KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៧
  3. មេរៀនទី ៨
៨
មេរៀនទី ៨ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

កន្សោមពីជគណិត

ពីជគណិត៥ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០▶ ស្លាយបង្រៀន
ប្រវត្តិនៃពីជគណិត និងលោក Al-Khwarizmi

ពាក្យថា «ពីជគណិត» ក្នុងភាសាអង់គ្លេសគឺ Algebra ដែលមានប្រភពមកពីពាក្យអារ៉ាប់ Al-Jabr (មានន័យថា «ការផ្គុំឡើងវិញ» ឬ «ការស្ដារឡើងវិញនៃផ្នែកដែលបាក់បែក»)។ ពាក្យនេះត្រូវបានដកស្រង់ចេញពីចំណងជើងសៀវភៅគណិតវិទ្យាដ៏ល្បីល្បាញ Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala ដែលនិពន្ធឡើងនៅប្រមាណឆ្នាំ ៨២០ នៃគ្រិស្តសករាជ ដោយគណិតវិទូជនជាតិពែរ្សដ៏ឆ្នើម Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (៧៨០–៨៥០ នៃ គ.ស.) ដែលបច្ចុប្បន្នត្រូវបានគេប្រសិទ្ធនាមថាជា «បិតានៃពីជគណិត»។

នៅសម័យបុរាណ ពីជគណិតត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើប្រាស់ពាក្យសំដីសុទ្ធសាធ (Rhetorical Algebra)។ លុះដល់សតវត្សទី១៦ និង១៧ គណិតវិទូបារាំងពីររូបគឺលោក François Viète និងលោក René Descartes បានបង្កើតប្រព័ន្ធនិមិត្តសញ្ញាអក្សរទំនើប ដោយប្រើប្រាស់អក្សរដើមតួនៃព្យញ្ជនៈ (\(a, b, c\)) តំណាងឱ្យចំនួនថេរដែលស្គាល់ និងអក្សរចុងតួ (\(x, y, z\)) តំណាងឱ្យអថេរ ឬអញ្ញាត។ ការបង្កើតនិមិត្តសញ្ញានេះបានធ្វើឱ្យពីជគណិតក្លាយជាភាសាសកលនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យាទំនើប។

សញ្ញាណទូទៅ និងពាក្យគន្លឹះក្នុងពីជគណិត

ដើម្បីសិក្សាពីជគណិត យើងត្រូវស្គាល់ពាក្យបច្ចេកទេសគ្រឹះមួយចំនួន ៖

  • អថេរ (Variable) ៖ ជានិមិត្តសញ្ញាអក្សរ (ដូចជា \(x, y, z, a, b\)) ដែលតំណាងឱ្យតម្លៃលេខដែលអាចប្រែប្រួលបាន។

  • ចំនួនថេរ (Constant) ៖ ជាតម្លៃលេខជាក់លាក់មួយដែលមិនប្រែប្រួល (ដូចជា \(5, -7, \frac{2}{3}, \pi\))។

  • មេគុណ (Coefficient) ៖ ជាកត្តាលេខដែលគុណជាមួយអថេរ។ ឧទាហរណ៍ ៖ ក្នុង \(7x\) មេគុណគឺ \(7\)។

  • តួ (Term) ៖ អាចជាចំនួនថេរ អាចជាអថេរ ឬជាផលគុណរវាងចំនួនថេរនិងអថេរ ដែលខណ្ឌគ្នាដោយសញ្ញាបូក (\(+\)) ឬសញ្ញាដក (\(-\))។

  • កន្សោមពីជគណិត (Algebraic Expression) ៖ ជាការផ្គុំគ្នានៃអថេរ ចំនួនថេរ និងប្រមាណវិធីគណិតវិទ្យា (\(+, -, \times, \div\))។

សញ្ញាណកន្សោមពីជគណិត

កន្សោមពីជគណិត និងការសរសេរកន្សោម

កន្សោមពីជគណិត គឺជាកន្សោមដែលមានអក្សរ (អថេរ) ជំនួសឱ្យតម្លៃលេខ។
សម្គាល់លើការសរសេរ ៖ ក្នុងពីជគណិត គេច្រើនលុបសញ្ញាគុណ (\(\times\)) រវាងលេខនិងអក្សរ ឬរវាងអក្សរនិងអក្សរ ៖

\[3 \times x = 3x, \qquad{} a \times b = ab, \qquad{} 2 \times (x + y) = 2(x + y), \qquad{} x \times x = x^2\]

កន្សោមពីជគណិត អថេរ តួទាំងអស់ ចំនួនតួ
\(5x\) \(x\) \(5x\) \(1\) (ឯកធា)
\(3a - 7b\) \(a, b\) \(3a, \; -7b\) \(2\) (ទ្វេធា)
\(2x^2 + 5x - 8\) \(x\) \(2x^2, \; 5x, \; -8\) \(3\) (ត្រីធា)
\(4xy - 3x + 2y - 9\) \(x, y\) \(4xy, \; -3x, \; 2y, \; -9\) \(4\) (ពហុធា)
ឧទាហរណ៍

សរសេរល្បះខាងក្រោមជាកន្សោមពីជគណិត ៖

  1. \(5\) បូកនឹង \(3\) ដងនៃ \(x\)

  2. \(8\) ដងនៃ \(a\) ដកនឹង \(4\) ដងនៃ \(b\)

  3. ការ៉េនៃផលបូក \(x\) និង \(y\)

  4. ផលគុណរវាង \(n\) និងចំនួនបន្ទាប់ \((n + 1)\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. គេបានកន្សោម ៖ \(5 + 3x\)

  2. គេបានកន្សោម ៖ \(8a - 4b\)

  3. គេបានកន្សោម ៖ \((x + y)^2\)

  4. គេបានកន្សោម ៖ \(n(n + 1)\)

សរសេរកន្សោមពីជគណិត

១. ប្រាប់ចំនួនតួ និងអថេរនៃកន្សោម ៖ ក. \(7a^2 - 3ab + 5b^2\) ខ. \(\frac{2}{5}xyz - 9\)
២. ចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយ \(2x + 3\) និងទទឹង \(x\)។ សរសេរកន្សោមពីជគណិតតំណាងឱ្យបរិមាត្រ \(P\) នៃចតុកោណកែងនោះ។

តម្លៃនៃកន្សោមពីជគណិត

ការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមពីជគណិត

ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមពីជគណិតចំពោះតម្លៃដែលបានកំណត់នៃអថេរ គេត្រូវ ៖

  1. ជំនួសអថេរនីមួយៗក្នុងកន្សោមដោយតម្លៃលេខដែលបានឱ្យ (ដោយប្រើវង់ក្រចកបើជាចំនួនអវិជ្ជមាន)។

  2. អនុវត្តប្រមាណវិធីតាមលំដាប់ ៖ វង់ក្រចក \(\rightarrow\) ស្វ័យគុណ \(\rightarrow\) គុណនិងចែក \(\rightarrow\) បូកនិងដក (ពីឆ្វេងទៅស្ដាំ)។

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមពីជគណិតខាងក្រោម ៖

  1. \(A = 3x - 5\) ចំពោះ \(x = 4\) និងចំពោះ \(x = -2\)

  2. \(B = 2a^2 - 3ab + b^2\) ចំពោះ \(a = 3, \; b = -1\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. ចំពោះ \(x = 4\) គេបាន ៖ \(A = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7\)។
    ចំពោះ \(x = -2\) គេបាន ៖ \(A = 3(-2) - 5 = -6 - 5 = -11\)។

  2. ជំនួស \(a = 3, \; b = -1\) ចូលក្នុង \(B\) ៖

    \[B = 2(3)^2 - 3(3)(-1) + (-1)^2 = 2(9) - (-9) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28\]

គណនាតម្លៃកន្សោម

១. គណនាតម្លៃនៃ \(P = \dfrac{4x + 6}{2}\) ចំពោះ \(x = 5\) និង \(x = -3\)។
២. គណនាតម្លៃនៃ \(Q = 2(a - b)^2 + 3ab\) ចំពោះ \(a = 4, \; b = 2\)។

វិធីបូក និងវិធីដកកន្សោមពីជគណិត

តួដូចគ្នា និងវិធានបូកដកកន្សោម

\(\bullet\) តួដូចគ្នា (Like Terms) ៖ ជាតួដែលមានផ្នែកអថេរដូចគ្នាបេះបិទ (អក្សរដូចគ្នានិងមានស្វ័យគុណដូចគ្នា)។
ឧទាហរណ៍ ៖ \(4x\) និង \(-7x\) ជាតួដូចគ្នា; \(3a^2b\) និង \(5a^2b\) ជាតួដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែ \(2x\) និង \(2x^2\) មិនមែនជាតួដូចគ្នាទេ។
\(\bullet\) វិធានបូក ដកតួដូចគ្នា ៖ គេបូក ឬដកតែមេគុណ ហើយរក្សាទុកផ្នែកអថេរនៅដដែល ៖

\[ax + bx = (a + b)x, \qquad{} ax - bx = (a - b)x\]
\(\bullet\) វិធានលុបវង់ក្រចក ៖ - បើមុខវង់ក្រចកមានសញ្ញា \(+\) ៖ លុបវង់ក្រចកដោយរក្សាសញ្ញាតួខាងក្នុងនៅដដែល។ - បើមុខវង់ក្រចកមានសញ្ញា \(-\) ៖ លុបវង់ក្រចកដោយប្ដូរសញ្ញារាល់តួខាងក្នុងវង់ក្រចក។

ឧទាហរណ៍

បង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(M = 5a + 7b - 2a + 3b\)

  2. \(N = (4x^2 - 3x + 5) - (2x^2 + 5x - 7)\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. ផ្ដុំតួដូចគ្នា ៖ \(M = (5a - 2a) + (7b + 3b) = 3a + 10b\)

  2. លុបវង់ក្រចក ៖ \(N = 4x^2 - 3x + 5 - 2x^2 - 5x + 7 = (4 - 2)x^2 + (-3 - 5)x + (5 + 7) = 2x^2 - 8x + 12\)

បង្រួមកន្សោម

បង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = 7x - 4y + 2x - 5y\)

  2. \(B = 3a^2 + 5a - (2a^2 - 4a + 6)\)

  3. \(C = 2(3x - y) - 4(x + 2y)\)

  4. \(D = 5x - [2x - (x - 3)]\)

ផលគុណកន្សោមពីជគណិត

វិធាននៃផលគុណកន្សោមពីជគណិត

\(\bullet\) គុណឯកធាជាមួយពហុធា (លក្ខណៈបំបែក) ៖

\[a(b + c) = ab + ac, \qquad{} a(b - c) = ab - ac\]
\(\bullet\) គុណទ្វេធាជាមួយទ្វេធា ៖
\[(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd\]
\(\bullet\) ស្វ័យគុណនៃអថេរ ៖ \(x^m \times x^n = x^{m+n}\) (ឧទាហរណ៍ ៖ \(x \cdot x = x^2, \; x^2 \cdot x^3 = x^5\))។

ឧទាហរណ៍

ពន្លាត និងសម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(P = 3x(2x - 5)\)

  2. \(Q = (2x + 3)(x - 4)\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. គុណបំបែក ៖ \(P = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 = 6x^2 - 15x\)

  2. ពន្លាតទ្វេធា ៖ \(Q = 2x(x - 4) + 3(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\)

ពន្លាតកន្សោម

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = -4a(2a - 3b)\)

  2. \(B = 2x(x + 3) - x(2x - 5)\)

  3. \(C = (3x - 2)(2x + 5)\)

  4. \(D = (x - 4)(x + 4)\)

ការដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តា

វិធីសាស្ត្រដាក់ជាផលគុណកត្តា

ការដាក់ជាផលគុណកត្តា គឺជាការបំប្លែងផលបូក ឬផលដក ឱ្យទៅជាផលគុណនៃកត្តា ៖

  1. វិធីទាញកត្តារួម (Common Factor) ៖

    \[ab + ac = a(b + c), \qquad{} ka - kb + kc = k(a - b + c)\]

  2. វិធីផ្គុំតួ (Grouping) ៖ ផ្គុំតួដែលមានកត្តារួម រួចទាញកត្តារួមម្ដងទៀត ៖

    \[ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)\]

ឧទាហរណ៍

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា ៖

  1. \(M = 6x^2 - 9x\)

  2. \(N = 2ax + 2ay + 3bx + 3by\)

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយលម្អិត៖

  1. កត្តារួមនៃ \(6x^2\) និង \(9x\) គឺ \(3x\) ៖ \(M = 3x(2x - 3)\)

  2. ផ្គុំជាពីរក្រុម ៖ \(N = 2a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(2a + 3b)\)

ដាក់ជាផលគុណកត្តា

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា ៖

  1. \(P = 12x + 18\)

  2. \(Q = 4a^2b - 6ab^2\)

  3. \(R = 5x(a - b) + 2y(a - b)\)

  4. \(S = ax - 3x + ay - 3y\)

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចូរសរសេរល្បះខាងក្រោមជាកន្សោមពីជគណិត ៖

  1. \(7\) បូកនឹងពីរដងនៃ \(x\)

  2. \(5\) ដងនៃ \(a\) ដកនឹង \(9\)

  3. ផលបូករវាង \(3x\) និង \(4y\)

  4. ផលដករវាង \(10m\) និង \(3n\)

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរជាកន្សោមពីជគណិត ៖

  • \(7 + 2x\)

  • \(5a - 9\)

  • \(3x + 4y\)

  • \(10m - 3n\)

២លំហាត់ទី ២

ចូរសរសេរល្បះខាងក្រោមជាកន្សោមពីជគណិត ៖

  1. គូបនៃចំនួន \(x\)

  2. ផលបូកការ៉េនៃ \(a\) និងការ៉េនៃ \(b\)

  3. ផលគុណរវាង \(x\) និង \((x - 5)\)

  4. ផលចែកនៃ \((a + b)\) នឹង \(3\)

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរជាកន្សោមពីជគណិត ៖

  • \(x^3\)

  • \(a^2 + b^2\)

  • \(x(x - 5)\)

  • \(\dfrac{a + b}{3}\)

៣លំហាត់ទី ៣

កំណត់ចំនួនតួ អថេរ និងមេគុណនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(8x^3\)

  2. \(-4ab + 7\)

  3. \(3x^2 - 5x + 2\)

  4. \(\frac{1}{2}x^2y - 3xy + 4y - 10\)

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ចំនួនតួ អថេរ និងមេគុណ ៖

  • \(8x^3\) ៖ មាន \(1\) តួ, អថេរ \(x\), មេគុណ \(8\)

  • \(-4ab + 7\) ៖ មាន \(2\) តួ, អថេរ \(a, b\), មេគុណ \(-4\) និង \(7\)

  • \(3x^2 - 5x + 2\) ៖ មាន \(3\) តួ, អថេរ \(x\), មេគុណ \(3, -5, 2\)

  • \(\dfrac{1}{2}x^2y - 3xy + 4y - 10\) ៖ មាន \(4\) តួ, អថេរ \(x, y\), មេគុណ \(\dfrac{1}{2}, -3, 4, -10\)

៤លំហាត់ទី ៤

សរសេរកន្សោមពីជគណិតតាមលក្ខខណ្ឌជាក់ស្ដែង ៖

  1. អាយុរបស់សុខា \(5\) ឆ្នាំទៅមុខ បច្ចុប្បន្នគាត់មានអាយុ \(a\) ឆ្នាំ

  2. អាយុរបស់តារា \(3\) ឆ្នាំមុន បច្ចុប្បន្នគាត់មានអាយុ \(b\) ឆ្នាំ

  3. ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលនៅសល់បើមាន \(M\) ដុល្លារ ហើយចាយអស់ \(25\) ដុល្លារ

  4. តម្លៃសរុបនៃប៊ិក \(x\) ដើម បើមួយដើមថ្លៃ \(1~200\) រៀល

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរកន្សោមតាមលក្ខខណ្ឌជាក់ស្ដែង ៖

  • អាយុ \(5\) ឆ្នាំទៅមុខ ៖ \(a + 5\)

  • អាយុ \(3\) ឆ្នាំមុន ៖ \(b - 3\)

  • ប្រាក់នៅសល់ ៖ \(M - 25\)

  • តម្លៃប៊ិក \(x\) ដើម ៖ \(1\,200x\) រៀល

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(A = 3x + 5\) ចំពោះ ៖

  1. \(x = 0\)

  2. \(x = 2\)

  3. \(x = -3\)

  4. \(x = \frac{1}{3}\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(A = 3x + 5\) ៖

  • \(x = 0 \Rightarrow A = 5\)

  • \(x = 2 \Rightarrow A = 3(2) + 5 = 11\)

  • \(x = -3 \Rightarrow A = 3(-3) + 5 = -4\)

  • \(x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow A = 3\left(\dfrac{1}{3}\right) + 5 = 6\)

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(B = 8 - 2y\) ចំពោះ ៖

  1. \(y = 0\)

  2. \(y = 4\)

  3. \(y = -5\)

  4. \(y = 7\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(B = 8 - 2y\) ៖

  • \(y = 0 \Rightarrow B = 8\)

  • \(y = 4 \Rightarrow B = 8 - 8 = 0\)

  • \(y = -5 \Rightarrow B = 8 - 2(-5) = 18\)

  • \(y = 7 \Rightarrow B = 8 - 14 = -6\)

៧លំហាត់ទី ៧

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(C = 2x^2 - 3x + 1\) ចំពោះ ៖

  1. \(x = 1\)

  2. \(x = 2\)

  3. \(x = -1\)

  4. \(x = 0\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(C = 2x^2 - 3x + 1\) ៖

  • \(x = 1 \Rightarrow C = 2(1) - 3(1) + 1 = 0\)

  • \(x = 2 \Rightarrow C = 2(4) - 3(2) + 1 = 3\)

  • \(x = -1 \Rightarrow C = 2(1) + 3 + 1 = 6\)

  • \(x = 0 \Rightarrow C = 1\)

៨លំហាត់ទី ៨

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(D = \dfrac{2x + 8}{x - 1}\) ចំពោះ ៖

  1. \(x = 2\)

  2. \(x = 3\)

  3. \(x = 5\)

  4. \(x = -2\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(D = \dfrac{2x + 8}{x - 1}\) ៖

  • \(x = 2 \Rightarrow D = \dfrac{4 + 8}{1} = 12\)

  • \(x = 3 \Rightarrow D = \dfrac{6 + 8}{2} = 7\)

  • \(x = 5 \Rightarrow D = \dfrac{10 + 8}{4} = \dfrac{9}{2} = 4.5\)

  • \(x = -2 \Rightarrow D = \dfrac{-4 + 8}{-3} = -\dfrac{4}{3}\)

៩លំហាត់ទី ៩

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(E = 3a - 2b\) ចំពោះ ៖

  1. \(a = 4, \; b = 5\)

  2. \(a = -2, \; b = 3\)

  3. \(a = 5, \; b = -1\)

  4. \(a = -3, \; b = -4\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(E = 3a - 2b\) ៖

  • \(a = 4, b = 5 \Rightarrow E = 12 - 10 = 2\)

  • \(a = -2, b = 3 \Rightarrow E = -6 - 6 = -12\)

  • \(a = 5, b = -1 \Rightarrow E = 15 + 2 = 17\)

  • \(a = -3, b = -4 \Rightarrow E = -9 + 8 = -1\)

១០លំហាត់ទី ១០

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(F = a^2 + 2ab + b^2\) ចំពោះ ៖

  1. \(a = 3, \; b = 2\)

  2. \(a = 5, \; b = -2\)

  3. \(a = -1, \; b = -4\)

  4. \(a = 10, \; b = 0\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(F = (a + b)^2\) ៖

  • \(a = 3, b = 2 \Rightarrow F = (3 + 2)^2 = 25\)

  • \(a = 5, b = -2 \Rightarrow F = (5 - 2)^2 = 9\)

  • \(a = -1, b = -4 \Rightarrow F = (-5)^2 = 25\)

  • \(a = 10, b = 0 \Rightarrow F = 10^2 = 100\)

១១លំហាត់ទី ១១

គណនាផលបូក និងផលដកតួដូចគ្នាខាងក្រោម ៖

  1. \(3a + 7a\)

  2. \(12x - 5x\)

  3. \(-8y - 4y\)

  4. \(6m - 15m\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក ដកតួដូចគ្នា ៖

  • \(3a + 7a = 10a\)

  • \(12x - 5x = 7x\)

  • \(-8y - 4y = -12y\)

  • \(6m - 15m = -9m\)

១២លំហាត់ទី ១២

គណនាផលបូក និងផលដកតួដូចគ្នាខាងក្រោម ៖

  1. \(5x - (-3x)\)

  2. \(-9a - (-4a)\)

  3. \(2b + 5b - 3b\)

  4. \(-7x + 2x + 9x\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក ដកតួដូចគ្នា ៖

  • \(5x - (-3x) = 8x\)

  • \(-9a - (-4a) = -5a\)

  • \(2b + 5b - 3b = 4b\)

  • \(-7x + 2x + 9x = 4x\)

១៣លំហាត់ទី ១៣

បង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(4a + 3b + 5a + 2b\)

  2. \(7x - 4y - 3x + 8y\)

  3. \(2x^2 + 3x - 5 + x^2 - x + 4\)

  4. \(8m - 3n + 2 - 5m + 7n - 9\)

មើលដំណោះស្រាយ

បង្រួមកន្សោម ៖

  • \(4a + 3b + 5a + 2b = 9a + 5b\)

  • \(7x - 4y - 3x + 8y = 4x + 4y\)

  • \(2x^2 + 3x - 5 + x^2 - x + 4 = 3x^2 + 2x - 1\)

  • \(8m - 3n + 2 - 5m + 7n - 9 = 3m + 4n - 7\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

បង្រួមកន្សោមដែលមានវង់ក្រចក ៖

  1. \((3x + 5) + (4x - 2)\)

  2. \((7a - 3b) + (2a + 5b)\)

  3. \((5x - 4) - (2x + 3)\)

  4. \((8y + 1) - (3y - 6)\)

មើលដំណោះស្រាយ

បង្រួមកន្សោមមានវង់ក្រចក ៖

  • \((3x + 5) + (4x - 2) = 7x + 3\)

  • \((7a - 3b) + (2a + 5b) = 9a + 2b\)

  • \((5x - 4) - (2x + 3) = 3x - 7\)

  • \((8y + 1) - (3y - 6) = 5y + 7\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

បង្រួមកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \((2x^2 - 3x + 4) + (x^2 + 5x - 6)\)

  2. \((5a^2 + 2a - 1) - (3a^2 - 4a + 5)\)

  3. \(3(2x - 1) + 2(x + 4)\)

  4. \(4(a + 2b) - 3(2a - b)\)

មើលដំណោះស្រាយ

បង្រួមកន្សោម ៖

  • \((2x^2 - 3x + 4) + (x^2 + 5x - 6) = 3x^2 + 2x - 2\)

  • \((5a^2 + 2a - 1) - (3a^2 - 4a + 5) = 2a^2 + 6a - 6\)

  • \(3(2x - 1) + 2(x + 4) = 8x + 5\)

  • \(4(a + 2b) - 3(2a - b) = -2a + 11b\)

១៦លំហាត់ទី ១៦

បង្រួមកន្សោមដែលមានវង់ក្រចកច្រើនជាន់ ៖

  1. \(5x - [2x + (x - 3)]\)

  2. \(4a - [3a - (2a + 1)]\)

  3. \(7y - [3y - (2y - 5)]\)

  4. \(2x^2 - [x^2 - (3x^2 - 4)]\)

មើលដំណោះស្រាយ

បង្រួមកន្សោមវង់ក្រចកច្រើនជាន់ ៖

  • \(5x - [2x + x - 3] = 5x - 3x + 3 = 2x + 3\)

  • \(4a - [3a - 2a - 1] = 4a - a + 1 = 3a + 1\)

  • \(7y - [3y - 2y + 5] = 7y - y - 5 = 6y - 5\)

  • \(2x^2 - [x^2 - 3x^2 + 4] = 2x^2 + 2x^2 - 4 = 4x^2 - 4\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាផលគុណឯកធាខាងក្រោម ៖

  1. \(3 \times 4x\)

  2. \((-5) \times 2a\)

  3. \((-3x) \times (-4)\)

  4. \(2a \times 5b\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណឯកធា ៖

  • \(3 \times 4x = 12x\)

  • \((-5) \times 2a = -10a\)

  • \((-3x) \times (-4) = 12x\)

  • \(2a \times 5b = 10ab\)

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាផលគុណឯកធាខាងក្រោម ៖

  1. \(x \times x^2\)

  2. \(2x^2 \times 3x\)

  3. \((-3a^2) \times 4a^3\)

  4. \((-2xy) \times (-5x^2y)\)

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលគុណឯកធា ៖

  • \(x \times x^2 = x^3\)

  • \(2x^2 \times 3x = 6x^3\)

  • \((-3a^2) \times 4a^3 = -12a^5\)

  • \((-2xy) \times (-5x^2y) = 10x^3y^2\)

១៩លំហាត់ទី ១៩

ពន្លាតកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក ៖

  1. \(2(x + 4)\)

  2. \(5(2a - 3)\)

  3. \(-3(4y + 1)\)

  4. \(-4(2m - 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក ៖

  • \(2(x + 4) = 2x + 8\)

  • \(5(2a - 3) = 10a - 15\)

  • \(-3(4y + 1) = -12y - 3\)

  • \(-4(2m - 5) = -8m + 20\)

២០លំហាត់ទី ២០

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(x(x - 3)\)

  2. \(2a(3a + 5)\)

  3. \(-3x(2x - 7)\)

  4. \(4y(2y^2 - 3y + 1)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតកន្សោម ៖

  • \(x(x - 3) = x^2 - 3x\)

  • \(2a(3a + 5) = 6a^2 + 10a\)

  • \(-3x(2x - 7) = -6x^2 + 21x\)

  • \(4y(2y^2 - 3y + 1) = 8y^3 - 12y^2 + 4y\)

២១លំហាត់ទី ២១

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  1. \(3(x + 2) + 4(x - 1)\)

  2. \(5(2a - 1) - 3(a + 4)\)

  3. \(2x(x + 3) + x(3x - 2)\)

  4. \(3a(a - 2) - a(2a - 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  • \(3(x + 2) + 4(x - 1) = 7x + 2\)

  • \(5(2a - 1) - 3(a + 4) = 7a - 17\)

  • \(2x(x + 3) + x(3x - 2) = 5x^2 + 4x\)

  • \(3a(a - 2) - a(2a - 5) = a^2 - a\)

២២លំហាត់ទី ២២

ពន្លាតផលគុណទ្វេធាខាងក្រោម ៖

  1. \((x + 2)(x + 5)\)

  2. \((x + 3)(x + 4)\)

  3. \((a + 1)(a + 6)\)

  4. \((y + 2)(y + 7)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតផលគុណទ្វេធា ៖

  • \((x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10\)

  • \((x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12\)

  • \((a + 1)(a + 6) = a^2 + 7a + 6\)

  • \((y + 2)(y + 7) = y^2 + 9y + 14\)

២៣លំហាត់ទី ២៣

ពន្លាតផលគុណទ្វេធាខាងក្រោម ៖

  1. \((x - 3)(x + 4)\)

  2. \((x + 5)(x - 2)\)

  3. \((a - 4)(a - 3)\)

  4. \((y - 6)(y - 1)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតផលគុណទ្វេធា ៖

  • \((x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12\)

  • \((x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10\)

  • \((a - 4)(a - 3) = a^2 - 7a + 12\)

  • \((y - 6)(y - 1) = y^2 - 7y + 6\)

២៤លំហាត់ទី ២៤

ពន្លាតផលគុណទ្វេធាខាងក្រោម ៖

  1. \((2x + 1)(x + 3)\)

  2. \((3x - 2)(x + 4)\)

  3. \((2a + 3)(3a - 1)\)

  4. \((4y - 3)(2y - 5)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតផលគុណទ្វេធា ៖

  • \((2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 7x + 3\)

  • \((3x - 2)(x + 4) = 3x^2 + 10x - 8\)

  • \((2a + 3)(3a - 1) = 6a^2 + 7a - 3\)

  • \((4y - 3)(2y - 5) = 8y^2 - 26y + 15\)

២៥លំហាត់ទី ២៥

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  1. \((x + 2)(x - 2)\)

  2. \((2a + 3)(2a - 3)\)

  3. \((x + 4)^2\)

  4. \((x - 3)^2\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  • \((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\)

  • \((2a + 3)(2a - 3) = 4a^2 - 9\)

  • \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\)

  • \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\)

២៦លំហាត់ទី ២៦

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  1. \((2x + 1)^2\)

  2. \((3a - 2)^2\)

  3. \((x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4)\)

  4. \((2x - 1)(x + 3) - (x + 2)(x - 1)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម ៖

  • \((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)

  • \((3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4\)

  • \((x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + x - 12) = 2x^2 + 4x - 10\)

  • \((2x - 1)(x + 3) - (x + 2)(x - 1) = (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 + x - 2) = x^2 + 4x - 1\)

២៧លំហាត់ទី ២៧

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយទាញកត្តារួម ៖

  1. \(3x + 6\)

  2. \(5a - 20\)

  3. \(8y + 12\)

  4. \(14m - 21\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា (ទាញកត្តារួម) ៖

  • \(3x + 6 = 3(x + 2)\)

  • \(5a - 20 = 5(a - 4)\)

  • \(8y + 12 = 4(2y + 3)\)

  • \(14m - 21 = 7(2m - 3)\)

២៨លំហាត់ទី ២៨

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយទាញកត្តារួម ៖

  1. \(4x^2 + 8x\)

  2. \(6a^2 - 9a\)

  3. \(10y^3 - 15y^2\)

  4. \(7x^2 + 14x\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា (ទាញកត្តារួម) ៖

  • \(4x^2 + 8x = 4x(x + 2)\)

  • \(6a^2 - 9a = 3a(2a - 3)\)

  • \(10y^3 - 15y^2 = 5y^2(2y - 3)\)

  • \(7x^2 + 14x = 7x(x + 2)\)

២៩លំហាត់ទី ២៩

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

  1. \(2ab + 4a\)

  2. \(3x^2y - 6xy^2\)

  3. \(8a^2b^2 + 12ab\)

  4. \(5x^3y - 10x^2y^2 + 15xy^3\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

  • \(2ab + 4a = 2a(b + 2)\)

  • \(3x^2y - 6xy^2 = 3xy(x - 2y)\)

  • \(8a^2b^2 + 12ab = 4ab(2ab + 3)\)

  • \(5x^3y - 10x^2y^2 + 15xy^3 = 5xy(x^2 - 2xy + 3y^2)\)

៣០លំហាត់ទី ៣០

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

  1. \(x(a + b) + y(a + b)\)

  2. \(3a(x - y) - 2b(x - y)\)

  3. \(5(x + 2) + x(x + 2)\)

  4. \(2y(a - 3) - (a - 3)\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

  • \(x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)\)

  • \(3a(x - y) - 2b(x - y) = (x - y)(3a - 2b)\)

  • \(5(x + 2) + x(x + 2) = (x + 2)(5 + x)\)

  • \(2y(a - 3) - (a - 3) = (a - 3)(2y - 1)\)

៣១លំហាត់ទី ៣១

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយវិធីផ្គុំតួ ៖

  1. \(ax + ay + bx + by\)

  2. \(mx - my + nx - ny\)

  3. \(2ax + 2ay + bx + by\)

  4. \(3ax - 3ay - 2bx + 2by\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយផ្គុំតួ ៖

  • \(a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)\)

  • \(m(x - y) + n(x - y) = (x - y)(m + n)\)

  • \(2a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(2a + b)\)

  • \(3a(x - y) - 2b(x - y) = (x - y)(3a - 2b)\)

៣២លំហាត់ទី ៣២

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយវិធីផ្គុំតួ ៖

  1. \(x^2 + 3x + 2x + 6\)

  2. \(x^2 + 5x + 4x + 20\)

  3. \(x^2 - 4x + 3x - 12\)

  4. \(x^2 - 2x - 5x + 10\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយផ្គុំតួ ៖

  • \(x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2)\)

  • \(x(x + 5) + 4(x + 5) = (x + 5)(x + 4)\)

  • \(x(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x + 3)\)

  • \(x(x - 2) - 5(x - 2) = (x - 2)(x - 5)\)

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយវិធីផ្គុំតួ ៖

  1. \(2x^2 + 4x + 3x + 6\)

  2. \(3x^2 - 6x + 2x - 4\)

  3. \(ax - bx + ay - by\)

  4. \(x^3 + x^2 + x + 1\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយផ្គុំតួ ៖

  • \(2x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x + 3)\)

  • \(3x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(3x + 2)\)

  • \(x(a - b) + y(a - b) = (a - b)(x + y)\)

  • \(x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)\)

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យកន្សោម \(P = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2\) ៖

  1. ពន្លាត និងបង្រួមកន្សោម \(P\)

  2. គណនាតម្លៃនៃ \(P\) ពេល \(x = 5\)

មើលដំណោះស្រាយ

កន្សោម \(P = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2\) ៖

  • ពន្លាត ៖
    \(P = (4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 - 12x + 9) = 24x\)

  • ចំពោះ \(x = 5\) ៖ \(P = 24(5) = 120\)

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេឱ្យកន្សោម \(A = (3x - 2)(2x + 1)\) និង \(B = 6x^2 - x - 2\) ៖

  1. ពន្លាតកន្សោម \(A\) រួចប្រៀបធៀបជាមួយ \(B\)

  2. គណនាតម្លៃនៃ \(A\) ចំពោះ \(x = -2\)

មើលដំណោះស្រាយ

កន្សោម \(A\) និង \(B\) ៖

  • \(A = (3x - 2)(2x + 1) = 6x^2 - x - 2 = B\)

  • ចំពោះ \(x = -2\) ៖
    \(A = 6(-2)^2 - (-2) - 2 = 24\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(M = 4x^2 - 12xy + 9y^2\) ចំពោះ \(x = 5, \; y = 3\) ដោយ ៖

  1. ជំនួសតម្លៃដោយផ្ទាល់

  2. សរសេរ \(M = (2x - 3y)^2\) រួចគណនា

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(M = 4x^2 - 12xy + 9y^2\) ៖

  • ដោយផ្ទាល់ (\(x=5, y=3\)) ៖
    \(M = 4(25) - 12(15) + 9(9) = 100 - 180 + 81 = 1\)

  • ដោយសរសេរ \(M = (2x - 3y)^2\) ៖
    \(M = (10 - 9)^2 = 1^2 = 1\)

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

កសិករម្នាក់មានដីរាងចតុកោណកែងដែលមានបណ្ដោយ \(3x + 4\text{ m}\) និងទទឹង \(2x - 1\text{ m}\) ៖

  1. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យបរិមាត្រ \(P\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\)

  2. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យក្រឡាផ្ទៃ \(S\) ជាអនុគមន៍នៃ \(x\)

មើលដំណោះស្រាយ

បរិមាត្រ និងក្រឡាផ្ទៃដី ៖

  • បរិមាត្រ ៖
    \(P = 2[(3x + 4) + (2x - 1)] = 10x + 6\text{ m}\)

  • ក្រឡាផ្ទៃ ៖
    \(S = (3x + 4)(2x - 1) = 6x^2 + 5x - 4\text{ m}^2\)

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

បន្តពីលំហាត់ ៣៧ ៖ បើ \(x = 10\text{ m}\) ចូរគណនាបរិមាត្រ \(P\) និងក្រឡាផ្ទៃ \(S\) នៃដីនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាបរិមាត្រ និងក្រឡាផ្ទៃ (\(x = 10\text{ m}\)) ៖

  • \(P = 10(10) + 6 = 106\text{ m}\)

  • \(S = 6(100) + 5(10) - 4 = 646\text{ m}^2\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

រកកន្សោមពីជគណិតតំណាងឱ្យផលបូកនៃចំនួនគត់បីជាប់គ្នា ដែលតាងចំនួនកណ្ដាលដោយ \(n\)។ បង្ហាញថាផលបូកនោះជាពហុគុណនៃ \(3\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ៣ ចំនួនគត់ជាប់គ្នា ៖

  • បីចំនួនគឺ \(n - 1, n, n + 1\)

  • ផលបូក ៖ \(S = (n - 1) + n + (n + 1) = 3n\)

  • ព្រោះ \(n \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = 3n\) ជាពហុគុណនៃ \(3\) ជានិច្ច។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ត្រីកោណមួយមានរង្វាស់ជ្រុងទាំងបីគឺ \(x + 2, \; 2x - 1,\) និង \(3x - 4\) (គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ) ៖

  1. រកកន្សោមតំណាងឱ្យបរិមាត្រនៃត្រីកោណនោះ

  2. បើបរិមាត្រស្មើនឹង \(27\text{ cm}\) ចូររកតម្លៃនៃ \(x\)

មើលដំណោះស្រាយ

បរិមាត្រត្រីកោណ ៖

  • \(P = (x + 2) + (2x - 1) + (3x - 4) = 6x - 3\text{ cm}\)

  • បើ \(P = 27\text{ cm} \Rightarrow 6x - 3 = 27 \Rightarrow x = 5\text{ cm}\)

៤១លំហាត់ទី ៤១

ធុងមួយមានទឹកចំណុះ \(V = 50 - 3t\) លីត្រ បន្ទាប់ពីបង្ហូរចេញអស់រយៈពេល \(t\) នាទី ៖

  1. តើដើមឡើយក្នុងធុងមានទឹកប៉ុន្មានលីត្រ?

  2. រកចំណុះទឹកដែលនៅសល់ក្នុងធុងក្រោយបង្ហូរបាន \(8\) នាទី

  3. តើក្រោយរយៈពេលប៉ុន្មាននាទីទើបទឹកក្នុងធុងនៅសល់ \(20\) លីត្រ?

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុះទឹក \(V = 50 - 3t\) ៖

  • ពេល \(t = 0 \Rightarrow V = 50\) លីត្រ

  • ក្រោយ \(8\text{ mn}\) ៖ \(V = 50 - 3(8) = 26\) លីត្រ

  • \(V = 20 \Rightarrow 50 - 3t = 20 \Rightarrow t = 10\) នាទី

៤២លំហាត់ទី ៤២

ឪពុកម្នាក់មានអាយុ \(4x\) ឆ្នាំ ហើយកូនប្រុសរបស់គាត់មានអាយុ \(x\) ឆ្នាំ ៖

  1. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យផលបូកអាយុអ្នកទាំងពីរ

  2. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យអាយុអ្នកទាំងពីរ \(5\) ឆ្នាំទៅមុខ

  3. រកផលបូកអាយុអ្នកទាំងពីរ \(5\) ឆ្នាំទៅមុខជាអនុគមន៍នៃ \(x\)

មើលដំណោះស្រាយ

អាយុឪពុក និងកូន ៖

  • ផលបូកអាយុបច្ចុប្បន្ន ៖ \(4x + x = 5x\) ឆ្នាំ

  • \(5\) ឆ្នាំទៅមុខ ៖ ឪពុក \(4x + 5\), កូន \(x + 5\)

  • ផលបូក \(5\) ឆ្នាំទៅមុខ ៖ \(5x + 10\) ឆ្នាំ

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ហាងមួយលក់សៀវភៅមួយក្បាលតម្លៃ \(x\) រៀល និងប៊ិកមួយដើមតម្លៃ \(y\) រៀល ៖

  1. សុភ័ក្ដ្រទិញសៀវភៅ \(3\) ក្បាល និងប៊ិក \(5\) ដើម។ សរសេរកន្សោមពីជគណិតតំណាងឱ្យប្រាក់ចំណាយសរុប។

  2. បើគាត់ឱ្យក្រដាសប្រាក់ \(50~000\) រៀលទៅអ្នកលក់ តើគាត់ទទួលបានប្រាក់អាប់ប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ចំណាយ និងប្រាក់អាប់ ៖

  • ចំណាយសរុប ៖ \(3x + 5y\) រៀល

  • ប្រាក់អាប់ ៖ \(50\,000 - (3x + 5y)\) រៀល

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

បន្តពីលំហាត់ ៤៣ ៖ បើសៀវភៅមួយក្បាលថ្លៃ \(4~000\) រៀល និងប៊ិកមួយដើមថ្លៃ \(1~500\) រៀល ចូរគណនាប្រាក់អាប់ដែលសុភ័ក្ដ្រទទួលបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាប្រាក់អាប់ (\(x = 4\,000, y = 1\,500\)) ៖

  • ចំណាយ ៖ \(3(4\,000) + 5(1\,500) = 19\,500\) ៛

  • ប្រាក់អាប់ ៖ \(50\,000 - 19\,500 = 30\,500\) ៛

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ចតុកោណកែងមួយមានក្រឡាផ្ទៃ \(S = 6x^2 + 15x\)។ បើទទឹងរបស់វាគឺ \(3x\) ចូររកកន្សោមតំណាងឱ្យបណ្ដោយរបស់ចតុកោណកែងនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកកន្សោមបណ្ដោយចតុកោណកែង ៖

\[\begin{aligned} L &= \frac{S}{w} = \frac{6x^2 + 15x}{3x} \\ &= 2x + 5 \end{aligned}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(K = \dfrac{a^2 - b^2}{a - b}\) ដោយដាក់ភាគយកជាផលគុណកត្តា រួចសម្រួល ចំពោះ \(a = 157, \; b = 57\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃ \(K\) ៖

\[\begin{aligned} K &= \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b \end{aligned}\]
ចំពោះ \(a = 157, b = 57 \Rightarrow K = 157 + 57 = 214\)

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(n\) កន្សោម \(n(n + 1)\) តែងតែជាចំនួនគូជានិច្ច។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា \(n(n + 1)\) ជាចំនួនគូ ៖ ក្នុងចំណោមពីរចំនួនគត់ជាប់គ្នា \(n\) និង \(n + 1\) តែងតែមានមួយជាចំនួនគូជានិច្ច។
ហេតុនេះ ផលគុណ \(n(n + 1)\) តែងតែចែកដាច់នឹង \(2\) ពោលគឺវាជាចំនួនគូជានិច្ច។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

រកកន្សោមពីជគណិតតំណាងឱ្យក្រឡាផ្ទៃក្រវ៉ាត់ព្រំ (ផ្លូវដើរ) ទទឹង \(1\text{ m}\) ព័ទ្ធជុំវិញអាងហែលទឹករាងចតុកោណកែងដែលមានបណ្ដោយ \(x\) និងទទឹង \(y\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក្រឡាផ្ទៃក្រវ៉ាត់ព្រំ ៖

\[\begin{aligned} S &= (x + 2)(y + 2) - xy \\ &= xy + 2x + 2y + 4 - xy \\ &= 2x + 2y + 4\text{ m}^2 \end{aligned}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គេមានកន្សោម \(H = (x + 1)(x + 2)(x + 3)\) ៖

  1. ពន្លាតកន្សោម \(H\) ឱ្យទៅជាពហុធាដឺក្រេទី ៣

  2. គណនាតម្លៃនៃ \(H\) ចំពោះ \(x = 0\) និង \(x = -2\)

មើលដំណោះស្រាយ

កន្សោម \(H = (x + 1)(x + 2)(x + 3)\) ៖

  • ពន្លាត ៖
    \(H = (x^2 + 3x + 2)(x + 3) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6\)

  • ចំពោះ \(x = 0 \Rightarrow H = 6\)

  • ចំពោះ \(x = -2 \Rightarrow H = 0\)

៥០លំហាត់ទី ៥០

វិចិត្រករម្នាក់គូរគំនូរលើក្រដាសរាងការ៉េជ្រុង \(x\)។ បន្ទាប់មកគាត់បិទស៊ុមឈើដែលមានទទឹង \(2\text{ cm}\) ជុំវិញគំនូរនោះ។

  1. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យក្រឡាផ្ទៃនៃផ្ទាំងគំនូរ

  2. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យក្រឡាផ្ទៃសរុបទាំងគំនូរនិងស៊ុម

  3. សរសេរកន្សោមតំណាងឱ្យក្រឡាផ្ទៃនៃស៊ុមឈើតែប៉ុណ្ណោះ រួចពន្លាត និងបង្រួមកន្សោមនោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ក្រឡាផ្ទៃគំនូរ និងស៊ុមឈើ ៖

  • ផ្ទៃគំនូរ ៖ \(S_1 = x^2\)

  • ផ្ទៃសរុប ៖ \(S_2 = (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\)

  • ផ្ទៃស៊ុមឈើ ៖
    \(S = (x + 4)^2 - x^2 = 8x + 16\text{ cm}^2\)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៨ កន្សោមពីជគណិត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត