(5 - k) &= 12 - 2(3k + 2) \\ 8k + 4 + 15 - 3k &= 12 - 6k - 4 \\ 5k + 19 &= 8 - 6k \\ 5k + 6k &= 8 - 19 \\ 11k &= -11 \\ k &= -1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle k = -1\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តា

ក.

\[\begin{aligned} & 5x(x - 2) - 3(2 - x) \\ &= 5x(x - 2) + 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(5x + 3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x - 2)(5x + 3)\)

ខ.

\[\begin{aligned} & x^2(x + 5) - 9(x + 5) \\ &= (x + 5)(x^2 - 9) \\ &= (x + 5)(x - 3)(x + 3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x + 5)(x - 3)(x + 3)\)

គ.

\[\begin{aligned} & a^2 + b^2 - c^2 + 2ab \\ &= (a^2 + 2ab + b^2) - c^2 \\ &= (a + b)^2 - c^2 \\ &= (a + b - c)(a + b + c) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (a + b - c)(a + b + c)\)

២ រកការប្រាក់ទទួលបាន

ប្រាក់ដែលនៅសល់ក្រោយទិញម៉ូតូ៖

\[20 \times (1 - 0.25) = 20 \times 0.75 = 15 \text{ លានរៀល}\]

ការប្រាក់ទទួលបានក្នុង ១ឆ្នាំ៖

\[15 \times 0.12 = 1.8 \text{ លានរៀល}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle 1.8 \) លានរៀល

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

ក សម្រួលកន្សោម \(A\) និង \(B\)

\[\begin{aligned} A &= \frac{9x^2 - 1}{9x^2 + 6x + 1} \\ &= \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(3x + 1)^2} \\ &= \frac{3x - 1}{3x + 1} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = \frac{3x - 1}{3x + 1}\)

\[\begin{aligned} B &= \frac{x^2 - 9x + 20}{x(3x + 1) - 5(3x + 1)} \\ &= \frac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 5)(3x + 1)} \\ &= \frac{x - 4}{3x + 1} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = \frac{x - 4}{3x + 1}\)

ខ គណនាកន្សោម \(E\) និងលក្ខខណ្ឌ

\[\begin{aligned} E &= \frac{A}{B} \\ &= \frac{\dfrac{3x - 1}{3x + 1}}{\dfrac{x - 4}{3x + 1}} \\ &= \frac{3x - 1}{x - 4} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle E = \frac{3x - 1}{x - 4}\)

ដើម្បីឱ្យកន្សោម \(E\) គ្មានន័យ លុះត្រាតែភាគបែងទាំងអស់នៃប្រភាគស្មើ \(0\) ៖

\[3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\]

\[x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\]

\[x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x \in \left\{-\frac{1}{3}, 4, 5\right\}\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

១ រកចំនួននោះ

តាង \(x\) ជាចំនួននោះ

\[\begin{aligned} 2x - 2025 &= 2027 \\ 2x &= 2027 + 2025 \\ 2x &= 4052 \\ x &= 2026 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួននោះគឺ \(\displaystyle 2026\)

២ រកក្រុមហ៊ុនចំណេញជាង

ក្រុមហ៊ុន	តម្លៃថេរ	តម្លៃតាមចម្ងាយ
A	\(5000\) រៀល	\(0\) រៀល
B	\(2000\) រៀល	\(500\) រៀល / \(\mathrm{km}\)

ការចំណាយប្រើប្រាស់ក្រុមហ៊ុន A (តម្លៃថេរ \(= 5000\) រៀល/អតិថិជន) ៖

\[\begin{aligned} \text{ចំណាយសរុប A} &= (10 + 8) \times 5000 \\ &= 18 \times 5000 = 90\,000\,\text{៛} \end{aligned}\]

ការចំណាយប្រើប្រាស់ក្រុមហ៊ុន B ៖

ភ្ញៀវ \(10\) នាក់ ៖ \(10(2000 + 500 \times 5) = 45\,000\,\) ៛
ភ្ញៀវ \(8\) នាក់ ៖ \(8(2000 + 500 \times 7) = 44\,000\,\) ៛
ចំណាយសរុប B ៖ \(45\,000 + 44\,000 = 89\,000\,\) ៛

ដោយសង្កេតឃើញថា ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន B \((89\,000\,\) ៛ \()\) តិចជាងក្រុមហ៊ុន A \((90\,000\,\) ៛ \()\) ។

ដូចនេះ ៖ ក្រុមហ៊ុន \(\displaystyle B \) ចំណេញជាង

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ក កំណត់តម្លៃ \(x\)

លក្ខណៈបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ពីចំណុចមួយក្រៅរង្វង់ គឺ \(PA = PB\) ។

\[\begin{aligned} 3x - 5 &= x + 5 \\ 3x - x &= 5 + 5 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 5\)

ខ គណនាបរិមាត្រនិងផ្ទៃក្រឡាចតុកោណ \(PAOB\)

បើ \(x = 5\) នោះ \(PA = 3(5) - 5 = 10\,\mathrm{cm}\) និង \(PB = 10\,\mathrm{cm}\)

បរិមាត្រចតុកោណ \(PAOB\)៖

\[\begin{aligned} P &= PA + PB + OA + OB \\ &= 10 + 10 + 3 + 3 \\ &= 26\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P = 26\,\mathrm{cm}\)

ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណ \(PAOB\)៖

\[\begin{aligned} S &= S_{PAO} + S_{PBO} \\ &= \frac{1}{2}(PA \times OA) + \frac{1}{2}(PB \times OB) \\ &= \frac{1}{2}(10 \times 3) + \frac{1}{2}(10 \times 3) \\ &= 15 + 15 = 30\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle S = 30\,\mathrm{cm}^2\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

ក គណនារង្វាស់ \(\angle CDB\)

មុំ \(\angle CAB\) និង \(\angle CDB\) ជាមុំចារឹករង្វង់ស្កាត់ធ្នូ \(CB\) តែមួយ។ ដូច្នេះ វាមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។

\[\angle CDB = \angle CAB = 65^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle CDB = 65^\circ\)

ខ គណនារង្វាស់ \(\angle COB\)

មុំ \(\angle COB\) ជាមុំផ្ចិតស្កាត់ធ្នូ \(CB\) ដែលមានមុំចារឹករង្វង់ \(\angle CAB\) ស្កាត់ធ្នូដូចគ្នា។

\[\angle COB = 2 \times \angle CAB = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle COB = 130^\circ\)