មេរៀនទី ២១ : វ៉ិចទ័រនិងប្រមាណវិធីលើវ៉ិចទ័រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃការកកើតវ៉ិចទ័រ និងប្រមាណវិធីពីជគណិត

ទ្រឹស្តីនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសិក្សាដំបូងនៅសតវត្សទី១៩ ដោយអ្នកប្រាជ្ញគណិតវិទ្យា អៀរឡង់ វីលៀម រ៉ូវ៉ាន់ ហាមីលតោន (William Rowan Hamilton) និងអ្នកប្រាជ្ញអាល្លឺម៉ង់ ហឺមែន ហ្គ្រាសម៉ាន់ (Hermann Grassmann)។ ហាមីលតោន បានបង្កើតពាក្យ «វ៉ិចទ័រ» នៅក្នុងការសិក្សាពីខ្វាទែញុង (Quaternions) ដើម្បីពណ៌នាពីបរិមាណដែលមានទាំងប្រវែង និងទិសដៅក្នុងលំហ។ សព្វថ្ងៃ វ៉ិចទ័រជាផ្នែកមួយដ៏សំខាន់នៃគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា សម្រាប់ការសិក្សាពីកម្លាំង ល្បឿន និងបម្លាស់ទី។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សញ្ញាណនៃបន្ទាត់ស្រប និងបន្ទាត់កែង
២. ការបូក ដកចំនួនសនិទាន
៣. ការគណនាប្រវែងអង្កត់ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ

អត្ថន័យនៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍

នារីបានធ្វើដំណើរដោយជើងបានចម្ងាយ \(50\text{ m}\) នៅលើផ្លូវត្រង់មួយពីចំណុច \(A\) ទៅ \(B\) ។ ចំណែករ៉ាដាបានធ្វើដំណើរពី \(C\) ទៅ \(D\) ដែល \(AB = CD\) និង \(AB \parallel CD\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បម្លាស់ទីពី \(A\) ទៅ \(B\) និងពី \(C\) ទៅ \(D\) នេះអាចតាងដោយអង្កត់មានទិសដៅ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CD}\) ។

អង្កត់មានទិសដៅដែលមានគល់ \(A\) និងចុង \(B\) ហើយគល់ \(C\) និងចុង \(D\) បើគេមិនគិតពីទីតាំងហៅថា វ៉ិចទ័រ ហើយគេកំណត់សរសេរដោយ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CD}\) ដែល \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CD}\) មានទិសដៅដូចគ្នា ។

និយមន័យ

អង្កត់មានទិសដៅ ដែលមិនគិតពីទីតាំងហៅថា វ៉ិចទ័រ ។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) គឺមានចំណុច \(A\) ជាគល់ និងចំណុច \(B\) ជាចុង ។

ចម្ងាយពីចំណុច \(A\) ទៅ \(B\) គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) ដែលតាងដោយ \(|\overrightarrow{AB}|\) ។ ចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) គឺ \(|\overrightarrow{AB}| = 50\text{ m}\) ។

ឧទាហរណ៍

រថយន្តមួយមានល្បឿន \(10\text{ m/s}\) ដែលតាងដោយ \(\overrightarrow{PQ}\) ។

គេឃើញថា ប្រវែងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{PQ}\) គឺ \(|\overrightarrow{PQ}| = 10\text{ m/s}\) និងទិសដៅរបស់ \(\overrightarrow{PQ}\) គឺត្រង់ទៅមុខ ។ គេអាចប្រើអក្សរតូចមួយសម្រាប់សម្គាល់ឈ្មោះនៃវ៉ិចទ័រ ។

ឧទាហរណ៍

វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{v} \dots\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេបាន \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) \(\overrightarrow{CD} = \vec{b}\) \(\overrightarrow{EF} = \vec{v}\) ។

វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា

នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម \(ABDC\) វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CD}\) មានទិសដៅដូចគ្នា ហើយមានប្រវែងស្មើគ្នាគេថា \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CD}\) ជាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា ។ គេកំណត់សរសេរ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ។

ជាទូទៅ

វ៉ិចទ័រពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែវាមានទិសដៅដូចគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា ។

ឧទាហរណ៍

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{MN}\) និង \(\overrightarrow{PQ}\) មានទិសដៅដូចគ្នានិង \(|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{PQ}| = 3\) ។ ដូច្នេះ \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. តើវ៉ិចទ័រណាខ្លះដែលស្មើគ្នានៃរូបខាងស្ដាំ?
២. រៀបរាប់ឈ្មោះវ៉ិចទ័រដែលស្មើគ្នានៅរូបខាងស្ដាំនេះ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលចម្លើយ

១. វ៉ិចទ័រស្មើគ្នានៅរូបទី 1 ៖ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CE}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BE}\) ។
២. វ៉ិចទ័រស្មើគ្នានៅរូបទី 2 ៖ \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{QM} = \overrightarrow{PN}\), \(\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IP}\), \(\overrightarrow{QI} = \overrightarrow{IN}\) ។

វ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា

នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម \(ABDC\) វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{DB}\) មានប្រវែងស្មើគ្នា តែទិសដៅផ្ទុយគ្នា គេថា \(\overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{DB}\) ជាវ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា ។ គេកំណត់សរសេរ \(\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{DB}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

វ៉ិចទ័រពីរផ្ទុយគ្នា លុះត្រាតែវាមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា ។

ឧទាហរណ៍

\(\overrightarrow{MN}\) និង \(\overrightarrow{PQ}\) មានប្រវែងស្មើគ្នា \(\overrightarrow{MN}\) និង \(\overrightarrow{PQ}\) មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា ។ ដូច្នេះ \(\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{PQ}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សម្គាល់ : \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) ។

ប្រតិបត្តិ

នៅក្នុងរូបខាងស្ដាំ តើវ៉ិចទ័រណាខ្លះជាវ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា?

មើលចម្លើយ

វ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នាគឺ ៖ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) (ព្រោះ \(\vec{a} = -\vec{b}\)), \(\vec{c}\) និង \(\vec{d}\) (ព្រោះ \(\vec{c} = -\vec{d}\)), \(\vec{e}\) និង \(\vec{f}\) (ព្រោះ \(\vec{e} = -\vec{f}\)) ។

វ៉ិចទ័រសូន្យ

\(\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រសូន្យ លុះត្រាតែ \(|\vec{a}| = 0\) ។ វ៉ិចទ័រសូន្យ កំណត់សរសេរ \(\vec{0}\) ។

ឧទាហរណ៍

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\), \(\overrightarrow{BB} = \vec{0} \dots\) ។

ប្រមាណវិធីបូកនិងដកវ៉ិចទ័រ

ប្រមាណវិធីបូកវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍

បុរសម្នាក់បានដើរចេញពីចំណុច \(A\) ទៅទិសខាងកើតរហូតដល់ចំណុច \(B\) បានចម្ងាយ \(4\text{ km}\) ។ បន្ទាប់មកគាត់បន្តដំណើរពីចំណុច \(B\) ទៅទិសខាងជើងដល់ចំណុច \(C\) បានចម្ងាយ \(3\text{ km}\) ហើយឈប់សម្រាកនៅទីនោះ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេថាវ៉ិចទ័របម្លាស់ទី \(\overrightarrow{AC}\) ជាផលបូករវាងវ៉ិចទ័របម្លាស់ទី \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BC}\) ។ គេកំណត់សរសេរដោយ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ។

តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាក័រ គេអាចរកចម្ងាយ \(AC\) ដូចខាងក្រោម៖

\[AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ km}\]

ដូច្នេះ \(|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| > |\overrightarrow{AC}|\) ។

ជាទូទៅ

បើគេមានវ៉ិចទ័រពីរ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BC}\) នោះផលបូករវាងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BC}\) គឺ \(\overrightarrow{AC}\) ដែលគេកំណត់សរសេរ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ។

ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាមនៃវិធីបូកវ៉ិចទ័រ

គេមានវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ។ តាមចំណុច \(A\) ណាមួយគេសង់វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{AC} = \vec{b}\) ហើយគេសង់បំពេញឱ្យបានប្រលេឡូក្រាម \(ABDC\) មួយ ។ គេបាន \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\) ព្រោះ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\) ឬ \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

បើគេមានវ៉ិចទ័រពីរ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\) ដែលមាន \(A\) ជាគល់រួមនោះផលបូករវាងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\) (តាមអង្កត់ទ្រូងប្រលេឡូក្រាម) គឺ \(\overrightarrow{AD}\) ។

សង់វ៉ិចទ័រកម្លាំងផ្គួប \(\vec{F}\) នៃ \(\vec{F}_1\) និង \(\vec{F}_2\) ។

ដំណោះស្រាយ

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចល័តមួយចេញដំណើរពីចំណុច \(A\) សំដៅត្រង់ទៅទិសខាងកើតបាន \(4\text{ km}\) ។ បន្ទាប់មកបន្តដំណើរទៅទិសខាងជើងបាន \(3\text{ km}\) ហើយបន្តដំណើរទៅទិសខាងលិចទៀត រហូតដល់ចំណុច \(B\) បាន \(6\text{ km}\) ។ ចូរបង្ហាញគំនូសបំព្រួញនៃគន្លងនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រតិបត្តិ

១. កំណត់ផលបូក \(\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{c} + \vec{d}\) និង \(\vec{e} + \vec{f}\) ក្នុងរូបខាងក្រោម ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២. បង្ហាញថា \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\) ។

មើលចម្លើយ

១. ផលបូកវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយភ្ជាប់គល់នៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ទៅចុងនៃវ៉ិចទ័រទីពីរតាមវិធានត្រីកោណ ។
២. ក្នុង \(\triangle ABC\) តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(|\overrightarrow{AC}| \leq |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| \iff |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\), សមភាពកើតឡើងកាលណា \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅដូចគ្នា ។

លក្ខណៈគ្រឹះនៃប្រមាណវិធីបូកវ៉ិចទ័រ

គេបានរូបមន្តលក្ខណៈគ្រឹះនៃប្រមាណវិធីបូកវ៉ិចទ័រដូចខាងក្រោម ៖
១. \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\) លក្ខណៈត្រឡប់
២. \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\) លក្ខណៈផ្តុំ ។

\((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}\) ឬ \(\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\) អាចសរសេរថា \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) ដោយលុបរង្វង់ក្រចក ។

សម្រាយបញ្ជាក់

១. លក្ខណៈត្រឡប់

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២. លក្ខណៈផ្តុំ

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេឱ្យ \(A, B, C\) និង \(D\) ជាបួនចំណុចផ្សេងគ្នា ។ ប្រៀបធៀបផលបូក \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) និង \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} (1)\)

\(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} (2)\)

តាម \((1)\) និង \((2)\) គេបានផលបូក \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សរសេរផលបូកជាវ៉ិចទ័រតែមួយដូចរូបខាងស្ដាំ ៖
ក. \(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{MH}\)
ខ. \(\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HF}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលចម្លើយ

ក. \(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{MH} = \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{EM}\) ខ. \(\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HF} = \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HF} = \overrightarrow{EF}\) ។

ឧទាហរណ៍

បើគេយក \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\) នោះ \(-\vec{a} = \overrightarrow{BA}\)

ដូច្នេះ \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}\) ។

\(\overrightarrow{AA}\) ជាអង្កត់មិនមានទិសដៅ ឬជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើនឹង 0 ដែលគេកំណត់សរសេរ \(\vec{0}\) ហៅថា វ៉ិចទ័រសូន្យ ។

ជាទូទៅ

គេបានរូបមន្តលក្ខណៈគ្រឹះនៃវ៉ិចទ័រសូន្យខាងក្រោម៖

\(\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\)
\(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញសមភាព \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}\) ។

ប្រមាណវិធីដកវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍

ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) គេមាន

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{AB})\]

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\]

គេថា \(\overrightarrow{BC}\) ជាផលដករវាង \(\overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{AB}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}\) ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(O\) នៃប្លង់ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេមានត្រីកោណ \(ABC\) មួយ ។ រកផលដកវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដំណោះស្រាយ

ផលដកវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\) ។

ប្រតិបត្តិ

១. ចូរបង្ហាញថាបើគេយក \(\vec{a} - \vec{b}\) ជា \(\vec{x}\) នោះ \(\vec{x}\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\vec{b} + \vec{x} = \vec{a}\) ។

២. រក \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\) ចំពោះរូបខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៣. បង្ហាញថា \(-(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}\) ។

មើលចម្លើយ

១. ដោយ \(\vec{x} = \vec{a} - \vec{b}\) នោះ \(\vec{b} + \vec{x} = \vec{b} + (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + (\vec{b} - \vec{b}) = \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\) ពិត ។
២. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\) ។
៣. \(-(\vec{a} + \vec{b}) = (-1)(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}\) ពិត ។

ប្រមាណវិធីគុណចំនួនពិតនឹងវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍

សុភាព និងនារីបានធ្វើដំណើរតាមផ្លូវត្រង់មួយ ។ សុភាពចេញដំណើរពីចំណុច \(A\) ទៅដល់ចំណុច \(B\) បានចម្ងាយ \(1\text{ km}\) ។ នារីចេញដំណើរពីចំណុច \(A\) ទៅដល់ចំណុច \(C\) បានចម្ងាយ \(3\text{ km}\) ។ បម្លាស់ទីរបស់នារីស្មើនឹង 3 ដងនៃបម្លាស់ទីរបស់សុភាព ។

គេសរសេរ \(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យចំណុច \(M, N\) និង \(P\) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចរូបខាងស្ដាំ ។

របៀបដូចគ្នា គេបាន \(\overrightarrow{MP} = -2\overrightarrow{MN}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

បើគេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និងចំនួនពិត \(m\) មួយ នោះយើងអាចកំណត់ \(m\vec{a}\) ដែល \(m\) គុណនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) ដូចវិធីខាងក្រោម៖

បើ \(\vec{a}\) មិនស្មើទៅនឹង \(\vec{0}\) នោះ ៖

បើ \(m > 0\) នោះ \(m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រដែលមានទិសដៅដូចវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) ហើយមានប្រវែង \(|m||\vec{a}|\) ។
បើ \(m < 0\) នោះ \(m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រដែលមានទិសដៅផ្ទុយពី \(\vec{a}\) ហើយមានប្រវែង \(|m||\vec{a}|\) ។
បើ \(m = 0\) នោះ \(m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រ \(\vec{0}\) ។

បើ \(\vec{a}\) ស្មើទៅនឹង \(\vec{0}\) នោះ \(m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រ \(\vec{0}\) ។

ករណីពិសេស

ចំពោះ \(\overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AB}\)

\(m = 1\) គេបាន \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\) នាំឱ្យ \(C = B\)

\(m = -1\) គេបាន \(\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}\) ឬ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) (ដូចរូប) ។ សង់វ៉ិចទ័រ
ក. \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\) ខ. \(\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក. \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\) ខ. \(\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) (ដូចរូប) ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សង់វ៉ិចទ័រ ៖
ក. \(\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) ខ. \(\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) ។

២. \(M\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(AB\) និង \(AC\) របស់ \(\triangle ABC\) (រូបខាងស្ដាំ) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បង្ហាញថា ៖
ក. \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}\) ខ. \(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{CN}\)
គ. \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) ឃ. \(\overrightarrow{BC} = -2\overrightarrow{NM}\) ។

មើលចម្លើយ

១. ក. \(\overrightarrow{AC}\) មានទិសដៅដូច \(\overrightarrow{AB}\) និងមានប្រវែង \(6\) ឯកតា (បើ \(AB = 4\)) ។
ខ. \(\overrightarrow{AD}\) មានទិសដៅផ្ទុយពី \(\overrightarrow{AB}\) និងមានប្រវែង \(1\) ឯកតា ។
២. ក. ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(AB\) នោះ \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}\) ពិត ។
ខ. ដោយ \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាល \(AC\) នោះ \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{NC} = -2\overrightarrow{CN}\) ពិត ។
គ. \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) ពិត ។
ឃ. \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{NM}\) ពិត ។

វ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍

កល្យាណធ្វើដំណើរដោយកង់ពីទិសខាងលិចទៅកើតតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និងរ៉ាដាធ្វើដំណើរដោយជើងពីទិសខាងលិចទៅកើតដូចគ្នាតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{b}\) ។

វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅដូចគ្នា គេថាវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

នាវាមួយធ្វើដំណើរពីទិសខាងលិចទៅកើតតាមទិសដៅដោយល្បឿន \(\vec{a}\) ដោយបញ្ច្រាសល្បឿនចរន្តទឹកហូរពីទិសខាងកើតទៅលិចតាមទិសដៅ \(\vec{b}\) (ដូចរូបខាងក្រោម) ។ គេថា \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា នោះ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ កាលណា \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅដូចគ្នា ឬទិសដៅផ្ទុយគ្នា គេកំណត់សរសេរ \(\vec{a} \parallel \vec{b}\) ។

វិបាក \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរដែល \(\vec{a} \neq \vec{0}\) និង \(\vec{b} \neq \vec{0}\) ហើយមានចំនួនពិត \(m\) ណាមួយដែលមាន \(\vec{a} = m\vec{b}\) ។

លក្ខណៈគ្រឹះ

១. \((mn)\vec{a} = m(n\vec{a})\) លក្ខណៈផ្តុំ
២. \((m+n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}\) លក្ខណៈបំបែក I
៣. \(m(\vec{a}+\vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}\) លក្ខណៈបំបែក II

សម្រាយបញ្ជាក់

១. បើ \(\overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AB}\) នោះ បីចំណុច \(A, B\) និង \(C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។

\((mn)\vec{a}\) ឬ \(m(n\vec{a})\) អាចសរសេរជា \(mn\vec{a}\) គឺលុបរង្វង់ក្រចក ។ ជាការពិនិត្យលក្ខណៈផ្តុំ និងលក្ខណៈបំបែក I ពិតចំពោះរូបខាងស្ដាំ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

២. បង្ហាញលក្ខណៈបំបែក II ពិតដោយប្រើរូបខាងក្រោម ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

គណនាកន្សោមខាងក្រោម៖

ក. \(3\vec{a} + 4\vec{b} - \vec{a}\)
ខ. \(3(\vec{u} + 2\vec{v}) - 3(\vec{u} - 4\vec{v})\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(2\vec{a} + 4\vec{b}\) ខ. \(18\vec{v}\) ។

ប្រតិបត្តិ

យកចំណុច \(L, M\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\), \(CA\) និង \(AB\) នៃ \(\triangle ABC\) ។ សរសេរវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{NL}, \overrightarrow{LM}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AL}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{CN}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ដោយតាង \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{AC} = \vec{b}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលចម្លើយ

\(\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2}\vec{b}\), \(\overrightarrow{LM} = -\frac{1}{2}\vec{a}\), \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})\),
\(\overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\), \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\), \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}\) ។

វ៉ិចទ័រឯកតា

និយមន័យ

វ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើ 1 ហៅថា វ៉ិចទ័រឯកតា ។

ឧទាហរណ៍

គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} \neq \vec{0}\) ។ បង្ហាញថា \(\vec{u} = m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតា បើ \(m = \frac{1}{|\vec{a}|}\) ។

ដោយ \(\vec{a} \neq \vec{0}\) ហើយ \(|\vec{u}| = |m\vec{a}|\) គេបាន \(|\vec{u}| = |m| \cdot |\vec{a}| = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = 1\)

ដូច្នេះ \(\vec{u}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតា ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យ \(\vec{a} \neq \vec{0}\) ។ បង្ហាញថា \(\vec{u} = m\vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតា បើ \(m = -\frac{1}{|\vec{a}|}\) ។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់

វ៉ិចទ័រនិងកូអរដោនេ

គេយក \(\vec{i}\) និង \(\vec{j}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេរៀងគ្នា ។

យកចំណុច \(E_1(1, 0)\) នៅលើអ័ក្ស \(x\) និង \(E_2(0, 1)\) នៅលើអ័ក្ស \(y\) នោះគេបាន \(\overrightarrow{OE_1} = \vec{i}\), \(\overrightarrow{OE_2} = \vec{j}\), \(|\vec{i}| = 1\), \(|\vec{j}| = 1\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) មួយ ។ យកចំណុច \(P\) មួយនៃប្លង់អរដោនេដែល \(\vec{a} = \overrightarrow{OP}\) ។ តាង \(P_1\) និង \(P_2\) ជាចំណោលកែងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងអ័ក្សអរដោនេរៀងគ្នា ។ គេបាន

\[\vec{a} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} \quad{} (1) \text{ (តាមច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម)~។}\]

បើ \(P(a_1, a_2)\) នោះ គេបាន \(P_1(a_1, 0)\) និង \(P_2(0, a_2)\) ហើយ \(\overrightarrow{OP_1} = a_1\vec{i}\) និង \(\overrightarrow{OP_2} = a_2\vec{j}\) ។

តាម (1) គេអាចសរសេរ \(\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}\) ដែល

\(a_1\) ហៅថា កូអរដោនេទី ១ នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ ។
\(a_2\) ហៅថា កូអរដោនេទី ២ នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) ក្នុងតម្រុយអរតូណរមេ ។

ដូច្នេះ គេបាន \(\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}\) ដែលតាងជាអនុគមន៍នៃវ៉ិចទ័រឯកតា \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) ដែលតាងឱ្យកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះ ប្រវែងនៃ \(\vec{a}\) គឺ \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\) (ប្រើទ្រឹស្ដីបទពីតាក័រ) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ទ្រឹស្តីបទ

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) គឺ \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេមានចំណុច \(A(-2, 1)\) និង \(B(3, 4)\) ។
ក. គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) ខ. គណនាប្រវែង \(|\overrightarrow{AB}|\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក. គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) តាមរូប គេបាន

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\]

\[= (3\vec{i} + 4\vec{j}) - (-2\vec{i} + \vec{j})\]

\[= (3\vec{i} + 2\vec{i}) + (4\vec{j} - \vec{j}) = 5\vec{i} + 3\vec{j}\]

ដូច្នេះ កូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB} = (5, 3)\) ។

ខ. គណនាប្រវែង \(|\overrightarrow{AB}|\)

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \text{~។}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

សង់ចំណុច \(A, B, C\) និង \(D\) បើគេដឹងថា \(\overrightarrow{OA} = -\vec{i} - 2\vec{j}\), \(\overrightarrow{OB} = (2, 3)\), \(\overrightarrow{OC} = (5, -1)\) និង \(\overrightarrow{OD} = 2\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យចំណុច \(A(-2, -6)\), \(B(3, 1)\) និង \(C(3, 4)\) ។ សរសេរ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CA}\) ជាអនុគមន៍នៃវ៉ិចទ័រឯកតា \(\vec{i}\) និង \(\vec{j}\) ។ គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) និង \(\overrightarrow{CA}\) ។

មើលចម្លើយ

\(AB = \sqrt{74}\), \(BC = 3\) និង \(CA = 5\sqrt{5}\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) និង \(\vec{d}\) ដូចនៅក្នុងរូបខាងស្ដាំ ជាអនុគមន៍នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{i}\) និង \(\vec{j}\) ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលចម្លើយ

\(\vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j}\), \(\vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j}\), \(\vec{c} = -3\vec{i} - 2\vec{j}\), \(\vec{d} = 4\vec{i} - 2\vec{j}\) ។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ

ជាទូទៅ បើគេឱ្យ \(A(x, y)\) និង \(B(x', y')\) ដែល \(a_1\) ជាកូអរដោនេទី 1 និង \(a_2\) ជាកូអរដោនេទី 2 នៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) នោះគេបាន \(a_1 = x' - x\), \(a_2 = y' - y\) ។

បើកូអរដោនេទី 1 និងទី 2 នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) នៅក្នុងប្លង់មួយគឺ \(a_1\) និង \(a_2\) នោះ \(\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}\) ។ វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) អាចសរសេរដោយងាយថាវ៉ិចទ័រ \((a_1, a_2)\) ឬ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) ។

គេបានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) ដូចខាងក្រោម៖

\[\vec{a} = (a_1, a_2) \text{ ដែល } a_1 = x' - x, a_2 = y' - y \text{~។}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាករណីពិសេស ការតាងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតា និងវ៉ិចទ័រសូន្យ គឺ \(\vec{i} = (1, 0), \vec{j} = (0, 1), \vec{0} = (0, 0)\) ។

គេបានទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដូចខាងក្រោម៖ \((a_1, a_2) = (b_1, b_2)\) លុះត្រាតែ \(a_1 = b_1\) និង \(a_2 = b_2\) ។

ប្រតិបត្តិ

គូសវ៉ិចទ័រខាងក្រោម ដោយយកគល់ជាចំណុចចាប់ផ្ដើម ។

ក. \(\vec{a} = \left(-\frac{5}{2}, -3\right)\)
ខ. \(\vec{b} = (4, 0)\)
គ. \(\vec{c} = 2\vec{i} - 3\vec{j}\)
ឃ. \(\vec{d} = 5\vec{j}\) ។

ការគណនាវ៉ិចទ័រដោយប្រើកូអរដោនេ

យើងពិនិត្យពីររបៀបតាងកូអរដោនេដោយប្រើវ៉ិចទ័រ ។

ឧទាហរណ៍

ចូរបង្ហាញផលបូក \(\vec{a} + \vec{b}\) ដោយប្រើកូអរដោនេ បើ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) និង \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) នោះ \(\vec{a} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j})\) ដោយ \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) នោះ \(\vec{b} = (b_1\vec{i} + b_2\vec{j})\)

\[\vec{a} + \vec{b} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j}) + (b_1\vec{i} + b_2\vec{j}) = (a_1\vec{i} + b_1\vec{i}) + (a_2\vec{j} + b_2\vec{j})\]

\[= (a_1 + b_1)\vec{i} + (a_2 + b_2)\vec{j} \text{~។}\]

ដូច្នេះ កូអរដោនេតាងឱ្យផលបូក \(\vec{a} + \vec{b}\) គឺ \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\) ។

តាមឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានសមភាព \((a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\) ពិត ។

នេះគឺជាគំរូនៃរូបមន្តសម្រាប់រកផលបូកនៃវ៉ិចទ័រដោយប្រើកូអរដោនេ ។ គេអាចសរសេររូបមន្តដូចគ្នានេះដែរចំពោះផលដកនៃវ៉ិចទ័រ និងចំពោះផលគុណវ៉ិចទ័រនឹងចំនួនពិតផងដែរ ។

ការគណនាវ៉ិចទ័រដោយប្រើកូអរដោនេ

ជាទូទៅ

១. \((a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\)
២. \((a_1, a_2) - (b_1, b_2) = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)\)
៣. \(m(a_1, a_2) = (ma_1, ma_2)\) ។

ប្រតិបត្តិ

ស្រាយបញ្ជាក់ រូបមន្តសង្ខេប ១. និង ២. ខាងលើ ។

ប្រតិបត្តិ

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) និង \(\vec{w}\) បើ \(\vec{a} = (2, -3)\), \(\vec{b} = (-12, 2)\) និង \(\vec{c} = (5, 0)\) ។

ក. \(\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\)

ខ. \(\vec{v} = -3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}\)

គ. \(\vec{w} = 3(\vec{a} + \vec{b}) - 2(\vec{b} - \vec{c})\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\vec{u} = (-5, -1)\)

ខ. \(\vec{v} = (-25, 13)\)

គ. \(\vec{w} = (4, -7)\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{c}\) ក្នុងប្រតិបត្តិ 2 ខាងលើ ។

ផលគុណស្កាលែរ

គេមានវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ដែល \(\vec{a} \neq \vec{0}\) និង \(\vec{b} \neq \vec{0}\) ។ តាមចំណុច \(O\) មួយនៃប្លង់ គេសង់ \(\overrightarrow{OA}\) និង \(\overrightarrow{OB}\) ដែល \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\) ។ គេកំណត់ថាមុំល្វែង \(\angle AOB\) ជាមុំរវាង \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) និងតាង \(\angle AOB = \theta\) ដែល \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ករណីពិសេស

\(\theta = 0^\circ\) លុះត្រាតែ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅដូចគ្នា ។

\(\theta = 180^\circ\) លុះត្រាតែ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា ។

\(\theta = 90^\circ\) លុះត្រាតែ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) កែងគ្នា ។

ដូច្នេះ បើ \(\theta\) ជាមុំដែលកើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) នោះគេបានផលគុណស្កាលែរនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) គឺ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\) ។

ជាទូទៅ

ផលគុណស្កាលែរ : បើ \(\theta\) ជាមុំដែលកើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) នោះគេបាន \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\) ។

ចំពោះ \(\vec{a} = \vec{0}\) ឬ \(\vec{b} = \vec{0}\) គេបាន \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) ។

២លំហាត់គំរូ ២

គេមានវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ដែល \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 2\) និងមុំផ្គុំបានមុំ \(\theta = 30^\circ\) ។ គណនា \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដំណោះស្រាយ

គេបាន

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \cos 30^\circ = 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

៣លំហាត់គំរូ ៣

ត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) មួយ មានជ្រុងប្រវែង 2 ហើយ \(\overrightarrow{CB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{CA} = \vec{b}\) ។ គណនា \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ។

ដំណោះស្រាយ

មុំដែលកើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) គឺ \(60^\circ\) ដូច្នេះ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \cos 60^\circ = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2\) ។

ជាទូទៅ

ពីនិយមន័យនៃផលគុណស្កាលែរ គេបាន \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) ។

ដោយ \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\) នោះ \(0 \leq |\cos\theta| \leq 1\) ចំពោះគ្រប់វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)

គេបាន \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \leq |\vec{a}||\vec{b}| \Rightarrow |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\) ។

បើ \(\vec{a} = \vec{b}\) នោះ \(\theta = 0^\circ\) ដូច្នេះ \(\cos 0^\circ = 1\) ។

គេបាន \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos 0^\circ = |\vec{a}|^2\) ដូច្នេះ \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថាសមភាពខាងក្រោមពិត ដោយប្រើនិយមន័យផលគុណស្កាលែរ ចំពោះ \(\theta = 0^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\) ចំពោះ \(\theta = 180^\circ, \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|\) ។

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រកែងគ្នា

បើវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) បង្កើតបានជាមុំកែង ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រកែងគ្នា ហើយទំនាក់ទំនងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយ \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ។ ក្នុងករណីនេះ គឺ \(\cos\theta = 0\) នោះគេបានទំនាក់ទំនងខាងក្រោមពិត ។

គេសន្មតថា \(\vec{0}\) ជាវ៉ិចទ័រកែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រមួយទៀត ។

ជាទូទៅ

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រកែងគ្នា \(\vec{a} \perp \vec{b}\) លុះត្រាតែ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) ។

៤លំហាត់គំរូ ៤

បើវ៉ិចទ័រ \(\vec{i}\) និង \(\vec{j}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតា ហើយកែងគ្នានោះ គេបាន \(\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1\) និង \(\vec{i} \cdot \vec{j} = 0\) ។

ប្រតិបត្តិ

\(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល \(C\) ដូចរូបខាងក្រោម ។ គណនាផលគុណស្កាលែរខាងក្រោម ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)	ខ. \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\)
គ. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\)	ឃ. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(3\)	ខ. \(0\)
គ. \(-1\)	ឃ. \(-3\) ។

ប្រតិបត្តិ

ត្រីកោណកែងសមបាត \(ABC\) មួយមាន \(\angle A\) ជាមុំកែង ។ តាង \(a\) ជាប្រវែងនៃជ្រុង \(AB\) រួចយើងគូសបន្ទាត់កែង \(AM\) ពីកំពូល \(A\) ទៅជ្រុង \(BC\) ។ គណនាផលគុណស្កាលែរខាងក្រោម ៖

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}\)	ខ. \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}\)
គ. \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(a^2\)	ខ. \(0\)
គ. \(\dfrac{a^2}{2}\) ។

ការគណនាផលគុណស្កាលែរ តាមកូអរដោនេ

សន្មតថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) គឺ \(\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)\) និង \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}\) ដូចរូបខាងស្ដាំ និងតាង \(\angle AOB = \theta\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមទ្រឹស្ដីបទកូស៊ីនុស គេបាន

\[2 \times OA \times OB \times \cos\theta = OA^2 + OB^2 - BA^2 \quad{} (1)\]

។ ដោយ \(OA^2 = |\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2\) \(OB^2 = |\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2\) \(BA^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2\) ។ តាម (1) នាំឱ្យបាន \(2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 2(a_1b_1 + a_2b_2)\) ដូច្នេះ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\) ។

ដូច្នេះ គេបានរូបមន្តទូទៅដូចខាងក្រោម៖

រូបមន្ត

ការគណនាផលគុណស្កាលែរ តាមកូអរដោនេ

បើ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) និង \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) គេបាន \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)

ករណីពិសេស

បើ \(\vec{a} \perp \vec{b}\) លុះត្រាតែ \(a_1b_1 + a_2b_2 = 0\) ។

ជាទូទៅ បើតាង \(\theta\) ជាមុំដែលកើតឡើងដោយ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) និង \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) នោះ

\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \times \sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \text{~។}\]

៥លំហាត់គំរូ ៥

កំណត់មុំរវាងពីរវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (4, 2)\) និង \(\vec{b} = (1, 3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{4 \times 1 + 2 \times 3}{\sqrt{4^2 + 2^2} \times \sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ដូច្នេះ \(\theta = 45^\circ\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាផលគុណស្កាលែរនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ៖

ក. \(\vec{a} = (-2, 3)\), \(\vec{b} = (5, 4)\)

ខ. \(\vec{a} = 3\vec{i} + 5\vec{j}\), \(\vec{b} = -4\vec{i} + \vec{j}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\)

ខ. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -7\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ដែល \(\vec{a} = (3, -4)\) និង \(\vec{b} = (8, 6)\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកមុំ \(\theta\) ដែលកើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ៖

ក. \(\vec{a} = (-3, 0)\), \(\vec{b} = (-1, \sqrt{3})\)

ខ. \(\vec{a} = (2, 1)\), \(\vec{b} = (3, -6)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\theta = 60^\circ\)

ខ. \(\theta = 90^\circ\) ។

លក្ខណៈ

ចំពោះគ្រប់វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{c}\)

\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
\((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\)
\((m\vec{a}) \cdot \vec{b} = m(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
\(\vec{a} \cdot (m\vec{b}) = m(\vec{a} \cdot \vec{b})\) ។

សម្រាយបញ្ជាក់ សន្មតថាកូអរដោនេនៃ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{c}\) គឺ \(\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)\) និង \(\vec{c} = (c_1, c_2)\) នោះ \(\vec{b} + \vec{c} = (b_1 + c_1, b_2 + c_2)\) ។ ដូច្នេះ

\[\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2)\]

\[\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (a_1b_1 + a_2b_2) + (a_1c_1 + a_2c_2) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \text{~។}\]

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញលក្ខណៈ (2), (3) និង (4) ខាងលើ ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញសមភាពខាងក្រោម៖

\[\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}\]

\[(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} \text{~។}\]

៦លំហាត់គំរូ ៦

រកតម្លៃនៃ \(|\vec{a} + 2\vec{b}|\) បើ \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) + 2\vec{b} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})\)

\[= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} + 4\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2\]

\[= 2^2 + 4 \times 4 + 4 \times 3^2 = 56\]

ដូច្នេះ \(|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\) ។

តាមសម្រាយបញ្ជាក់នេះគេទាញបាន

\[|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\]

\[|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \text{~។}\]

ប្រតិបត្តិ

រកតម្លៃ \(|2\vec{a} - 3\vec{b}|\) បើ \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\) ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ដូចក្នុងរូបខាងស្ដាំគណនាកន្សោមខាងក្រោម៖

\(6\vec{u} - 5\vec{v} - 4\vec{u} + 2\vec{v}\)
\(7(\vec{u} - 2\vec{v}) - 4(2\vec{u} + 3\vec{v})\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាកន្សោម \(6\vec{u} - 5\vec{v} - 4\vec{u} + 2\vec{v}\)៖ អនុវត្តលក្ខណៈផ្តុំ និងប្តូរវេននៃប្រមាណវិធីបូកនិងដកវ៉ិចទ័រ៖

\[\begin{aligned} 6\vec{u} - 5\vec{v} - 4\vec{u} + 2\vec{v} &= (6\vec{u} - 4\vec{u}) + (-5\vec{v} + 2\vec{v}) \\ &= (6 - 4)\vec{u} + (-5 + 2)\vec{v} \\ &= 2\vec{u} - 3\vec{v} \end{aligned}\]

ខ. គណនាកន្សោម \(7(\vec{u} - 2\vec{v}) - 4(2\vec{u} + 3\vec{v})\)៖ ពន្លាតផលគុណស្កាលែរជាមួយវ៉ិចទ័រតាមលក្ខណៈចែកចាយ៖

\[\begin{aligned} 7(\vec{u} - 2\vec{v}) - 4(2\vec{u} + 3\vec{v}) &= 7\vec{u} - 14\vec{v} - 8\vec{u} - 12\vec{v} \\ &= (7 - 8)\vec{u} + (-14 - 12)\vec{v} \\ &= -\vec{u} - 26\vec{v} \end{aligned}\]

២លំហាត់ទី ២

រកចំនួនពិត \(k\) និង \(l\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}\)

បើ \(\vec{a} = (-2, 3)\), \(\vec{b} = (1, -4)\) និង \(\vec{c} = (8, -17)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} = (-2, 3)\), \(\vec{b} = (1, -4)\) និង \(\vec{c} = (8, -17)\)។

យើងមានសមភាពវ៉ិចទ័រ \(\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} (8, -17) &= k(-2, 3) + l(1, -4) \\ (8, -17) &= (-2k + l, 3k - 4l) \end{aligned}\]

តាមលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេត្រូវគ្នាត្រូវតែស្មើគ្នា គេបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

\[\begin{cases} -2k + l = 8 & (1) \\ 3k - 4l = -17 & (2) \end{cases}\]

តាមសមីការ (១) ទាញបាន \(l = 2k + 8\)។ យកតម្លៃនេះជួសចូលសមីការ (២)៖

\[\begin{aligned} 3k - 4(2k + 8) &= -17 \\ 3k - 8k - 32 &= -17 \\ -5k &= 15 \implies k = -3 \end{aligned}\]

រកតម្លៃ \(l\) ដោយជួស \(k = -3\)៖

\[l = 2(-3) + 8 = -6 + 8 = 2\]

ដូចនេះ តម្លៃនៃចំនួនពិតទាំងពីរគឺ \(k = -3\) និង \(l = 2\)។

៣លំហាត់ទី ៣

បង្ហាញថាសមភាពខាងក្រោម៖

\((4\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) = 16|\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2\)
\(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4\vec{a} \cdot \vec{b}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \((4\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) = 16|\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2\)៖ អនុវត្តលក្ខណៈចែកចាយនៃផលគុណស្កាលែរ៖

\[\begin{aligned} (4\vec{a} + 3\vec{b}) &\cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) \\ &= 4\vec{a} \cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) + 3\vec{b} \cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) \\ &= 16(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) \\ &\quad{} + 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) \end{aligned}\]

ដោយសារផលគុណស្កាលែរមានលក្ខណៈត្រឡប់ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) នាំឱ្យ \(-12(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 12(\vec{b}\cdot\vec{a}) = 0\)។

ម៉្យាងទៀត ការ៉េស្កាលែរ \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) និង \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2\) គេបាន៖

\[(4\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 3\vec{b}) = 16|\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2 \quad{} (\text{ពិត})\]

ខ. បង្ហាញថា \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4\vec{a} \cdot \vec{b}\)៖ ពន្លាតការ៉េនៃម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ៖

\[\begin{aligned} |\vec{a} + \vec{b}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned}\]

ធ្វើផលដកអង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} |\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) \\ &\quad{} - (|\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) \\ &= 4\vec{a}\cdot\vec{b} \quad{} (\text{ពិត}) \end{aligned}\]

៤លំហាត់ទី ៤

រកមុំ \(\theta\) ដែលកើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ចំពោះករណីខាងក្រោម៖

\(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 6\)
\(|\vec{a}| = |\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តកូស៊ីនុសនៃមុំ \(\theta\) រវាងពីរវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) គឺ៖

\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \quad{} (0^\circ \le \theta \le 180^\circ)\]

ក. ករណី \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 6\)៖

\[\cos\theta = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

ដោយ \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) នាំឱ្យ \(\theta = 60^\circ\) (ឬ \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}\))។

ខ. ករណី \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}\)៖

\[\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

ដោយ \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) នាំឱ្យ \(\theta = 45^\circ\) (ឬ \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad}\))។

៥លំហាត់ទី ៥

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (2, 1)\) និង \(\vec{b} = (-1, 2)\) ។ រកតម្លៃនៃចំនួនពិត \(x\) ដែលជាវ៉ិចទ័រ \(4x\vec{a} + \vec{b}\) និង \(x\vec{a} - 3\vec{b}\) កែងគ្នា ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} = (2, 1)\) និង \(\vec{b} = (-1, 2)\)។

យើងគណនាផលគុណស្កាលែរ និងការ៉េម៉ូឌុលនៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2(-1) + 1(2) = -2 + 2 = 0 \implies \vec{a} \perp \vec{b} \\ |\vec{a}|^2 &= 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \\ |\vec{b}|^2 &= (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \end{aligned}\]

វ៉ិចទ័រពីរ \(4x\vec{a} + \vec{b}\) និង \(x\vec{a} - 3\vec{b}\) កែងគ្នា លុះត្រាតែផលគុណស្កាលែរស្មើនឹងសូន្យ៖

\[(4x\vec{a} + \vec{b}) \cdot (x\vec{a} - 3\vec{b}) = 0\]

\[\begin{aligned} 4x^2 |\vec{a}|^2 - 11x (\vec{a}\cdot\vec{b}) - 3 |\vec{b}|^2 &= 0 \\ 4x^2 (5) - 11x (0) - 3 (5) &= 0 \\ 20x^2 - 15 = 0 &\implies 20x^2 = 15 \\ x^2 = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} &\implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ តម្លៃនៃចំនួនពិត \(x\) គឺ \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ឬ \(x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)។

៦លំហាត់ទី ៦

បង្ហាញថា ចំពោះវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មិនស្មើ \(\vec{0}\) ហើយបើ \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|\) នោះ \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|\) ដោយ \(\vec{a} \neq \vec{0}\) និង \(\vec{b} \neq \vec{0}\)។

លើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េ៖

\[|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\]

ពន្លាតតាមរូបមន្តការ៉េស្កាលែរ៖

\[|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\]

សម្រួល \(|\vec{a}|^2\) និង \(|\vec{b}|^2\) ចេញពីអង្គទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} 2\vec{a}\cdot\vec{b} &= -2\vec{a}\cdot\vec{b} \implies 4\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \\ &\implies \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \end{aligned}\]

ដោយ \(\vec{a} \neq \vec{0}\) និង \(\vec{b} \neq \vec{0}\) ហើយ \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\) នាំឱ្យ \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រ៖ ក្នុងប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតដោយ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) វ៉ិចទ័រ \(\vec{a}+\vec{b}\) និង \(\vec{a}-\vec{b}\) ជាអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរ។ ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា នោះប្រលេឡូក្រាមនោះជាចតុកោណកែង នាំឱ្យជ្រុងជាប់គ្នាត្រូវតែកែងគ្នា (\(\vec{a} \perp \vec{b}\))។

៧លំហាត់ទី ៧

តាង \(\vec{i}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតា ហើយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ \(l\)

ដែល \(l\) កាត់តាមចំណុច \(O\) និងតាង \(B\) ជាចំណុច ដែលបន្ទាត់គូសចេញពី \(A\) កាត់បន្ទាត់ \(l\) ហើយកែងគ្នា បង្ហាញថា \(|\overrightarrow{OA} \cdot \vec{i}| = OB\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

តាមវិធាន Chasles ក្នុងត្រីកោណ \(OAB\) យើងអាចបំបែកវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OA}\) ជា៖

\[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}\]

ធ្វើផលគុណស្កាលែរជាមួយវ៉ិចទ័រឯកតា \(\vec{i}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OA} \cdot \vec{i} &= (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}) \cdot \vec{i} \\ &= \overrightarrow{OB} \cdot \vec{i} + \overrightarrow{BA} \cdot \vec{i} \end{aligned}\]

ដោយសារ \(AB \perp l\) ហើយ \(\vec{i}\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(l\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{BA} \perp \vec{i} \implies \overrightarrow{BA} \cdot \vec{i} = 0\)។
ដោយចំណុច \(B\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(l\) ហើយ \(\vec{i}\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃបន្ទាត់ \(l\) (\(|\vec{i}| = 1\)) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{OB} = \pm OB \, \vec{i}\)។

ជំនួសចូល៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OA} \cdot \vec{i} &= (\pm OB \, \vec{i}) \cdot \vec{i} + 0 \\ &= \pm OB \, |\vec{i}|^2 = \pm OB \times 1 = \pm OB \end{aligned}\]

យកម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃអង្គទាំងពីរ៖

\[|\overrightarrow{OA} \cdot \vec{i}| = |\pm OB| = OB\]

សមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៨លំហាត់ទី ៨

គេឱ្យបីចំណុច \(A(-2, 2)\), \(B(-1, 5)\) និង \(C(5, 3)\) ក្នុងតម្រុយ \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(B\) ។
គណនាកូស៊ីនុសនៃ \(\angle BAC\) ។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle ABC\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-2, 2)\), \(B(-1, 5)\) និង \(C(5, 3)\)។

ក. បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(B\)៖ គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{BA}\) និង \(\overrightarrow{BC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= (-2 - (-1), 2 - 5) = (-1, -3) \\ \overrightarrow{BC} &= (5 - (-1), 3 - 5) = (6, -2) \end{aligned}\]

គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)៖

\[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(6) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0\]

ដោយ \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}\)។ ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(B\)។

ខ. គណនាកូស៊ីនុសនៃ \(\angle BAC\)៖ ក្នុងត្រីកោណកែង \(ABC\) ត្រង់ \(B\) គេបាន \(\cos(\angle BAC) = \dfrac{AB}{AC}\)។

\(AB = \|\overrightarrow{BA}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\)
\(BC = \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10 + 40} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

\[\begin{aligned} \cos(\angle BAC) &= \frac{\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5 \times 2}}{5\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{aligned}\]

គ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle ABC\)៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} AB \times BC \\ &= \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 2\sqrt{10} = \frac{1}{2} \times 20 = 10\text{ (ឯកតាផ្ទៃ)} \end{aligned}\]

៩លំហាត់ទី ៩

ការធ្វើដំណើរតាមទូក៖ ទូកមួយបើកបរឆ្លងកាត់ទន្លេមួយដោយល្បឿន \(4\text{ m/s}\) ក្នុងទិសដៅកែងនឹងច្រាំងទន្លេ (តាងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{v}\))។ ស្របពេលនោះ ចរន្តទឹកទន្លេហូរក្នុងល្បឿន \(3\text{ m/s}\) ស្របនឹងច្រាំងទន្លេ (តាងដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\))។

ចូរសង់វ៉ិចទ័រល្បឿនសរុបនៃទូក \(\vec{w} = \vec{v} + \vec{u}\)។
គណនាល្បឿនជាក់ស្តែងរបស់ទូកធៀបនឹងច្រាំងទន្លេ។
ប្រសិនបើទន្លេមានទទឹង \(120\text{ m}\) តើទូកត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានទើបឆ្លងដល់ត្រើយម្ខាងទៀត?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. សង់វ៉ិចទ័រល្បឿនសរុប \(\vec{w}\)៖ ជ្រើសរើសតម្រុយអរតូណរមេដោយអ័ក្ស \(Ox\) ស្របតាមច្រាំងទន្លេ (ទិសទឹកហូរ) និង \(Oy\) កែងនឹងច្រាំងទន្លេ។

វ៉ិចទ័រល្បឿនចរន្តទឹកគឺ \(\vec{u} = (3, 0)\) និងវ៉ិចទ័រល្បឿនទូកគឺ \(\vec{v} = (0, 4)\)។ វ៉ិចទ័រល្បឿនសរុប \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = (3, 4)\) គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងដែលបង្កើតដោយ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. គណនាល្បឿនពិតជាក់ស្តែងរបស់ទូក៖

\[\begin{aligned} \|\vec{w}\| &= \sqrt{\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ m/s} \end{aligned}\]

គ. គណនារយៈពេលឆ្លងទន្លេ៖ ប្រសិនបើទទឹងទន្លេស្មើ \(120\text{ m}\) ដោយសារចរន្តទឹកហូរកាត់ទទឹងមិនប៉ះពាល់ដល់សមាសភាគល្បឿនកែងទេ រយៈពេលឆ្លងទន្លេអាស្រ័យតែលើល្បឿនកែង \(v = 4\text{ m/s}\)៖

\[t = \frac{d}{v} = \frac{120}{4} = 30\text{ s}\]

(ចំណាំ៖ ក្នុងរយៈពេល \(30\text{ s}\) នេះ ទូកត្រូវទឹកនាំរសាត់តាមបណ្តោយច្រាំងបានចម្ងាយ \(x = 3 \times 30 = 90\text{ m}\))។

១០លំហាត់ទី ១០

កម្លាំងទាញរួម៖ រថយន្តមួយខូច ហើយត្រូវទាញដោយមនុស្សពីរនាក់។ មនុស្សទី១ ទាញដោយកម្លាំង \(\vec{F_1}\) មានរង្វាស់ \(300\text{ N}\) ទៅមុខត្រង់ ចំណែកមនុស្សទី២ ទាញដោយកម្លាំង \(\vec{F_2}\) មានរង្វាស់ \(400\text{ N}\) ក្នុងទិសដៅកែងនឹងកម្លាំងទី១។

ចូរគណនារង្វាស់នៃកម្លាំងផ្គួប (កម្លាំងសរុប) ដែលធ្វើសកម្មភាពទាញរថយន្តនោះ។
តើគេអាចជំនួសមនុស្សពីរនាក់នេះ ដោយម៉ាស៊ីនទាញមួយដែលមានកម្លាំងត្រឹមតែ \(450\text{ N}\) បានឬទេ ដើម្បីឲ្យរថយន្តអាចរំកិលបានដូចគ្នា? ហេតុអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនារង្វាស់នៃកម្លាំងផ្គួបសរុប \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\)៖ ដោយកម្លាំងទាំងពីរមានទិសកែងគ្នា (\(\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2\)) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាក័រ៖

\[\begin{aligned} \|\vec{F}\| &= \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} \\ &= \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500\text{ N} \end{aligned}\]

ខ. ការវិភាគលទ្ធភាពទាញរបស់ម៉ាស៊ីន៖ ម៉ាស៊ីនទាញខ្នាតតូចមានកម្លាំងទាញអតិបរមាត្រឹមតែ \(450\text{ N}\)។ ដោយសារតែកម្លាំងផ្គួបជាក់ស្តែងដែលមនុស្សទាំងពីរនាក់បានទាញគឺ \(500\text{ N} > 450\text{ N}\) ម៉ាស៊ីននេះ មិនអាចជំនួស ការទាញរបស់មនុស្សទាំងពីរនាក់បានឡើយ (កម្លាំងម៉ាស៊ីនមិនគ្រប់គ្រាន់)។

១១លំហាត់ទី ១១

គេឱ្យចំណុច \(A(2, -3)\) និង \(B(-4, 5)\) ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ \((O, \vec{i}, \vec{j})\)។

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BA}\)។
គណនាប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\)។
រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទិសដៅដូច \(\overrightarrow{AB}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(2, -3)\) និង \(B(-4, 5)\)។

ក. រកកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BA}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (x_B - x_A, y_B - y_A) \\ &= (-4 - 2, 5 - (-3)) = (-6, 8) \\ \overrightarrow{BA} &= -\overrightarrow{AB} = (6, -8) \end{aligned}\]

ខ. គណនាប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\)៖

\[\begin{aligned} \|\overrightarrow{AB}\| &= \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} = 10 \end{aligned}\]

១២លំហាត់ទី ១២

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (3, -4)\) និង \(\vec{v} = (-2, 1)\)។

គណនាកូអរដោនេនៃ \(\vec{w}_1 = 2\vec{u} + 3\vec{v}\) និង \(\vec{w}_2 = 3\vec{u} - 4\vec{v}\)។
គណនា \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\) និង \(\|\vec{w}_1\|\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (3, -4)\) និង \(\vec{v} = (-2, 1)\)។

ក. គណនាកូអរដោនេនៃ \(\vec{w}_1\) និង \(\vec{w}_2\)៖

\[\begin{aligned} \vec{w}_1 &= 2\vec{u} + 3\vec{v} = 2(3, -4) + 3(-2, 1) \\ &= (6, -8) + (-6, 3) = (0, -5) \\ \vec{w}_2 &= 3\vec{u} - 4\vec{v} = 3(3, -4) - 4(-2, 1) \\ &= (9, -12) - (-8, 4) = (17, -16) \end{aligned}\]

ខ. គណនាម៉ូឌុល៖

\[\begin{aligned} \|\vec{u}\| &= \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ \|\vec{v}\| &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \\ \|\vec{w}_1\| &= \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}\]

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (2, m)\) និង \(\vec{b} = (m-1, 3)\)។

កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) កូលីនេអ៊ែរគ្នា (ស្របគ្នា)។
កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) អរតូកូណាល់គ្នា (កែងគ្នា)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} = (2, m)\) និង \(\vec{b} = (m-1, 3)\)។

ក. លក្ខខណ្ឌកូលីនេអ៊ែរ (Collinear)៖ \(\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\)៖

\[\begin{aligned} 2(3) - m(m - 1) = 0 &\iff 6 - m^2 + m = 0 \\ &\iff m^2 - m - 6 = 0 \end{aligned}\]

ដាក់ជាផលគុណកត្តា៖

\[(m - 3)(m + 2) = 0 \implies m = 3 \text{ ឬ } m = -2\]

ខ. លក្ខខណ្ឌអរតូកូណាល់ (Orthogonal / Perpendicular)៖ \(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\)៖

\[\begin{aligned} 2(m - 1) + 3m = 0 &\iff 2m - 2 + 3m = 0 \\ &\iff 5m = 2 \implies m = \frac{2}{5} \end{aligned}\]

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មួយ។ តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\)។

បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)។
បើ \(G\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ \(ABC\) បង្ហាញថា \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)៖ ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([BC]\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\)។

តាមវិធាន Chasles៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \\ \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} \end{aligned}\]

បូកអង្គនិងអង្គ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}) \\ &= 2\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) \\ &= 2\overrightarrow{AM} + \vec{0} = 2\overrightarrow{AM} \end{aligned}\]

ខ. បង្ហាញថា \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)៖ ដោយ \(G\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ \(ABC\) នាំឱ្យ \(G\) ស្ថិតនៅលើមេដ្យាន \([AM]\) ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \implies \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM}\)។

តាមលទ្ធផលសំណួរ (ក) ចំពោះចំណុច \(G\) គេបាន \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\)។

ដូចនេះ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} &= \overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GM} \\ &= -2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GM} = \vec{0} \end{aligned}\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

\(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 5\) និងមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរ \(\theta = 60^\circ\)។
\(\|\vec{u}\| = 6\), \(\|\vec{v}\| = \sqrt{2}\) និង \(\theta = 135^\circ\)។
\(\vec{u} = (2, -5)\) និង \(\vec{v} = (3, 4)\)។
\(\vec{u} = (-1, 7)\) និង \(\vec{v} = (7, 1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តផលគុណស្កាលែរ៖ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta\)។

ក. ករណី \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 5\), \(\theta = 60^\circ\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 4 \times 5 \times \cos 60^\circ \\ &= 20 \times \frac{1}{2} = 10 \end{aligned}\]

ខ. ករណី \(\|\vec{u}\| = 6\), \(\|\vec{v}\| = \sqrt{2}\), \(\theta = 135^\circ\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 6 \times \sqrt{2} \times \cos 135^\circ \\ &= 6\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6 \end{aligned}\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\) និង \(C(-2, 6)\)។

គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\)។
គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)។
គណនា \(\cos \widehat{BAC}\) រួចទាញរកទំហំមុំ \(\widehat{BAC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\) និង \(C(-2, 6)\)។

ក. គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4) \\ \overrightarrow{AC} &= (-2 - 1, 6 - 2) = (-3, 4) \end{aligned}\]

ខ. គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)៖

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3(-3) + 4(4) = -9 + 16 = 7\]

គ. គណនាកូស៊ីនុសនៃមុំ \(\angle BAC\)៖

\[\begin{aligned} \|\overrightarrow{AB}\| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \|\overrightarrow{AC}\| &= \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \\ \cos(\angle BAC) &= \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\|} \\ &= \frac{7}{5 \times 5} = \frac{7}{25} = 0.28 \end{aligned}\]

១៧លំហាត់ទី ១៧

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ដែលមាន \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\) និង \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5\)។

គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)។
ទាញបញ្ជាក់ថាតើ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) កែងគ្នាឬទេ?
គណនា \(\|\vec{u} - \vec{v}\|\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)៖ យើងមានរូបមន្តពន្លាតការ៉េម៉ូឌុលនៃផលបូកវ៉ិចទ័រ៖

\[\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\]

ជំនួស \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\), \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5\)៖

\[\begin{aligned} 5^2 &= 3^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + 4^2 \\ 25 &= 9 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + 16 \\ 25 &= 25 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} \\ \implies 2\vec{u}\cdot\vec{v} &= 0 \implies \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \end{aligned}\]

ខ. ទំនាក់ទំនងរវាង \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)៖ ដោយ \(\|\vec{u}\| \neq 0\), \(\|\vec{v}\| \neq 0\) ហើយផលគុណស្កាលែរ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) នាំឱ្យ \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (វ៉ិចទ័រទាំងពីរកែងគ្នា)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេឱ្យចតុកោណកែង \(ABCD\) ដែលមាន \(AB = 6\) និង \(AD = 4\)។

គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\)។
គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)។
គណនា \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណកែង \(ABCD\) មាន \(AB = 6\) និង \(AD = 4\)។

ជ្រើសរើសតម្រុយអរតូណរមេ \((A, \vec{i}, \vec{j})\) ដែល \(\overrightarrow{AB} = 6\vec{i}\) និង \(\overrightarrow{AD} = 4\vec{j}\) នាំឱ្យ \(A(0, 0), B(6, 0), D(0, 4), C(6, 4)\)។

ក. គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\)៖ ដោយសារ \(ABCD\) ជាចតុកោណកែង ជ្រុងជាប់គ្នា \(AB \perp AD\) នាំឱ្យ៖

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\]

ខ. គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)៖ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) នាំឱ្យ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \\ &= \|\overrightarrow{AB}\|^2 + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} \\ &= 6^2 + 0 = 36 \end{aligned}\]

គ. គណនា \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\)៖ \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\) នាំឱ្យ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) \\ &= \|\overrightarrow{AD}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|^2 \\ &= 4^2 - 6^2 = 16 - 36 = -20 \end{aligned}\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (x, 2)\) និង \(\vec{v} = (3, 4)\)។

រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(\|\vec{u}\| = \sqrt{13}\)។
ចំពោះតម្លៃ \(x > 0\) ដែលរកឃើញ រកកូស៊ីនុសនៃមុំរវាង \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (x, 2)\) និង \(\vec{v} = (3, 4)\)។

ក. រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យ \(\|\vec{u}\| = \sqrt{13}\)៖

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{13}\]

លើកជាការ៉េ៖ \(x^2 + 4 = 13 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3\)។

ខ. រកកូស៊ីនុសនៃមុំរវាង \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ចំពោះ \(x = 3 > 0\)៖ ជាមួយ \(x = 3\) គេបាន \(\vec{u} = (3, 2)\)។

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 3(3) + 2(4) = 9 + 8 = 17 \\ \|\vec{v}\| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \cos\theta &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} = \frac{17}{\sqrt{13} \times 5} = \frac{17}{5\sqrt{13}} = \frac{17\sqrt{13}}{65} \end{aligned}\]

២០លំហាត់ទី ២០

បង្ហាញសមភាពវ៉ិចទ័រខាងក្រោមចំពោះគ្រប់វ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)៖

\(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
\(\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)
\(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = 2(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2)\) (ទ្រឹស្តីបទប្រលេឡូក្រាម)

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់តាមនិយមន័យការ៉េស្កាលែរ \(\|\vec{w}\|^2 = \vec{w} \cdot \vec{w}\)៖

ក. សមភាព \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)៖

\[\begin{aligned} \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 &= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ &= \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \end{aligned}\]

(ដោយសារ \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\))។

ខ. សមភាព \(\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)៖

\[\begin{aligned} \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 &= (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ &= \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \end{aligned}\]

២១លំហាត់ទី ២១

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(3, 7)\) និង \(D(-1, 5)\)។

បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)។
គណនាប្រវែង \(AB\) និង \(AD\)។
គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) រួចទាញបញ្ជាក់ពីប្រភេទនៃចតុកោណ \(ABCD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(3, 7)\) និង \(D(-1, 5)\)។

ក. បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (5 - 1, 3 - 1) = (4, 2) \\ \overrightarrow{DC} &= (3 - (-1), 7 - 5) = (4, 2) \end{aligned}\]

ដោយសារកូអរដោនេស្មើគ្នា គេបាន \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)។ សមភាពនេះបញ្ជាក់ថា \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ខ. គណនាប្រវែង \(AB\) និង \(AD\)៖

\[\begin{aligned} AB &= \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \\ \overrightarrow{AD} &= (-1 - 1, 5 - 1) = (-2, 4) \\ AD &= \|\overrightarrow{AD}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned}\]

គ. គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) និងទាញប្រភេទនៃ \(ABCD\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} &= 4(-2) + 2(4) \\ &= -8 + 8 = 0 \implies \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD} \end{aligned}\]

សន្និដ្ឋាន៖ ប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) មានជ្រុងជាប់គ្នាស្មើគ្នា (\(AB = AD = 2\sqrt{5}\)) និងមានមុំមួយជាមុំកែង (\(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\)) នាំឱ្យ \(ABCD\) ជា ការ៉េ (Square)។

២២លំហាត់ទី ២២

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (1, 2)\) និង \(\vec{b} = (-2, 3)\)។

រកវ៉ិចទ័រ \(\vec{x}\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(2\vec{x} + \vec{a} = 3\vec{b}\)។
គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{x} \cdot (\vec{a} + \vec{b})\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} = (1, 2)\) និង \(\vec{b} = (-2, 3)\)។

ក. រកវ៉ិចទ័រ \(\vec{x}\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(2\vec{x} + \vec{a} = 3\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} 2\vec{x} &= 3\vec{b} - \vec{a} = 3(-2, 3) - (1, 2) \\ &= (-6, 9) - (1, 2) = (-7, 7) \end{aligned}\]

\[\vec{x} = \frac{1}{2}(-7, 7) = \left(-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)\]

ខ. គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{x} \cdot (\vec{a} + \vec{b})\)៖

\[\vec{a} + \vec{b} = (1 + (-2), 2 + 3) = (-1, 5)\]

\[\begin{aligned} \vec{x} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) &= \left(-\frac{7}{2}\right)(-1) + \left(\frac{7}{2}\right)(5) \\ &= \frac{7}{2} + \frac{35}{2} = \frac{42}{2} = 21 \end{aligned}\]

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេឱ្យត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) ដែលមានជ្រុងរង្វាស់ \(a\)។

គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)។
គណនា \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)។
តាង \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\)។ គណនា \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) មានជ្រុងស្មើ \(a\) និងគ្រប់មុំទាំងអស់ស្មើ \(60^\circ\)។

ក. គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= \|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\| \cos 60^\circ \\ &= a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \end{aligned}\]

ខ. គណនា \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)៖ មុំ \(\angle B = 60^\circ\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= \|\overrightarrow{BA}\| \|\overrightarrow{BC}\| \cos 60^\circ \\ &= a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \end{aligned}\]

គ. គណនា \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}\) ដោយ \(H\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\)៖ ក្នុងត្រីកោណសម័ង្ស មេដ្យាន \(AH\) ក៏ជាកម្ពស់ដែរ នាំឱ្យ \(AH \perp BC \implies \overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\)។

ដូចនេះ៖

\[\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

រកតម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យមុំរវាងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (1, k)\) និង \(\vec{v} = (k, 1)\) ស្មើនឹង \(60^\circ\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (1, k)\) និង \(\vec{v} = (k, 1)\)។

ផលគុណស្កាលែរ និងម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រនីមួយៗគឺ៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 1(k) + k(1) = 2k \\ \|\vec{u}\| &= \sqrt{1^2 + k^2} = \sqrt{1 + k^2} \\ \|\vec{v}\| &= \sqrt{k^2 + 1^2} = \sqrt{1 + k^2} \end{aligned}\]

មុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរស្មើ \(60^\circ\) នាំឱ្យ \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\)៖

\[\begin{aligned} \cos 60^\circ &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \\ \iff \frac{1}{2} &= \frac{2k}{\sqrt{1+k^2}\sqrt{1+k^2}} = \frac{2k}{1 + k^2} \end{aligned}\]

គុណខ្វែង (ដោយ \(1 + k^2 > 0\) ជានិច្ច)៖

\[1 + k^2 = 4k \iff k^2 - 4k + 1 = 0\]

គណនាឌីស្គ្រីមីណង់ \(\Delta' = (-2)^2 - 1(1) = 4 - 1 = 3 > 0\)៖

\[k = 2 + \sqrt{3} \quad{} \text{ឬ} \quad{} k = 2 - \sqrt{3}\]

ដោយ \(k = 2 \pm \sqrt{3} > 0\) នាំឱ្យ \(2k > 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\cos 60^\circ > 0\) ពិត។

ដូចនេះ តម្លៃនៃ \(k\) គឺ \(k = 2 + \sqrt{3}\) ឬ \(k = 2 - \sqrt{3}\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យចំណុច \(A(-1, 2)\), \(B(2, 5)\) និង \(C(x, 1)\)។

កំណត់តម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។
កំណត់តម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-1, 2)\), \(B(2, 5)\) និង \(C(x, 1)\)។

គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (2 - (-1), 5 - 2) = (3, 3) \\ \overrightarrow{AC} &= (x - (-1), 1 - 2) = (x + 1, -1) \end{aligned}\]

ក. បីចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា៖ ចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា \(\iff \overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\) កូលីនេអ៊ែរគ្នា៖

\[\begin{aligned} 3(-1) - 3(x + 1) = 0 &\iff -3x - 6 = 0 \\ &\implies x = -2 \end{aligned}\]

ខ. ត្រីកោណ \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\)៖ \(\triangle ABC\) កែងត្រង់ \(A \iff \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)៖

\[\begin{aligned} 3(x + 1) + 3(-1) = 0 &\iff 3x = 0 \implies x = 0 \end{aligned}\]

២៦លំហាត់ទី ២៦

ចំពោះគ្រប់វ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (x_1, y_1)\) និង \(\vec{v} = (x_2, y_2)\) ក្នុងប្លង់៖

ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពកូស៊ីស្វាត (Cauchy-Schwarz Inequality)៖
\[|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\]
ទាញបញ្ជាក់ថា \((x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 \le (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព Cauchy-Schwarz៖ តាមនិយមន័យនៃផលគុណស្កាលែរ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta\) ដោយ \(\theta\) ជាមុំរវាង \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\)។

បំពាក់តម្លៃដាច់ខាតលើអង្គទាំងពីរ៖

\[|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\cos\theta|\]

ដោយសារតែ \(-1 \le \cos\theta \le 1 \implies |\cos\theta| \le 1\) ជានិច្ច គេទាញបាន៖

\[|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \times 1 = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\]

សមភាពកើតឡើងកាលណា \(|\cos\theta| = 1 \iff \theta = 0^\circ\) ឬ \(180^\circ\) (វ៉ិចទ័រទាំងពីរកូលីនេអ៊ែរគ្នា)។

ខ. សរសេរជាទម្រង់ពីជគណិត៖ ជាមួយ \(\vec{u} = (x_1, y_1)\) និង \(\vec{v} = (x_2, y_2)\) គេមាន \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\) ព្រមទាំង \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) និង \(\|\vec{v}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\)។

ជំនួសចូលវិសមភាព Cauchy-Schwarz រួចលើកជាការ៉េ៖

\[(x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 \le (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)\]

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (3, 4)\)។

រកគ្រប់វ៉ិចទ័រ \(\vec{v}\) ដែលមានប្រវែងស្មើ \(10\) ហើយកូលីនេអ៊ែរនឹង \(\vec{u}\)។
រកវ៉ិចទ័រ \(\vec{w}\) មួយដែលមានប្រវែងស្មើ \(5\) ហើយកែងនឹង \(\vec{u}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (3, 4)\) មានម៉ូឌុល \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)។

ក. រកវ៉ិចទ័រ \(\vec{v}\) ដែល \(\|\vec{v}\| = 10\) ហើយកូលីនេអ៊ែរនឹង \(\vec{u}\)៖ ដោយ \(\vec{v} \parallel \vec{u}\) គេបាន \(\vec{v} = k\vec{u} = (3k, 4k)\) ចំពោះ \(k \in \mathbb{R}\)។

\[\begin{aligned} \|\vec{v}\| = |k| \|\vec{u}\| &= 5|k| = 10 \\ \implies |k| &= 2 \implies k = \pm 2 \end{aligned}\]

បើ \(k = 2\)៖ \(\vec{v}_1 = (6, 8)\) (ទិសដៅដូច \(\vec{u}\))
បើ \(k = -2\)៖ \(\vec{v}_2 = (-6, -8)\) (ទិសដៅផ្ទុយ \(\vec{u}\))

ខ. រកវ៉ិចទ័រ \(\vec{w}\) មួយដែលមាន \(\|\vec{w}\| = 5\) ហើយកែងនឹង \(\vec{u}\)៖ វ៉ិចទ័រដែលកែងនឹង \(\vec{u} = (3, 4)\) មានទម្រង់ \((-4, 3)\) ឬ \((4, -3)\)។

ពិនិត្យម៉ូឌុល៖ \(\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5 = \|\vec{w}\|\) ត្រឹមត្រូវ។

ដូចនេះ គេអាចយក \(\vec{w} = (-4, 3)\) (ឬ \(\vec{w} = (4, -3)\))។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) ដែលមានកំពូល \(A(2, 3)\), \(B(-1, 1)\) និង \(C(4, 0)\)។

គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី \(AB, BC, CA\) នៃត្រីកោណ។
បង្ហាញថាត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ \(ABC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(2, 3)\), \(B(-1, 1)\) និង \(C(4, 0)\)។

ក. គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបី \(AB, BC, CA\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (-1 - 2, 1 - 3) = (-3, -2) \\ &\implies AB = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \\ \overrightarrow{AC} &= (4 - 2, 0 - 3) = (2, -3) \\ &\implies AC = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \\ \overrightarrow{BC} &= (4 - (-1), 0 - 1) = (5, -1) \\ &\implies BC = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \end{aligned}\]

ខ. បង្ហាញថា \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)៖

តាមផលគុណស្កាលែរ៖ \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(2) + (-2)(-3) = -6 + 6 = 0 \implies AB \perp AC\)។
តាមទ្រឹស្តីបទពីតាក័រច្រាស៖ \(AB^2 + AC^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 = 13 + 13 = 26 = (\sqrt{26})^2 = BC^2\)។

ដូចនេះ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់ \(A\) (ព្រោះ \(AB = AC = \sqrt{13}\))។

គ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle ABC\)៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times \sqrt{13} \\ &= \frac{13}{2} = 6.5\text{ (ឯកតាផ្ទៃ)} \end{aligned}\]

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ដែល \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 3\) និង \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\)។

គណនា \((2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})\)។
គណនា \(\|2\vec{u} - 3\vec{v}\|\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 3\) និង \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\)។

ក. គណនា \((2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})\)៖

\[\begin{aligned} (2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) &= 2\|\vec{u}\|^2 + 5\vec{u}\cdot\vec{v} - 3\|\vec{v}\|^2 \\ &= 2(2^2) + 5(-2) - 3(3^2) \\ &= 8 - 10 - 27 = -29 \end{aligned}\]

ខ. គណនា \(\|2\vec{u} + \vec{v}\|\)៖

\[\begin{aligned} \|2\vec{u} + \vec{v}\|^2 &= 4\|\vec{u}\|^2 + 4\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \\ &= 4(4) + 4(-2) + 9 = 17 \end{aligned}\]

ទាញយកម៉ូឌុល៖ \(\|2\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{17}\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 3)\), \(B(4, 1)\) និង \(C(6, 4)\)។

រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(D\) ដើម្បីឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត \(I\) នៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 3)\), \(B(4, 1)\) និង \(C(6, 4)\)។

ក. រកកូអរដោនេនៃ \(D(x_D, y_D)\) ដើម្បីឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម៖ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)។

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (4 - 1, 1 - 3) = (3, -2) \\ \overrightarrow{DC} &= (6 - x_D, 4 - y_D) \end{aligned}\]

ឱ្យកូអរដោនេស្មើគ្នា៖

\[\begin{cases} 6 - x_D = 3 \implies x_D = 6 - 3 = 3 \\ 4 - y_D = -2 \implies y_D = 4 + 2 = 6 \end{cases}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុច \(D\) គឺ \(D(3, 6)\)។

ខ. រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត \(I\) នៃប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\)៖ ផ្ចិត \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូង \([AC]\) (និង \([BD]\))៖

\[\begin{aligned} x_I &= \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} \\ y_I &= \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃផ្ចិតគឺ \(I\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{2}\right)\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(A, B, C, D\) ក្នុងប្លង់ គេតែងតែមាន៖

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\]

(អត្តសញ្ញាណ Euler)។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ Euler ចំពោះគ្រប់បួនចំណុច \(A, B, C, D\)៖ តាង \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(A, B, C, D\) ធៀបនឹងគល់ \(O\) ណាមួយ។

នោះ \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\), \(\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a}\), \(\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c}\), \(\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}\)។

យើងគណនាផលបូកនៃតួទាំងបី៖

\[\begin{aligned} T_1 &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \vec{b}\cdot\vec{d} - \vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{a}\cdot\vec{d} + \vec{a}\cdot\vec{c} \\ T_2 &= \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} = \vec{c}\cdot\vec{d} - \vec{c}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{d} + \vec{b}\cdot\vec{a} \\ T_3 &= \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = \vec{a}\cdot\vec{d} - \vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{d} + \vec{c}\cdot\vec{b} \end{aligned}\]

បូក \(T_1 + T_2 + T_3\) ចូលគ្នា៖

\[T_1 + T_2 + T_3 = 0\]

(ដោយសារគ្រប់តួទូទាត់គ្នាស្មើ \(0\))។

ដូចនេះ អត្តសញ្ញាណ Euler ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (\cos\alpha, \sin\alpha)\) និង \(\vec{v} = (\cos\beta, \sin\beta)\)។

គណនា \(\|\vec{u}\|\) និង \(\|\vec{v}\|\)។
គណនា \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) តាមពីររបៀបផ្សេងគ្នា រួចទាញរកសមភាពត្រីកោណមាត្រ \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (\cos\alpha, \sin\alpha)\) និង \(\vec{v} = (\cos\beta, \sin\beta)\)។

ក. គណនា \(\|\vec{u}\|\) និង \(\|\vec{v}\|\)៖

\[\begin{aligned} \|\vec{u}\| &= \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \sqrt{1} = 1 \\ \|\vec{v}\| &= \sqrt{\cos^2\beta + \sin^2\beta} = \sqrt{1} = 1 \end{aligned}\]

ខ. គណនា \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) តាមពីររបៀប និងទាញរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ៖

របៀបទី១ (តាមកូអរដោនេ)៖
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]
របៀបទី២ (តាមនិយមន័យធរណីមាត្រ)៖ មុំរវាង \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) គឺ \(\theta = |\alpha - \beta|\)៖
\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\alpha - \beta) \\ &= 1 \times 1 \times \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha - \beta) \end{aligned}\]

ផ្ទឹមលទ្ធផលទាំងពីរ គេទាញបានរូបមន្តត្រីកោណមាត្រគ្រឹះ៖

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យចំណុច \(M(x, y)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) ដោយ \(A(-2, 1)\) និង \(B(4, 3)\)។

រកទំនាក់ទំនងរវាង \(x\) និង \(y\)។
កំណត់សំណុំចំណុច \(M\) ក្នុងប្លង់។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-2, 1)\), \(B(4, 3)\) និង \(M(x, y)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\)។

ក. រកទំនាក់ទំនងរវាង \(x\) និង \(y\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{MA} &= (x_A - x, y_A - y) = (-2 - x, 1 - y) \\ \overrightarrow{MB} &= (x_B - x, y_B - y) = (4 - x, 3 - y) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= 0 \\ \iff (-2 - x)(4 - x) + (1 - y)(3 - y) &= 0 \\ \iff x^2 - 2x + y^2 - 4y - 5 &= 0 \end{aligned}\]

ខ. កំណត់សំណុំចំណុច \(M\)៖

\[\begin{aligned} (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) &= 5 + 1 + 4 \\ \iff (x - 1)^2 + (y - 2)^2 &= 10 \end{aligned}\]

សន្និដ្ឋាន៖ សំណុំចំណុច \(M\) គឺជា រង្វង់ ដែលមានផ្ចិត \(I(1, 2)\) និងកាំ \(R = \sqrt{10}\) (រង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតជាអង្កត់ \([AB]\))។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} = (3, 1)\) និង \(\vec{b} = (2, -1)\)។

រកចំនួនពិត \(k\) ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = \vec{a} + k\vec{b}\) កែងនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{b}\)។
ចំពោះតម្លៃ \(k\) នោះ គណនា \(\|\vec{u}\|\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} = (3, 1)\) និង \(\vec{b} = (2, -1)\)។

ក. រកចំនួនពិត \(k\) ដើម្បីឱ្យ \(\vec{u} = \vec{a} + k\vec{b} \perp \vec{b}\)៖ កូអរដោនេនៃ \(\vec{u}\) គឺ៖

\[\vec{u} = (3 + 2k, 1 - k)\]

\(\vec{u} \perp \vec{b} \iff \vec{u} \cdot \vec{b} = 0\)៖

\[\begin{aligned} 2(3 + 2k) + (-1)(1 - k) &= 0 \\ 6 + 4k - 1 + k &= 0 \\ 5k + 5 &= 0 \implies k = -1 \end{aligned}\]

ខ. គណនា \(\|\vec{u}\|\) ចំពោះ \(k = -1\)៖ ជាមួយ \(k = -1\) គេបាន \(\vec{u} = (3 + 2(-1), 1 - (-1)) = (1, 2)\)។

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេឱ្យចតុកោណស្មើ \(ABCD\) ដែលមានអង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\)។

បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\) ដោយប្រើប្រមាណវិធីវ៉ិចទ័រ។
ទាញសន្និដ្ឋានអំពីលក្ខណៈនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណស្មើ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\)៖ ក្នុងចតុកោណស្មើ \(ABCD\) ជ្រុងទាំងបួនមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។

តាង \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) ដោយ \(\|\vec{a}\| = \|\vec{b}\|\)។

តាមវិធានប្រលេឡូក្រាម អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរតាងដោយ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= \vec{a} + \vec{b} \\ \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} \end{aligned}\]

គណនាផលគុណស្កាលែរ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &= (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) \\ &= \|\vec{b}\|^2 - \|\vec{a}\|^2 \end{aligned}\]

ដោយ \(\|\vec{a}\| = \|\vec{b}\|\) នាំឱ្យ \(\|\vec{b}\|^2 - \|\vec{a}\|^2 = 0\)។

ដូចនេះ \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

ខ. សន្និដ្ឋាន៖ ដោយសារ \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\) អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃចតុកោណស្មើកែងគ្នាទៅវិញទៅមក (\(AC \perp BD\))។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (2, -1)\) និង \(\vec{v} = (1, 3)\)។ រកកូអរដោនេនៃចំណោលកែងនៃ \(\vec{u}\) លើទិសនៃ \(\vec{v}\) (Projection vector)៖

\[\vec{p} = \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right)\vec{v}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (2, -1)\) និង \(\vec{v} = (1, 3)\)។

គណនាផលគុណស្កាលែរ និងការ៉េម៉ូឌុលនៃ \(\vec{v}\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 2(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1 \\ \|\vec{v}\|^2 &= 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{aligned}\]

វ៉ិចទ័រចំណោលកែងនៃ \(\vec{u}\) លើទិសនៃ \(\vec{v}\) គឺ៖

\[\begin{aligned} \vec{p} &= \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right)\vec{v} \\ &= \left(-\frac{1}{10}\right)(1, 3) = \left(-\frac{1}{10}, -\frac{3}{10}\right) \end{aligned}\]

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) ដែលមានជ្រុង \(BC = a, AC = b, AB = c\)។

បង្ហាញថា \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)។
លើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េស្កាលែរ រួចទាញរកទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស៖
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)៖ តាមវិធាន Chasles ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\)៖

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \implies \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\]

ខ. ទាញរកទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (Law of Cosines)៖ លើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េស្កាលែរ៖

\[\begin{aligned} \|\overrightarrow{BC}\|^2 &= \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 \\ \|\overrightarrow{BC}\|^2 &= \|\overrightarrow{AC}\|^2 + \|\overrightarrow{AB}\|^2 - 2(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) \end{aligned}\]

ដោយ \(BC = a, AC = b, AB = c\) និង \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = bc\cos A\)៖

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណ ត្រូវបានទាញបញ្ជាក់តាមរយៈវ៉ិចទ័រ។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) ដែល \(\|\vec{u}\| = 5\), \(\|\vec{v}\| = 2\sqrt{2}\) និងមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរស្មើ \(45^\circ\)។

គណនា \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)។
គណនាផ្ទៃក្រឡានៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនា \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos 45^\circ \\ &= 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \times 2 = 10 \end{aligned}\]

ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃប្រលេឡូក្រាម៖ ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតដោយ \(\vec{u}\) និង \(\vec{v}\) គឺ៖

\[\begin{aligned} S &= \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin 45^\circ \\ &= 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\text{ (ឯកតាផ្ទៃ)} \end{aligned}\]

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យចំណុច \(A(3, 0)\) និង \(B(0, 4)\)។

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\)។
រកចំណុច \(C\) លើអ័ក្សអាប់ស៊ីស (\(Ox\)) ដើម្បីឱ្យ \(\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{AB}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(3, 0)\) និង \(B(0, 4)\)។

ក. រកកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\)៖

\[\overrightarrow{AB} = (0 - 3, 4 - 0) = (-3, 4)\]

ខ. រកចំណុច \(C\) លើអ័ក្ស \(Ox\) ដើម្បីឱ្យ \(\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{AB}\)៖ ចំណុច \(C\) លើអ័ក្ស \(Ox\) មានកូអរដោនេទម្រង់ \(C(x, 0)\)។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{BC} = (x - 0, 0 - 4) = (x, -4)\)។

លក្ខខណ្ឌកែង \(\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)៖

\[\begin{aligned} x(-3) + (-4)(4) = 0 &\iff -3x - 16 = 0 \\ &\implies x = -\frac{16}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុច \(C\) គឺ \(C\left(-\dfrac{16}{3}, 0\right)\)។

៤០លំហាត់ទី ៤០

(PISA - ការបូកកម្លាំង) កម្លាំងពីរ \(\vec{F}_1\) និង \(\vec{F}_2\) មានអាំងតង់ស៊ីតេ \(30\text{ N}\) និង \(40\text{ N}\) មានទិសកែងគ្នា និងមានចំណុចចាប់រួមគ្នាត្រង់ \(O\)។

គណនាអាំងតង់ស៊ីតេនៃកម្លាំងផ្គួប \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\)។
រកមុំដែលកម្លាំងផ្គួប \(\vec{F}\) បង្កើតជាមួយកម្លាំង \(\vec{F}_1\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាអាំងតង់ស៊ីតេកម្លាំងផ្គួប \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\)៖ ដោយកម្លាំងទាំងពីរកែងគ្នា (\(\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2\))៖

\[\begin{aligned} \|\vec{F}\| &= \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} \\ &= \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\text{ N} \end{aligned}\]

ខ. រកមុំដែល \(\vec{F}\) បង្កើតជាមួយទិសនៃកម្លាំង \(\vec{F}_1\)៖

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{F_1}{\|\vec{F}\|} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6 \\ \implies \theta &\approx 53.13^\circ \end{aligned}\]

(ឬ \(\tan\theta = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3} \implies \theta \approx 53^\circ 8'\))។

៤១លំហាត់ទី ៤១

(PISA - ចរន្តទឹក) ទូកមួយបើកឆ្លងកាត់ទន្លេមេគង្គដោយល្បឿនម៉ាស៊ីន \(4\text{ m/s}\) កែងនឹងច្រាំងទន្លេ។ ចរន្តទឹកហូរកាត់កាត់ទទឹងដោយល្បឿន \(3\text{ m/s}\) ស្របតាមច្រាំង។

គណនាល្បឿនពិតជាក់ស្តែងរបស់ទូកធៀបនឹងដីគោក។
បើទន្លេមានទទឹង \(200\text{ m}\) តើទូកត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានវិនាទីដើម្បីទៅដល់ត្រើយម្ខាងទៀត?
តើទូកត្រូវបានទឹកនាំរសាត់ទៅក្រោមបានចម្ងាយប៉ុន្មានម៉ែត្រពីចំណុចទល់មុខដើម?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាល្បឿនពិតជាក់ស្តែងរបស់ទូក៖ ល្បឿនម៉ាស៊ីនទូក \(\vec{v}_b\) កែងនឹងច្រាំង (\(v_b = 4\text{ m/s}\)) និងល្បឿនទឹក \(\vec{v}_w\) ស្របនឹងច្រាំង (\(v_w = 3\text{ m/s}\))។

\[\begin{aligned} v &= \sqrt{v_b^2 + v_w^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ m/s} \end{aligned}\]

ខ. ផលប៉ះពាល់នៃចរន្តទឹកលើរយៈពេលឆ្លងទន្លេ៖ ចរន្តទឹក មិនប៉ះពាល់ ដល់រយៈពេលឆ្លងកាត់ទន្លេឡើយ ពីព្រោះសមាសភាគល្បឿនកាត់ទទឹងទន្លេនៅតែរក្សាតម្លៃ \(4\text{ m/s}\) ដដែល។ ចរន្តទឹកគ្រាន់តែរុញទូកឱ្យរសាត់ទៅក្រោមតាមបណ្តោយច្រាំងប៉ុណ្ណោះ។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (2, -3)\) និង \(\vec{v} = (k, 4)\)។ កំណត់តម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យ៖

\(\vec{u} \parallel \vec{v}\) (កូលីនេអ៊ែរ)
\(\vec{u} \perp \vec{v}\) (អរតូកូណាល់)

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (2, -3)\) និង \(\vec{v} = (k, 4)\)។

ក. លក្ខខណ្ឌស្របគ្នា (កូលីនេអ៊ែរ) \(\vec{u} \parallel \vec{v}\)៖

\[\frac{k}{2} = \frac{4}{-3} \implies k = 2 \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{8}{3}\]

ខ. លក្ខខណ្ឌកែងគ្នា (អរតូកូណាល់) \(\vec{u} \perp \vec{v}\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 &\iff 2k - 12 = 0 \\ &\implies k = 6 \end{aligned}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 6)\)។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) លើអង្កត់ \([AB]\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 6)\)។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)\)។

ចំណុច \(M(x_M, y_M)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)៖

\[(x_M - 1, y_M - 2) = \frac{1}{3}(4, 4) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)\]

\[\begin{aligned} x_M - 1 &= \frac{4}{3} \implies x_M = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \\ y_M - 2 &= \frac{4}{3} \implies y_M = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \end{aligned}\]

ដូចនេះ កូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) គឺ \(M\left(\dfrac{7}{3}, \dfrac{10}{3}\right)\)។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) និង \(\|\vec{a}\| = 3\), \(\|\vec{b}\| = 5\), \(\|\vec{c}\| = 7\)។

គណនាផលគុណស្កាលែរ \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)។
គណនាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) ដោយ \(\|\vec{a}\| = 3\), \(\|\vec{b}\| = 5\), \(\|\vec{c}\| = 7\)។

ក. គណនា \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)៖ យើងទាញបាន \(\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}\)។ លើកជាការ៉េម៉ូឌុលនៃអង្គទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} \|\vec{a} + \vec{b}\|^2 &= \|-\vec{c}\|^2 = \|\vec{c}\|^2 \\ \|\vec{a}\|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \|\vec{b}\|^2 &= \|\vec{c}\|^2 \\ 3^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 5^2 &= 7^2 \\ 9 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 25 &= 49 \\ 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 34 &= 49 \implies 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 15 \\ \implies \vec{a}\cdot\vec{b} &= \frac{15}{2} = 7.5 \end{aligned}\]

ខ. គណនាមុំ \(\theta\) រវាង \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{7.5}{3 \times 5} \\ &= \frac{7.5}{15} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \end{aligned}\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គេឱ្យចំណុច \(A(-3, 1)\), \(B(1, 4)\) និង \(C(5, 7)\)។

គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BC}\)។
តើចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-3, 1)\), \(B(1, 4)\) និង \(C(5, 7)\)។

ក. គណនាកូអរដោនេនៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{BC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (1 - (-3), 4 - 1) = (4, 3) \\ \overrightarrow{BC} &= (5 - 1, 7 - 4) = (4, 3) \end{aligned}\]

ខ. ពិនិត្យភាពត្រង់ជួរនៃ \(A, B, C\)៖ ដោយសារ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = (4, 3)\) នាំឱ្យវ៉ិចទ័រទាំងពីរស្មើគ្នា (និងមានចំណុច \(B\) រួម)។

ដូចនេះ បីចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (លើសពីនេះទៅទៀត \(B\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([AC]\))។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

រកតម្លៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (x-1, 2)\) មានប្រវែងស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{v} = (3, x+1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (x-1, 2)\) និង \(\vec{v} = (3, x+1)\)។

គណនាការ៉េម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} \|\vec{u}\|^2 &= (x - 1)^2 + 2^2 = x^2 - 2x + 5 \\ \|\vec{v}\|^2 &= 3^2 + (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 10 \end{aligned}\]

លក្ខខណ្ឌ \(\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| \iff \|\vec{u}\|^2 = \|\vec{v}\|^2\)៖

\[\begin{aligned} x^2 - 2x + 5 &= x^2 + 2x + 10 \\ -2x + 5 &= 2x + 10 \\ -4x &= 5 \implies x = -\frac{5}{4} \end{aligned}\]

ដូចនេះ តម្លៃនៃ \(x\) គឺ \(x = -\dfrac{5}{4}\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) និងចំណុច \(M\) មួយ។ បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ \(\vec{v} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}\) មិនអាស្រ័យនឹងទីតាំងនៃចំណុច \(M\) ឡើយ។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា \(\vec{v} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}\) មិនអាស្រ័យនឹង \(M\)៖ តាមវិធាន Chasles យើងបំបែកវ៉ិចទ័រដោយបញ្ចូលចំណុច \(C\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{MA} &= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA} \\ \overrightarrow{MB} &= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB} \end{aligned}\]

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមនៃ \(\vec{v}\)៖

\[\begin{aligned} \vec{v} &= (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}) - 2\overrightarrow{MC} \\ &= 2\overrightarrow{MC} - 2\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \\ &= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \end{aligned}\]

ដោយសារចំណុច \(A, B, C\) ជាចំណុចថេរនៃត្រីកោណ វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}\) ជាវ៉ិចទ័រថេរដែលមិនអាស្រ័យនឹងទីតាំងចំណុច \(M\) ឡើយ។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

(PISA - ការទាញកប៉ាល់) អូសទូកកប៉ាល់មួយដោយខ្សែពួរពីរដែលមានកម្លាំងទាញរៀងគ្នា \(F_1 = 5000\text{ N}\) និង \(F_2 = 5000\text{ N}\) ដោយមុំរវាងខ្សែពួរទាំងពីរគឺ \(60^\circ\)។

គណនាកម្លាំងផ្គួបសរុបដែលធ្វើសកម្មភាពលើកប៉ាល់។
ប្រសិនបើកម្លាំងកកិតនៃទឹកគឺ \(8000\text{ N}\) តើកប៉ាល់អាចរំកិលទៅមុខបានដែរឬទេ? ពន្យល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាកម្លាំងផ្គួបសរុប \(F\)៖ អនុវត្តរូបមន្តកម្លាំងផ្គួបដែលមានមុំ \(\theta = 60^\circ\) រវាងខ្សែពួរទាំងពីរ (\(F_1 = F_2 = 5000\text{ N}\))៖

\[\begin{aligned} F^2 &= F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 60^\circ \\ &= 5000^2 + 5000^2 + 2(5000^2)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 5000^2 + 5000^2 + 5000^2 = 3 \times 5000^2 \end{aligned}\]

ទាញយកកម្លាំងផ្គួប៖

\[F = 5000\sqrt{3} \approx 5000 \times 1.732 = 8660.25\text{ N}\]

ខ. ទិសដៅនៃចលនាកប៉ាល់៖ ដោយសារតែកម្លាំងទាញទាំងពីរមានទំហំស្មើគ្នា (\(F_1 = F_2\)) កម្លាំងផ្គួប \(\vec{F}\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ពុះមុំ \(60^\circ\) នោះ គឺបង្កើតមុំ \(30^\circ\) ធៀបនឹងខ្សែពួរនីមួយៗ តម្រង់ទៅមុខត្រង់ចំកណ្តាល។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

គេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (1, \sqrt{3})\)។

រកមុំដែល \(\vec{u}\) បង្កើតជាមួយទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស \(Ox\)។
រកវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទិសដៅផ្ទុយពី \(\vec{u}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{u} = (1, \sqrt{3})\)។

ក. រកមុំដែល \(\vec{u}\) បង្កើតជាមួយទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស \(Ox\)៖ ម៉ូឌុលនៃ \(\vec{u}\) គឺ \(\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)។

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{x}{\|\vec{u}\|} = \frac{1}{2} \\ \sin\theta &= \frac{y}{\|\vec{u}\|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\]

ដោយ \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) និង \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) នាំឱ្យ \(\theta = 60^\circ\) (ឬ \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}\))។

ខ. រកវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទិសដៅផ្ទុយពី \(\vec{u}\)៖ វ៉ិចទ័រឯកតាមានទិសដៅផ្ទុយពី \(\vec{u}\) គឺ៖

\[\begin{aligned} \vec{e} &= -\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = -\frac{1}{2}(1, \sqrt{3}) \\ &= \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}\]

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - ការងាររបស់កម្លាំង) កម្មករម្នាក់ទាញរទេះដោយកម្លាំងថេរ \(\vec{F}\) ដែលមានអាំងតង់ស៊ីតេ \(150\text{ N}\) តាមទិសដៅបង្កើតមុំ \(30^\circ\) ធៀបនឹងដីរាបស្មើ។ រទេះរំកិលបានចម្ងាយ \(20\text{ m}\) តាមទិសដេក។

គណនាការងារ (Work) ដែលកម្លាំង \(\vec{F}\) បង្កើតបានតាមរូបមន្ត \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \|\vec{d}\| \cos\theta\) (គិតជាស៊ូល \(\text{J}\))។
បើគាត់ទាញរទេះតាមទិសកែងនឹងដី (\(\theta = 90^\circ\)) តើការងាររបស់កម្លាំងស្មើនឹងប៉ុន្មាន? ពន្យល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. គណនាការងារដែលបង្កើតឡើងដោយកម្លាំង \(\vec{F}\)៖ រូបមន្តការងារមេកានិច៖ \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \|\vec{d}\| \cos\alpha\)

អាំងតង់ស៊ីតេកម្លាំង៖ \(\|\vec{F}\| = 150\text{ N}\)
ចម្ងាយប្តូរទី៖ \(\|\vec{d}\| = 20\text{ m}\)
មុំរវាងកម្លាំងនិងទិសដៅចលនា៖ \(\alpha = 30^\circ\)

\[\begin{aligned} W &= 150 \times 20 \times \cos 30^\circ \\ &= 3000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1500\sqrt{3} \approx 2598.08\text{ J} \end{aligned}\]

ខ. ការប្រែប្រួលនៃការងារបើកម្មករទាញស្របនឹងដីរាបស្មើ (\(\alpha = 0^\circ\))៖

\[W_0 = 150 \times 20 \times \cos 0^\circ = 3000 \times 1 = 3000\text{ J}\]

ការបកស្រាយ៖ នៅពេលទាញស្របនឹងដី កម្លាំងទាំងមូលត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការរំកិលរទេះ (ការងារកើនឡើងដល់ \(3000\text{ J}\) ធំជាង \(2598.08\text{ J}\)) ពីព្រោះគ្មានកម្លាំងណាមួយត្រូវខ្ជះខ្ជាយលើសមាសភាគឈរឡើយ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៨ វ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់ និងការអនុវត្ត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត