វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី២

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

ក គណនាកន្សោម \(A=6\sqrt[3]{-8}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{64}-\sqrt{20^2-16^2}\)

☐ ក. \(A=-22\)☐ ខ. \(A=-10\)☐ គ. \(A=-14\)☐ ឃ. \(A=-8\)

ខ ត្រីកោណ \(ABC\) មួយកែងត្រង់ \(A\) មាន \(AB=9\) និង \(BC=15\)។ រកប្រវែងជ្រុង \(AC\)។

☐ ក. \(AC=12\)☐ ខ. \(AC=6\)☐ គ. \(AC=\sqrt{306}\)☐ ឃ. \(AC=24\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

ក.ដោះស្រាយសមីការ

១ \(3(x+1)-x=5x-2(x-2)\)

២ \(x^2-7x=0\)

ខ ដោះស្រាយវិសមីការ \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{2x-3}{6}\ge \dfrac{x-1}{2}\) រួចបកស្រាយចម្លើយតាមក្រាប។

III. (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោមពីជគណិត \(E=(x^2+x-1)^2-(x^2-x-1)^2\) និង \(F=x^2-1\)

ក ដាក់កន្សោម \(E\) និង \(F\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)។

ខ សម្រួលកន្សោម \(G=\dfrac{E}{F}\) ចំពោះ \(x\neq \pm 1\) រួចគណនាតម្លៃ \(G\) ចំពោះ \(x=2026\)។

IV. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានគ្រាប់ឃ្លី \(24\) គ្រាប់ ដែលមានពណ៌លឿង និងពណ៌បៃតង។ គេលូកយកឃ្លីមួយគ្រាប់ដោយចៃដន្យ។

ក ចូររកចំនួនឃ្លីពណ៌លឿង បើប្រូបាបនៃការលូកបានឃ្លីពណ៌លឿងស្មើនឹង \(\dfrac{5}{8}\)។

ខ រកប្រូបាបដែលលូកបានឃ្លីពណ៌បៃតង។

V. (២០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យចំណុច \(A(2,2)\), \(B(-2,2)\) និង \(C(0,-2)\)។

ក ចូរដៅចំណុច \(A\), \(B\) និង \(C\) ក្នុងតម្រុយ \((xOy)\)។

ខ គណនាចម្ងាយពីចំណុច \(A\) ទៅ \(C\) និងពីចំណុច \(B\) ទៅ \(C\)។

គ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A\) និង \(C\)។

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្រុមការងារមួយមានក្មេងប្រុស \(4\) នាក់ មានអាយុមធ្យមភាគ \(12\) ឆ្នាំ។ បើដឹងថា អាយុក្មេងប្រុស \(3\) នាក់ដំបូងគឺ \(10\) ឆ្នាំ,

\(13\) ឆ្នាំ និង \(11\) ឆ្នាំ។ គណនាអាយុក្មេងប្រុសទី \(4\)។

VII. (៣០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) មួយ។ \(D\) ជាចំណុចមួយនៅលើបន្លាយនៃអង្កត់ \(AB\) ខាង \(A\)។

រង្វង់ផ្ចិត \(A\) កាំ \(AD\) កាត់ជ្រុង \(AB\) ត្រង់ \(G\) និងកាត់ជ្រុង \(AC\) ត្រង់ \(E\)។ បន្ទាត់ \(DE\) និងបន្ទាត់ \(BC\) កាត់គ្នាត្រង់ \(F\)។

ក ចូរគូសរូប រួចគណនារង្វាស់មុំ \(\angle GED\)។

ខ ប្រាប់ប្រភេទនៃត្រីកោណ \(FBD\)។

គ ប្រដូច \(\triangle BDF\) និង \(\triangle GDE\) រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(BD\times GE=GD\times BF\)

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

ក គណនាកន្សោម \(A=6\sqrt[3]{-8}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{64}-\sqrt{20^2-16^2}\)

\[\begin{aligned} A&=6\sqrt[3]{-8}+\frac12\sqrt[3]{64} -\sqrt{20^2-16^2}\\ &=-12+2-\sqrt{400-256}\\ &=-10-12=-22 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle A=-22\)

ខ ត្រីកោណ \(ABC\) មួយកែងត្រង់ \(A\) មាន \(AB=9\) និង \(BC=15\) រកប្រវែងជ្រុង \(AC\)

ត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)

\[\begin{aligned} AC^2&=BC^2-AB^2\\ &=15^2-9^2=225-81=144 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC=12\) ជ្រើសរើស ក.

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

ក ដោះស្រាយសមីការ

១. \(3(x+1)-x=5x-2(x-2)\)

\[\begin{aligned} 3(x+1)-x&=5x-2(x-2)\\ 3x+3-x&=5x-2x+4\\ 2x+3&=3x+4\\ x&=-1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=-1\)

២. \(x^2-7x=0\)

\[x^2-7x=0\Rightarrow x(x-7)=0\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=0\) ឬ \(\displaystyle x=7\)

ខ ដោះស្រាយវិសមីការ \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{2x-3}{6}\ge \dfrac{x-1}{2}\) រួចបកស្រាយចម្លើយតាមក្រាប

\[\begin{aligned} \frac{x+2}{3}-\frac{2x-3}{6} &\geq \frac{x-1}{2}\\ 2x+4-(2x-3)&\geq 3x-3\\ 7&\geq 3x-3\\ 10&\geq 3x \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x\leq \frac{10}{3}\)

លើក្រាប ដាក់ចំណុចបិទត្រង់ \(\frac{10}{3}\) ហើយគូសទៅខាងឆ្វេង

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

ក ដាក់កន្សោម \(E\) និង \(F\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១ នៃ \(x\)

\[\begin{aligned} E&=(x^2+x-1)^2-(x^2-x-1)^2\\ &=\big[(x^2+x-1)-(x^2-x-1)\big]\\ &\quad{} \times \big[(x^2+x-1)+(x^2-x-1)\big]\\ &=(2x)(2x^2-2)\\ &=4x(x^2-1)\\ &=4x(x-1)(x+1) \end{aligned}\]

\[F=x^2-1=(x-1)(x+1)\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} E=4x(x-1)(x+1)\\ F=(x-1)(x+1) \end{gathered}\)

ខ សម្រួលកន្សោម \(G=\dfrac{E}{F}\) ចំពោះ \(x\neq \pm1\) រួចគណនាតម្លៃ \(G\) ចំពោះ \(x=2026\)

ចំពោះ \(x\neq \pm1\)

\[\begin{aligned} G&=\frac{E}{F} =\frac{4x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\ &=4x \end{aligned}\]

បើ \(x=2026\)

\[G=4(2026)=8104\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle G=4x,\quad{} G(2026)=8104\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

ក ចូររកចំនួនឃ្លីពណ៌លឿង បើប្រូបាបនៃការលូកបានឃ្លីពណ៌លឿងស្មើនឹង \(\dfrac{5}{8}\)

បើ ជា \(n\) ចំនួនឃ្លីពណ៌លឿង

\[\frac{n}{24}=\frac58\Rightarrow n=24\times\frac58=15\]

ដូចនេះ ៖ ឃ្លីពណ៌លឿង \(\displaystyle 15\) គ្រាប់

ខ រកប្រូបាបដែលលូកបានឃ្លីពណ៌បៃតង

ឃ្លីពណ៌បៃតង \(=24-15=9\) គ្រាប់

\[P(\text{បៃតង})=\frac{9}{24}=\frac38\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) បៃតង \(\displaystyle )=\frac 38\)

លំហាត់ V (២០ ពិន្ទុ)

ក ចូរដៅចំណុច \(A\), \(B\) និង \(C\) ក្នុងតម្រុយ \((xOy)\)

ដៅ \(A(2,2)\), \(B(-2,2)\), \(C(0,-2)\) ក្នុងតម្រុយ \((xOy)\)

ខ គណនាចម្ងាយពីចំណុច \(A\) ទៅ \(C\) និងពីចំណុច \(B\) ទៅ \(C\)

\[\begin{aligned} AC&=\sqrt{(0-2)^2+(-2-2)^2}\\ &=\sqrt{4+16}=2\sqrt5,\\ BC&=\sqrt{(0+2)^2+(-2-2)^2}\\ &=\sqrt{4+16}=2\sqrt5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC=BC=2\sqrt 5\)

គ កំណត់សមីការបន្ទាត់ \(L\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A\) និង \(C\)

រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AC\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & L:\ y-y_A=a(x-x_A)\\[3pt] \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} =\frac{-2-2}{0-2} =\frac{-4}{-2}=2\\[3pt] \text{នោះ}\qquad{} y-2&=2(x-2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle L:\ y=2x-2\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ) គណនាអាយុក្មេងប្រុសទី \(4\)

តាង \(x\) ជាអាយុក្មេងប្រុសទី \(4\)

\[\bar{x}=\frac{10+13+11+x}{4}\]

ដោយ \(\bar{x}=12\)
គេបាន

\[\begin{aligned} 12&=\frac{10+13+11+x}{4}\\ 48&=34+x\\ x&=48-34=14 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=14\) ឆ្នាំ

លំហាត់ VII (៣០ ពិន្ទុ)

ក ចូរគូសរូប រួចគណនារង្វាស់មុំ \(\angle GED\)

ដោយ \(ABC\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស
នំាឱ្យ \(\angle BAC=60^\circ\)
ហើយ \(D,A,B\) នៅលើបន្ទាត់តែមួយ និង \(E\in AC\)
ដូច្នេះ

\[\angle DAE=180^\circ-60^\circ=120^\circ\]

ដោយ \(AD=AE\)
គេបាន

\[\angle ADE=\angle AED=30^\circ\]

ហើយ \(D,A,G\) នៅលើបន្ទាត់តែមួយ និង \(AD=AG\)
ដូចនេះ \(DG\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់
នោះ

\[\angle GED=90^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle GED=90^\circ\)

ខ ប្រាប់ប្រភេទនៃត្រីកោណ \(FBD\)

ដោយ \(DB\) ជាបន្ទាត់តែមួយនឹង \(DG\)
គេបាន

\[\angle BDF=\angle GDE=30^\circ\]

ហើយ \(BF\subset BC\), \(BD\subset BA\)
ដូច្នេះ

\[\angle FBD=60^\circ\]

នោះ

\[\angle BFD=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle FBD\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle F\)

គ ប្រៀបធៀប \(\triangle BDF\) និង \(\triangle GDE\)
រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(BD\times GE=GD\times BF\)

គេមាន \(\angle BDF=\angle GDE=30^\circ\) (រួមមុំ)

\(\angle BFD=\angle GED=90^\circ\) (ជាមុំកែង)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle BDF\sim \triangle GDE\) (ករណីដំណូចទី១)

រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(BD\times GE=GD\times BF\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle BDF & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow\frac{BD}{GD}=\frac{BF}{GE}\\[-1pt] \triangle GDE & \end{array}\]

គេបាន

\[BD\times GE=GD\times BF\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BD\times GE=GD\times BF\)