វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១២

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (២០ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃកន្សោម \(A = -3\sqrt{50} - \sqrt{32} + 5\sqrt{200}\)

២ ដោះស្រាយសមីការ៖

ក. \(\dfrac{x+4}{3} - \dfrac{x-4}{4} = 2 + \dfrac{3x-1}{15}\) ខ. \(\begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}\)

II. (២០ ពិន្ទុ)

១ សង់បន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាម \(A(0, 2)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ \(3\) ។ រួចកំណត់សមីការ

បន្ទាត់ \((\Delta)\)

២ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\) ដែលកាត់តាម \(A(2, 1)\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \((D): y = 2x + 5\) ។

III. (២០ ពិន្ទុ)

១ កសិដ្ឋានមួយចិញ្ចឹមសត្វគោ និងសត្វមាន់ សរុប \(200\) ក្បាល។ បើគេរាប់តែជើងឃើញជើងសរុប \(560\) ។

ចូររកចំនួនសត្វគោ និងសត្វមាន់

២ នៅក្នុងកាបូបមួយមានប្រាក់ \(8000\,\) ៛ ។ គេរាប់ចំនួនក្រដាសប្រាក់ឃើញ \(11\) សន្លឹក។ ក្រដាសប្រាក់នេះ

មានពីរប្រភេទគឺប្រភេទ \(500\,\) ៛ និងប្រភេទ \(1000\,\) ៛ ។ ចូររកចំនួនក្រដាសប្រាក់ប្រភេទនីមួយៗ

៣ រកមុំក្នុងនីមួយៗ នៃឆកោណនិយ័ត ។ រួចគូសរូបឆកោណនិយ័ត

៤ ពហុកោណមួយ មានរង្វាស់ផលបូកមុំក្នុង ស្មើនឹង ពីរដងនៃមុំក្រៅរបស់វា ។ ចូរកំណត់ប្រភេទពហុកោណ

៥ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុង និងផលបូកមុំក្រៅនៃពហុកោណមួយស្មើនឹង \(900^\circ\) ។ ចូរកំណត់ប្រភេទពហុកោណ

IV. (២០ ពិន្ទុ)

១ \(BH\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(B\) ។ បើ \(AB = 10\,\mathrm{cm}\) និង \(BC = 5\,\mathrm{cm}\)

ក គណនា \(AC\)

ខ គណនា \(AH\) និង \(CH\)

V. (២០ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB = 8\,\mathrm{cm}\) ។ \(H\) ជាចំណុចមួយនៅលើ \(OA\) ដែល \(OH = 2.5\,\mathrm{cm}\) ។ តាម

\(H\) គេគូសបន្ទាត់កែងនឹងអង្កត់ \(AB\) ត្រង់ \(H\) ហើយកាត់រង្វង់ត្រង់ \(C\) និង \(D\) ។

ក ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABC\)

ខ គណនា \(AH\) និង \(BC\)

គ គេគូសអង្កត់ធ្នូ \(CP\) កែងនឹងជ្រុង \(CD\) ត្រង់ \(C\) ។ ចូរស្រាយថាបីចំណុច \(D, O, P\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (២០ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A &= -3\sqrt{50} - \sqrt{32} + 5\sqrt{200} \\ &= -3\sqrt{25 \times 2} - \sqrt{16 \times 2} + 5\sqrt{100 \times 2} \\ &= -3(5\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} + 5(10\sqrt{2}) \\ &= -15\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 50\sqrt{2} \\ &= 31\sqrt{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A = 31\sqrt{2}\)

២ ដោះស្រាយសមីការ

ក. \(\dfrac{x+4}{3} - \dfrac{x-4}{4} = 2 + \dfrac{3x-1}{15}\)

គុណអង្គទាំងពីរនឹង \(60\) ៖

\[\begin{aligned} 20(x+4) - 15(x-4) &= 120 + 4(3x-1) \\ 20x + 80 - 15x + 60 &= 120 + 12x - 4 \\ 5x + 140 &= 12x + 116 \\ 12x - 5x &= 140 - 116 \\ 7x &= 24 \\ x &= \frac{24}{7} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x = \frac{24}{7}\)

ខ. \(\begin{cases} x - y = 4 \quad{} (1) \\ 2x + y = 2 \quad{} (2) \end{cases}\)

បូកសមីការ \((1)\) និង \((2)\) អង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(x = 2\) ក្នុងសមីការ \((1)\)៖

\[\begin{aligned} 2 - y &= 4 \\ y &= 2 - 4 = -2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x, y) = (2, -2)\)

លំហាត់ II (២០ ពិន្ទុ)

១ សង់បន្ទាត់ \((\Delta)\) និងកំណត់សមីការ

សមីការមានរាង \(y = ax + b\) ដោយមានមេគុណប្រាប់ទិស \(a = 3\)

\[y = 3x + b\]

បន្ទាត់កាត់តាម \(A(0, 2)\) នោះ \(x = 0, y = 2\)

\[2 = 3(0) + b \Rightarrow b = 2\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = 3x + 2\)

សង់បន្ទាត់ \((\Delta)\) តារាងតម្លៃលេខ៖

\[\begin{array}{c|cc} x & 0 & -1 \\ \hline y & 2 & -1 \end{array}\]

២ រកសមីការបន្ទាត់ \((\Delta)\)

បន្ទាត់ \((\Delta)\) ស្របនឹង \((D): y = 2x + 5\) នោះ \(a = 2\) សមីការមានរាង \(y - y_A = a(x - x_A)\)

\[\begin{aligned} y - 1 &= 2(x - 2) \\ y &= 2x - 4 + 1 \\ y &= 2x - 3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (\Delta):\ y = 2x - 3\)

លំហាត់ III (២០ ពិន្ទុ)

១ រកចំនួនសត្វគោ និងសត្វមាន់

តាង \(x\) ជាចំនួនគោ និង
\(y\) ជាចំនួនមាន់ \((x,y \in \mathbb{N}^*)\)
គោមាន \(4\) ជើង និងមាន់មាន \(2\) ជើង

\[\begin{cases} x + y = 200 \quad{} &(1) \\ 4x + 2y = 560 \quad{} &(2) \end{cases}\]

តាម \((1)\) \(y = 200 - x\) ជំនួសចូល \((2)\)៖

\[\begin{aligned} 4x + 2(200 - x) &= 560 \\ 4x + 400 - 2x &= 560 \\ 2x &= 160 \\ x &= 80 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ \(y = 200 - 80 = 120\) ។

ដូចនេះ ៖ គោ \(\displaystyle 80\) ក្បាល, មាន់ \(\displaystyle 120\) ក្បាល

២ រកចំនួនក្រដាសប្រាក់ប្រភេទនីមួយៗ

តាង \(x\) ជាចំនួនក្រដាស \(500\,\) ៛ និង \(y\) ជាចំនួនក្រដាស \(1000\,\) ៛

\[\begin{cases} x + y = 11 \quad{} &(1) \\ 500x + 1000y = 8000 \quad{} &(2) \end{cases}\]

ចែកសមីការ \((2)\) នឹង \(500\) គេបាន \(x + 2y = 16 \quad{} (3)\) យក \((3)\) ដក \((1)\) អង្គនិងអង្គ៖

\[y = 5\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} 500\,\text{៛ មាន } 6\text{ សន្លឹក} \\ 1000\,\text{៛ មាន } 5\text{ សន្លឹក} \end{gathered}\)

៣ រកមុំក្នុងនីមួយៗ នៃឆកោណនិយ័ត និងគូសរូប

ឆកោណនិយ័តមានចំនួនជ្រុង \(n = 6\)

\[\text{មុំក្នុងមួយ } = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ\]

ដូចនេះ ៖ មុំក្នុងមួយ \(\displaystyle = 120^\circ\)

៤ កំណត់ប្រភេទពហុកោណ

ផលបូកមុំក្នុង \(= 2 \times\) ផលបូកមុំក្រៅ

\[\begin{aligned} (n-2) \times 180^\circ &= 2 \times 360^\circ \\ n - 2 &= 4 \\ n &= 6 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជាឆកោណ

៥ កំណត់ប្រភេទពហុកោណ

ផលបូកមុំក្នុង + ផលបូកមុំក្រៅ \(= 900^\circ\)

\[\begin{aligned} (n-2) \times 180^\circ + 360^\circ &= 900^\circ \\ (n-2) \times 180^\circ &= 540^\circ \\ n - 2 &= 3 \\ n &= 5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជាបញ្ចកោណ

លំហាត់ IV (២០ ពិន្ទុ)

ក គណនា \(AC\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(B\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ៖

\[\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ &= 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 \\ AC &= \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AC = 5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}\)

ខ គណនា \(AH\) និង \(CH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)៖

\[\begin{aligned} AB^2 &= AH \times AC \\ 10^2 &= AH \times 5\sqrt{5} \\ 100 &= 5\sqrt{5} \times AH \\ AH &= \frac{100}{5\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} BC^2 &= CH \times AC \\ 5^2 &= CH \times 5\sqrt{5} \\ 25 &= 5\sqrt{5} \times CH \\ CH &= \frac{25}{5\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AH = 4\sqrt{5}\,\mathrm{cm}, \quad{} CH = \sqrt{5}\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ V (២០ ពិន្ទុ)

ក ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABC\)

គេមាន

\[\angle ACB = 90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)}\]

នាំឱ្យ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle C\)

ខ គណនា \(AH\) និង \(BC\)

រង្វង់មានអង្កត់ផ្ចិត \(AB = 8\,\mathrm{cm}\) នាំឱ្យកាំ \(R = 4\,\mathrm{cm}\)

\(H\) ស្ថិតនៅលើអង្កត់ \(OA\) និង \(OH = 2.5\,\mathrm{cm}\)

\[AH = OA - OH = 4 - 2.5 = 1.5\,\mathrm{cm}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AH = 1.5\,\mathrm{cm}\)

ក្នុង \(\triangle\!\perp ABC\) មាន \(CH\) ជាកម្ពស់ (ព្រោះ \(CD \perp AB\) ត្រង់ \(H\))

គេមាន \(BH = BO + OH = 4 + 2.5 = 6.5\,\mathrm{cm}\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង

\[\begin{aligned} BC^2 &= BH \times AB \\ &= 6.5 \times 8 = 52 \\ BC &= \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BC = 2\sqrt{13}\,\mathrm{cm}\)

គ ស្រាយថាបីចំណុច \(D, O, P\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា

គេមាន \(CP \perp CD\) ត្រង់ \(C\) នាំឱ្យ

\[\angle PCD = 90^\circ\]

ដោយ \(P, C, D\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់ នោះ \(\angle PCD\) ជាមុំចារឹករង្វង់

មុំចារឹករង្វង់មានរង្វាស់ស្មើនឹង \(90^\circ\) វាតែងតែស្កាត់ធ្នូកន្លះរង្វង់ នាំឱ្យអង្កត់ \(PD\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ \((O)\)

ដោយ \(PD\) ជាអង្កត់ផ្ចិត នោះវាត្រូវតែកាត់តាមផ្ចិត \(O\) នៃរង្វង់

ដូចនេះ បីចំណុច \(D, O, P\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle D, O, P \) រត់ត្រង់ជួរគ្នា