វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ទី១

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ០៦ កក្កដា ២០២៦

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{45}}{x}\)

☐ ក. \(x=\pm\sqrt{15}\)☐ ខ. \(x=\sqrt{15}\)☐ គ. \(x=-\sqrt{15}\)☐ ឃ. \(x=15\)

២ ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មួយមានមុំឈមពីរមានផលបូកស្មើនឹង

☐ ក. \(90^\circ\)☐ ខ. \(120^\circ\)☐ គ. \(180^\circ\)☐ ឃ. \(360^\circ\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោម	\(\displaystyle A=303\sqrt{9}+101\sqrt{16}+\sqrt{(-7)^2}\)
	\(\displaystyle B=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} +\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \((x-2)^2-x(x+1)+5=1\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} 2x+y=7\\ x-2y=-4 \end{cases}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A=x^2-5x+6+(x+1)(4-2x)+3(x^2-4)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

V. (១០ ពិន្ទុ)

សួនច្បារមួយរាងចតុកោណកែងមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹង \(48\,\mathrm{m}^2\)។ គេដឹងថាប្រវែងទទឹងខ្លីជាងប្រវែងបណ្តោយ \(2\,\mathrm{m}\)។

១ រកប្រវែងទទឹង និងប្រវែងបណ្តោយនៃសួនច្បារនោះ

២ គណនាបរិមាត្រនៃសួនច្បារនោះ

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិកពណ៌ខៀវ \(6\) ដើម ប៊ិកពណ៌ក្រហម \(4\) ដើម និងប៊ិកពណ៌ខ្មៅ \(2\) ដើម។

គេចាប់យកប៊ិកម្ដង \(2\) ដើម ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

២ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

VII. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមែត \((xOy)\) ចូរដៅចំណុច \(A(-1,2)\), \(B(3,4)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=-2x+5\)។

១ គណនាចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\perp d\)

VIII. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=10\,\mathrm{cm}\) និងចំណុច \(M\) មួយនៅលើរង្វង់ដែលមានអង្កត់ \(BM=8\,\mathrm{cm}\)។

គេបន្លាយអង្កត់ \(AB\) ខាង \(B\) ឱ្យបាន \(BD=BM\)។ បន្ទាប់មក គូសបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹង \(BD\) ត្រង់ \(D\)

ហើយកាត់បន្ទាត់ \(AM\) ត្រង់ចំណុច \(N\)។

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(AMB\) រួចគណនាប្រវែង \(AM\) និង \(AD\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MAB\) និង \(\triangle DAN\) រួចគណនាប្រវែង \(AN\) និង \(DN\)

៣ បង្ហាញថាចតុកោណ \(BMND\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ ហើយប្រាប់ទីតាំងនៃផ្ចិត \(I\) របស់រង្វង់នោះ

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{x}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{45}}{x}\)

\[\begin{aligned} \frac{x}{\sqrt5}&=\frac{\sqrt{45}}{x}\\ x^2&=\sqrt5\cdot\sqrt{45}\\ &=\sqrt{225}=15 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle x=\pm\sqrt{15}\)

២ ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មួយមានមុំឈមពីរមានផលបូកស្មើនឹង \(180^\circ\)

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle 180^\circ\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

ក គណនាកន្សោម \(A=303\sqrt9+101\sqrt{16}+\sqrt{(-7)^2}\)

\[\begin{aligned} A&=303(3)+101(4)+7\\ &=909+404+7=1320 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=1320\)

ខ គណនាកន្សោម

\[B=\frac{\sqrt7-\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt2} +\frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}\]

\[\begin{aligned} B&=\frac{(\sqrt7-\sqrt2)^2+(\sqrt7+\sqrt2)^2}{(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)}\\ &=\frac{(9-2\sqrt{14})+(9+2\sqrt{14})}{7-2}\\ &=\frac{18}{5} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=\frac{18}{5}\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \((x-2)^2-x(x+1)+5=1\)

\[\begin{aligned} (x-2)^2-x(x+1)+5&=1\\ x^2-4x+4-x^2-x+5&=1\\ -5x+9&=1\\ -5x&=-8\\ x&=\frac85 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=\frac 85\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 2x+y=7\\ x-2y=-4 \end{cases}\]

តាមសមីការ \(2x+y=7\) បាន \(y=7-2x\)

\[\begin{aligned} x-2(7-2x)&=-4\\ x-14+4x&=-4\\ 5x&=10\\ x&=2 \end{aligned}\]

យក \(x=2\) ជំនួសក្នុង \(y=7-2x\) បាន \(y=3\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(2,3)\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

១ ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

\[\begin{aligned} A&=x^2-5x+6+(x+1)(4-2x)+3(x^2-4)\\ &=x^2-5x+6+(-2x^2+2x+4)+3x^2-12\\ &=2x^2-3x-2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=2x^2-3x-2\)

២ ដាក់កន្សោម \(A\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទី១

\[\begin{aligned} A&=2x^2-3x-2\\ &=(2x+1)(x-2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(2x+1)(x-2)\)

៣ ដោះស្រាយសមីការ \(A=0\)

\[\begin{aligned} (2x+1)(x-2)&=0\\ 2x+1=0\quad{} &\text{ឬ}\quad{} x-2=0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=-\frac 12\) ឬ \(\displaystyle x=2\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

១ រកប្រវែងទទឹង និងប្រវែងបណ្តោយនៃសួនច្បារ

តាង \(x\) ជាប្រវែងទទឹង នោះប្រវែងបណ្តោយ \(x+2\)

\[\begin{aligned} x(x+2)&=48\\ x^2+2x-48&=0\\ (x+8)(x-6)&=0 \end{aligned}\]

ដោយ \(x>0\) បាន \(x=6\)

ដូចនេះ ៖ ទទឹង \(\displaystyle 6\,\mathrm{m},\quad{} \) បណ្តោយ \(\displaystyle 8\,\mathrm{m}\)

២ គណនាបរិមាត្រនៃសួនច្បារ

\[P=2(6+8)=28\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=28\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

តាងប៊ិកពណ៌ខៀវ \(a,b,c,d,e,f\) ប៊ិកពណ៌ក្រហម \(x,y,z,t\) និងប៊ិកពណ៌ខ្មៅ \(m,n\)

ចំនួនប៊ិកសរុប \(=6+4+2=12\) ដើម

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

ចាប់លើកទី១ បានប៊ិកខៀវ មានប្រូបាប \(\dfrac{6}{12}\)

នៅសល់ប៊ិក \(11\) ដើម ក្នុងនោះប៊ិកខៀវនៅសល់ \(5\) ដើម

\[P(\text{ខៀវទាំងពីរ}) =\frac{6}{12}\times\frac{5}{11} =\frac{30}{132} =\frac{5}{22}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវទាំងពីរ \(\displaystyle )=\frac{5}{22}\)

២ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម

ករណីចាប់បានប៊ិកក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើមមាន

\[\begin{array}{c|c} \text{ក្រហម រួច ក្រហម} & \displaystyle \frac{4}{12}\times\frac{3}{11} \\[6pt] \text{ក្រហម រួច មិនក្រហម} & \displaystyle \frac{4}{12}\times\frac{8}{11} \\[6pt] \text{មិនក្រហម រួច ក្រហម} & \displaystyle \frac{8}{12}\times\frac{4}{11} \end{array}\]

\[\begin{aligned} &P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិចមួយ}) \\ &\quad{}=\frac{4}{12}\times\frac{3}{11} +\frac{4}{12}\times\frac{8}{11} +\frac{8}{12}\times\frac{4}{11}\\ &\quad{}=\frac{12+32+32}{132} =\frac{76}{132} =\frac{19}{33} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=\frac{19}{33}\)

លំហាត់ VII (១៥ ពិន្ទុ)

១ ដៅចំណុច \(A(-1,2)\), \(B(3,4)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=-2x+5\)

គណនាចម្ងាយ \(AB\) និងកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(3+1)^2+(4-2)^2}\\ &=\sqrt{16+4}=2\sqrt5 \end{aligned}\]

\[M\left(\frac{-1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(1,3)\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt 5,\quad{} M(1,3)\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & AB:\ y-y_A=a(x-x_A)\\[3pt] \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{4-2}{3-(-1)} =\frac{2}{4}=\frac12\\[3pt] \text{នោះ}\qquad{} y-2&=\frac12(x+1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y=\frac 12x+\frac 52\)

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\perp d\)

\[a_{AB}=\frac12,\qquad{} a_d=-2\]

\[a_{AB}\cdot a_d=\frac12(-2)=-1\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB\perp d\)

លំហាត់ VIII (២៥ ពិន្ទុ)

១ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ \(AMB\)
រួចគណនាប្រវែង \(AM\) និង \(AD\)

ដោយ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត និង \(M\) នៅលើរង្វង់ នោះ

\[\angle AMB=90^\circ\]

ដូចនេះ \(\triangle AMB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(M\)

\[\begin{aligned} AM^2&=AB^2-BM^2\\ &=10^2-8^2=100-64=36 \end{aligned}\]

\[AM=6\,\mathrm{cm}\]

ដោយ \(BD=BM=8\,\mathrm{cm}\)

\[AD=AB+BD=10+8=18\,\mathrm{cm}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AM=6\,\mathrm{cm},\quad{} AD=18\,\mathrm{cm}\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle MAB\) និង \(\triangle DAN\) រួចគណនាប្រវែង \(AN\) និង \(DN\)

គេមាន \(\angle AMB=\angle ADN=90^\circ\)

\(\angle MAB=\angle DAN\) ព្រោះ \(A,M,N\) និង \(A,B,D\) នៅលើបន្ទាត់តែមួយៗ

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MAB\sim \triangle DAN\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle DAN & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow\frac{AD}{AM}=\frac{AN}{AB}=\frac{DN}{BM}\\[-1pt] \triangle MAB & \end{array}\]

ដោយ \(\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{18}{6}=3\) បាន

\[AN=3\cdot AB=30\,\mathrm{cm}\]

\[DN=3\cdot BM=24\,\mathrm{cm}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AN=30\,\mathrm{cm},\quad{} DN=24\,\mathrm{cm}\)

៣ បង្ហាញថាចតុកោណ \(BMND\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ ហើយប្រាប់ទីតាំងនៃផ្ចិត \(I\)

ដោយ \(DN\perp BD\) បាន

\[\angle BDN=90^\circ\]

ហើយ \(AM\perp BM\) និង \(M,A,N\) នៅលើបន្ទាត់តែមួយ នោះ

\[\angle BMN=90^\circ\]

ដូចនេះចំណុច \(D\) និង \(M\) មើលអង្កត់ \(BN\) ក្រោមមុំកែង

\[\angle BDN=\angle BMN=90^\circ\]

នោះ \(B,M,N,D\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត \(BN\)

ផ្ចិត \(I\) របស់រង្វង់នោះ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(BN\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \begin{gathered} BMND\text{ ចារឹកក្នុងរង្វង់}\\ I\text{ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ }BN \end{gathered}\)