មេរៀនទី ៨ : អនុគមន៍លោការីត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១

វត្ថុបំណង

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍លោការីត
ដោះស្រាយសមីការនិងវិសមីការលោការីត ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍លោការីត

ឧទាហរណ៍ ក

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = 4^x$, $y = \log_4 x$ និងបន្ទាត់ $y = x$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = 4^x & 0.06 & 0.25 & 1 & 4 & 16\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = \log_4 x & -1 & -0.50 & 0 & 0.50 & 1\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាប យើងសង្កេតឃើញថា

តម្លៃ $x$ កើន គេបានតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $y = \log_4 x$ កើន
ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_4 x$ កាត់អ័ក្ស $(ox)$ ត្រង់ចំណុច $(1, 0)$ ជានិច្ច
ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_4 x$ និង $y = 4^x$ ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

ឧទាហរណ៍ ខ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$, $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ និងបន្ទាត់ $y = x$ ។

តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = \left(\frac{1}{4}\right)^x & 16 & 4 & 1 & 0.25 & 0.06\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0.25 & 0.50 & 1 & 2 & 4\\ \hline y = \log_{\frac{1}{4}} x & 1 & 0.50 & 0 & -0.50 & -1\\ \hline \end{array}\]

តាមក្រាប យើងសង្កេតឃើញថា

តម្លៃ $x$ កើន គេបានតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ ចុះ
ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ កាត់អ័ក្ស $(ox)$ ត្រង់ចំណុច $(1, 0)$
ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ និង $y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$ ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

ជាទូទៅ

បើ $a > 1$ នោះអនុគមន៍ $y = \log_a x$ ជាអនុគមន៍កើន ។

បើ $0 < a < 1$ នោះអនុគមន៍ $y = \log_a x$ ជាអនុគមន៍ចុះ ។

ជាសន្និដ្ឋាន អនុគមន៍ $y = \log_a x$ មានក្រាប ៖

បើ $a > 1$ ក្រាបកើនពីឆ្វេងទៅស្តាំ គេថា $y = \log_a x$ ជាអនុគមន៍កើន
បើ $0 < a < 1$ ក្រាបចុះពីឆ្វេងទៅស្តាំ គេថា $y = \log_a x$ ជាអនុគមន៍ចុះ
អនុគមន៍ $y = \log_a x$ មានក្រាបកាត់តាមចំណុចដែលមានកូអរដោនេ $(1, 0)$ ជានិច្ច
អនុគមន៍ $y = \log_a x$ មានដែនកំណត់ $x > 0$ ជានិច្ច
អនុគមន៍ $y = \log_a x$ និង $y = a^x$ ជាអនុគមន៍ច្រាសគ្នា ហើយមានក្រាបឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។

លំហាត់គំរូ ១

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ ក. $y = \log_{10} x$ ខ. $y = \log_{\frac{1}{10}} x$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{1}{100} & \frac{1}{10} & 1 & 10 & 100\\ \hline y = \log_{10} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline \end{array}\]

យើងសង្កេតឃើញថា អនុគមន៍ $y = \log_{10} x$ មានក្រាបកើន ។

ខ. តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{1}{100} & \frac{1}{10} & 1 & 10 & 100\\ \hline y = \log_{\frac{1}{10}} x & 2 & 1 & 0 & -1 & -2\\ \hline \end{array}\]

យើងសង្កេតឃើញថា អនុគមន៍ $y = \log_{\frac{1}{10}} x$ មានក្រាបចុះ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ ក. $y = \log_7 x$ ខ. $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ ។

លក្ខណៈក្រាបនៃអនុគមន៍លោការីត

ឧទាហរណ៍

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ ក. $y = -2 + \log_3 x$ ខ. $y = \log_3(x - 2)$ គ. $y = -\log_3 x$ ។

ក. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -2 + \log_3 x$ ។ តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 9\\ \hline \log_3 x & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y = -2 + \log_3 x & -3 & -2 & -1 & 0\\ \hline \end{array}\]

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -2 + \log_3 x$ ដំបូងគេសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3 x$ រួចរំកិលចំនួន $2$ ឯកតាចុះក្រោមស្របអ័ក្ស $(oy)$ គេបានក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -2 + \log_3 x$ ។

ខ. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3(x - 2)$ ។ តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{7}{3} & 3 & 5 & 11\\ \hline y = \log_3(x - 2) & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline \end{array}\]

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3(x - 2)$ ដំបូងគេសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3 x$ រួចរំកិលចំនួន $2$ ឯកតា ទៅខាងស្តាំស្របអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3(x - 2)$ ។

គ. សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -\log_3 x$ ។ តារាងតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $x$ និង $y$

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 9\\ \hline y = -\log_3 x & 2 & 1 & 0 & -1 & -2\\ \hline \end{array}\]

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -\log_3 x$ ដំបូងគេសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_3 x$ រួចគូសក្រាបឆ្លុះរបស់វាធៀបនឹងអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -\log_3 x$ ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_a x + q$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = \log_a x$ រួចធ្វើបម្លែងកិលក្រាបស្របអ័ក្ស $(oy)$ ចំនួន $q$ ឯកតាឡើងលើបើ $q > 0$ ហើយចំនួន $q$ ឯកតា ចុះក្រោមបើ $q < 0$ ។
ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = \log_a(x - p)$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = \log_a x$ រួចធ្វើបម្លែងកិលក្រាបស្របអ័ក្ស $(ox)$ ចំនួន $p$ ឯកតាទៅខាងស្តាំបើ $p > 0$ ហើយ $p$ ឯកតាទៅខាងឆ្វេងបើ $p < 0$ ។
ដើម្បីសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y = -\log_a x$ គេត្រូវសង់ក្រាប $y = \log_a x$ រួចគូសក្រាបឆ្លុះធៀបនឹងអ័ក្ស $(ox)$ គេបានក្រាប $y = -\log_a x$ ។

ប្រតិបត្តិ

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍

$y = \log_7(x + 3)$
$y = \log_7 x + 3$
$y = -\log_7 x$
$y = \log_2(x - 1)^2$
$y = 2 - \log_2 x^2$ ។

រូបមន្តប្តូរគោល

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម អាចឱ្យអ្នកសិក្សាអនុគមន៍លោការីត ប្រើសម្រាប់ប្តូរគោលនៃលោការីតទៅជាគោលដែលគេអាចគណនាបាន ។

រូបមន្តប្តូរគោល

បើ $a$, $b$ និង $x$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ហើយ $a \ne 1$, $b \ne 1$ គេបាន $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$

តាង $M = \log_a x$ គេបាន $a^M = x$ ។ នោះ

\[\begin{aligned} \log_b a^M &= \log_b x\\ M\log_b a &= \log_b x \end{aligned}\]

នាំឱ្យ $M = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ ។ យើងទាញបាន $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ ។

លំហាត់គំរូ ២

គណនា

$\log_9 27$
$\log_{27} \dfrac{1}{3}$
$\log_7 27$
$\log_5 125$ ។

ដំណោះស្រាយ

$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{\log_3 3^3}{\log_3 3^2} = \dfrac{3}{2}$
$\log_{27} \dfrac{1}{3} = \log_{3^3} 3^{-1} = -\dfrac{1}{3}$
$\log_7 27 = \dfrac{\log_{10} 27}{\log_{10} 7} \approx 1.6937$
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$ ។

ប្រតិបត្តិ

គណនា

$\log_5 625$
$\log_5 346$
$\log_6 4870$ ។

មើលចម្លើយ

$4$
$\approx 3.63$
$\approx 4.73$ ។

សមីការនិងវិសមីការលោការីត

សមីការលោការីត

ឧទាហរណ៍ ១

បើ $\log_4 x = \log_4 7$ លក្ខខណ្ឌ ៖ សមីការមានន័យកាលណា $x > 0$ នោះ $x = 7$ ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ $\log_4 x = \dfrac{5}{2}$ ។ លក្ខខណ្ឌ ៖ សមីការមានន័យកាលណា $x > 0$ ។

$\log_4 x = \dfrac{5}{2}$, $\log_4 x = \log_4 4^{\frac{5}{2}}$ ប្រើរូបមន្ត $\log_a a = 1$

$x = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}}$ ព្រោះ $4 = 2^2$ នាំឱ្យ $x = 2^5$ ឬ $x = 32$ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយសមីការ $6(\log_x 8 + \log_8 x) = 13$ ។

លក្ខខណ្ឌ ៖ សមីការមានន័យកាលណា $x > 0$ និង $x \ne 1$ ។

\[\begin{gathered} 6\left(\frac{1}{\log_8 x} + \log_8 x\right) = 13\\ \text{ប្រើរូបមន្តប្តូរគោល } \log_x 8 = \frac{1}{\log_8 x} \end{gathered}\]

\[\begin{aligned} &6 + 6(\log_8 x)^2 = 13\log_8 x \quad{} \text{គេបាន}\\ &6(\log_8 x)^2 - 13\log_8 x + 6 = 0\\ &(3\log_8 x - 2)(2\log_8 x - 3) = 0\\ &\log_8 x = \frac{2}{3}, \quad{} \log_8 x = \frac{3}{2}\\ &x = 8^{\frac{2}{3}}, \quad{} x = 8^{\frac{3}{2}} \Rightarrow x = 4, \quad{} x = 16\sqrt{2} \text{ ។} \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ៤

ដោះស្រាយសមីការ $\log_9 x + \log_x 9 = \dfrac{5}{2}$ ។

លក្ខខណ្ឌ ៖ សមីការមានន័យកាលណា $x > 0$ និង $x \ne 1$ ។

\[\begin{aligned} &\log_9 x + \frac{1}{\log_9 x} = \frac{5}{2}\\ &(\log_9 x)^2 + 1 = \frac{5}{2}\log_9 x\\ &2(\log_9 x)^2 - 5\log_9 x + 2 = 0\\ &(2\log_9 x - 1)(\log_9 x - 2) = 0 \quad{} \text{សមមូល} \quad{} \log_9 x = \frac{1}{2}, \ \log_9 x = 2 \end{aligned}\]

បើ $\log_9 x = \dfrac{1}{2}$ ឬ $x = 9^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = 3$ ។

បើ $\log_9 x = 2$ ឬ $x = 9^2 \Rightarrow x = 81$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការ

$\log_9 x = \dfrac{3}{2}$
$\log_{\frac{1}{10}} x = -3$
$\log_x 9 = 2$ ។

មើលចម្លើយ

$x = 27$
$x = 1000$
$x = 3$ ។

វិសមីការលោការីត

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយវិសមីការ

$\log_3 x > \log_3 7$ នោះ $x > 7$ ព្រោះគោល $3$ ធំជាង $1$ ។
$\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 7$ នោះ $0 < x < 7$ ព្រោះគោល $\dfrac{1}{2}$ តូចជាង $1$ ។

ជាទូទៅ

បើ $a > 1$ នោះវិសមីការ $\log_a x > \log_a y$ សមមូល $x > y$ និង $y > 0$
បើ $0 < a < 1$ នោះវិសមីការ $\log_a x > \log_a y$ សមមូល $x < y$ និង $x > 0$ ។

លំហាត់គំរូ ៣

ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម រួចផ្ទៀងផ្ទាត់

$\log_3(3x - 5) > \log_3(x + 7)$
$\log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) \le 2$ ។

ដំណោះស្រាយ

$\log_3(3x - 5) > \log_3(x + 7)$
\[\begin{array}{ll} 3x - 5 > x + 7 & \text{លក្ខណៈនៃវិសមីការរបស់អនុគមន៍លោការីត}\\ 2x > 12 & \text{លក្ខណៈបូកបន្ថែម ឬដកលើអង្គទាំងពីរនៃវិសមីការ}\\ x > 6 & \text{ចែកអង្គទាំងពីរនឹង } 2 \end{array}\]
ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $\log_3(3x - 5)$ មានន័យបើ $3x - 5 > 0$ ឬ $x > \dfrac{5}{3}$ ។ $\log_3(x + 7)$ មានន័យបើ $x + 7 > 0$ ឬ $x > -7$ ។

ដូច្នេះវិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $x > 6$ ឬ $x \in (6, +\infty)$ ។
$\log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) \le 2$

$\log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) \le \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ ឬ $2 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ តាមលក្ខណៈលោការីតនៃគោល

$2x - 1 \ge \dfrac{1}{4}$ ប្តូរទិសដៅព្រោះគោលស្មើនឹង $\dfrac{1}{2} < 1$, $x \ge \dfrac{5}{8}$ ។

ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $\log_{\frac{1}{2}}(2x - 1)$ មានន័យបើ $2x - 1 > 0$ ឬ $x > \dfrac{1}{2}$ ។

ដូច្នេះ វិសមីការមានសំណុំចម្លើយ $x \ge \dfrac{5}{8}$ ឬ $x \in \left[\dfrac{5}{8}, +\infty\right)$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយវិសមីការ

$\log_5(x^2 - 6) > \log_5 x$
$\log_{\frac{1}{3}} x < 0$
$\log_x 27 \ge 3$ ។

មើលចម្លើយ

$x \in (3, +\infty)$
$x > 1$
$x \in (1, 3]$ ។

លោការីតគោល 10 និងលោការីតនេពែ

លោការីតគោល 10

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ $y = 10^x$ គេបាន $x = \log_{10}(y)$ ។ កន្សោម $\log_{10}(y)$ ហៅថា “លោការីតគោល $10$” ។

\[\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 10 & 100 & 1000\\ \hline y = \log_{10} x & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\]

និយមន័យ

លោការីតគោល $10$ នៃអថេរមួយ ជាកន្សោមនៃនិទស្សន្តស្វ័យគុណដែលតម្លៃរបស់វាបានមកដោយយក $10$ ជាគោល ហើយត្រូវបានកំណត់សរសេរដោយ $\log_{10} x$ ឬ $\log x$ ។

លំហាត់គំរូ ៤

រកតម្លៃ $x$ ជាអនុគមន៍នៃលោការីតគោល $10$ ក. $10^{2x-3} = 7$ ខ. $6^{x+2} = 21$ ។

ដំណោះស្រាយ

$10^{2x-3} = 7$ គេបាន $2x - 3 = \log 7$ នាំឱ្យ $2x = \log 7 + 3$, $x = \dfrac{\log 7 + 3}{2}$
$6^{x+2} = 21$ គេបាន $x + 2 = \log_6 21$ នាំឱ្យ $x = \log_6 21 - 2$, $x = \dfrac{\log 21}{\log 6} - 2$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការ

$\log(40 + y^2) = 2.5$
$\log(y + 18) + \log 5 - \log(2y - 3) = 2$ ។

មើលចម្លើយ

$y \approx \pm 16.6$
$y = 2$ ។

លោការីតនេពែ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យអនុគមន៍ $y = e^x$ ដែល $e$ ជាចំនួនអសនិទាន $e \approx 2.718281828459045\ldots$ នោះគេបាន $x = \log_e(y)$ ។ កន្សោម $\log_e(y)$ ហៅថា “លោការីតនេពែ” ។

និយមន័យ

លោការីតនេពែនៃអថេរមួយ ជាកន្សោមនៃនិទស្សន្តស្វ័យគុណដែលតម្លៃរបស់វាបានមកដោយយក $e$ ជាគោល ហើយត្រូវបានកំណត់សរសេរដោយ $\log_e x$ ឬ $\ln x$ ។

លំហាត់គំរូ ៥

រកតម្លៃ $x$ ជាអនុគមន៍នៃលោការីតនេពែ ក. $e^{x-2} = 12$ ខ. $4e^{2x} + 2 = 18$ ។

ដំណោះស្រាយ

$e^{x-2} = 12$ គេបាន $x - 2 = \ln 12$ ។ ដូច្នេះ $x = \ln 12 + 2$ ។
$4e^{2x} + 2 = 18$ គេបាន $4e^{2x} = 16$ ឬ $e^{2x} = 4$ ។ ដូច្នេះ $2x = \ln 4$ ឬ $x = \dfrac{\ln 4}{2}$ ។

ប្រតិបត្តិ

ដោះស្រាយសមីការ ក. $e^{5x+2} = 23$ ខ. $e^x(2e^x - 1) = 10$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $x \approx 0.227$ ខ. $x \approx 0.916$ ។

ក្រាបនៃអនុគមន៍លោការីតគោល 10 និងលោការីតនេពែ

\[y = \log_{10} x \Leftrightarrow 10^y = x, \quad{} \log_{10} x = \log x\]

\[y = \log_e x \Leftrightarrow e^y = x, \quad{} \log_e x = \ln x\]

ជាទូទៅ

តាមក្រាប អនុគមន៍លោការីតដែលមានគោលកាន់តែធំ (ចំពោះគោល $a > 1$) នោះអនុគមន៍មានកំណើនកាន់តែយឺត ។

ការអនុវត្តលើអនុគមន៍លោការីត

តម្លៃកើនតាមឆ្នាំ

ឧទាហរណ៍

មនុស្សម្នាក់បានយកប្រាក់ចំនួន $2\,925\,000$ ៛ ទៅផ្ញើនៅធនាគារដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $10\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ ធនាគារទូទាត់ការប្រាក់មួយឆមាសម្តង ។ តើរយៈពេលប៉ុន្មានឆ្នាំ ទើបធ្វើឱ្យប្រាក់របស់គាត់កើនដល់ $3\,705\,000$ ៛?

តាមរូបមន្ត $A = P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}$ ដែល $P = 2\,925\,000$ ៛, $r = \dfrac{10}{100} = 0.10$, $A = 3\,705\,000$ ៛, $n = 2$ គេបាន

\[\begin{aligned} &3\,705\,000\\ &= 2\,925\,000\left(1 + \frac{0.10}{2}\right)^{2t} \quad{} \text{ឬ} \quad{} \frac{3\,705\,000}{2\,925\,000}\\ &= 1.05^{2t}\\ &1.2667 = 1.05^{2t} \quad{} \text{ឬ} \quad{} \log 1.2667 = \log 1.05^{2t}\\ &\log 1.2667 = 2t\log 1.05 \quad{} \text{នាំឱ្យ} \quad{} t = \frac{\log 1.2667}{2\log 1.05} \approx 2.42 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ ដើម្បីឱ្យប្រាក់របស់គាត់កើនដល់ $3\,705\,000$ ៛ គាត់ត្រូវប្រើពេលអស់ប្រហែល $2.42$ ឆ្នាំ ។

តម្លៃថយតាមឆ្នាំ

ឧទាហរណ៍

បើយើងសង្កេតលើរបស់មួយចំនួនដែលយើងជួបប្រទះរាល់ថ្ងៃ យើងឃើញថាមានរបស់ខ្លះឡើងថ្លៃជារៀងរាល់ថ្ងៃ ដូចជា ដី ផ្ទះ ជាដើម ។ល។ ទន្ទឹមនឹងរបស់ដែលកើនតម្លៃរហូត ដូច្នេះ ក៏មានរបស់ខ្លះចុះថ្លៃរហូតដែរ ដូចជារថយន្ត ម៉ូតូ ។ល។ ឧទាហរណ៍ បើយើងទិញរថយន្តថ្មីមួយគ្រឿងតម្លៃ $20\,000$ ដុល្លារ ហើយតម្លៃរថយន្តនេះនឹងចុះថ្លៃ $15\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ នោះតារាងតម្លៃរថយន្តចំនួន $4$ ឆ្នាំក្រោយ បង្ហាញដូចតារាងខាងក្រោម ៖

\[\begin{array}{|c|l|}\hline \text{ចំនួនឆ្នាំទិញរថយន្ត} & \text{តម្លៃរថយន្តជាដុល្លារ}\\ \hline 0 & 20\,000\\ \hline 1 & 20\,000 - 20\,000 \times 15\% = 17\,000\\ \hline 2 & 17\,000 - 17\,000 \times 15\% = 14\,450\\ \hline 3 & 14\,450 - 14\,450 \times 15\% = 12\,282.5\\ \hline 4 & 12\,282.5 - 12\,282.5 \times 15\% = 10\,440.13\\ \hline \end{array}\]

យើងសង្កេតឃើញថា តម្លៃរថយន្តមានការថយចុះជារៀងរាល់ឆ្នាំ ទៅតាមអត្រាភាគរយកំណត់របស់វា ។

លំហាត់គំរូ ៦

មនុស្សម្នាក់បានផឹកតែទឹកកកក្រូចឆ្មារមួយកែវ ដែលមានសារជាតិស្ករចំណុះ $130$ មីលីក្រាម ។ បើស្កររលាយចូលក្នុងសារពាង្គកាយក្នុងអត្រា $11\%$ ក្នុងមួយម៉ោង ។ តើរយៈពេលប៉ុន្មានម៉ោង ទើបសារជាតិស្កររលាយចូលក្នុងរាងកាយអស់ពាក់កណ្តាលនៃបរិមាណស្ករដែលមាន?

ដំណោះស្រាយ

ប្រើរូបមន្ត $y = a(1 - r)^t$ ។ ដោយ $y = \dfrac{130}{2} = 65$, $r = \dfrac{11}{100} = 0.11$, $a = 130$ គេបាន

\[\begin{aligned} &65 = 130(1 - 0.11)^t\\ &0.89^t = 0.5 \quad{} \text{ឬ} \quad{} \log 0.89^t = \log 0.5 \Leftrightarrow t\log 0.89 = \log 0.5\\ &t = \frac{\log 0.5}{\log 0.89} \quad{} \text{ឬ} \quad{} t \approx 5.9480 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ ដើម្បីឱ្យស្ករជ្រាបចូលក្នុងរាងកាយអស់ពាក់កណ្តាល គេត្រូវប្រើពេលប្រហែល $6$ ម៉ោង ។

ប្រតិបត្តិ

ពូសៅបានយកប្រាក់ចំនួន $2\,000\,000$ ៛ ទៅផ្ញើនៅធនាគារដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើរយៈពេលប៉ុន្មានឆ្នាំ ទើបប្រាក់របស់គាត់កើនឡើងពីរដង?
គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពនិងចែកផ្សាយបានទិញកុំព្យូទ័រមួយគ្រឿងថ្លៃ $3\,000$ ដុល្លារ ។ បើគេគិតប្រាក់រំលស់ $20\%$ ជារៀងរាល់ឆ្នាំ ចូររកតម្លៃកុំព្យូទ័រក្នុងរយៈពេល $3$ ឆ្នាំក្រោយ ។
តាមការស្រង់ស្ថិតិនាឆ្នាំ $2000$ ប្រទេសចិនមានប្រជាជន $1.26$ ពាន់លាននាក់ ដែលជាចំនួនច្រើនជាងគេបំផុតនៅលើពិភពលោក ។ ប្រទេសដែលមានចំនួនប្រជាជនច្រើនបន្ទាប់ពីប្រទេសចិន គឺប្រទេសឥណ្ឌា ដែលមានចំនួន $1.01$ ពាន់លាននាក់ ។ ចំនួនប្រជាជននៃប្រទេសឥណ្ឌានិងប្រទេសចិន អាចគណនាតាមសមីការ $I(t) = 1.01e^{0.015t}$ និង $C(t) = 1.26e^{0.009t}$ (គេកំណត់ $e = 2.7183$) តាមសមីការគំរូទាំងពីរ តើនៅឆ្នាំណាដែលប្រទេសឥណ្ឌាកើនចំនួនប្រជាជនច្រើនជាងប្រទេសចិន?

មេរៀនសង្ខេប ជំពូកទី ២

មេរៀនសង្ខេប

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
- ស្វ័យគុណ បើ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ កត្តា}} = a^n$ ដែល $n \in \mathbb{N}$ ។ បើ $a$ និង $b$ ជាចំនួនពិត ហើយ $m$ និង $n$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប គេបាន
  \[\begin{gathered} a^m \times a^n = a^{m+n}, \quad{} (a^m)^n = a^{mn},\\ (ab)^n = a^nb^n,\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \ (b \ne 0) \end{gathered}\]
  
  \[\begin{gathered} \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \ (a \ne 0),\\ a^0 = 1 \ (a \ne 0),\\ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \ (a \ne 0), \ n \in \mathbb{N} \text{ ។} \end{gathered}\]
- ឫសទី $n$ ៖ បើ $a$ ជាចំនួនពិត $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ បើ $n$ ជាចំនួនគត់គូ, $\sqrt[n]{a^n} = a$ បើ $n$ ជាចំនួនគត់សេស ។
  \[\begin{gathered} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab},\\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ (b \ne 0),\\ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}},\\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a},\\ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ ។} \end{gathered}\]
  បើ $a > 0$, $a \ne 1$ $a^x = a^y$ សមមូល $x = y$ ។
- អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល កំណត់ដោយ $f(x) = a^x$, $x \in \mathbb{R}$, $a > 0$ និង $a \ne 1$ ។
- បើ $P$ ប្រាក់ដើម $i$ អត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ $n$ ជាចំនួនឆ្នាំ ចំនួនប្រាក់សរុបគឺ $A = P(1 + i)^n$ ។
អនុគមន៍លោការីត
- បើ $(a, b)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(x)$ ហើយ $(b, a)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f^{-1}(x)$ នោះ $f^{-1}(x)$ ជាអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ។
- បើអនុគមន៍ពីរច្រាសគ្នា នោះក្រាបនៃអនុគមន៍ទាំងពីរឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ $y = x$ ។
- បើ $a^x = y$ នោះ $x = \log_a y$, $y > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$ ហើយ $f(x) = a^x$ មានអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x) = \log_a x$ ។
- លក្ខណៈលោការីត ៖ ចំពោះគ្រប់ $x > 0$, $y > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$ និង $b > 0$, $b \ne 1$
  \[\begin{gathered} \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\\ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y,\\ \log_a x^n = n\log_a x \end{gathered}\]
  
  \[\begin{gathered} \log_a b = \frac{1}{\log_b a}, \quad{} \log_a a = 1, \quad{} \log_a 1 = 0,\\ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a},\\ \log_a a^x = x, \quad{} a^{\log_a x} = x \text{ ។} \end{gathered}\]

លំហាត់ជំពូកទី ២

ដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
1. $3^{x^2} = 81^{x-1}$
2. $9^{(2x-1)^2} = 3^{x+3}$
3. $2(3)^{2x+3} = 3 - 7(3^x)$
4. $2^{2x+3} - 2^x = 1 - 2^{x+3}$ ។
បើ $a^x = b^y = (ab)^z$ ។ បង្ហាញថា $xy = z(x + y)$ ។
បើ $2^x = 3^y = 12^z$ ។ បង្ហាញថា $xy = z(x + 2y)$ ។
បើ $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ និង $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ។ បង្ហាញថា $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} = 1$ ។
បើ $a^2 + b^2 = 11ab$ ។ បង្ហាញថា $\log a + \log b = 2\log\left(\dfrac{a - b}{3}\right)$ ។
បើ $\log_x M = a$ និង $\log_y M = b$ ។ បង្ហាញថា $\log_{xy} M = \dfrac{ab}{a + b}$ ។
ដោះស្រាយសមីការលោការីត
1. $2 + \log_{10}(2x - 3) = \log_{10} x^2 + \log_{10} 25$
2. $6(\log_x 8 + \log_8 x) = 13$
3. $\log_x 9 + \log_9 x = \dfrac{5}{2}$
4. $\log_9 x + \log_{x^2} 9 = 1$ ។
ដោះស្រាយវិសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
1. $25^x \ge 125^{3x-2}$
2. $3^x > 27$
3. $4^x - 6(2^x) + 8 > 0$
4. $15^x \ge \dfrac{1}{\sqrt[4]{15^3}}$
5. $\left(\dfrac{1}{5}\right)^x < \sqrt[3]{0.04}$
6. $(0.3)^x \le \dfrac{100}{9}$ ។
ដោះស្រាយវិសមីការលោការីត
1. $\log_{3x-2} x \le 1$
2. $\log_x^2 x - \log_2 x - 15 < 0$
3. $\log_{\frac{1}{4}}(3^x - 1) \cdot \log_{\frac{1}{4}}\dfrac{3^x - 1}{16} = \dfrac{3}{4}$
4. $x \cdot \log_{0.1}(x^2 + x + 1) \ge 0$
5. $\log_{\frac{x}{5}}(x^2 - 8x + 16) \le 0$
6. $\log_{x - \frac{9}{2}} \dfrac{x + 4}{2x - 6} \le \log_{x - \frac{9}{2}}(x - 5)$ ។
មនុស្សម្នាក់បានយកប្រាក់ទៅផ្ញើនៅធនាគារអេស៊ីលីដាចំនួន $1\,000\$$ ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $4\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ បើគាត់វិនិយោគប្រាក់នេះតាំងពីឆ្នាំ $1996$ មក តើបច្ចុប្បន្ននេះឆ្នាំ $2007$ គាត់មានប្រាក់សរុបទាំងអស់ប៉ុន្មាននៅធនាគារ?
គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = a^x$ និងអនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x) = \log_a x$ ដែល $a$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាននិង $a \ne 1$ ។
1. រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x)$ និង $f^{-1}(x)$ កាត់គ្នា ។
2. រកគ្រប់ចំណុចដែលក្រាបនៃអនុគមន៍ទាំងពីរកាត់គ្នា (ក្នុងសំណួរ ក) ។

ទំព័រសៀវភៅដើម

បើកមើលទំព័រសៀវភៅពុម្ព

មេរៀននេះបង្ហាញជាទំព័រពីសៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១១ (ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ) ទំព័រ ៧២–៨៨។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

រកសមីការនៃអនុគមន៍ច្រាសរបស់អនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$y = 4x - 3$
$y = 3x^2 + 1$
$x^2 - 3y^2 = 3$
$xy = -6$
$xy^2 = 1$
$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
$y = \dfrac{5}{x}$
$y = \sqrt{x - 2}$ ។

២លំហាត់ទី ២

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = x - 2$ ។ ចូរកំណត់អនុគមន៍ច្រាស $f^{-1}(x)$ រួចសង់ក្រាបរបស់វា ។

៣លំហាត់ទី ៣

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$y = \log_5 x$
$y = \log_7 x$
$y = \log_{10} x$
$y = \log_{1.5} x$
$y = \log_{0.5} x$
$y = \log_{0.3} x$ ។

៤លំហាត់ទី ៤

បំប្លែងជាទម្រង់លោការីត

$10^4 = 10000$
$8^{\frac{1}{3}} = 2$
$16^{\frac{1}{4}} = 2$
$5^{-2} = \dfrac{1}{25}$
$4^{-3} = \dfrac{1}{64}$
$10^{0.3010} = 2$
$x^{-a} = y$
$A = k^c$ ។

៥លំហាត់ទី ៥

សម្រួល

$3^{\log_3 2}$
$5^{\log_5 10}$
$\log_a a^{10}$
$\log_q q^a$
$\log_4 64$
$\log_{10} 0.1$
$\log_{\sqrt{2}} 16$
$\log_{10} 1$ ។

៦លំហាត់ទី ៦

ដោះស្រាយសមីការលោការីត

$\log_3 x = 3$
$\log_x 16 = 2$
$\log x + \log(x + 9) = 1$
$\log_2 x = -1$
$\log_9 x = \dfrac{1}{2}$
$\log_8 x = \dfrac{1}{3}$
$\log\sqrt[3]{x} = \sqrt{\log x}$
$\log_5\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{1}$
$\log_4(x + 3) + \log_4(x - 3) = 2$
$\log\sqrt[3]{x^2} + \log\sqrt[3]{x^4} = \log 2^{-3}$ ។

៧លំហាត់ទី ៧

ដោះស្រាយវិសមីការលោការីត

$\log_2 2x \le \log_4(x + 3)$
$\log_3(3x - 5) \ge \log_3(x + 7)$
$\log\dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1} < 0$
$\log_{0.5} x^2 < \log_{0.5} 3x$
$\log_5 12 < \log_5(5x - 3)$
$\log(x^2 - 2x + 3) \ge 0$
$\log_8(3x - 1) < \log_8(x + 5)$ ។

៨លំហាត់ទី ៨

ពូសេងយកប្រាក់ $4\,000\,000$ ៛ ទៅផ្ញើវិនិយោគទុន ដោយទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយ ទើបប្រាក់របស់គាត់កើនឡើងពីរដង?

៩លំហាត់ទី ៩

មីងសុខាបានទិញរថយន្តថ្មីមួយគ្រឿងថ្លៃ $38\,500$ ដុល្លារ ។ បើរថយន្តចុះថ្លៃក្នុងអត្រា $15\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើរយៈពេល $7$ ឆ្នាំក្រោយ រថយន្តគាត់នៅសល់ថ្លៃប៉ុន្មាន?

១០លំហាត់ទី ១០

សរសេរអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$f(x) = 10^x$
$g(x) = 3^x$
$h(x) = 7^x$
$f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
$g(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^x$
$h(x) = \left(\dfrac{1}{10}\right)^x$ ។

១១លំហាត់ទី ១១

សរសេរអនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$f(x) = \log x$
$g(x) = \log_3 x$
$h(x) = \log_5 x$
$f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$
$g(x) = \log_{\frac{5}{4}} x$
$h(x) = \log_{21} x$ ។

១២លំហាត់ទី ១២

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $f(x) = 5^x$
សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ច្រាសរបស់អនុគមន៍ $f(x) = 5^x$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ
សរសេរសមីការអនុគមន៍ច្រាសរបស់អនុគមន៍ខាងលើ ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

$f(x) = \log_6 x$
$g(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$
$h(x) = \log_{0.8} x$ ។

១៤លំហាត់ទី ១៤

បង្ហាញថា បើ $f(x) = \log_a x$ នោះ $f(xy) = f(x) + f(y)$ ។

១៥លំហាត់ទី ១៥

បង្ហាញថា បើ $(x_1, y_1)$ និង $(x_2, y_2)$ ជាចំណុចពីរនៅលើខ្សែកោង $y = \log_a x$ នោះចំណុច $\left(\dfrac{x_1}{x_2}, y_1 - y_2\right)$ ក៏ស្ថិតនៅលើខ្សែកោង $y = \log_a x$ ។
បង្ហាញថា បើ $(x_1, y_1)$ ជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង $y = \log_a x$ នោះចំណុច $(x_1^2, 2y_1)$ និងចំណុច $\left(\dfrac{1}{x_1}, -y_1\right)$ ក៏ស្ថិតនៅលើខ្សែកោង $y = \log_a x$ ។

១៦លំហាត់ទី ១៦

គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = a^x$ និងអនុគមន៍ $f^{-1}(x) = \log_a x$ ដែល $a > 0$ ។ រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យខ្សែកោងនៃអនុគមន៍ $f(x)$ និង $f^{-1}(x)$ កាត់គ្នា ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

គេឱ្យ $f(x) = x - \log_2 x$ ហើយ $g(x) = 2^x$ ។ គណនា ក. $f(g(x))$ ខ. $g(f(x))$ ។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ដោះស្រាយសមីការនិងផ្ទៀងផ្ទាត់

$\log_2(2x + 4) - \log_2(x - 1) = 3$
$\log_2 x + \log_4 x = 5$
$\log_5 x + \log_{10} x = 5$
$\log(x + 10) + \dfrac{1}{2}\log x^2 = 2 - \log 4$ ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យវិសមីការ $1 + \log_5(x^2 + 1) \ge \log_5(mx^2 + 4x + m)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ $\forall x$ ។

២០លំហាត់ទី ២០

រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យវិសមីការ $\log_{\frac{1}{a+1}}(x^2 + 2) \ge 1$ មានសំណុំឫសចំពោះ $\forall x$ ។

២១លំហាត់ទី ២១

ប្រើ $u = 2^x$ បង្ហាញសមីការ $8^x - 2^{x+2} = 15$ ជាសមីការដឺក្រេទី $3$ នៃ $u$ ។
បង្ហាញថា $u = 3$ ជាឫសតែមួយគត់ដែលជាចំនួនពិតនៃសមីការដឺក្រេទី $3$ ខាងលើ ។
ដោះស្រាយសមីការ $8^x - 2^{x+2} = 15$ ។

២២លំហាត់ទី ២២

បុរសម្នាក់ទិញម៉ូតូថ្មីមួយគ្រឿង ។ បន្ទាប់ពីរយៈពេល $t$ ដែលជាចំនួនខែនិងតម្លៃរបស់វាតាងដោយ $\$V$ កំណត់ដោយ $V = 10\,000\,e^{-pt}$, $p$ ជាចំនួនថេរ ។

រកតម្លៃម៉ូតូនៅពេលដែលបុរសនោះទិញ ដោយដឹងថាតម្លៃសង្ឃឹមទុករបស់ម៉ូតូបន្ទាប់ពីរយៈពេល $12$ ខែស្មើនឹង ។
គណនាតម្លៃសង្ឃឹមទុករបស់ម៉ូតូបន្ទាប់ពីរយៈពេល $18$ ខែ ។

២៣លំហាត់ទី ២៣

ដោះស្រាយសមីការនិងប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម ៖

$3^{2x+1} - 26(3^x) - 9 = 0$
$\begin{cases} \log p + \log_5 q = 3\\ \log_q p = 2 \end{cases}$ ។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេមាន $V$ តាងតម្លៃគិតជាដុល្លារនៃផ្ទះមួយកំណត់ដោយសមីការ $V = V_0e^{kt}$ ដែល $V_0$ ដុល្លារ ជាតម្លៃដើមនៃផ្ទះទើបសង់រួច ចំណែកឯ $t$ ជារយៈពេលគិតជាឆ្នាំចាប់តាំងពីការសាងសង់រួចមក ហើយ $k$ គឺជាចំនួនថេរ ។ គណនាតម្លៃ $t$ និង $k$ ក្នុងករណីដូចខាងក្រោម ៖

តម្លៃ $k$ បើបន្ទាប់ពីរយៈពេល ឆ្នាំកន្លងមក ផ្ទះមានតម្លៃស្មើនឹងពីរដងតម្លៃដើម
តម្លៃ $t$ ពេលដែលផ្ទះមានតម្លៃស្មើដល់ទៅបីដងតម្លៃដើម ។

២៥លំហាត់ទី ២៥

រកតម្លៃ $p$ និង $q$ ដែលជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ចំពោះ $\left(\dfrac{25}{16}\right)^{-\frac{3}{2}} = 2^p \times 5^q$ ។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យ $\log_p X = 4.6$ និង $\log_p Y = 2.3$ ។ គណនាតម្លៃនៃកន្សោមដូចខាងក្រោម ៖ ក. $\log_p X^2Y$ ខ. $\log_Y X$ ។

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យ $2^{2x+2} \times 5^{x-1} = 8^x \times 5^{2x}$ ។ គណនាតម្លៃ $10^x$ ។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \ln x$ ។

សង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = \ln x$
កំណត់សមីការបន្ទាត់កាត់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $f(x) = \ln x$ ដែលចម្លើយរបស់សមីការអាប់ស៊ីសរវាងបន្ទាត់និងក្រាបនៃអនុគមន៍ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $x^2e^{x-2} = 1$ ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៨ អនុគមន៍លោការីត (វិទ្យាសាស្ត្រ) — ២០ សំណួរ · ៣៥ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត