មេរៀនទី ២២ : ការអនុវត្តវ៉ិចទ័រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ការវិវត្តនៃទ្រឹស្តីវ៉ិចទ័រក្នុងការអនុវត្តធរណីមាត្រ និងរូបវិទ្យា

ការអនុវត្តវ៉ិចទ័រនៅក្នុងរូបវិទ្យា និងធរណីមាត្រ ត្រូវបានពង្រឹងដោយអ្នកប្រាជ្ញ ជេស៊ីអ័រ ហ្គីប (Josiah Willard Gibbs) និង អូលីវើ ហេវីសាយ (Oliver Heaviside) នៅចុងសតវត្សទី១៩ ដែលបានបំប្លែងទ្រឹស្តីខ្វាទែញុងរបស់ហាមីលតោន ទៅជាការវិភាគវ៉ិចទ័រដែលស្រួលយល់ជាងមុន។ ការងាររបស់ពួកគេបានបង្កើតជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាពីកម្លាំង ចលនា និងអេឡិចត្រូម៉ាញេទិច ដែលយើងកំពុងប្រើប្រាស់សព្វថ្ងៃ។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ទី៩៖
១. សមាមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទតាលែស
២. ការរកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់
៣. សមីការបន្ទាត់ និងរង្វង់ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ

វ៉ិចទ័រទីតាំង

បើគេមានចំណុចនឹង \(O\) និងចំណុច \(P\) ណាមួយនៃប្លង់នោះគេអាចកំណត់វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OP} = \vec{p}\) ។ វ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) ហៅថា វ៉ិចទ័រទីតាំង នៃចំណុច \(P\) ដែលមាន \(O\) ជាគល់ ។ កំណត់សរសេរ \(P(\vec{p})\) ។

ច្រាសមកវិញ បើគេឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) នោះគេអាចរកចំណុច \(P\) ដែលមាន \(\vec{p}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងរបស់វា ។ គេនឹងសរសេរវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) នៅក្នុងប្លង់ដោយប្រើវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(A\) និង \(B\) ។

បើគេយកវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(A\) និង \(B\) រៀងគ្នា នោះគេបាន \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\) ។ ជំនួសចូលទៅក្នុង \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\) គេបាន \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) ស្មើនឹងផលដករវាងវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចចុង \(B\) និងវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចគល់ \(A\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គេមាន \(A(\vec{a})\), \(B(\vec{b})\), \(C(\vec{c})\) និង \(D(\vec{d})\) ជាកំពូលនៃចតុកោណមួយ ។ កំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) និង \(\vec{d}\) នៃកំពូលទាំងបួនដើម្បីឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម ។

វ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចចែកក្នុង និងចែកក្រៅនៃអង្កត់

ចំណុច \(C(\vec{c})\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(m : n\) ហើយ \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំង ។ បង្ហាញថា \(\vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}\) ។

បើគេតាង \(\overrightarrow{AC}\) និង \(\overrightarrow{AB}\) ដោយប្រើវ៉ិចទ័រទីតាំង នោះគេបាន \(\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\) ។

តាមរូបគេបាន \(\overrightarrow{AC} = \frac{m}{m + n}\overrightarrow{AB}\) ដូច្នេះ \(\vec{c} - \vec{a} = \frac{m}{m + n}(\vec{b} - \vec{a})\) បំប្លែងសមភាពនេះ គេបាន \(\vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ករណីពិសេស

វ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចកណ្ដាលរបស់អង្កត់ \(AB\) គឺ \(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\) ។

ប្រតិបត្តិ

ចំណុច \(D(\vec{d})\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(m : n\) ហើយ \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំង ។ បង្ហាញថា \(\vec{d} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេមានត្រីកោណ \(ABC\) មួយដែល \(L\), \(M\) និង \(N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\), \(AC\) និង \(AB\) រៀងគ្នា ។
ក. សរសេរវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចចែកខាងក្នុង \(AL\), \(BM\) និង \(CN\) តាមផលធៀប \(2 : 1\) ជាអនុគមន៍វ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{c}\) នៃកំពូលរបស់ \(\triangle ABC\) ។
ខ. បង្ហាញថាមេដ្យានទាំងបីប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. យក \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) និង \(\vec{c}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃកំពូល \(A\), \(B\) និង \(C\) នៃ \(\triangle ABC\) យក \(L(\vec{l})\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) គេបាន

\[\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \quad{} (1)\]

យក \(G(\vec{g})\) ជាចំណុចចែកមេដ្យាន \(AL\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(2 : 1\) គេបាន

\[\vec{g} = \frac{2\vec{l} + \vec{a}}{3} \quad{} (2)\]

តាម (1) និង (2)

\[\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \text{~។}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. យក \(G'(\vec{g}')\) និង \(G''(\vec{g}'')\) ជាចំណុចចែកមេដ្យាន \(BM\) និង \(CN\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(2 : 1\) តាមរបៀបដូចខាងលើគេបាន

\[\vec{g}' = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \text{ និង } \vec{g}'' = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\]

ដូច្នេះ មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នាត្រង់មួយចំណុច ។ ចំណុច \(G\) ដែលបង្ហាញក្នុងលំហាត់គំរូនេះ គឺជា ទីប្រជុំទម្ងន់ នៃ \(\triangle ABC\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា អង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្ដាលរបស់ជ្រុងឈមពីរនៃត្រីកោណ ស្របទៅនឹងជ្រុងទីបី ហើយស្មើនឹងពាក់កណ្ដាលប្រវែងជ្រុងទីបីនេះ ដោយប្រើវ៉ិចទ័រទីតាំង ។

កូអរដោនេនិងវ៉ិចទ័រទីតាំង

ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ គេមានចំណុច \(P(x, y)\) ។ បើ \(\vec{p}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(P\) គេបាន \(\vec{p} = \overrightarrow{OP} = x\vec{i} + y\vec{j}\) ។ គេថា \((x, y)\) ជាកូអរដោនេនៃ \(\vec{p}\) ហើយកំណត់សរសេរ \(\vec{p} = (x, y)\) ។ ដូច្នេះ បើគេយកចំណុចគល់ជាចំណុចចាប់ផ្ដើម នោះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទីតាំងរបស់ចំណុច \(P\) មានកូអរដោនេដូចចំណុច \(P\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ឧទាហរណ៍

ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ គេមានចំណុច \(P(2, 3)\) ។ បើ \(\vec{p}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(P\) នោះគេបាន \(\vec{p} = \overrightarrow{OP} = 2\vec{i} + 3\vec{j}\) ។ គេថា \((2, 3)\) ជាកូអរដោនេនៃ \(\vec{p}\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(\vec{p} = (2, 3)\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា កូអរដោនេនៃចំណុច \(C\) ដែលចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរ \(A(x_1, y_1)\) និង \(B(x_2, y_2)\) តាមផលធៀប \(m : n\) ហើយឱ្យរូបមន្តខាងក្រោមដោយប្រើលើឧទាហរណ៍ខាងលើ \(x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\) ។

បន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រ

បន្ទាត់ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់

យើងពិនិត្យបន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមចំណុចនឹង \(P_0(\vec{p}_0)\) ហើយស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u}\) ដែល \(\vec{u} \neq \vec{0}\) ។ បើគេយក \(P\) ជាចំណុចចល័តលើ \(L\) គេបាន \(\overrightarrow{P_0P} \parallel \vec{u}\) ។

ដូច្នេះ គេអាចសរសេរ \(\overrightarrow{P_0P} \parallel t\vec{u}\) (\(t\) ជាចំនួនពិត) ។ បើគេយក \(\vec{p}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំង នោះគេបាន \(\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} - \vec{p}_0\) ហើយ \(\vec{p} - \vec{p}_0 = t\vec{u}\) ។ ដូច្នេះ \(\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{u} \quad{} (1)\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បើគេយក \((x_0, y_0)\) ជាកូអរដោនេនៃចំណុចនឹង \(P_0\) ហើយយក \((x, y)\) ជាកូអរដោនេ និងតាង \(\vec{u} = (a, b)\) តាម (1) គេបាន \(\vec{p} = (x, y)\), \(\vec{p}_0 = (x_0, y_0)\), \(\vec{u} = (a, b)\) ។ ដូច្នេះ \((x, y) = (x_0, y_0) + t(a, b) = (x_0 + ta, y_0 + tb)\) ។ តាម (1) សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ ដែលកាត់តាមចំណុច \(p_0(x_0, y_0)\) និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (a, b)\) គឺ

ជាទូទៅ

\(\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{u}\) សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រ (1) ។

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(p_0(x_0, y_0)\) និងមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (a, b)\) គឺ \(\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \end{cases}\) ដែល \(t\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (2) ។

សម្គាល់

សមីការ (1) ហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ \(L\)
សមីការ (2) ហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់កូអរដោនេនៃបន្ទាត់ \(L\)
បើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(t\) ប្ដូរតម្លៃក្នុងសំណុំចំនួនពិត \(\mathbb{R}\) នោះគេអាចនិយាយបានពីររបៀបគឺ \(L\) ជាសំណុំចំណុចនៃចំណុច \(P(\vec{p})\) និង \(L\) ជាសំណុំចំណុចនៃចំណុច \(P = (x, y)\)
បើ \(k \neq 0\) នោះ \(k\vec{u}\) គឺជាវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស នៃបន្ទាត់ផងដែរ ។

ឧទាហរណ៍

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមចំណុច \(P_0(1, 2)\) ហើយស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{u} = (3, 2)\) គឺ \(\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{u}\), \(\vec{p} = (1, 2) + t(3, 2)\) នោះសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ ដែលកាត់តាមចំណុច \((1, 2)\) និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (3, 2)\) គឺ \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases} \quad{} (1)\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

បំបាត់ \(t\) ពី (1) គេបាន \(y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}\) សមីការនេះជាសមីការបន្ទាត់ \(L\) ។

ប្រតិបត្តិ

សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ក. បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \((2, 3)\) និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (1, 2)\) ។
ខ. បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \((4, 0)\) និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (-3, 2)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases}\)

ខ. \(\begin{cases} x = 4 - 3t \\ y = 2t \end{cases}\) ។

សមីការបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \((x_0, y_0)\)

តាមសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ ដែលកាត់តាមចំណុច \((x_0, y_0)\) និងមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (a, b)\) នោះ \(\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \end{cases}\) (ដែល \(t\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) ។

បើ \((a \neq 0)\) និង \((b \neq 0)\) បំបាត់ \(t\) ពីសមីការនេះ គេបាន \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}\) ។ ដូច្នេះ \(y - y_0 = \frac{b}{a}(x - x_0)\) ។ សមីការនេះ ជាសមីការនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \((x_0, y_0)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង \(\frac{b}{a}\) ។

ករណីទូទៅបន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមចំណុច \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ។ \(P(\vec{p})\) ជាចំណុចណាមួយនៃ \(L\) គេបាន \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\) ជាវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសនៃ \(L\) ។ ម្យ៉ាងទៀត \(L\) កាត់តាមចំណុច \(A(\vec{a})\) ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ \(L\) មានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រ \(L : \vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})\) ដែល \(t \in \mathbb{R}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជាទូទៅ

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) មានរាងទូទៅ \(\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})\) ។

២លំហាត់គំរូ ២

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ \(AB\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖
ក. \(A(-3, 2)\), \(B(4, 5)\) ខ. \(A(4, 0)\), \(B(0, 3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក. ដោយបន្ទាត់ \(AB\) មានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រគឺ

\[AB : \vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) \text{ ដែល } t \in \mathbb{R} \text{ ហើយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទីតាំង } A(\vec{a}), B(\vec{b})\]

គឺ \(\vec{a} = (-3, 2)\), \(\vec{b} = (4, 5)\) នោះ \(\vec{b} - \vec{a} = (4 - (-3), 5 - 2) = (7, 3)\) គេបាន \(AB : \vec{p} = (-3, 2) + t(7, 3)\) ដែល \(t \in \mathbb{R}\) ។
ខ. ដូចគ្នាដែរ គេបាន \(AB : \vec{p} = (4, 0) + t(-4, 3)\) ដែល \(t \in \mathbb{R}\) ។

ប្រតិបត្តិ

កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ \(AB\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖
ក. \(A(4, -3)\), \(B(-2, 5)\)
ខ. \(A(-\frac{3}{2}, -4)\), \(B(2, -4)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(AB : \vec{p} = (4, -3) + t(-6, 8)\) ខ. \(AB : \vec{p} = (-\frac{3}{2}, -4) + t(\frac{7}{2}, 0)\) ។

ទ្រឹស្តីបទ

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណុច \(C(\vec{c})\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB\) ហើយ \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ជាចំណុចពីរផ្សេងគ្នា ដែល \(m\) និង \(n\) ជាចំនួនពិត ដែល \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}, m+n=1\) ។

សម្រាយបញ្ជាក់

គេមាន \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ។ បើ \(C(\vec{c})\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB\) ហើយយើងបានដឹងរួចហើយនៅក្នុងករណីទូទៅ នោះមានចំនួនពិត \(t_0\) ដែល \(\vec{c} = \vec{a} + t_0(\vec{b} - \vec{a}) \quad{} (1)\) សរសេរ (1) ឡើងវិញ គេបាន \(\vec{c} = (1-t_0)\vec{a} + t_0\vec{b} \quad{} (2)\) តាង \(1-t_0 = m\) និង \(t_0 = n\) នោះគឺមានចំនួនពិត \(m\) និង \(n\) ដែល \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}, m+n=1 \quad{} (3)\)

ច្រាសមកវិញ បើមានចំនួនពិត \(m\) និង \(n\) ដែល \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) និង \(m+n=1\) នោះគេអាចយក \(n=t_0\) ហើយ \(m=1-t_0\) គេអាចសរសេរ \(\vec{c} = \vec{a} + t_0(\vec{b} - \vec{a})\) ។ ដូច្នេះ \(C(\vec{c})\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB\) បានន័យថា \(C(\vec{c}) \in AB\) ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ ដើម្បីឱ្យចំណុច \(C(\vec{c}) \in AB\) ដែល \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) គឺមានចំនួនពិត \(m\) និង \(n\) ដែល \(m+n=1\) ហើយ \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) ។

បន្ទាត់និងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់

គេមានបន្ទាត់ \(L\) កាត់តាមចំណុចនឹង \(P_0(\vec{p}_0)\) កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{n}\), \(\vec{n} \neq \vec{0}\) ។ តាង \(P(\vec{p})\) ជាចំណុចចល័តនៅលើបន្ទាត់ \(L\) គេបាន \(\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} - \vec{p}_0\), \(\overrightarrow{P_0P} \perp \vec{n}\) ។ ដូច្នេះ \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{p}_0) = 0 \quad{} (1)\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដែលជាសមីការណរម៉ាល់ទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ \(L\) ។

ជាទូទៅ

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(P_0(x_0, y_0)\) ហើយកែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{n} = (a, b)\) គឺ \(\begin{cases} \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{p}_0) = 0 (1) \\ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \quad{} (2) \end{cases}\) ។ វ៉ិចទ័រ \(\vec{n} = (a, b)\) ហៅថា វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់នេះ ។

សម្គាល់ : បើ \(\vec{n}\) ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ \(L\) និង \(k \neq 0\) នោះ \(k\vec{n}\) ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ \(L\) ដែរ ។ នៅក្នុងសមីការ (2) ខាងលើ បើយក \(c = -ax_0 - by_0\) នោះ (2) អាចសរសេរជា \(ax + by + c = 0\) ហៅថា សមីការទូទៅ នៃបន្ទាត់ \(L\) ។ ម្យ៉ាងទៀត គេអាចនិយាយថា វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់មួយ ត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការ \(\vec{n} = (a, b)\) ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

រកសមីការនៃបន្ទាត់ \(L\) ដែលកាត់តាមចំណុច \(P_0(3, 4)\) ហើយកែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = (2, 5)\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមសមីការនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \(P_0(x_0, y_0)\) ហើយកែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{n} = (a, b)\) គឺ \(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\) គេបាន \(2(x - 3) + 5(y - 4) = 0\) \(2x - 6 + 5y - 20 = 0\) \(2x + 5y - 26 = 0\) ដូច្នេះ សមីការនេះគឺ \(2x + 5y - 26 = 0\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ \(3x - 4y + 5 = 0\) ។

មើលចម្លើយ

\(\vec{n} = (3, -4)\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច \((5, -4)\) ហើយកែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{n} = (2, 3)\) ។

មើលចម្លើយ

\(2x + 3y + 2 = 0\) ។

ចម្ងាយរវាងចំណុច និងបន្ទាត់

តាង \(L : ax + by + c = 0\) និងចំណុច \(P(x_1, y_1)\) ជាចំណុចមួយមិននៅលើ \(L\) ។ តាង \(d\) ជាចម្ងាយរវាង \(P\) និង \(L\) ។ បង្ហាញថា \(d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) ។

តាង \((x_2, y_2)\) ជាកូអរដោនេនៃចំណុច \(H\) ដែលជាចំណោលកែងនៃ \(P\) លើបន្ទាត់ \(L\) ។ គេបាន \(\overrightarrow{PH} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\) ។ បើគេតាង \(\vec{n} = (a, b)\) នោះ \(\overrightarrow{PH} \parallel \vec{n}\) ។ ដូច្នេះ \(|\overrightarrow{PH} \cdot \vec{n}| = |\overrightarrow{PH}| \cdot |\vec{n}|\) \(|\overrightarrow{PH} \cdot \vec{n}| = |\overrightarrow{PH}| \cdot |\vec{n}| = d|\vec{n}|\) នាំឱ្យ \(d = \frac{|\overrightarrow{PH} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1)}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំណុច \(H\) នៅលើ \(L\) នោះ \(ax_2 + by_2 + c = 0\) ហើយ \(ax_2 + by_2 = -c\) ។ ដូច្នេះ \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = ax_2 - ax_1 + by_2 - by_1 = -ax_1 - by_1 - c\) ។

ជាទូទៅ

ចម្ងាយរវាងចំណុច \(P(x_1, y_1)\) និងបន្ទាត់ \(L : ax + by + c = 0\) គឺ

\[d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \text{~។}\]

៤លំហាត់គំរូ ៤

រកចម្ងាយរវាងចំណុច \((1, 2)\) និងបន្ទាត់ \(2x + 3y = 10\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តចម្ងាយ \(d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) គេបាន \(d = \frac{|2 \times 1 + 3 \times 2 - 10|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\) ។ ដូច្នេះ ចម្ងាយរវាងចំណុច \((1, 2)\) និងបន្ទាត់ \(2x + 3y = 10\) គឺ \(d = \frac{2}{\sqrt{13}}\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកចម្ងាយរវាងចំណុច \(P(2, -5)\) និងបន្ទាត់ \(4x - 3y + 7 = 0\) ។

មើលចម្លើយ

\(d = 6\) ។

រង្វង់និងវ៉ិចទ័រ

យកចំណុច \(P\) ជាចំណុចចល័តនៅលើរង្វង់ដែលមានផ្ចិតត្រង់ចំណុច \(C(\vec{c})\) និងកាំ \(r\) ។ នោះគេបាន \(|\overrightarrow{CP}| = r\) ។ ដូច្នេះ \(|\vec{p} - \vec{c}| = r\) នេះគឺជាសមីការវ៉ិចទ័រនៃរង្វង់ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

លើកអង្គទាំងពីរនៃ (1) ជាការេ \(|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2 \quad{} (2)\) តាង \(\vec{p} = (x, y)\) និង \(\vec{c} = (x_0, y_0)\) គេបាន \(\vec{p} - \vec{c} = (x - x_0, y - y_0)\) (2) គេអាចសរសេរ \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) ហៅថា សមីការរង្វង់ ។ ដូច្នេះ រង្វង់ផ្ចិត \(C = (x_0, y_0)\) និងកាំ \(r\) មានសមីការ \(\begin{cases} |\vec{p} - \vec{c}| = r \\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \end{cases}\) ។

ជាទូទៅ

សមីការរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(r\) មានរាង \(x^2 + y^2 = r^2\) ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

រកសមីការរង្វង់ផ្ចិត \(O(0, 0)\) និងកាំ \(r = 5\) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) គេបាន \((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2\) \(x^2 + y^2 = 25\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថាសមីការវ៉ិចទ័រនៃរង្វង់ ដែលមាន \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) ជាចំណុចចុងសងខាងនៃអង្កត់ផ្ចិត \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0\) ដែល \(P(\vec{p})\) ជាចំណុចចល័តនៅលើរង្វង់ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

តាងចំណុចមួយ \(P_0(\vec{p}_0)\) នៅលើរង្វង់ ដែលមានផ្ចិត \(C(\vec{c})\) និងកាំ \(r\) ។ បង្ហាញថា សមីការវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងរង្វង់នេះត្រង់ចំណុច \(P_0\) គឺ \((\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p}_0 - \vec{c}) = r^2\) ដែល \(P(\vec{p})\) ជាចំណុចចល័តនៅលើបន្ទាត់ប៉ះ ។

ការអនុវត្តវ៉ិចទ័រលើធរណីមាត្រ

តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលជ្រុង \(BC\) នៃ \(\triangle ABC\) ។ បង្ហាញថា \(AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)\) ។

បើគេយក \(M\) ជាចំណុចគល់នៃវ៉ិចទ័រដូចរូបខាងក្រោម ហើយ តាង \(\vec{a}\) ហើយ \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃ \(A\) និង \(B\) ។ នោះវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃ \(C\) គឺ \(-\vec{b}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដូច្នេះ \(\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}\) និង \(\overrightarrow{CA} = \vec{a} + \vec{b}\) នាំឱ្យ

\[AB^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})\]

\[= |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\]

\[AC^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\]

\[= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\]

ដូច្នេះ \(AB^2 + AC^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) = 2(AM^2 + BM^2)\) ។

៦លំហាត់គំរូ ៦

យក \(O\) ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ \(ABC\) ហើយយក \(\vec{a}, \vec{b}\) និង \(\vec{c}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃកំពូលទាំងបី \(A, B\) និង \(C\) ។ យក \(H\) ជាចំណុចនៃផលបូកវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) ។ បង្ហាញថា
ក. បើ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) នោះ \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}\) ។
ខ. បង្ហាញថាចំណុចទាំងបីនៃត្រីកោណ \(ABC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(H\) ។

ដំណោះស្រាយ

ក. ដោយ \(A(\vec{a})\) និង \(H(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\) នោះ \(\overrightarrow{AH} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}\) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) នោះវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃ \(M\) គឺ \(\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right)\) ។ ដូច្នេះ \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ខ. ដោយ \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}\) នោះ \(AH \parallel OM\) ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(BC\) របស់រង្វង់ផ្ចិត \(O\) នោះ \(OM \perp BC\) គេបាន \(AH \perp BC\) ។ ដូច្នេះ កម្ពស់ដែលគូសពីកំពូល \(A\) ទៅ \(BC\) កាត់តាមចំណុច \(H\) ។ ស្រាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរ កម្ពស់ដែលគូសពីកំពូល \(B\) ទៅ \(AC\) និង \(C\) ទៅ \(AB\) ក៏កាត់តាមត្រង់ចំណុច \(H\) ដែរ ។ ដូច្នេះ កម្ពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណ \(ABC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(H\) ។

ប្រតិបត្តិ

តាង \(D\) ជាចំណុចចែកជ្រុង \(BC\) ខាងក្នុងនៃ \(\triangle ABC\) តាមផលធៀប \(m : n\) ។ បង្ហាញដោយប្រើវ៉ិចទ័រ

\[nBA^2 + mAC^2 = nBD^2 + mCD^2 + (m + n)AD^2 \text{~។}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

៧លំហាត់គំរូ ៧

មានត្រីកោណ \(ABC\) និងចំណុច \(O\) នៅលើប្លង់នេះ ។ ពេលចំណុច \(O\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) តើចំណុច \(O\) ជាចំណុចអ្វី?

ដំណោះស្រាយ

ដោយ \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}\) គេបាន \(\overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = 0\) ដូច្នេះ \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\), \(\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}\) (1) ។

ដោយ \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) គេបាន \(\overrightarrow{OB} \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 0\) ដូច្នេះ \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), \(\overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{AC}\) (2) ។

ដោយ \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) គេបាន \(\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = 0\) ដូច្នេះ \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\), \(\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC}\) (3) ។

តាម (1) , (2) និង (3) គេបាន \(O\) ជាអរតូសង់នៃត្រីកោណ \(ABC\) ។

ប្រតិបត្តិ

តាង \(H\) ជាអរតូសង់នៃ \(\triangle ABC\) ហើយ តាង \(P\) ជាចំណុចដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{HP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ក. បើ \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(BC\) បង្ហាញថា \(\overrightarrow{HA} = 2\overrightarrow{MP}\) ។

ខ. បង្ហាញថា \(P\) ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅនៃ \(\triangle ABC\) ។

វ៉ិចទ័រកម្លាំងនិងវ៉ិចទ័រល្បឿន

វ៉ិចទ័រកម្លាំង

គេប្រើវ៉ិចទ័រដើម្បីសម្គាល់កម្លាំងដែលអនុវត្តត្រង់ចំណុចចាប់មួយ ។ ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺជាទិសដៅនៃកម្លាំង ហើយទំហំនៃវ៉ិចទ័រសមាមាត្រទៅនឹងទំហំកម្លាំង ។ វ៉ិចទ័របែបនេះ ហៅថា វ៉ិចទ័រកម្លាំង ។ កម្លាំង \(\vec{f}\) និង \(\vec{g}\) មានចំណុចចាប់រួម \(A\) ។

កម្លាំងផ្គួបនៃកម្លាំងទាំងពីរនេះ តាងដោយ \(\vec{f} + \vec{g}\) ដែលមានចំណុចចាប់ \(A\) ដែរ ។

គេអាចសង់វ៉ិចទ័រកម្លាំងផ្គួប \(\vec{f} + \vec{g}\) នេះតាមច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម ។ កម្លាំង \(\vec{f}\) និង \(\vec{g}\) អាចជំនួសដោយកម្លាំងតែមួយ \(\vec{f} + \vec{g}\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

សម្គាល់ : បើកម្លាំងពីរ \(\vec{f}_1\) និង \(\vec{f}_2\) មានចំណុចចាប់រួមមួយ ហើយមានលំនឹងស្ងៀម នោះ \(\vec{f}_1 + \vec{f}_2 = \vec{0}\) ដូចគ្នាដែរចំពោះ កម្លាំងបីឬច្រើន ។

៨លំហាត់គំរូ ៨

កម្លាំងបី \(\vec{f}, \vec{g}\) និង \(\vec{h}\) មានចំណុចចាប់រួម \(O\) តែមួយ ហើយកម្លាំងទាំងនេះ មានលំនឹងស្ងៀម ។ សង់កម្លាំង \(\vec{h}\) បើគេស្គាល់កម្លាំង \(\vec{f}, \vec{g}\) ដូចរូប ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌដែលឱ្យ គេអាចសង់កម្លាំងផ្គួប \(\vec{f} + \vec{g}\) និងកម្លាំង \(\vec{h} = -(\vec{f} + \vec{g})\) ដូចរូប ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

គេព្យួរវត្ថុមួយដែលមានម៉ាស 30 kg ត្រង់ចំណុច \(C\) នៃខ្សែមួយ ដែលគេចងភ្ជាប់ចុងសងខាងទៅនឹងចំណុចនឹងពីរ \(A\) និង \(B\) (ដូចរូបខាងស្ដាំ) ។ កំណត់កម្លាំងត្រង់ចំណុច \(A\) និង \(B\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលចម្លើយ

\(|\vec{F}_A| = 18\), \(|\vec{F}_B| = 24\) ។

ប្រតិបត្តិ

ដើម្បីទាញរទេះមួយឱ្យបាន \(10\text{ m}\) បុរសម្នាក់បានប្រើកម្លាំង \(\vec{F}\) ដែលមានអាំងតង់ស៊ីតេ \(350\text{ N}\) តាមមុំ \(45^\circ\) ។
ក. រកកម្មន្តដែលបង្កើតបានដោយកម្លាំងនេះ ។
ខ. រកអាំងតង់ស៊ីតេនៃកម្លាំងដែលត្រូវប្រើដើម្បីបង្កើតកម្មន្តដដែល កាលណាគេរុញរទេះទៅតាមអ័ក្សនៃបម្លាស់ទី ។

មើលចម្លើយ

ក. \(1750\sqrt{2}\text{ J}\)

ខ. \(175\sqrt{2}\text{ N}\) ។

វ៉ិចទ័រល្បឿន

ចំពោះចំណុចចល័ត \(P\) មួយ និងវ៉ិចទ័រល្បឿន \(\vec{v}\) នៅខណៈ \(t\) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានទិសដៅដូចទិសដៅនៃបន្ទាត់ប៉ះបម្លាស់ទី \(P\) ហើយមានទំហំជាល្បឿននៃ \(P\) នៅខណៈ \(t\) នោះ (គឺជាបម្លាស់ទីនៃ \(P\) ក្នុង 1 ឯកតានៃពេល) ។

៩លំហាត់គំរូ ៩

ដូចក្នុងរូបខាងស្ដាំ ទឹកទន្លេមួយហូរដោយល្បឿន \(3\text{ m/s}\) ទៅទិសខាងកើត ។ ហើយមានទូកមួយបើកដោយល្បឿន \(4\text{ m/s}\) ទៅទិសខាងជើង ។ ចូររកទិសដៅ និងល្បឿនពិតប្រាកដនៃទូក ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ដំណោះស្រាយ

តាង \(B\) ជាទូក, \(W\) ជាទឹក, \(V_w = 3\text{ m/s}\) និង \(V_{B/W} = 4\text{ m/s}\) ។ ល្បឿនពិតប្រាកដនៃទូកគឺ \(V_B = V_{B/W} + V_w\) ដូចរូប ៖
គេបាន \(V_B = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ m/s}\) និង \(\tan \alpha = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^\circ\) ។
ដូច្នេះ ល្បឿនពិតប្រាកដរបស់ទូកគឺ \(5\text{ m/s}\) តាមមុំ \(\alpha \approx 53.1^\circ\) ។

ប្រតិបត្តិ

ទឹកស្ទឹងមួយហូរដោយល្បឿន \(2\text{ m/s}\) ពីទិសខាងលិចទៅកើត ។ យើងចែវទូកដោយល្បឿន \(2\text{ m/s}\) ពីទិសខាងត្បូងទៅខាងជើងហើយកែងទៅនឹងចរន្តទឹកស្ទឹង ។ កំណត់ទិសដៅនិងល្បឿនពិតប្រាកដរបស់ទូក?

មើលចម្លើយ

ល្បឿនទូកគឺ \(v = 2\sqrt{2}\text{ m/s}\) ទិសដៅទូកគឺ \(45^\circ\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

តាង \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ។ បង្ហាញវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចខាងក្រោមជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ៖

ចំណុចចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(3 : 2\) ។
ចំណុចចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(1 : 2\) ។
ចំណុចស៊ីមេទ្រីទៅនឹង \(A\) ធៀបទៅនឹង \(B\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

តាង \(\vec{a} = \overrightarrow{OA}\) និង \(\vec{b} = \overrightarrow{OB}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ធៀបនឹងគល់ \(O\)។

ក. ចំណុច \(P\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(3 : 2\) (\(AP : PB = 3 : 2\))៖ តាមរូបមន្តវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចចែកខាងក្នុង៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n} \\ &= \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3 + 2} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b} \end{aligned}\]

ខ. ចំណុច \(Q\) ចែកអង្កត់ \(AB\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(2 : 1\) (\(AQ : QB = 2 : 1\))៖ យើងមាន \(\overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{BQ}\) នាំឱ្យ \(\vec{q} - \vec{a} = 2(\vec{q} - \vec{b}) \implies \vec{q} - \vec{a} = 2\vec{q} - 2\vec{b}\)៖

\[\vec{q} = 2\vec{b} - \vec{a}\]

(ឬប្រសិនបើចែកតាមផលធៀប \(1 : 2\) នោះ \(\vec{q} = 2\vec{a} - \vec{b}\))។

គ. ចំណុច \(R\) ស៊ីមេទ្រីនៃ \(A\) ធៀបនឹង \(B\)៖ \(B\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([AR]\) នាំឱ្យ \(\vec{b} = \dfrac{\vec{a} + \vec{r}}{2} \implies \vec{r} = 2\vec{b} - \vec{a}\)។

២លំហាត់ទី ២

\(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រមិនស្របគ្នា ហើយវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{p}, \vec{q}\) និង \(\vec{r}\) នៃបីចំណុច \(P, Q\) និង \(R\) រៀងគ្នា ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖

\(\vec{p} = 2\vec{a} + 2\vec{b}\), \(\vec{q} = -6\vec{a} + 6\vec{b}\), \(\vec{r} = 6\vec{a}\) ។

បង្ហាញថា \(\overrightarrow{PQ}\) និង \(\overrightarrow{PR}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ។
តើទំនាក់ទំនងក្នុងចំណោមបីចំណុច \(P, Q\) និង \(R\) ជាទំនាក់ទំនងអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{p} = 2\vec{a} + 2\vec{b}\), \(\vec{q} = -6\vec{a} + 6\vec{b}\), \(\vec{r} = 6\vec{a}\)។

ក. បង្ហាញ \(\overrightarrow{PQ}\) និង \(\overrightarrow{PR}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \vec{q} - \vec{p} = (-6\vec{a} + 6\vec{b}) - (2\vec{a} + 2\vec{b}) = -8\vec{a} + 4\vec{b} \\ \overrightarrow{PR} &= \vec{r} - \vec{p} = 6\vec{a} - (2\vec{a} + 2\vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b} \end{aligned}\]

ខ. ទំនាក់ទំនងក្នុងចំណោមបីចំណុច \(P, Q\) និង \(R\)៖ យើងសង្កេតឃើញថា៖

\[\overrightarrow{PQ} = -8\vec{a} + 4\vec{b} = -2(4\vec{a} - 2\vec{b}) = -2\overrightarrow{PR}\]

ដោយ \(\overrightarrow{PQ} = -2\overrightarrow{PR}\) នាំឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{PQ}\) និង \(\overrightarrow{PR}\) កូលីនេអ៊ែរគ្នា។

ដូចនេះ បីចំណុច \(P, Q, R\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា (Collinear) ដោយ \(P\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(Q\) និង \(R\) ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ \(PQ = 2PR\)។

៣លំហាត់ទី ៣

តាង \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃពីរចំណុច \(A\) និង \(B\) ដែលចំណុច \(O\) ជាចំណុចគល់ ។ ចូររកសមីការវ៉ិចទ័រនៃកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle AOB\) ចំពោះ៖

\(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\)
\(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសនៃកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle AOB\) ត្រូវបានកំណត់ដោយផលបូកនៃវ៉ិចទ័រឯកតានៃទិស \(\overrightarrow{OA}\) និង \(\overrightarrow{OB}\)៖

\[\vec{u} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\]

សមីការវ៉ិចទ័រនៃកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំគឺ \(\vec{r} = t\vec{u}\) ចំពោះ \(t \ge 0\)។

ក. ករណី \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\)៖ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសគឺ \(\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}\)។ ខ. ករណី \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\)៖ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសគឺ៖

\[\vec{u} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\]

ដោយយកវ៉ិចទ័រស្របគ្នា \(3\vec{a} + 2\vec{b}\) សមីការកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំគឺ៖

\[\vec{r} = t(3\vec{a} + 2\vec{b}) \quad{} (t \ge 0)\]

៤លំហាត់ទី ៤

\(L_1\) ជាបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \((1, 1)\) ដែលមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_1 = (1, 2)\) ហើយ \(L_2\) ជាបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \((1, 5)\) ដែលមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_2 = (3, -4)\) ។

រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ \(L_1\) និង \(L_2\) ជាអនុគមន៍ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(s\) និង \(t\) ។
រកកូអរដោនេនៃចំណុចដែល \(L_1\) ប្រសព្វ \(L_2\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ \(L_1\) និង \(L_2\)៖

បន្ទាត់ \(L_1\) កាត់តាម \((1, 1)\) មានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_1 = (1, 2)\)៖
\[L_1 : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases} \quad{} (s \in \mathbb{R})\]
បន្ទាត់ \(L_2\) កាត់តាម \((1, 5)\) មានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_2 = (3, -4)\)៖
\[L_2 : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 5 - 4t \end{cases} \quad{} (t \in \mathbb{R})\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង \(L_1\) និង \(L_2\)៖ ផ្គូផ្គងកូអរដោនេ \(x\) និង \(y\)៖

\[\begin{cases} 1 + s = 1 + 3t \implies s = 3t \\ 1 + 2s = 5 - 4t \end{cases}\]

ជំនួស \(s = 3t\) ចូលសមីការទីពីរ៖

\[\begin{aligned} 1 + 2(3t) &= 5 - 4t \iff 1 + 6t = 5 - 4t \\ &\iff 10t = 4 \implies t = \frac{2}{5} \end{aligned}\]

ទាញបាន \(s = 3\left(\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{6}{5}\)។

កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វគឺ៖

\[x = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}, \quad{} y = 1 + 2\left(\frac{6}{5}\right) = \frac{17}{5}\]

ដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺ \(\left(\dfrac{11}{5}, \dfrac{17}{5}\right)\)។

៥លំហាត់ទី ៥

តើប្រភេទចតុកោណ \(ABCD\) ជាចតុកោណអ្វី បើទំនាក់ទំនងខាងក្រោមពិត?

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) និង \((\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}) = 0\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. ប្រភេទនៃ \(ABCD\) កាលណា \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD}\)៖ បំប្លែងសមភាពវ៉ិចទ័រ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD} &\iff \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BC} \\ &\iff \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \end{aligned}\]

ដោយសារ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) នាំឱ្យអង្កត់ \([AB]\) ស្រប និងស្មើនឹងអង្កត់ \([DC]\)។

ដូចនេះ \(ABCD\) ជា ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram)។

ខ. ប្រភេទនៃ \(ABCD\) កាលណា \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) និង \((\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}) = 0\)៖

តាម \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ចតុកោណ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម (ឬចតុកោណព្នាយសមបាត)។
ពិនិត្យកន្សោមផលគុណស្កាលែរ៖ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\) (អង្កត់ទ្រូងទីមួយ)។

\(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\) (អង្កត់ទ្រូងទីពីរ)។

សមភាពក្លាយជា \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \implies AC \perp BD\) (អង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា)។

ប្រលេឡូក្រាមដែលមានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នាជា ចតុកោណស្មើ (Rhombus)។

៦លំហាត់ទី ៦

រកចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ \(3x + 4y + 5 = 0\) និងចំណុចខាងក្រោម៖

\((2, 1)\)
\((-8, 1)\)
\((0, 0)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តចម្ងាយពីចំណុច \(M(x_0, y_0)\) ទៅបន្ទាត់ \(ax + by + c = 0\) គឺ៖

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

ចំពោះបន្ទាត់ \(3x + 4y + 5 = 0\) គេមាន \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)។

ក. ចម្ងាយពីចំណុច \((2, 1)\)៖

\[\begin{aligned} d_1 &= \frac{|3(2) + 4(1) + 5|}{5} = \frac{|6 + 4 + 5|}{5} \\ &= \frac{15}{5} = 3 \text{ ឯកតា} \end{aligned}\]

ខ. ចម្ងាយពីចំណុច \((-8, 1)\)៖

\[\begin{aligned} d_2 &= \frac{|3(-8) + 4(1) + 5|}{5} = \frac{|-24 + 4 + 5|}{5} \\ &= \frac{|-15|}{5} = 3 \text{ ឯកតា} \end{aligned}\]

គ. ចម្ងាយពីគល់ \((0, 0)\)៖

\[d_3 = \frac{|3(0) + 4(0) + 5|}{5} = \frac{5}{5} = 1 \text{ ឯកតា}\]

៧លំហាត់ទី ៧

រកចម្ងាយរវាងចំណុច \((5, 3)\) និងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(x + 2y = 6\) ។ រកសមីការរង្វង់មានផ្ចិត \((5, 3)\) និងបន្ទាត់ប៉ះដែលមានសមីការ \(x + 2y = 6\) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់មានសមីការ \(x + 2y - 6 = 0\) និងចំណុច \(C(5, 3)\)។

ក. គណនាចម្ងាយពីចំណុច \((5, 3)\) ទៅបន្ទាត់៖

\[\begin{aligned} d &= \frac{|1(5) + 2(3) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{|5 + 6 - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \text{ ឯកតា} \end{aligned}\]

ខ. រកសមីការរង្វង់៖ រង្វង់មានផ្ចិត \(C(5, 3)\) ហើយប៉ះនឹងបន្ទាត់ \(x + 2y = 6\) មានកាំស្មើនឹងចម្ងាយពីផ្ចិតទៅបន្ទាត់ប៉ះ៖

\[R = d = \sqrt{5} \implies R^2 = 5\]

សមីការស្តង់ដារនៃរង្វង់គឺ៖

\[(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 5\]

៨លំហាត់ទី ៨

បើយើងបង្កើតត្រីកោណពីរ \(\triangle LMN\) និង \(\triangle PQR\) ដោយភ្ជាប់រវាងចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុងឆកោណ ដូចបង្ហាញក្នុងរូប នោះត្រីកោណទាំងពីរនេះ មានទីប្រជុំទម្ងន់តែមួយ ។ បង្ហាញដោយប្រើវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃកំពូលឆកោណ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

តាង \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3, \vec{a}_4, \vec{a}_5, \vec{a}_6\) ជាវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃកំពូលទាំង ៦ នៃឆកោណ។

វ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងប្រាំមួយគឺ៖

\[\begin{aligned} \vec{l} &= \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}, \quad{} \vec{m} = \frac{\vec{a}_3 + \vec{a}_4}{2} \\ \vec{n} &= \frac{\vec{a}_5 + \vec{a}_6}{2} \\ \vec{p} &= \frac{\vec{a}_2 + \vec{a}_3}{2}, \quad{} \vec{q} = \frac{\vec{a}_4 + \vec{a}_5}{2} \\ \vec{r} &= \frac{\vec{a}_6 + \vec{a}_1}{2} \end{aligned}\]

ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G_1\) នៃ \(\triangle LMN\)៖
\[\begin{aligned} \vec{g}_1 &= \frac{\vec{l} + \vec{m} + \vec{n}}{3} \\ &= \frac{1}{3}\left(\frac{\vec{a}_1 + \dots + \vec{a}_6}{2}\right) = \frac{\sum_{i=1}^6 \vec{a}_i}{6} \end{aligned}\]
ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G_2\) នៃ \(\triangle PQR\)៖
\[\begin{aligned} \vec{g}_2 &= \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} \\ &= \frac{1}{3}\left(\frac{\vec{a}_2 + \dots + \vec{a}_1}{2}\right) = \frac{\sum_{i=1}^6 \vec{a}_i}{6} \end{aligned}\]

ដោយ \(\vec{g}_1 = \vec{g}_2\) នាំឱ្យត្រីកោណទាំងពីរមានទីប្រជុំទម្ងន់តែមួយ (\(G_1 \equiv G_2 \equiv G\)) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៩លំហាត់ទី ៩

ការរៀបចំទីតាំងបង្គោលភ្លើង៖ វិស្វករម្នាក់ចង់ដំឡើងបង្គោលភ្លើងបំភ្លឺផ្លូវថ្មីមួយនៅចន្លោះអគារពីរ។ អគារទី១ ស្ថិតនៅត្រង់ចំណុច \(A(-2, 4)\) និងអគារទី២ ស្ថិតនៅត្រង់ចំណុច \(B(6, 0)\) លើប្លង់កូអរដោនេ (ឯកតាគិតជាគីឡូម៉ែត្រ)។ វិស្វករសម្រេចចិត្តដាក់បង្គោលភ្លើងត្រង់ចំណុច \(M\) ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \(AB\)។

ចូរគណនាកូអរដោនេនៃទីតាំងបង្គោលភ្លើង \(M\) ដោយប្រើវ៉ិចទ័រ។
ដើម្បីឲ្យភ្លើងភ្លឺដល់អគារទាំងពីរស្មើគ្នា តើចម្ងាយពីបង្គោលភ្លើងទៅអគារនីមួយៗស្មើនឹងប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃទីតាំងបង្គោលភ្លើង \(M\)៖ ដោយ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ \([AB]\) ដែល \(A(-2, 4)\) និង \(B(6, 0)\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} \\ \implies &\begin{cases} x_M = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2 \\[4pt] y_M = \dfrac{4 + 0}{2} = 2 \end{cases} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ទីតាំងបង្គោលភ្លើងគឺ \(M(2, 2)\)។

ខ. គណនាចម្ងាយពីបង្គោលភ្លើងទៅអគារនីមួយៗ (\(MA = MB\))៖

\[\begin{aligned} MA &= \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} \\ &= \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 4)^2} \\ &= \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47\text{ km} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ចម្ងាយពីបង្គោលភ្លើងទៅអគារនីមួយៗគឺប្រហែល \(4.47\text{ km}\)។

១០លំហាត់ទី ១០

តុល្យភាពនៃបន្ទះក្តារ៖ ក្មេងពីរនាក់កំពុងលេងទូកក្តោង។ ក្តោងទូកជារាងត្រីកោណ \(ABC\) មួយដែលមានកំពូល \(A(1, 2), B(5, 2)\) និង \(C(3, 8)\) ធៀបនឹងតម្រុយអរតូណរមេមួយ។ ដើម្បីឱ្យក្តោងមានលំនឹងល្អ គេត្រូវចងខ្សែនៅត្រង់ទីប្រជុំទម្ងន់ (ទម្ងន់កណ្តាល) នៃត្រីកោណ។

ដោយប្រើរូបមន្តវ៉ិចទ័រទីប្រជុំទម្ងន់ ចូររកកូអរដោនេនៃចំណុចចងខ្សែ \(G\)។
គេដឹងថាវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{CG}\) កែងគ្នាឬទេ? ចូរស្រាយបំភ្លឺ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកកូអរដោនេនៃចំណុចចងខ្សែ \(G\) (ទីប្រជុំទម្ងន់)៖ កំពូលនៃត្រីកោណក្តោងគឺ \(A(1, 2), B(5, 2), C(3, 8)\)៖

\[x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 5 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3\]

\[y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{2 + 2 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4\]

ដូចនេះ ចំណុចចងខ្សែគឺ \(G(3, 4)\)។

ខ. ស្រាយបំភ្លឺថាតើ \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CG}\) ដែរឬទេ៖ គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (5 - 1, 2 - 2) = (4, 0) \\ \overrightarrow{CG} &= (3 - 3, 4 - 8) = (0, -4) \end{aligned}\]

គណនាផលគុណស្កាលែរ៖

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = 4(0) + 0(-4) = 0 + 0 = 0\]

ដោយសារ \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = 0\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CG}\) ពិតប្រាកដមែន។

(តាមធរណីមាត្រ \(\triangle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់ \(C\) ព្រោះ \(CA = CB = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{40}\) នាំឱ្យមេដ្យាន \(CG\) ក៏ជាកម្ពស់កែងនឹងបាត \(AB\) ដែរ)។

១១លំហាត់ទី ១១

រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) និង \(Q\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម ហើយគេឱ្យពីរចំណុច \(A(-3, 4)\) និង \(B(2, -1)\) និង \(O\) ជាគល់

\(\overrightarrow{PO} = \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-3, 4)\), \(B(2, -1)\) និងគល់ \(O(0, 0)\)។

វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{AB} = (2 - (-3), -1 - 4) = (5, -5)\)។

ក. រកកូអរដោនេនៃ \(P(x_P, y_P)\) ដែល \(\overrightarrow{PO} = \overrightarrow{AB}\)៖ \(\overrightarrow{PO} = (0 - x_P, 0 - y_P) = (-x_P, -y_P)\)។

\[\begin{aligned} (-x_P, -y_P) &= (5, -5) \\ \implies &\begin{cases} -x_P = 5 \implies x_P = -5 \\ -y_P = -5 \implies y_P = 5 \end{cases} \\ \implies &P(-5, 5) \end{aligned}\]

ខ. រកកូអរដោនេនៃ \(Q(x_Q, y_Q)\) ដែល \(\overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)៖ \(\overrightarrow{AQ} = (x_Q - (-3), y_Q - 4) = (x_Q + 3, y_Q - 4)\)។

\[(x_Q + 3, y_Q - 4) = \frac{1}{2}(5, -5) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{5}{2}\right)\]

\[\begin{aligned} x_Q &= \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2} \\ y_Q &= 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \implies Q\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \end{aligned}\]

១២លំហាត់ទី ១២

គេឱ្យ \(\overrightarrow{OA} = 2\vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = 3\vec{b}\), \(\overrightarrow{OC} = 6\vec{a} - 6\vec{b}\) និង \(\overrightarrow{OD} = 6\vec{b} - 4\vec{a}\) ។ បង្ហាញថា

បីចំណុច \(A, B\) និង \(C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។
\(AB \parallel OD\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញថា \(A, B, C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 3\vec{b} - 2\vec{a} \\ \overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (6\vec{a} - 6\vec{b}) - 2\vec{a} \\ &= 4\vec{a} - 6\vec{b} = -2(3\vec{b} - 2\vec{a}) = -2\overrightarrow{AB} \end{aligned}\]

ដោយ \(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{AB}\) នាំឱ្យ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

ខ. បង្ហាញថា \(AB \parallel OD\)៖ យើងមាន \(\overrightarrow{OD} = 6\vec{b} - 4\vec{a} = 2(3\vec{b} - 2\vec{a}) = 2\overrightarrow{AB}\)។

ដោយ \(\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{AB}\) នាំឱ្យវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{OD}\) និង \(\overrightarrow{AB}\) ស្របគ្នា ដូចនេះ \(AB \parallel OD\)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេឱ្យ \(|\vec{a}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{b}| = 2\) និង \(|\vec{a} + \vec{b}| = 1\) ។ ចូររក

\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
\((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(|\vec{a}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{b}| = 2\) និង \(|\vec{a} + \vec{b}| = 1\)។

ក. គណនា \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)៖

\[|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\]

\[\begin{aligned} 1^2 &= (\sqrt{3})^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2^2 \\ \implies 1 &= 7 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} \\ \implies 2\vec{a}\cdot\vec{b} &= -6 \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = -3 \end{aligned}\]

ខ. គណនា \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})\)៖

\[\begin{aligned} (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) &= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2 \\ &= |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2 \\ &= 3 + (-3) - 2(4) = -8 \end{aligned}\]

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេឱ្យ \(\overrightarrow{OP} = (1, 1)\) និង \(\overrightarrow{OQ} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})\)

រកមុំដែលកើតឡើងដោយ \(\overrightarrow{OP}\) និង \(\overrightarrow{OQ}\) ។
រកផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle OPQ\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\overrightarrow{OP} = (1, 1)\) និង \(\overrightarrow{OQ} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})\)។

ក. រកមុំរវាង \(\overrightarrow{OP}\) និង \(\overrightarrow{OQ}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} &= 1(1 - \sqrt{3}) + 1(1 + \sqrt{3}) \\ &= 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2 \\ \|\overrightarrow{OP}\| &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\ \|\overrightarrow{OQ}\| &= \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (1 + \sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \\ \cos\theta &= \frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}}{\|\overrightarrow{OP}\| \|\overrightarrow{OQ}\|} \\ &= \frac{2}{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \end{aligned}\]

ខ. រកផ្ទៃក្រឡានៃ \(\triangle OPQ\)៖

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \|\overrightarrow{OP}\| \|\overrightarrow{OQ}\| \sin 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (ឯកតាផ្ទៃ)} \end{aligned}\]

១៥លំហាត់ទី ១៥

រកវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ \(\sqrt{3}x + y - 1 = 0\) និង \(x + \sqrt{3}y + 2 = 0\) ហើយរកមុំដែលកើតឡើងដោយបន្ទាត់ទាំងពីរ ។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ទី១៖ \(\sqrt{3}x + y - 1 = 0\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n}_1 = (\sqrt{3}, 1)\)។

បន្ទាត់ទី២៖ \(x + \sqrt{3}y + 2 = 0\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n}_2 = (1, \sqrt{3})\)។

មុំ \(\theta\) រវាងបន្ទាត់ទាំងពីរគណនាតាមរូបមន្តមុំរវាងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទាំងពីរ៖

\[\begin{aligned} \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 &= \sqrt{3}(1) + 1(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \\ \|\vec{n}_1\| &= 2, \quad{} \|\vec{n}_2\| = 2 \\ \cos\theta &= \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\implies \theta = 30^\circ \end{aligned}\]

១៦លំហាត់ទី ១៦

វ៉ិចទ័រ \(\vec{p}\) និង \(\vec{q}\) ចល័ត ហើយ \(|\vec{p} \cdot \vec{q}| \leq |\vec{p}||\vec{q}|\) ពិត ។ ប្រើវិសមភាពនេះដើម្បីបង្ហាញវិសមភាពខាងក្រោម ដោយសន្មតថា \(\vec{p} = (a, b)\) និង \(\vec{q} = (x, y) : (ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{p} = (a, b)\) និង \(\vec{q} = (x, y)\)។

ផលគុណស្កាលែរគឺ \(\vec{p} \cdot \vec{q} = ax + by\)។

ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរគឺ \(|\vec{p}| = \sqrt{a^2 + b^2}\) និង \(|\vec{q}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)។

តាមវិសមភាព Cauchy-Schwarz សម្រាប់វ៉ិចទ័រ \(|\vec{p} \cdot \vec{q}| \le |\vec{p}| |\vec{q}|\)៖

\[|ax + by| \le \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{x^2 + y^2}\]

លើកអង្គទាំងពីរជាការ៉េ៖

\[(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)\]

វិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

១៧លំហាត់ទី ១៧

ចំណុច \(P\) ផ្លាស់ទីនៅលើប្លង់ ដែលមានវ៉ិចទ័រល្បឿន \(\vec{v} = (2, 5)\) ។ ពេល \(t=0\) ហើយ \(P\) ស្ថិតនៅទីតាំងត្រង់ចំណុច \(A(-6, -2)\) ហើយឯកតានៃរយៈពេលគឺ \(1\) វិនាទី ។

រកវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{p}\) នៃចំណុច \(P\) បន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទី ។
តើពេលណាដែល \(P\) ខិតទៅជិតចំណុច \((0, 2)\) បំផុត?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{p}(t)\) បន្ទាប់ពី \(t\) វិនាទី៖

\[\begin{aligned} \vec{p}(t) &= \overrightarrow{OA} + t\vec{v} = (-6, -2) + t(2, 5) \\ &= (-6 + 2t, -2 + 5t) \end{aligned}\]

ខ. ពេលណាដែល \(P\) ខិតទៅជិតគល់ \(O\) បំផុត៖

\[\begin{aligned} OP^2 &= (-6 + 2t)^2 + (-2 + 5t)^2 \\ &= 29t^2 - 44t + 40 \end{aligned}\]

ត្រីធាដឺក្រេទីពីរ \(f(t) = 29t^2 - 44t + 40\) មានតម្លៃអប្បបរមាត្រង់កំពូល៖

\[t = -\frac{b}{2a} = \frac{44}{2 \times 29} = \frac{22}{29} \approx 0.76\text{ វិនាទី}\]

(ប្រសិនបើទីតាំងដើមគឺ \((-6, 2)\) នោះ \(t = \frac{32}{29} \approx 1.1\text{ s}\))។

១៨លំហាត់ទី ១៨

នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម \(ABCD\) គេតាង \(E\) ជាចំណុចចែកជ្រុង \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(2 : 1\) ហើយតាង \(F\) ជាចំណុចចែកជ្រុង \(BC\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(1 : 3\) ។

តាង \(\overrightarrow{BA} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\) ។ បង្ហាញថា \(\overrightarrow{CE}\) និង \(\overrightarrow{CF}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ។
បង្ហាញថា បីចំណុច \(C, E\) និង \(F\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បង្ហាញ \(\overrightarrow{CE}\) និង \(\overrightarrow{CF}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BE} = -\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b} \\ \overrightarrow{CF} &= -\frac{3}{4}\vec{b} \quad{} (\text{ដោយ } F \in [BC] \text{ តាមផលធៀប } 1:3) \end{aligned}\]

ខ. ការពិនិត្យភាពត្រង់ជួរ៖ ដើម្បីឱ្យ \(C, E, F\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា វ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow{CE}\) និង \(\overrightarrow{CF}\) ត្រូវតែកូលីនេអ៊ែរគ្នា។

កំណត់សម្គាល់គរុកោសល្យ៖ ក្នុងប្លង់ទូទៅ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មិនស្របគ្នា ដូច្នេះ \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}\) មិនអាចស្របនឹង \(\overrightarrow{CF}\) ដែលស្របតែនឹង \(\vec{b}\) បានឡើយ។ លំហាត់នេះទាមទារឱ្យ \(F\) ត្រូវកំណត់នៅលើបន្ទាត់ផ្សេង (ដូចជា \(CD\)) ឬកែសម្រួលផលធៀបទើបចំណុចទាំងបីអាចរត់ត្រង់ជួរគ្នាបាន។

១៩លំហាត់ទី ១៩

នៅក្នុង \(\triangle ABC\) ដែលកំពូលទាំងបី \(A(\vec{a})\), \(B(\vec{b})\) និង \(C(\vec{c})\) ហើយតាង \(P(\vec{p})\) ជាចំណុចចែក \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(1 : 2\) និង \(Q(\vec{q})\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(AC\) ហើយ \(R(\vec{r})\) ជាចំណុចចែក \(BC\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(2 : 1\) ។ បង្ហាញថា \(\vec{q} = \frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r}\) និងបង្ហាញចំណុចទាំងបី \(P, Q\) និង \(R\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា \(\vec{q} = \frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r}\)៖

\(P\) ចែក \(AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(1:2 \implies \vec{p} = \dfrac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}\)
\(Q\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC \implies \vec{q} = \dfrac{\vec{a} + \vec{c}}{2}\)
\(R\) ចែក \(BC\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(2:1 \implies \vec{r} = \dfrac{-\vec{b} + 2\vec{c}}{2 - 1} = 2\vec{c} - \vec{b}\)

គណនាកន្សោមខាងស្តាំ៖

\[\begin{aligned} \frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r} &= \frac{3}{4}\left(\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}\right) + \frac{1}{4}(2\vec{c} - \vec{b}) \\ &= \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{4} + \frac{2\vec{c} - \vec{b}}{4} \\ &= \frac{2\vec{a} + 2\vec{c}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \vec{q} \end{aligned}\]

សមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។ ដោយសារ \(\vec{q} = \frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r}\) (\(m+n = 1\)) នាំឱ្យ \(P, Q, R\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

២០លំហាត់ទី ២០

តាង \(\mathcal{A}\) ជាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម ដែលពីវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) មិនស្របគ្នា ដែលកើតឡើងដោយជ្រុងពីរ ។ បង្ហាញថា \(\mathcal{A}^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\) ។ ហើយបង្ហាញផងដែរថា \(\mathcal{A} = |a_1b_2 - a_2b_1|\) ដោយតាង \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) និង \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

ផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតដោយ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) គឺ \(\mathcal{A} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta\)។

លើកជាការ៉េ៖

\[\begin{aligned} \mathcal{A}^2 &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2\theta \\ &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2\theta) \\ &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta)^2 \\ &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \end{aligned}\]

ជាមួយ \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) និង \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)៖

\[\begin{aligned} \mathcal{A}^2 &= (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \\ &= (a_1^2 b_1^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2) \\ &\quad{} - (a_1^2 b_1^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 + a_2^2 b_2^2) \\ &= a_1^2 b_2^2 - 2a_1 b_2 a_2 b_1 + a_2^2 b_1^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \end{aligned}\]

ទាញយកឫសការ៉េ៖ \(\mathcal{A} = |a_1 b_2 - a_2 b_1|\) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

២១លំហាត់ទី ២១

គេឱ្យ \(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(|\vec{b}| = 2|\vec{a}|\) ហើយវ៉ិចទ័រ \(\vec{a} + \vec{b}\) និង \(5\vec{a} - 2\vec{b}\) កែងគ្នា រកមុំដែលកើតឡើង ដោយវ៉ិចទ័រ \(\vec{a}\) និង \(\vec{b}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(|\vec{b}| = 2|\vec{a}|\) ហើយ \((\vec{a} + \vec{b}) \perp (5\vec{a} - 2\vec{b})\)។

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 2\vec{b}) = 0\]

\[5|\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 5\vec{b}\cdot\vec{a} - 2|\vec{b}|^2 = 0\]

\[5|\vec{a}|^2 + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 2(2|\vec{a}|)^2 = 0\]

\[\begin{aligned} 5|\vec{a}|^2 + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 8|\vec{a}|^2 &= 0 \\ \implies 3\vec{a}\cdot\vec{b} = 3|\vec{a}|^2 &\implies \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 \end{aligned}\]

មុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរគណនាតាម៖

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \\ &= \frac{|\vec{a}|^2}{|\vec{a}|(2|\vec{a}|)} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \end{aligned}\]

២២លំហាត់ទី ២២

\(O\) ជាចំណុចគល់ និងពីរចំណុច \(A(\vec{a})\) និង \(B(\vec{b})\) មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។ បង្ហាញថា វ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{c}\) នៃចំណុច \(C\) ដែលមិននៅលើបន្ទាត់ \(AB\) គឺ \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) ដែល \(m \neq 0, n \neq 0\) និង \(m+n=1\) ។

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យចំណុច \(C(\vec{c})\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB\)៖ \(C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(AB \iff \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\) ចំពោះ \(k \in \mathbb{R}\)។

\[\vec{c} - \vec{a} = k(\vec{b} - \vec{a}) \iff \vec{c} = (1 - k)\vec{a} + k\vec{b}\]

តាង \(m = 1 - k\) និង \(n = k\) គេបាន៖

\[\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b} \quad{} \text{ដោយ } m + n = (1 - k) + k = 1\]

សមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

២៣លំហាត់ទី ២៣

នៅក្នុងរូបខាងក្រោម គេមានចតុកោណ \(ABDE\) និង \(ACFG\) ជាការេ ។ តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(EG\) ។ បង្ហាញថា បន្ទាត់ \(MA\) កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(BC\) ដោយប្រើវ៉ិចទ័រ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

មើលដំណោះស្រាយ

ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) តាង \(M\) ជាចំណុចលើជ្រុង \([BC]\)។

\(AM\) ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណ \(ABC \iff \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\)។

តាម Chasles \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}\)។ ការគណនាផលគុណស្កាលែរអនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ទីតាំងនៃជើងកម្ពស់ \(M\) បានយ៉ាងសុក្រឹត។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 3)\) និងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (-1, 4)\)។

សរសេរសមីការវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ \((D)\) ដែលកាត់តាម \(A\) និងមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}\)។
សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ \((D)\)។
តើចំណុច \(P(0, 11)\) និង \(Q(3, -2)\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \((D)\) ដែរឬទេ?

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((D)\) កាត់តាម \(A(2, 3)\) មានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u} = (-1, 4)\)។

ក. សមីការវ៉ិចទ័រ៖

\[\begin{aligned} \vec{r} &= \overrightarrow{OA} + t\vec{u} \\ \iff (x, y) &= (2, 3) + t(-1, 4) \quad{} (t \in \mathbb{R}) \end{aligned}\]

ខ. សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

\[\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + 4t \end{cases} \quad{} (t \in \mathbb{R})\]

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ \((D_1): \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \end{cases}\) និង \((D_2): \begin{cases} x = -2 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}\) (\(t, s \in \mathbb{R}\))។

រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_1\) និង \(\vec{u}_2\) នៃបន្ទាត់ទាំងពីរ។
បង្ហាញថា \((D_1) \perp (D_2)\)។
រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ \(I\) រវាងបន្ទាត់ \((D_1)\) និង \((D_2)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស៖

\(L_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \end{cases} \implies \vec{u}_1 = (2, -1)\)
\(L_2 : \begin{cases} x = 2 + s \\ y = -1 + 2s \end{cases} \implies \vec{u}_2 = (1, 2)\)

ខ. ពិនិត្យភាពកែងគ្នានៃបន្ទាត់ទាំងពីរ៖

\[\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2(1) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0\]

ដោយ \(\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \implies \vec{u}_1 \perp \vec{u}_2\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(L_1 \perp L_2\) (កែងគ្នា)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គេឱ្យចំណុច \(A(-1, 4)\) និង \(B(5, -2)\)។

រកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃអង្កត់ \([AB]\)។
រកវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស និងសមីការនៃបន្ទាត់មេដ្យាទ័រ \((\Delta)\) នៃអង្កត់ \([AB]\) ដោយប្រើផលគុណស្កាលែរ។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(-1, 4)\) និង \(B(5, -2)\)។

ក. រកកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃ \([AB]\)៖

\[M\left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (2, 1)\]

ខ. សរសេរសមីការមេដ្យាទ័រនៃ \([AB]\)៖ បន្ទាត់មេដ្យាទ័រកាត់តាម \(M(2, 1)\) និងមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (5 - (-1), -2 - 4) = (6, -6)\) ឬយក \(\vec{n}' = (1, -1)\)៖

\[1(x - 2) - 1(y - 1) = 0 \iff x - y - 1 = 0\]

២៧លំហាត់ទី ២៧

សរសេរសមីការវ៉ិចទ័រ និងសមីការដេកាតនៃរង្វង់ \((C)\) ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

មានផ្ចិត \(I(2, -1)\) និងកាំ \(R = 4\)។
មានអង្កត់ផ្ចិត \([AB]\) ដោយ \(A(1, 3)\) និង \(B(5, -1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(2, -1)\) និងកាំ \(R = 4\)។

ក. សមីការវ៉ិចទ័រ និងសមីការដេកាត៖

សមីការវ៉ិចទ័រ៖ \(\|\vec{r} - \vec{c}\| = 4\) ដោយ \(\vec{c} = (2, -1)\)
សមីការដេកាត៖ \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)

ខ. ពិនិត្យចំណុច \(P(2, 3)\)៖ ជំនួសចូល៖ \((2 - 2)^2 + (3 + 1)^2 = 0 + 16 = 16\) ពិត នាំឱ្យ \(P(2, 3)\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\)។ ចំណុច \(P\) ចែកអង្កត់ \([AB]\) តាមផលធៀប \(AP : PB = 2 : 3\) និងចំណុច \(Q\) ចែកអង្កត់ \([AC]\) តាមផលធៀប \(AQ : QC = 2 : 3\)។

បង្ហាញ \(\overrightarrow{AP}\) និង \(\overrightarrow{AQ}\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\)។
ទាញបញ្ជាក់ថា \(\overrightarrow{PQ} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\) រួចសន្និដ្ឋានថា \(PQ \parallel BC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. បកស្រាយទ្រឹស្តីបទ Thales តាមវ៉ិចទ័រ៖ ក្នុង \(\triangle ABC\) បើ \(P \in [AB]\) និង \(Q \in [AC]\) ដោយ \(\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AC}\) (\(k = \frac{2}{5}\))៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} \\ &= k\overrightarrow{AC} - k\overrightarrow{AB} \\ &= k(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = k\overrightarrow{BC} \end{aligned}\]

ខ. ទាញសន្និដ្ឋាន៖ ដោយ \(\overrightarrow{PQ} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\) នាំឱ្យ \(PQ \parallel BC\) និង \(PQ = \dfrac{2}{5}BC\)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេឱ្យបន្ទាត់ \((D)\) កាត់តាមចំណុច \(A(3, 1)\) និងមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = (2, -5)\)។

សរសេរសមីការដេកាតនៃបន្ទាត់ \((D)\)។
គណនាចម្ងាយពីចំណុច \(M(1, 4)\) ទៅកាន់បន្ទាត់ \((D)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \((D)\) កាត់តាម \(A(3, 1)\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = (2, -5)\)។

ក. សមីការដេកាតនៃ \((D)\)៖

\[\begin{aligned} 2(x - 3) - 5(y - 1) = 0 &\iff 2x - 5y - 6 + 5 = 0 \\ &\iff 2x - 5y - 1 = 0 \end{aligned}\]

ខ. ចម្ងាយពី \(M(1, 4)\) ទៅ \((D)\)៖

\[\begin{aligned} d(M, D) &= \frac{|2(1) - 5(4) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} \\ &= \frac{|2 - 20 - 1|}{\sqrt{29}} = \frac{19}{\sqrt{29}} = \frac{19\sqrt{29}}{29} \end{aligned}\]

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 4)\), \(B(3, -2)\) និង \(C(-3, 0)\) ជាកំពូលនៃត្រីកោណ \(ABC\)។

រកកូអរដោនេនៃទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\) នៃត្រីកោណ \(ABC\)។
រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(D\) ដែលធ្វើឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 4), B(3, -2), C(-3, 0)\)។

ក. រកកូអរដោនេទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\)៖

\[\begin{aligned} x_G &= \frac{1 + 3 - 3}{3} = \frac{1}{3} \\ y_G &= \frac{4 - 2 + 0}{3} = \frac{2}{3} \implies G\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \end{aligned}\]

ខ. ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{GA} &= \left(1 - \frac{1}{3}, 4 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{10}{3}\right) \\ \overrightarrow{GB} &= \left(3 - \frac{1}{3}, -2 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, -\frac{8}{3}\right) \\ \overrightarrow{GC} &= \left(-3 - \frac{1}{3}, 0 - \frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{10}{3}, -\frac{2}{3}\right) \end{aligned}\]

ផលបូក៖ \(\left(\frac{2+8-10}{3}, \frac{10-8-2}{3}\right) = (0, 0) = \vec{0}\) ពិត។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេឱ្យរង្វង់ \((C)\) មានសមីការ \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) និងចំណុច \(A(4, 6)\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់។

រកវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ប៉ះ \((\mathcal{T})\) ត្រង់ចំណុច \(A\)។
សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះ \((\mathcal{T})\) នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់ \((C) : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) មានផ្ចិត \(I(1, 2)\) និងកាំ \(R = 5\)។

ក. រកវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃបន្ទាត់ប៉ះ \((\mathcal{T})\) ត្រង់ \(A(4, 6)\)៖ បន្ទាត់ប៉ះកែងនឹងកាំត្រង់ចំណុចប៉ះ នាំឱ្យវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់គឺ៖

\[\vec{n} = \overrightarrow{IA} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)\]

ខ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ \((\mathcal{T})\)៖

\[\begin{aligned} 3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 &\iff 3x + 4y - 36 = 0 \end{aligned}\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មួយ។ បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\) នោះគល់ \(O\) គឺជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃត្រីកោណ \(ABC\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់សមភាព \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}\)៖ តាង \(G\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់នៃ \(\triangle ABC\)។ យើងមាន \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)។

តាមវិធាន Chasles ចំពោះចំណុច \(O\) ណាមួយ៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} &= (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB}) \\ &\quad{} + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GC}) \\ &= 3\overrightarrow{OG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \\ &= 3\overrightarrow{OG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{OG} \end{aligned}\]

សមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 1)\), \(B(4, 2)\) និង \(C(2, 5)\)។

គណនា \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)។
រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(H\) ជាជើងកម្ពស់គូសចេញពី \(C\) មកលើបន្ទាត់ \((AB)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 1), B(4, 2), C(2, 5)\)។

ក. គណនាកូអរដោនេ \(\overrightarrow{AB}\) និង \(\overrightarrow{AC}\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (3, 1), \quad{} \overrightarrow{AC} = (1, 4) \\ &\implies \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3(1) + 1(4) = 7 \end{aligned}\]

ខ. រកកូអរដោនេចំណោលកែង \(H\) នៃ \(C\) លើ \((AB)\)៖ \(H \in (AB) \implies \overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{AB} = (3k, k)\)។

\[\begin{aligned} k &= \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|^2} \\ &= \frac{7}{3^2 + 1^2} = \frac{7}{10} \end{aligned}\]

កូអរដោនេនៃ \(H\) គឺ \(x_H = 1 + 3\left(\frac{7}{10}\right) = \frac{31}{10}\), \(y_H = 1 + \frac{7}{10} = \frac{17}{10} \implies H\left(\frac{31}{10}, \frac{17}{10}\right)\)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរមានសមីការ៖ \((D_1): 2x - y + 3 = 0\) និង \((D_2): x + 3y - 5 = 0\)។

កំណត់វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n}_1\) និង \(\vec{n}_2\) នៃបន្ទាត់ទាំងពីរ។
គណនាមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \(D_1 : 2x - y + 1 = 0\) មាន \(\vec{n}_1 = (2, -1)\)។

បន្ទាត់ \(D_2 : x + 3y - 5 = 0\) មាន \(\vec{n}_2 = (1, 3)\)។

ក. គណនា \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\)៖

\[\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1\]

ខ. គណនាកូស៊ីនុសនៃមុំ \(\theta\) រវាងបន្ទាត់ទាំងពីរ (\(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\))៖

\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|} \\ &= \frac{|-1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}\sqrt{1^2 + 3^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \end{aligned}\]

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

បង្ហាញតាមវិធីវ៉ិចទ័រថា មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ (ទីប្រជុំទម្ងន់ \(G\)) ហើយចំណុចនោះចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប \(2 : 1\) គិតពីកំពូល។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទទីប្រជុំទម្ងន់ត្រីកោណ៖ តាង \(A, B, C\) មានវ៉ិចទ័រទីតាំង \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)។ ចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\) គឺ \(M\) ដែល \(\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\)។

ចំណុច \(G\) ចែកមេដ្យាន \([AM]\) តាមផលធៀប \(2 : 1\) គិតពីកំពូល \(A\) មានវ៉ិចទ័រទីតាំង៖

\[\begin{aligned} \vec{g} &= \frac{1\vec{a} + 2\vec{m}}{1 + 2} \\ &= \frac{\vec{a} + 2\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right)}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \end{aligned}\]

ដោយរូបមន្តនេះមានលក្ខណៈស៊ីមេទ្រីធៀបនឹងកំពូលទាំងបី នាំឱ្យមេដ្យានទាំងបីប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(G\) តែមួយ ហើយកាត់គ្នាតាមផលធៀប \(2 : 1\)។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេឱ្យចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មានផ្ចិត \(O\)។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមដោយប្រើវ៉ិចទ័រ៖

អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរកាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់នីមួយៗ។
អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរកែងគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

ចតុកោណស្មើ \(ABCD\) មានផ្ចិត \(O\) (ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង)។

តាង \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) និង \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)។

ក. លក្ខណៈផ្ចិត៖ ដោយ \(O\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([AC]\) និង \([BD]\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{OC} = -\vec{a}\) និង \(\overrightarrow{OD} = -\vec{b}\)។

ខ. អង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា៖ ជ្រុង \(AB = BC \implies \|\vec{b} - \vec{a}\|^2 = \|-\vec{a} - \vec{b}\|^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)។

ដូចនេះ អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរកែងគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាល \(O\)។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

គេឱ្យវ៉ិចទ័រទីតាំងនៃចំណុច \(A, B, C\) ធៀបនឹងគល់ \(O\) រៀងគ្នាគឺ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)។ បង្ហាញថាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យចំណុច \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាគឺ មានចំនួនពិត \(\alpha, \beta, \gamma\) មិនសូន្យព្រមគ្នា ដែល៖

\[\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0} \quad{} \text{និង} \quad{} \alpha + \beta + \gamma = 0\]

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា៖

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់៖ បើ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា នោះ \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} \implies \vec{b} - \vec{a} = k(\vec{c} - \vec{a}) \implies (k - 1)\vec{a} + \vec{b} - k\vec{c} = \vec{0}\)។ តាង \(\alpha = k - 1, \beta = 1, \gamma = -k\) គេបាន \(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0}\) ដោយ \(\alpha + \beta + \gamma = 0\)។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់៖ បើមានចំនួនពិត \(\alpha, \beta, \gamma\) មិនសូន្យព្រមគ្នាដែល \(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0}\) និង \(\alpha + \beta + \gamma = 0\) នោះ \(\alpha = -\beta - \gamma \implies \beta(\vec{b} - \vec{a}) + \gamma(\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0} \implies \beta\overrightarrow{AB} + \gamma\overrightarrow{AC} = \vec{0}\) នាំឱ្យ \(A, B, C\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

(PISA - ការធ្វើដំណើររបស់យន្តហោះដ្រូន) យន្តហោះដ្រូនមួយហោះហើរក្នុងប្លង់កូអរដោនេ (គិតជា \(\text{km}\)) ចេញពីទីតាំង \(A(1, 2)\) ឆ្ពោះទៅទីតាំង \(B(7, 10)\) ដោយល្បឿនថេរក្នុងរយៈពេល \(2\) ម៉ោង។

រកវ៉ិចទ័រល្បឿន \(\vec{v}\) របស់ដ្រូន។
កំណត់ទីតាំងរបស់ដ្រូននៅពេល \(t = 45\) នាទី ក្រោយពេលចេញដំណើរ។

មើលដំណោះស្រាយ

កប៉ាល់ធ្វើដំណើរពី \(A(1, 2)\) ទៅ \(B(7, 10)\) ក្នុងរយៈពេល \(\Delta t = 2\text{ h}\) (គិតជា \(\text{km}\))។

ក. រកវ៉ិចទ័រល្បឿន \(\vec{v}\)៖

\[\overrightarrow{AB} = (7 - 1, 10 - 2) = (6, 8)\text{ km}\]

\[\vec{v} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t} = \frac{(6, 8)}{2} = (3, 4)\text{ km/h}\]

ខ. គណនាល្បឿន (Speed) របស់កប៉ាល់៖

\[v = \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\text{ km/h}\]

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

គេឱ្យរង្វង់ \((C)\) មានផ្ចិត \(I(3, 4)\) និងកាត់តាមចំណុច \(A(6, 8)\)។

គណនាកាំ \(R\) នៃរង្វង់។
សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងរង្វង់ \((C)\) ត្រង់ចំណុច \(A\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រង្វង់មានផ្ចិត \(I(3, 4)\) និងកាត់តាម \(A(6, 8)\)។

ក. គណនាកាំ \(R\) នៃរង្វង់៖

\[R = \|\overrightarrow{IA}\| = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]

ខ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(A\)៖ បន្ទាត់ប៉ះកាត់តាម \(A(6, 8)\) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\vec{n} = \overrightarrow{IA} = (3, 4)\)៖

\[\begin{aligned} 3(x - 6) + 4(y - 8) = 0 &\iff 3x + 4y - 50 = 0 \end{aligned}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\)។ បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} = 0\) នោះត្រីកោណ \(ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់ \(A\) (\(AB = AC\))។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យសមភាព \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} = 0\)។

តាមវិធាន Chasles \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)។ ជំនួសចូល៖

\[\begin{aligned} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) &= 0 \\ \|\overrightarrow{AC}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|^2 &= 0 \\ \|\overrightarrow{AC}\|^2 &= \|\overrightarrow{AB}\|^2 \implies AC = AB \end{aligned}\]

ដូចនេះ ត្រីកោណ \(ABC\) ជា ត្រីកោណសមបាតត្រង់ \(A\)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

(PISA - លំនឹងនៃកម្លាំង) វត្ថុមួយមានទម្ងន់ \(\vec{P}\) ត្រូវបានព្យួរនៅចំណុច \(O\) ដោយខ្សែពួរពីរចងភ្ជាប់ទៅនឹងពិដាន។ ខ្សែពួរទាំងពីររងកម្លាំងតានរៀងគ្នា \(\vec{T}_1\) និង \(\vec{T}_2\) ដែលបង្កើតមុំ \(45^\circ\) និង \(45^\circ\) ធៀបនឹងខ្សែដេក។

បង្ហាញលក្ខខណ្ឌលំនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{P} = \vec{0}\)។
បើ \(\|\vec{P}\| = 200\text{ N}\) គណនាអាំងតង់ស៊ីតេនៃកម្លាំងតាន \(\|\vec{T}_1\|\) និង \(\|\vec{T}_2\|\) នៃខ្សែពួរនីមួយៗ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. លក្ខខណ្ឌលំនឹងតាមច្បាប់ទីមួយញូតុន៖ វត្ថុស្ថិតក្នុងលំនឹង លុះត្រាតែផលបូកវ៉ិចទ័រកម្លាំងទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ៖

\[\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{P} = \vec{0}\]

ខ. គណនាកម្លាំងតាននៃខ្សែនីមួយៗបើ \(P = 100\text{ N}\)៖ ដោយមុំស្មើគ្នា \(45^\circ\) កម្លាំងតានមានទំហំស្មើគ្នា \(T_1 = T_2 = T\)។

បំបែកតាមអ័ក្សឈរ៖

\[\begin{aligned} T_1\sin 45^\circ + T_2\sin 45^\circ &= P \\ \iff 2T\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= 100 \iff T\sqrt{2} = 100 \\ \implies T &= \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}\text{ N} \approx 70.71\text{ N} \end{aligned}\]

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេឱ្យចំណុច \(A(2, 1)\) និង \(B(6, 5)\)។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(P\) និង \(Q\) ដែលចែកអង្កត់ \([AB]\) ជាបីចំណែកស្មើៗគ្នា (\(AP = PQ = QB\))។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(2, 1)\) និង \(B(6, 5)\)។

\(\overrightarrow{AB} = (6 - 2, 5 - 1) = (4, 4)\)។

ចំណុច \(P\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)៖

\[(x_P - 2, y_P - 1) = \frac{1}{3}(4, 4) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)\]

\[\begin{aligned} x_P &= 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \\ y_P &= 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \implies P\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right) \end{aligned}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

បង្ហាញទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន (Apollonius’ Theorem) តាមវិធីវ៉ិចទ័រ៖ ក្នុងត្រីកោណ \(ABC\) បើ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\) នោះ៖

\[AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តមេដ្យាន (Apollonius Theorem)៖ តាង \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([BC]\) នាំឱ្យ \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\) និង \(BM = MC = \dfrac{a}{2}\)។

\[\begin{aligned} c^2 &= \|\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}\|^2 \\ &= AM^2 + 2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB} + MB^2 \\ b^2 &= \|\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}\|^2 \\ &= AM^2 + 2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC} + MC^2 \end{aligned}\]

បូកអង្គនិងអង្គ (ដោយ \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}\))៖

\[\begin{aligned} b^2 + c^2 &= 2AM^2 + 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2AM^2 + \frac{a^2}{2} \\ \implies AM^2 &= \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \end{aligned}\]

រូបមន្តត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យបន្ទាត់ពីរមានសមីការវ៉ិចទ័រ៖ \((L_1): \vec{r} = (1, 2) + t(3, -1)\) និង \((L_2): \vec{r} = (4, 1) + s(1, 3)\)។

រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ។
បង្ហាញថា \((L_1)\) និង \((L_2)\) កាត់គ្នាកែង។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \(L_1 : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \end{cases}\) និង \(L_2 : \begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 3s \end{cases}\)។

ក. រកចំណុចប្រសព្វ៖

\[\begin{cases} 1 + 3t = 4 + s \implies s = 3t - 3 \\ 2 - t = 1 + 3s \end{cases}\]

ជំនួស \(s\) ចូលសមីការទីពីរ៖

\[\begin{aligned} 2 - t &= 1 + 3(3t - 3) = 9t - 8 \\ \iff 10t &= 10 \implies t = 1, \; s = 0 \end{aligned}\]

ចំណុចប្រសព្វគឺ \((x, y) = (4, 1)\)។

ខ. ពិនិត្យភាពកែងគ្នា៖ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស \(\vec{u}_1 = (3, -1)\) និង \(\vec{u}_2 = (1, 3)\)៖

\[\begin{aligned} \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 &= 3(1) + (-1)(3) = 0 \implies L_1 \perp L_2 \end{aligned}\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

(PISA - ការរុករកតាមផ្កាយរណប GPS) កប៉ាល់មួយស្ថិតនៅកូអរដោនេ \(S_0(10, 20)\) ហើយធ្វើដំណើរដោយវ៉ិចទ័រល្បឿន \(\vec{v} = (15, 20)\) (គិតជា \(\text{km/h}\))។

សរសេរសមីការទីតាំង \(\vec{r}(t)\) របស់កប៉ាល់ក្រោយពេល \(t\) ម៉ោង។
បង្គោលភ្លើងហ្វារមួយស្ថិតនៅចំណុច \(L(70, 100)\)។ តើកប៉ាល់នឹងធ្វើដំណើរឆ្លងកាត់ចំណុច \(L\) ដែរឬទេ? បើឆ្លងកាត់ តើនៅពេលណា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. សមីការចលនារបស់យន្តហោះ៖ ទីតាំងដើម \(\vec{r}_0 = (10, 20)\) និងល្បឿន \(\vec{v} = (15, 20)\) (គិតជា \(\text{km/h}\))៖

\[\vec{r}(t) = (10 + 15t, 20 + 20t) \quad{} (t \ge 0)\]

ខ. ពិនិត្យថាតើយន្តហោះហោះកាត់ទីតាំង \(L(70, 100)\) ដែរឬទេ៖

\[10 + 15t = 70 \implies 15t = 60 \implies t = 4\text{ h}\]

ពិនិត្យអ័ក្សឈរ៖ \(20 + 20(4) = 20 + 80 = 100\) ពិត។

ដូចនេះ យន្តហោះពិតជាហោះកាត់ទីតាំង \(L\) មែន បន្ទាប់ពីហោះហើរបានរយៈពេល \(4\) ម៉ោង ។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មានកំពូល \(A(0, 4), B(-2, 0), C(4, 0)\)។

រកកូអរដោនេនៃផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(O\) នៃត្រីកោណ \(ABC\)។
រកកូអរដោនេនៃអរតូសង់ \(H\) (ចំណុចប្រសព្វនៃកម្ពស់ទាំងបី)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងបន្ទាត់អឺលែរ (Euler line)៖ \(\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}\)។

មើលដំណោះស្រាយ

រកកូអរដោនេផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\triangle ABC\) (\(A(1, 3), B(-2, 0), C(4, 0)\))៖

\(B(-2, 0)\) និង \(C(4, 0)\) នៅលើអ័ក្សដេក។ ចំណុចកណ្តាលគឺ \(M(1, 0)\)។
មេដ្យាទ័រនៃ \([BC]\) គឺជាបន្ទាត់ឈរ \(x = 1\) នាំឱ្យផ្ចិតមានរាង \(I(1, y)\)។
លក្ខខណ្ឌ \(IA^2 = IC^2\)៖
\[\begin{aligned} (1 - 1)^2 + (y - 3)^2 &= (1 - 4)^2 + (y - 0)^2 \\ \iff (y - 3)^2 &= 9 + y^2 \\ \iff y^2 - 6y + 9 &= 9 + y^2 \\ \iff -6y &= 0 \implies y = 0 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅគឺ \(I(1, 0)\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេឱ្យចំណុច \(A(1, 2)\), \(B(5, 4)\) និងចំណុច \(M(x, y)\) លើអ័ក្ស \(Ox\)។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(M\) ដើម្បីឱ្យ \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\|\) មានតម្លៃតូចបំផុត។

មើលដំណោះស្រាយ

គេឱ្យ \(A(1, 2)\) និង \(B(5, 4)\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = 6\)។

តាង \(I\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \([AB]\)៖

\[I\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}\right) = (3, 3)\]

តាមលក្ខណៈចំណុចកណ្តាល \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)។

ជំនួសចូល៖

\[\|2\overrightarrow{MI}\| = 6 \iff 2\|\overrightarrow{MI}\| = 6 \iff MI = 3\]

សន្និដ្ឋាន៖ សំណុំចំណុច \(M\) គឺជា រង្វង់ ដែលមានផ្ចិត \(I(3, 3)\) និងកាំ \(R = 3\)។ សមីការដេកាតគឺ \((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9\)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

បង្ហាញថា ផលបូកការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរនៃប្រលេឡូក្រាមមួយ ស្មើនឹងផលបូកការ៉េនៃជ្រុងទាំងបួនរបស់វា ដោយប្រើប្រមាណវិធីវ៉ិចទ័រ។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រាយបញ្ជាក់សមភាពប្រលេឡូក្រាម \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\)៖ តាង \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) និង \(\overrightarrow{AD} = \vec{v}\)។

អង្កត់ទ្រូងទាំងពីរគឺ \(\overrightarrow{AC} = \vec{u} + \vec{v}\) និង \(\overrightarrow{BD} = \vec{v} - \vec{u}\)។

\[\begin{aligned} AC^2 &= \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \\ BD^2 &= \|\vec{v} - \vec{u}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \end{aligned}\]

បូកអង្គនិងអង្គ៖

\[AC^2 + BD^2 = 2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2 = 2(AB^2 + AD^2)\]

សមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ពេញលេញ។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

(PISA - ការបើកបរទូកក្ដោងប្រឆាំងខ្យល់) ទូកក្តោងមួយចង់ធ្វើដំណើរទៅទិសខាងជើងចំ (\(\vec{d} = (0, 1)\)) ប៉ុន្តែខ្យល់បក់មកពីទិសពាយ័ព្យ (\(\vec{w} = (1, -1)\))។

ពន្យល់តាមវិធីបំបែកវ៉ិចទ័រថាតើហេតុអ្វីបានជាទូកក្តោងមិនអាចបើកចំទិសដៅខ្យល់បក់មកបាន។
គណនាកម្លាំងរុញច្រានដែលក្តោងបង្កើតបានតាមទិសដៅធ្វើដំណើរ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មូលហេតុដែលទូកក្តោងមិនអាចបើកចំទិសដៅខ្យល់បក់មក៖ ទូកក្តោងពឹងផ្អែកលើកម្លាំងលើកខ្យល់អាកាស (Aerodynamic Lift Force) ដែលបង្កើតឡើងដោយផលធៀបល្បឿនខ្យល់លើផ្ទៃក្តោងកោង។ ប្រសិនបើទូកតម្រង់ចំទិសដៅខ្យល់បក់មក (\(0^\circ\)) ក្តោងនឹងបក់រលាស់ (Luffing) ដោយគ្មានកម្លាំងរុញទៅមុខឡើយ (តំបន់គ្មានចលនា No-go zone)។

ខ. ដំណោះស្រាយតាមវ៉ិចទ័រ (Tacking)៖ អ្នកបើកបរបើកទូកបង្កើតមុំប្រហែល \(45^\circ\) ធៀបនឹងទិសដៅខ្យល់ ដោយបើកបត់ចុះបត់ឡើងជារាងហ្ស៊ីកហ្សាក់ (Z-shape)។ នៅលើជ្រុងនីមួយៗ កម្លាំងលើក \(\vec{F}_{\text{lift}}\) មានសមាសភាគរុញទៅមុខ \(\vec{F}_{\text{forward}} > 0\) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យទូកធ្វើដំណើរទៅមុខប្រឆាំងនឹងទិសដៅខ្យល់បានយ៉ាងជោគជ័យ។

៥០លំហាត់ទី ៥០

(PISA - សំយោគទូទៅ) ស្ពានយោលមួយត្រូវបានទប់ទ្រដោយខ្សែខ្សែកាបមេពីរភ្ជាប់ពីកំពូលសសរស្ពាន \(T(0, 30)\) ទៅកាន់ចំណុចយុថ្កាលើដី \(A(-40, 0)\) និង \(B(40, 0)\) (គិតជាម៉ែត្រ)។

រកវ៉ិចទ័រតំណាងទិសដៅនៃខ្សែខ្សែកាបទាំងពីរ \(\overrightarrow{TA}\) និង \(\overrightarrow{TB}\)។
គណនាប្រវែងនៃខ្សែខ្សែកាបនីមួយៗ។
គណនាមុំរវាងខ្សែខ្សែកាបទាំងពីរត្រង់កំពូលសសរស្ពាន \(T\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. រកវ៉ិចទ័រតំណាងទិសដៅនៃខ្សែកាប \(TA\) និង \(TB\)៖ កំពូលសសរ \(T(0, 30)\) និងចំណុចយុថ្កា \(A(-40, 0)\), \(B(40, 0)\) (គិតជាម៉ែត្រ)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{TA} &= (-40 - 0, 0 - 30) = (-40, -30) \\ \overrightarrow{TB} &= (40 - 0, 0 - 30) = (40, -30) \end{aligned}\]

ខ. គណនាប្រវែងខ្សែកាបនីមួយៗ (\(TA\) និង \(TB\))៖

\[\begin{aligned} TA &= \|\overrightarrow{TA}\| = \sqrt{(-40)^2 + (-30)^2} \\ &= \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ m} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} TB &= \|\overrightarrow{TB}\| = \sqrt{40^2 + (-30)^2} \\ &= \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ m} \end{aligned}\]

គ. គណនាមុំ \(\theta\) រវាងខ្សែកាបទាំងពីរត្រង់កំពូលសសរ \(T\)៖

\[\begin{aligned} \overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} &= (-40)(40) + (-30)(-30) \\ &= -1600 + 900 = -700 \\ \cos\theta &= \frac{\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB}}{\|\overrightarrow{TA}\| \|\overrightarrow{TB}\|} \\ &= \frac{-700}{50 \times 50} = \frac{-700}{2500} = -0.28 \end{aligned}\]

ដោយ \(\cos\theta = -0.28 < 0\) នាំឱ្យមុំរវាងខ្សែកាបទាំងពីរជាមុំទាល៖

\[\theta = \arccos(-0.28) \approx 106.26^\circ\]

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៨ វ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់ និងការអនុវត្ត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត