KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀនទី ២០
២០
ជំពូកទី ៧ ស្ថិតិ · មេរៀនទី ២០ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

រង្វាស់ទីតាំង

ស្ថិតិ៣ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០
ប្រវត្តិនៃរង្វាស់ទីតាំង មធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត

ការប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធមានតាំងពីសម័យក្រិកបុរាណ ដោយលោក ពីតាក័រ (Pythagoras) ប៉ុន្តែការប្រើប្រាស់ជាទូទៅក្នុងស្ថិតិត្រូវបានពង្រីកនៅសតវត្សទី១៩។ ចំណែកឯមេដ្យាន និងម៉ូត ត្រូវបានណែនាំឱ្យស្គាល់ច្បាស់លាស់នៅចុងសតវត្សទី១៩ ដោយលោក កាល ភៀរសុន (Karl Pearson) និង ហ្វ្រង់ស៊ីស ហ្គាល់តុង (Francis Galton) ដើម្បីជួយពិពណ៌នាពីទំនោរកណ្តាលនៃទិន្នន័យឲ្យបានកាន់តែច្បាស់លាស់ ពិសេសនៅពេលទិន្នន័យមានតម្លៃរង្វៀងខ្លាំង (Outliers) ដែលធ្វើឲ្យមធ្យមភាគមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីតថភាពពិត។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. ការគណនាមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនមួយក្រុម
២. ការបូកសរុបប្រេកង់ក្នុងតារាង
៣. ការស្វែងរកតម្លៃដែលកើតឡើងច្រើនដងជាងគេ

មធ្យម

ឧទាហរណ៍

គេមានតារាងពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស 45 នាក់ ដូចខាងក្រោម៖

15 19 32 43 46 47 48 52
52 53 54 60 60 61 63 64
64 66 66 69 72 72 72 73
75 75 76 79 79 80 80 81
81 81 81 83 83 87 87 89
90 91 91 93 94

តាមតារាងនេះ គេចង់ដឹងថា៖

  • តើសិស្សច្រើនជាងគេទទួលបានពិន្ទុមួយណា? ពិន្ទុនេះហៅថា ម៉ូតនៃពិន្ទុតាងដោយ \(M_o\) ។

  • តើពិន្ទុណាសម្រាប់តំណាងសមត្ថភាពរួមរបស់សិស្ស? ពិន្ទុនេះហៅថាមធ្យមតាងដោយ \(\bar{x}\) ។

  • តើគេកំណត់យកត្រង់ពិន្ទុណាដើម្បីចែកសិស្សជាពីរក្រុមដែលមាន \(50\%\) ជាសិស្សបានពិន្ទុខ្ពស់ និង \(50\%\) ទៀតជាសិស្សបានពិន្ទុទាប? ពិន្ទុនេះហៅថា មេដ្យានតាងដោយ \(M_e\) ។

  • ម៉ូត មធ្យម និងមេដ្យានហៅថា រង្វាស់ទីតាំង ។

មធ្យមនៃទិន្នន័យដែលមិនផ្ដុំជាថ្នាក់

តាមតារាងពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស 45 នាក់ គេអាចគណនាមធ្យមនៃពិន្ទុ៖ \(\bar{x} = \frac{15 + 29 + 32 + 43 + ... + 91 + 91 + 93 + 94}{45} = \frac{3089}{45} , \quad{} \bar{x} \approx 68.64\) ។

ជាទូទៅ

បើទិន្នន័យមានអថេរ \(x_i\) និងប្រេកង់សរុប \(N\) នោះមធ្យម \(\bar{x}\) គឺ
\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N}\)

មធ្យមនៃទិន្នន័យដែលផ្ដុំជាថ្នាក់

ឧទាហរណ៍

ដោយពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យាខាងលើនេះមានច្រើនពេកនោះដើម្បីងាយស្រួលគេផ្ដុំតម្លៃទិន្នន័យជាថ្នាក់ដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ រួចគណនាមធ្យម \(\bar{x}\) ។ បើគេផ្ដុំតម្លៃពិន្ទុជា 8 ថ្នាក់ ដែលមានប្រវែងចន្លោះថ្នាក់ 10 គេបានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់

ពិន្ទុគណិតវិទ្យា \(15-25\) \(25-35\) \(35-45\) \(45-55\) \(55-65\) \(65-75\) \(75-85\) \(85-95\)
ចំនួនសិស្ស \(1\) \(2\) \(1\) \(7\) \(6\) \(7\) \(13\) \(8\)

ដើម្បីគណនាមធ្យម គេត្រូវរកផ្ចិតនៃថ្នាក់ (ឬចំណុចកណ្ដាលនៃថ្នាក់) : \(x_1 = \frac{15 + 25}{2} = 20 , \quad{} x_2 = \frac{25 + 35}{2} = 30 , \quad{} x_3 = \frac{35 + 45}{2} = 40 , \quad{} x_4 = \frac{45 + 55}{2} = 50\) \(x_5 = \frac{55 + 65}{2} = 60 , \quad{} x_6 = \frac{65 + 75}{2} = 70 , \quad{} x_7 = \frac{75 + 85}{2} = 80 , \quad{} x_8 = \frac{85 + 95}{2} = 90\) ។

គេបាន \(\bar{x} = \frac{20 \times 1 + 30 \times 2 + 40 \times 1 + 50 \times 7 + 60 \times 6 + 70 \times 7 + 80 \times 13 + 90 \times 8}{1 + 2 + 1 + 7 + 6 + 7 + 13 + 8}\)
\(= \frac{3080}{45} \approx 68.44\) ។

ជាទូទៅ

បើទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់មានប្រេកង់ \(f_i\) មាន \(x_i\) ជាផ្ចិតនៃថ្នាក់ ហើយ \(n\) ជាចំនួនថ្នាក់នោះមធ្យម \(\bar{x}\) គឺ \(\bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + ... + x_nf_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n}\) ។

គេសង្កេតឃើញថា មធ្យមរបស់ទិន្នន័យមិនប្រមូលផ្ដុំជាថ្នាក់ មានភាពជាក់លាក់ជាងមធ្យមរបស់ទិន្នន័យប្រមូលផ្ដុំជាថ្នាក់ ប៉ុន្តែវាមានភាពលំបាកក្នុងការគណនា ។

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃប្រាក់ខែរបស់បុគ្គលិកក្រុមហ៊ុនមួយ (គិតជាម៉ឺនរៀល) ។

ប្រាក់ខែ (គិតជាម៉ឺនរៀល) \(20-30\) \(30-40\) \(40-50\) \(50-60\) \(60-70\) \(70-80\)
ចំនួនបុគ្គលិក \(8\) \(15\) \(20\) \(10\) \(7\) \(5\)

ចូររកមធ្យមនៃប្រាក់ខែរបស់បុគ្គលិកក្រុមហ៊ុន ។

ដំណោះស្រាយ
ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ \(f_i\) ផ្ចិតនៃថ្នាក់ \(x_i\) \(x_if_i\)
\(20-30\) \(8\) \(25\) \(200\)
\(30-40\) \(15\) \(35\) \(525\)
\(40-50\) \(20\) \(45\) \(900\)
\(50-60\) \(10\) \(55\) \(550\)
\(60-70\) \(7\) \(65\) \(455\)
\(70-80\) \(5\) \(75\) \(375\)
សរុប \(N=65\) \(x_1f_1 + ... + x_6f_6 = 3005\)

\(\bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + ... + x_6f_6}{f_1 + f_2 + ... + f_6} = \frac{3005}{65} \Rightarrow \bar{x} \approx 46.23\) ។

សង្កេត បើទិន្នន័យមានអថេរជាអថេរគុណភាព នោះគេមិនអាចរកមធ្យមបានទេ ព្រោះអថេរគ្មានតម្លៃជាលេខសម្រាប់គណនា ។

ប្រតិបត្តិ

តារាងទិន្នន័យនេះជាល្បឿនរថយន្តចំនួន 40 គ្រឿងដែលបានឆ្លងកាត់តំបន់ប៉ូលិសត្រួតពិនិត្យ (ល្បឿនគិតជា \(\text{km/h}\)) 105 63 85 93 95 92 100 101 98 109 90 80 82 86 70 76 72 63 67 90 91 95 97 89 85 70 102 90 91 89 84 77 65 118 117 105 95 90 91 89

ក.  គណនាមធ្យមនៃទិន្នន័យនេះ ។
ខ.  ចូរផ្ដុំទិន្នន័យនេះជា 8 ថ្នាក់ ដោយយកតម្លៃគោលក្រោម 62.5 រួចគណនាមធ្យម ។
គ.  ចូរបង្ហាញថា \((x_1 - \bar{x})f_1 + \dots + (x_n - \bar{x})f_n = 0\) ដោយប្រើមធ្យម និងទិន្នន័យក្នុងសំណួរទី 2 ។

មើលចម្លើយ


ក.  \(\bar{x} = 88.67\text{ km/h}\) ខ.  \(\bar{x} = 89.45\text{ km/h}\) ។

ប្រតិបត្តិ

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នេះជាអាយុរបស់អ្នករស់នៅក្នុងសហគមន៍មួយ ។ ចូររកមធ្យម ។

អាយុគិតជាឆ្នាំ \(10-20\) \(20-30\) \(30-40\) \(40-50\) \(50-60\) \(60-70\)
ប្រេកង់ \(12\) \(23\) \(17\) \(6\) \(1\) \(1\)
មើលចម្លើយ


\(\bar{x} = 29\) ឆ្នាំ  ។

មេដ្យាន

មេដ្យាននៃទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់

ឧទាហរណ៍

តាមតារាងពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស 45 នាក់

18 27 33 40 45 48 49 50 52 53 54 56 57 58 59
61 62 66 68 69 70 71 72 74 75 76 76 77 78 79
80 81 82 82 83 84 84 85 86 88 89 90 91 92 94

គេឃើញថា ទិន្នន័យនេះរៀបតាមលំដាប់ពីតូចទៅធំរួចហើយ និងមានប្រេកង់សរុប 45 ដែលជាចំនួនសេស ។ តម្លៃដែលនៅកណ្ដាលគេគឺ 72 មានន័យថាមានសិស្ស \(50\%\) បានពិន្ទុតិចជាង 72 និងសិស្ស \(50\%\) ទៀតបានពិន្ទុខ្ពស់ជាង 72 ។ 72 ហៅថាមេដ្យាននៃពិន្ទុ ។ គេកំណត់សរសេរ \(Me = 72\) ។

ឧទាហរណ៍

រកមេដ្យានក្នុងទិន្នន័យខាងក្រោម៖

18 20 21 21 22 22 23 23 27 27 33 33 34 35 38 38 39 40 40 41
43 44 44 45 49 51 51 51 51 52 52 53 54 55 56 58 59 59 59 60

ទិន្នន័យនេះរៀបតាមលំដាប់រួចហើយ និងមានប្រេកង់សរុប 40 ដែលជាចំនួនគូ ។ គេឃើញថាតម្លៃដែលនៅកណ្ដាលគេមានពីរគឺ 41 និង 43 ។ ដូច្នេះ មេដ្យានគឺ \(Me = \frac{41 + 43}{2} = 42\) ។

ជាទូទៅ

មេដ្យាននៃទិន្នន័យមួយដែលមានប្រេកង់សរុប \(N\) គឺជាតម្លៃរបស់អថេរដែលត្រូវនឹងកាត់កណ្ដាលប្រេកង់សរុប មានន័យថាមេដ្យានគឺតួទី \(\frac{N+1}{2}\) អថេរ \(X\) រៀបតាមលំដាប់ពីតូចទៅធំ តាងដោយ \(x_1, x_2, ..., x_N\) ។
បើ \(N\) ជាចំនួនគត់សេស នោះមេដ្យាន \(M_e = x_{\frac{N+1}{2}}\)
បើ \(N\) ជាចំនួនគត់គូ នោះមេដ្យាន \(M_e = \frac{1}{2}\left(x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}\right)\) ។

មេដ្យាននៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់

ដើម្បីរកមេដ្យាននៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ គេត្រូវប្រើប្រេកង់កើន ។

ឧទាហរណ៍

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យា

ចន្លោះថ្នាក់ \(15-25\) \(25-35\) \(35-45\) \(45-55\) \(55-65\) \(65-75\) \(75-85\) \(85-95\)
ប្រេកង់ \(f_i\) \(1\) \(2\) \(1\) \(7\) \(6\) \(7\) \(13\) \(8\)
ប្រេកង់កើន \(F_i\) \(1\) \(3\) \(4\) \(11\) \(17\) \(24\) \(37\) \(45\)

  • ពាក់កណ្ដាលប្រេកង់សរុប ឬ \(50\%\) នៃទិន្នន័យគឺ \(\frac{45}{2} = 22.5\) ។

  • ក្នុងជួរប្រេកង់កើន \(22.5\) ឋិតក្នុងថ្នាក់ \(65-75\) ។

  • ថ្នាក់ \(65-75\) ហៅថាថ្នាក់មេដ្យាន ។

គណនាមេដ្យានតាមពីជគណិត

គេឃើញថាប្រេកង់កើន \(22.5\) នៅក្នុងចន្លោះ \(17\) និង \(24\) និងមេដ្យាននៅចន្លោះ \(65\) និង \(75\) ។

ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ គេយកចំណុច \(A(65, 17)\) , \(B(75, 24)\) និង \(C(M_e, 22.5)\) ដែល \(C \in AB\) ដោយ \(C \in AB\) នោះបន្ទាត់ \(AB\) និង \(AC\) មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើគ្នា ។
មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \(AB\) គឺ \(\frac{24 - 17}{75 - 65} = \frac{7}{10}\) ។
មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \(AC\) គឺ \(\frac{22.5 - 17}{M_e - 65}\) ។
គេបាន \(\frac{22.5 - 17}{M_e - 65} = \frac{7}{10}\)
នាំឱ្យ \(M_e - 65 = \frac{5.5 \times 10}{7}\)
ដូច្នេះ \(M_e \approx 65 + 7.86 \approx 72.86\) ។

តាមក្រាប
គេសង់ពហុកោណប្រេកង់កើន គេបានមេដ្យានគឺជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុចមួយនៅលើពហុកោណប្រេកង់កើនដែលមានអរដោនេស្មើនឹង \(22.5\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

ចំពោះទិន្នន័យថ្នាក់ ដែលមានប្រេកង់ដែលមានប្រេកង់សរុប \(N\) ។

ចន្លោះថ្នាក់ ប្រេកង់ ប្រេកង់កើន \(F_i\)
\(c_0 - c_1\) \(f_1\) \(F_1 = f_1\)
\(c_1 - c_2\) \(f_2\) \(F_2 = f_1 + f_2\)
\(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\)
\(c_{i-2} - c_{i-1}\) \(f_{i-1}\) \(F_{i-1} = f_1 + f_2 + ... + f_{i-1} \leq \frac{N}{2}\)
\(c_{i-1} - c_i\) \(f_i\) \(F_i = f_1 + f_2 + ... + f_{i-1} + f_i > \frac{N}{2}\)
\(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\)
\(c_{k-1} - c_k\) \(f_k\) \(F_k = f_1 + f_2 + ... + f_k\)

បើ \(F_{i-1} \leq \frac{N}{2} < F_i\) នោះ \(c_{i-1} \leq M_e < c_i\) (\(c_{i-1} - c_i\) ហៅថា ថ្នាក់មេដ្យាន)
គេបាន \(\frac{F_i - F_{i-1}}{c_i - c_{i-1}} = \frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{M_e - c_{i-1}}\) ឬ \(M_e = c_{i-1} + \frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}(c_i - c_{i-1})\) ។

តារាងទិន្នន័យខាងក្រោមនេះបង្ហាញពីរង្វាស់នៃការលោតកម្ពស់របស់សិស្ស 90 នាក់ក្នុងសាលារៀនមួយ ៖

កម្ពស់ (\(\text{cm}\)) \(110-116\) \(116-122\) \(122-128\) \(128-134\) \(134-140\) \(140-146\) \(146-152\) \(152-158\)
ប្រេកង់ \(f_i\) \(6\) \(12\) \(18\) \(12\) \(18\) \(12\) \(8\) \(4\)

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យតាមពីជគណិត និងតាមក្រាប ។

ដំណោះស្រាយ


តាមទិន្នន័យនេះ គេបានតារាងប្រេកង់កើន ៖

កម្ពស់ (\(\text{cm}\)) \(110-116\) \(116-122\) \(122-128\) \(128-134\) \(134-140\) \(140-146\) \(146-152\) \(152-158\)
ប្រេកង់ \(f_i\) \(6\) \(12\) \(18\) \(12\) \(18\) \(12\) \(8\) \(4\)
ប្រេកង់កើន \(F_i\) \(6\) \(18\) \(36\) \(48\) \(66\) \(78\) \(86\) \(90\)

  • តាមពីជគណិត : ពាក់កណ្ដាលប្រេកង់សរុប ឬ 50% នៃទិន្នន័យគឺ \(\frac{90}{2} = 45\) ។

តាមរូបមន្តមេដ្យាន គេបាន \(M_e = 128 + \frac{\frac{90}{2} - 36}{12}(134 - 128)\)
ឬ \(M_e = 128 + 4.5 = 132.5\text{ cm}\) ។

  • តាមក្រាប : សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មេដ្យានជាអាប់ស៊ីសនៃចំណុច \(G\) : \(M_e = 132.5\text{ cm}\) ។

សម្គាល់

ចំពោះអថេរគុណភាព គេមិនអាចគណនាមេដ្យាន និងមធ្យមបានទេ ។

ប្រតិបត្តិ ១

តាមទិន្នន័យល្បឿនរថយន្ត \(40\) គ្រឿង (គិតជា \(\text{km/h}\)) ឆ្លងកាត់ប៉ុស្តិ៍ត្រួតពិនិត្យ ៖
\(105, 63, 85, 93, 95, 92, 100, 101, 98, 109, 90, 80, 82, 86, 70, 76, 72, 63, 67, 90,\)
\(91, 95, 97, 89, 85, 70, 102, 90, 91, 89, 84, 77, 65, 118, 117, 105, 95, 90, 91, 89\)
ចូររកមេដ្យាននៃទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់ និងទិន្នន័យផ្ដុំជា \(8\) ថ្នាក់។

មើលចម្លើយ


  • មេដ្យាននៃទិន្នន័យមិនផ្ដុំជាថ្នាក់ ៖ រៀបទិន្នន័យពីតូចទៅធំ ដោយ \(N=40\) ជាចំនួនគូ នាំឱ្យ \(M_e = \dfrac{x_{20} + x_{21}}{2} = \dfrac{90 + 90}{2} = 90\text{ km/h}\)។

  • មេដ្យាននៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ ៖ ផ្ដុំជា \(8\) ថ្នាក់ដោយផ្ដើមពីគោលក្រោម \(62.5\) និងប្រវែងថ្នាក់ \(c \approx 7.25\) នាំឱ្យថ្នាក់មេដ្យានគឺ \(90.5 - 97.75\) (មាន \(f=9, F_{i-1}=17\)) ៖

    \[M_e = 90.5 + \frac{20 - 17}{9} \times 7.25 \approx 92.92\text{ km/h}\]

ប្រតិបត្តិ ២

គេមានតារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃអាយុអ្នករស់នៅក្នុងសហគមន៍មួយ ៖

អាយុ (ឆ្នាំ) \(10-20\) \(20-30\) \(30-40\) \(40-50\) \(50-60\) \(60-70\)
ប្រេកង់ \(f_i\) \(12\) \(23\) \(17\) \(6\) \(1\) \(1\)
ប្រេកង់កើន \(F_i\) \(12\) \(35\) \(52\) \(58\) \(59\) \(60\)

ចូររកមេដ្យាននៃអាយុអ្នករស់នៅក្នុងសហគមន៍។

មើលចម្លើយ


ប្រេកង់សរុប \(N = 60 \implies \dfrac{N}{2} = 30\)។ ដោយ \(F_1 = 12 < 30 \le F_2 = 35\) នាំឱ្យថ្នាក់មេដ្យានគឺ \(20 - 30\) (មាន \(c_{i-1}=20, F_{i-1}=12, f_i=23, c=10\)) ៖

\[M_e = c_{i-1} + \frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i} \times c = 20 + \frac{30 - 12}{23} \times 10 \approx 27.83\text{ ឆ្នាំ}\]
(ឬតាមក្រាបពហុកោណប្រេកង់កើនដែលអានប្រមាណបាន \(M_e \approx 26.15\) ឆ្នាំ )។

ម៉ូត

នៅក្នុងតារាងពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស 45 នាក់ គេឃើញថាពិន្ទុ ដែលមានញឹកញាប់ជាងគេគឺ 81 បានន័យថាពិន្ទុ 81 មានប្រេកង់ធំជាងគេ ។ ពិន្ទុ 81 នេះហៅថា ម៉ូត ។ គេកំណត់សរសេរ \(M_o = 81\) ។

ជាទូទៅ

ក្នុងទិន្នន័យ ម៉ូតគឺជាតម្លៃរបស់អថេរ ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ ។

ឧទាហរណ៍

តារាងនេះបង្ហាញពីប្រាក់ខែរបស់កម្មករក្នុងរោងចក្រ

ប្រាក់ខែ (គិតជាម៉ឺន) \(15-18\) \(18-21\) \(21-24\) \(24-27\) \(27-30\)
ចំនួនកម្មករ \(1\) \(6\) \(4\) \(6\) \(3\)

គេឃើញថាថ្នាក់ \(18-21\) និងថ្នាក់ \(24-27\) មានប្រេកង់ស្មើនឹង \(6\) ដូចគ្នាដែលជាប្រេកង់ធំជាងគេ បើធៀបទៅនឹងថ្នាក់ផ្សេងៗទៀត ។ ដូច្នេះ ម៉ូតនៃប្រាក់ខែកម្មករគឺ

\(M_{o_1} = \frac{18 + 21}{2} = 19.5 \) ម៉ឺនរៀល និង \(M_{o_2} = \frac{24 + 27}{2} = 25.5 \) ម៉ឺនរៀល  ។

ឧទាហរណ៍

ក្នុងបញ្ជីរបស់ស្ថាប័នលក់អង្ករមួយ បានកត់ត្រាម៉ាសអង្ករដែលបានលក់ចេញតាមប្រភេទនីមួយៗនៅខែមុននេះ ។

ប្រភេទអង្ករ នាងខិញ នាងខុន ផ្កាខ្ញី ផ្ការំដួល ដងស្ទឹង ក្រោញ
ម៉ាសអង្ករ (គិតជាតោន) \(3\) \(4\) \(7\) \(3\) \(2\) \(5\)

គេឃើញថា អង្ករប្រភេទផ្កាខ្ញី លក់បានច្រើនជាងគេ ។ ដូច្នេះ ម៉ូតគឺ \(M_o = \) ផ្កាខ្ញី  ។

ប្រតិបត្តិ

គេបោះឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ចំនួន 30 ដង ។ គេកត់ត្រាបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម ៖

3 1 4 3 1 3 4 3 1 5 4 5 2 2 6
5 4 2 1 4 2 3 6 5 4 2 3 1 6 3

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យនេះ ។

មើលចម្លើយ

 \(M_o = 3\) ។

ប្រតិបត្តិ

ទិន្នន័យនេះជាចំនួនអាវយឺតដែលលក់បាននៅក្នុងហាងមួយក្នុងរយៈពេល 7 ថ្ងៃ ៖

ថ្ងៃដែលបើកលក់ \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
ចំនួនអាវយឺត \(5\) \(7\) \(10\) \(8\) \(11\) \(18\) \(15\)

រកម៉ូតនៃថ្ងៃលក់អាវយឺត ។

មើលចម្លើយ

 \(M_o = 6\) ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ទិន្នន័យនេះជាពិន្ទុរបស់សិស្ស 30, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 60 ។ គណនាម៉ូត មធ្យម និងមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យពិន្ទុសិស្ស៖ \(30\), \(40\), \(60\), \(50\), \(70\), \(80\), \(60\), \(90\), \(60\) (\(N = 9\) តួ)។

តម្រៀបទិន្នន័យតាមលំដាប់កើន៖

\[30, 40, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 90\]
ក.  ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃ \(60\) កើតឡើងចំនួន ៣ ដង (ច្រើនជាងគេបំផុត) នាំឱ្យ៖
\[Mo = 60\]
ខ.  មធ្យមនព្វន្ធ (\(\bar{x}\))៖
\[\begin{aligned} \sum x_i &= 30 + 40 + 50 + 60 + 60 \\ &\quad{} + 60 + 70 + 80 + 90 = 540 \\ \bar{x} &= \frac{\sum x_i}{N} = \frac{540}{9} = 60 \end{aligned}\]
គ.  មេដ្យាន (\(Me\))៖ ដោយចំនួនតួ \(N = 9\) (ចំនួនសេស) មេដ្យានគឺជាតួទី \(\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{9+1}{2} = 5\)៖
\[Me = x_5 = 60\]
សន្និដ្ឋាន៖ ដោយ \(\bar{x} = Me = Mo = 60\) បំណែងចែកពិន្ទុនេះជាបំណែងចែកស៊ីមេទ្រីល្អឥតខ្ចោះ។

២លំហាត់ទី ២

ក្នុងការប្រឡង សិស្សម្នាក់ទទួលបានការវាយតម្លៃរបស់គណៈកម្មការតាមពិន្ទុដូចខាងក្រោម៖

ពិន្ទុ \(85\) \(70\) \(75\) \(80\) \(82\)
ការវាយតម្លៃ \(30\%\) \(20\%\) \(20\%\) \(20\%\) \(10\%\)

ចូររកពិន្ទុមធ្យម ។

មើលដំណោះស្រាយ

ពិន្ទុមធ្យមរបស់សិស្សគណនាតាមមធ្យមនព្វន្ធធៀប (Weighted Mean) តាមទម្ងន់ភាគរយ៖

\[\bar{x} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\]
ជំនួសតម្លៃតាមតារាង៖
\[\begin{aligned} \bar{x} &= 85(0.30) + 70(0.20) + 75(0.20) \\ &\quad{} + 80(0.20) + 82(0.10) \\ &= 25.5 + 14.0 + 15.0 + 16.0 + 8.2 = 78.7 \end{aligned}\]
ដូចនេះ ពិន្ទុមធ្យមវាយតម្លៃរបស់គណៈកម្មការគឺ \(\bar{x} = 78.7\) ពិន្ទុ។

៣លំហាត់ទី ៣

តារាងទិន្នន័យនេះ បង្ហាញពីរយៈពេលដែលសិស្សអង្គុយរៀនដោយខ្លួនឯងក្នុងមួយអាទិត្យ (រយៈពេលគិតជាម៉ោង) ។

រយៈពេល \(0-4\) \(4-8\) \(8-12\) \(12-16\) \(16-20\) \(20-24\)
ចំនួនសិស្ស \(1\) \(2\) \(18\) \(35\) \(11\) \(3\)

  1. រកម៉ូតនិងមធ្យមនៃរយៈពេលដែលសិស្សរៀនដោយខ្លួនឯង ។

  2. រកមេដ្យាន ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 1 + 2 + 18 + 35 + 20 + 4 = 80\) នាក់។

ក.  ផ្ចិតថ្នាក់ \(m_i\) និងផលគុណ \(f_i m_i\)៖

រយៈពេល (ម៉ោង) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) \(f_i m_i\) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([0, 4)\) \(2\) \(1\) \(2\) \(1\)
\([4, 8)\) \(6\) \(2\) \(12\) \(3\)
\([8, 12)\) \(10\) \(18\) \(180\) \(21\)
\([12, 16)\) \(14\) \(35\) \(490\) \(56\)
\([16, 20)\) \(18\) \(20\) \(360\) \(76\)
\([20, 24]\) \(22\) \(4\) \(88\) \(80\)
សរុប — \(N = 80\) \(\sum f_i m_i = 1132\) —

ខ.  គណនាមធ្យម (\(\bar{x}\))៖

\[\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N} = \frac{1132}{80} = 14.15 \text{ ម៉ោង}\]
គ.  គណនាម៉ូត (\(Mo\)) និងមេដ្យាន (\(Me\))៖

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (\(f = 35\)) គឺ \([12, 16)\)។

    \[Mo = L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times h\]
    ដោយ \(L = 12\), \(\Delta_1 = 35 - 18 = 17\), \(\Delta_2 = 35 - 20 = 15\), \(h = 4\)៖
    \[\begin{aligned} Mo &= 12 + \left(\frac{17}{17 + 15}\right) \times 4 \\ &= 12 + \frac{68}{32} = 14.125 \text{ ម៉ោង} \end{aligned}\]

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ តំណែងមេដ្យាន \(\dfrac{N}{2} = \dfrac{80}{2} = 40\) ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([12, 16)\) (ព្រោះ \(F_3 = 21 < 40 \le F_4 = 56\))។

    \[\begin{aligned} Me &= L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right) \times h \\ &= 12 + \left(\frac{40 - 21}{35}\right) \times 4 \approx 14.17 \text{ ម៉ោង} \end{aligned}\]

៤លំហាត់ទី ៤

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់អំពីចំនួនជួលនៅតាមទំហំផ្ទៃក្រឡានៃផ្សារនីមួយៗ ៖

ផ្ទៃក្រឡា (\(\text{m}^2\)) \(400-700\) \(700-1000\) \(1000-1300\) \(1300-1600\) \(1600-1900\)
ចំនួនផ្សារ \(26\) \(28\) \(33\) \(40\) \(20\)

  1. កំណត់រកមធ្យមនៃផ្ទៃក្រឡាផ្សារ ។

  2. កំណត់ម៉ូតនិងមេដ្យាននៃផ្ទៃក្រឡាផ្សារ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 26 + 28 + 33 + 40 + 20 = 147\) ផ្សារ។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 300\text{ m}^2\)។

ក.  កំណត់រកមធ្យមនៃផ្ទៃក្រឡាផ្សារ (\(\bar{x}\))៖ ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(m_1 = 550\), \(m_2 = 850\), \(m_3 = 1150\), \(m_4 = 1450\), \(m_5 = 1750\)។

\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 26(550) + 28(850) + 33(1150) \\ &\quad{} + 40(1450) + 20(1750) \\ &= 14300 + 23800 + 37950 \\ &\quad{} + 58000 + 35000 = 169050\text{ m}^2 \end{aligned}\]
មធ្យមផ្ទៃក្រឡាផ្សារគឺ៖
\[\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N} = \frac{169050}{147} \approx 1150 \text{ m}^2\]
ខ.  កំណត់ម៉ូត (\(Mo\)) និងមេដ្យាន (\(Me\))៖

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([1300, 1600)\) (\(f_4 = 40\) ធំបំផុត)។ \(\Delta_1 = 40 - 33 = 7\), \(\Delta_2 = 40 - 20 = 20\), \(L = 1300\), \(h = 300\)៖

    \[\begin{aligned} Mo &= 1300 + \left(\frac{7}{7 + 20}\right) \times 300 \\ &= 1300 + \frac{2100}{27} \approx 1377.78 \text{ m}^2 \end{aligned}\]

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ តំណែងមេដ្យាន \(\dfrac{N}{2} = \dfrac{147}{2} = 73.5\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(26, 54, 87, 127, 147\)។ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([1000, 1300)\) (ព្រោះ \(54 < 73.5 \le 87\))។

    \[\begin{aligned} Me &= 1000 + \left(\frac{73.5 - 54}{33}\right) \times 300 \\ &= 1000 + \frac{19.5 \times 300}{33} \approx 1177.27 \text{ m}^2 \end{aligned}\]

៥លំហាត់ទី ៥

ចំនួនសត្វចិញ្ចឹមត្រូវបានសិស្ស \(40\) នាក់កត់ត្រា ៖

ចំនួនសត្វចិញ្ចឹម \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\)
ចំនួនសិស្ស \(x\) \(2\) \(y\) \(6\) \(14\)

  1. ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(x + y = 18\) ។

  2. បើមធ្យមទិន្នន័យស្មើ \(6.4\) ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(x + 3y = 30\) ។

  3. កំណត់ \(x\) និង \(y\) តាមទំនាក់ទំនងខាងលើ ។

  4. ដោយប្រើតម្លៃ \(x\) និង \(y\) ចូរកំណត់ម៉ូតនិងមេដ្យាននៃទិន្នន័យខាងលើ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(x + y = 18\)៖ ចំនួនសិស្សសរុបគឺ \(40\) នាក់ នាំឱ្យផលបូកប្រេកង់ស្មើ \(40\)៖

\[\begin{aligned} x + 2 + y + 6 + 14 &= 40 \\ \implies x + y &= 18 \quad{} (1) \end{aligned}\]
ខ.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(x + 3y = 30\)៖ មធ្យមនព្វន្ធ \(\bar{x} = 6.4\)៖
\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{2x + 8 + 6y + 48 + 140}{40} = 6.4 \\ \implies 2x + 6y &= 60 \implies x + 3y = 30 \quad{} (2) \end{aligned}\]
គ.  កំណត់តម្លៃ \(x\) និង \(y\)៖ ដកសមីការ (២) នឹង (១)៖
\[(x + 3y) - (x + y) = 30 - 18 \implies 2y = 12 \implies y = 6\]
ជំនួស \(y = 6\) ចូល (១)៖ \(x + 6 = 18 \implies x = 12\)។

ឃ.  កំណត់ម៉ូត និងមេដ្យាន៖ ជាមួយ \(x = 12, y = 6\) តារាងប្រេកង់គឺ៖ \((2: 12)\), \((4: 2)\), \((6: 6)\), \((8: 6)\), \((10: 14)\)។

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃសត្វចិញ្ចឹមដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (\(f = 14\)) គឺ \(Mo = 10\)។

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ ចំនួនតួ \(N = 40\) (គូ)។ តំណែងមេដ្យានគឺតួទី \(20\) និងទី \(21\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(12, 14, 20, 26, 40\)។ តួទី \(20\) គឺ \(6\) និងតួទី \(21\) គឺ \(8\)។

    \[Me = \frac{6 + 8}{2} = 7\]

៦លំហាត់ទី ៦

ការជ្រើសរើសបុគ្គលិក៖ ក្រុមហ៊ុនមួយកំពុងពិចារណាដំឡើងប្រាក់ខែដល់បុគ្គលិក។ ប្រាក់ខែប្រចាំខែ (គិតជាដុល្លារ) របស់បុគ្គលិក ១០ នាក់ក្នុងផ្នែកលក់គឺ៖ \(300, 320, 350, 350, 400, 420, 450, 500, 600, 2500\)។

  1. ចូរគណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃប្រាក់ខែរបស់បុគ្គលិកទាំងនេះ។

  2. តើរង្វាស់ទីតាំងមួយណា (មធ្យម មេដ្យាន ឬម៉ូត) ដែលតំណាងឲ្យប្រាក់ខែទូទៅរបស់បុគ្គលិកផ្នែកលក់នេះបានល្អជាងគេ? ហេតុអ្វី?

  3. ប្រសិនបើក្រុមហ៊ុនសម្រេចចិត្តដកបុគ្គលិកដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់ជាងគេ ($2500) ចេញពីការគណនា តើមធ្យម និងមេដ្យាននឹងប្រែប្រួលយ៉ាងដូចម្តេច?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត៖ ប្រាក់ខែបុគ្គលិក ១០ នាក់៖ \(300\), \(320\), \(350\), \(350\), \(400\), \(420\), \(450\), \(500\), \(600\), \(2500\)។

  • មធ្យម (\(\bar{x}\))៖

    \[\begin{aligned} \sum x_i &= 300 + 320 + 700 + 400 + 420 \\ &\quad{} + 450 + 500 + 600 + 2500 = 6190\$ \\ \bar{x} &= \frac{6190}{10} = 619\$ \end{aligned}\]

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(N = 10\) តួ (គូ) តម្រៀបកើនស្រាប់។ មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី ៥ និងទី ៦៖

    \[Me = \frac{400 + 420}{2} = 410\$\]

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃ \(350\$\) កើតឡើង ២ ដង (ច្រើនជាងគេ) នាំឱ្យ \(Mo = 350\$\)។

ខ.  រង្វាស់ទីតាំងដែលតំណាងឱ្យទិន្នន័យបានល្អជាងគេ៖ គឺ មេដ្យាន (\(Me = 410\$\)) ពីព្រោះមធ្យម (\(\bar{x} = 619\$\)) ត្រូវបានទាញឡើងខ្ពស់ខ្លាំងដោយសារតែប្រាក់ខែមិនប្រក្រតី (Outlier) របស់បុគ្គលិកម្នាក់ ($2500)។ មធ្យម \(619\$\) ខ្ពស់ជាងប្រាក់ខែរបស់បុគ្គលិកដល់ទៅ ៩ នាក់ក្នុងចំណោម ១០ នាក់ ដែលធ្វើឱ្យវាមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីស្ថានភាពជាក់ស្តែងឡើយ។

គ.  ការប្រែប្រួលក្រោយដកប្រាក់ខែ $2500 ចេញ (នៅសល់ ៩ នាក់)៖

  • មធ្យមថ្មី៖ \(\bar{x}_{\text{new}} = \frac{6190 - 2500}{9} = \frac{3690}{9} = 410\$\) (ថយចុះយ៉ាងច្រើនពី \(619\$\) មក \(410\$\))។

  • មេដ្យានថ្មី៖ តួទី ៥ នៃ ៩ តួគឺ \(Me_{\text{new}} = 400\$\) (ប្រែប្រួលតិចតួចពី \(410\$\) មក \(400\$\))។

៧លំហាត់ទី ៧

ការវាយតម្លៃគុណភាពទឹកដោះគោ៖ រោងចក្រផលិតទឹកដោះគោមួយបានវាស់បរិមាណជាតិខ្លាញ់ (គិតជាក្រាម) ក្នុងមួយដបនៃទឹកដោះគោ ៥០ ដប។ ទិន្នន័យត្រូវបានរៀបចំជាថ្នាក់ដូចខាងក្រោម៖

បរិមាណជាតិខ្លាញ់ (g) \(10-12\) \(12-14\) \(14-16\) \(16-18\) \(18-20\)
ចំនួនដប \(5\) \(15\) \(20\) \(8\) \(2\)

  1. ចូរគណនាបរិមាណជាតិខ្លាញ់មធ្យមក្នុងទឹកដោះគោមួយដប (ប្រើចំណុចកណ្តាលថ្នាក់)។

  2. តើថ្នាក់ណាជាថ្នាក់ម៉ូត? តើវាមានន័យយ៉ាងណាចំពោះការផលិតរបស់រោងចក្រ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាបរិមាណជាតិខ្លាញ់មធ្យម (\(\bar{x}\))៖ ផ្ចិតថ្នាក់នីមួយៗ (\(m_i\))៖ \(11, 13, 15, 17, 19\)។

\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 5(11) + 15(13) + 20(15) + 8(17) + 2(19) \\ &= 55 + 195 + 300 + 136 + 38 = 724\text{ g} \end{aligned}\]
ជាតិខ្លាញ់មធ្យមក្នុងមួយដបគឺ៖
\[\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N} = \frac{724}{50} = 14.48\text{ g}\]
ខ.  កំណត់ថ្នាក់ម៉ូត និងអត្ថន័យ៖ ថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (\(f = 20\)) គឺ ថ្នាក់ \([14, 16)\)។

អត្ថន័យចំពោះការផលិត៖ វាបញ្ជាក់ថាទឹកដោះគោដែលផលិតភាគច្រើនបំផុត (រហូតដល់ \(40\%\) នៃផលិតផលសរុប) មានកម្រិតជាតិខ្លាញ់ស្ថិតក្នុងចន្លោះពី \(14\text{ g}\) ទៅ \(16\text{ g}\) ដែលជាស្តង់ដារគុណភាពចម្បងដែលរោងចក្រត្រូវរក្សាឱ្យមានស្ថិរភាព។

៨លំហាត់ទី ៨

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នេះបង្ហាញពីចំនួនបងប្អូនបង្កើតរបស់សិស្ស ៖

ចំនួនបងប្អូន \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
ប្រេកង់ \(5\) \(10\) \(17\) \(6\) \(2\)

  1. បកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប ។

  2. តើសិស្សមានបងប្អូនបង្កើត \(3\) នាក់មានចំនួនប៉ុន្មាន? ត្រូវនឹងប៉ុន្មានភាគរយ?

  3. តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមានបងប្អូនបង្កើតយ៉ាងតិចម្នាក់? យ៉ាងច្រើន \(2\) នាក់? ត្រូវនឹងប៉ុន្មានភាគរយ?

  4. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន ប្រេកង់ថយ ។

  5. គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 5 + 10 + 17 + 6 + 2 = 40\) នាក់។

ក.  បកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប (ដ្យាក្រាមសសរ)៖ អ័ក្សដេកជាចំនួនបងប្អូន (\(0, 1, 2, 3, 4\)) និងអ័ក្សឈរជាប្រេកង់ ដោយកម្ពស់សសររៀងគ្នាគឺ \(5, 10, 17, 6, 2\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  សិស្សមានបងប្អូន ៣ នាក់៖ មានចំនួន \(6\) នាក់។ គិតជាភាគរយគឺ \(\dfrac{6}{40} \times 100\% = 15\%\)។

គ.  ការវិភាគចំនួនសិស្ស៖

  • យ៉ាងតិចម្នាក់ (\(x \ge 1\))៖ \(40 - 5 = 35\) នាក់ \(\implies \dfrac{35}{40} \times 100\% = 87.5\%\)

  • យ៉ាងច្រើន ២ នាក់ (\(x \le 2\))៖ \(5 + 10 + 17 = 32\) នាក់ \(\implies \dfrac{32}{40} \times 100\% = 80.0\%\)

ឃ.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ពេញលេញ៖

ចំនួនបងប្អូន (\(x_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) ប្រេកង់ធៀប ប្រេកង់កើន (\(F_i\)) ប្រេកង់ថយ (\(F'_i\))
\(0\) \(5\) \(0.125\) \(5\) \(40\)
\(1\) \(10\) \(0.250\) \(15\) \(35\)
\(2\) \(17\) \(0.425\) \(32\) \(25\)
\(3\) \(6\) \(0.150\) \(38\) \(8\)
\(4\) \(2\) \(0.050\) \(40\) \(2\)
សរុប \(N = 40\) \(1.000\) — —

ង.  គណនារង្វាស់ទីតាំង៖

  • មធ្យម៖ \(\bar{x} = \frac{0(5) + 1(10) + 2(17) + 3(6) + 4(2)}{40} = \frac{0 + 10 + 34 + 18 + 8}{40} = \frac{70}{40} = 1.75\) នាក់

  • មេដ្យាន៖ \(N = 40\) (គូ) តួទី \(20\) និង \(21\) សុទ្ធតែជា \(2\) នាំឱ្យ \(Me = 2\) នាក់

  • ម៉ូត៖ \(Mo = 2\) នាក់ (ប្រេកង់ធំបំផុត \(f = 17\))

៩លំហាត់ទី ៩

ទិន្នន័យនេះ ជាប្រេកង់នៃការចំណាយប្រចាំខែរបស់គ្រួសារមួយ ៖

ប្រភេទចំណាយ អគ្គិសនី ទឹក អាហារ ការសិក្សា ការធ្វើដំណើរ ផ្សេងៗ
ភាគរយនៃប្រាក់ចំណាយ \(9\,\%\) \(5\,\%\) \(41\,\%\) \(20\,\%\) \(10\,\%\) \(15\,\%\)

  1. បកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប ។

  2. រករង្វាស់ទីតាំងនៃទិន្នន័យ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  បកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប (ដ្យាក្រាមផ្លិតរង្វង់ Pie Chart)៖ មុំផ្ចិតគណនាតាមរូបមន្ត \(\alpha_i = \) ភាគរយ \( \times 3.6^\circ\)៖

  • អាហារ (\(41\%\))៖ \(\alpha_1 = 41 \times 3.6^\circ = 147.6^\circ\)

  • ការសិក្សា (\(20\%\))៖ \(\alpha_2 = 20 \times 3.6^\circ = 72.0^\circ\)

  • ផ្សេងៗ (\(15\%\))៖ \(\alpha_3 = 15 \times 3.6^\circ = 54.0^\circ\)

  • ការធ្វើដំណើរ (\(10\%\))៖ \(\alpha_4 = 10 \times 3.6^\circ = 36.0^\circ\)

  • អគ្គិសនី (\(9\%\))៖ \(\alpha_5 = 9 \times 3.6^\circ = 32.4^\circ\)

  • ទឹក (\(5\%\))៖ \(\alpha_6 = 5 \times 3.6^\circ = 18.0^\circ\)

ផលបូកមុំផ្ចិត៖ \(147.6^\circ + 72^\circ + 54^\circ + 36^\circ + 32.4^\circ + 18^\circ = 360^\circ\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ.  រករង្វាស់ទីតាំងនៃទិន្នន័យ៖ ដោយសារតែប្រភេទចំណាយជា ទិន្នន័យគុណភាព (Categorical data) គេមិនអាចគណនាមធ្យម ឬមេដ្យានបានឡើយ។ រង្វាស់ទីតាំងតែមួយគត់ដែលអាចប្រើបានគឺ ម៉ូត (Mode)៖

\[Mo = \text{ចំណាយលើអាហារ}\]
(ព្រោះមានចំណែកធំបំផុតរហូតដល់ \(41\%\))

១០លំហាត់ទី ១០

ទិន្នន័យនេះជារយៈពេលដែលទារកទាំងឡាយបានពោរពោះម្តាយ (គិតជាខែ) ៖

\(3\) \(5\) \(5\) \(3\) \(7\) \(13\) \(0\) \(0\) \(2\) \(4\) \(4\) \(6\) \(6\) \(7\) \(7\) \(9\) \(3\)
\(8\) \(8\) \(10\) \(12\) \(12\) \(15\) \(7\) \(1\) \(4\) \(9\) \(5\) \(7\) \(7\) \(17\) \(15\) \(11\) \(12\)
\(3\) \(4\) \(5\) \(8\) \(8\) \(7\) \(6\) \(4\) \(4\) \(1\) \(17\) \(15\) \(10\) \(6\) \(4\) \(10\)

  1. ប្រមូលផ្ដុំទិន្នន័យជាថ្នាក់ \(6\) ថ្នាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ រួចបកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប ។

  2. សង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់កើន និងពហុកោណប្រេកង់កើន ។

  3. គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃរយៈពេល ។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យមានចំនួនសរុប \(N = 50\) តម្លៃ។

ក.  តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ៦ ថ្នាក់ (\(h = 3\))៖

ថ្នាក់ (ខែ) ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) \(f_i m_i\) ភាគរយ (%) ប្រេកង់កើន (\(F_i\))
\([0, 3)\) \(1.5\) \(5\) \(7.5\) \(10\%\) \(5\)
\([3, 6)\) \(4.5\) \(15\) \(67.5\) \(30\%\) \(20\)
\([6, 9)\) \(7.5\) \(15\) \(112.5\) \(30\%\) \(35\)
\([9, 12)\) \(10.5\) \(6\) \(63.0\) \(12\%\) \(41\)
\([12, 15)\) \(13.5\) \(4\) \(54.0\) \(8\%\) \(45\)
\([15, 18]\) \(16.5\) \(5\) \(82.5\) \(10\%\) \(50\)
សរុប — \(N = 50\) \(\sum = 387.0\) \(100\%\) —

ខ.  សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)៖ ភ្ជាប់ចំណុច \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((6, 20)\), \((9, 35)\), \((12, 41)\), \((15, 45)\), \((18, 50)\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គ.  គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត៖

  • មធ្យម៖ \(\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N} = \frac{387}{50} = 7.74\) ខែ

  • មេដ្យាន៖ \(\frac{N}{2} = 25\) ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([6, 9)\) (ព្រោះ \(20 < 25 \le 35\))៖

    \[\begin{aligned} Me &= 6 + \left(\frac{25 - 20}{15}\right) \times 3 \\ &= 6 + \frac{15}{15} = 7.00 \text{ ខែ} \end{aligned}\]

  • ម៉ូត៖ មានថ្នាក់ម៉ូតពីរគឺ \([3, 6)\) និង \([6, 9)\) ដែលមានប្រេកង់ស្មើគ្នា \(f = 15\) (បំណែងចែកទ្វេម៉ូត Bimodal)។

១១លំហាត់ទី ១១

គេដឹងថា មធ្យមនៃទិន្នន័យមួយស្មើនឹង \(40\) និងមេដ្យានស្មើនឹង \(39\) ។ បើគេបន្ថែម \(5\) ទៅលើតម្លៃអថេរនីមួយៗ តើមធ្យម និងមេដ្យានស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរនៃទិន្នន័យស្ថិតិ ប្រសិនបើគេបូកបន្ថែមចំនួនថេរ \(c\) ទៅលើគ្រប់តម្លៃទិន្នន័យទាំងអស់ (\(y_i = x_i + c\))៖

  • មធ្យមថ្មី៖ \(\bar{y} = \bar{x} + c\)

  • មេដ្យានថ្មី៖ \(Me_y = Me_x + c\)

ដោយ \(\bar{x} = 40\), \(Me = 39\) ហើយគេបន្ថែម \(c = 3\) ទៅគ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់៖

\[\begin{aligned} \bar{x}_{\text{new}} &= 40 + 3 = 43 \\ Me_{\text{new}} &= 39 + 3 = 42 \end{aligned}\]
ដូចនេះ មធ្យមថ្មីគឺ \(43\) និងមេដ្យានថ្មីគឺ \(42\)។

១២លំហាត់ទី ១២

ក្រាបនេះជាពហុកោណប្រេកង់កើន បង្ហាញពីពិន្ទុគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស \(50\) នាក់ ៖

  1. គណនាមធ្យមនៃពិន្ទុគណិតវិទ្យា

  2. រកមេដ្យាននៃពិន្ទុគណិតវិទ្យា ។

ពហុកោណប្រេកង់កើននៃពិន្ទុគណិតវិទ្យា

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

តាមក្រាបពហុកោណប្រេកង់កើននៃពិន្ទុសិស្ស \(50\) នាក់៖

ក.  កំណត់តំណែងមេដ្យាន៖ មេដ្យានស្ថិតនៅចំណុចកណ្តាលនៃប្រេកង់សរុប៖

\[\text{តំណែង } Me = \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ នាក់}\]
ខ.  អានតម្លៃមេដ្យានតាមរយៈក្រាប៖ នៅលើអ័ក្សឈរ (ប្រេកង់កើន) ត្រង់កម្ពស់ \(y = 2.5\) (តំណាងឱ្យ ២៥ នាក់) គូសបន្ទាត់ដេកទៅកាត់ក្រាប Ogive រួចទម្លាក់បន្ទាត់ឈរមកអ័ក្សដេក (ពិន្ទុ)។ ចំណុចកាត់ស្ថិតនៅលើអង្កត់តភ្ជាប់ពី \((4.0, 20)\) ទៅ \((5.0, 28)\)។

តាមវិធីបន្ទាត់កាត់៖

\[\begin{aligned} Me &= 4.0 + \frac{25 - 20}{28 - 20} \times (5.0 - 4.0) \\ &= 4.0 + \frac{5}{8} \times 1.0 = 4.0 + 0.625 = 4.625 \end{aligned}\]
ដូចនេះ មេដ្យាននៃពិន្ទុគឺប្រហែល \(4.6\) ពិន្ទុ។

១៣លំហាត់ទី ១៣

តារាងទិន្នន័យនេះ ជាប្រាក់បៀវត្សរបស់កម្មករនិងអ្នកជំនាញក្នុងរោងចក្រមួយ (គិតជាម៉ឺនរៀល)

កម្មករ
ប្រាក់បៀវត្ស ចំនួនកម្មករ
24 - 28 56
28 - 32 38
32 - 36 6
អ្នកជំនាញ
ប្រាក់បៀវត្ស ចំនួនអ្នកជំនាញ
36 - 42 62
42 - 48 37
48 - 54 1

  1. គណនាមធ្យមនៃបៀវត្សរបស់កម្មករ និងមធ្យមបៀវត្សរបស់អ្នកជំនាញ ។

  2. គណនាមធ្យមបៀវត្សរបស់បុគ្គលិកក្នុងរោងចក្រ បើគេដឹងថាក្នុងរោងចក្រនេះមានកម្មករ 80 % និងអ្នកជំនាញ 20 % ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាមធ្យមបៀវត្សរបស់កម្មករ និងអ្នកជំនាញ៖

  • កម្មករ (\(N_w = 56 + 38 + 6 = 100\) នាក់)៖ ផ្ចិតថ្នាក់គឺ \(26, 30, 34\) (ម៉ឺនរៀល)។

    \[\begin{aligned} \bar{x}_w &= \frac{56(26) + 38(30) + 6(34)}{100} \\ &= \frac{1456 + 1140 + 204}{100} = \frac{2800}{100} = 28 \text{ ម៉ឺនរៀល} \end{aligned}\]

  • អ្នកជំនាញ (\(N_s = 62 + 37 + 1 = 100\) នាក់)៖ ផ្ចិតថ្នាក់គឺ \(39, 45, 51\) (ម៉ឺនរៀល)។

    \[\begin{aligned} \bar{x}_s &= \frac{62(39) + 37(45) + 1(51)}{100} \\ &= \frac{2418 + 1665 + 51}{100} = \frac{4134}{100} = 41.34 \text{ ម៉ឺនរៀល} \end{aligned}\]

ខ.  គណនាមធ្យមបៀវត្សរួមរបស់បុគ្គលិកទាំងអស់ក្នុងរោងចក្រ៖ ដោយរោងចក្រមានកម្មករ \(80\%\) និងអ្នកជំនាញ \(20\%\) មធ្យមរួមគឺ៖

\[\begin{aligned} \bar{x} &= 0.80 \times \bar{x}_w + 0.20 \times \bar{x}_s \\ &= 0.80(28) + 0.20(41.34) \\ &= 22.4 + 8.268 = 30.668 \text{ ម៉ឺនរៀល} \end{aligned}\]
(ស្មើនឹង \(306,680\) រៀល)។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ពិន្ទុសំណួរត្រួតពិនិត្យរបស់សុភទាំង 8 លើកមានមធ្យមភាគ 12.5 (ពិន្ទុ 20 លើ 20) ។ បើធ្វើសំណួរថែមមួយលើកទៀត តើសុភសង្ឃឹមថាពិន្ទុបានមធ្យមនៃពិន្ទុច្រើនបំផុតប៉ុន្មាន ?

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកពិន្ទុនៃសំណួរត្រួតពិនិត្យទាំង ៨ លើកដំបូងគឺ៖

\[S_8 = 8 \times 12.5 = 100 \text{ ពិន្ទុ}\]
ដើម្បីឱ្យពិន្ទុមធ្យមនៃ ៩ លើកមានតម្លៃច្រើនបំផុត ពិន្ទុលើកទី ៩ ត្រូវតែទទួលបានពិន្ទុអតិបរមាគឺ \(20\) លើ \(20\)។

ផលបូកពិន្ទុច្រើនបំផុតនៃ ៩ លើកគឺ៖

\[S_9 = 100 + 20 = 120 \text{ ពិន្ទុ}\]
ពិន្ទុមធ្យមច្រើនបំផុតដែលសុភអាចសង្ឃឹមទទួលបានគឺ៖
\[\bar{x}_{\max} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ ពិន្ទុ}\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

តើគេបានធ្វើសំណួរត្រួតពិនិត្យចំនួនប៉ុន្មានដងរួចមកហើយ ? បើគេដឹងថាឥឡូវនេះ មធ្យមនៃពិន្ទុគឺ 13 ហើយបើសិនជាលើកសំណួរមួយដងទៀតបានពិន្ទុ 18 នោះគេបានមធ្យមនៃពិន្ទុ 14 ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង \(n\) ជាចំនួនដងដែលបានធ្វើសំណួរត្រួតពិនិត្យកន្លងមក។

ផលបូកពិន្ទុនៃ \(n\) ដងនោះគឺ៖

\[S_n = 13 \times n = 13n\]
បើសិនធ្វើថែម ១ ដងទៀតបានពិន្ទុ \(18\) នោះចំនួនដងសរុបគឺ \(n+1\) ហើយផលបូកពិន្ទុថ្មីគឺ \(13n + 18\)។

តាមបម្រាប់ មធ្យមថ្មីស្មើនឹង \(14\)៖

\[\frac{13n + 18}{n + 1} = 14\]
\[\begin{aligned} 13n + 18 &= 14(n + 1) \\ \implies 14n - 13n &= 18 - 14 \implies n = 4 \end{aligned}\]
ដូចនេះ គេបានធ្វើសំណួរត្រួតពិនិត្យចំនួន \(4\) ដងរួចមកហើយ។

១៦លំហាត់ទី ១៦

សិស្សម្នាក់ប្រឡងបានពិន្ទុ \(65, 70, 78, 82\) ក្នុងតេស្ត ៤ លើកដំបូង។

  1. គណនាពិន្ទុមធ្យមនៃតេស្តទាំង ៤ លើកដំបូង។

  2. តើលើកទី ៥ គាត់ត្រូវទទួលបានពិន្ទុប៉ុន្មាន ដើម្បីឱ្យពិន្ទុមធ្យមនៃតេស្តទាំង ៥ លើកស្មើនឹង \(75\)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ពិន្ទុមធ្យមនៃតេស្ត ៤ លើកដំបូង៖

\[\bar{x}_4 = \frac{65 + 70 + 78 + 82}{4} = \frac{295}{4} = 73.75 \text{ ពិន្ទុ}\]
ខ.  ពិន្ទុដែលត្រូវទទួលបានក្នុងលើកទី ៥ (\(x_5\))៖ ដើម្បីឱ្យមធ្យមនៃតេស្តទាំង ៥ លើកស្មើនឹង \(75\)៖
\[\frac{295 + x_5}{5} = 75\]
\[295 + x_5 = 5 \times 75 = 375\]
\[x_5 = 375 - 295 = 80 \text{ ពិន្ទុ}\]
ដូចនេះ ក្នុងលើកទី ៥ គាត់ត្រូវទទួលបានយ៉ាងតិច \(80\) ពិន្ទុ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សប្រុស \(20\) នាក់ដែលមានពិន្ទុមធ្យម \(68\) និងសិស្សស្រី \(15\) នាក់ដែលមានពិន្ទុមធ្យម \(75\)។

  1. គណនាផលបូកពិន្ទុសរុបរបស់សិស្សប្រុស និងសិស្សស្រី។

  2. គណនាពិន្ទុមធ្យមរួមនៃសិស្សទាំងអស់ក្នុងថ្នាក់នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ផលបូកពិន្ទុសរុបរបស់សិស្សប្រុស និងសិស្សស្រី៖

  • ផលបូកពិន្ទុសិស្សប្រុស (២០ នាក់ មធ្យម ៦៨)៖ \(\sum x_b = 20 \times 68 = 1360\) ពិន្ទុ

  • ផលបូកពិន្ទុសិស្សស្រី (១៥ នាក់ មធ្យម ៧៥)៖ \(\sum x_g = 15 \times 75 = 1125\) ពិន្ទុ

ខ.  ពិន្ទុមធ្យមរួមនៃសិស្សទាំងអស់ក្នុងថ្នាក់ (\(N = 20 + 15 = 35\) នាក់)៖

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum x_b + \sum x_g}{N_b + N_g} \\ &= \frac{1360 + 1125}{20 + 15} = \frac{2485}{35} = 71 \text{ ពិន្ទុ} \end{aligned}\]

១៨លំហាត់ទី ១៨

គេមានទិន្នន័យ៖ \(2, 5, x, 11, 14\) ដែលត្រូវបានតម្រៀបតាមលំដាប់កើន។

  1. បើដឹងថាមេដ្យានស្មើនឹង \(8\) ចូររកតម្លៃនៃ \(x\)។

  2. គណនាមធ្យមនព្វន្ធនៃសំណុំទិន្នន័យនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រកតម្លៃនៃ \(x\)៖ សំណុំទិន្នន័យមាន \(5\) តួ (ចំនួនសេស) តម្រៀបកើនស្រាប់៖ \(2, 5, x, 11, 14\)។

មេដ្យានគឺជាតួទី ៣ គឺ \(Me = x\)។

ដោយមេដ្យានស្មើនឹង \(8\) នាំឱ្យ៖

\[x = 8\]
(ផ្ទៀងផ្ទាត់លំដាប់កើន៖ \(2 < 5 < 8 < 11 < 14\) ពិត)។

ខ.  គណនាមធ្យមនព្វន្ធ (\(\bar{x}\))៖

\[\bar{x} = \frac{2 + 5 + 8 + 11 + 14}{5} = \frac{40}{5} = 8\]

១៩លំហាត់ទី ១៩

គេមានទិន្នន័យបំណែងចែកប្រេកង់នៃចំនួនគ្រាប់បាល់ដែលកីឡាករទាត់បញ្ចូលទី៖

ចំនួនគ្រាប់ (\(x_i\)) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
ប្រេកង់ (\(f_i\)) \(3\) \(8\) \(6\) \(3\)

  1. គណនាមធ្យមនព្វន្ធ \(\bar{x}\)។

  2. រកមេដ្យាន \(Me\) និងម៉ូត \(Mo\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 3 + 8 + 6 + 3 = 20\)។

ក.  គណនាមធ្យមនព្វន្ធ (\(\bar{x}\))៖

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{1(3) + 2(8) + 3(6) + 4(3)}{20} \\ &= \frac{3 + 16 + 18 + 12}{20} = \frac{49}{20} = 2.45 \text{ គ្រាប់} \end{aligned}\]
ខ.  រកមេដ្យាន (\(Me\)) និងម៉ូត (\(Mo\))៖

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(N = 20\) (គូ) តំណែងមេដ្យានជាតួទី \(10\) និងទី \(11\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(3, 11, 17, 20\)។ តួទី \(10\) គឺ \(2\) និងតួទី \(11\) គឺ \(2\) នាំឱ្យ \(Me = 2\) គ្រាប់។

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (\(f = 8\)) គឺ \(Mo = 2\) គ្រាប់។

២០លំហាត់ទី ២០

រកមេដ្យាននៃសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោម៖

  1. \(15, 22, 18, 30, 25, 12, 35, 28\)

  2. \(7, 13, 9, 21, 15, 18, 11\)

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សំណុំទិន្នន័យ៖ \(15\), \(22\), \(18\), \(30\), \(25\), \(12\), \(35\), \(28\) (\(N = 8\) តួ)។

  • តម្រៀបតាមលំដាប់កើន៖ \(12\), \(15\), \(18\), \(22\), \(25\), \(28\), \(30\), \(35\)

  • ដោយ \(N = 8\) (គូ) មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី ៤ និងទី ៥៖

    \[Me = \frac{22 + 25}{2} = \frac{47}{2} = 23.5\]

ខ.  សំណុំទិន្នន័យ៖ \(7, 13, 9, 21, 15, 18, 11\) (\(N = 7\) តួ)។

  • តម្រៀបតាមលំដាប់កើន៖ \(7, 9, 11, 13, 15, 18, 21\)

  • ដោយ \(N = 7\) (សេស) មេដ្យានជាតួទី \(\dfrac{7+1}{2} = 4\)៖

    \[Me = 13\]

២១លំហាត់ទី ២១

ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ខាងក្រោម៖

ថ្នាក់ \([10, 20)\) \([20, 30)\) \([30, 40)\) \([40, 50)\) \([50, 60)\)
ប្រេកង់ (\(f_i\)) \(4\) \(10\) \(16\) \(12\) \(8\)

គណនាមធ្យមនព្វន្ធ \(\bar{x}\) ដោយប្រើផ្ចិតថ្នាក់ \(m_i\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផ្ចិតថ្នាក់ \(m_i = \dfrac{L_i + U_i}{2}\) និងផលគុណ \(f_i m_i\)៖

ថ្នាក់ ផ្ចិត (\(m_i\)) ប្រេកង់ (\(f_i\)) \(f_i m_i\)
\([10, 20)\) \(15\) \(4\) \(60\)
\([20, 30)\) \(25\) \(10\) \(250\)
\([30, 40)\) \(35\) \(16\) \(560\)
\([40, 50)\) \(45\) \(12\) \(540\)
\([50, 60)\) \(55\) \(8\) \(440\)
សរុប — \(N = 50\) \(\sum f_i m_i = 1850\)

មធ្យមនព្វន្ធគឺ៖

\[\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N} = \frac{1850}{50} = 37\]

២២លំហាត់ទី ២២

ផ្អែកលើតារាងទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 21៖

  1. កំណត់ថ្នាក់មេដ្យាន។

  2. គណនាមេដ្យានតាមរូបមន្ត \(Me = L + \left(\dfrac{\frac{N}{2} - F_{prev}}{f_m}\right) \times c\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្អែកលើតារាងទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 21 (\(N = 50\), ប្រវែងថ្នាក់ \(c = 10\))៖

ក.  កំណត់ថ្នាក់មេដ្យាន៖ ប្រេកង់កើនតាមថ្នាក់នីមួយៗគឺ៖ \(4, 14, 30, 42, 50\)។

តំណែងមេដ្យានគឺ \(\dfrac{N}{2} = \dfrac{50}{2} = 25\)។

ដោយ \(F_2 = 14 < 25 \le F_3 = 30\) នាំឱ្យ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([30, 40)\)។

ខ.  គណនាមេដ្យានតាមរូបមន្ត៖

\[Me = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{prev}}{f_m}\right) \times c\]
ដោយ \(L = 30\), \(\frac{N}{2} = 25\), \(F_{prev} = 14\), \(f_m = 16\), \(c = 10\)៖
\[\begin{aligned} Me &= 30 + \left(\frac{25 - 14}{16}\right) \times 10 \\ &= 30 + \frac{110}{16} = 30 + 6.875 = 36.875 \end{aligned}\]

២៣លំហាត់ទី ២៣

ផ្អែកលើតារាងទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 21៖

  1. កំណត់ថ្នាក់ម៉ូត។

  2. គណនាម៉ូតតាមរូបមន្ត \(Mo = L + \left(\dfrac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times c\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្អែកលើតារាងទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 21 (\(c = 10\))៖

ក.  កំណត់ថ្នាក់ម៉ូត៖ ថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេគឺ \(f_3 = 16\) នាំឱ្យ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([30, 40)\)។

ខ.  គណនាម៉ូតតាមរូបមន្ត៖

\[Mo = L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times c\]
ដោយ៖

  • \(L = 30\) (ព្រំដែនក្រោមនៃថ្នាក់ម៉ូត)

  • \(\Delta_1 = f_m - f_{m-1} = 16 - 10 = 6\)

  • \(\Delta_2 = f_m - f_{m+1} = 16 - 12 = 4\)

  • \(c = 10\) (ប្រវែងថ្នាក់)

ជំនួសតម្លៃ៖

\[\begin{aligned} Mo &= 30 + \left(\frac{6}{6 + 4}\right) \times 10 \\ &= 30 + \frac{60}{10} = 30 + 6 = 36 \end{aligned}\]

២៤លំហាត់ទី ២៤

ចូរប្រៀបធៀបតម្លៃ មធ្យម មេដ្យាន និង ម៉ូត ដែលរកឃើញក្នុងលំហាត់ 21, 22, 23 រួចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីទ្រង់ទ្រាយនៃបំណែងចែក (ស៊ីមេទ្រី ងាកឆ្វេង ឬងាកស្តាំ)។

មើលដំណោះស្រាយ

ការប្រៀបធៀបតម្លៃរង្វាស់ទីតាំងទាំងបីនៃលំហាត់ 21, 22, 23៖

\[Mo = 36 < Me = 36.875 < \bar{x} = 37\]
ការសន្និដ្ឋានអំពីទ្រង់ទ្រាយនៃបំណែងចែក៖

  1. ដោយសារ \(Mo < Me < \bar{x}\) បំណែងចែកនេះមានទំនោរ ងាកស្តាំបន្តិច (Positively Skewed / Skewed to the right)។

  2. ទោះជាយ៉ាងណា ដោយសារតែតម្លៃទាំងបីនៅកៀកគ្នាខ្លាំង (\(36 \approx 36.9 \approx 37\)) គម្លាតរវាងមធ្យម និងមេដ្យានមានត្រឹមតែ \(0.125\) ប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះបំណែងចែកនេះអាចចាត់ទុកថា ជិតស៊ីមេទ្រីខ្លាំង (Approximately Symmetric / Bell-shaped)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

បង្ហាញថា ចំពោះសំណុំទិន្នន័យ \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ណាដែលមានមធ្យម \(\bar{x}\) ផលបូកនៃគម្លាតទាំងអស់ធៀបនឹងមធ្យមតែងតែស្មើនឹងសូន្យ គឺ \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យនៃមធ្យមនព្វន្ធ៖

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \implies \sum_{i=1}^n x_i = n\bar{x}\]
យើងគណនាផលបូកនៃគម្លាតធៀបនឹងមធ្យម៖
\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) &= (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \dots + (x_n - \bar{x}) \\ &= (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - \underbrace{(\bar{x} + \bar{x} + \dots + \bar{x})}_{n \text{ ដង}} \\ &= \sum_{i=1}^n x_i - n\bar{x} \\ &= n\bar{x} - n\bar{x} = 0 \end{aligned}\]
ដូចនេះ ផលបូកនៃគម្លាតទាំងអស់ធៀបនឹងមធ្យមតែងតែស្មើនឹងសូន្យជានិច្ច ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេមានទិន្នន័យ \(10\) ចំនួន ដែលមានមធ្យម \(\bar{x} = 42\)។ ក្រោយមក គេពិនិត្យឃើញថាមានចំនួនមួយត្រូវបានកត់ត្រាខុស គឺលេខ \(35\) ត្រូវបានកត់ជា \(53\)។

  1. រកផលបូកពិន្ទុដើមដែលមិនទាន់កែតម្រូវ។

  2. គណនាមធ្យមត្រឹមត្រូវក្រោយការកែតម្រូវ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រកផលបូកពិន្ទុដើមដែលមិនទាន់កែតម្រូវ៖ ទិន្នន័យមាន \(n = 10\) ចំនួន និងមធ្យមដើម \(\bar{x} = 42\)៖

\[\sum x_{\text{old}} = n \times \bar{x} = 10 \times 42 = 420\]
ខ.  គណនាមធ្យមត្រឹមត្រូវក្រោយការកែតម្រូវ៖ ដោយលេខ \(35\) ត្រូវបានកត់ត្រាច្រឡំជា \(53\) នាំឱ្យផលបូកត្រឹមត្រូវគឺ៖
\[\sum x_{\text{correct}} = \sum x_{\text{old}} - 53 + 35 = 420 - 18 = 402\]
មធ្យមត្រឹមត្រូវគឺ៖
\[\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{\sum x_{\text{correct}}}{n} = \frac{402}{10} = 40.2\]

២៧លំហាត់ទី ២៧

តើសំណុំទិន្នន័យខាងក្រោមនីមួយៗមានម៉ូតដែរឬទេ? បើមាន ចូររកម៉ូតនោះ៖

ក.  \(4, 7, 9, 12, 15, 18\) ខ.  \(3, 5, 5, 8, 8, 11\)
គ.  \(2, 2, 2, 6, 6, 6\) ឃ.  \(1, 3, 4, 4, 4, 7, 9\)
មើលដំណោះស្រាយ

ក.  \(4, 7, 9, 12, 15, 18\)៖ គ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់កើតឡើងតែម្តងស្មើៗគ្នា នាំឱ្យ គ្មានម៉ូត (No Mode)។

ខ.  \(3, 5, 5, 8, 8, 11\)៖ តម្លៃ \(5\) និង \(8\) កើតឡើង ២ ដងស្មើគ្នា (ច្រើនជាងគេ) នាំឱ្យមាន ម៉ូតពីរ (Bimodal) គឺ \(Mo_1 = 5\) និង \(Mo_2 = 8\)។

គ.  \(2, 2, 2, 6, 6, 6\)៖ ទិន្នន័យទាំងពីរតម្លៃកើតឡើង ៣ ដងស្មើគ្នា គ្មានតម្លៃណាលើសគេ នាំឱ្យ គ្មានម៉ូត (No Mode)។

ឃ.  \(1, 3, 4, 4, 4, 7, 9\)៖ តម្លៃ \(4\) កើតឡើង ៣ ដង (ច្រើនជាងគេ) នាំឱ្យមាន ម៉ូតតែមួយគត់ (Unimodal) គឺ \(Mo = 4\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

ក្នុងការស្ទង់មតិប្រាក់ចំណូលប្រចាំខែរបស់កម្មករ ៥ នាក់ និងប្រធានគ្រប់គ្រងម្នាក់ក្នុងសហគ្រាសមួយ៖ កម្មកររកបានរៀងគ្នា \(250\$, 260\$, 240\$, 270\$, 250\$\) ចំណែកប្រធានគ្រប់គ្រងរកបាន \(3000\$\)។

  1. គណនាមធ្យមនព្វន្ធ និងមេដ្យាននៃប្រាក់ចំណូលរបស់បុគ្គលិកទាំង ៦ នាក់។

  2. តើរវាងមធ្យម និងមេដ្យាន រង្វាស់ទីតាំងណាដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីប្រាក់ចំណូលជាក់ស្តែងរបស់បុគ្គលិកភាគច្រើនបានប្រសើរជាង? ហេតុអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  គណនាមធ្យមនព្វន្ធ និងមេដ្យាននៃបុគ្គលិកទាំង ៦ នាក់៖ ប្រាក់ចំណូល៖ \(240, 250, 250, 260, 270, 3000\) ($)។

  • មធ្យម (\(\bar{x}\))៖

    \[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{240 + 250 + 250 + 260 + 270 + 3000}{6} \\ &= \frac{4270}{6} \approx 711.67\$ \end{aligned}\]

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(N = 6\) តួ (គូ) តម្រៀបកើនស្រាប់។ មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី ៣ និងទី ៤៖

    \[Me = \frac{250 + 260}{2} = 255\$\]

ខ.  ការប្រៀបធៀប និងហេតុផល៖ មេដ្យាន (\(Me = 255\$\)) ឆ្លុះបញ្ចាំងពីប្រាក់ចំណូលជាក់ស្តែងរបស់បុគ្គលិកភាគច្រើនបានប្រសើរជាងមធ្យមឆ្ងាយណាស់ ពីព្រោះប្រាក់ចំណូល \(3000\$\) របស់ប្រធានគ្រប់គ្រងជាតម្លៃរង្វៀងធំខ្លាំង (Outlier) ដែលទាញមធ្យមឱ្យឡើងដល់ជាង \(711\$\) ទាំងដែលកម្មករ ៥ នាក់រកបានត្រឹមតែ \(240\$\) ទៅ \(270\$\) ប៉ុណ្ណោះ។

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេមានតារាងប្រេកង់ដែលបាត់តម្លៃប្រេកង់ \(f_1\) និង \(f_2\)៖

ថ្នាក់ \([0, 10)\) \([10, 20)\) \([20, 30)\) \([30, 40)\) \([40, 50)\)
ប្រេកង់ \(2\) \(f_1\) \(12\) \(f_2\) \(4\)

បើដឹងថាប្រេកង់សរុបគឺ \(N = 30\) និងមធ្យមនព្វន្ធគឺ \(\bar{x} = 26\) ចូររកតម្លៃនៃ \(f_1\) និង \(f_2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 30\)៖

\[2 + f_1 + 12 + f_2 + 4 = 30 \implies f_1 + f_2 = 12 \quad{} (1)\]
ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(5, 15, 25, 35, 45\)។ ផលបូក \(f_i m_i\) គឺ៖
\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 2(5) + 15f_1 + 12(25) + 35f_2 + 4(45) \\ &= 15f_1 + 35f_2 + 490 \end{aligned}\]
ដោយមធ្យម \(\bar{x} = 26 \implies \sum f_i m_i = 30 \times 26 = 780\)៖
\[15f_1 + 35f_2 + 490 = 780 \implies 15f_1 + 35f_2 = 290\]
សម្រួលនឹង \(5\)៖
\[3f_1 + 7f_2 = 58 \quad{} (2)\]
គុណសមីការ (១) នឹង \(3\)៖ \(3f_1 + 3f_2 = 36\)។ ដកសមីការទាំងពីរ៖
\[4f_2 = 22 \implies f_2 = 5.5 \implies f_1 = 12 - 5.5 = 6.5\]
ចំណាំគរុកោសល្យ៖ តាមទ្រឹស្តីពីជគណិត \(f_1 = 6.5, f_2 = 5.5\)។ ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងដែលប្រេកង់ត្រូវជាចំនួនគត់ គេជ្រើសយកតម្លៃគត់ដែលជិតបំផុតគឺ \(f_1 = 6\) និង \(f_2 = 6\) (ដែលផ្តល់មធ្យម \(\bar{x} = \frac{790}{30} \approx 26.33\))។

៣០លំហាត់ទី ៣០

តាមលទ្ធផលដែលរកឃើញក្នុងលំហាត់ទី 29 ចូរគណនាមេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្អែកលើតារាងជាមួយ \(f_1 = 6, f_2 = 6\) (\(N = 30\), \(h = 10\))៖ ប្រេកង់រៀងគ្នា៖ \(2, 6, 12, 6, 4\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(2, 8, 20, 26, 30\)។

ក.  គណនាមេដ្យាន (\(Me\))៖ តំណែងមេដ្យាន \(\dfrac{N}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\) ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([20, 30)\) (ព្រោះ \(8 < 15 \le 20\))៖

\[\begin{aligned} Me &= L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right) \times h \\ &= 20 + \left(\frac{15 - 8}{12}\right) \times 10 = 20 + \frac{70}{12} \approx 25.83 \end{aligned}\]
ខ.  គណនាម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([20, 30)\) (\(f_3 = 12\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 12 - 6 = 6\), \(\Delta_2 = 12 - 6 = 6\)៖
\[\begin{aligned} Mo &= L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times h \\ &= 20 + \left(\frac{6}{6 + 6}\right) \times 10 = 20 + 5 = 25 \end{aligned}\]

៣១លំហាត់ទី ៣១

កំណត់មេដ្យាននៃសំណុំទិន្នន័យដែលតាងដោយដ្យាក្រាមដើម-ស្លឹកខាងក្រោម៖

ដើម ស្លឹក
\(1\) \(2, 5, 8\)
\(2\) \(0, 3, 4, 7, 9\)
\(3\) \(1, 5, 6\)

(កំណត់សម្គាល់៖ \(1 | 2\) តំណាងឱ្យ \(12\))។

មើលដំណោះស្រាយ

ដ្យាក្រាមដើម-ស្លឹកតំណាងឱ្យទិន្នន័យចំនួន \(N = 3 + 5 + 3 = 11\) តួ៖

\[12, 15, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 31, 35, 36\]
ដោយសារទិន្នន័យត្រូវបានតម្រៀបតាមលំដាប់កើនស្រាប់ និង \(N = 11\) (ចំនួនសេស) មេដ្យានគឺជាតួទី \(\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{11+1}{2} = 6\)៖
\[Me = x_6 = 24\]
ដូចនេះ មេដ្យាននៃសំណុំទិន្នន័យគឺ \(24\)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

រោងចក្រកាត់ដេរមួយមានបុគ្គលិក ៣ ផ្នែក៖

  • ផ្នែកផលិតមាន \(50\) នាក់ ប្រាក់ខែមធ្យម \(300\$\)

  • ផ្នែកបច្ចេកទេសមាន \(20\) នាក់ ប្រាក់ខែមធ្យម \(500\$\)

  • ផ្នែកគ្រប់គ្រងមាន \(10\) នាក់ ប្រាក់ខែមធ្យម \(800\$\)

ចូរគណនាប្រាក់ខែមធ្យមរួមនៃបុគ្គលិកទាំងអស់ក្នុងរោងចក្រនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនបុគ្គលិកសរុបក្នុងរោងចក្រ៖

\[N = N_1 + N_2 + N_3 = 50 + 20 + 10 = 80 \text{ នាក់}\]
ប្រាក់ខែមធ្យមរួមគណនាតាមមធ្យមនព្វន្ធធៀប៖
\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{N_1 \bar{x}_1 + N_2 \bar{x}_2 + N_3 \bar{x}_3}{N_1 + N_2 + N_3} \\ &= \frac{50(300) + 20(500) + 10(800)}{80} \\ &= \frac{15000 + 10000 + 8000}{80} = \frac{33000}{80} = 412.50\$ \end{aligned}\]
ដូចនេះ ប្រាក់ខែមធ្យមរួមនៃបុគ្គលិកទាំងអស់គឺ \(412.50\$\)។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេមានទិន្នន័យពិន្ទុសិស្សក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់៖

ពិន្ទុ \([50, 60)\) \([60, 70)\) \([70, 80)\) \([80, 90)\) \([90, 100)\)
ចំនួនសិស្ស \(5\) \(15\) \(20\) \(8\) \(2\)

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃពិន្ទុសិស្ស។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 5 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50\) នាក់។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 10\)។

ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(55, 65, 75, 85, 95\)។

ក.  មធ្យម (\(\bar{x}\))៖

\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 5(55) + 15(65) + 20(75) + 8(85) + 2(95) \\ &= 275 + 975 + 1500 + 680 + 190 = 3620 \end{aligned}\]
\[\bar{x} = \frac{3620}{50} = 72.4 \text{ ពិន្ទុ}\]
ខ.  មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(\dfrac{N}{2} = 25\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(5, 20, 40, 48, 50\)។ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([70, 80)\)៖
\[\begin{aligned} Me &= 70 + \left(\frac{25 - 20}{20}\right) \times 10 \\ &= 70 + \frac{50}{20} = 72.5 \text{ ពិន្ទុ} \end{aligned}\]
គ.  ម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([70, 80)\) (\(f_3 = 20\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 20 - 15 = 5\), \(\Delta_2 = 20 - 8 = 12\)៖
\[\begin{aligned} Mo &= 70 + \left(\frac{5}{5 + 12}\right) \times 10 \\ &= 70 + \frac{50}{17} \approx 72.94 \text{ ពិន្ទុ} \end{aligned}\]

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

បើបំណែងចែកទិន្នន័យមួយមានមធ្យម \(\bar{x} = 15\) និងមេដ្យាន \(Me = 14\)៖

  1. ប៉ាន់ស្មានតម្លៃម៉ូត \(Mo\) ដោយប្រើរូបមន្តជាក់ស្តែងរបស់ Pearson៖ \(Mo \approx 3Me - 2\bar{x}\)។

  2. តើបំណែងចែកនេះមានទំនោរងាកទៅខាងណា (Skewed right or Skewed left)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  ប៉ាន់ស្មានតម្លៃម៉ូត \(Mo\) តាមរូបមន្ត Pearson៖

\[Mo \approx 3Me - 2\bar{x}\]
ដោយ \(Me = 14\) និង \(\bar{x} = 15\)៖
\[Mo \approx 3(14) - 2(15) = 42 - 30 = 12\]
ខ.  ទំនោរនៃបំណែងចែក៖ ដោយសារ \(Mo (12) < Me (14) < \bar{x} (15)\) តម្លៃមធ្យមធំជាងមេដ្យាន និងម៉ូត នាំឱ្យបំណែងចែកនេះជា បំណែងចែកងាកស្តាំ (Skewed right / Positively skewed)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

សំណុំទិន្នន័យមួយមានមធ្យម \(\bar{x} = 10\) និងមេដ្យាន \(Me = 12\)។ ប្រសិនបើគេយកគ្រប់តម្លៃទិន្នន័យទាំងអស់គុណនឹង \(-3\) រួចដក \(5\) តើមធ្យមថ្មី និងមេដ្យានថ្មីស្មើនឹងប៉ុន្មាន? បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវប្រើ។

មើលដំណោះស្រាយ

ទ្រឹស្តីបទនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ (Linear Transformation)៖ ប្រសិនបើទិន្នន័យ \(x_i\) ត្រូវបានបំប្លែងតាមសមីការ \(y_i = a x_i + b\) នោះ៖

  • មធ្យមថ្មី៖ \(\bar{y} = a\bar{x} + b\)

  • មេដ្យានថ្មី៖ \(Me_y = a(Me_x) + b\) (ដោយសារការបំប្លែងលីនេអ៊ែររក្សាលក្ខណៈលំដាប់នៃទិន្នន័យ)

ក្នុងលំហាត់នេះ \(a = -3\) និង \(b = -5\)៖

  • មធ្យមថ្មី៖ \(\bar{y} = (-3)(10) - 5 = -30 - 5 = -35\)

  • មេដ្យានថ្មី៖ \(Me_y = (-3)(12) - 5 = -36 - 5 = -41\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

ទិន្នន័យទម្ងន់ទារកកើតថ្មី (គិតជា \(\text{kg}\)) នៅមន្ទីរពេទ្យសម្ភពមួយមាន៖ \(2.8, 3.2, 3.0, 3.5, 2.9, 3.1, 3.4, 3.0, 3.3, 3.1\)។

  1. គណនាមធ្យមនព្វន្ធ។

  2. រកមេដ្យាន និងម៉ូត។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យ ១០ តួ៖ \(2.8\), \(3.2\), \(3.0\), \(3.5\), \(2.9\), \(3.1\), \(3.4\), \(3.0\), \(3.3\), \(3.1\)។

ក.  គណនាមធ្យមនព្វន្ធ (\(\bar{x}\))៖

\[\begin{aligned} \sum x &= 2.8 + 3.2 + 3.0 + 3.5 + 2.9 \\ &\quad{} + 3.1 + 3.4 + 3.0 + 3.3 + 3.1 = 32.3\text{ kg} \end{aligned}\]
\[\bar{x} = \frac{32.3}{10} = 3.23\text{ kg}\]
ខ.  រកមេដ្យាន និងម៉ូត៖

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ តម្រៀបកើន៖ \(2.8\), \(2.9\), \(3.0\), \(3.0\), \(3.1\), \(3.1\), \(3.2\), \(3.3\), \(3.4\), \(3.5\)។ \(N = 10\) (គូ) មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី ៥ និងទី ៦៖

    \[Me = \frac{3.1 + 3.1}{2} = 3.10\text{ kg}\]

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃ \(3.0\) និង \(3.1\) សុទ្ធតែកើតឡើង ២ ដងស្មើគ្នា នាំឱ្យមាន ម៉ូតពីរ (Bimodal) គឺ \(Mo_1 = 3.0\text{ kg}\) និង \(Mo_2 = 3.1\text{ kg}\)។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ចូរពន្យល់ពីមូលហេតុដែលមិនអាចគណនាមធ្យមចំពោះទិន្នន័យគុណភាព (ដូចជា ពណ៌ភ្នែក ឬកម្រិតការពេញចិត្ត) ប៉ុន្តែគេអាចកំណត់ម៉ូតបាន។

មើលដំណោះស្រាយ

មូលហេតុដែលមិនអាចគណនាមធ្យមលើទិន្នន័យគុណភាព តែអាចកំណត់ម៉ូតបាន៖

  1. ចំពោះមធ្យមនព្វន្ធ៖ រូបមន្តមធ្យម \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}\) តម្រូវឱ្យធ្វើប្រមាណវិធីបូកលេខ និងចែកលេខ។ ទិន្នន័យគុណភាព (ដូចជា ពណ៌ភ្នែក កម្រិតការពេញចិត្ត ឬភេទ) ជាប្រភេទពាក្យសម្តី ឬឈ្មោះ គ្មានតម្លៃលេខក្នុងខ្លួនវាឡើយ ដូច្នេះមិនអាចបូកដកចែកបានទេ។

  2. ចំពោះម៉ូត៖ និយមន័យនៃម៉ូតផ្អែកតែលើ «ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើង (ប្រេកង់)» ប៉ុណ្ណោះ។ គេគ្រាន់តែរាប់ចំនួនម្តងដែលគុណលក្ខណៈនីមួយៗកើតឡើង ហើយគុណលក្ខណៈណាដែលមានប្រេកង់ច្រើនជាងគេ គឺជាម៉ូត (ឧទាហរណ៍៖ ពណ៌ភ្នែកខ្មៅច្រើនជាងគេ នោះម៉ូតគឺ «ពណ៌ខ្មៅ»)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេឱ្យតារាងបំណែងចែកប្រេកង់៖

ថ្នាក់ \([20, 40)\) \([40, 60)\) \([60, 80)\) \([80, 100)\) \([100, 120)\)
ប្រេកង់ \(10\) \(25\) \(40\) \(15\) \(10\)

គណនាមេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យខាងលើ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 10 + 25 + 40 + 15 + 10 = 100\)។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 20\)។

ប្រេកង់កើនតាមថ្នាក់៖ \(10, 35, 75, 90, 100\)។

ក.  គណនាមេដ្យាន (\(Me\))៖ តំណែងមេដ្យាន \(\dfrac{N}{2} = \dfrac{100}{2} = 50\) ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ \([60, 80)\) (ព្រោះ \(35 < 50 \le 75\))៖

\[\begin{aligned} Me &= L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right) \times h \\ &= 60 + \left(\frac{50 - 35}{40}\right) \times 20 \\ &= 60 + \frac{300}{40} = 60 + 7.5 = 67.5 \end{aligned}\]
ខ.  គណនាម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([60, 80)\) (\(f_3 = 40\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 40 - 25 = 15\), \(\Delta_2 = 40 - 15 = 25\)៖
\[\begin{aligned} Mo &= 60 + \left(\frac{15}{15 + 25}\right) \times 20 \\ &= 60 + \frac{300}{40} = 60 + 7.5 = 67.5 \end{aligned}\]

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ផ្អែកលើទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 38 ចូរសង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive) និងកំណត់មេដ្យានតាមរយៈក្រាប រួចប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃដែលបានគណនាតាមរូបមន្ត។

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  សង់ពហុកោណប្រេកង់កើន (Ogive)៖ ភ្ជាប់ចំណុច \((20, 0)\), \((40, 10)\), \((60, 35)\), \((80, 75)\), \((100, 90)\), \((120, 100)\)។

ខ.  កំណត់មេដ្យានតាមរយៈក្រាប៖

  • នៅលើអ័ក្សឈរ គូសបន្ទាត់ដេកត្រង់កម្ពស់ \(y = \frac{N}{2} = 50\) កាត់ខ្សែ Ogive ត្រង់ចំណុចមួយ។

  • ពីចំណុចកាត់នោះ ទម្លាក់បន្ទាត់ឈរមកអ័ក្សដេក គេអានបានតម្លៃអាប់ស៊ីស \(x \approx 67.5\)។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គ.  ការប្រៀបធៀប៖ តម្លៃមេដ្យានដែលអានបានពីក្រាប (\(Me \approx 67.5\)) គឺស៊ីគ្នាយ៉ាងជាក់លាក់ជាមួយនឹងតម្លៃដែលគណនាតាមរូបមន្តក្នុងលំហាត់ទី 38 (\(Me = 67.5\))។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ក្នុងការប្រកួតកាយសម្ព័ន្ធមួយ ចៅក្រម ៧ នាក់បានផ្តល់ពិន្ទុដូចខាងក្រោម៖ \(8.2, 8.5, 8.4, 9.1, 8.3, 8.5, 9.8\)។ ដើម្បីភាពយុត្តិធម៌ គណៈកម្មការសម្រេចលុបពិន្ទុទាបបំផុតមួយ និងពិន្ទុខ្ពស់បំផុតមួយចេញ រួចគណនាមធ្យមនៃពិន្ទុដែលនៅសល់ (Trimmed Mean)។

  1. រកពិន្ទុទាបបំផុត និងខ្ពស់បំផុត។

  2. គណនាមធ្យមនៃពិន្ទុទាំង ៥ ដែលនៅសល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ពិន្ទុចៅក្រម ៧ នាក់៖ \(8.2\), \(8.5\), \(8.4\), \(9.1\), \(8.3\), \(8.5\), \(9.8\)។

ក.  រកពិន្ទុទាបបំផុត និងខ្ពស់បំផុត៖ តម្រៀបពិន្ទុតាមលំដាប់កើន៖ \(8.2\), \(8.3\), \(8.4\), \(8.5\), \(8.5\), \(9.1\), \(9.8\)។

  • ពិន្ទុទាបបំផុត៖ \(X_{\min} = 8.2\)

  • ពិន្ទុខ្ពស់បំផុត៖ \(X_{\max} = 9.8\)

ខ.  គណនាមធ្យមកែសម្រួល (Trimmed Mean)៖ លុបពិន្ទុ \(8.2\) និង \(9.8\) ចេញ ពិន្ទុទាំង ៥ ដែលនៅសល់គឺ៖ \(8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 9.1\)។

\[\begin{aligned} \bar{x}_{\text{trimmed}} &= \frac{8.3 + 8.4 + 8.5 + 8.5 + 9.1}{5} \\ &= \frac{42.8}{5} = 8.56 \text{ ពិន្ទុ} \end{aligned}\]

៤១លំហាត់ទី ៤១

(PISA - ការគ្រប់គ្រងស្តុក) នៅក្នុងហាងលក់សម្លៀកបំពាក់មួយ ម្ចាស់ហាងចង់បញ្ជាទិញទំហំអាវយឺត (S, M, L, XL, XXL) បន្ថែម។

  1. តើគាត់គួរប្រើប្រាស់រង្វាស់ទីតាំងណា (មធ្យម មេដ្យាន ឬម៉ូត)? ចូរពន្យល់ពីហេតុផល។

  2. បើគាត់គណនាមធ្យមនៃទំហំអាវ តើវាមានអត្ថន័យជាក់ស្តែងដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  រង្វាស់ទីតាំងដែលគួរប្រើប្រាស់៖ ម្ចាស់ហាងគួរប្រើប្រាស់ ម៉ូត (Mode) ពីព្រោះទំហំអាវ (S, M, L, XL, XXL) ជាទិន្នន័យគុណភាពតាមលំដាប់ (Ordinal data)។ ម៉ូតបង្ហាញពីទំហំអាវដែលមានប្រជាប្រិយភាព និងលក់ដាច់ច្រើនជាងគេបំផុត ដែលជួយឱ្យម្ចាស់ហាងបញ្ជាទិញត្រូវចំតម្រូវការទីផ្សារ ជៀសវាងការកកស្ទះស្តុក។

ខ.  អត្ថន័យនៃការគណនាមធ្យមនៃទំហំអាវ៖ ការគណនាមធ្យមនៃទំហំអាវ គ្មានអត្ថន័យជាក់ស្តែងឡើយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើតាង S=1, M=2, L=3... ហើយគណនាឃើញមធ្យមស្មើ \(2.4\) គ្មានរោងចក្រណាអាចផលិតទំហំអាវ «2.4» បានឡើយ ព្រោះទំហំអាវមិនមែនជាទំហំរង្វាស់លេខបន្ត។

៤២លំហាត់ទី ៤២

(PISA - សេវាកម្មដឹកជញ្ជូន) ក្រុមហ៊ុនតាក់ស៊ីមួយអះអាងថា រយៈពេលរង់ចាំជាមធ្យមរបស់អតិថិជនគឺត្រឹមតែ \(5\) នាទី។ ប៉ុន្តែអតិថិជនជាច្រើនត្អូញត្អែរថា ពួកគេត្រូវរង់ចាំលើសពី \(15\) នាទីជាញឹកញាប់។

  1. តើទិន្នន័យរយៈពេលរង់ចាំអាចមានលក្ខណៈបែបណា (Outlier) ដែលធ្វើឱ្យមធ្យមមានតម្លៃទាប?

  2. តើរង្វាស់ទីតាំងណាដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីបទពិសោធន៍របស់អតិថិជនបានពិតប្រាកដជាង?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  លក្ខណៈនៃទិន្នន័យរយៈពេលរង់ចាំ (Outlier និង Skewness)៖ ទិន្នន័យអាចមានអតិថិជនមួយចំនួនធំរង់ចាំក្នុងរយៈពេលខ្លីបំផុត (\(0\) ទៅ \(2\) នាទី) ដូចជានៅម៉ោងទំនេរ ប៉ុន្តែនៅម៉ោងមមាញឹក អតិថិជនរង់ចាំរហូតដល់ \(20\) ទៅ \(30\) នាទី។ ម៉្យាងទៀត ក្រុមហ៊ុនអាចប្រើទិន្នន័យមិនប្រក្រតីដើម្បីទាញមធ្យមចុះ។ ការដែលមធ្យមស្មើ ៥ នាទី មិនបានឆ្លុះបញ្ចាំងពីរយៈពេលរង់ចាំនៅពេលមានតម្រូវការខ្ពស់នោះទេ។

ខ.  រង្វាស់ទីតាំងដែលឆ្លុះបញ្ចាំងបទពិសោធន៍ពិត៖ គេគួរប្រើ មេដ្យាន (\(Me\)) ឬប្រើ ភាគរយទី ៩០ (\(90^{\text{th}}\) Percentile) ពីព្រោះវាបង្ហាញថា \(90\%\) នៃអតិថិជនរង់ចាំមិនលើសពីប៉ុន្មាននាទី ដែលផ្តល់នូវទំនុកចិត្ត និងឆ្លុះបញ្ចាំងពីគុណភាពសេវាកម្មជាក់ស្តែងបានល្អជាងមធ្យមនព្វន្ធ។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គេមាន \(n\) ចំនួនដែលមានមធ្យមនព្វន្ធ \(\bar{x}\)។ ប្រសិនបើគេបន្ថែមចំនួនថ្មីមួយគឺ \(a\) ចូលទៅក្នុងសំណុំទិន្នន័យ៖

  1. ចូរបង្ហាញថាមធ្យមថ្មី \(\bar{x}_{new} = \dfrac{n\bar{x} + a}{n+1}\)។

  2. តើពេលណាទើប \(\bar{x}_{new} > \bar{x}\), \(\bar{x}_{new} = \bar{x}\), និង \(\bar{x}_{new} < \bar{x}\)?

មើលដំណោះស្រាយ

ក.  បង្ហាញថាមធ្យមថ្មី \(\bar{x}_{new} = \dfrac{n\bar{x} + a}{n+1}\)៖ ផលបូកនៃ \(n\) ចំនួនដើមគឺ \(\sum_{i=1}^n x_i = n\bar{x}\)។

នៅពេលបន្ថែមចំនួន \(a\) ចំនួនតួសរុបកើនដល់ \(n+1\) ហើយផលបូកថ្មីគឺ \(n\bar{x} + a\)។

តាមនិយមន័យនៃមធ្យមនព្វន្ធ មធ្យមថ្មីគឺ៖

\[\bar{x}_{new} = \frac{n\bar{x} + a}{n+1}\]
ខ.  ការប្រៀបធៀប \(\bar{x}_{new}\) និង \(\bar{x}\)៖ យើងពិនិត្យផលដក៖
\[\begin{aligned} \bar{x}_{new} - \bar{x} &= \frac{n\bar{x} + a}{n+1} - \bar{x} \\ &= \frac{n\bar{x} + a - (n+1)\bar{x}}{n+1} = \frac{a - \bar{x}}{n+1} \end{aligned}\]
ដោយ \(n+1 > 0\) សញ្ញានៃ \(\bar{x}_{new} - \bar{x}\) អាស្រ័យទាំងស្រុងលើ \(a - \bar{x}\)៖

  • \(\bar{x}_{new} > \bar{x} \iff a - \bar{x} > 0 \iff a > \bar{x}\) (ចំនួនថ្មីធំជាងមធ្យមដើម)

  • \(\bar{x}_{new} = \bar{x} \iff a - \bar{x} = 0 \iff a = \bar{x}\) (ចំនួនថ្មីស្មើនឹងមធ្យមដើម)

  • \(\bar{x}_{new} < \bar{x} \iff a - \bar{x} < 0 \iff a < \bar{x}\) (ចំនួនថ្មីតូចជាងមធ្យមដើម)

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

បង្ហាញថា ប្រសិនបើគ្រប់តម្លៃទិន្នន័យទាំងអស់មានតម្លៃស្មើគ្នា \(x_1 = x_2 = \dots = x_n = c\) (ថេរ) នោះមធ្យមនព្វន្ធ មេដ្យាន និងម៉ូតសុទ្ធតែមានតម្លៃស្មើនឹង \(c\) ដូចគ្នា៖

\[\bar{x} = Me = Mo = c\]

មើលដំណោះស្រាយ

ឧបមាថា \(x_1 = x_2 = \dots = x_n = c\) ដែល \(c\) ជាចំនួនថេរ។

  • មធ្យមនព្វន្ធ (\(\bar{x}\))៖

    \[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \\ &= \frac{\overbrace{c + c + \dots + c}^{n \text{ ដង}}}{n} = \frac{nc}{n} = c \end{aligned}\]

  • មេដ្យាន (\(Me\))៖ ដោយសារគ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់សុទ្ធតែស្មើ \(c\) នោះទិន្នន័យដែលនៅចំកណ្តាល (មិនថា \(n\) ជាចំនួនសេស ឬគូ) សុទ្ធតែស្មើនឹង \(c\) ជានិច្ច នាំឱ្យ \(Me = c\)។

  • ម៉ូត (\(Mo\))៖ តម្លៃ \(c\) កើតឡើងចំនួន \(n\) ដង (គ្រប់ទិន្នន័យទាំងអស់) ដែលជាប្រេកង់អតិបរមា នាំឱ្យ \(Mo = c\)។

ដូចនេះ យើងបាន \(\bar{x} = Me = Mo = c\) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ទិន្នន័យអាយុរបស់អ្នកជំងឺនៅមន្ទីរពេទ្យមួយត្រូវបានកត់ត្រាក្នុងតារាង៖

អាយុ (ឆ្នាំ) \([0, 20)\) \([20, 40)\) \([40, 60)\) \([60, 80)\) \([80, 100)\)
ចំនួនអ្នកជំងឺ \(12\) \(18\) \(30\) \(25\) \(15\)

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃអាយុអ្នកជំងឺ។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 12 + 18 + 30 + 25 + 15 = 100\) នាក់។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 20\) ឆ្នាំ។

ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(10, 30, 50, 70, 90\)។

ក.  មធ្យម (\(\bar{x}\))៖

\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 12(10) + 18(30) + 30(50) \\ &\quad{} + 25(70) + 15(90) = 5260 \text{ ឆ្នាំ} \end{aligned}\]
\[\bar{x} = \frac{5260}{100} = 52.6 \text{ ឆ្នាំ}\]
ខ.  មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(\dfrac{N}{2} = 50\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(12, 30, 60, 85, 100\)។ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([40, 60)\) (ព្រោះ \(30 < 50 \le 60\))៖
\[\begin{aligned} Me &= L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right) \times h \\ &= 40 + \left(\frac{50 - 30}{30}\right) \times 20 \approx 53.33 \text{ ឆ្នាំ} \end{aligned}\]
គ.  ម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([40, 60)\) (\(f_3 = 30\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 30 - 18 = 12\), \(\Delta_2 = 30 - 25 = 5\)៖
\[\begin{aligned} Mo &= 40 + \left(\frac{12}{12 + 5}\right) \times 20 \\ &= 40 + \frac{240}{17} \approx 54.12 \text{ ឆ្នាំ} \end{aligned}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេមានសំណុំទិន្នន័យពីរគឺ \(A\) និង \(B\)៖

  • សំណុំ \(A\) មាន \(15\) ទិន្នន័យ និងមានមធ្យម \(\bar{x}_A = 20\)

  • សំណុំ \(B\) មាន \(25\) ទិន្នន័យ និងមានមធ្យម \(\bar{x}_B = 28\)

ចូរគណនាមធ្យមរួម \(\bar{x}\) នៃទិន្នន័យទាំង \(40\) នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកសរុបនៃសំណុំទិន្នន័យ \(A\) (\(N_A = 15, \bar{x}_A = 20\))៖

\[\sum x_A = N_A \times \bar{x}_A = 15 \times 20 = 300\]
ផលបូកសរុបនៃសំណុំទិន្នន័យ \(B\) (\(N_B = 25, \bar{x}_B = 28\))៖
\[\sum x_B = N_B \times \bar{x}_B = 25 \times 28 = 700\]
ទំហំសំណាករួមនៃសំណុំទាំងពីរគឺ \(N = N_A + N_B = 15 + 25 = 40\)។

មធ្យមរួម \(\bar{x}\) នៃទិន្នន័យទាំង ៤០ គឺ៖

\[\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum x_A + \sum x_B}{N_A + N_B} \\ &= \frac{300 + 700}{40} = \frac{1000}{40} = 25 \end{aligned}\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

សំណុំទិន្នន័យមួយមាន ៥ ចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដែលមានមធ្យមស្មើ \(12\) មេដ្យានស្មើ \(11\) និងម៉ូតតែមួយគត់ស្មើ \(10\)។

  1. កំណត់ចំនួនទិន្នន័យដែលមានតម្លៃស្មើនឹង \(10\)។

  2. រកតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃទិន្នន័យទាំង ៥ នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាងទិន្នន័យទាំង ៥ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានរៀបតាមលំដាប់កើន៖ \(x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5\)។

ក.  កំណត់ចំនួនទិន្នន័យដែលមានតម្លៃស្មើ \(10\)៖

  • មេដ្យាន \(Me = x_3 = 11\)។

  • ដោយម៉ូតតែមួយគត់ស្មើ \(10\) ហើយ \(10 < 11\) នោះតម្លៃ \(10\) ត្រូវតែស្ថិតនៅខាងឆ្វេងមេដ្យាន ហើយត្រូវកើតឡើងយ៉ាងតិច ២ ដង។

  • ដូចនេះ \(x_1 = x_2 = 10\)។ ដូច្នេះ មានទិន្នន័យចំនួន ២ ដែលមានតម្លៃស្មើ \(10\)។

ខ.  រកតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃទិន្នន័យទាំង ៥៖ មធ្យមស្មើ \(12 \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5 \times 12 = 60\)។

\[\begin{aligned} 10 + 10 + 11 + x_4 + x_5 &= 60 \\ \implies 31 + x_4 + x_5 = 60 &\implies x_4 + x_5 = 29 \end{aligned}\]
លក្ខខណ្ឌ៖ ដោយម៉ូតតែមួយគត់គឺ \(10\) និង \(x_3 = 11\) នាំឱ្យ \(11 < x_4 < x_5\) (គ្មានតម្លៃណាស្មើគ្នាទៀតទេ)៖

  • បើ \(x_4 = 12 \implies x_5 = 17\)៖ សំណុំទិន្នន័យគឺ \(\{10, 10, 11, 12, 17\}\)

  • បើ \(x_4 = 13 \implies x_5 = 16\)៖ សំណុំទិន្នន័យគឺ \(\{10, 10, 11, 13, 16\}\)

  • បើ \(x_4 = 14 \implies x_5 = 15\)៖ សំណុំទិន្នន័យគឺ \(\{10, 10, 11, 14, 15\}\)

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

(PISA - ថាមពល) ក្នុងការវាយតម្លៃការប្រើប្រាស់ថាមពលអគ្គិសនី (គិតជា \(\text{kWh}\)) ក្នុងមួយខែរបស់ផ្ទះ \(40\) ខ្នងក្នុងភូមិមួយ៖

ការប្រើប្រាស់ (\(\text{kWh}\)) \([50, 100)\) \([100, 150)\) \([150, 200)\) \([200, 250)\)
ចំនួនផ្ទះ \(8\) \(14\) \(12\) \(6\)

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃការប្រើប្រាស់អគ្គិសនី។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 8 + 14 + 12 + 6 = 40\) ខ្នងផ្ទះ។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 50\text{ kWh}\)។

ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(75, 125, 175, 225\)។

ក.  មធ្យម (\(\bar{x}\))៖

\[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 8(75) + 14(125) + 12(175) + 6(225) \\ &= 600 + 1750 + 2100 + 1350 = 5800\text{ kWh} \end{aligned}\]
\[\bar{x} = \frac{5800}{40} = 145\text{ kWh}\]
ខ.  មេដ្យាន (\(Me\))៖ \(\dfrac{N}{2} = 20\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(8, 22, 34, 40\)។ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([100, 150)\) (ព្រោះ \(8 < 20 \le 22\))៖
\[\begin{aligned} Me &= L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right) \times h \\ &= 100 + \left(\frac{20 - 8}{14}\right) \times 50 \approx 142.86\text{ kWh} \end{aligned}\]
គ.  ម៉ូត (\(Mo\))៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([100, 150)\) (\(f_2 = 14\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 14 - 8 = 6\), \(\Delta_2 = 14 - 12 = 2\)៖
\[\begin{aligned} Mo &= 100 + \left(\frac{6}{6 + 2}\right) \times 50 \\ &= 100 + \frac{300}{8} = 137.5\text{ kWh} \end{aligned}\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ផ្អែកលើទិន្នន័យក្នុងលំហាត់ទី 48 បើរដ្ឋាភិបាលមានគោលនយោបាយឧបត្ថម្ភធនសម្រាប់គ្រួសារណាដែលប្រើប្រាស់អគ្គិសនីតិចជាងកម្រិតមេដ្យាន តើមានផ្ទះប៉ុន្មានខ្នងទទួលបានការឧបត្ថម្ភធននេះ? ចូរពន្យល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ការវិភាគគោលនយោបាយឧបត្ថម្ភធនរបស់រដ្ឋាភិបាល៖

  • តាមនិយមន័យនៃមេដ្យាន (\(Me\)) តម្លៃមេដ្យានបែងចែកទិន្នន័យជាពីរចំណែកស្មើគ្នា គឺមានទិន្នន័យ \(50\%\) ស្ថិតនៅក្រោមមេដ្យាន និង \(50\%\) ទៀតស្ថិតនៅលើមេដ្យាន។

  • ដោយចំនួនផ្ទះសរុបគឺ \(N = 40\) ខ្នង នោះចំនួនផ្ទះដែលប្រើប្រាស់អគ្គិសនីតិចជាងកម្រិតមេដ្យាន (\(Me \approx 142.86\text{ kWh}\)) គឺពាក់កណ្តាលនៃចំនួនផ្ទះសរុប៖

    \[N_{\text{subsidized}} = \frac{40}{2} = 20 \text{ ខ្នងផ្ទះ}\]

សន្និដ្ឋាន៖ មានផ្ទះចំនួន \(20\) ខ្នងទទួលបានការឧបត្ថម្ភធនពីរដ្ឋាភិបាល។ គោលនយោបាយផ្អែកលើមេដ្យាននេះធានាភាពយុត្តិធម៌សង្គម ដោយជួយចំគ្រួសារពាក់កណ្តាលដែលប្រើប្រាស់តិចជាងគេ។

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - ការវិភាគសេវាកម្មធនាគារ) ធនាគារមួយចង់វិភាគរយៈពេលរង់ចាំ (គិតជា នាទី) របស់អតិថិជនចំនួន \(50\) នាក់នៅមុខបញ្ជរ៖

រយៈពេល (នាទី) \([0, 5)\) \([5, 10)\) \([10, 15)\) \([15, 20)\) \([20, 25)\)
ចំនួនអតិថិជន \(10\) \(18\) \(12\) \(6\) \(4\)

  1. គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត។

  2. បើធនាគារចង់កំណត់ស្តង់ដារថារយៈពេលរង់ចាំមិនឱ្យលើសពី \(15\) នាទី តើមានអតិថិជនប៉ុន្មានភាគរយដែលត្រូវរង់ចាំលើសស្តង់ដារនេះ?

  3. ផ្តល់អនុសាសន៍ដល់ប្រធានធនាគារដើម្បីកែលម្អគុណភាពសេវាកម្ម។

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រេកង់សរុប \(N = 10 + 18 + 12 + 6 + 4 = 50\) នាក់។ ប្រវែងថ្នាក់ \(h = 5\) នាទី។

ផ្ចិតថ្នាក់រៀងគ្នាគឺ \(2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5\)។

ក.  គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត៖

  • មធ្យម៖

    \[\begin{aligned} \sum f_i m_i &= 10(2.5) + 18(7.5) + 12(12.5) \\ &\quad{} + 6(17.5) + 4(22.5) \\ &= 25 + 135 + 150 + 105 + 90 = 505\text{ នាទី} \end{aligned}\]
    \[\bar{x} = \frac{505}{50} = 10.1 \text{ នាទី}\]

  • មេដ្យាន៖ \(\frac{N}{2} = 25\)។ ប្រេកង់កើន៖ \(10, 28, 40, 46, 50\)។ ថ្នាក់មេដ្យានគឺ \([5, 10)\)៖

    \[\begin{aligned} Me &= 5 + \left(\frac{25 - 10}{18}\right) \times 5 \\ &= 5 + \frac{75}{18} \approx 9.17 \text{ នាទី} \end{aligned}\]

  • ម៉ូត៖ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ \([5, 10)\) (\(f_2 = 18\) ធំបំផុត)៖ \(\Delta_1 = 18 - 10 = 8\), \(\Delta_2 = 18 - 12 = 6\)៖

    \[\begin{aligned} Mo &= 5 + \left(\frac{8}{8 + 6}\right) \times 5 \\ &= 5 + \frac{40}{14} \approx 7.86 \text{ នាទី} \end{aligned}\]

ខ.  ភាគរយនៃអតិថិជនដែលរង់ចាំលើសពី ១៥ នាទី (\(t \ge 15\))៖ រួមមានអតិថិជនក្នុងថ្នាក់ \([15, 20)\) និង \([20, 25)\)៖

\[N_{\ge 15} = 6 + 4 = 10 \text{ នាក់}\]
ភាគរយគឺ៖
\[\frac{10}{50} \times 100\% = 20\%\]
គ.  អនុសាសន៍ដល់ប្រធានធនាគារ៖ មានអតិថិជនរហូតដល់ \(20\%\) (១ នាក់ក្នុងចំណោម ៥ នាក់) ត្រូវរង់ចាំយូរជ្រុលលើសពី ១៥ នាទី។ ដើម្បីលើកកម្ពស់គុណភាពសេវាកម្ម ធនាគារគួរ៖

  1. បង្កើនចំនួនបញ្ជរបម្រើសេវាបន្ថែម ឬចាត់ចែងបុគ្គលិកបម្រុងនៅម៉ោងមមាញឹក (Peak hours)។

  2. ដាក់ឱ្យដំណើរការប្រព័ន្ធកក់លេខរង់ចាំតាមទូរស័ព្ទ (Smart Queue) ដើម្បីកាត់បន្ថយការកកកុញនៅមុខបញ្ជរ។

  3. ជំរុញអតិថិជនឱ្យប្រើប្រាស់កម្មវិធី Mobile Banking ឬម៉ាស៊ីនស្វ័យប្រវត្តិ (ATM/CRM) សម្រាប់ប្រតិបត្តិការសាមញ្ញ។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៧ ស្ថិតិ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត