វិញ្ញាសាប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាបឋមភូមិ ឆ្នាំ២០២១

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យាសម័យប្រឡង ១៥ វិច្ឆិកា ២០២១

I. (១០ ពិន្ទុ)

ចូរគូសសញ្ញា ✓ ក្នុងប្រអប់ខាងមុខចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវតែមួយគត់

១ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A=\sqrt{5-2\sqrt{6}}\times\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)

☐ ក. \(A=-1\)☐ ខ. \(A=0\)☐ គ. \(A=1\)☐ ឃ. \(A=2\)

២ គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ដែលមាន \(AB=3\text{cm}\) និង \(BC=5\text{cm}\)។ គណនាប្រវែង \(AC\)

☐ ក. \(AC=\sqrt{15}\text{cm}\)☐ ខ. \(AC=\sqrt{34}\text{cm}\)☐ គ. \(AC=4\text{cm}\)☐ ឃ. \(AC=8\text{cm}\)

II. (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \((2x-1)^2=4x^2-2x+15\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ \(\dfrac{x-6}{12}-\dfrac{x+6}{4}<\dfrac{2x-1}{3}\)

III. (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យកន្សោម \(A=(x+1)(2x-3)-(x^2-1)\) និង \(B=x^2-2x-3\) ។

១ សរសេរកន្សោម \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណនៃកត្តាកន្សោម

២ សម្រួលកន្សោម \(F=\dfrac{A}{B}\) រួចគណនាតម្លៃលេខនៃ \(F\) ចំពោះ \(x=-5\)

IV. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងទ្រុងមួយមានសត្វពីរប្រភេទ គឺសត្វមាន់ និងសត្វជ្រូក។ បើគេរាប់ចំនួនក្បាលឃើញសរុប 27 ក្បាល ប៉ុន្តែបើគេរាប់ជើងឃើញសរុប 78 ជើង។ រកចំនួនប្រភេទសត្វនីមួយៗ

V. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ \((xOy)\) សង់បន្ទាត់ \(d:y=-x-2\) និងដៅចំណុច \(A(1,2)\) ។

១ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(d'\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(A\) ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ \(d\) រួចសង់បន្ទាត់នេះ

២ គណនាកូអរដោនេ \(M\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ \(d\) និង \(d'\)

VI. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ស និងឃ្លីពណ៌ក្រហមសរុបចំនួន 15 គ្រាប់។

គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយគ្រាប់ដោយចៃដន្យ។ ប្រសិនបើប្រូបាបនៃឃ្លីពណ៌ក្រហមស្មើនឹង \(\dfrac{3}{5}\) គណនាចំនួនឃ្លីពណ៌ស

VII. (២៥ ពិន្ទុ)

គេមានរង្វង់ផ្ចិត \(O\) អង្កត់ផ្ចិត \(MN\) ។ \(Q\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ ដែលមានមុំ \(\angle NMQ=30^\circ\) ។

១ គណនារង្វាស់មុំ \(\angle NOQ\)

២ ប្រាប់ប្រភេទត្រីកោណ \(MNQ\)

៣ ដៅចំណុច \(P\) នៅលើធ្នូតូច \(MQ\) រួចគូសបន្ទាត់ \(NP\) កាត់អង្កត់ \(MQ\) ត្រង់ចំណុច \(H\) ។

ចូរប្រៀបធៀប \(\triangle MHP\) និង \(\triangle NHQ\) រួចទាញវិបាក

មើលអត្រាកំណែ (ចម្លើយលម្អិត)

អត្រាកំណែ

លំហាត់ I (១០ ពិន្ទុ)

១ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A\)

\[\begin{aligned} A&=\sqrt{5-2\sqrt6}\times\sqrt{5+2\sqrt6}\\ &=\sqrt{(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)}\\ &=\sqrt{5^2-(2\sqrt6)^2}\\ &=\sqrt{25-24}=\sqrt1=1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle A=1\)

២ គណនាប្រវែង \(AC\)

ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)

\[\begin{aligned} BC^2&=AB^2+AC^2\\ AC^2&=BC^2-AB^2\\ &=5^2-3^2=25-9=16\\ AC&=\sqrt{16}=4\,\mathrm{cm} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ ជ្រើសរើស គ. \(\displaystyle AC=4\,\mathrm{cm}\)

លំហាត់ II (១០ ពិន្ទុ)

១ ដោះស្រាយសមីការ \((2x-1)^2=4x^2-2x+15\)

\[\begin{aligned} (2x-1)^2&=4x^2-2x+15\\ 4x^2-4x+1&=4x^2-2x+15\\ -4x+2x&=15-1\\ -2x&=14\\ x&=-7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x=-7\)

២ ដោះស្រាយវិសមីការ

\[\begin{aligned} \frac{x-6}{12}-\frac{x+6}{4}&<\frac{2x-1}{3}\\ x-6-3(x+6)&<4(2x-1)\\ x-6-3x-18&<8x-4\\ -2x-24&<8x-4\\ -10x&<20\\ x&>-2 \end{aligned}\]

បកស្រាយចម្លើយលើក្រាប

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle x>-2\)

លំហាត់ III (១៥ ពិន្ទុ)

គេឱ្យ \(A=(x+1)(2x-3)-(x^2-1)\) និង \(B=x^2-2x-3\)

១ សរសេរ \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណនៃកត្តាកន្សោម

\[\begin{aligned} A&=(x+1)(2x-3)-(x^2-1)\\ &=2x^2-x-3-x^2+1\\ &=x^2-x-2\\ &=(x-2)(x+1) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} B&=x^2-2x-3\\ &=(x-3)(x+1) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle A=(x-2)(x+1),\quad{} B=(x-3)(x+1)\)

២ សម្រួលកន្សោម \(F=\dfrac{A}{B}\) រួចគណនាតម្លៃលេខនៃ \(F\) ចំពោះ \(x=-5\)

ចំពោះ \(x\neq -1,3\)

\[\begin{aligned} F&=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-3)(x+1)}\\ &=\frac{x-2}{x-3} \end{aligned}\]

បើ \(x=-5\)

\[F=\frac{-5-2}{-5-3}=\frac{-7}{-8}=\frac78\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle F=\frac{x-2}{x-3},\quad{} F(-5)=\frac 78\)

លំហាត់ IV (១៥ ពិន្ទុ)

តាង \(x\) ជាចំនួនមាន់ និង \(y\) ជាចំនួនជ្រូក

\[\begin{cases} x+y=27\\ 2x+4y=78 \end{cases}\]

ចែកសមីការទី \(2\) នឹង \(2\)

\[x+2y=39\]

យក

\[\begin{aligned} x+2y&=39\\ x+y&=27\\ \hline y&=12 \end{aligned}\]

នោះ

\[x=27-12=15\]

ដូចនេះ ៖ មាន់ \(\displaystyle 15\) ក្បាល \(\displaystyle ,\quad{} \) ជ្រូក \(\displaystyle 12\) ក្បាល

លំហាត់ V (១០ ពិន្ទុ)

សង់បន្ទាត់ \(d:y=-x-2\) និងដៅចំណុច \(A(1,2)\)

១ រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(d'\)

បន្ទាត់ \(d:y=-x-2\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(-1\)។ ដោយ \(d'\perp d\) នោះ \(d'\) មានមេគុណប្រាប់ទិស \(1\)។

\[\begin{aligned} y-y_A&=1(x-x_A)\\ y-2&=x-1\\ y&=x+1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle d':y=x+1\)

២ គណនាកូអរដោនេ \(M\)

ដោយ \(M\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាង \(d\) និង \(d'\)

\[\begin{aligned} x+1&=-x-2\\ 2x&=-3\\ x&=-\frac32 \end{aligned}\]

យក \(x=-\dfrac32\) ជំនួសក្នុង \(y=x+1\)

\[y=-\frac32+1=-\frac12\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle M\left(-\frac 32,-\frac 12\right)\)

លំហាត់ VI (១០ ពិន្ទុ)

តាង \(r\) ជាចំនួនឃ្លីពណ៌ក្រហម

\[\begin{aligned} \frac{r}{15}&=\frac35\\ r&=15\times\frac35=9 \end{aligned}\]

ចំនួនឃ្លីពណ៌ស

\[15-9=6\]

ដូចនេះ ៖ ឃ្លីពណ៌សមាន \(\displaystyle 6\) គ្រាប់

លំហាត់ VII (២៥ ពិន្ទុ)

១ គណនារង្វាស់មុំ \(\angle NOQ\)

ដោយ \(\angle NMQ\) (ជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ដោយធ្នូ \(NQ\))
ហើយ \(\angle NOQ\) (ជាមុំផ្ចិតស្កាត់ដោយធ្នូ \(NQ\))

\[\angle NOQ=2\angle NMQ=2\times30^\circ=60^\circ\]

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \angle NOQ=60^\circ\)

២ ប្រាប់ប្រភេទត្រីកោណ \(MNQ\)

ដោយ \(MN\) ជាអង្កត់ផ្ចិត
នោះ

\[\angle MQN=90^\circ \quad{} \text{(មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់)}\]

ហើយ

\[\angle MNQ=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\]

នាំឱ្យ \(\triangle MNQ\) មានមុំ \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MNQ\) ជាត្រីកោណកន្លះសម័ង្ស

៣ ប្រៀបធៀប \(\triangle MHP\) និង \(\triangle NHQ\)

គេមាន

\(\angle MHP=\angle NHQ\) (មុំទល់កំពូល)

\(\angle MPH=\angle NQH=90^\circ\) (មុំចារឹកកន្លះរង្វង់)

ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \triangle MHP\sim\triangle NHQ \quad{} \) (ករណីទី១ ម.ម)

ទាញវិបាក

តាមផលធៀបដំណូច

\[\begin{array}{c|c} \triangle MHP & \\[-1pt] \sim & \displaystyle\Rightarrow\frac{MH}{NH}=\frac{HP}{HQ}=\frac{MP}{NQ}\\[-1pt] \triangle NHQ & \end{array}\]