វិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ឆ្នាំ២០២២

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ២៤ តុលា ២០២២

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ តើចម្ងាយ \(100mile\) ស្មើនឹងប៉ុន្មាន \(km\) ?

☐ ក. \(160.9km\)☐ ខ. \(16.09km\)☐ គ. \(1.609km\)☐ ឃ. \(1609km\)

២ ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មានរង្វាស់ផលបូកមុំឈមស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

☐ ក. \(200^\circ\)☐ ខ. \(180^\circ\)☐ គ. \(150^\circ\)☐ ឃ. \(120^\circ\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A=202\sqrt{25}+505\sqrt{4}+\sqrt{(-2)^2}\) និង \(B=2\sqrt[3]{135}+3\sqrt[3]{40}-3\sqrt[3]{320}\)

២ ដោះស្រាយសមីការ \((x+1)^2+3(x-2)(x+3)=4x(x+1)+2005\)

III. (១០ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(C=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(C\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

២ ដាក់កន្សោម \(C\) ជាផលគុណនៃកត្តាដឺក្រេទី១

៣ រកតម្លៃ \(x\) បើកន្សោម \(C=2\)

IV. (១០ ពិន្ទុ)

ពូសុខដាក់ប្រាក់បញ្ញើចំនួន \(2\,000\,000\) ៛ នៅធនាគារ \(A\) ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ \(5\%\) ក្នុងមួយឆ្នាំ និងដាក់

ប្រាក់បញ្ញើចំនួន \(3\,000\,000\) ៛ នៅធនាគារ \(B\) ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ \(6\%\) ក្នុងមួយឆ្នាំ។ តើពូសុខនឹង

ទទួលបានការប្រាក់សរុបប៉ុន្មានរៀលក្នុងមួយឆ្នាំពីធនាគារទាំងពីរ?

V. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សសរុបចំនួន \(54\) នាក់។ គេដឹងថា ផលដក ប្រាំដងនៃចំនួនសិស្សប្រុស និង បីដងនៃ

ចំនួនសិស្សស្រី ស្មើនឹង \(78\) នាក់។ កំណត់ចំនួនសិស្សប្រុស និងចំនួនសិស្សស្រីក្នុងថ្នាក់រៀននេះ។

VI. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមែតមួយ ចូរដៅចំណុច \(A(1,3)\) និង \(B(3,7)\) ។

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) កណ្តាលអង្កត់ \(AB\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

VII. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(AB=10cm\) និង \(M\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់នេះ ដែល \(AM=5cm\) ។

គេបន្លាយអង្កត់ \(AB\) ខាង \(B\) ឱ្យបាន \(BD=BM\) រួចគូសបន្ទាត់ \(d\) កែងនឹងអង្កត់ \(BD\) ត្រង់ \(D\) ហើយកាត់បន្ទាត់ \(AM\)

ត្រង់ចំណុច \(N\) ។

ក ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABM\) រួចគណនាប្រវែង \(BM\)

ខ \(D\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(BM\) រួចគេបន្លាយបន្ទាត់ \(AD\) ឱ្យកាត់រង្វង់ត្រង់ចំណុច \(N\) ។ ចូរប្រៀបធៀប \(\triangle AMD\)

និង \(\triangle NMD\) រួចទាញវិបាក

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ តើចម្ងាយ \(100\,\mathrm{mile}\) ស្មើនឹងប៉ុន្មាន \(km\)?

ដោយ \(1\,\mathrm{mile} \approx 1.609\,\mathrm{km}\)

\[\begin{aligned} 100\,\mathrm{mile} &= 100 \times 1.609\\ &=160.9\,\mathrm{km} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ក. \(\displaystyle 160.9\,\mathrm{km}\)

២ ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មានរង្វាស់ផលបូកមុំឈមស្មើនឹង

តាមលក្ខណៈចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ផលបូកមុំឈមស្មើនឹង \(180^\circ\)

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស ខ. \(\displaystyle 180^\circ\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាកន្សោម \(A\) និង \(B\)

\[\begin{aligned} A&=202\sqrt{25}+505\sqrt4+\sqrt{(-2)^2}\\ &=202(5)+505(2)+|-2|\\ &=1010+1010+2\\ &=2022 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} B&=2\sqrt[3]{135}+3\sqrt[3]{40}-3\sqrt[3]{320}\\ &=2\sqrt[3]{27\times5}+3\sqrt[3]{8\times5}-3\sqrt[3]{64\times5}\\ &=2(3)\sqrt[3]{5}+3(2)\sqrt[3]{5}-3(4)\sqrt[3]{5}\\ &=6\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{5}-12\sqrt[3]{5}\\ &=0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=2022,\quad{} B=0\)

២ ដោះស្រាយសមីការ

\[\begin{aligned} (x+1)^2+3(x-2)(x+3)&=4x(x+1)+2005\\ x^2+2x+1+3(x^2+x-6)&=4x^2+4x+2005\\ x^2+2x+1+3x^2+3x-18&=4x^2+4x+2005\\ 4x^2+5x-17&=4x^2+4x+2005\\ 5x-4x&=2005+17\\ x&=2022 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=2022\)

លំហាត់ III (១០ ពិន្ទុ) គេឱ្យ \(C=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\)

១ ពន្លាតកន្សោម \(C\) រួចរៀបតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះនៃ \(x\)

\[\begin{aligned} C&=x^2-4x+4+(x+3)(6-3x)+5(x^2-4)\\ &=x^2-4x+4+6x-3x^2+18-9x+5x^2-20\\ &=x^2-3x^2+5x^2-4x+6x-9x+4+18-20\\ &=3x^2-7x+2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle C=3x^2-7x+2\)

២ ដាក់កន្សោម \(C\) ជាផលគុណនៃកត្តាដឺក្រេទី១

\[\begin{aligned} C&=3x^2-7x+2\\ &=3x^2-6x-x+2\\ &=3x(x-2)-(x-2)\\ &=(x-2)(3x-1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle C=(x-2)(3x-1)\)

៣ រកតម្លៃ \(x\) បើកន្សោម \(C=2\)

\[\begin{aligned} 3x^2-7x+2&=2\\ 3x^2-7x&=0\\ x(3x-7)&=0\\ x=0 \quad{} &\text{ឬ} \quad{} 3x-7=0 \Rightarrow x=\frac73 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=0\) ឬ \(\displaystyle x=\frac 73\)

លំហាត់ IV (១០ ពិន្ទុ)

រកការប្រាក់សរុបដែលពូសុខទទួលបាន

តាង \(I_A\) និង \(I_B\) ជាការប្រាក់ទទួលបានពីធនាគារ \(A\) និង \(B\) ក្នុងមួយឆ្នាំ

\[\begin{aligned} I_A &= 2\,000\,000 \times 5\% \\ &= 100\,000\,\text{៛}\\ I_B &= 3\,000\,000 \times 6\% \\ &= 180\,000\,\text{៛} \end{aligned}\]

ការប្រាក់សរុបដែលគាត់ទទួលបាន៖

\[I = 100\,000 + 180\,000 = 280\,000\,\text{៛}\]

ដូចនេះ ៖ ការប្រាក់សរុប \(\displaystyle 280\,000\,\) ៛

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

កំណត់ចំនួនសិស្សប្រុស និងចំនួនសិស្សស្រី

តាង \(x\) ជាចំនួនសិស្សប្រុស និង \(y\) ជាចំនួនសិស្សស្រី \((x,y \in \mathbb{N}^*)\)

តាមបម្រាប់ប្រធាន គេបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} x+y=54 \quad{} (1)\\ 5x-3y=78 \quad{} (2) \end{cases}\]

គុណសមីការ \((1)\) នឹង \(3\):

\[\begin{cases} 3x+3y=162\\ 5x-3y=78 \end{cases}\]

បូកសមីការទាំងពីរ:

\[\begin{aligned} 8x&=240\\ x&=\frac{240}{8}=30 \end{aligned}\]

យក \(x=30\) ជំនួសក្នុងសមីការ \((1)\):

\[\begin{aligned} 30+y&=54\\ y&=54-30=24 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ សិស្សប្រុស \(\displaystyle 30\) នាក់ \(\displaystyle ,\quad{}\) សិស្សស្រី \(\displaystyle 24\) នាក់

លំហាត់ VI (១៥ ពិន្ទុ)

១ រកចម្ងាយ \(AB\) និងរកកូអរដោនេចំណុច \(M\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(3-1)^2+(7-3)^2}\\ &=\sqrt{2^2+4^2}\\ &=\sqrt{4+16}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt5 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) &=M\left(\frac{1+3}{2},\frac{3+7}{2}\right)\\ &=M(2,5) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB = 2\sqrt 5,\quad{} M(2, 5)\)

២ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(AB\)

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{7-3}{3-1} =\frac{4}{2}=2\]

សមីការមានរាង \(y-y_A=a(x-x_A)\)

\[\begin{aligned} y-3&=2(x-1)\\ y&=2x-2+3\\ y&=2x+1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle AB:\ y = 2x + 1\)

លំហាត់ VII (២៥ ពិន្ទុ)

១ ប្រាប់ប្រភេទ \(\triangle ABM\) រួចគណនាប្រវែង \(BM\)

ដោយ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ ហើយ \(M\) ជារង្វង់ នោះ \(\angle AMB=90^\circ\) (មុំចារឹករង្វង់កន្លះរង្វង់)

នាំឱ្យ \(\triangle ABM\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(M\)។

តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រក្នុង \(\triangle ABM\):

\[\begin{aligned} AB^2&=AM^2+BM^2\\ BM^2&=AB^2-AM^2\\ &=10^2-5^2\\ &=100-25=75\\ BM&=\sqrt{75}=5\sqrt3\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle ABM\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle M,\quad{} BM=5\sqrt 3\,\mathrm{cm}\)

២ ប្រៀបធៀប \(\triangle AMD\) និង \(\triangle BND\)

គេមាន៖

\(\angle ADM = \angle BDN\) (មុំទល់កំពូល)

\(\angle MAD = \angle NBD\) (មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូ \(MN\) រួម)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle AMD \sim \triangle BND \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញបញ្ជាក់ថា \(MD^2=AD\times ND\)

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle AMD & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{MD}{ND}\\[-1pt] \triangle BND & \end{array}\]

គេបាន

\[AD \times ND = BD \times MD\]

ដោយ \(D\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BM\) នោះ \(BD = MD\)

នាំឱ្យ

\[\begin{aligned} AD \times ND &= MD \times MD\\ MD^2 &= AD \times ND \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle MD^2 = AD \times ND\)