វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៥

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ

១ ត្រីកោណ \(ABC\) មានជ្រុង \(AB=4, AC=x+1\) និង \(BC=x+3\) ។ រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឲ្យត្រីកោណ

\(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល \(A\) ។

☐ ក. \(x=4\)☐ ខ. \(x=2\)☐ គ. \(x=7\)☐ ឃ. \(x=0\)

២ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(x^2 = \dfrac{25}{49}\)

☐ ក. \(x = \pm\dfrac{25}{49}\)☐ ខ. \(x = \dfrac{25}{49}\)☐ គ. \(x = \pm\dfrac{5}{7}\)☐ ឃ. \(x = \dfrac{5}{7}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោមខាងក្រោម៖

\(A = 10\sqrt{48} - 6\sqrt{108} + 4\sqrt{12} \quad{} , \quad{} B = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \dfrac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)

\(C = \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5}) + \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + \sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយចំណោទខាងក្រោម៖

ក កុសុម៉ាចង់ទិញកង់មួយថ្លៃ \(350\,000\)៛ ឥឡូវនេះគាត់សន្សំបាន \(40\%\) នៃថ្លៃកង់រួចហើយ។

តើគាត់នៅខ្វះប្រាក់ប៉ុន្មានរៀលទៀតទើបទិញកង់នោះបាន?

ខ ប្រេងសាំងលក់ \(1\)លីត្រ ថ្លៃ \(4000\)៛ ឥឡូវនេះលក់ថ្លៃ \(4500\)៛។ តើប្រេងសាំងឡើងថ្លៃប៉ុន្មានភាគរយ?

IV. (២០ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិត \(A = (x-2)(x+1) + (x^2-4)\) និង \(B = x^2+x-6\) ។

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា។

ខ សម្រួលកន្សោម \(F = \dfrac{A}{B}\) ។

គ គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(F\) សម្រួលហើយបើ \(x=-1\) ។

V. (២០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមីការខាងក្រោម៖

ក \(\dfrac{x+4}{3} - \dfrac{x-4}{5} = 2 + \dfrac{3x-1}{15}\)

ខ \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)

គ \(2(x-1) + 3(x-2) \le 4(x-3)\)

ឃ \(\dfrac{3x-4}{2} - \dfrac{2x-5}{3} > \dfrac{x+8}{4}\)

VI. (២០ ពិន្ទុ)

គេមានចំណុច \(A(0, -2)\) និង \(B(2, -6)\) ។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) ។

ខ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \((AB)\) ។

គ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L\) ដែលកាត់តាមគល់ \(O\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \((AB)\) ។

ឃ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L'\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(C(-2, 1)\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \(L\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ ត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)

តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

\[\begin{aligned} (x+3)^2 &= 4^2 + (x+1)^2 \\ x^2 + 6x + 9 &= 16 + x^2 + 2x + 1 \\ 6x - 2x &= 17 - 9 \\ 4x &= 8 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle x = 2\)

២ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(x^2 = \dfrac{25}{49}\)

\[\begin{aligned} x &= \pm\sqrt{\frac{25}{49}} \\ &= \pm\frac{5}{7} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle x = \pm\dfrac{5}{7}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ) គណនាកន្សោម
\[\begin{aligned} A &= 10\sqrt{48} - 6\sqrt{108} + 4\sqrt{12} \\ &= 10\sqrt{16 \times 3} - 6\sqrt{36 \times 3} + 4\sqrt{4 \times 3} \\ &= 10(4\sqrt{3}) - 6(6\sqrt{3}) + 4(2\sqrt{3}) \\ &= 40\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 8\sqrt{3} \\ &= 12\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = 12\sqrt{3}\)

\[\begin{aligned} B &= \frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\ &= \frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} \\ &= \frac{2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3 - (2 - \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3)}{4 - 3} \\ &= \frac{5 + 3\sqrt{3} - (5 - 3\sqrt{3})}{1} \\ &= 5 + 3\sqrt{3} - 5 + 3\sqrt{3} \\ &= 6\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = 6\sqrt{3}\)

\[\begin{aligned} C &= \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5}) + \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \\ &\quad{}+ \sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) \\ &= \sqrt{6} - \sqrt{10} + \sqrt{15} - \sqrt{6} + \sqrt{10} - \sqrt{15} \\ &= 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle C = 0\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកប្រាក់ដែលគាត់នៅខ្វះដើម្បីទិញកង់បាន

កុសុម៉ាសន្សំប្រាក់បាន \(40\%\) នោះគាត់នៅខ្វះ \(100\% - 40\% = 60\%\) នៃថ្លៃកង់។

ប្រាក់ដែលនៅខ្វះគឺ៖

\[350\,000 \times \frac{60}{100} = 3500 \times 60 = 210\,000\,\text{៛}\]

ដូចនេះ ៖ នៅខ្វះប្រាក់ \(\displaystyle 210\,000\,\) ៛

ខ រកភាគរយប្រេងសាំងឡើងថ្លៃ

ប្រាក់ដែលឡើងថ្លៃ៖ \(4500 - 4000 = 500\,\) ៛

\[\text{ភាគរយឡើងថ្លៃ} = \frac{500}{4000} \times 100\% = 12.5\%\]

ដូចនេះ ៖ ប្រេងសាំងឡើងថ្លៃ \(\displaystyle 12.5\%\)

លំហាត់ IV (២០ ពិន្ទុ)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A &= (x-2)(x+1) + (x^2-4) \\ &= (x-2)(x+1) + (x-2)(x+2) \\ &= (x-2)(x + 1 + x + 2) \\ &= (x-2)(2x+3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = (x-2)(2x+3)\)

\[\begin{aligned} B &= x^2+x-6 \\ &= x^2+3x-2x-6 \\ &= x(x+3)-2(x+3) \\ &= (x-2)(x+3) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = (x-2)(x+3)\)

ខ សម្រួលកន្សោម \(F\)

\[\begin{aligned} F &= \frac{A}{B} \\ &= \frac{(x-2)(2x+3)}{(x-2)(x+3)} \end{aligned}\]

លក្ខខណ្ឌ \(x \neq 2, x \neq -3\)

\[F = \frac{2x+3}{x+3}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F = \frac{2x+3}{x+3}\)

គ គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(F\) បើ \(x=-1\)

\[\begin{aligned} F(-1) &= \frac{2(-1)+3}{-1+3} \\ &= \frac{-2+3}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F(-1) = \frac{1}{2}\)

លំហាត់ V (២០ ពិន្ទុ)

ក ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{x+4}{3} - \frac{x-4}{5} &= 2 + \frac{3x-1}{15} \\ 5(x+4) - 3(x-4) &= 30 + (3x-1) \\ 5x + 20 - 3x + 12 &= 30 + 3x - 1 \\ 2x + 32 &= 3x + 29 \\ 2x - 3x &= 29 - 32 \\ -x &= -3 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = 3\)

ខ ដោះស្រាយសមីការ \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)

\[\begin{aligned} \Delta &= (-3)^2 - 4(2)(-2) \\ &= 9 + 16 = 25 \end{aligned}\]

សមីការមានឫសពីរ៖

\[x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\]

\[x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 + 5}{4} = 2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = -\frac{1}{2}, \quad{} x = 2\)

គ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} 2(x-1) + 3(x-2) &\le 4(x-3) \\ 2x - 2 + 3x - 6 &\le 4x - 12 \\ 5x - 8 &\le 4x - 12 \\ 5x - 4x &\le -12 + 8 \\ x &\le -4 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x \le -4\)

ឃ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{3x-4}{2} - \frac{2x-5}{3} &> \frac{x+8}{4} \\ 6(3x-4) - 4(2x-5) &> 3(x+8) \\ 18x - 24 - 8x + 20 &> 3x + 24 \\ 10x - 4 &> 3x + 24 \\ 10x - 3x &> 24 + 4 \\ 7x &> 28 \\ x &> 4 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x > 4\)

លំហាត់ VI (២០ ពិន្ទុ)

គេមានចំណុច \(A(0, -2)\) និង \(B(2, -6)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\)

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(2 - 0)^2 + (-6 - (-2))^2} \\ &= \sqrt{2^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB = 2\sqrt{5}\)

ខ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស៖

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-6 - (-2)}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2\]

សមីការបន្ទាត់មានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - (-2) &= -2(x - 0) \\ y + 2 &= -2x \\ y &= -2x - 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = -2x - 2\)

គ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L\)

បន្ទាត់ \(L \parallel (AB)\) នាំឱ្យ៖

\[a_L = a_{AB} = -2\]

បន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមគល់ \(O(0, 0)\) សមីការមានរាង \(y = ax\)

\[y = -2x\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle L:\ y = -2x\)

ឃ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L'\)

បន្ទាត់ \(L' \perp L\) នាំឱ្យ៖

\[a_{L'} \times a_L = -1 \Rightarrow a_{L'} \times (-2) = -1 \Rightarrow a_{L'} = \frac{1}{2}\]

សមីការបន្ទាត់ \(L'\) កាត់តាម \(C(-2, 1)\) មានរាង \(y - y_C = a_{L'}(x - x_C)\)

\[\begin{aligned} y - 1 &= \frac{1}{2}(x - (-2)) \\ y &= \frac{1}{2}x + 1 + 1 \\ y &= \frac{1}{2}x + 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle L':\ y = \frac{1}{2}x + 2\)

តារាងតម្លៃលេខ

c \((AB): y = -2x - 2\)
\(\begin{array}{c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & -6 \end{array}\)
\(L: y = -2x\)
\(\begin{array}{c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & -2 \end{array}\)
\(L': y = \dfrac{1}{2}x + 2\)
\(\begin{array}{c|cc} x & 0 & -2 \\ \hline y & 2 & 1 \end{array}\)

សង់បន្ទាត់ \((AB), L\) និង \(L'\)