មេរៀនទី ១០ : រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

ស្រាយបញ្ជាក់ រូបមន្តផលបូកមុំឌុបនិងរូបមន្តបម្លែង
ដោះស្រាយចំណោទត្រីកោណមាត្រ ។

រូបមន្តផលបូកនិងផលដក

គណនា \(\cos(\alpha - \beta)\) និង \(\cos(\alpha + \beta)\)

ឧទាហរណ៍ ១

ប្រៀបធៀបកន្សោម \(\cos(60^\circ - 30^\circ)\) និង \(\cos 60^\circ - \cos 30^\circ\) ។ គេបាន

\[\cos(60^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866\]

\[\cos 60^\circ - \cos 30^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{3}) = -0.366\]

ដូច្នេះ \(\cos(60^\circ - 30^\circ) \ne \cos 60^\circ - \cos 30^\circ\) ។

ក្នុងការគណនា \(\cos(60^\circ - 45^\circ) = \cos 15^\circ\) គេមិនអាចរក \(\cos 15^\circ\) បានដោយងាយនោះទេ ព្រោះ \(15^\circ\) មិនមែនជាមុំពិសេស ។ ដូច្នេះគេបង្កើតរូបមន្តដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការរកអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំទាំងនោះដូចខាងក្រោម ៖

គេពិនិត្យរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានមុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}) = \alpha\), មុំ \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{ON}) = \beta\) និងមុំ \((\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = \beta - \alpha\) ។

គេបាន \(\overrightarrow{OM}(\cos\alpha, \sin\alpha)\), \(\overrightarrow{ON}(\cos\beta, \sin\beta)\) ។ តាមនិយមន័យផលគុណស្កាលែ គេអាចសរសេរ

\[\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = OM \cdot ON \cdot \cos(\beta - \alpha) = \cos(\beta - \alpha)\]

ព្រោះ \(OM = ON = 1\) (កាំរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ) និង \(\cos(-x) = \cos x\) ។ ម្យ៉ាងទៀតតាមកន្សោមវិភាគផលគុណស្កាលែ គេបាន \(\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\) ។

ដូច្នេះ

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad{} (1)\]

ឧទាហរណ៍ ២

\[\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(60^\circ - 45^\circ)\\ &= \cos 60^\circ\cos 45^\circ + \sin 60^\circ\sin 45^\circ\\ &= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

បើគេជំនួស \(-\beta\) ដោយ \(\beta\) ក្នុងរូបមន្ត \(\cos(\alpha - \beta)\) គេបាន \(\cos[\alpha - (-\beta)] = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta)\) នាំឱ្យ

រូបមន្ត

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad{} (2)\]

ឧទាហរណ៍ ៣

\[\begin{aligned} \cos\frac{5\pi}{12} &= \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

គណនា \(\sin(\alpha - \beta)\) និង \(\sin(\alpha + \beta)\)

តាមលក្ខណៈមុំបំពេញ គេបាន \(\sin(\alpha + \beta) = \cos\left[\dfrac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right] = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right]\) ។

តាមរូបមន្ត \((1)\) \(\sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta\) ។

តែ \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\) និង \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\) ។

ដូច្នេះ

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \quad{} (3)\]

ឧទាហរណ៍ ៤

\[\begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ)\\ &= \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

បើយើងជំនួស \(\beta\) ដោយ \((-\beta)\) ក្នុងរូបមន្ត \((3)\) គេបាន \(\sin(\alpha - \beta) = \sin[\alpha + (-\beta)]\)

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos(-\beta) + \sin(-\beta)\cos\alpha\]

ដោយ \(\cos(-\beta) = \cos\beta\) និង \(\sin(-\beta) = -\sin\beta\) ។

ដូច្នេះ

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \sin\beta\cos\alpha \quad{} (4)\]

ឧទាហរណ៍ ៥

\[\begin{aligned} \sin\frac{\pi}{12} &= \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ១

គណនា \(\dfrac{\sin 9^\circ\cos 39^\circ - \cos 9^\circ\sin 39^\circ}{\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{28} + \sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{28}}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \frac{\sin 9^\circ\cos 39^\circ - \cos 9^\circ\sin 39^\circ}{\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{28} + \sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{28}} &= \frac{\sin(9^\circ - 39^\circ)}{\cos\left(\frac{12\pi}{28} - \frac{5\pi}{28}\right)}\\ &= \frac{\sin(-30^\circ)}{\cos\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ២

បង្ហាញថា \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \sin\alpha + \cos\alpha &= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right)\\ &= \sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha\right) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនា \(\sin 105^\circ\), \(\cos 105^\circ\), \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) ។
បង្ហាញថា \(\dfrac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} + \dfrac{\sin(\beta - \theta)}{\cos\beta\cos\theta} + \dfrac{\sin(\theta - \alpha)}{\cos\theta\cos\alpha} = 0\) ។

មើលចម្លើយ

\(\sin 105^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), \(\cos 105^\circ = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\), \(\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) ។
ប្រើ \(\dfrac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\alpha - \tan\beta\) ។

គណនា \(\tan(\alpha + \beta)\) និង \(\tan(\alpha - \beta)\)

គេមាន \(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\) ដោយប្រើរូបមន្ត \((2)\) និង \((3)\) គេបាន \(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}\) ។

ឧបមាថា \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\) ។ គេចែកតួទាំងពីរនៃផលធៀបនឹង \(\cos\alpha\cos\beta\) គេបាន

\[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\]

ឬ

\[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \quad{} (5)\]

ឧទាហរណ៍ ៦

\[\begin{aligned} \tan 105^\circ &= \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ\tan 45^\circ}\\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \text{ ។} \end{aligned}\]

បើគេជំនួស \(\beta\) ដោយ \((-\beta)\) ក្នុងរូបមន្ត \(\tan(\alpha + \beta)\) ។ គេបាន \(\tan[\alpha + (-\beta)] = \dfrac{\tan\alpha + \tan(-\beta)}{1 - \tan\alpha\tan(-\beta)}\)

រូបមន្ត

\[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \quad{} (6)\]

រូបមន្តនេះកំណត់បានលុះត្រាតែ \(\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(\beta \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \((\alpha - \beta) \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ។

ឧទាហរណ៍ ៧

\[\begin{aligned} \tan\frac{\pi}{12} &= \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\frac{\pi}{6}}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{6}}\\ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\\ &= 2 - \sqrt{3} \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៣

គេឱ្យ \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{2} < \beta < 0\) និង \(\tan\alpha = 2\), \(\tan\beta = -3\) ។ គណនា \(\tan(\alpha - \beta)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{2 - (-3)}{1 + 2(-3)} = \frac{5}{-5} = -1 \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ៤

សម្រួលកន្សោម \(\dfrac{\tan 3\theta - \tan\theta}{1 + \tan\theta\tan 3\theta} + \cot\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\theta\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(\dfrac{\tan 3\theta - \tan\theta}{1 + \tan\theta\tan 3\theta} = \tan(3\theta - \theta) = \tan 2\theta\) និង \(\cot\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\theta\right) = -\tan 2\theta\) ។

ដូច្នេះ \(\dfrac{\tan 3\theta - \tan\theta}{1 + \tan\theta\tan 3\theta} + \cot\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\theta\right) = \tan 2\theta - \tan 2\theta = 0\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនា \(\tan(a + b + c)\) ដោយប្រើរូបមន្ត \(\tan(\alpha + \beta)\) ។
ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(\dfrac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \theta\right)\) ។

មើលចម្លើយ

\(\tan(a + b + c) = \dfrac{\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c}{1 - \tan a\tan b - \tan b\tan c - \tan c\tan a}\) ។

អនុគមន៍រូបមន្តផលបូក

រូបមន្តមុំឌុប

គេឱ្យ \(\alpha = \beta\) ជំនួស \(\beta\) ដោយ \(\alpha\) ក្នុងរូបមន្ត \(\sin(\alpha + \beta)\) គេបាន \(\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) ។

ដូច្នេះ

\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \quad{} (7)\]
បើគេជំនួស \(\beta\) ដោយ \(\alpha\) ទៅក្នុងរូបមន្ត \(\cos(\alpha + \beta)\) គេបាន \(\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) ។

គេសង្កេតឃើញថា \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\) និង \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\) ។ គេបាន \(\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) និង \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1\) ។

ដូច្នេះ

\[\begin{gathered} \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\\ (8) \end{gathered}\]
បើគេជំនួស \(\beta\) ដោយ \(\alpha\) ទៅក្នុងរូបមន្ត \(\tan(\alpha + \beta)\) គេបាន \(\tan 2\alpha = \tan(\alpha + \alpha) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha\tan\alpha} = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\) ។

ដូច្នេះ

\[\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \quad{} (9)\]

ឧទាហរណ៍ ៨

រក \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\) និង \(\tan 2\alpha\) បើ \(\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}\) និង \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ។

ដោយ \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) នាំឱ្យ \(\sin\alpha > 0\) គេបាន \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}\)

\[\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\]

ដូច្នេះ

\[\begin{gathered} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25},\\ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \times \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{7}{25} \end{gathered}\]

គេបាន \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\dfrac{3}{4}\) នាំឱ្យ

\[\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2 \times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\frac{24}{7}\]

គេអាចរក \(\tan 2\alpha = \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\dfrac{24}{7}\) ។

ឧទាហរណ៍ ៩

គណនា \(\sin 3\alpha\) និង \(\cos 3\alpha\) ។

\[\begin{aligned} \sin 3\alpha &= \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos 2\alpha\\ &= 2\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha + \sin\alpha(1 - 2\sin^2\alpha)\\ &= 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha\\ &= 2\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha\\ &= 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha\\ &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \quad{} (10)\]

\(\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha\) ប្រើ \(\cos 2\alpha\) និង \(\sin 2\alpha\)

ដូច្នេះ

\[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha \quad{} (11)\]

លំហាត់គំរូ ៥

ដោយប្រើ \(\sin 3x\) និង \(\cos 3x\) គណនា \(\sin 4x\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \sin 4x &= \sin(3x + x) = \sin 3x\cos x + \sin x\cos 3x\\ &= (3\sin x - 4\sin^3 x)\cos x\\ &\quad{} + \sin x(4\cos^3 x - 3\cos x)\\ &= 4(\cos^3 x\sin x - \sin^3 x\cos x) \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា \(\dfrac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = 1\) ។

រូបមន្តកន្លះមុំ

បើគេជំនួស \(2\alpha\) ដោយ \(\alpha\) និង \(\alpha\) ដោយ \(\dfrac{\alpha}{2}\) ទៅក្នុងរូបមន្ត \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\), \(\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\) និង \(\tan^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\) គេបាន

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \sin\alpha &= 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}, & \cos^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1 + \cos\alpha}{2}\\ \sin^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1 - \cos\alpha}{2}, & \tan^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} \qquad{} (12) \end{aligned}\]

រូបមន្តម្យ៉ាងទៀតរបស់ \(\tan\dfrac{\alpha}{2}\) គឺ
\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos x\cos x} = \frac{\sin 2x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\]
បើគេជំនួស \(x\) ដោយ \(\dfrac{\alpha}{2}\) និង \(\alpha = 2x\) គេបាន

រូបមន្ត

\[\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} \quad{} (13)\]

បើគេជំនួស \(2\alpha\) ដោយ \(\alpha\) និង \(\alpha\) ដោយ \(\dfrac{\alpha}{2}\) ទៅក្នុងរូបមន្ត \((7)\), \((8)\) និង \((9)\) គេបាន ៖

\[\begin{gathered} \cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}, \quad{} \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2},\\ \tan\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}} \text{ ។} \end{gathered}\]

ដោយ \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2} + \sin^2\dfrac{\alpha}{2} = 1\) គេអាចសរសេរ

\[\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}},\\ \sin\alpha = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}} \end{gathered}\]

គេចែកភាគយកនិងភាគបែងកន្សោមទាំងពីរនឹង \(\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\) ដែល \(\cos\dfrac{\alpha}{2} \ne 0\) គេបាន

\[\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}},\\ \sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} \text{ ។} \end{gathered}\]

បើគេឱ្យ \(\tan\dfrac{\alpha}{2} = t\)

គេបានរូបមន្ត

\[\begin{gathered} \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad{} \sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad{} \tan\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}\\ (14) \end{gathered}\]

ឧទាហរណ៍ ១០

គណនា \(\sin 22^\circ 30'\), \(\sin\dfrac{\pi}{12}\) និង \(\tan\dfrac{3\pi}{8}\) ។

គេដឹងថាមុំ \(22^\circ 30'\) នៅក្នុងកាដ្រង់ទី I ដូច្នេះ \(\sin\) និង \(\cos\) មានតម្លៃវិជ្ជមាន ។ គេបាន

\[\begin{aligned} \sin 22^\circ 30' &= \sin\frac{45^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

\[\sin^2\frac{\pi}{12} = \sin^2\left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\]

ដោយ \(\sin\dfrac{\pi}{12} > 0\) នាំឱ្យ \(\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\) ។

\[\begin{aligned} \tan\frac{3\pi}{8} &= \tan\left(\frac{1}{2} \times \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sin\frac{3\pi}{4}}{1 + \cos\frac{3\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \text{ ។} \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ១១

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(\dfrac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\dfrac{x}{2}\) ។

តាង \(\tan\dfrac{x}{2} = t\) គេបាន

\[\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2}} = \frac{\frac{1 + t^2 - 1 + t^2}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2}} = \frac{2t^2}{2t} = t = \tan\frac{x}{2} \text{ ។}\]

លំហាត់គំរូ ៦

គេមាន \(\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}\) ហើយ \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) ។ គណនា \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) និង \(\cos\dfrac{\alpha}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) នោះនាំឱ្យ \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha < 0\) ហើយ \(\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < \dfrac{\pi}{2}\) ។ គេបាន \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}\) ។ ដូច្នេះ \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) ។

\[\begin{gathered} \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5},\\ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \text{ ។} \end{gathered}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនា \(\tan\dfrac{\alpha}{2}\) ដោយស្គាល់ \(\tan\alpha = \dfrac{24}{7}\) និង \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\) ។

មើលចម្លើយ

\(\cos\alpha = -\dfrac{7}{25}\), \(\sin\alpha = -\dfrac{24}{25}\) ។ \(\tan\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = -\dfrac{4}{3}\) ។

រូបមន្តបម្លែង

បម្លែងពីផលគុណទៅជាផលបូក

តាមរូបមន្តផលបូកនិងផលដកខាងក្រោម ៖

\[\begin{gathered} \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad{} (1),\\ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad{} (2) \end{gathered}\]

បូករូបមន្ត \((1)\) និង \((2)\) គេបាន \(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta\)
ដករូបមន្ត \((1)\) និង \((2)\) គេបាន \(\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\alpha\sin\beta\) ។

\[\begin{gathered} \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \quad{} (3),\\ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \sin\beta\cos\alpha \quad{} (4) \end{gathered}\]

បូករូបមន្ត \((3)\) និង \((4)\) គេបាន \(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta\)
ដករូបមន្ត \((3)\) និង \((4)\) គេបាន \(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\beta\cos\alpha\) ។

ដូច្នេះ គេបានរូបមន្ត

\[\begin{aligned} \cos\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\\ \sin\alpha\sin\beta &= \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\\ \sin\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\\ \sin\beta\cos\alpha &= \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ១២

គណនា \(\cos 75^\circ\cos 45^\circ\) ។

\[\begin{aligned} \cos 75^\circ\cos 45^\circ &= \frac{1}{2}[\cos(75^\circ + 45^\circ) + \cos(75^\circ - 45^\circ)]\\ &= \frac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos 30^\circ)\\ &= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &= \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ១៣

\[\begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{12}\sin\frac{\pi}{4} &= \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right)\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3}\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \text{ ។} \end{aligned}\]

បម្លែងពីផលបូកទៅជាផលគុណ

តាង \(\alpha + \beta = p\), \(\alpha - \beta = q\) គេទាញបាន \(\alpha = \dfrac{p + q}{2}\) និង \(\beta = \dfrac{p - q}{2}\) ។ ជំនួស \(\alpha\) និង \(\beta\) ទៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ គេបាន

រូបមន្ត

\[\begin{aligned} \cos p + \cos q &= 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}\\ \cos p - \cos q &= -2\sin\frac{p + q}{2}\sin\frac{p - q}{2}\\ \sin p + \sin q &= 2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}\\ \sin p - \sin q &= 2\sin\frac{p - q}{2}\cos\frac{p + q}{2} \end{aligned}\]

ដូចគ្នាដែរគេបាន

\[\tan p + \tan q = \frac{\sin p}{\cos p} + \frac{\sin q}{\cos q} = \frac{\sin p\cos q + \sin q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\sin(p + q)}{\cos p\cos q} \text{ ។}\]

ជំនួស \(q\) ដោយ \(-q\) គេបាន \(\tan p - \tan q = \dfrac{\sin(p - q)}{\cos p\cos q}\) ។ ធ្វើតាមវិធីដូចខាងលើ គេបាន \(\cot p + \cot q = \dfrac{\sin(p + q)}{\sin p\sin q}\) និង \(\cot p - \cot q = \dfrac{\sin(q - p)}{\sin p\sin q}\) ។

ដូច្នេះ

\[\begin{aligned} \tan p + \tan q &= \frac{\sin(p + q)}{\cos p\cos q}, & \cot p + \cot q &= \frac{\sin(p + q)}{\sin p\sin q}\\ \tan p - \tan q &= \frac{\sin(p - q)}{\cos p\cos q}, & \cot p - \cot q &= \frac{\sin(q - p)}{\sin p\sin q} \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ១៤

\[\begin{aligned} \sin 105^\circ + \sin 15^\circ &= 2\sin\frac{105^\circ + 15^\circ}{2}\cos\frac{105^\circ - 15^\circ}{2}\\ &= 2\sin 60^\circ\cos 45^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ១៥

សរសេរជាផលគុណនៃ \(1 + \cos\alpha + \cos 2\alpha\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} 1 + \cos\alpha + \cos 2\alpha &= 1 + \cos 2\alpha + \cos\alpha = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha\\ &= 2\cos\alpha\left(\cos\alpha + \frac{1}{2}\right)\\ &= 2\cos\alpha\left(\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\right)\\ &= 4\cos\alpha\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៧

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(2\left(\dfrac{1}{\sin 2\alpha} + \cot 2\alpha\right) = \cot\dfrac{\alpha}{2} - \tan\dfrac{\alpha}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} 2\left(\frac{1}{\sin 2\alpha} + \cot 2\alpha\right) &= 2\left(\frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\right)\\ &= 2\left(\frac{2\cos^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}\right)\\ &= \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ &= \frac{2\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\\ &= \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\\ &= \cot\frac{\alpha}{2} - \tan\frac{\alpha}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

លំហាត់គំរូ ៨

គេមាន \(A\), \(B\), \(C\) ជាមុំក្នុងត្រីកោណមួយ ។ បង្ហាញថា \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន \(\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2} + 2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}\) ។

ដោយ \(A + B + C = \pi \Rightarrow \dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}\) ។ ដូច្នេះ \(\sin\dfrac{A + B}{2} = \cos\dfrac{C}{2}\), \(\cos\dfrac{A + B}{2} = \sin\dfrac{C}{2}\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} \sin A + \sin B + \sin C &= 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}\\ &\quad{} + 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{C}{2}\\ &= 2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A - B}{2} + \cos\frac{A + B}{2}\right)\\ &= 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

\(A\), \(B\), \(C\) ជាមុំក្នុងត្រីកោណមួយ ។ បង្ហាញថា \(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ១១០–១១៩។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេមាន \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\) \(\left(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\right)\), \(\sin\beta = \dfrac{1}{3}\) \(\left(\dfrac{\pi}{2} < \beta < \pi\right)\) ។ គណនា \(\sin(\alpha + \beta)\), \(\cos(\alpha - \beta)\), \(\tan(\alpha - \beta)\) និង \(\cot(\alpha - \beta)\) ។

២លំហាត់ទី ២

គេមាន \(\cos\theta = -\dfrac{2}{3}\), \(\left(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\right)\) ។ គណនា \(\cos 2\theta\), \(\sin\dfrac{\theta}{2}\), \(\sin 3\theta\) ។

៣លំហាត់ទី ៣

គេមាន \(t = \tan\dfrac{\theta}{2}\) \((t \ne \pm 1)\), \(\sin\theta = \dfrac{2t}{1 + t^2}\), \(\cos\theta = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\), \(\tan\theta = \dfrac{2t}{1 - t^2}\) ។ តាមសមភាព \(2\cos 2\theta - \cos(\theta + 2) = 0\) ។ គណនា \(\tan\dfrac{\theta}{2}\) ដែល \(-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) ។

៤លំហាត់ទី ៤

គេមាន \(\theta = 36^\circ\) និង \(2\theta = 180^\circ - 3\theta\) ។ តាមលក្ខណៈនេះ គណនា \(\cos 36^\circ\) ។

៥លំហាត់ទី ៥

គេមាន \(\sin\alpha + \cos\beta = \dfrac{5}{4}\) និង \(\cos\alpha + \sin\beta = \dfrac{5}{4}\) ហើយ \(\left(0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}\right)\), \(\left(0 \le \beta \le \dfrac{\pi}{2}\right)\) ។ គណនា \(\sin(\alpha + \beta)\) និង \(\tan(\alpha + \beta)\) ។

៦លំហាត់ទី ៦

បង្ហាញសមភាពខាងក្រោម ៖

\(\cot(a \pm b) = \dfrac{\cot a\cot b \mp 1}{\cot b \pm \cot a}\)
\(\tan(a + b) - \tan a - \tan b = \tan a\tan b\tan(a + b)\)
\(\dfrac{\sin^4\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4\alpha}{\tan 2\alpha - 1} = \cos 2\alpha\)
\(\dfrac{\cos^3\alpha - \cos 3\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin^3\alpha + \sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3\) ។

៧លំហាត់ទី ៧

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

\(\sin 4x - 4\sin 3x + 6\sin 2x - 4\sin x\)
\(\cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos 2\alpha\cos 2\beta\)
\(\dfrac{\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}\)
\(\dfrac{\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}\) ។

៨លំហាត់ទី ៨

បង្ហាញសមភាពខាងក្រោម ៖

\(\sin 3a = 4\sin a\sin\left(\dfrac{\pi}{3} + a\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - a\right)\)
\(\cos 3a = 4\cos a\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + a\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - a\right)\)
\(4\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\alpha - \dfrac{\pi}{3}\right) = 4\sin^2\alpha - 3\)
\(\sin a - \cos a = \sqrt{2}\sin\left(a - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cos\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right)\) ។

៩លំហាត់ទី ៩

បង្ហាញថាត្រីកោណដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព

\(\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}\) ជាត្រីកោណកែង
\(\dfrac{\sin C}{\cos B} = \sin A + \cos A\cot C\) ជាត្រីកោណកែង ។

១០លំហាត់ទី ១០

បង្ហាញថាត្រីកោណ \(ABC\) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(\sin A = 2\sin B\sin C\) ជាត្រីកោណសមបាត ។

១១លំហាត់ទី ១១

គេឱ្យ \(\tan A + \tan B = 2\cot\dfrac{C}{2}\) ។ បង្ហាញថាត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត ។

១២លំហាត់ទី ១២

គេមាន \(\triangle ABC\) និង \(A\), \(B\), \(C\) ជាមុំក្នុងត្រីកោណនេះ ។

បើគេដឹងថា \(\sin A + \sin B + \sin C = 1\) គណនា \(\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\) ។
បង្ហាញថា \(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A\cos B\cos C\) ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនារង្វាស់មុំនៃត្រីកោណ \(ABC\) បើគេដឹងថា

\(\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 0\)
\(\sin 5A + \sin 5B + \sin 5C = 0\)
\(\sin 6A + \sin 6B + \sin 6C = 0\) ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១០ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត