វិញ្ញាសាព្យាករណ៍សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៣

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{8}}{x}\)

☐ ក. \(x=\pm 2\)☐ ខ. \(x=2\)☐ គ. \(x=-2\)☐ ឃ. \(x=4\)

២ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុងនៃបញ្ចកោណប៉ោងក្នុងប្លង់មានរង្វាស់ស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

☐ ក. \(360^\circ\)☐ ខ. \(540^\circ\)☐ គ. \(720^\circ\)☐ ឃ. \(900^\circ\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោមខាងក្រោម

១. \(A=\sqrt{27}-2\sqrt{12}+\sqrt{75}\) ២. \(B=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម

១. \(\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x-3}{3}=1\) ២. \(\begin{cases} 3x-y=5 \\ x+2y=4 \end{cases}\)

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោមពីជគណិត \(A=(2x-1)^2-9\) និង \(B=x^2-4x+4\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

ខ. សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\dfrac{A}{B}\) គ. គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម \(F\) បើ \(x=-1\)

V. (១៥ ពិន្ទុ)

PISA៖ សេវាកម្មកក់តាក់ស៊ី (Taxi App)

ក្រុមហ៊ុនកក់តាក់ស៊ីតាមទូរស័ព្ទចំនួនពីរមានជម្រើសគិតប្រាក់ឈ្នួលខុសគ្នាដូចខាងក្រោម៖

ក្រុមហ៊ុន	ថ្លៃសេវាហៅដំបូង	តម្លៃក្នុងមួយ \(\mathrm{km}\)
A	\(4000\) រៀល	\(1500\) រៀល
B	\(0\) រៀល	\(2500\) រៀល

ក បើសុជាតាធ្វើដំណើរក្នុងចម្ងាយ \(2\,\mathrm{km}\) តើនាងត្រូវចំណាយប្រាក់តិចបំផុតប៉ុន្មាន?

☐ A. \(4000\) ៛☐ B. \(5000\) ៛☐ C. \(7000\) ៛☐ D. \(8000\) ៛

ខ បើសុជាតាធ្វើដំណើរក្នុងចម្ងាយ \(10\,\mathrm{km}\) តើក្រុមហ៊ុនមួយណាដែលចំណេញជាង?

គ តើសុជាតាត្រូវធ្វើដំណើរក្នុងចម្ងាយប៉ុន្មាន \(\mathrm{km}\) ទើបការចំណាយលើក្រុមហ៊ុនទាំងពីរមានតម្លៃស្មើគ្នា?

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន \(3\) គ្រាប់ និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន \(5\) គ្រាប់។

គេចាប់យកឃ្លីម្តង \(2\) គ្រាប់ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន

ក. ឃ្លីពណ៌ខៀវទាំងពីរគ្រាប់ ខ. ឃ្លីពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយគ្រាប់

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេឱ្យចំណុច \(A(-1,3)\) និង \(B(3,-1)\)។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

ខ. រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\) គ. រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(M\) កែងនឹង \((AB)\)

VIII. (១៥ ពិន្ទុ)

រង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R=5\,\mathrm{cm}\) មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\)។ \(C\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែល \(AC=8\,\mathrm{cm}\)។

បន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(C\) កាត់បន្ទាត់ \(AB\) បន្លាយត្រង់ចំណុច \(D\)។

ក. ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABC\) រួចគណនា \(BC\) ខ. គូសកម្ពស់ \(CH\) នៃ \(\triangle ABC\) រួចគណនា \(CH, AH\)

គ ប្រៀបធៀប \(\triangle DAC\) និង \(\triangle DCB\) រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(DC^2=DA\times DB\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{8}}{x}\)

\[\begin{aligned} \frac{x}{\sqrt{2}}&=\frac{\sqrt{8}}{x}\\ x^2&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}\\ x^2&=\sqrt{16}=4\\ x&=\pm 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle x=\pm 2\)

២ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុងនៃបញ្ចកោណប៉ោងក្នុងប្លង់

តាមរូបមន្ត \((n-2)\times 180^\circ\) បញ្ចកោណមាន \(n=5\)

\[\begin{aligned} (5-2)\times 180^\circ&=3\times 180^\circ\\ &=540^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 540^\circ\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=\sqrt{27}-2\sqrt{12}+\sqrt{75}\\ &=\sqrt{9\times 3}-2\sqrt{4\times 3}+\sqrt{25\times 3}\\ &=3\sqrt{3}-2(2\sqrt{3})+5\sqrt{3}\\ &=3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+5\sqrt{3}\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=4\sqrt{3}\)

២ គណនាកន្សោម \(B\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\ &=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2+(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}\\ &=\frac{(7-2\sqrt{35}+5)+(7+2\sqrt{35}+5)}{7-5}\\ &=\frac{12-2\sqrt{35}+12+2\sqrt{35}}{2}\\ &=\frac{24}{2}=12 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=12\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{x+1}{2}-\frac{2x-3}{3}&=1\\ 3(x+1)-2(2x-3)&=6\\ 3x+3-4x+6&=6\\ -x+9&=6\\ -x&=6-9\\ -x&=-3 \Rightarrow x=3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=3\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 3x-y=5 \quad{} &(1)\\ x+2y=4 \quad{} &(2) \end{cases}\]

តាមសមីការ (2) \(x = 4-2y\) ជំនួសចូលសមីការ (1)៖

\[\begin{aligned} 3(4-2y)-y&=5\\ 12-6y-y&=5\\ -7y&=-7 \Rightarrow y=1 \end{aligned}\]

ជំនួស \(y=1\) ក្នុង \(x=4-2y\)៖

\[x = 4-2(1)=2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(2,1)\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

គេមាន \(A=(2x-1)^2-9\) និង \(B=x^2-4x+4\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា

\[\begin{aligned} A&=(2x-1)^2-3^2\\ &=(2x-1-3)(2x-1+3)\\ &=(2x-4)(2x+2)\\ &=2(x-2)\cdot 2(x+1)\\ &=4(x-2)(x+1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=4(x-2)(x+1)\)

\[\begin{aligned} B&=x^2-4x+4\\ &=x^2-2(x)(2)+2^2\\ &=(x-2)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=(x-2)^2\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(F=\dfrac{A}{B}\)

\[\begin{aligned} F&=\frac{4(x-2)(x+1)}{(x-2)^2} \end{aligned}\]

ចំពោះ \(x\neq 2\)

\[F=\frac{4(x+1)}{x-2}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F=\frac{4(x+1)}{x-2}\)

គ គណនាតម្លៃលេខនៃ \(F\) បើ \(x=-1\)

\[\begin{aligned} F(-1)&=\frac{4(-1+1)}{-1-2}\\ &=\frac{4(0)}{-3}=0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F(-1)=0\)

លំហាត់ V (១៥ ពិន្ទុ)

ក បើសុជាតាធ្វើដំណើរចម្ងាយ \(2\,\mathrm{km}\)

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន A៖

\[4000+1500\times 2 = 4000+3000 = 7000\text{ ៛}\]

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន B៖

\[2500\times 2 = 5000\text{ ៛}\]

ដោយ \(5000\) ៛ \( < 7000\) ៛

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស B. \(\displaystyle 5000\) ៛

ខ បើសុជាតាធ្វើដំណើរចម្ងាយ \(10\,\mathrm{km}\)

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន A៖

\[4000+1500\times 10 = 4000+15\,000 = 19\,000\text{ ៛}\]

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន B៖

\[2500\times 10 = 25\,000\text{ ៛}\]

ដោយ \(19\,000\) ៛ \( < 25\,000\) ៛

ដូចនេះ ៖ ក្រុមហ៊ុន A ចំណេញជាង

គ តើសុជាតាត្រូវធ្វើដំណើរចម្ងាយប៉ុន្មានទើបចំណាយស្មើគ្នា?

តាង \(x\) ជាចម្ងាយនៃការធ្វើដំណើរគិតជា \(\mathrm{km}\) (\(x>0\))

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន A៖ \(4000+1500x\)

ការចំណាយលើក្រុមហ៊ុន B៖ \(2500x\)

ដើម្បីឱ្យការចំណាយលើក្រុមហ៊ុនទាំងពីរស្មើគ្នា គេបាន៖

\[\begin{aligned} 2500x &= 4000+1500x\\ 2500x-1500x &= 4000\\ 1000x &= 4000\\ x &= \frac{4000}{1000}=4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ចម្ងាយ \(\displaystyle 4\,\mathrm{km}\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនឃ្លីសរុប \(3+5=8\) គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លីម្តង \(2\) គ្រាប់ (មានន័យថាចាប់ដោយមិនដាក់វិញ)។

ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ខៀវទាំងពីរគ្រាប់

ចាប់លើកទី១ បានឃ្លីខៀវមានប្រូបាប \(\frac{5}{8}\)

នៅសល់ឃ្លី ៧គ្រាប់ ក្នុងនោះមានឃ្លីខៀវ ៤គ្រាប់។

\[\begin{aligned} P(\text{ខៀវ, ខៀវ})&=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}\\ &=\frac{20}{56}=\frac{5}{14} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ, ខៀវ \(\displaystyle )=\frac{5}{14}\)

ខ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយគ្រាប់

ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងពីរ។

\[\begin{aligned} P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិច១})&=1-P(\text{ខៀវ, ខៀវ})\\ &=1-\frac{5}{14}\\ &=\frac{9}{14} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហមយ៉ាងតិច១ \(\displaystyle )=\frac{9}{14}\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(-1,3)\) និង \(B(3,-1)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-(-1))^2+(-1-3)^2}\\ &=\sqrt{4^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} \end{aligned}\]

កូអរដោនេចំណុច \(M\) កណ្តាល \(AB\)

\[\begin{aligned} M&=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ &=\left(\frac{-1+3}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)\\ &=(1,1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=4\sqrt{2},\quad{} M(1,1)\)

ខ រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB}=\frac{-1-3}{3-(-1)}=\frac{-4}{4}=-1\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-3&=-1(x-(-1))\\ y&=-x-1+3\\ y&=-x+2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=-x+2\)

គ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(M\) កែងនឹង \((AB)\)

ដោយ \((\Delta)\perp (AB)\) នោះ \(a_\Delta\cdot a_{AB}=-1 \Rightarrow a_\Delta(-1)=-1 \Rightarrow a_\Delta=1\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(M(1,1)\)៖

\[\begin{aligned} y-y_M&=a_\Delta(x-x_M)\\ y-1&=1(x-1)\\ y&=x-1+1\\ y&=x \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y=x\)

លំហាត់ VIII (១៥ ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABC\) រួចគណនា \(BC\)

ដោយ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ \((O)\) នោះ \(\angle ACB=90^\circ\) (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)

នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)។

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} BC^2&=AB^2-AC^2\\ BC^2&=(2\times 5)^2-8^2=100-64\\ BC^2&=36 \Rightarrow BC=\sqrt{36}=6\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} \triangle ABC\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }C \\ \text{ និង } BC=6\,\mathrm{cm} \end{gathered}\)

ខ គូសកម្ពស់ \(CH\) នៃ \(\triangle ABC\) រួចគណនា \(CH, AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)៖

\[\begin{aligned} CH\times AB &= AC\times BC\\ CH\times 10 &= 8\times 6\\ 10CH &= 48 \Rightarrow CH = 4.8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

និង

\[\begin{aligned} AC^2 &= AH\times AB\\ 8^2 &= AH\times 10\\ 64 &= 10AH \Rightarrow AH = 6.4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle CH=4.8\,\mathrm{cm},\quad{} AH=6.4\,\mathrm{cm}\)

គ ប្រៀបធៀប \(\triangle DAC\) និង \(\triangle DCB\)

គេមាន៖

\(\angle D\) ជាមុំរួម

\(\angle DCA = \angle DBC\quad{}\) (មុំរវាងបន្ទាត់ប៉ះនិងខ្សែអង្កត់ ស្មើនឹងមុំចារឹករង្វង់ ដែលស្កាត់ធ្នូ \(AC\) ដូចគ្នា)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle DAC \sim \triangle DCB \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញបញ្ជាក់ថា \(DC^2=DA\times DB\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle DAC & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{DC}{DB} = \frac{DA}{DC}\\[-1pt] \triangle DCB & \end{array}\]

គេបាន

\[DC\times DC = DA \times DB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle DC^2 = DA \times DB\)