សមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត

ដោះស្រាយដោយវិធីដាក់ជាផលគុណកត្តា (\(A \cdot B = 0 \iff A = 0 \lor B = 0\)) ៖
ក.  \(x^2 - 9 = 0 \iff (x - 3)(x + 3) = 0\)
\(\implies x - 3 = 0 \lor x + 3 = 0 \implies \mathbf{x = 3 \lor x = -3}\)។
ខ.  \(x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0\)
\(\implies \mathbf{x = 0 \lor x = 5}\)។
គ.  \(x^2 - 7x + 12 = 0\) ៖ រកពីរចំនួនដែលបូកស្មើ \(-7\) គុណស្មើ \(12\) គឺ \(-3\) និង \(-4\) ៖
\(\iff (x - 3)(x - 4) = 0 \implies \mathbf{x = 3 \lor x = 4}\)។
ឃ.  \(x^2 + 8x + 15 = 0 \iff (x + 3)(x + 5) = 0\)
\(\implies \mathbf{x = -3 \lor x = -5}\)។

ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ២ ៖
ក.  \(2x^2 - 5x + 2 = 0 \iff 2x^2 - 4x - x + 2 = 0\)
\(\iff 2x(x - 2) - (x - 2) = 0 \iff (2x - 1)(x - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x = \dfrac{1}{2} \lor x = 2}\)។
ខ.  \(3x^2 + 7x + 2 = 0 \iff 3x^2 + 6x + x + 2 = 0\)
\(\iff 3x(x + 2) + (x + 2) = 0 \iff (3x + 1)(x + 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x = -\dfrac{1}{3} \lor x = -2}\)។
គ.  \(x^2 - 6x + 9 = 0 \iff (x - 3)^2 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = x_2 = 3}\) (ឫសឌុប)។
ឃ.  \(4x^2 - 12x + 9 = 0 \iff (2x - 3)^2 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = x_2 = \dfrac{3}{2}}\) (ឫសឌុប)។

ដោះស្រាយដោយវិធីបំបពេញជាការ៉េពេញលេញ ៖
ក.  \(x^2 + 4x - 5 = 0 \iff x^2 + 2(2)x + 2^2 = 5 + 4\)
\(\iff (x + 2)^2 = 9 \implies x + 2 = \pm 3\)
\(\implies x = -2 + 3 = \mathbf{1} \lor x = -2 - 3 = \mathbf{-5}\)។
ខ.  \(x^2 - 6x + 5 = 0 \iff x^2 - 2(3)x + 3^2 = -5 + 9\)
\(\iff (x - 3)^2 = 4 \implies x - 3 = \pm 2\)
\(\implies \mathbf{x = 5 \lor x = 1}\)។
គ.  \(x^2 - 2x - 8 = 0 \iff (x - 1)^2 - 1 - 8 = 0\)
\(\iff (x - 1)^2 = 9 \implies x - 1 = \pm 3 \implies \mathbf{x = 4 \lor x = -2}\)។
ឃ.  \(x^2 + 10x + 9 = 0 \iff (x + 5)^2 - 25 + 9 = 0\)
\(\iff (x + 5)^2 = 16 \implies x + 5 = \pm 4 \implies \mathbf{x = -1 \lor x = -9}\)។

គណនា \(\Delta = b^2 - 4ac\) និងកំណត់ចំនួនឫស ៖
ក.  \(x^2 - 4x + 3 = 0\) ៖ \(a=1, b=-4, c=3\)
\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0\) ៖
\(\implies\) សមីការមានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
ខ.  \(x^2 + 2x + 1 = 0\) ៖ \(a=1, b=2, c=1\)
\(\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0\) ៖
\(\implies\) សមីការមានឫសឌុបជាចំនួនពិត (\(x_1 = x_2 = -1\))។
គ.  \(x^2 - 2x + 5 = 0\) ៖ \(a=1, b=-2, c=5\)
\(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0\) ៖
\(\implies\) សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិត (មានឫសកុំផ្លិចឆ្លាស់)។
ឃ.  \(2x^2 - 3x + 4 = 0\) ៖ \(a=2, b=-3, c=4\)
\(\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0\) ៖
\(\implies\) សមីការមានឫសពីរជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នា។

ដោះស្រាយតាមរូបមន្ត \(\Delta = b^2 - 4ac\) និង \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) ៖
ក.  \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ៖ \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0\)
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \implies \mathbf{x = 3 \lor x = 2}\)។
ខ.  \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) ៖ \(\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25\)
\(x = \dfrac{7 \pm 5}{4} \implies \mathbf{x = 3 \lor x = \dfrac{1}{2}}\)។
គ.  \(3x^2 - 5x - 2 = 0\) ៖ \(\Delta = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49\)
\(x = \dfrac{5 \pm 7}{6} \implies \mathbf{x = 2 \lor x = -\dfrac{1}{3}}\)។
ឃ.  \(x^2 - 4x - 1 = 0\) ៖ \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20\)
\(x = \dfrac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \mathbf{2 \pm \sqrt{5}}\)។

ដោះស្រាយតាមរូបមន្ត \(\Delta' = b'^2 - ac\) (ដោយ \(b = 2b'\)) ៖
ក.  \(x^2 - 6x + 8 = 0\) ៖ \(b' = -3, a = 1, c = 8\)
\(\Delta' = (-3)^2 - 1(8) = 9 - 8 = 1\)
\(x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a} = 3 \pm 1 \implies \mathbf{x = 4 \lor x = 2}\)។
ខ.  \(x^2 + 8x + 12 = 0\) ៖ \(b' = 4, a = 1, c = 12\)
\(\Delta' = 4^2 - 1(12) = 16 - 12 = 4\)
\(x = -4 \pm \sqrt{4} = -4 \pm 2 \implies \mathbf{x = -2 \lor x = -6}\)។
គ.  \(3x^2 - 4x + 1 = 0\) ៖ \(b' = -2, a = 3, c = 1\)
\(\Delta' = (-2)^2 - 3(1) = 4 - 3 = 1\)
\(x = \dfrac{2 \pm 1}{3} \implies \mathbf{x = 1 \lor x = \dfrac{1}{3}}\)។
ឃ.  \(5x^2 - 2x - 3 = 0\) ៖ \(b' = -1, a = 5, c = -3\)
\(\Delta' = (-1)^2 - 5(-3) = 1 + 15 = 16\)
\(x = \dfrac{1 \pm 4}{5} \implies \mathbf{x = 1 \lor x = -\dfrac{3}{5}}\)។

ដោះស្រាយសមីការដែលមានឫសកុំផ្លិច (\(\Delta < 0\)) ៖
ក.  \(x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = -4 = 4i^2 \implies \mathbf{x = \pm 2i}\)។
ខ.  \(x^2 + 2x + 2 = 0\) ៖ \(b' = 1, \Delta' = 1^2 - 2 = -1 = i^2\)
\(x = -1 \pm i \implies \mathbf{x = -1 \pm i}\)។
គ.  \(x^2 - 4x + 13 = 0\) ៖ \(b' = -2, \Delta' = (-2)^2 - 13 = -9 = (3i)^2\)
\(x = 2 \pm 3i \implies \mathbf{x = 2 \pm 3i}\)។
ឃ.  \(2x^2 - 2x + 5 = 0\) ៖ \(b' = -1, \Delta' = (-1)^2 - 2(5) = -9 = (3i)^2\)
\(x = \dfrac{1 \pm 3i}{2} \implies \mathbf{x = \dfrac{1 \pm 3i}{2}}\)។

តាមទ្រឹស្តីបទវីយ៉ែត \(S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) និង \(P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\) ៖
ក.  \(x^2 - 7x + 10 = 0 \implies \mathbf{S = 7,\; P = 10}\)។
ខ.  \(2x^2 + 5x - 3 = 0 \implies \mathbf{S = -\dfrac{5}{2},\; P = -\dfrac{3}{2}}\)។
គ.  \(3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies \mathbf{S = -\dfrac{-6}{3} = 2,\; P = \dfrac{2}{3}}\)។
ឃ.  \(-x^2 + 4x - 5 = 0 \implies \mathbf{S = -\dfrac{4}{-1} = 4,\; P = \dfrac{-5}{-1} = 5}\)។

សមីការ \(x^2 - 5x + 3 = 0\) មាន \(S = x_1 + x_2 = 5\) និង \(P = x_1 x_2 = 3\) ៖
ក.  \(A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P\)
\(= 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = \mathbf{19}\)។
ខ.  \(B = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{S}{P} = \mathbf{\dfrac{5}{3}}\)។
គ.  \(C = x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2) = S^3 - 3SP\)
\(= 5^3 - 3(5)(3) = 125 - 45 = \mathbf{80}\)។
ឃ.  \(D = (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = S^2 - 4P\)
\(= 5^2 - 4(3) = 25 - 12 = \mathbf{13}\)។

សមីការ \(2x^2 - 4x - 1 = 0\) មាន \(S = \alpha + \beta = 2\) និង \(P = \alpha\beta = -\dfrac{1}{2}\) ៖
ក.  \(\alpha^2 + \beta^2 = S^2 - 2P = 2^2 - 2\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 4 + 1 = \mathbf{5}\)។
ខ.  \(\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{5}{-1/2} = \mathbf{-10}\)។

សមីការដឺក្រេទី ២ មានទម្រង់ \(x^2 - Sx + P = 0\) ៖
ក.  \(S = 3 + 5 = 8,\; P = 3 \times 5 = 15 \implies \mathbf{x^2 - 8x + 15 = 0}\)។
ខ.  \(S = -2 + 4 = 2,\; P = (-2)(4) = -8 \implies \mathbf{x^2 - 2x - 8 = 0}\)។
គ.  \(S = (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2\)
\(P = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1 - 2 = -1\)
\(\implies \mathbf{x^2 - 2x - 1 = 0}\)។
ឃ.  \(S = (2+3i) + (2-3i) = 4\)
\(P = 2^2 - (3i)^2 = 4 + 9 = 13\)
\(\implies \mathbf{x^2 - 4x + 13 = 0}\)។

ពីរចំនួន \(u, v\) ជាឫសនៃសមីការជំនួយ \(X^2 - SX + P = 0\) ៖
ក.  \(X^2 - 11X + 30 = 0 \iff (X - 5)(X - 6) = 0\)
\(\implies \mathbf{(u, v) = (5, 6) \lor (6, 5)}\)។
ខ.  \(X^2 - 3X - 10 = 0 \iff (X - 5)(X + 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{(u, v) = (5, -2) \lor (-2, 5)}\)។
គ.  \(X^2 - 7X + 12 = 0 \iff (X - 3)(X - 4) = 0\)
\(\implies \mathbf{(u, v) = (3, 4) \lor (4, 3)}\)។
ឃ.  \(X^2 + 4X + 4 = 0 \iff (X + 2)^2 = 0\)
\(\implies \mathbf{u = v = -2}\)។

ដោះស្រាយតាមករណីពិសេសនៃមេគុណ ៖
ក.  \(x^2 - 3x + 2 = 0\) ៖ \(a+b+c = 1 - 3 + 2 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = 1,\; x_2 = \dfrac{c}{a} = 2}\)។
ខ.  \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) ៖ \(a+b+c = 2 - 5 + 3 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = 1,\; x_2 = \dfrac{3}{2}}\)។
គ.  \(x^2 + 5x + 4 = 0\) ៖ \(a-b+c = 1 - 5 + 4 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = -1,\; x_2 = -\dfrac{c}{a} = -4}\)។
ឃ.  \(3x^2 + 5x + 2 = 0\) ៖ \(a-b+c = 3 - 5 + 2 = 0\)
\(\implies \mathbf{x_1 = -1,\; x_2 = -\dfrac{2}{3}}\)។

សមីការ \(x^2 - 2mx + 9 = 0\) មានឫសឌុប \(\iff \Delta' = 0\) ៖
\(\Delta' = (-m)^2 - 1(9) = m^2 - 9 = 0 \implies \mathbf{m = \pm 3}\)។
- បើ \(m = 3 \implies x_0 = -\dfrac{b'}{a} = 3\)។
- បើ \(m = -3 \implies x_0 = -3\)។

សមីការ \(x^2 - (m+1)x + m = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា \(\iff \Delta > 0\) ៖
\(\Delta = [-(m+1)]^2 - 4(1)(m) = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2\)។
\(\Delta > 0 \iff (m - 1)^2 > 0 \iff \mathbf{m \neq 1}\)។

សមីការ \(x^2 + 4x + m - 1 = 0\) គ្មានឫសជាចំនួនពិត \(\iff \Delta' < 0\) ៖
\(\Delta' = 2^2 - 1(m - 1) = 4 - m + 1 = 5 - m\)។
\(\Delta' < 0 \iff 5 - m < 0 \iff \mathbf{m > 5}\)។

សមីការ \(mx^2 - 2(m-1)x + m - 2 = 0\) ជាសមីការដឺក្រេទី ២ និងមានឫសពីរមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា \(\iff a \neq 0\) និង \(P = \dfrac{c}{a} < 0\) ៖
\(\begin{cases} m \neq 0 \\ \dfrac{m - 2}{m} < 0 \end{cases} \iff m(m - 2) < 0 \iff \mathbf{0 < m < 2}\)។

សមីការ \(x^2 - 6x + m = 0\) មាន \(S = x_1 + x_2 = 6\) និង \(P = x_1 x_2 = m\)។
ដោយ \(x_1 = 2x_2 \implies 2x_2 + x_2 = 6 \iff 3x_2 = 6 \implies x_2 = 2\)។
នាំឱ្យ \(x_1 = 2(2) = 4\)។
ដូច្នេះ \(m = x_1 x_2 = 4 \times 2 = \mathbf{8}\)។

សមីការ \(x^2 - 8x + k = 0\) មាន \(S = 8, P = k\)។
លក្ខខណ្ឌ \(|x_1 - x_2| = 2 \iff (x_1 - x_2)^2 = 4\) ៖
\((x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 4 \iff S^2 - 4P = 4\)
\(8^2 - 4k = 4 \iff 64 - 4k = 4 \iff 4k = 60 \implies \mathbf{k = 15}\)។

សមីការ \((m-1)x^2 - 2mx + m + 3 = 0\) មានឫសវិជ្ជមានទាំងពីរ \(\iff\)
\(\begin{cases} a = m - 1 \neq 0 \\ \Delta' \ge 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m \neq 1 \\ m^2 - (m-1)(m+3) \ge 0 \\ \dfrac{2m}{m-1} > 0 \\ \dfrac{m+3}{m-1} > 0 \end{cases}\)
- \(\Delta' = m^2 - (m^2 + 2m - 3) = -2m + 3 \ge 0 \implies m \le \dfrac{3}{2}\)។
- ផ្សំលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ ៖ \(\mathbf{1 < m \le \dfrac{3}{2}}\)។

ដោះស្រាយសមីការសនិទាន \(\dfrac{x+1}{x-1} + \dfrac{x-2}{x+2} = 3\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(x \neq 1\) និង \(x \neq -2\)។
តម្រូវភាគបែងរួម \((x - 1)(x + 2)\) ៖
\((x + 1)(x + 2) + (x - 2)(x - 1) = 3(x - 1)(x + 2)\)
\((x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2) = 3(x^2 + x - 2)\)
\(2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6 \iff x^2 + 3x - 10 = 0\)
\((x + 5)(x - 2) = 0 \implies x = -5 \lor x = 2\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទាំងពីរ)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-5, 2\}}\)។

ដោះស្រាយ \(\dfrac{2}{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{4}{x + 2}\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(x \neq \pm 2\)។ ភាគបែងរួមគឺ \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) ៖
\(2 - (x + 2) = 4(x - 2) \iff 2 - x - 2 = 4x - 8\)
\(-x = 4x - 8 \iff 5x = 8 \implies \mathbf{x = \dfrac{8}{5}}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ)។

ដោះស្រាយ \((x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0\) ៖
តាង \(u = x^2 - 3x\) សមីការក្លាយជា ៖
\(u^2 - 2u - 8 = 0 \iff (u - 4)(u + 2) = 0 \implies u = 4 \lor u = -2\)។
- ចំពោះ \(u = 4\) ៖ \(x^2 - 3x - 4 = 0 \iff (x - 4)(x + 1) = 0 \implies x = 4 \lor x = -1\)។
- ចំពោះ \(u = -2\) ៖ \(x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1 \lor x = 2\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-1, 1, 2, 4\}}\)។

ដោះស្រាយ \((x^2 + 2x)^2 - 7(x^2 + 2x) - 8 = 0\) ៖
តាង \(u = x^2 + 2x\) ៖
\(u^2 - 7u - 8 = 0 \iff (u - 8)(u + 1) = 0 \implies u = 8 \lor u = -1\)។
- បើ \(u = 8 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \iff (x + 4)(x - 2) = 0 \implies x = -4 \lor x = 2\)។
- បើ \(u = -1 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1\) (ឫសឌុប)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-4, -1, 2\}}\)។

ដោះស្រាយ \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 24\) ៖
ផ្គូផ្គងកត្តា ៖ \([(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)] = 24\)
\((x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 24\)។
តាង \(u = x^2 - 5x + 5\) នាំឱ្យសមីការទៅជា ៖
\((u - 1)(u + 1) = 24 \iff u^2 - 1 = 24 \iff u^2 = 25 \implies u = \pm 5\)។
- ចំពោះ \(u = 5 \implies x^2 - 5x + 5 = 5 \iff x(x - 5) = 0 \implies x = 0 \lor x = 5\)។
- ចំពោះ \(u = -5 \implies x^2 - 5x + 5 = -5 \iff x^2 - 5x + 10 = 0\) (\(\Delta = 25 - 40 = -15 < 0\) គ្មានឫសពិត)។
សំណុំចម្លើយពិត ៖ \(\mathbf{S = \{0, 5\}}\)។

តាង \(x\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានទីមួយ (\(x \in \mathbb{N}^*\)) នាំឱ្យចំនួនបន្ទាប់គឺ \(x + 1\) ៖
\(x(x + 1) = 156 \iff x^2 + x - 156 = 0\)
\((x - 12)(x + 13) = 0\)
ដោយ \(x > 0\) នាំឱ្យ \(x = 12\) និង \(x + 1 = 13\)។
ដូចនេះ ពីរចំនួននោះគឺ \(12\) និង \(13\)។

តាងពីរចំនួនគត់សេសជាប់គ្នាដោយ \(2k+1\) និង \(2k+3\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) ៖
\((2k+1)^2 + (2k+3)^2 = 290\)
\((4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 12k + 9) = 290\)
\(8k^2 + 16k - 280 = 0 \iff k^2 + 2k - 35 = 0\)
\((k + 7)(k - 5) = 0 \implies k = 5 \lor k = -7\)។
- បើ \(k = 5\) ៖ ពីរចំនួននោះគឺ \(11\) និង \(13\)។
- បើ \(k = -7\) ៖ ពីរចំនួននោះគឺ \(-13\) និង \(-11\)។

តាងទទឹងដីដោយ \(x\) (\(x > 0\), គិតជា m) នាំឱ្យបណ្តោយគឺ \(x + 5\) ៖
ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(x(x + 5) = 150 \iff x^2 + 5x - 150 = 0\)
\((x - 10)(x + 15) = 0\)
ដោយ \(x > 0 \implies x = 10\text{ m}\) នាំឱ្យបណ្តោយគឺ \(10 + 5 = 15\text{ m}\)។
ដូចនេះ ទទឹងស្មើ \(10\text{ m}\) និងបណ្តោយស្មើ \(15\text{ m}\)។

តាងប្រវែងជ្រុងជាប់មុំកែងទាំងពីរដោយ \(a\) និង \(b\) (\(a, b > 0\), cm) ៖
\(\begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \end{cases}\)
យើងមាន \((a+b)^2 - 2ab = 169 \iff 17^2 - 2ab = 169\)
\(289 - 2ab = 169 \iff 2ab = 120 \implies ab = 60\)។
\(a\) និង \(b\) ជាឫសនៃសមីការ \(X^2 - 17X + 60 = 0 \iff (X - 12)(X - 5) = 0\)។
ដូចនេះ ជ្រុងទាំងពីរមានប្រវែង \(5\text{ cm}\) និង \(12\text{ cm}\)។

តាងចំនួននោះដោយ \(x\) (\(x \neq 0\)) ៖
\(x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3} \iff \dfrac{x^2 + 1}{x} = \dfrac{10}{3} \iff 3x^2 - 10x + 3 = 0\)
\((3x - 1)(x - 3) = 0 \implies \mathbf{x = 3 \lor x = \dfrac{1}{3}}\)។

តាងល្បឿនដើមរបស់រថយន្តដោយ \(v\) (\(v > 0\), km/h) ៖
រយៈពេលធ្វើដំណើរដើម ៖ \(t_1 = \dfrac{120}{v}\) (ម៉ោង)។
ពេលបង្កើនល្បឿន ៖ \(t_2 = \dfrac{120}{v + 10}\) (ម៉ោង)។
ដោយ \(t_1 - t_2 = 20\) នាទី \( = \dfrac{1}{3}\text{ h}\) ៖
\(\dfrac{120}{v} - \dfrac{120}{v+10} = \dfrac{1}{3} \iff \dfrac{1200}{v(v+10)} = \dfrac{1}{3}\)
\(v^2 + 10v - 3600 = 0 \iff (v - 60)(v + 60) = 0\)
ដោយ \(v > 0 \implies \mathbf{v = 60\text{ km/h}}\)។

តាងចំនួនកម្មករដើមដោយ \(x\) (\(x > 5, x \in \mathbb{N}\)) ៖
ចំនួនដើមឈើកម្មករម្នាក់ៗត្រូវដាំតាមគម្រោង ៖ \(\dfrac{300}{x}\) ដើម។
ពេល ៥ នាក់ឈឺ កម្មករម្នាក់ៗដាំ ៖ \(\dfrac{300}{x - 5}\) ដើម។
\(\dfrac{300}{x - 5} - \dfrac{300}{x} = 3 \iff \dfrac{100}{x - 5} - \dfrac{100}{x} = 1\)
\(\dfrac{500}{x(x - 5)} = 1 \iff x^2 - 5x - 500 = 0\)
\((x - 25)(x + 20) = 0 \implies \mathbf{x = 25}\) នាក់។

តាងរយៈពេលដែលបំពង់ទីមួយចំណាយដោយ \(t\) ម៉ោង (\(t > 0\)) នាំឱ្យបំពង់ទីពីរចំណាយ \(t + 5\) ម៉ោង ៖
ក្នុង ១ ម៉ោង បំពង់ទាំងពីរបង្ហូរបាន ៖ \(\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t+5} = \dfrac{1}{6}\)
\(\dfrac{2t + 5}{t(t + 5)} = \dfrac{1}{6} \iff 6(2t + 5) = t^2 + 5t\)
\(t^2 - 7t - 30 = 0 \iff (t - 10)(t + 3) = 0\)
ដោយ \(t > 0 \implies \mathbf{t = 10}\) ម៉ោង (បំពង់ទី១) និង \(t+5 = \mathbf{15}\) ម៉ោង (បំពង់ទី២)។

តាងប្រវែងជ្រុងការ៉េដើមដោយ \(x\) (\(x > 3\), cm) ៖
ផ្ទៃក្រឡាដើម \(x^2\), ផ្ទៃក្រឡាថ្មី \((x - 3)^2\) ៖
\(x^2 - (x - 3)^2 = 45 \iff x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 45\)
\(6x - 9 = 45 \iff 6x = 54 \implies \mathbf{x = 9\text{ cm}}\)។

សមីការ \(x^2 - 3x + 1 = 0\) មានឫស \(x_1, x_2\) ដែល \(S = 3, P = 1\)។
រកសមីការដែលមានឫស \(y_1 = x_1^2\) និង \(y_2 = x_2^2\) ៖
\(S' = y_1 + y_2 = x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 3^2 - 2(1) = 7\)។
\(P' = y_1 y_2 = (x_1 x_2)^2 = P^2 = 1^2 = 1\)។
សមីការដែលត្រូវរកគឺ ៖ \(\mathbf{y^2 - 7y + 1 = 0}\)។

សមីការ \(2x^2 - 5x + 1 = 0\) មាន \(S = \dfrac{5}{2}, P = \dfrac{1}{2}\)។
រកសមីការដែលមានឫស \(y_1 = \dfrac{1}{x_1}\) និង \(y_2 = \dfrac{1}{x_2}\) ៖
\(S' = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P} = \dfrac{5/2}{1/2} = 5\)។
\(P' = \dfrac{1}{x_1 x_2} = \dfrac{1}{1/2} = 2\)។
សមីការដែលត្រូវរកគឺ ៖ \(\mathbf{y^2 - 5y + 2 = 0}\)។

សមីការ \(x^2 - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0\) ៖
\(\Delta' = [-(m-1)]^2 - 1(2m - 5) = m^2 - 2m + 1 - 2m + 5\)
\(= m^2 - 4m + 6 = (m - 2)^2 + 2\)។
ដោយសារ \((m - 2)^2 \ge 0 \implies (m - 2)^2 + 2 \ge 2 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(m \in \mathbb{R}\)។
ដូចនេះ សមីការតែងតែមានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នាជានិច្ចគ្រប់តម្លៃ \(m\)។

សមីការ \(x^2 - mx + m - 1 = 0\) មានឫស \(x_1, x_2\) ៖
\(\begin{cases} S = x_1 + x_2 = m \quad{} (1) \\ P = x_1 x_2 = m - 1 \quad{} (2) \end{cases}\)
យក \((1) - (2)\) ៖ \((x_1 + x_2) - x_1 x_2 = m - (m - 1) = 1\)។
ដូចនេះ ទំនាក់ទំនងមិនអាស្រ័យនឹង \(m\) គឺ ៖ \(\mathbf{x_1 + x_2 - x_1 x_2 = 1}\)។

ពិភាក្សាចំនួនឫសនៃ \(x^2 - 2x + m = 0\) ៖
\(\Delta' = (-1)^2 - 1(m) = 1 - m\) ៖
- បើ \(\Delta' > 0 \iff 1 - m > 0 \iff \mathbf{m < 1}\) ៖ សមីការមានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា \(x = 1 \pm \sqrt{1 - m}\)។
- បើ \(\Delta' = 0 \iff \mathbf{m = 1}\) ៖ សមីការមានឫសឌុប \(x_1 = x_2 = 1\)។
- បើ \(\Delta' < 0 \iff \mathbf{m > 1}\) ៖ សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិត (មានឫសកុំផ្លិច \(x = 1 \pm i\sqrt{m - 1}\))។

ពិភាក្សាសមីការ \((m-2)x^2 - 2mx + m + 3 = 0\) ៖
- ករណី \(m - 2 = 0 \iff m = 2\) ៖ សមីការក្លាយជា \(-4x + 5 = 0 \implies \mathbf{x = \dfrac{5}{4}}\) (ឫសតែមួយ)។
- ករណី \(m \neq 2\) ៖ ជាសមីការដឺក្រេទី ២ មាន ៖
\(\Delta' = (-m)^2 - (m - 2)(m + 3) = m^2 - (m^2 + m - 6) = -m + 6\) ៖
+ បើ \(m < 6\) និង \(m \neq 2\) ៖ សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។
+ បើ \(m = 6\) ៖ សមីការមានឫសឌុប \(x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)។
+ បើ \(m > 6\) ៖ សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិត។

គណនាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អនន្ត \(x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}\) ៖
ដោយសារ \(x > 0\) លើកជាការ៉េអង្គទាំងសងខាង ៖
\(x^2 = 6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}} \iff x^2 = 6 + x\)
\(x^2 - x - 6 = 0 \iff (x - 3)(x + 2) = 0\)
ដោយ \(x > 0\) នាំឱ្យទទួលបាន \(\mathbf{x = 3}\)។

គណនា \(x = \sqrt{12 - \sqrt{12 - \sqrt{12 - \dots}}}\) ៖
ដោយ \(x > 0\) លើកជាការ៉េ ៖
\(x^2 = 12 - x \iff x^2 + x - 12 = 0\)
\((x + 4)(x - 3) = 0\)
ដោយ \(x > 0 \implies \mathbf{x = 3}\)។

ដោះស្រាយ \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 4 = 0\) ៖
តាង \(t = x + \dfrac{1}{x}\) (\(|t| \ge 2\)) នាំឱ្យ \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2\) ៖
\((t^2 - 2) - 3t + 4 = 0 \iff t^2 - 3t + 2 = 0 \implies t = 1 \lor t = 2\)។
- \(t = 1\) ៖ មិនយកព្រោះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ \(|t| \ge 2\) (\(x^2 - x + 1 = 0\) គ្មានឫសពិត)។
- \(t = 2 \implies x + \dfrac{1}{x} = 2 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}\) (ឫសឌុប)។

ដោះស្រាយ \(x(x+1)(x+2)(x+3) = 120\) ៖
\([x(x+3)][(x+1)(x+2)] = 120 \iff (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 120\)។
តាង \(u = x^2 + 3x + 1\) ៖
\((u - 1)(u + 1) = 120 \iff u^2 - 1 = 120 \iff u^2 = 121 \implies u = \pm 11\)។
- បើ \(u = 11 \implies x^2 + 3x + 1 = 11 \iff x^2 + 3x - 10 = 0\)
\(\iff (x + 5)(x - 2) = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = -5}\)។
- បើ \(u = -11 \implies x^2 + 3x + 12 = 0\) (\(\Delta = 9 - 48 < 0\) គ្មានឫសពិត)។

សមីការ \(b^2 x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0\) ៖
\(\Delta = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2 c^2 = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - (2bc)^2\)
\(= (b^2 + 2bc + c^2 - a^2)(b^2 - 2bc + c^2 - a^2)\)
\(= [(b + c)^2 - a^2][(b - c)^2 - a^2]\)
\(= (b + c - a)(b + c + a)(b - c - a)(b - c + a)\)។
ដោយ \(a, b, c\) ជាប្រវែងជ្រុងត្រីកោណ ៖
\(b + c - a > 0,\; b + c + a > 0,\; b - c - a = -(a + c - b) < 0,\; b - c + a > 0\)។
ផលគុណនៃកត្តាទាំង ៤ ផ្តល់សញ្ញាអវិជ្ជមានដាច់ខាត (\(\Delta < 0\))។
ដូចនេះ សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិតឡើយ។

លំហាត់ PISA - គន្លងចលនានៃគ្រាប់ផ្លោង ៖
សមីការកម្ពស់ ៖ \(h(t) = -5t^2 + 20t + 25\) ៖
ក.  កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូល \(t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-5)} = \mathbf{2\text{ s}}\)។
កម្ពស់អតិបរមា ៖ \(h(2) = -5(2^2) + 20(2) + 25 = -20 + 40 + 25 = \mathbf{45\text{ m}}\)។
ខ.  ធ្លាក់ដល់ដីកាលណា \(h(t) = 0\) ៖
\(-5t^2 + 20t + 25 = 0 \iff t^2 - 4t - 5 = 0 \iff (t - 5)(t + 1) = 0\)
ដោយ \(t \ge 0 \implies \mathbf{t = 5\text{ s}}\) ក្រោយពេលបាញ់។

លំហាត់ PISA - ខ្សែកាបស្ពានយោល ៖
សមីការខ្សែកាប ៖ \(y = 0.005x^2 + 5\) ៖
ក.  នៅចំណុចកណ្តាល (\(x = 0\)) ៖
\(y = 0.005(0)^2 + 5 = \mathbf{5\text{ m}}\)។
ខ.  នៅសសរទ្រទាំងសងខាង (\(x = \pm 100\text{ m}\)) ៖
\(y = 0.005(\pm 100)^2 + 5 = 0.005(10\,000) + 5 = 50 + 5 = \mathbf{55\text{ m}}\)។

លំហាត់ PISA - ការបង្កើនប្រាក់ចំណេញអាជីវកម្ម ៖
\(P(x) = -2x^2 + 120x - 1000\) ៖
ក.  រួចដើមកាលណា \(P(x) = 0\) ៖
\(-2x^2 + 120x - 1000 = 0 \iff x^2 - 60x + 500 = 0\)
\((x - 10)(x - 50) = 0 \implies \mathbf{x = 10\$\text{ ឬ } x = 50\$}\)។
ខ.  ប្រាក់ចំណេញអតិបរមាកើតឡើងត្រង់កំពូល ៖
\(x = -\dfrac{120}{2(-2)} = \mathbf{30\$}\) ក្នុងមួយឯកតា។
ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា ៖
\(P(30) = -2(900) + 120(30) - 1000 = -1800 + 3600 - 1000 = \mathbf{800}\) (ពាន់ដុល្លារ) ពោលគឺស្មើនឹង \(800\,000\$\)។

លំហាត់ PISA - ប្លង់សួនច្បារ និងផ្លូវដើរ ៖
សួនច្បារដើមមានទំហំ \(16\text{ m} \times 12\text{ m}\) នាំឱ្យផ្ទៃសួនស្មើ \(16 \times 12 = 192\text{ m}^2\) ៖
ក.  វិមាត្រសរុបរួមទាំងផ្លូវដើរទទឹង \(x\) គឺ \((16 + 2x)\) និង \((12 + 2x)\) ៖
\(S_{\text{tot}}(x) = (16 + 2x)(12 + 2x) = \mathbf{4x^2 + 56x + 192\text{ m}^2}\)។
ខ.  ផ្ទៃក្រឡាផ្លូវដើរតែឯងស្មើ \(60\text{ m}^2\) ៖
\(S_{\text{tot}} - 192 = 60 \iff 4x^2 + 56x = 60 \iff x^2 + 14x - 15 = 0\)
\((x - 1)(x + 15) = 0\)
ដោយ \(x > 0 \implies \mathbf{x = 1\text{ m}}\) (ទទឹងផ្លូវដើរស្មើ ១ ម៉ែត្រ)។

លំហាត់ PISA - គន្លងហោះហើរដ្រូនដឹកជញ្ជូន ៖
សមីការកម្ពស់ ៖ \(h(t) = -4.9t^2 + 29.4t\) ៖
ក.  ពេលដ្រូនចុះចតដល់ដី \(h(t) = 0\) ៖
\(t(-4.9t + 29.4) = 0 \implies t = 0 \lor t = \dfrac{29.4}{4.9} = \mathbf{6\text{ s}}\)។
ដូចនេះ ដ្រូនហោះហើរលើអាកាសបានរយៈពេល \(6\) វិនាទី។
ខ.  កម្ពស់ខ្ពស់បំផុតសម្រេចបាននៅពាក់កណ្តាលពេល \(t = 3\text{ s}\) ៖
\(h_{\max} = -4.9(3^2) + 29.4(3) = -44.1 + 88.2 = \mathbf{44.1\text{ m}}\)។