KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យាខ្មែរ ថ្នាក់ទី ៧–១០
ធ្វើតេស្ត
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៩
  3. វិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡង
  4. ឆ្នាំ២០២៥
១
កម្រងទី១ · វិញ្ញាសាប្រឡងឆ្នាំចាស់ៗ

វិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ឆ្នាំ២០២៥

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យា១៤ កក្កដា ២០២៥ពិន្ទុសរុប ១០០

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ១៤ កក្កដា ២០២៥

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយមួយដែលត្រឹមត្រូវ

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{-3}{x}=\dfrac{x}{-27}\)

☐ ក. \(x=\mp 9\)☐ ខ. \(x=9\)☐ គ. \(x=81\)☐ ឃ. \(x=-9\)

២ គេមានត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ដែលមានកម្ពស់ \(AH\) ចំពោះអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\)។ បើ \(BH=2\,\mathrm{cm}\)

និង \(HC=8\,\mathrm{cm}\)។ រកតម្លៃនៃ \(AH\)។

☐ ក. \(AH=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)☐ ខ. \(AH=3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}\)☐ គ. \(AH=4\,\mathrm{cm}\)☐ ឃ. \(AH=2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

គណនាកន្សោម \(A=505\sqrt{4}+202\sqrt{5^2}+\sqrt{(-5)^2}\) និង \(B=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយវិសមីការ \(4(2-x)-3\ge 2(x-1)+1\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\begin{cases} 3x+y=7 \quad{} (1)\\ 2x-3y=12 \quad{} (2) \end{cases}\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

សួនច្បារមួយរាងចតុកោណកែងដែលមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹង \(24\,\mathrm{m}^2\)។

គណនាបរិមាត្រនៃសួនច្បារនោះ បើគេដឹងថាប្រវែងទទឹងខ្លីជាងប្រវែងបណ្តោយ \(2\,\mathrm{m}\)។

V. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិកពណ៌ខៀវចំនួន \(7\) ដើម និងប៊ិកពណ៌ក្រហមចំនួន \(5\) ដើម។

គេចាប់យកប៊ិកម្ដង \(2\) ដើម ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម។

២ រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមមួយដើមយ៉ាងតិច។

VI. (២០ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) ចុះដៅចំណុច \(A(1,-3)\), \(B(3,-1)\) និងសង់បន្ទាត់ \(d:y=-x+1\)។

១ គណនាចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)។

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)។

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\perp d\)។

VII. (៣០ ពិន្ទុ)

គូសរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=8\,\mathrm{cm}\)។ គូសបន្ទាត់ \(d\) ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(B\)។ ដៅចំណុច \(D\) នៅលើបន្ទាត់ \(d\)

ដែលមានអង្កត់ \(BD=6\,\mathrm{cm}\)។

១ ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(ABD\) និងត្រីកោណ \(ACB\)។

២ គណនាប្រវែង \(AD\) និង \(BC\)។

៣ ប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BCD\) រួចបញ្ជាក់ថា \(BD^2=AD\times CD\)។

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ រកតម្លៃ \(x\) ដែល \(\dfrac{-3}{x}=\dfrac{x}{-27}\)

\[\begin{aligned} \frac{-3}{x}&=\frac{x}{-27}\\ x^2&=(-3)(-27)\\ x^2&=81\\ x&=\pm\sqrt{81}=\pm9 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle x=\pm 9\)

២ ត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ដែលមានកម្ពស់ \(AH\)

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\)

\[\begin{aligned} AH^2 &= BH \times HC \\ &= 2 \times 8 = 16 \\ \Rightarrow AH &= \sqrt{16} = 4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AH=4\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ) គណនាកន្សោម
\[\begin{aligned} A&=505\sqrt4+202\sqrt{5^2}+\sqrt{(-5)^2}\\ &=(505\times2)+(202\times5)+|-5|\\ &=1010+1010+5\\ &=2025 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=2025\)

\[B=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} +\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}\]
\[\begin{aligned} B&=\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2+(\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}\\ &=\frac{(5-2\sqrt{15}+3)+(5+2\sqrt{15}+3)}{5-3}\\ &=\frac{8-2\sqrt{15}+8+2\sqrt{15}}{2}\\ &=\frac{16}{2}=8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle B=8\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} 4(2-x)-3&\ge 2(x-1)+1\\ 8-4x-3&\ge 2x-2+1\\ 5-4x&\ge 2x-1\\ -4x-2x&\ge -1-5\\ -6x&\ge -6\\ x&\le \frac{-6}{-6}\\ x&\le 1 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x\le 1\)

២ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

\[\begin{cases} 3x+y=7 \quad{} (1)\\ 2x-3y=12 \quad{} (2) \end{cases}\]
គុណសមីការ \((1)\) នឹង \(3\)
\[\begin{cases} 9x+3y=21\\ 2x-3y=12 \end{cases}\]
បូកសមីការទាំងពីរ
\[11x=33,\qquad{} x=\frac{33}{11}=3\]
យកតម្លៃ \(x=3\) ជំនួសក្នុងសមីការ \((1)\)
\[\begin{aligned} 3(3)+y&=7\\ 9+y&=7\\ y&=7-9=-2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle (x,y)=(3,-2)\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ) គណនារង្វាស់បណ្តោយ និងទទឹង

តាង \(x\) ជាប្រវែងបណ្តោយ \((x>0)\)
\(x-2\) ជាប្រវែងទទឹង

ដោយ ផ្ទៃក្រឡាជា \(24\,\mathrm{m}^2\)
គេបានសមីការ

\[\begin{aligned} x(x-2)&=24\\ x^2-2x-24&=0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (x-6)(x+4)&=0\\ x-6&=0\quad{} \text{ឬ}\quad{} x+4=0\\ x&=6\quad{} \text{ឬ}\quad{} x=-4 \end{aligned}\]
ដោយ \(x>0\) នោះ \(x=-4\) មិនយក ដូចនេះ \(x=6\,\mathrm{m}\)

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចម្លើយ

\[\begin{aligned} x(x-2)&=24\\ 6(6-2)&=24\\ 24&=24\quad{} \text{ពិត} \end{aligned}\]

ប្រវែងបណ្តោយ \(6\,\mathrm{m}\)
ប្រវែងទទឹង \(6-2=4\,\mathrm{m}\)

បរិមាត្រនៃសួនច្បារ

\[P=(6+4)\times2=20\,\mathrm{m}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P=20\,\mathrm{m}\)

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

ចំនួនប៊ិកសរុបគឺ \(7+5=12\)។

១ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម

\[\begin{aligned} P(\text{ខៀវ, ខៀវ}) &=\frac{7}{12}\times\frac{6}{11}\\ &=\frac{42}{132}=\frac{7}{22} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ខៀវ, ខៀវ \(\displaystyle )=\frac{7}{22}\)

២ រកប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ិកពណ៌ក្រហមមួយដើមយ៉ាងតិច

ព្រឹត្តិការណ៍នេះជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹងការចាប់បានប៊ិកពណ៌ខៀវទាំងពីរដើម។

\[\begin{aligned} P(\text{ក្រហមយ៉ាងតិច១}) &= 1 - P(\text{ខៀវ, ខៀវ})\\ &=1-\frac{7}{22}\\ &=\frac{15}{22} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle P(\) ក្រហមយ៉ាងតិច១ \(\displaystyle )=\frac{15}{22}\)

លំហាត់ VI (២០ ពិន្ទុ)

សង់បន្ទាត់ \(d:y=-x+1\)

តារាងតម្លៃលេខ

\[\begin{array}{c|cc} x&0&1\\ \hline y&1&0 \end{array}\]

១ គណនាប្រវែង \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-1)^2+(-1-(-3))^2}\\ &=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2 \end{aligned}\]
រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាល \(AB\)
\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \\ M\left(\frac{1+3}{2},\frac{-3+(-1)}{2}\right)\\ &=M(2,-2) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB=2\sqrt 2,\quad{} M(2,-2)\)

២ សរសេរសមីការបន្ទាត់ \(AB\)

\[\begin{aligned} \text{សមីការ}\qquad{} & y-y_A=a(x-x_A)\\ \text{ដោយ}\qquad{} a&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{-1-(-3)}{3-1}\\ &=\frac{2}{2}=1\\ \text{នោះ}\qquad{} y-(-3)&=1(x-1)\\ y+3&=x-1\\ y&=x-4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y=x-4\)

៣ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(AB\perp d\)

\(AB:y=x-4\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a=1\)
\(d:y=-x+1\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(a'=-1\)

បើ \(AB\perp d\) លុះត្រាតែ \(a\times a'=-1\)

\[\begin{aligned} 1\times(-1)&=-1\\ -1&=-1\quad{} \text{ពិត} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB\perp d\)

លំហាត់ VII (៣០ ពិន្ទុ)

១ ប្រាប់ឈ្មោះត្រីកោណ \(ABD\) និងត្រីកោណ \(ACB\)

គេមាន

\[\angle ABD=90^\circ\quad{} \text{(ព្រោះ }d\text{ ប៉ះរង្វង់ត្រង់ }B\text{)}\]
នាំឱ្យ \(\triangle ABD\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABD\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle B\)

គេមាន

\[\angle ACB=90^\circ\quad{} \text{(មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)}\]
នាំឱ្យ \(\triangle ACB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(C\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ACB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle C\)

២ គណនាប្រវែង \(AD\) និង \(BC\)

ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABD\)

\[\begin{aligned} AD^2&=AB^2+BD^2\quad{} \text{(ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ)}\\ &=8^2+6^2=64+36=100\\ AD&=\sqrt{100}=10\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AD=10\,\mathrm{cm}\)

ក្នុង \(\triangle\!\perp ABD\) មាន \(BC\) ជាកម្ពស់

តាមទំនាក់ទំនងមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង \(ABD\)

\[\begin{aligned} BC\times AD&=AB\times BD\\ BC&=\frac{AB\times BD}{AD} =\frac{8\times6}{10}=4.8\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BC=4.8\,\mathrm{cm}\)

៣ ប្រៀបធៀប \(\triangle ABD\) និង \(\triangle BCD\)
រួចទាញរកថា \(BD^2=AD\times CD\)

គេមាន

\[\angle ABD=90^\circ\quad{} \text{(សម្រាយខាងលើ)}\]
\[\angle BCD=90^\circ\quad{} \text{(មុំជាប់បន្ថែមនឹង }\angle ACB\text{)}\]
នាំឱ្យ
\[\angle ABD=\angle BCD=90^\circ\]
ហើយ
\[\angle D\text{ ជាមុំរួម}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABD\sim\triangle BCD \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle ABD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}\\[-1pt] \triangle BCD & \end{array}\]
\[\begin{aligned} BD\times BD&=AD\times CD\\ BD^2&=AD\times CD \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle BD^2=AD\times CD\)