វិញ្ញាសាព្យាករណ៍សញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី២

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ គណនាផលបូក \(3\sqrt{48}-5\sqrt{75}+2\sqrt{27}\)

☐ ក. \(-7\sqrt{3}\)☐ ខ. \(7\sqrt{3}\)☐ គ. \(-5\sqrt{3}\)☐ ឃ. \(5\sqrt{3}\)

២ គេមានបន្ទាត់ \(d:y=-2x+4\) និងបន្ទាត់ \(L:y=mx-1\)។ រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(d\perp L\)

☐ ក. \(m=2\)☐ ខ. \(m=-2\)☐ គ. \(m=\dfrac{1}{2}\)☐ ឃ. \(m=-\dfrac{1}{2}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោមខាងក្រោម

\(A=12\sqrt{45}-7\sqrt{20}+4\sqrt{80}\) \(B=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)

\(C=(3+\sqrt{5}+\sqrt{2})(3+\sqrt{5}-\sqrt{2})\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធវិសមីការខាងក្រោម

ក. \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+4}{6}=2-\dfrac{x-2}{2}\) គ. \((x-3)^2-4(x-3)=0\)

ខ \(\begin{cases} 3x-2 \leq 2x+5 \\ 4x+1 > 2x-7 \end{cases}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោម \(A=x^2-25-(2x-3)(x-5)\) និង \(B=x^2-10x+25\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(P=\dfrac{A}{B}\)

គ កំណត់តម្លៃ \(x\) ដែលធ្វើឱ្យកន្សោម \(P\) គ្មានន័យ

V. (១០ ពិន្ទុ)

សុភាមានប្រាក់ \(1\,200\,000\) រៀល។ គាត់យក \(35\%\) នៃប្រាក់នេះទៅទិញទូរស័ព្ទ ហើយយកប្រាក់ដែលនៅសល់

ទៅដាក់ធនាគារដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ \(8\%\) ក្នុងមួយឆ្នាំ។

ក. រកប្រាក់ដែលគាត់នៅសល់ក្រោយទិញទូរស័ព្ទ ខ. រកការប្រាក់ដែលគាត់ទទួលបានក្នុងមួយឆ្នាំ

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានគ្រាប់បាល់ពណ៌ស និងពណ៌ខៀវសរុប \(36\) គ្រាប់។ គេដឹងថាប្រូបាបចាប់បានគ្រាប់បាល់

ពណ៌ខៀវមួយគ្រាប់ស្មើនឹង \(\dfrac{5}{9}\)។

ក. រកចំនួនគ្រាប់បាល់ពណ៌ខៀវ ខ. រកប្រូបាបចាប់បានគ្រាប់បាល់ពណ៌ស

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) គេឱ្យចំណុច \(A(-3,2)\), \(B(1,-6)\) និង \(C(2,3)\)។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

ខ រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

គ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាម \(C\) ហើយស្របនឹង \((AB)\)

ឃ រកសមីការបន្ទាត់ \((L)\) ដែលកាត់តាម \(M\) ហើយកែងនឹង \((AB)\)

VIII. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(3\,\mathrm{cm}\)។ ពីចំណុច \(P\) ក្រៅរង្វង់ គេគូសបន្ទាត់ប៉ះ \(PA\) និង \(PB\)

ទៅរង្វង់ត្រង់ \(A\) និង \(B\)។ គេដឹងថា \(PA=3x-5\) និង \(PB=x+1\)។

ក. រកតម្លៃ \(x\) និងប្រវែង \(PA\) ខ. បង្ហាញថា \(OA\perp PA\) និង \(OB\perp PB\)

គ គណនាបរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណ \(PAOB\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាផលបូក \(3\sqrt{48}-5\sqrt{75}+2\sqrt{27}\)

\[\begin{aligned} A &= 3\sqrt{48}-5\sqrt{75}+2\sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{16\times 3}-5\sqrt{25\times 3}+2\sqrt{9\times 3}\\ &= 3(4\sqrt{3})-5(5\sqrt{3})+2(3\sqrt{3})\\ &= 12\sqrt{3}-25\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\ &= -7\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle -7\sqrt{3}\)

២ រកតម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(d\perp L\)

បន្ទាត់ \(d:y=-2x+4\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_d=-2\)
បន្ទាត់ \(L:y=mx-1\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a_L=m\)

ដើម្បីឱ្យ \(d\perp L\) លុះត្រាតែ \(a_d \times a_L = -1\)

\[\begin{aligned} -2m &= -1\\ m &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle m=\frac{1}{2}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោម \(A\), \(B\) និង \(C\)

\[\begin{aligned} A&=12\sqrt{45}-7\sqrt{20}+4\sqrt{80}\\ &=12(3\sqrt{5})-7(2\sqrt{5})+4(4\sqrt{5})\\ &=36\sqrt{5}-14\sqrt{5}+16\sqrt{5}\\ &=38\sqrt{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=38\sqrt{5}\)

\[\begin{aligned} B&=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\ &=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\\ &=\frac{(5-2\sqrt{15}+3)+(5+2\sqrt{15}+3)}{5-3}\\ &=\frac{8-2\sqrt{15}+8+2\sqrt{15}}{2}\\ &=\frac{16}{2}=8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=8\)

\[\begin{aligned} C&=(3+\sqrt{5}+\sqrt{2})(3+\sqrt{5}-\sqrt{2})\\ &=(3+\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2\\ &=9+6\sqrt{5}+5-2\\ &=12+6\sqrt{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle C=12+6\sqrt{5}\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដោះស្រាយសមីការ \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+4}{6}=2-\dfrac{x-2}{2}\)

\[\begin{aligned} \frac{2x-1}{3}-\frac{x+4}{6}&=2-\frac{x-2}{2}\\ 2(2x-1)-(x+4)&=12-3(x-2)\\ 4x-2-x-4&=12-3x+6\\ 3x-6&=18-3x\\ 6x&=24\\ x&=4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=4\)

ខ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ \(\begin{cases} 3x-2 \leq 2x+5 \\ 4x+1 > 2x-7 \end{cases}\)

\[\begin{cases} 3x-2 \leq 2x+5 \quad{} &(1)\\ 4x+1 > 2x-7 \quad{} &(2) \end{cases}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (1):

\[\begin{aligned} 3x-2x&\le 5+2\\ x&\le 7 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (2):

\[\begin{aligned} 4x-2x&>-7-1\\ 2x&>-8\\ x&>-4 \end{aligned}\]

ប្រសព្វចម្លើយទាំងពីរ៖

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle -4 < x \le 7\)

គ ដោះស្រាយសមីការ \((x-3)^2-4(x-3)=0\)

\[\begin{aligned} (x-3)^2-4(x-3)&=0\\ (x-3)(x-3-4)&=0\\ (x-3)(x-7)&=0\\ x-3=0\quad{}&\text{ឬ}\quad{} x-7=0\\ x=3\quad{}&\text{ឬ}\quad{} x=7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=3\) ឬ \(\displaystyle x=7\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

គេមានកន្សោម \(A=x^2-25-(2x-3)(x-5)\)
និង \(B=x^2-10x+25\)

ក ដាក់កន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

\[\begin{aligned} A&=x^2-25-(2x-3)(x-5)\\ &=(x-5)(x+5)-(2x-3)(x-5)\\ &=(x-5)(x+5-2x+3)\\ &=(x-5)(-x+8) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(x-5)(-x+8)\)

\[\begin{aligned} B&=x^2-10x+25\\ &=(x-5)^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=(x-5)^2\)

ខ សម្រួលកន្សោមសនិទាន \(P=\dfrac{A}{B}\)

\[P=\frac{(x-5)(-x+8)}{(x-5)^2}\]

ចំពោះ \(x \neq 5\)

\[P=\frac{-x+8}{x-5}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=\frac{-x+8}{x-5}\)

គ កំណត់តម្លៃ \(x\) ដែលធ្វើឱ្យកន្សោម \(P\) គ្មានន័យ

កន្សោម \(P\) គ្មានន័យលុះត្រាតែភាគបែងស្មើ \(0\) ៖

\[x-5=0 \Rightarrow x=5\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=5\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

សុភាមានប្រាក់ \(1\,200\,000\) រៀល។

ក រកប្រាក់ដែលគាត់នៅសល់ក្រោយទិញទូរស័ព្ទ

ប្រាក់យកទៅទិញទូរស័ព្ទ៖

\[1\,200\,000\times \frac{35}{100}=420\,000\text{ ៛}\]

ប្រាក់នៅសល់៖

\[1\,200\,000-420\,000=780\,000\text{ ៛}\]

ដូចនេះ ៖ ប្រាក់នៅសល់ \(\displaystyle 780\,000\) ៛

ខ រកការប្រាក់ដែលគាត់ទទួលបានក្នុងមួយឆ្នាំ (អត្រា \(8\%\))

\[780\,000\times 8\% = 780\,000\times \frac{8}{100}=62\,400\text{ ៛}\]

ដូចនេះ ៖ ការប្រាក់ \(\displaystyle 62\,400\) ៛

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនគ្រាប់បាល់សរុបមាន \(36\) គ្រាប់។

ក រកចំនួនគ្រាប់បាល់ពណ៌ខៀវ

តាង \(n\) ជាចំនួនបាល់ពណ៌ខៀវ។
ប្រូបាបចាប់បានបាល់ខៀវគឺ \(P=\frac{5}{9}\)

\[\begin{aligned} \frac{n}{36}&=\frac{5}{9}\\ n&=\frac{36\times 5}{9}=20 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ បាល់ខៀវ \(\displaystyle 20 \) គ្រាប់

ខ រកប្រូបាបចាប់បានគ្រាប់បាល់ពណ៌ស

ព្រឹត្តិការណ៍នេះជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បានបាល់ពណ៌ខៀវ៖

\[P(\text{ស})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ស \(\displaystyle )=\frac{4}{9}\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(-3,2)\), \(B(1,-6)\) និង \(C(2,3)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(1-(-3))^2+(-6-2)^2}\\ &=\sqrt{4^2+(-8)^2}\\ &=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \end{aligned}\]

កូអរដោនេចំណុច \(M\) ជាកណ្តាល \([AB]\)

\[\begin{aligned} M&=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ &=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+(-6)}{2}\right)\\ &=(-1,-2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=4\sqrt{5},\quad{} M(-1,-2)\)

ខ រកសមីការបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស

\[a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-6-2}{1-(-3)}=\frac{-8}{4}=-2\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a_{AB}(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-2&=-2(x-(-3))\\ y&=-2x-6+2\\ y&=-2x-4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y=-2x-4\)

គ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាម \(C\) ហើយស្របនឹង \((AB)\)

ដោយ \((\Delta)\parallel(AB)\) នោះ \(a_\Delta=a_{AB}=-2\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(C(2,3)\)៖

\[\begin{aligned} y-y_C&=a_\Delta(x-x_C)\\ y-3&=-2(x-2)\\ y&=-2x+4+3\\ y&=-2x+7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y=-2x+7\)

ឃ រកសមីការបន្ទាត់ \((L)\) ដែលកាត់តាម \(M\) ហើយកែងនឹង \((AB)\)

ដោយ \((L)\perp(AB)\) នោះ \(a_L\cdot a_{AB}=-1 \Rightarrow a_L(-2)=-1 \Rightarrow a_L=\frac{1}{2}\)

បន្ទាត់ \((L)\) កាត់តាម \(M(-1,-2)\)៖

\[\begin{aligned} y-y_M&=a_L(x-x_M)\\ y-(-2)&=\frac{1}{2}(x-(-1))\\ y+2&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\ y&=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (L):\ y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)

លំហាត់ VIII (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកតម្លៃ \(x\) និងប្រវែង \(PA\)

តាមលក្ខណៈបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ចេញពីចំណុចមួយនៅក្រៅរង្វង់ គឺ \(PA=PB\)។

\[\begin{aligned} 3x-5&=x+1\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{aligned}\]

ប្រវែង \(PA=3(3)-5=9-5=4\,\mathrm{cm}\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=3,\quad{} PA=4\,\mathrm{cm}\)

ខ បង្ហាញថា \(OA\perp PA\) និង \(OB\perp PB\)

គេមាន

\[\angle OAP=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }PA\text{ ប៉ះរង្វង់ត្រង់ }A\text{)}\]

នាំឱ្យ \(OA\perp PA\)

ហើយ

\[\angle OBP=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }PB\text{ ប៉ះរង្វង់ត្រង់ }B\text{)}\]

នាំឱ្យ \(OB\perp PB\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle OA\perp PA,\quad{} OB\perp PB\)

គ គណនាបរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណ \(PAOB\)

រង្វង់មានកាំ \(OA=OB=3\,\mathrm{cm}\) ហើយ \(PA=PB=4\,\mathrm{cm}\)។

បរិមាត្រ៖

\[P = PA+PB+OA+OB = 4+4+3+3=14\,\mathrm{cm}\]

ផ្ទៃក្រឡា៖

ដោយ \(\triangle PAO\) និង \(\triangle PBO\) ជាត្រីកោណកែងប៉ុនគ្នា (\(S_{PAO}=S_{PBO}\))៖

\[\begin{aligned} S_{PAOB} &= 2 \times S_{PAO} \\ &= 2 \times \left(\frac{1}{2} \times PA \times OA\right) \\ &= 4 \times 3 = 12\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=14\,\mathrm{cm},\quad{} S_{PAOB}=12\,\mathrm{cm}^2\)