វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១៨

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវមានតែមួយគត់៖

១ គណនាកន្សោម \(A = (2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})\)

☐ ក. \(A = 4\sqrt{3}\)☐ ខ. \(A = 4\sqrt{7}\)☐ គ. \(A = -4\sqrt{3}\)☐ ឃ. \(A = -4\sqrt{7}\)

២ គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួនពីរដង ។ គណនាប្រូបាបបោះចេញលេខគូទាំងពីរលើក ។

☐ ក. \(P = \dfrac{1}{6}\)☐ ខ. \(P = \dfrac{1}{3}\)☐ គ. \(P = -\dfrac{1}{5}\)☐ ឃ. \(P = \dfrac{1}{4}\)

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(\sqrt{2} = \sqrt{2}x - 1\)

☐ ក. \(x = 2 + \sqrt{2}\)☐ ខ. \(x = 1 + \sqrt{2}\)☐ គ. \(x = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)☐ ឃ. \(x = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}\)

II. (១៥ ពិន្ទុ)

ចូរផ្គូផ្គងផ្នែក \(A\) និងផ្នែក \(B\) រួចសរសេរចម្លើយក្នុងផ្នែក \(C\) អោយបានត្រឹមត្រូវ៖

ផ្នែក A (សមីការ)	ផ្នែក B (ឫសសមីការ)	ផ្នែក C (ចម្លើយ)
១. \(8x^3 = 27\)	ក. \(x_1 = -18 , x_2 = 12\)	១. \(\longrightarrow\)
២. \((x+3)^2 = 225\)	ខ. \(x = \dfrac{3}{2}\)	២. \(\longrightarrow\)
៣. \(x^2 - 18x + 17 = 0\)	គ. \(x_1 = 1 , x_2 = 17\)	៣. \(\longrightarrow\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ដោះស្រាយសមីការ ប្រព័ន្ធសមីការ និងប្រព័ន្ធវិសមីការ

ក \(\begin{cases} 2y = -2x - 2 \\ 5x = 2y + 9 \end{cases}\)

ខ \(\begin{cases} 2x - 7 \leq 5 + 6x \\ -x - 11 < -4x + 4 \end{cases}\)

គ \((x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 2x + 7\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ស និងប៊ូលពណ៌ខៀវសរុប \(54\) គ្រាប់ ។ គេចាប់យកប៊ូលម្តងមួយដោយចៃដន្យ ។

ក រកចំនួនប៊ូលពណ៌ខៀវ បើគេដឹងថាប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវស្មើនឹង \(\dfrac{4}{9}\) ។

ខ គណនាប្រូបាបចាប់បានប៊ូលពណ៌ស ។

V. (១០ ពិន្ទុ)

សុខចិន្តាមានអាយុតិចជាងអាយុជីតារបស់គាត់ចំនួន \(52\) ឆ្នាំ គេដឹងថារយៈពេលពីរឆ្នាំទៀតផលបូកអាយុរបស់អ្នក

ទាំងពីរស្មើនឹង \(92\) ឆ្នាំ ។ រកអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់សុខចិន្តា និងជីតារបស់គាត់ ។

VI. (២០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យពីរចំណុច \(A(-1, 1)\) និង \(B(3, 1)\) នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) មួយ ។

ក គណនាប្រវែង \(AB\) រួចរកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(P\) នៃអង្កត់ \([AB]\) ។

ខ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(C(2, -2)\) និង \(P\) ។ រួចសង់បន្ទាត់ \((AB)\) និង \((\Delta)\) ក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

VII. (២០ ពិន្ទុ)

គេមានត្រីកោណសមបាត \(ABC\) មួយចារឹកក្នុងរង្វង់ផ្ចិត \(O\) កាំ \(R\) ។ \([AH]\) ជាកម្ពស់ត្រីកោណហើយ \([AD]\)

ជាអង្កត់ផ្ចិត ។

ក យើងដឹងថា \(\angle ABC = 60^\circ\) ចូរគណនារង្វាស់មុំ \(\angle DAC\) ។

ខ ស្រាយថា \(\triangle ABH\) និង \(\triangle ADC\) ជាត្រីកោណដូចគ្នា ។ រួចបង្ហាញថា \(AH = \dfrac{AC \times AB}{2R}\) ។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A &= (2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}) \\ &= (2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 \\ &= 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 7 \\ &= 4\sqrt{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle A = 4\sqrt{3}\)

២ គណនាប្រូបាប

បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរដង ករណីអាចសរុបមាន៖

\[S = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\} \Rightarrow n(S) = 36 \text{ ករណី}\]

តាង \(E\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បោះចេញលេខគូទាំងពីរលើក
(លេខគូមាន \(2, 4, 6\)) នោះករណីស្របមាន៖

\[\begin{aligned} E = \{&(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), \\ &(4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\} \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(n(E) = 9\) ករណី។

\[P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ឃ. \(\displaystyle P = \frac{1}{4}\)

៣ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} \sqrt{2} &= \sqrt{2}x - 1 \\ \sqrt{2}x &= \sqrt{2} + 1 \\ x &= \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \\ x &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\)

លំហាត់ II (១៥ ពិន្ទុ)

ចម្លើយនៃការផ្គូផ្គង៖

ផ្នែក A (សមីការ)	ផ្នែក B (ឫសសមីការ)	ផ្នែក C (ចម្លើយ)
១. \(8x^3 = 27\)	ក. \(x_1 = -18 , x_2 = 12\)	១. \(\longrightarrow\) ខ.
២. \((x+3)^2 = 225\)	ខ. \(x = \dfrac{3}{2}\)	២. \(\longrightarrow\) ក.
៣. \(x^2 - 18x + 17 = 0\)	គ. \(x_1 = 1 , x_2 = 17\)	៣. \(\longrightarrow\) គ.

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

ក ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 2y = -2x - 2 \\ 5x = 2y + 9 \end{cases}\]

តាមសមីការទីមួយ \(2y = -2x - 2\) ជំនួសចូលសមីការទីពីរ៖

\[\begin{aligned} 5x &= (-2x - 2) + 9 \\ 5x + 2x &= 7 \\ 7x &= 7 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 1\) ចូល \(2y = -2x - 2\)៖

\[\begin{aligned} 2y &= -2(1) - 2 \\ 2y &= -4 \Rightarrow y = -2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (1, -2)\)

ខ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ

\[\begin{cases} 2x - 7 \leq 5 + 6x \quad{} &(1) \\ -x - 11 < -4x + 4 \quad{} &(2) \end{cases}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (1)៖

\[\begin{aligned} 2x - 6x &\leq 5 + 7 \\ -4x &\leq 12 \\ x &\geq -3 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (2)៖

\[\begin{aligned} -x + 4x &< 4 + 11 \\ 3x &< 15 \\ x &< 5 \end{aligned}\]

ប្រសព្វចម្លើយទាំងពីរ៖

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle -3 \leq x < 5\)

គ ដោះស្រាយសមីការ

\[(x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 2x + 7\]

តាង \(y = x^2 + 2x + 3\) សមីការក្លាយជា៖

\[\begin{aligned} (y + 1)y &= y + 4 \\ y^2 + y &= y + 4 \\ y^2 &= 4 \Rightarrow y = \pm 2 \end{aligned}\]

ករណី \(y = 2\)៖

\[\begin{aligned} x^2 + 2x + 3 &= 2 \\ x^2 + 2x + 1 &= 0 \\ (x + 1)^2 &= 0 \Rightarrow x = -1 \end{aligned}\]

ករណី \(y = -2\)៖

\[x^2 + 2x + 3 = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 5 = 0\]

\(\Delta' = 1^2 - 1(5) = -4 < 0\) សមីការគ្មានឫស។

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = -1\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ូលសរុបមាន \(54\) គ្រាប់។

ក រកចំនួនប៊ូលពណ៌ខៀវ

តាង \(n(B)\) ជាចំនួនប៊ូលពណ៌ខៀវ។ ប្រូបាបចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវគឺ \(P(B) = \frac{4}{9}\) ។

\[\begin{aligned} P(B) &= \frac{n(B)}{54} \\ \frac{4}{9} &= \frac{n(B)}{54} \\ n(B) &= \frac{4 \times 54}{9} = 24 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ប៊ូលពណ៌ខៀវ \(\displaystyle 24 \) គ្រាប់

ខ គណនាប្រូបាបចាប់បានប៊ូលពណ៌ស

ព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ូលពណ៌ស ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវ។

\[\begin{aligned} P(W) &= 1 - P(B) \\ &= 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(W) = \frac{5}{9}\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

រកអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់សុខចិន្តា និងជីតារបស់គាត់

តាង \(x\) ជាអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់សុខចិន្តា និង \(y\) ជាអាយុបច្ចុប្បន្នរបស់ជីតា (\(x, y > 0\))។

តាមបម្រាប់ គេបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} y - x = 52 \quad{} &(1) \\ (x + 2) + (y + 2) = 92 \quad{} &(2) \end{cases}\]

តាមសមីការ (2)៖

\[x + y + 4 = 92 \Rightarrow x + y = 88\]

បូកនឹងសមីការ \(-x + y = 52\) ៖

\[2y = 140 \Rightarrow y = 70\]

ជំនួស \(y = 70\) ក្នុង \(x + y = 88\) ៖

\[x = 88 - 70 = 18\]

ដូចនេះ ៖ សុខចិន្តា \(\displaystyle 18 \) ឆ្នាំ \(\displaystyle , \quad{} \) ជីតា \(\displaystyle 70 \) ឆ្នាំ

លំហាត់ VI (២០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យ \(A(-1, 1)\) និង \(B(3, 1)\)

ក គណនាប្រវែង \(AB\) និងកូអរដោនេចំណុច \(P\)

\[\begin{aligned} AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} \\ &= \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} P &= \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \\ &= \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) \\ &= (1, 1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB = 4, \quad{} P(1, 1)\)

ខ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) កាត់តាម \(C(2, -2)\) និង \(P(1, 1)\)។ មេគុណប្រាប់ទិស៖

\[a = \frac{y_P - y_C}{x_P - x_C} = \frac{1 - (-2)}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3\]

សមីការមានរាង \(y - y_P = a(x - x_P)\)

\[\begin{aligned} y - 1 &= -3(x - 1) \\ y &= -3x + 3 + 1 \\ y &= -3x + 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = -3x + 4\)

សង់បន្ទាត់ \((AB)\) និង \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((AB)\) ជាបន្ទាត់ដេកកាត់តាម \(A(-1, 1)\) និង \(B(3, 1)\) ដែលមានសមីការ \(y = 1\) ។

លំហាត់ VII (២០ ពិន្ទុ)

ក គណនារង្វាស់មុំ \(\angle DAC\)

មុំ \(\angle ADC\) និង \(\angle ABC\) ជាមុំចារឹករង្វង់ស្កាត់ធ្នូ \(AC\) រួម នាំឱ្យ៖

\[\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ\]

ដោយ \(AD\) ជាអង្កត់ផ្ចិត នោះ \(\angle ACD\) ជាមុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់ នាំឱ្យ \(\angle ACD = 90^\circ\) ។

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ACD\) ត្រង់ \(C\) ផលបូកមុំស្រួចស្មើ \(90^\circ\)៖

\[\begin{aligned} \angle DAC + \angle ADC &= 90^\circ \\ \angle DAC + 60^\circ &= 90^\circ \\ \angle DAC &= 30^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle DAC = 30^\circ\)

ខ ស្រាយថា \(\triangle ABH\) និង \(\triangle ADC\) ជាត្រីកោណដូចគ្នា

គេមាន៖

\[\angle AHB = 90^\circ \quad{} \text{(ដោយ } AH \perp BC)\]

\[\angle ACD = 90^\circ \quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ

\[\angle AHB = \angle ACD = 90^\circ\]

ហើយ

\[\angle ABH = \angle ADC \quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់ស្កាត់ធ្នូ } AC \text{ រួម)}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABH \sim \triangle ADC \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

បង្ហាញថា \(AH = \dfrac{AC \times AB}{2R}\)

តាមផលធៀបដំណូច៖

\[\begin{array}{c|c} \triangle ABH & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{AD} \\[-1pt] \triangle ADC & \end{array}\]

គេបាន៖

\[AH \times AD = AC \times AB\]

ដោយ \(AD\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់កាំ \(R\) នោះ \(AD = 2R\) ។

\[\begin{aligned} AH \times 2R &= AC \times AB \\ AH &= \frac{AC \times AB}{2R} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AH = \frac{AC \times AB}{2R}\)