វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៩

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់៖

១ ចម្លើយនៃវិសមីការ \(4x - 5(x + 2) \leq x - 8\) គឺ

☐ ក. \(x \leq 1\)☐ ខ. \(x \geq 1\)☐ គ. \(x \leq -1\)☐ ឃ. \(x \geq -1\)

២ ត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) បើ \(\angle ABC = 60^\circ\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC = 5\,\mathrm{cm}\) ។

គណនារង្វាស់ជ្រុង \(AC\)

☐ ក. \(AC = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)☐ ខ. \(AC = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)☐ គ. \(AC = 5\sqrt{3}\)☐ ឃ. \(AC = \dfrac{5}{2}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ក. \(\begin{cases} x + 2y = 9 \\ 2x - y = 8 \end{cases}\) ខ. \(\begin{cases} 2x + 2y = 8 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\) គ. \(\begin{cases} y = -4x + 5 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}\)

III. (២០ ពិន្ទុ)

១ សួនច្បារមួយរាងចតុកោណកែង ដែលមានបរិមាត្រស្មើនឹង \(28\,\mathrm{m}\) ។ គេដឹងថា បីដងនៃទទឹង

ស្មើនឹង ពាក់កណ្តាលនៃបណ្តោយ ។

ក រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹងនៃសួន

ខ រកចំនួនដើមផ្កាក្នុងសួន ដោយដឹងថាផ្ទៃដី \(1\,\mathrm{m}^2\) មានដើមផ្កា ៤ដើម

២ ផលបូកមុំក្នុងនៃពហុកោណមួយ មានរង្វាស់ស្មើនឹង បីដងនៃផលបូកមុំក្រៅរបស់វា។

ក ប្រាប់ឈ្មោះពហុកោណនេះ

ខ គូសពហុកោណនេះ រួចគណនាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណនេះ

IV. (២៥ ពិន្ទុ)

ចូរដៅចំណុច \(A(-1, 1)\), \(B(3, 2)\) និង \(C(0, 4)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) ។

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\)

ខ គេគូសមេដ្យាន \((CM)\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច\(M\)

គ គេគូសកម្ពស់ \((CH)\) នៃត្រីកោណ \(ABC\) ។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((CH)\)

ឃ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(H\)

V. (៣០ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB = 8\,\mathrm{cm}\) ។ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(OB\) ។ បន្ទាត់មួយ

កែងនឹង \(AB\) ត្រង់ \(H\) ហើយកាត់រង្វង់ត្រង់ \(M\) និង \(N\) ។ បន្ទាត់ \(AM\) និង \(BN\) ជួបគ្នាត្រង់ \(I\) ។

ក ចូរគណនារង្វាស់ \(MA\) និង \(MB\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle ABI\) និង \(\triangle NMI\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ ចម្លើយនៃវិសមីការ

\[\begin{aligned} 4x - 5(x + 2) &\leq x - 8 \\ 4x - 5x - 10 &\leq x - 8 \\ -x - 10 &\leq x - 8 \\ -x - x &\leq -8 + 10 \\ -2x &\leq 2 \\ x &\geq -1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle x \geq -1\)

២ គណនារង្វាស់ \(AC\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(A\)៖

\[\begin{aligned} \sin \angle ABC &= \frac{AC}{BC} \\ \sin 60^\circ &= \frac{AC}{5} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{AC}{5} \\ AC &= \frac{5\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle AC = \frac{5\sqrt{3}}{2}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ក \(\begin{cases} x + 2y = 9 \\ 2x - y = 8 \end{cases}\)

តាមសមីការទី២ \(y = 2x - 8\) ជំនួសក្នុងសមីការទី១៖

\[\begin{aligned} x + 2(2x - 8) &= 9 \\ x + 4x - 16 &= 9 \\ 5x &= 25 \\ x &= 5 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 5\) ក្នុង \(y = 2x - 8\)៖

\[y = 2(5) - 8 = 10 - 8 = 2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(5, 2)\)

ខ \(\begin{cases} 2x + 2y = 8 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\)

ដកសមីការទី១ និងទី២ អង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} 3y &= 3 \\ y &= 1 \end{aligned}\]

ជំនួស \(y = 1\) ក្នុងសមីការទី២៖

\[\begin{aligned} 2x - 1 &= 5 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(3, 1)\)

គ \(\begin{cases} y = -4x + 5 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}\)

ជំនួសសមីការទី១ ចូលសមីការទី២៖

\[\begin{aligned} 2x - 3(-4x + 5) &= 13 \\ 2x + 12x - 15 &= 13 \\ 14x &= 28 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 2\) ក្នុង \(y = -4x + 5\)៖

\[y = -4(2) + 5 = -8 + 5 = -3\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(2, -3)\)

លំហាត់ III (២០ ពិន្ទុ)

១. តាង \(x\) ជាប្រវែងទទឹង និង \(y\) ជាប្រវែងបណ្តោយនៃសួន (\(x, y > 0\))

ក រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹងនៃសួន

បរិមាត្រស្មើនឹង \(28\,\mathrm{m}\) នាំឱ្យ៖

\[2(x + y) = 28 \Rightarrow x + y = 14 \quad{} (1)\]

បីដងនៃទទឹងស្មើនឹង ពាក់កណ្តាលនៃបណ្តោយ៖

\[3x = \frac{1}{2}y \Rightarrow y = 6x \quad{} (2)\]

ជំនួស (2) ក្នុង (1)៖

\[\begin{aligned} x + 6x &= 14 \\ 7x &= 14 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(y = 6(2) = 12\)។

ដូចនេះ ៖ ទទឹង \(\displaystyle 2\,\mathrm{m}, \) បណ្តោយ \(\displaystyle 12\,\mathrm{m}\)

ខ រកចំនួនដើមផ្កាក្នុងសួន

ផ្ទៃក្រឡាសួនច្បារ៖

\[S = x \times y = 2 \times 12 = 24\,\mathrm{m}^2\]

ផ្ទៃដី \(1\,\mathrm{m}^2\) មានដើមផ្កា ៤ដើម នោះចំនួនដើមផ្កាសរុបគឺ៖

\[N = 24 \times 4 = 96\text{ ដើម}\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនដើមផ្កា \(\displaystyle 96\) ដើម

២.

ក ប្រាប់ឈ្មោះពហុកោណនេះ

តាង \(n\) ជាចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណ (\(n \geq 3\))។ ផលបូកមុំក្នុងស្មើនឹង បីដងនៃផលបូកមុំក្រៅ៖

\[\begin{aligned} (n - 2) \times 180^\circ &= 3 \times 360^\circ \\ n - 2 &= 3 \times 2 \\ n - 2 &= 6 \\ n &= 8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជាអដ្ឋកោណនិយត

ខ គូសពហុកោណ និងគណនាចំនួនអង្កត់ទ្រូង

ចំនួនអង្កត់ទ្រូង៖

\[\frac{n(n - 3)}{2} = \frac{8(8 - 3)}{2} = 4 \times 5 = 20\]

ដូចនេះ ៖ ចំនួនអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle 20\)

លំហាត់ IV (២៥ ពិន្ទុ)

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((AB)\)

មេគុណប្រាប់ទិស៖

\[a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{3 - (-1)} = \frac{1}{4}\]

សមីការមានរាង \(y - y_A = a_{AB}(x - x_A)\)៖

\[\begin{aligned} y - 1 &= \frac{1}{4}(x + 1) \\ y &= \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 1 \\ y &= \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (AB):\ y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}\)

ខ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\)

\(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB\)៖

\[\begin{aligned} M &= \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right) \\ &= \left(1, \frac{3}{2}\right) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M\left(1, \frac{3}{2}\right)\)

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((CH)\)

បន្ទាត់ \((CH)\) កែងនឹង \((AB)\) នាំឱ្យ៖

\[a_{CH} \times a_{AB} = -1 \Rightarrow a_{CH} \times \frac{1}{4} = -1 \Rightarrow a_{CH} = -4\]

សមីការមានរាង \(y - y_C = a_{CH}(x - x_C)\)
s ដោយកាត់តាម \(C(0, 4)\)៖

\[\begin{aligned} y - 4 &= -4(x - 0) \\ y &= -4x + 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (CH):\ y = -4x + 4\)

ឃ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(H\)

\(H\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាង \((AB)\) និង \((CH)\)៖

\[\begin{aligned} \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} &= -4x + 4 \\ x + 5 &= -16x + 16 \\ 17x &= 11 \Rightarrow x = \frac{11}{17} \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = \frac{11}{17}\) ក្នុង \(y = -4x + 4\)៖

\[y = -4\left(\frac{11}{17}\right) + 4 = \frac{-44 + 68}{17} = \frac{24}{17}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle H\left(\frac{11}{17}, \frac{24}{17}\right)\)

លំហាត់ V (៣០ ពិន្ទុ)

ក គណនារង្វាស់ \(MA\) និង \(MB\)

រង្វង់ផ្ចិត \(O\) មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB = 8\,\mathrm{cm}\) នាំឱ្យកាំ \(R = 4\,\mathrm{cm}\)។

គេមាន \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃកាំ \(OB\)

\[HB = \frac{OB}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\mathrm{cm}\]

ប្រវែងអង្កត់ \(AH\)

\[AH = AB - HB = 8 - 2 = 6\,\mathrm{cm}\]

គេមាន

\[\angle AMB = 90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle AMB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(M\)។

ក្នុង \(\triangle\!\perp AMB\) មាន \(MH\) ជាកម្ពស់

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(AMB\)

\[\begin{aligned} MA^2 &= AH \times AB \\ &= 6 \times 8 = 48 \\ MA &= \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} MB^2 &= HB \times AB \\ &= 2 \times 8 = 16 \\ MB &= \sqrt{16} = 4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle MA = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}, \quad{} MB = 4\,\mathrm{cm}\)

ខ ប្រៀបធៀប \(\triangle ABI\) និង \(\triangle NMI\)

គេមាន៖

\[\angle AIB = \angle MIN \quad{} \text{(មុំរួម)}\]

\[\angle IAB = \angle INM \quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់ស្កាត់ធ្នូ } MB \text{ រួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABI \sim \triangle NMI \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)