វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី៦

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ គេមានបន្ទាត់ពីរ \(d_1: y = -3x + 2\) និង \(d_2: y = (m-1)x + 5\)

កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ \(d_1\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(d_2\) ។

☐ ក. \(m = -2\)☐ ខ. \(m = -3\)☐ គ. \(m = -4\)☐ ឃ. \(m = 4\)

២ \(AH\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(A\) គូសលើអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) ។

គេស្គាល់ \(BH = 4\,\mathrm{cm}\) និង \(HC = 9\,\mathrm{cm}\) គណនាកម្ពស់ \(AH\) ។

☐ ក. \(13\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(6\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(36\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(5\,\mathrm{cm}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A = \sqrt{75} - 2\sqrt{27} + \sqrt{108}\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ក \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}\)

ខ \(\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 5x + y = 9 \end{cases}\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

គេមានចំណុច \(M(-2, 4)\) និង \(N(4, -2)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((O, \vec{i}, \vec{j})\) ។

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((MN)\) ។

ខ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(K\) ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([MN]\) ។

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((D)\) ដែលជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([MN]\) ។

IV. (២០ ពិន្ទុ)

១ ដីឡូត៍មួយរាងចតុកោណកែង ដែលមានបរិមាត្រស្មើនឹង \(100\,\mathrm{m}\) ។ គេដឹងថា ពីរដងនៃបណ្តោយ

ស្មើនឹង បីដងនៃទទឹងបូកនឹង១០ ។

ក រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹងនៃដីឡូត៍នេះ។

ខ ម្ចាស់ដីចង់ដាំស្មៅនៅលើដីនេះ ដោយដឹងថាដាំស្មៅ \(12\,\mathrm{m}^2\) ត្រូវចំណាយប្រាក់ ៩ម៉ឺន ។

តើគាត់ត្រូវចំណាយប្រាក់ប៉ុន្មានម៉ឺន?

២ សាលាក្រុងមានគម្រោងសាងសង់អាងទឹកមួយ រាងជាស៊ីឡាំងបរិវត្ត ដែលមានមាឌស្មើនឹង \(125.6\,\mathrm{m}^3\)

និងមានកម្ពស់ស្មើនឹង \(10\,\mathrm{m}\) ។

ក រកផ្ទៃក្រឡាបាតអាងទឹកនេះ។ (គេឲ្យ \(\pi \approx 3.14\))

ខ គណនាកាំបាតអាងទឹកនេះ។

V. (៣០ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) និងមានអង្កត់ផ្ចិត \(AB\) ។ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់កាំ \(OB\) ។

បន្ទាត់មួយកែងនឹង \(AB\) ត្រង់ \(H\) ហើយកាត់រង្វង់ \((O)\) ត្រង់ចំណុច \(C\) និង \(D\) ។

បន្ទាត់ \(AC\) និងបន្ទាត់ \(BD\) បន្លាយជួបគ្នាត្រង់ចំណុច \(E\) ។ (សង់រូបបានត្រឹមត្រូវមាន ៥ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(ACB\) រួចទាញរកកម្រិតមុំ \(\angle ACB\) ។ គណនារង្វាស់ធ្នូ \(CD\) ជាដឺក្រេ ។

ខ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\triangle EAB\) និង \(\triangle ECD\) ។

គ ទាញបង្ហាញថា \(EC \cdot EA = ED \cdot EB\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ កំណត់តម្លៃ \(m\)

បន្ទាត់ \(d_1: y = -3x + 2\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a = -3\)

បន្ទាត់ \(d_2: y = (m-1)x + 5\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a' = m-1\)

ដើម្បីឱ្យ \(d_1 \parallel d_2\) លុះត្រាតែ \(a = a'\)

\[\begin{aligned} m - 1 &= -3 \\ m &= -2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle m = -2\)

២ គណនាកម្ពស់ \(AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)

\[\begin{aligned} AH^2 &= BH \times HC \\ &= 4 \times 9 = 36 \\ AH &= \sqrt{36} = 6\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 6\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A\) រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ \(a\sqrt{b}\)

\[\begin{aligned} A &= \sqrt{75} - 2\sqrt{27} + \sqrt{108} \\ &= \sqrt{25 \times 3} - 2\sqrt{9 \times 3} + \sqrt{36 \times 3} \\ &= 5\sqrt{3} - 2(3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} \\ &= 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} \\ &= 5\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = 5\sqrt{3}\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ក. \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}\)

បូកសមីការទាំងពីរ

\[\begin{aligned} 4x &= 12 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 3\) ក្នុងសមីការទី១

\[\begin{aligned} 3 + 2y &= 8 \\ 2y &= 5 \\ y &= \frac{5}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = \left(3, \frac{5}{2}\right)\)

ខ. \(\begin{cases} 2x - 3y = 7 \quad{} (1) \\ 5x + y = 9 \quad{} (2) \end{cases}\)

តាមសមីការ (2) \(y = 9 - 5x\) ជំនួសក្នុងសមីការ (1)

\[\begin{aligned} 2x - 3(9 - 5x) &= 7 \\ 2x - 27 + 15x &= 7 \\ 17x &= 34 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 2\) ក្នុង \(y = 9 - 5x\)

\[y = 9 - 5(2) = 9 - 10 = -1\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (2, -1)\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((MN)\)

មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \((MN)\) គឺ

\[a_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{-2 - 4}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1\]

សមីការមានរាង \(y - y_M = a_{MN}(x - x_M)\)

\[\begin{aligned} y - 4 &= -1(x - (-2)) \\ y - 4 &= -x - 2 \\ y &= -x + 2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (MN):\ y = -x + 2\)

ខ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(K\) ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([MN]\)

\[\begin{aligned} K &= \left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}\right) \\ &= \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) \\ &= (1, 1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle K(1, 1)\)

គ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \((D)\) ដែលជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \([MN]\)

\(D\) កាត់តាមចំណុចកណ្តាល \(K(1, 1)\) និងកែងនឹង \((MN)\)។

\[a_D \times a_{MN} = -1 \Rightarrow a_D \times (-1) = -1 \Rightarrow a_D = 1\]

សមីការមានរាង \(y - y_K = a_D(x - x_K)\)

\[\begin{aligned} y - 1 &= 1(x - 1) \\ y &= x \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (D):\ y = x\)

លំហាត់ IV (២០ ពិន្ទុ)

១ រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹងនៃដីឡូត៍នេះ

តាង \(x\) ជាប្រវែងបណ្តោយ និង \(y\) ជាប្រវែងទទឹង \((x > y > 0)\) ។

បរិមាត្រ \(100\,\mathrm{m}\) នាំឱ្យ \(2(x + y) = 100 \Rightarrow x + y = 50\) (1)

ពីរដងនៃបណ្តោយ ស្មើនឹង បីដងនៃទទឹងបូកនឹង១០ នាំឱ្យ \(2x = 3y + 10\) (2)

តាម (1) \(x = 50 - y\) ជំនួសក្នុង (2)

\[\begin{aligned} 2(50 - y) &= 3y + 10 \\ 100 - 2y &= 3y + 10 \\ 5y &= 90 \\ y &= 18 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(x = 50 - 18 = 32\) ។

ដូចនេះ ៖ បណ្តោយ \(\displaystyle 32\,\mathrm{m}, \) ទទឹង \(\displaystyle 18\,\mathrm{m}\)

រកប្រាក់ចំណាយសរុប

ផ្ទៃក្រឡាដី \(S = x \times y = 32 \times 18 = 576\,\mathrm{m}^2\)

ចំណាយប្រាក់សរុប \(= \dfrac{576}{12} \times 9 = 48 \times 9 = 432\) ម៉ឺន

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle 432 \) ម៉ឺនរៀល

២ រកផ្ទៃក្រឡាបាតអាងទឹកនេះ

មាឌស៊ីឡាំង \(V = B \times h \Rightarrow 125.6 = B \times 10 \Rightarrow B = 12.56\,\mathrm{m}^2\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B = 12.56\,\mathrm{m}^2\)

គណនាកាំបាតអាងទឹកនេះ

ផ្ទៃក្រឡាបាត \(B = \pi R^2 \Rightarrow 12.56 = 3.14 R^2 \Rightarrow R^2 = 4 \Rightarrow R = 2\,\mathrm{m}\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle R = 2\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ V (៣០ ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(ACB\) រួចទាញរកកម្រិតមុំ \(\angle ACB\)

គេមាន

\[\angle ACB = 90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle ACB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} \triangle ACB\text{ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ }C \\ \angle ACB = 90^\circ \end{gathered}\)

គណនារង្វាស់ធ្នូ \(CD\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(OHC\) គេមាន \(OC = R\) និង \(OH = \frac{R}{2}\) (ព្រោះ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាល \(OB\))

\[\cos \angle COH = \frac{OH}{OC} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle COH = 60^\circ\]

មុំផ្ចិត \(\angle COH = 60^\circ\) ស្កាត់ធ្នូ \(CB\) នាំឱ្យរង្វាស់ធ្នូ \(CB = 60^\circ\)

ម្យ៉ាងទៀត \(CD \perp AB\) ត្រង់ \(H\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \((AB)\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(CD\) នោះរង្វាស់ធ្នូ \(CB\) ស្មើនឹងរង្វាស់ធ្នូ \(BD\)

ដូចនេះ រង្វាស់ធ្នូ \(CD = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\)

ដូចនេះ ៖ ធ្នូ \(\displaystyle CD = 120^\circ\)

ខ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\triangle EAB\) និង \(\triangle ECD\)

គេមាន ៖

\[\angle EAB = \angle EDC\]

(មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូ \(CB=60^\circ\) ដូចគ្នា)
និង

\[\angle AEB = \angle CED \quad{} \text{(មុំរួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle EAB \sim \triangle ECD \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

គ ទាញបង្ហាញថា \(EC \cdot EA = ED \cdot EB\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle EAB & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC}\\[-1pt] \triangle ECD & \end{array}\]

គេបាន

\[EC \cdot EA = ED \cdot EB\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle EC \cdot EA = ED \cdot EB\)