វិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ឆ្នាំ២០២៤

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០២ កញ្ញា ២០២៤

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{27}}{x}\)

☐ ក. \(x=\pm 3\)☐ ខ. \(x=3\)☐ គ. \(x=-3\)☐ ឃ. \(x=9\)

២ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុងនៃចតុកោណប៉ោងក្នុងប្លង់មានរង្វាស់ស្មើនឹង

☐ ក. \(60^\circ\)☐ ខ. \(90^\circ\)☐ គ. \(180^\circ\)☐ ឃ. \(360^\circ\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

ឫស្សី ៩ដើមមានប្រវែង (គិតជា \(m\)) ដូចជា \(4,12,10,8,2,4,a,8,4\) ។

១ រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(a\) ជាមធ្យមនៃប្រវែងដើមឫស្សីទាំងអស់

២ កំណត់ម៉ូត និងមេដ្យាននៃប្រវែងឫស្សីទាំងអស់

IV. (១០ ពិន្ទុ)

១ ចូរប្រាប់ឈ្មោះនៃពហុកោណមួយ ដែលមានអង្កត់ទ្រូងចំនួន ២០។

២ បើផលបូកមុំក្នុង នៃពហុកោណមួយស្មើនឹង បីដងផលបូកមុំក្រៅនៃរបស់វា។ ប្រាប់ឈ្មោះពហុកោណ

V. (១០ ពិន្ទុ)

ធុងពីរមានសាំង ១៥០លីត្រ។ បើគេយកសាំង ១៣លីត្រចេញពីធុងទី១ និងយកសាំង ៣៥លីត្រចេញពីធុងទី២

នោះធុងទាំងពីរនៅសល់សាំងស្មើគ្នា។ តើធុងនីមួយៗ មានសាំងប៉ុន្មានលីត្រ?

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចខៀវ ២០ដើម និងប៊ិចក្រហមខ្លះទៀត។ គេដឹងថា ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បាន

ប៊ិចខៀវមួយដើមស្មើនឹង \(\dfrac{4}{5}\)។

ក រកចំនួនប៊ិចពណ៌ក្រហម

ខ តើគេត្រូវបន្ថែមប៊ិចក្រហមចូលក្នុងប្រអប់ប៉ុន្មានដើមទៀត ដើម្បីឱ្យប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បាន

ប៊ិចក្រហមមួយដើមជាថ្មីស្មើនឹង \(\dfrac{2}{7}\)។

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមែតមួយ ចូរដៅចំណុច \(A(1,2)\) \(B(3,-2)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=\dfrac{1}{2}x+1\)។

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

៣ បង្ហាញថាចំណុច \(A\) និង \(B\) ស្ថិតលើបន្ទាត់ \(d\) ឬអត់?

VIII. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=10cm\) និងចំណុច \(M\) មួយនៅលើរង្វង់ដែលអង្កត់ \(BM=6cm\)។

គេបន្លាយអង្កត់ \(AB\) ខាង \(B\) ឱ្យបាន \(BD=BM\) រួចគូសបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹងអង្កត់ \(BD\) ត្រង់ \(D\) ហើយកាត់បន្ទាត់ \(AM\)

ត្រង់ចំណុច \(N\)។

១ គណនារង្វាស់អង្កត់ \(AM\) និង \(AD\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MAB\) និង \(\triangle DAN\) រួចគណនារង្វាស់ \(AN\) និង \(DN\)

៣ បង្ហាញថាចតុកោណ \(BMND\) ចារិកក្នុងរង្វង់ ហើយប្រាប់ទីតាំងនៃផ្ចិត \(I\) របស់រង្វង់

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{27}}{x}\)

\[\begin{aligned} \frac{x}{\sqrt3}&=\frac{\sqrt{27}}{x}\\ x^2&=\sqrt3\cdot\sqrt{27}\\ &=\sqrt{81}=9\\ x&=\pm3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle x=\pm 3\)

២ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុងនៃចតុកោណប៉ោង

តាមរូបមន្ត \((n-2)180^\circ\)

\[(4-2)\times180^\circ=360^\circ\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle 360^\circ\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យ

\[A=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\]

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\\ &=x^2-4x+4+(6x-3x^2+18-9x)+5x^2-20\\ &=x^2-3x^2+5x^2-4x+6x-9x+4+18-20\\ &=3x^2-7x+2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=3x^2-7x+2\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

គេមាន \(A=3x^2-7x+2\)

តាមវិធីខ្វែង

ដូចនេះ

\[A=(3x-1)(x-2)\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(3x-1)(x-2)\)

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

\[(3x-1)(x-2)=0\]

\[3x-1=0 \quad{} \text{ឬ}\quad{} x-2=0\]

\[x=\frac13 \quad{} \text{ឬ}\quad{} x=2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=\frac 13\) ឬ \(\displaystyle x=2\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(a\) ជាមធ្យម

ផលបូកប្រវែងឫស្សីទាំងអស់លើកលែង \(a\) គឺ

\[4+12+10+8+2+4+8+4=52\]

ដោយ \(a\) ជាមធ្យម

\[\begin{aligned} a&=\frac{52+a}{9}\\ 9a&=52+a\\ 8a&=52\\ a&=\frac{52}{8}=\frac{13}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle a=\frac{13}{2}=6.5\)

២ កំណត់ម៉ូត និងមេដ្យាន

រៀបតាមលំដាប់កើន

\[2,\ 4,\ 4,\ 4,\ \frac{13}{2},\ 8,\ 8,\ 10,\ 12\]

ម៉ូតគឺតម្លៃដែលកើតឡើងច្រើនជាងគេ ហើយមេដ្យានគឺតម្លៃទី \(5\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle Mo=4,\quad{} Me=\frac{13}{2}\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

១ ពហុកោណមានអង្កត់ទ្រូង \(20\)

\[\begin{aligned} \frac{n(n-3)}{2}&=20\\ n(n-3)&=40\\ n^2-3n-40&=0\\ (n-8)(n+5)&=0 \end{aligned}\]

ដោយ \(n>0\) នោះ \(n=8\)

ដូចនេះ ៖ ពហុកោណនេះជាអដ្ឋកោណ

២ បើផលបូកមុំក្នុងស្មើនឹងបីដងផលបូកមុំក្រៅ

ផលបូកមុំក្រៅនៃពហុកោណស្មើ \(360^\circ\)

\[\begin{aligned} (n-2)180^\circ&=3\times360^\circ\\ n-2&=6\\ n&=8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ពហុកោណនេះជាអដ្ឋកោណ

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

តាង \(x\) ជាចំនួនសាំងក្នុងធុងទី \(1\) និង \(y\) ជាចំនួនសាំងក្នុងធុងទី \(2\)

\[\begin{cases} x+y=150\\ x-13=y-35 \end{cases}\]

ពីសមីការទី \(2\) បាន

\[x-y=-22\]

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ

\[\begin{aligned} x+y&=150\\ x-y&=-22\\ \hline 2x&=128\\ x&=64 \end{aligned}\]

យក \(x=64\) ជំនួសក្នុង \(x+y=150\)

\[y=150-64=86\]

ផ្ទៀងផ្ទាត់

\[\begin{aligned} 64+86&=150\\ 64-13&=51\\ \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ធុងទី១ គឺ \(\displaystyle 64\) លីត្រ \(\displaystyle ,\quad{} \) ធុងទី២ គឺ \(\displaystyle 86\) លីត្រ

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ក រកចំនួនប៊ិចពណ៌ក្រហម

តាង \(r\) ជាចំនួនប៊ិចពណ៌ក្រហម

ចំនួនករណីអាច \(=20+r\)
ចំនួនករណីស្រប \(=20\)

\[P(\text{ខៀវ})=\frac{20}{20+r}\]

តែ \(P(\) ខៀវ \()=\dfrac45\) (បម្រាប់)

\[\begin{aligned} \frac{20}{20+r}&=\frac45\\ 100&=80+4r\\ 4r&=20\\ r&=5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ប៊ិចពណ៌ក្រហមមាន \(\displaystyle 5\) ដើម

ខ រកចំនួនប៊ិចក្រហមដែលត្រូវបន្ថែម

តាង \(k\) ជាចំនួនប៊ិចក្រហមដែលត្រូវបន្ថែម

ចំនួនករណីអាច \(=25+k\)
ចំនួនករណីស្រប \(=5+k\)

\[P(\text{ក្រហម})=\frac{5+k}{25+k}\]

តែ \(P(\) ក្រហម \()=\dfrac27\) (បម្រាប់)

\[\begin{aligned} \frac{5+k}{25+k}&=\frac27\\ 7(5+k)&=2(25+k)\\ 35+7k&=50+2k\\ 5k&=15\\ k&=3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ត្រូវបន្ថែមប៊ិចក្រហម \(\displaystyle 3\) ដើម

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

ដៅចំណុច \(A(1,2)\), \(B(3,-2)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=\dfrac12x+1\)

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2}\\ &=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt 5\)

រកកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) &=M\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)\\ &=M(2,0) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M(2,0)\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & AB:\ y-y_A=a(x-x_A)\\[3pt] \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{-2-2}{3-1} =\frac{-4}{2}=-2\\[3pt] \text{នោះ}\qquad{} y-2&=-2(x-1)\\ y&=-2x+4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y=-2x+4\)

៣ បង្ហាញថាចំណុច \(A\) និង \(B\) ស្ថិតលើបន្ទាត់ \(d\) ឬអត់

ចំពោះ \(A(1,2)\)

\[\frac12(1)+1=\frac32\neq2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A \) មិនស្ថិតលើ \(\displaystyle d\)

ចំពោះ \(B(3,-2)\)

\[\frac12(3)+1=\frac52\neq-2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B \) មិនស្ថិតលើ \(\displaystyle d\)

លំហាត់ VIII (២៥ ពិន្ទុ)

១ គណនារង្វាស់អង្កត់ \(AM\) និង \(AD\)

គេមាន

\[\angle AMB=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle MAB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(M\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(MAB\)

\[\begin{aligned} AM^2&=AB^2-BM^2\quad{} \text{(ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ)}\\ &=10^2-6^2=100-36=64\\ AM&=8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AM=8\,\mathrm{cm}\)

ហើយ \(BD=BM=6\,\mathrm{cm}\)

\[AD=AB+BD=10+6=16\,\mathrm{cm}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AD=16\,\mathrm{cm}\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MAB\) និង \(\triangle DAN\)
រួចគណនា \(AN\) និង \(DN\)

គេមាន

\[\angle AMB=90^\circ\quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)}\]

\[\angle ADN=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }d\perp BD\text{ ត្រង់ }D\text{)}\]

នាំឱ្យ

\[\angle AMB=\angle ADN=90^\circ\]

ហើយ

\[\angle MAB=\angle DAN \quad{}\text{(ជាមុំរួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MAB\sim\triangle DAN \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle MAB & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{DA}{MA}=\frac{AN}{AB}=\frac{DN}{MB}\\[-1pt] \triangle DAN & \end{array}\]

ដោយ

\[\frac{DA}{MA}=\frac{16}{8}=2\]

នោះ

\[AN=2\times AB=2\times10=20\,\mathrm{cm}\]

\[DN=2\times MB=2\times6=12\,\mathrm{cm}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AN=20\,\mathrm{cm},\quad{} DN=12\,\mathrm{cm}\)

៣ បង្ហាញថាចតុកោណ \(BMND\) ចារិកក្នុងរង្វង់ ហើយប្រាប់ទីតាំងផ្ចិត \(I\)

គេមាន

\[\angle AMB=90^\circ\quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)}\]

ដោយ \(A,M,N\) នៅលើបន្ទាត់តែមួយ នោះ

\[\angle BMN=90^\circ\]

ហើយ

\[\angle BDN=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }d\perp BD\text{ ត្រង់ }D\text{)}\]

ដូចនេះ

\[\angle BMN+\angle BDN=180^\circ\]

នាំឱ្យចតុកោណ \(BMND\) ចារិកក្នុងរង្វង់។

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BMND\) ចារិកក្នុងរង្វង់

ព្រោះ \(\angle BMN=90^\circ\) និង \(\angle BDN=90^\circ\) នោះ \(BN\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារិក។

ហេតុនេះ ផ្ចិត \(I\) ស្ថិតនៅកណ្តាលអង្កត់ \(BN\)។

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(\displaystyle BN\)