KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀនទី ៩
៩
ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ · ជំពូកទី ៣ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ · មេរៀនទី ៩ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រទំព័រ ៨៩–១០៩▶ ស្លាយបង្រៀន

នៅថ្នាក់ទី \(10\) យើងបានសិក្សារួចមកហើយពីអនុគមន៍ពហុធា ដូចជា \(y = au\), \(y = au^2\), \(y = au^3 \ldots\) ដែលអនុវត្តក្នុងចលនាស្មើឬទន្លាក់សេរី ។ នៅថ្នាក់ទី \(11\) នេះ យើងនឹងសិក្សាពីចលនាមួយទៀត ដូចចលនារំយោលនៃប៉ោលនាឡិកាមួយជាចលនាខួប ។ ចលនានេះគេសិក្សានៅក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍ខួប ដូចជា អនុគមន៍ស៊ីនុស អនុគមន៍កូស៊ីនុស និងអនុគមន៍តង់សង់ ។

វត្ថុបំណង

  1. បំប្លែងមុំពីដឺក្រេទៅរ៉ាដ្យង់និងពីរ៉ាដ្យង់ទៅដឺក្រេ

  2. ប្រើលក្ខណៈមុំផ្តុំក្នុងការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

  3. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ។

រង្វាស់មុំ

ការកំណត់មុំមានទិសដៅ

ឧទាហរណ៍ ១

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេប្រើវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP_0}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) មកកំណត់មុំ ។

\(\overrightarrow{OP_0}\) ជាវ៉ិចទ័រនឹងឋិតនៅផ្នែកវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស \(\overrightarrow{Ox}\) ហៅថា វ៉ិចទ័រគល់ ។ \(\overrightarrow{OP}\) ជាវ៉ិចទ័រចល័តជុំវិញគល់ \(O\) ហៅថា វ៉ិចទ័រចុង ។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP_0}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) បង្កើតបានមុំតាមករណីដូចខាងក្រោម ៖

  • ក្នុងករណីវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP}\) វិលច្រាសនឹងទិសដៅនៃទ្រនិចនាឡិកា មុំដែលបង្កើតបានជាមុំវិជ្ជមាន ។ មុំ \((\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{OP}) = 30^\circ\) (រូប ក) ។

  • ក្នុងករណីវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP}\) វិលស្របនឹងទិសដៅនៃទ្រនិចនាឡិកា មុំដែលបង្កើតបានជាមុំអវិជ្ជមាន ។ មុំ \((\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{OP}) = -30^\circ\) (រូប ខ) ។

ឧទាហរណ៍ ២

តាមទិសដៅវិជ្ជមានបើ \(\overrightarrow{OP}\) វិលបានមួយជុំពេញនៃរង្វង់នោះ គេនឹងបានមុំ \(360^\circ\) ហើយរង្វាស់មុំនឹងកើនជា \(2\) ដង ជា \(3\) ដង ទៅតាមចំនួនជុំនៃការវិលនេះ ។

បើ \(\alpha\) ជាមុំកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP_0}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) នោះ \(\overrightarrow{OP_0}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) ក៏កំណត់មុំដែលមានរង្វាស់ផ្សេងៗគ្នាដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{ll} \alpha + 360^\circ & \alpha - 360^\circ\\ \alpha + 2 \times 360^\circ & \alpha - 2 \times 360^\circ\\ \alpha + 3 \times 360^\circ & \alpha - 3 \times 360^\circ \end{array}\]

ជាទូទៅ

\(\overrightarrow{OP_0}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) ជាពីរវ៉ិចទ័រកំណត់បានមុំ \(\alpha + k360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។

សម្គាល់

មុំ \(\alpha\) និង \(\alpha + 360^\circ\) មានរង្វាស់ខុសគ្នា ប៉ុន្តែមានវ៉ិចទ័រគល់និងវ៉ិចទ័រចុងដូចគ្នា ។

លំហាត់គំរូ ១

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP}\) វិលចេញពីទីតាំងដើម \(\overrightarrow{OP_0}\) បានមុំ \(120^\circ\) ហើយបន្ទាប់មកវិលបានមុំ \(-155^\circ\) ទៀត ។ ចូរកំណត់មុំ \((\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{OP})\) ។

ដំណោះស្រាយ

មុំ \((\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{OP}) = 120^\circ + (-155^\circ) = -35^\circ\) ។

លំហាត់គំរូ ២

គណនាមុំ \(\alpha = 45^\circ + k \times 360^\circ\) ក្នុងករណី \(k = 1\), \(k = -1\) ។

ដំណោះស្រាយ

ចំពោះ \(k = 1\),  \(\alpha = 45^\circ + 360^\circ = 405^\circ\) ។

ចំពោះ \(k = -1\),  \(\alpha = 45^\circ - 360^\circ = -315^\circ\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. បើវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP}\) ផ្តើមវិលពីទីតាំងដើម \(\overrightarrow{OP_0}\) បានមុំ \(70^\circ\) តាមទិសដៅអវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាប់មកវិលបានមុំ \(150^\circ\) តាមទិសដៅវិជ្ជមាន ។ ចូរកំណត់មុំ \((\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{OP})\) ។

  2. គណនា \(\alpha = -270^\circ + k \times 360^\circ\) ក្នុងករណី \(k = 2\), \(k = -3\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(80^\circ\) ។

  2. \(\alpha = 450^\circ\),  \(-1350^\circ\) ។

រង្វាស់មុំគិតជារ៉ាដ្យង់

ឧទាហរណ៍

រង្វង់មួយមានកាំ \(r = 5\) cm និង \(\angle AOB = 30^\circ\) ។ គណនាប្រវែងធ្នូ \(AB\) ។ មុំផ្ចិតគិតជាដឺក្រេពុំមានទំនាក់ទំនងទៅនឹងប្រវែងធ្នូ \(AB\) ទេ ។ ដូច្នេះគេបង្កើតខ្នាតរង្វាស់មុំមួយទៀតដែលមានទំនាក់ទំនងទៅប្រវែងធ្នូ ។

និយមន័យ

\(1\) រ៉ាដ្យង់ គឺជារង្វាស់មុំផ្ចិតដែលស្កាត់ធ្នូមួយមានប្រវែងស្មើនឹងកាំនៃរង្វង់ ហើយគេកំណត់សរសេរ \(1rd\) ។

យើងដឹងថាប្រវែងធ្នូ \(2\pi r\) ស្មើនឹងបរិមាត្ររង្វង់ស្កាត់ដោយមុំ \(360^\circ\) ឬមុំ \(2\pi\) (rd) មានន័យថា \(360^\circ = 2\pi\) (rd) ។ យើងបានទំនាក់ទំនងរវាងរង្វាស់មុំគិតជាដឺក្រេ និងរ៉ាដ្យង់គឺ

\[\begin{gathered} 1\text{rd} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ,\\ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.017 \text{ ។} \end{gathered}\]
គេអាចគណនាប្រវែងធ្នូ \(AB\) ដោយគ្រាន់តែប្តូរឯកតាមុំដឺក្រេទៅរ៉ាដ្យង់ \(\alpha = 30^\circ\) ឬ \(\alpha = 30 \times \dfrac{\pi}{180} = 0.52\) rd ប្រវែងធ្នូ \(AB = \alpha \cdot r = 0.52 \times 5 = 2.6\) cm ។

ជាទូទៅ

\[1\text{rd} = \frac{180^\circ}{\pi}, \quad{} 1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{rd} \text{ ។}\]

សម្គាល់

រង្វាស់មុំគិតជារ៉ាដ្យង់អាចសរសេរដោយមិនប្រើ \(rd\) បាន ។ ឧ. \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\)rd អាចសរសេរដោយខ្លី \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) ។

លំហាត់គំរូ ៣

ប្តូរមុំ \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(150^\circ\) ជារ៉ាដ្យង់ និងប្តូរមុំ \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2}{3}\pi\), \(3\pi\) ជាដឺក្រេ ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{gathered} \frac{\pi}{180} \times 30 = \frac{\pi}{6}, \quad{} \frac{\pi}{180} \times 45 = \frac{\pi}{4},\\ \frac{\pi}{180} \times 150 = \frac{5\pi}{6} \end{gathered}\]
\[\begin{gathered} \frac{180^\circ}{\pi} \times \frac{\pi}{5} = 36^\circ, \quad{} \frac{180^\circ}{\pi} \times \frac{2\pi}{3} = 120^\circ,\\ \frac{180^\circ}{\pi} \times 3\pi = 540^\circ \text{ ។} \end{gathered}\]

ប្រតិបត្តិ

ប្តូរមុំពីរ៉ាដ្យង់ទៅជាដឺក្រេ \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(-\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{4}\), \(-\dfrac{7\pi}{2}\) ។

មើលចម្លើយ

\(240^\circ\),  \(-240^\circ\),  \(315^\circ\),  \(-630^\circ\) ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់

យើងបានសិក្សារួចមកហើយពីផលធៀបត្រីកោណមាត្រ មុំចន្លោះ \(0^\circ\) និង \(180^\circ\) ក្នុងថ្នាក់ទី \(10\) ។ ពេលនេះ យើងកំណត់ \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) និង \(\cot\theta\) ដែល \(\theta\) ជាមុំទូទៅ ។

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត \(O\) និងកាំ \(r\) ។ \(P\) ជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែលមានកូអរដោនេ \(P(x, y)\) ហើយមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) ។ \(P'\) ជាចំណោលកែងនៃ \(P\) លើអ័ក្ស \(\overrightarrow{x'x}\) និង \(Q\) ជាចំណោលកែងនៃ \(P\) លើអ័ក្ស \(\overrightarrow{y'y}\) ។

គេបាន

\[\begin{gathered} \sin\theta = \frac{OQ}{OP} = \frac{y}{r}, \quad{} \cos\theta = \frac{OP'}{OP} = \frac{x}{r},\\ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}, \quad{} \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{x}{y} \text{ ។} \end{gathered}\]

សម្គាល់

  1. អ័ក្ស \(\overrightarrow{y'y}\) ហៅថាអ័ក្សស៊ីនុស ហើយអ័ក្ស \(\overrightarrow{x'x}\) អ័ក្សកូស៊ីនុស ហើយអ័ក្ស \(\overrightarrow{u'u}\) ជាអ័ក្សតង់សង់ និងអ័ក្ស \(\overrightarrow{v'v}\) ជាអ័ក្សកូតង់សង់ ។

  2. រង្វង់ដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់ \(O\) មានកាំស្មើ \(1\) ហៅថារង្វង់ឯកតា ។

ឧទាហរណ៍

គណនាតម្លៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{6}\) ។

តាមរូប \(B\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាងរង្វង់និងអ័ក្ស \(\overrightarrow{y'y}\) តាមទិសដៅវិជ្ជមាន ។ ដូច្នេះ \(B\) ជាចំណុចដែលត្រូវនឹងតម្លៃ \(\dfrac{\pi}{2}\) ។

តាមរូបភាពនេះ គេបាន \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\), \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) ។

\[\begin{gathered} \cot\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0,\\ \tan\frac{\pi}{2} = \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{2}} \text{ មិនអាចកំណត់បាន ព្រោះ } \cos\frac{\pi}{2} = 0 \text{ ។} \end{gathered}\]
ក្នុងត្រីកោណកែង \(OPQ\) គេបាន \(\widehat{AOP} = \dfrac{\pi}{6}\) ហើយ \(PQ = \dfrac{1}{2}\) ។ ដូច្នេះ
\[\begin{gathered} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad{} \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2},\\ \tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \end{gathered}\]
\[\cot\frac{\pi}{6} = \frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \text{ ។}\]

ជាទូទៅ

គេបានតារាងតម្លៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមុំពិសេស ដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{មុំ} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6} & \pi\\ \hline \sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1\\ \hline \tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \| & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\ \hline \cot & \| & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \|\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{មុំ} & \frac{7\pi}{6} & \frac{5\pi}{4} & \frac{4\pi}{3} & \frac{3\pi}{2} & \frac{5\pi}{3} & \frac{7\pi}{4} & \frac{11\pi}{6} & 2\pi\\ \hline \sin & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ \hline \cos & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\ \hline \tan & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \| & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\ \hline \cot & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \|\\ \hline \end{array}\]
(សញ្ញា \(\|\) មានន័យថាមិនកំណត់)

លំហាត់គំរូ ៤

គណនា

  1. \(2\sin\dfrac{\pi}{3} + 4\cos\dfrac{\pi}{6} - 3\tan\dfrac{\pi}{3} + 4\cot\dfrac{\pi}{4}\)

  2. \(\dfrac{5 - 4\tan^2 45^\circ + \cot^2 60^\circ}{2\cos^2 60^\circ - 2\sin^3 90^\circ + 4\tan 45^\circ}\) ។

ដំណោះស្រាយ

  1. \(2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 3 \times \sqrt{3} + 4 \times 1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 4 = 4\)

  2. \(\dfrac{5 - 4 \times 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}{2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \times 1^3 + 4 \times 1} = \dfrac{1 + \frac{1}{3}}{2 \times \frac{1}{4} - 2 + 4} = \dfrac{8}{15}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនា

  1. \(2\sin\dfrac{2\pi}{4} - 3\tan^2\dfrac{\pi}{6} + 2\cos^4\dfrac{\pi}{2} + 3\cot^2\dfrac{\pi}{4}\)

  2. \(\sin(-135^\circ) + \sin\dfrac{4\pi}{3} + \tan\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(2 - 1 + 0 + 3 = 4\) ខ. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{2}\) ។

សញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

\[\begin{gathered} \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \quad{} \sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \tan\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}\]
គេបានតារាងសង្ខេបដូចខាងក្រោម ៖
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{អនុគមន៍ \textbackslash\ កាដ្រង់} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV}\\ \hline \sin\alpha & + & + & - & -\\ \hline \cos\alpha & + & - & - & +\\ \hline \tan\alpha & + & - & + & -\\ \hline \cot\alpha & + & - & + & -\\ \hline \end{array}\]

លំហាត់គំរូ ៥

តើមុំ \(x\) នៅក្នុងកាដ្រង់ណាដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ \(\begin{cases} \sin x < 0\\ \cos x < 0 \end{cases}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \(\sin x < 0\) និង \(\cos x < 0 \Rightarrow x\) នៅកាដ្រង់ទី III ។ ដូច្នេះ \(x\) នៅកាដ្រង់ទី III ។

ប្រតិបត្តិ

  1. តើក្នុងកាដ្រង់ណាដែលគេអាចរកមុំផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ \(\begin{cases} \cos x > 0\\ \tan x > 0 \end{cases}\) ។

    1. តើក្នុងកាដ្រង់ណាដែល \(\tan x\) និង \(\cot x\) មានសញ្ញាដូចគ្នា?

    2. រកតម្លៃនៃ \(\cos\theta\) និង \(\tan\theta\) បើ \(\sin\theta = -\dfrac{3}{5}\) ដែល \(\theta\) នៅកាដ្រង់ទី III ។

មើលចម្លើយ

  1. (I) ។

  2. ក. គ្រប់កាដ្រង់ (ព្រោះ \(\cot x = \dfrac{1}{\tan x}\)) ខ. \(\cos\theta = -\dfrac{4}{5}\),  \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\) ។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ

នៅក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ \(\theta\) ជារង្វាស់មុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP})\) គេបាន \(\cos\theta = OQ\), \(\sin\theta = OR\) ។ ក្នុងត្រីកោណកែង \(OPQ\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ គេបាន \(OP^2 = OQ^2 + PQ^2\)

\[1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta \quad{} \text{ឬ} \quad{} \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad{} (1)\]
ដែល \(-1 \le \sin\theta \le 1\),  \(-1 \le \cos\theta \le 1\) ។

គេដឹងថា \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) ចំពោះ \(\cos\theta \ne 0\) គេចែកអង្គទាំងពីរនៃទំនាក់ទំនង \((1)\) និង \(\cos^2\theta\) គេបាន

\[\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad{} \text{ឬ} \quad{} \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} \text{ ។}\]
ដូចគ្នាដែរ បើគេចែកទំនាក់ទំនង \((1)\) និង \(\sin^2\theta \ne 0\) គេបាន \(1 + \cot^2\theta = \dfrac{1}{\sin^2\theta}\) ។

គេបានរូបមន្ត

\[\begin{gathered} \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad{} 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta},\\ 1 + \cot^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta} \text{ ។} \end{gathered}\]

ឧទាហរណ៍

គណនា \(\cos\theta\), \(\tan\theta\), \(\cot\theta\) ដោយស្គាល់ \(\sin\theta = \dfrac{8}{17}\) និងមុំ \(\theta\) នៅកាដ្រង់ទី I ។

គេមាន \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) ។ ដោយ \(\theta\) នៅកាដ្រង់ទី I នោះ \(\cos\theta\) វិជ្ជមាន ។ គេបាន

\[\begin{gathered} \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17},\\ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{8}{15}, \quad{} \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{15}{8} \text{ ។} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ៦

គណនា \(\dfrac{5\sin\alpha + 7\cos\alpha}{6\cos\alpha - 3\sin\alpha}\) ដោយដឹងថា \(\tan\alpha = \dfrac{4}{15}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \frac{5\sin\alpha + 7\cos\alpha}{6\cos\alpha - 3\sin\alpha} &= \frac{\cos\alpha(5\tan\alpha + 7)}{\cos\alpha(6 - 3\tan\alpha)} = \frac{5 \times \frac{4}{15} + 7}{6 - 3 \times \frac{4}{15}}\\ &= \frac{\frac{4}{3} + 7}{6 - \frac{4}{5}} = \frac{125}{78} \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនា \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) ដោយគេស្គាល់ \(\sin\alpha = -\dfrac{2}{3}\) និង \(\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) ។

  2. គណនា \(\dfrac{\cot\alpha + \tan\alpha}{\cot\alpha - \tan\alpha}\) ដោយស្គាល់ \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) និង \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\),  \(\tan\alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\),  \(\cot\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) ។

  2. \(\dfrac{25}{7}\) ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ \(\theta\) និង \(\theta + 2k\pi\)

ដោយមុំ \(\theta\) និង \(\theta + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ជាមុំកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OA}\) និង \(\overrightarrow{OP}\) ដូចគ្នានោះ គេបានរូបមន្ត

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin(\theta + 2k\pi) &= \sin\theta, & \cos(\theta + 2k\pi) &= \cos\theta\\ \tan(\theta + 2k\pi) &= \tan\theta, & \cot(\theta + 2k\pi) &= \cot\theta \quad{} (k \in \mathbb{Z}) \end{aligned}\]

សម្គាល់

\(\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta\),  \(\cot(\theta + k\pi) = \cot\theta\),  \(k \in \mathbb{Z}\) ។

ឧទាហរណ៍

\[\begin{gathered} \sin\frac{9}{2}\pi = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 4\pi\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1,\\ \cos\left(-\frac{17}{3}\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 6\pi\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \text{ ។} \end{gathered}\]

លំហាត់គំរូ ៧

គេដឹងថា \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ។ គណនា \(\cos\dfrac{65\pi}{4}\) និង \(\sin\left(-\dfrac{39\pi}{4}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេសរសេរ \(\dfrac{65\pi}{4} = \dfrac{64\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = 16\pi + \dfrac{\pi}{4}\) ។

\[\cos\frac{65\pi}{4} = \cos\left[\frac{\pi}{4} + (8 \times 2\pi)\right] = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ។}\]
គេដឹងថា \(-\dfrac{39\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{40\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - 10\pi\) គេបាន
\[\sin\left(-\frac{39\pi}{4}\right) = \sin\left[\frac{\pi}{4} - (5 \times 2\pi)\right] = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ។}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនាតម្លៃរបស់ \(\sin 6\pi\), \(\sin\dfrac{11\pi}{3}\), \(\cos\left(-\dfrac{23\pi}{6}\right)\), \(\tan\left(-\dfrac{27\pi}{4}\right)\) ។

មើលចម្លើយ

\(0\),  \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),  \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),  \(1\) ។

មុំផ្តុំ

មុំផ្ទុយគ្នា \(\theta\) និង \(-\theta\)

មុំពីរផ្ទុយគ្នាកាលណាផលបូករង្វាស់វាស្មើនឹងសូន្យតាម \(2\pi\) ។ ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគេមាន \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) និង \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP'}) = \theta'\) ហើយ \(\theta + \theta' = 0\) តាម \(2\pi\) នាំឱ្យ \(\theta' = -\theta\) តាម \(2\pi\) ។

គេបានកូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) និង \(P'\) គឺ \(P(\cos\theta, \sin\theta)\) និង \(P'(\cos(-\theta), \sin(-\theta))\) ។ ដោយ \(P\) និង \(P'\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្សអាប់ស៊ីស គេបាន \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\), \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) ។ ដូច្នេះ

\[\begin{gathered} \tan(-\theta) = \frac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)} = \frac{-\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta,\\ \cot(-\theta) = \frac{\cos(-\theta)}{\sin(-\theta)} = \frac{\cos\theta}{-\sin\theta} = -\cot\theta \text{ ។} \end{gathered}\]

គេបានរូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin(-\theta) &= -\sin\theta, & \cos(-\theta) &= \cos\theta\\ \tan(-\theta) &= -\tan\theta, & \cot(-\theta) &= -\cot\theta \end{aligned}\]

សម្គាល់

មុំពីរផ្ទុយគ្នាមានកូស៊ីនុសដូចគ្នា ហើយមានស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ផ្ទុយគ្នា ។ ឧទាហរណ៍ ៖

\[\begin{gathered} \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\\ \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \text{ ។} \end{gathered}\]

មុំបំពេញ \(\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\) និង \(\theta\)

មុំពីរបំពេញគ្នា កាលណាផលបូករង្វាស់វាស្មើនឹង \(\dfrac{\pi}{2}\) តាម \(2\pi\) ។

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណ គេមាន \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) និង \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP'}) = \dfrac{\pi}{2} - \theta\) ។ គេបានកូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) គឺ \((\cos\theta, \sin\theta)\) ។ បើគេយកចំណុច \(P'\) ឆ្លុះគ្នានឹងចំណុច \(P\) ធៀបនឹងបន្ទាត់ \(y = x\) នោះគេបាន កូអរដោនេនៃចំណុច \(P'\) គឺ \((\sin\theta, \cos\theta)\)  \((1)\) ។

តាមរូបខាងស្តាំ \(OP'\) ជាជ្រុងមួយនៃមុំ \(\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\) ។ ដូច្នេះកូអរដោនេនៃ \(P'\) គឺ \(\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right), \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\right]\)  \((2)\) ។ តាម \((1)\) និង \((2)\) គេបាន

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \quad{} \text{និង} \quad{} \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta\]
\[\begin{gathered} \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta},\\ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \text{ ។} \end{gathered}\]

សម្គាល់

  • មុំពីរបំពេញគ្នា មានចុងឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទី \(1\) ។ គេបានរូបមន្ត

    \[\begin{aligned} \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \cos\theta, & \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \sin\theta\\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \cot\theta, & \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \tan\theta \end{aligned}\]

  • មុំពីរបំពេញគ្នា មានស៊ីនុសនៃមុំមួយស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយទៀត ហើយតង់សង់នៃមុំមួយស្មើនឹងកូតង់សង់នៃមុំមួយទៀត ។ ឧទាហរណ៍ ៖

    \[\begin{gathered} \sin 60^\circ = \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\\ \tan\frac{\pi}{3} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \text{ ។} \end{gathered}\]

មុំបន្ថែម \((\pi - \theta)\) និង \(\theta\)

មុំពីរបន្ថែមគ្នា កាលណាផលបូករង្វាស់វាស្មើនឹង \(\pi\) តាម \(2\pi\) ។

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេមានមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP'}) = \pi - \theta\) ។ គេបានកូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) គឺ \((\cos\theta, \sin\theta)\) និងកូអរដោនេនៃចំណុច \(P'(-\cos\theta, \sin\theta)\)  \((1)\) ។ តាមរូបខាងស្តាំ \(OP'\) ជាជ្រុងមួយនៃមុំ \((\pi - \theta)\) ។ ដូច្នេះកូអរដោនេនៃ \(P'\) គឺ \((\cos(\pi - \theta), \sin(\pi - \theta))\)  \((2)\) ។

តាម \((1)\) និង \((2)\) គេបាន

\[\sin(\pi - \theta) = \sin\theta, \quad{} \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\]
\[\begin{gathered} \tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi - \theta)}{\cos(\pi - \theta)} = \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta,\\ \cot(\pi - \theta) = \frac{\cos(\pi - \theta)}{\sin(\pi - \theta)} = \frac{-\cos\theta}{\sin\theta} = -\cot\theta \end{gathered}\]
មុំពីរបន្ថែមមានចុងឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្សស៊ីនុសគេបានរូបមន្ត

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin(\pi - \theta) &= \sin\theta, & \cos(\pi - \theta) &= -\cos\theta\\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan\theta, & \cot(\pi - \theta) &= -\cot\theta \end{aligned}\]

សម្គាល់

មុំពីរបន្ថែមគ្នា មានស៊ីនុសដូចគ្នាហើយមានកូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ផ្ទុយគ្នា ។

ឧទាហរណ៍

\[\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[\begin{aligned} \cos\left(-\frac{20\pi}{3}\right) &= \cos\frac{20\pi}{3} = \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 6\pi\right) = \cos\frac{2\pi}{3}\\ &= \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៨

គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោម ៖

\[\begin{gathered} A = \cos(-\theta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos(\pi - \theta) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right),\\ B = \sin\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{3\pi}{4} + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \text{ ។} \end{gathered}\]

ដំណោះស្រាយ

\[A = \cos\theta + \cos\theta - \cos\theta - \cos\theta = 0\]
\[\begin{aligned} B &= \sin\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{3\pi}{4} + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\\ &= \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) - \sin\frac{\pi}{6}\\ &= \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

  1. ដោយស្គាល់ \(\sin 47^\circ = 0.6820\) គណនា \(\cos 43^\circ\) ។

  2. រកតម្លៃលេខនៃកន្សោម

    \[\begin{gathered} A = \sin(-x) + \sin(\pi - x) + \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right),\\ B = \sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) + \cos(3\pi - x),\\ C = \tan\frac{5\pi}{6} + \cot\frac{7\pi}{4} + \frac{1}{\tan\frac{\pi}{3}} \text{ ។} \end{gathered}\]

មើលចម្លើយ

  1. \(\cos 43^\circ = \sin 47^\circ = 0.6820\) ។

  2. \(A = 0\),  \(B = 0\),  \(C = -1\) ។

មុំដែលមានផលសងស្មើ \(\pi\)

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេមានមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP'}) = \pi + \theta\) គេបានកូអរដោនេនៃចំណុច \(P(\cos\theta, \sin\theta)\) និងកូអរដោនេនៃចំណុច \(P'(\cos(\pi + \theta), \sin(\pi + \theta))\) ។ ចំណុច \(P\) និង \(P'\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងគល់ \(O\) ។ គេបាន \(OP\) និង \(OP'\) មានចំណោលកែងផ្ទុយគ្នាលើអ័ក្សស៊ីនុស និងអ័ក្សកូស៊ីនុស ។

គេបាន

\[\begin{aligned} \sin(\pi + \theta) &= \sin[\pi - (-\theta)] = \sin(-\theta) = -\sin\theta\\ \cos(\pi + \theta) &= \cos[\pi - (-\theta)] = -\cos(-\theta) = -\cos\theta\\ \tan(\pi + \theta) &= \frac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} = \frac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \tan\theta\\ \cot(\pi + \theta) &= \frac{\cos(\pi + \theta)}{\sin(\pi + \theta)} = \frac{-\cos\theta}{-\sin\theta} = \cot\theta \text{ ។} \end{aligned}\]

គេបានរូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin(\pi + \theta) &= -\sin\theta, & \cos(\pi + \theta) &= -\cos\theta\\ \tan(\pi + \theta) &= \tan\theta, & \cot(\pi + \theta) &= \cot\theta \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍

\[\begin{gathered} \sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2},\\ \tan\frac{7\pi}{6} = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}\]
\[\begin{aligned} A &= 2\cos(\pi - 2x) + \sin(\pi + y) - 2\cos(\pi - 2x)\\ &\quad{} - \sin(\pi + y)\\ &= -2\cos 2x - \sin y + 2\cos 2x + \sin y = 0 \text{ ។} \end{aligned}\]

មុំដែលមានផលសងស្មើ \(\frac{\pi}{2}\)

ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គេមានមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}) = \theta\) និងមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP'}) = \dfrac{\pi}{2} + \theta = \dfrac{\pi}{2} - (-\theta)\) ។ ធ្នូ \(AP'\) ជាធ្នូបំពេញនៃធ្នូដែលមានរង្វាស់ \((-\theta)\) តាម \(2\pi\) ។ ដូច្នេះ

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) &= \cos(-\theta)\\ &= \cos\theta, & \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) &= \sin(-\theta)\\ &= -\sin\theta\\ \tan\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) &= \cot(-\theta)\\ &= -\cot\theta, & \cot\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) &= \tan(-\theta)\\ &= -\tan\theta \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍

\[\begin{gathered} \sin 120^\circ = \sin(30^\circ + 90^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\\ \tan\frac{5\pi}{6} = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}\]
\[\frac{\cot\frac{3}{4}\pi}{\sin\frac{3}{2}\pi} = \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right)} = \frac{-\tan\frac{\pi}{4}}{\cos\pi} = \frac{-1}{-1} = 1 \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ៩

គណនា \(\dfrac{\cos(-288^\circ)\cot 72^\circ}{\tan(-162^\circ)\sin 108^\circ} - \tan 18^\circ\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} &\frac{\cos(-288^\circ)\cot 72^\circ}{\tan(-162^\circ)\sin 108^\circ} - \tan 18^\circ\\ &= \frac{\cos(-360^\circ + 72^\circ)\cot 72^\circ}{\tan(-180^\circ + 18^\circ)\sin(90^\circ + 18^\circ)}\\ &\quad{} - \tan 18^\circ\\ &= \frac{\cos 72^\circ \tan 18^\circ}{\tan 18^\circ \cos 18^\circ} - \tan 18^\circ\\ &= \frac{\cos(90^\circ - 18^\circ)\tan 18^\circ}{\tan 18^\circ \cos 18^\circ} - \tan 18^\circ\\ &= \frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} - \tan 18^\circ = \tan 18^\circ - \tan 18^\circ = 0 \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

  1. គណនា \(\sin 870^\circ\), \(\cos(-135^\circ)\), \(\tan 765^\circ\), \(\cot\dfrac{25}{4}\pi\) ។

  2. គណនា \(\dfrac{(\cot 44^\circ + \tan 226^\circ)\cos 406^\circ}{\cos 316^\circ} - \cot 72^\circ\cot 18^\circ\) ។

មើលចម្លើយ

  1. \(\dfrac{1}{2}\),  \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),  \(1\),  \(1\) ។

  2. \(\tan 44^\circ\) ។

ការសិក្សាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ដើម្បីសិក្សាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ គេត្រូវរកដែនកំណត់ ខួប ភាពគូសេស ទិសដៅអថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ ។

ដែនកំណត់

អនុគមន៍ស៊ីនុសនិងអនុគមន៍កូស៊ីនុសមានដែនកំណត់លើ \(\mathbb{R}\) ។ អនុគមន៍តង់សង់អាចកំណត់បាន លុះត្រាតែ \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។ ដូច្នេះដែនកំណត់នៃអនុគមន៍តង់សង់គឺ \(D = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។

អនុគមន៍កូតង់សង់អាចកំណត់បាន លុះត្រាតែ \(\sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។ ដូច្នេះដែនកំណត់នៃអនុគមន៍កូតង់សង់គឺ \(D = \mathbb{R} - \{k\pi\}\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ \(y = \sin 2x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។

អនុគមន៍ \(y = \dfrac{4}{\cos x}\) កំណត់បាន កាលណា \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) ។

អនុគមន៍ \(y = \tan(x - 1)\) កំណត់បានកាលណា \(x - 1 \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(x \ne 1 + \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។

ខួបនៃអនុគមន៍

និយមន័យ

\(f\) ជាអនុគមន៍មានដែនកំណត់ \(D\) ។ \(f\) ជាអនុគមន៍មានខួប \(p\) លុះត្រាតែ \(p\) ជាចំនួនវិជ្ជមានតូចបំផុត ដែល \(\forall x \in D\) ៖ \(f(x + p) = f(x)\) ។ ពីនិយមន័យនេះគេអាចទាញបាន

\[f(x) = f(x + p) = f[(x + p) + p] = f(x + 2p) = \ldots\]
\[f(x) = f(x - p) = f[(x - p) - p] = f(x - 2p) = \ldots\]

ជាទូទៅ

អនុគមន៍ស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុសមានខួប \(2\pi\) ព្រោះ \(2\pi\) ជាចំនួនវិជ្ជមានតូចបំផុតដែល \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) និង \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) ដែល \(\forall k \in \mathbb{Z}\), \(\forall x \in D\), \(f(x + kp) = f(x)\) ។

សម្គាល់

អនុគមន៍ \(y = \sin 2x\) និង \(y = \cos 2x\) មានខួប \(\pi\) ព្រោះ \(\sin[2(x + \pi)] = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x\) និង \(\cos[2(x + \pi)] = \cos(2x + 2\pi) = \cos 2x\) ។

ជាទូទៅ

អនុគមន៍ \(y = \sin ax\) និង \(y = \cos ax\) មានខួប \(p = \dfrac{2\pi}{|a|}\) ។

អនុគមន៍តង់សង់និងអនុគមន៍កូតង់សង់មានខួប \(\pi\) ព្រោះ \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\forall k \in \mathbb{Z}\), \(\tan(x + \pi) = \tan x\) នាំឱ្យ \(\tan(x + k\pi) = \tan x\) និង \(\cot(x + \pi) = \cot x\) នាំឱ្យ \(\cot(x + k\pi) = \cot x\) ។

ជាទូទៅ

អនុគមន៍ \(y = \tan ax\) និង \(y = \cot ax\) មានខួប \(p = \dfrac{\pi}{|a|}\) ។

ឧទាហរណ៍

អនុគមន៍ \(y = \sin\dfrac{1}{2}x\) មានខួប \(p = 4\pi\),  \(y = \cos(-3x)\) មានខួប \(p = \dfrac{2\pi}{|-3|} = \dfrac{2\pi}{3}\) ។

អនុគមន៍ \(y = 3\tan\dfrac{1}{2}x\) មានខួប \(p = 2\pi\),  \(y = \cot 5x\) មានខួប \(p = \dfrac{\pi}{5}\) ។

ភាពគូនិងភាពសេស

និយមន័យ

  • \(f\) ជាអនុគមន៍មានដែនកំណត់ \(D\) ។ \(f\) ជាអនុគមន៍គូ លុះត្រាតែគ្រប់ \(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = f(x)\) ។

  • \(f\) ជាអនុគមន៍មានដែនកំណត់ \(D\) ។ \(f\) ជាអនុគមន៍សេស លុះត្រាតែគ្រប់ \(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = -f(x)\) ។

ឧទាហរណ៍

\(y = x - \sin x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។ គ្រប់តម្លៃ \(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = -x - \sin(-x) = -(x - \sin x) = -f(x)\) ។ ដូច្នេះ \(y = x - \sin x\) ជាអនុគមន៍សេស ។

\(y = \tan x\cot^3 x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{k\pi}{2}\right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។ គ្រប់តម្លៃ \(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = \tan(-x)\cot^3(-x) = \tan x\cot^3 x = f(x)\) ។ ដូច្នេះ \(y = \tan x\cot^3 x\) ជាអនុគមន៍គូ ។

លក្ខណៈ ក្រាបនៃអនុគមន៍សេសមានគល់តម្រុយជាផ្ចិតឆ្លុះ និងក្រាបនៃអនុគមន៍គូមានអ័ក្សអរដោនេជាអ័ក្សឆ្លុះ ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin x\)

ដែនកំណត់ ៖ \(y = \sin x\) ជាអនុគមន៍ កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

ខួប ៖ \(y = \sin x\) ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប \(p = 2\pi\) ព្រោះ \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) ។ យើងសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \sin x\) លើ \([-\pi, \pi]\) ហើយក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin x\) លើចន្លោះ \([(2k - 1)\pi, (2k + 1)\pi]\) បានដោយរំកិលមែកលើ \([-\pi, \pi]\) ចំនួន \(2\pi\) តាមអ័ក្ស \((x'x)\) ។

ភាពសេស ៖ គេដឹងថា \(\sin(-x) = -\sin x\) ។ ដូច្នេះអនុគមន៍ \(y = \sin x\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin x\) មានគល់តម្រុយជាផ្ចិតឆ្លុះ ។ ដូច្នេះសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \sin x\) តែលើ \([0, \pi]\) រួចធ្វើបម្លែងឆ្លុះធៀបនឹង \(0\) បានមែកលើ \([-\pi, 0]\) ។

ទិសដៅអថេរភាព ៖ គេសង្កេតឃើញថា កាលណា \(x\) កើនពី \(0\) ទៅ \(\dfrac{\pi}{2}\) នោះតម្លៃ \(\sin x\) កើនពី \(0\) ទៅ \(1\) ។ បើ \(x\) កើនពី \(\dfrac{\pi}{2}\) ទៅ \(\pi\) នោះតម្លៃ \(\sin x\) ចុះពី \(1\) ទៅ \(0\) ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប \(y = \sin x\) លើ \([-\pi, \pi]\)

ក្រាបនេះហៅថា ស៊ីនុសូអ៊ីត ។

ឧទាហរណ៍

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = 2\sin x\) លើចន្លោះ \([0, 2\pi]\) ។

ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍ \(y = 2\sin x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។ អនុគមន៍ \(y = 2\sin x\) មានខួប \(p = 2\pi\) ។

ភាពសេស ៖ គ្រប់ \(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = 2\sin(-x) = -2\sin x = -f(x)\) ។ ដូច្នេះ \(y = 2\sin x\) ជាអនុគមន៍សេស ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

លំហាត់គំរូ ១០

ដោយប្រើក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin x\) ។ សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\) សង់បានដោយរំកិលក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin x\) ពីស្តាំទៅឆ្វេងចំនួន \(\dfrac{\pi}{2}\) ឯកតាតាមអ័ក្ស \(x'x\) ។

ប្រតិបត្តិ

  1. សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \sin 2x\) ។

  2. ប្រើក្រាប \(y = \sin x\) សង់ក្រាប \(y = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)\) ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos x\)

ដែនកំណត់ ៖ កូស៊ីនុសជាអនុគមន៍ កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ។

ខួប ៖ \(y = \cos x\) ជាអនុគមន៍ដែលមានខួប \(p = 2\pi\) ។ យើងសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \cos x\) លើចន្លោះ \([(2k - 1)\pi, (2k + 1)\pi]\), \(k \in \mathbb{Z}\) បានដោយរំកិលមែកលើ \([-\pi, \pi]\) ចំនួន \(2\pi\) តាម \((x'x)\) ។

ភាពគូ ៖ គេដឹងថា \(\cos(-x) = \cos x\) ដូច្នេះ \(y = \cos x\) ជាអនុគមន៍គូ ។ ក្រាបនៃ \(y = \cos x\) មានអ័ក្សអរដោនេជាអ័ក្សឆ្លុះ ។ ដូច្នេះ យើងសិក្សាតែលើ \([0, \pi]\) ហើយមែកលើ \([-\pi, 0]\) បានដោយធ្វើបម្លែងឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្សអរដោនេនៃមែកលើ \([0, \pi]\) ។

ទិសដៅអថេរភាព ៖ គេសង្កេតឃើញថាកាលណា \(x\) កើនពី \(0\) ទៅ \(\dfrac{\pi}{2}\) នោះតម្លៃ \(\cos x\) ចុះពី \(1\) ទៅ \(0\) ។ បើ \(x\) កើនពី \(\dfrac{\pi}{2}\) ទៅ \(\pi\) នោះតម្លៃ \(\cos x\) ចុះពី \(0\) ទៅ \(-1\) ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប \(y = \cos x\)

ឧទាហរណ៍

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = 2\cos x\) ។

ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍ \(y = 2\cos x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R}\) ។ អនុគមន៍ \(y = 2\cos x\) មានខួប \(T = 2\pi\) ។

\(x \in D\), \(-x \in D\), \(f(-x) = 2\cos(-x) = 2\cos x = f(x)\) ។ ដូច្នេះ \(y = 2\cos x\) ជាអនុគមន៍គូ ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

លំហាត់គំរូ ១១

ដោយប្រើក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos x\) សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបានក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) ដោយរំកិលក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos x\) ពីឆ្វេងទៅស្តាំ \(\dfrac{\pi}{2}\) ឯកតាស្របនឹងអ័ក្ស \((x'x)\) ។

ប្រតិបត្តិ

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cos 2x\) និង \(y = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \tan x\)

ដែនកំណត់ ៖ គេដឹងថា \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) ។ អនុគមន៍តង់សង់កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) ខុសពី \(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((k \in \mathbb{Z})\) ឬ \(x \in \mathbb{R} - \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\), \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ខួប ៖ \(y = \tan x\) ជាអនុគមន៍ដែលមានខួប \(p = \pi\) ។ យើងសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \tan x\) លើចន្លោះ \(\left((2k - 1)\dfrac{\pi}{2}, (2k + 1)\dfrac{\pi}{2}\right)\), \((k \in \mathbb{Z})\) បានដោយរំកិលមែកលើ \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ចំនួន \(\pi\) ឯកតាតាម \((x'x)\) ។

ភាពសេស ៖ គេដឹងថាគ្រប់ \(x \ne \left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)\), \((k \in \mathbb{Z})\) នាំឱ្យ \(\tan(-x) = -\tan x\) ។ ដូច្នេះ \(y = \tan x\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ក្រាបនៃ \(y = \tan x\) មានគល់តម្រុយជាផ្ចិតឆ្លុះ ។ ដូច្នេះយើងសិក្សាតែលើ \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ហើយមែកលើ \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, 0\right]\) បានដោយធ្វើបម្លែងឆ្លុះធៀបនឹង \(0\) នៃមែកលើ \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។

ទិសដៅអថេរភាព ៖ គេសង្កេតឃើញថាអនុគមន៍ \(y = \tan x\) កើនលើចន្លោះ \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

ឧទាហរណ៍

សិក្សាអថេរភាពនិងសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}\tan x\) ។

ដែនកំណត់ ៖ អនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}\tan x\) មានដែនកំណត់ \(D = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\) \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ខួប ៖ អនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}\tan x\) មានខួប \(p = \pi\) ។ គេដឹងថាគ្រប់ \(x \ne \left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)\), \((k \in \mathbb{Z})\) នាំឱ្យ \(\dfrac{1}{2}\tan(-x) = -\dfrac{1}{2}\tan x = -f(x)\) ជាអនុគមន៍សេស ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

\[\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline x & -\frac{\pi}{2} & & -\frac{\pi}{4} & & 0 & & \frac{\pi}{4} & & \frac{\pi}{2}\\ \hline \frac{1}{2}\tan x & \| -\infty & \nearrow & -\frac{1}{2} & \nearrow & 0 & \nearrow & \frac{1}{2} & \nearrow & +\infty \|\\ \hline \end{array}\]

លំហាត់គំរូ ១២

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \tan\left(\dfrac{\pi}{6} - x\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(X = x - \dfrac{\pi}{6}\), \(x = X + \dfrac{\pi}{6}\), \(y = -\tan X\) ។ តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2}\\ \hline x = X + \frac{\pi}{6} & -\frac{\pi}{3} & -\frac{\pi}{12} & \frac{\pi}{6} & \frac{5\pi}{12} & \frac{2\pi}{3}\\ \hline y & \| \ +\infty \searrow & 1 \searrow & 0 & \searrow -1 & \searrow -\infty \ \|\\ \hline \end{array}\]

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}\tan 2x\) និង \(y = \tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\) ។

អថេរភាពនិងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \cot x\)

ដែនកំណត់ ៖ គេដឹងថា \(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\) ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍កូតង់សង់កំណត់និងជាប់ចំពោះគ្រប់ \(x \ne k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) ។

ខួប ៖ \(y = \cot x\) ជាអនុគមន៍ដែលមានខួប \(p = \pi\) ។ យើងសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \cot x\) លើចន្លោះ \((k\pi, (k + 1)\pi)\), \((k \in \mathbb{Z})\) បានដោយរំកិលមែកលើ \((0, \pi)\) ចំនួន \(\pi\) ឯកតាតាម \((x'x)\) ។

ភាពសេស ៖ ដោយ \(\cot(-x) = -\cot x\) នាំឱ្យ \(y = \cot x\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ក្រាបនៃ \(y = \cot x\) មានគល់ \(0\) ជាផ្ចិតឆ្លុះ ។ យើងសិក្សាអនុគមន៍ \(y = \cot x\) លើចន្លោះ \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) ។

ទិសដៅអថេរភាព ៖ អនុគមន៍ \(y = \cot x\) ចុះលើចន្លោះ \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) ។

តារាងអថេរភាពនិងក្រាប

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = \dfrac{1}{2}\cot x\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព
មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៨៩–១០៩។
ទំព័រ ៨៩
ទំព័រ ៨៩
ទំព័រ ៩០
ទំព័រ ៩០
ទំព័រ ៩១
ទំព័រ ៩១
ទំព័រ ៩២
ទំព័រ ៩២
ទំព័រ ៩៣
ទំព័រ ៩៣
ទំព័រ ៩៤
ទំព័រ ៩៤
ទំព័រ ៩៥
ទំព័រ ៩៥
ទំព័រ ៩៦
ទំព័រ ៩៦
ទំព័រ ៩៧
ទំព័រ ៩៧
ទំព័រ ៩៨
ទំព័រ ៩៨
ទំព័រ ៩៩
ទំព័រ ៩៩
ទំព័រ ១០០
ទំព័រ ១០០
ទំព័រ ១០១
ទំព័រ ១០១
ទំព័រ ១០២
ទំព័រ ១០២
ទំព័រ ១០៣
ទំព័រ ១០៣
ទំព័រ ១០៤
ទំព័រ ១០៤
ទំព័រ ១០៥
ទំព័រ ១០៥
ទំព័រ ១០៦
ទំព័រ ១០៦
ទំព័រ ១០៧
ទំព័រ ១០៧
ទំព័រ ១០៨
ទំព័រ ១០៨
ទំព័រ ១០៩
ទំព័រ ១០៩

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

បំប្លែងជារ៉ាដ្យង់នៃមុំ \(200^\circ\), \(-100^\circ\), \(225^\circ\), \(-240^\circ\), \(-135^\circ\), \(330^\circ\), \(570^\circ\), \(630^\circ\) ។

២លំហាត់ទី ២

បំប្លែងជាដឺក្រេនៃមុំ \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{7}\), \(\dfrac{7\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{6}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{9}\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេមាន \(\sin\theta + \cos\theta = -\dfrac{1}{2}\) ហើយ \(\pi < \theta < 2\pi\) ។ គណនា

  1. \(\sin\theta\cos\theta\)

  2. \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)

  3. \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

រកតម្លៃកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(A = \dfrac{8\cos^3\alpha - 2\sin^3\alpha + \cos\alpha}{2\cos\alpha - \sin^3\alpha}\) ដោយស្គាល់ \(\tan\alpha = 2\) ។

  2. \(B = \dfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}\) ដោយស្គាល់ \(\tan\alpha = -2\) ។

  3. \(C = \dfrac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha}\) ដោយស្គាល់ \(\cot\alpha = 3\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

  1. \(\sqrt{\tan^2\alpha + \cot^2\alpha + 2}\)

  2. \(\dfrac{\sin^2\alpha - \tan^2\alpha}{\cos^2\alpha - \cot^2\alpha}\)

  3. \(\sqrt{\sin^2\alpha(1 + \cot\alpha) + \cos^2\alpha(1 + \tan\alpha)}\)

  4. \(\dfrac{\cos^2\alpha + \cos^2\alpha\cot^2\alpha}{\sin^2\alpha + \sin^2\alpha\tan^2\alpha}\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាពខាងក្រោម ៖

  1. \(\dfrac{\sin x + \cos x - 1}{\sin x - \cos x + 1} = \dfrac{\cos x}{1 + \sin x}\)

  2. \(\dfrac{\cos x\cot x - \sin x\tan x}{\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x}} = 1 + \sin x\cos x\)

  3. \((\tan\theta - \sin\theta)^2 + (1 - \cos\theta)^2 = \left(\dfrac{1}{\cos\theta} - 1\right)^2\)

  4. \(\dfrac{2\sin\theta\cos\theta - \cos\theta}{1 - \sin\theta + \sin^2\theta - \cos^2\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta}\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

រកខួបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = \sin\dfrac{2}{3}x\)

  2. \(y = -\sin\dfrac{1}{4}x\)

  3. \(y = 2\cos\dfrac{1}{4}x\)

  4. \(y = \tan\dfrac{1}{4}x\)

  5. \(y = \cot\dfrac{1}{3}x\)

  6. \(y = \sin 2x + \cos x\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

រកភាពគូនិងសេសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម ៖

  1. \(y = x - \sin 2x\)

  2. \(y = x^2\cos^2 x\)

  3. \(y = \tan x\cos^2 x\)

  4. \(y = \sin 5x + \sin 3x + 5\sin x\cos 2x\)  \((x \in \mathbb{R})\)

  5. \(y = \sin x + \tan x + \cot 3x\)  \(\left(x \ne \dfrac{k\pi}{2}\right)\)

  6. \(y = \cos x + \sin\dfrac{x}{2}\sin x + 5x^2\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = -\sin\dfrac{x}{3}\)

  2. \(y = -\sin\theta + 1\)

  3. \(y = \cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)

  4. \(y = 3\tan\theta\) ។

១០លំហាត់ទី ១០

ដោយប្រើក្រាប \(y = \sin x\) សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

  1. \(y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)\)

  2. \(y = 2 + \sin x\)

  3. \(y = 1 - \sin x\) ។

១១លំហាត់ទី ១១

ដោយប្រើក្រាប \(y = \cos x\) សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ ៖

  1. \(y = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\)

  2. \(y = 2 - \cos x\)

  3. \(y = \cos x + 2\) ។

១២លំហាត់ទី ១២

គេមានត្រីកោណកែងដែលមានអ៊ីប៉ូតេនុស \(1\) និងជ្រុងឈរមុំ \(\beta\) ស្មើ \(p\) ពោលគឺ \(\sin\beta = p\) ហើយ \(\beta\) ជាមុំស្រួច ។ ចូរគណនាកន្សោមខាងក្រោមជាអនុគមន៍នៃ \(p\) ៖

  1. \(\tan\beta\)

  2. \(\sin(90^\circ - \beta)\)

  3. \(\sin(180^\circ + \beta)\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេមាន \(QRS\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ \(PQ = 12\) cm, \(QR = 5\) cm និង \(RP = 13\) cm (\(RS = 5\) cm) ។

  1. ពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជា \(\angle PQR\) ជាមុំកែង ។

  2. ទាញរកតម្លៃ \(\angle QPR\) និង \(\cos\angle PRS\) ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

បង្ហាញថា \(\cos\theta\left(\dfrac{1}{1 - \sin\theta} - \dfrac{1}{1 + \sin\theta}\right)\) អាចសរសេរក្នុងទម្រង់ \(k\tan\theta\) និងរកតម្លៃនៃ \(k\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៩ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត