នៅសម័យបុនភព (Renaissance) នាសតវត្សទី ១៦ នៅប្រទេសអ៊ីតាលី ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ និងទី ៤ គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃការប្រកួតប្រជែងគណិតវិទ្យាដ៏ស្វិតស្វាញ។ គណិតវិទូ Scipione del Ferro និង Niccolò Tartaglia បានរកឃើញវិធីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ ដោយសម្ងាត់។ ក្រោយមកលោក ហ្សេរ៉ូឡាម៉ូ ការដាណូ (Gerolamo Cardano, ១៥០១–១៥៧៦) បានបោះពុម្ពវិធីដោះស្រាយនេះក្នុងសៀវភៅដ៏ល្បី "Ars Magna" (១៥៤៥) រួមជាមួយវិធីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៤ ដែលរកឃើញដោយសិស្សរបស់លោកឈ្មោះ Lodovico Ferrari។
ការស្រាវជ្រាវនេះបាននាំឱ្យមានការរកឃើញ «ចំនួនកុំផ្លិច» ជាលើកដំបូងក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។ លុះដល់សតវត្សទី ១៩ គណិតវិទូជនជាតិន័រវែស Niels Henrik Abel និងជនជាតិបារាំង Évariste Galois បានស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ «គ្មានរូបមន្តពីជគណិតទូទៅដោយប្រើរ៉ាឌីកាល់ សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៥ ឬខ្ពស់ជាងនេះឡើយ»។
ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រកម្ពុជា វិស្វករបុរាណខ្មែរបានអនុវត្តការគណនាកោងកោងនៃដំបូលប្រាសាទថ្ម (Corbel Arch) និងការគណនាចំណុះធារាសាស្ត្រស្មុគស្មាញនៃបារាយណ៍ទឹក ដែលទាមទារនូវចំណេះដឹងពីជគណិតកម្រិតខ្ពស់លើសពីសមីការលីនេអ៊ែរធម្មតា។
សមីការអសនិទាន
សមីការ \(\sqrt{3x-2} = 6\) ជាសមីការអសនិទាន
សមីការ \(3x + \sqrt{3} = 4\) មិនមែនជាសមីការអសនិទានទេ ។
សមីការអសនិទានជាសមីការដែលមានអញ្ញាតឋិតនៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់មួយឬច្រើន ។
សមីការអសនិទានដែលមានរាង \(\sqrt{f(x)} = a, \quad{} (a \geq 0)\)
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន \(\sqrt{x-2} = 3\)
លក្ខខណ្ឌ \(x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\) លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន
\((\sqrt{x-2})^2 = 3^2\) ឬ \((x-2) = 9 \Rightarrow x = 11 > 2\)
ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(x = 11\) ។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន \(\sqrt{-3x+2} = 2\)
លក្ខខណ្ឌ \(-3x+2 \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{2}{3}\) លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន
\(\sqrt{(-3x+2)}^2 = 2^2\) ឬ \((-3x+2) = 4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \leq \frac{2}{3}\)
ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(x = -\frac{2}{3}\) ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការអសនិទានដែលមានទម្រង់ \(\sqrt{f(x)} = a\) ដែល \(a\) ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន (\(a \geq 0\)) គេត្រូវ៖
ដាក់លក្ខខណ្ឌឱ្យសមីការ \(f(x) \geq 0\)
លើកអង្គទាំងពីរជាការេ ដើម្បីបំបាត់រ៉ាឌីកាល់
ដោះស្រាយសមីការដែលគ្មានរ៉ាឌីកាល់
យកតែឫសណាដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ ។
សម្គាល់ បើ \(a < 0\) នោះសមីការគ្មានឫសក្នុងសំណុំចំនួនពិតទេ ។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖
| ក. \(\sqrt{3x-2} = 5\) | ខ. \(\sqrt{x-4} = -4\) ។ |
មើលចម្លើយ
| ក. \(x = 9\) | ខ. សមីការគ្មានឫស ។ |
សមីការអសនិទានដែលមានទម្រង់ \(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន \(\sqrt{7-x} = x-1\)
លក្ខខណ្ឌ \(x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1\)
លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន \((\sqrt{7-x})^2 = (x-1)^2 \Leftrightarrow 7-x = x^2-2x+1\)
\(7-x = x^2-2x+1\)
\(x^2-x-6 = 0 \quad{} (\) ដាក់ជាកត្តា \()\)
\((x-3)(x+2) = 0\)
\(x-3=0 \) ឬ \( x+2=0\)
\(x=3 \) ឬ \( x=-2 \quad{} \) មិនយក
ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(x = 3\) ។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានដោយប្រើអថេរជំនួស
\(\frac{8}{\sqrt{10-2x}} - \sqrt{10-2x} = 7\)
លក្ខខណ្ឌ \(10-2x > 0 \Leftrightarrow x < 5 \) តាង \( t = \sqrt{10-2x} , \quad{} t > 0\)
សមីការទៅជា \(\frac{8}{t} - t = 7 \Leftrightarrow 8-t^2 = 7t \Leftrightarrow t^2+7t-8=0\)
ដោយសមីការមានរាង \(a+b+c=0\) សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា
\(t_1 = 1 , \quad{} t_2 = \frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8\) មិនយក ចំពោះ \(t=1\) គេបាន \(\sqrt{10-2x} = 1\)
លើកអង្គទាំងពីរជាការេ គេបាន \((\sqrt{10-2x})^2 = 1 \) ឬ \( 10-2x = 1\)
\(-2x = -10+1 \) ឬ \( 2x = 9\) នាំឱ្យ \(x = \frac{9}{2}\)
ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(x = \frac{9}{2}\) ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការអសនិទានដែលមានទម្រង់ \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) គេត្រូវ
ដាក់លក្ខខណ្ឌ \(g(x) \geq 0\)
លើកអង្គទាំងពីរនៃសមីការជាការេរួចដោះស្រាយជាបន្តបន្ទាប់
យកតែឫសណាដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ ។
ដោះស្រាយសមីការ \(x - \sqrt{2x+3} = 6\) ។
សមីការ \(x - \sqrt{2x+3} = 6\) អាចសរសេរ \(x-6 = \sqrt{2x+3}\)
លក្ខខណ្ឌ \(x-6 \geq 0\) នាំឱ្យ \(x \geq 6\)
លើកអង្គទាំងពីរនៃសមីការជាការេ គេបាន \((x-6)^2 = (\sqrt{2x+3})^2\)
\(x^2-12x+36 = 2x+3 \) ឬ \( x^2-14x+33 = 0\)
គេបាន \(x_1 = 3 < 6\) មិនយក និង \(x_2 = 11\) ជាឫសនៃសមីការ
ដូច្នេះ សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ \(x = 11\) ។
ក. \(2\sqrt{x+1} = 3\sqrt{12-x}\) ខ. \(\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}\) ។
មើលចម្លើយ
| ក. \(x = 8\) | ខ. \(x = 2\) ។ |
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានខាងក្រោម៖
ក. \(\sqrt{2x-7} = x-3\) ខ. \(\sqrt{2x-1} = 2x-1\) គ. \(x - 2\sqrt{5x+3} = -\dfrac{19}{5}\) ។
មើលចម្លើយ
| ក. \(x = 4\) | ខ. \(x_1 = \dfrac{1}{2} , x_2 = 1\) | គ. \(x_1 = \dfrac{1}{5} , x_2 = \dfrac{61}{5}\) ។ |
ការអនុវត្ត
រង្វង់ \(C\) មួយមាន \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត និងកាំស្មើ \(1\text{ cm}\) ។ \(P\) ជាចំណុចមួយនៃអង្កត់ \(OA\) ។ ពីចំណុច \(P\) គេគូសបន្ទាត់កែងនឹង \(AB\) កាត់រង្វង់ \(C\) ត្រង់ \(M\) ។ បន្ទាត់មួយស្របនឹង \(AB\) គូសចេញពីចំណុច \(M\) កាត់រង្វង់ \(C\) ត្រង់ \(N\) ។ ចូរកំណត់ទីតាំងនៃ \(P\) ដើម្បីឱ្យបរិមាត្រនៃចតុកោណព្នាយ \(AMNB\) ស្មើនឹង \(5\text{ cm}\) ។
កំណត់ទីតាំងនៃ \(P\)
គេតាង \(OP = x , \quad{} AP = 1-x\)
ក្នុងត្រីកោណកែង \(APM\) និង \(MPO\)
គេបាន \(AM = \sqrt{AP^2 + OM^2 - OP^2}\)
\(AM = \sqrt{AP^2 + PM^2}\) តែ \(PM^2 = OM^2 - OP^2\)
\(\Rightarrow AM = \sqrt{AP^2 + OM^2 - OP^2} = \sqrt{2(1-x)}\)
ដោយ \(MN \parallel AB\) (សម្មតិកម្ម) នោះ \(AM = BN\)
ដូច្នេះ \(AM = BN = \sqrt{2(1-x)}\) ។
មានន័យថាចតុកោណ \(AMNB\) ជាចតុកោណព្នាយសមបាត ។
វិបាក \(\angle B = \angle A\) ។
តាមចំណុច \(N\) គេគូសបន្ទាត់កែងនឹង \(AB\) ត្រង់ \(I\) ត្រីកោណកែង \(AMP\) និង \(INB\) មាន \(\angle B = \angle A\) (វិបាកខាងលើ) ហើយអ៊ីប៉ូតេនុស \(AM = BN\) (ជ្រុងចតុកោណព្នាយសមបាត)
នាំឱ្យ \(\triangle AMP \cong \triangle INB\) ។
វិបាក \(AP = IB\) ។
តែ \(OA = OB\) (កាំរង្វង់តែមួយ)
គេបាន \(OP = OI = x\) ហើយ \(PI = OP + OI = 2x\)
ក្នុងចតុកោណកែង \(PMNI\) មាន \(MN = PI = 2x\)
ចតុកោណ \(AMNB\) មានបរិមាត្រ \(P = 2\sqrt{2(1-x)} + 2x + 2\)
គេបានសមីការ \(2\sqrt{2(1-x)} + 2x + 2 = 5\)
\(2\sqrt{2(1-x)} = 3-2x \quad{} (\) លក្ខខណ្ឌ \( \quad{} 3-2x \geq 0 \quad{} \Rightarrow \quad{} x \leq \frac{3}{2})\)
\(4x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
ដូច្នេះ \(P\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(OA\) ។
សមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ងាយ
សមីការដែលតាងដោយ (ពហុធាដែលមានដឺក្រេ \(n\)) \(= 0\) ហៅថា សមីការដឺក្រេទី \(n\) ។
\(x^3+x^2-3x-6 = 0\) ជាសមីការដឺក្រេទី 3 ។
\(2x^4-3x^2-x+2 = 0\) ជាសមីការដឺក្រេទី 4 ។
គេអាចដោះស្រាយ សមីការលំដាប់ខ្ពស់ងាយៗបានដោយការដាក់ផលគុណកត្តា ។
ដោះស្រាយសមីការ \(x^3 = 1\) ។
លើក 1 មកអង្គទី 1 គេបាន \(x^3-1 = 0\)
ប្រើរូបមន្ត \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
គេបាន \((x-1)(x^2+x+1) = 0\)
\(x-1 = 0 \) ឬ \( x^2+x+1 = 0\)
\(x = 1 \) ឬ \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\)
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = 1 , \quad{} \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\) ។
ដោះស្រាយសមីការ \(x^3+3x^2-4x-12=0\) ។
\(x^3+3x^2-4x-12=0\)
\((x^3+3x^2)-(4x+12)=0 \) គេអាចដាក់ជាកត្តា
គេបាន \(x^2(x+3)-4(x+3)=0\)
\((x+3)(x^2-4)=0\)
\((x+3)(x+2)(x-2)=0\) ។
សមីការមានចម្លើយ \(x = -3 , \quad{} -2 , \quad{} 2\) ។
ដោះស្រាយសមីការ \(x^4=1\) ។
គេបាន \(x^4-1=0\)
គេតាង \(t=x^2\) នាំឱ្យ \(t^2-1=0 \) ឬ \( t=\pm 1\)
បើ \(t=1 \quad{} \) នោះ \( x=\pm 1\)
បើ \(t=-1 \quad{} \) នោះ \( x=\pm i\)
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = -1 , \quad{} 1 , \quad{} -i , \quad{} i\) ។
ដោះស្រាយសមីការ \(x^4-2x^2-8=0\) ។
តាង \(x^2=t\) គេបាន \(t^2-2t-8=0\) ដោះស្រាយសមីការនេះ
គេបាន \(t=4 \) ឬ \( t=-2\) បើ \(t=4 \Rightarrow x=\pm 2\) បើ \(t=-2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}i\)
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = -2 , \quad{} 2 , \quad{} -\sqrt{2}i \) និង \( \sqrt{2}i\) ។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
| ក. \(x^3 = 8\) | ខ. \(x^3 - 9x = 0\) | គ. \(4x^4 = 64\) |
| ឃ. \(x^3-4x^2+4x=0\) | ង. \(x^3-5x^2-4x+20=0\) | ច. \(3x^4-2x^2=0\) |
| ឆ. \(y^4-13y^2+36=0\) | ជ. \(y^5=25y^3\) | ឈ. \(x^4+x^2=12\) ។ |
មើលចម្លើយ
ដោះស្រាយសមីការ
| ក. \(x = 2 , -1 \pm \sqrt{3}i\) | ខ. \(x = 0 , \pm 3\) | គ. \(x = \pm 2 , \pm 2i\) |
| ឃ. \(x = 0 , 2\) | ង. \(x = 5 , \pm 2\) | ច. \(x = 0 , \pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) |
| ឆ. \(x = \pm 2 , \pm 3\) | ជ. \(y = 0 , \pm 5\) | ឈ. \(x = \pm\sqrt{3} , \pm 2i\) ។ |
ដោះស្រាយសមីការ \(x^3-4x^2-11x+2 = 0\) បញ្ជាក់ចម្លើយក្នុងទម្រង់ \(a \pm b\sqrt{2}\) ដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់ ។
មើលចម្លើយ
\(x = -2 , \quad{} 3 \pm 2\sqrt{2}\) ។
គេឱ្យ \(f(x) = x^4+3x^3-12x^2+2x+4\) និង \(g(x) = x^4+2x^3-8x^2+x-2\)
ដោះស្រាយសមីការ \(f(x)-g(x) = 0\) ។
មើលចម្លើយ
\(f(x)-g(x) = x^3-4x^2+x+6 \quad{} , \quad{} x = -1 , 2 , 3\) ។
ទ្រឹស្តីបទសំណល់និងទ្រឹស្តីបទផលគុណកត្តា
ក្នុងផ្នែកនេះ គេនឹងលើកយកពហុធា \(f(x)\) ឬ \(g(x)\) មកសិក្សា រួចរកតម្លៃកន្សោមទាំងនេះតាមតម្លៃរបស់ \(x\) ។
គេមានពហុធា \(f(x) = x^3-5x+6\) ។
គេបាន \(f(2) = 2^3-5 \times 2+6 = 4\)
\(f(i) = i^3-5i+6 = 6-6i\) ។
បើគេយកកន្សោម \(f(x) = x^3-5x+6\) ចែកនឹង \(x-2\)
គេបាន \(x^3-5x+6 = (x-2) \cdot (x^2+2x-1) + 4\)
វិធីចែកនេះមានសំណល់ស្មើនឹង 4 គេអង្កេតឃើញថា
ជាទូទៅ កាលណាគេចែកពហុធា \(f(x)\) នឹងទ្វេធា
ដឺក្រេទី 1 \(x-\alpha\) នោះ គេបានសំណល់ជាចំនួនថេរ ។
បើ \(R\) ជាសំណល់ក្នុងការចែកកន្សោមពហុធា \(f(x)\) នឹង \(x-\alpha\) នោះ គេបាន \(R = f(\alpha)\) ។
សម្រាយបញ្ជាក់ បើគេយក \(q(x)\) ជាផលចែករវាង \(f(x)\) និង \(x-\alpha\) ហើយ \(R\) ជាសំណល់នោះ
គេបានទំនាក់ទំនង \(f(x) = (x-\alpha)q(x) + R\) ។
ជំនួស \(\alpha\) ទៅក្នុងសមីការនេះ គេបាន \(f(\alpha) = (\alpha-\alpha)q(\alpha) + R = R\)
រកសំណល់ \(f(x) = x^3 + 3x + 4\) ចែកនឹង \(x-2 , \quad{} x+3\) ។
\(f(x) = x^3 + 3x + 4\)
សមីការ \(x-2 = 0\) មានឫស \(x = 2\)
តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ \(f(2) = 2^3 + 3 \times 2 + 4 = 18\)
ដូច្នេះ សំណល់ \(R = 18\) ។
សំណល់នៃ \(f(x)\) ចែកនឹង \(x+3\) គឺ
\(f(-3) = (-3)^3 + 3(-3) + 4 = -27 - 9 + 4 = -32\)
ដូច្នេះ សំណល់ \(R = -32\) ។
រកសំណល់នៃប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម៖
| ក. \((x^3 + 2x - 12) \div (x + 1)\) | ខ. \((4x^3 - 2x^2 - 9) \div (2x - 1)\) |
| គ. \((2x^3 + x^2 - x + 7) \div (x + 2)\) | ឃ. \((3x^2 - 2x + 2) \div (x + 3)\) ។ |
មើលចម្លើយ
| ក. \(-15\) | ខ. \(-9\) | គ. \(-3\) | ឃ. \(35\) ។ |
\(f(x)\) ជាពហុធា ។ បើ \(\alpha\) ជាចម្លើយនៃសមីការ \(f(x) = 0\) នោះ \(x-\alpha\) ជាកត្តា
របស់ពហុធា \(f(x)\) ។
សម្រាយបញ្ជាក់
ឧបមាថា \(q(x)\) ជាផលចែក គេបាន \(f(x) = (x-\alpha)q(x) + R\)
ដូច្នេះ \(f(\alpha) = (\alpha-\alpha)q(\alpha) + R\)
\(f(\alpha) = 0 + R\)
ដោយ \(f(\alpha) = 0 , \quad{} R = 0\)
ដូច្នេះ \(f(x) = (x-\alpha)q(x)\) ។
ពហុធា \(f(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x-\alpha\) ។
សម្គាល់ ៖ ពហុធា \(f(x)\) អាចចែកដាច់នឹងទ្វេធាដឺក្រេទី 1 \(ax+b\) ប្រសិនបើ
\(f\left(-\frac{b}{a}\right) = 0\) ។
ពហុធា \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8\) អាចចែកដាច់នឹង \(x-2\) ដោយ
\(f(2) = 0\) ។ ដូច្នេះ \(x-2\) ជាកត្តានៃ \(f(x)\) ។
រកតម្លៃ \(p\) ដែលនាំឱ្យពហុធា \(x^3 - 3x^2 + 4x + p\) ចែកដាច់នឹង \(x-2\) ។
តាង \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + p\)
\(f(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 4 \times 2 + p = 0\)
គេបាន \(4 + p = 0 \) ឬ \( p = -4\)
ដូច្នេះ \(p = -4\) ។
ពហុធា \(f(x)\) ចែកនឹង \(x-2\) មានសំណល់ \(5\) និងនៅពេល \(f(x)\) ចែកនឹង \(x-3\)
មានសំណល់ \(9\) ។ រកសំណល់របស់ពហុធា \(f(x)\) ចែកនឹង \((x-2)(x-3)\) ។
តាង \(q(x)\) ជាផលចែករវាង \(f(x)\) និង \((x-2)(x-3)\) ។ ដោយសារសំណល់ជា
ពហុធាដែលមានដឺក្រេទី 1 ឬតូចជាងនេះ គេអាចសរសេរ
\(f(x) = (x-2)(x-3)q(x) + ax + b \qquad{} (1)\)
ជំនួស \(x = 2\) ក្នុង (1) គេបាន \(f(2) = 2a + b\)
ជំនួស \(x = 3\) ក្នុង (1) គេបាន \(f(3) = 3a + b\)
តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ គេបាន \(f(2) = 5\) និង \(f(3) = 9\)
ដូច្នេះ \(\begin{cases} 2a + b = 5 \\ 3a + b = 9 \end{cases}\) ។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះ គេបាន \(a = 4 , \quad{} b = -3\)
ដូច្នេះ សំណល់របស់ពហុធា \(f(x)\) គឺ \(4x - 3\) ។
ក. ចូរពិនិត្យមើលថា តើពហុធាខាងក្រោមអាចចែកដាច់នឹង \(x-3\) ឬទេ? តើ \(x+3\) ជាកត្តានៃពហុធាទាំងនោះឬទេ?
| ១. \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) | ២. \(x^4 + x^3 - 8x^2 - 9x - 9\) ។ |
ខ. រកតម្លៃ \(a\) ដែលនាំឱ្យពហុធា \(x^4 - 2x + a\) ចែកដាច់នឹង \(x+2\) ។
គ. ពហុធា \(f(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x-4\) និង \(f(x)\) ចែកនឹង \(x+3\) មានសំណល់ \(14\) ។ រកសំណល់នៅពេលដែល \(f(x)\) ចែកនឹង \(x^2 - x - 12\) ។
មើលចម្លើយ
ក. 1 និង 2 ចែកដាច់នឹង \(x-3\) , \(x+3\) ជាកត្តានៃពហុធា 2
ខ. \(a = -20\)
គ. \(R = -2x + 8\) ។
ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកត្តា
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖
| ក. \(x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0\) | ខ. \(x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0\) ។ |
ក. តាង \(f(x) = x^3 + x^2 - 8x - 12\) ដោយ \(f(-2) = 0\) នោះ \(f(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x+2\)
ដែលមានផលចែក \(x^2 - x - 6\) ។
គេបាន \(f(x) = (x+2)(x^2 - x - 6)\)
\(f(x) = 0\) នោះ \((x+2)(x^2 - x - 6) = 0\)
គេបាន \(x+2 = 0\) ឬ \(x^2 - x - 6 = 0 \implies x = -2 \) ឬ \( x = -2 , 3\) ។
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = -2 , \quad{} x = 3\) (ព្រោះ \(-2\) ជាឫសឌុប) ។
ខ. តាង \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4\) ដោយ \(f(2) = 0\) នោះ \(f(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x-2\)
បានផលចែក \(x^2 - x + 2\) ។
គេបាន \(f(x) = (x-2)(x^2 - x + 2)\)
\(f(x) = 0\) នោះ \((x-2)(x^2 - x + 2) = 0\)
គេបាន \(x-2 = 0\) ឬ \(x^2 - x + 2 = 0 \implies x = 2 , \quad{} x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}\)
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = 2 , \quad{} \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}\) ។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖
| ក. \(x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 3 = 0\) | ខ. \(4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2 = 0\) ។ |
ក. តាង \(f(x) = x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 3\) ។
ដោយ \(f(1) = 0\) នោះ \(f(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x-1\) បានផលចែក
\(g(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 3\) ។ ម្យ៉ាងទៀតដោយ
\(g(-3) = 0\) នោះ \(g(x)\) ចែកដាច់នឹង \(x+3\) បានផលចែក \(x^2 - x - 1\)
ដូច្នេះ \(f(x) = (x-1)(x+3)(x^2 - x - 1)\) ។
\(f(x) = 0\) នោះ \((x-1)(x+3)(x^2 - x - 1) = 0\)
គេបាន \(x-1 = 0\) ឬ \(x+3 = 0\) ឬ \(x^2 - x - 1 = 0\)
\(x = 1 , \quad{} x = -3 , \quad{} x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\) ។
ដូច្នេះ សមីការមានចម្លើយ \(x = -3 , \quad{} 1 , \quad{} \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\) ។
ខ. តាង \(f(x) = 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2\) ។
ដោយ \(f(-1) = 0\) នោះ \(f(x)\) អាចចែកដាច់នឹង \(x+1\) បានផលចែក
\(4x^3 - 8x^2 - x + 2 = g(x)\) ។ ដោយ \(g(2) = 0\) នោះ \(g(x)\) ចែកដាច់នឹង
\(x-2\) បានផលចែក \(4x^2 - 1\) ។
គេបាន
\(g(x) = (x-2)(4x^2 - 1) = (x-2)(2x+1)(2x-1)\)
ដូច្នេះ \(f(x) = (x+1)(x-2)(2x+1)(2x-1)\)
\(f(x) = 0 \implies x+1 = 0\) ឬ \(x-2 = 0\) ឬ \(2x+1 = 0\) ឬ \(2x-1 = 0\)
ដូច្នេះ \(x = -1 , \quad{} 2 , \quad{} \pm\frac{1}{2}\) ជាចម្លើយសមីការ ។
ក្នុងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 3 គេរកឃើញចម្លើយមួយមុន រួចហើយនៅសល់សមីការដឺក្រេទី 2 ដែលត្រូវដោះស្រាយបន្ត ។ ដូច្នេះ សមីការដឺក្រេទី 3 មិនអាចមានចម្លើយច្រើនជាង 3 ទេ ។
កាលណាគេដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 4 គេបានរកឃើញចម្លើយមួយមុន រួចហើយនៅសល់សមីការដឺក្រេទី 3 ដែលគេត្រូវដោះស្រាយបន្តទៀត ។ ដូច្នេះ សមីការដឺក្រេទី 4 មិនអាចមានចម្លើយច្រើនជាង 4 ទេ ។ គេអាចពង្រីកករណីដូចខាងលើនេះចំពោះសមីការដឺក្រេទី 5 ផងដែរ ។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
| ក. \(x^3 - 3x^2 - 8x - 4 = 0\) | ខ. \(x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0\) |
| គ. \(x^4 - x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\) | ឃ. \(x^4 + x^3 - x^2 + x - 2 = 0\) |
| ង. \(27y^4 + 15y^2 = 2\) | ច. \(x^3 + 2x^2 + 3x - 6 = 0\) |
| ឆ. \(x^4 - 5x - 6 = 0\) | ជ. \(5x^3 - 3x^2 - 32x - 12 = 0\) ។ |
មើលចម្លើយ
| ក. \(x = -1, 2, \pm 2\sqrt{2}\) | ខ. \(x = \pm 2\) |
| គ. \(x = \pm 1, 2\) | ឃ. \(x = -2, 1, \pm i\) |
| ង. \(y = \pm\dfrac{1}{3}, \pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}i\) | ច. \(x = 1, -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{15}}{2}i\) |
| ឆ. \(x = -1, 2, -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{11}}{2}i\) | ជ. \(x = -2, -\dfrac{2}{5}, 3\) ។ |
ការអនុវត្តសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់
គេមានសមីការ \(x^3 - 4x^2 + ax + b = 0\) ។ ចូរកំណត់តម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដោយស្គាល់
ឫសមួយនៃសមីការគឺ \(1 + 2i\) រួចដោះស្រាយសមីការតាមតម្លៃ \(a\) និង \(b\) ។
គេមាន \(1+2i\) ជាឫសមួយនៃសមីការ
គេបាន \((1+2i)^3 - 4(1+2i)^2 + a(1+2i) + b = 0\)
\(-11 - 2i - 4(-3 + 4i) + a + 2ai + b = 0\)
\(-11 - 2i + 12 - 16i + a + 2ai + b = 0\)
\((b+1+a) + (2a-18)i = 0\)
គេបាន \(a+b+1 = 0\) និង \(2a-18 = 0\) នាំឱ្យ \(a = 9 , \quad{} b = -10\) ។
ជំនួសតម្លៃ \(a\) និង \(b\) ក្នុងសមីការ \(x^3 - 4x^2 + 9x - 10 = 0\)
គេបាន \((x-2)(x^2 - 2x + 5) = 0\)
\(x-2 = 0\) ឬ \(x^2 - 2x + 5 = 0\)
ដូច្នេះ \(x = 2 , \quad{} 1 \pm 2i\) ។
គេធ្វើប្រអប់មួយពីក្រដាសកាតុងរាង
ចតុកោណកែងដែលមានបណ្តោយ \(12\text{ cm}\) និង
ទទឹង \(8\text{ cm}\) ដូចរូបខាងស្តាំ ។ គេកាត់កែងបួន
ដែលមានជ្រុង \(x\text{ cm}\) ចេញពីជ្រុងកែងរបស់
ក្រដាសនោះរួចបត់បណ្តោយនិងទទឹងតាម
ចំណុចៗ (ដូចរូប) ដើម្បីធ្វើជាប្រអប់មួយដែលមានរាងប្រលេពីប៉ែតកែង ។
ចូររកតម្លៃ \(x\) បើមាឌនៃប្រអប់នេះស្មើនឹង \(64\text{ cm}^3\) ។
តាមលក្ខខណ្ឌនៃចំណោទ យើងបានទទឹងបាតនៃ
ប្រអប់គឺ \((8-2x)\text{ cm}\) ហើយបណ្តោយ
\((12-2x)\text{ cm}\) និងកម្ពស់ \(x\text{ cm}\) ។
គេបាន \(x(8-2x)(12-2x) = 64\) ឬ \(x^3 - 10x^2 + 24x - 16 = 0\)
\((x-2)(x^2 - 8x + 8) = 0\) ដូច្នេះ \(x = 2\) ឬ \(x = 4 \pm 2\sqrt{2}\) ។
លក្ខខណ្ឌនៃចំណោទ \(0 < x < 4\) ។
ដូច្នេះ \(x = 2\) ឬ \(4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}\) ជាចម្លើយ ។
រកតម្លៃ \(x\) បើមាឌនៃប្រអប់ក្នុងលំហាត់អនុវត្ត 2 ស្មើនឹង \(36\text{ cm}^3\) ។
មើលចម្លើយ
\(x = 3\text{ cm}, \quad{} \frac{7 - \sqrt{37}}{2}\text{ cm}\) ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានងាយ ៖
\(\sqrt{x - 3} = 4\)
\(\sqrt{2x + 1} = 5\)
\(\sqrt{3x - 5} = -2\)
\(\sqrt{5 - x} = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានងាយ ៖
ក. \(\sqrt{x - 3} = 4\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 3\)។
លើកជាការ៉េ ៖ \(x - 3 = 4^2 = 16 \implies \mathbf{x = 19}\)។
ខ. \(\sqrt{2x + 1} = 5\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge -\dfrac{1}{2}\)។
\(2x + 1 = 25 \iff 2x = 24 \implies \mathbf{x = 12}\)។
គ. \(\sqrt{3x - 5} = -2\) ៖ គ្មានចម្លើយ (សំណុំចម្លើយ \(S = \emptyset\)) ព្រោះឫសការ៉េនៃចំនួនពិតមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានឡើយ (\(\sqrt{A} \ge 0\))។
ឃ. \(\sqrt{5 - x} = 0 \iff 5 - x = 0 \implies \mathbf{x = 5}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានរាង \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) ៖
\(\sqrt{2x - 3} = \sqrt{x + 1}\)
\(\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x - 2}\)
\(\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{3x}\)
\(\sqrt{2x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 8}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយរាង \(\sqrt{A} = \sqrt{B} \iff \begin{cases} A = B \\ A \ge 0 \end{cases}\) ៖
ក. \(\sqrt{2x - 3} = \sqrt{x + 1} \implies 2x - 3 = x + 1 \implies \mathbf{x = 4}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(2(4)-3 = 5 \ge 0\))។
ខ. \(\sqrt{3x + 4} = \sqrt{5x - 2} \implies 3x + 4 = 5x - 2 \iff 2x = 6 \implies \mathbf{x = 3}\)។
គ. \(\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{3x} \implies x^2 - 4 = 3x \iff x^2 - 3x - 4 = 0\)
\((x - 4)(x + 1) = 0 \implies x = 4 \lor x = -1\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ \(3x \ge 0 \implies x \ge 0\) នាំឱ្យយកតែ \(\mathbf{x = 4}\)។
ឃ. \(\sqrt{2x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 8} \implies 2x^2 - 1 = x^2 + 8 \iff x^2 = 9 \implies \mathbf{x = \pm 3}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានរាង \(\sqrt{A} = B\) (ប្រយ័ត្នលក្ខខណ្ឌ \(B \ge 0\)) ៖
\(\sqrt{x + 4} = x - 2\)
\(\sqrt{2x + 3} = x\)
\(\sqrt{6 - x} = x\)
\(\sqrt{x^2 - 5x + 6} = x - 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយរាង \(\sqrt{A} = B \iff \begin{cases} B \ge 0 \\ A = B^2 \end{cases}\) ៖
ក. \(\sqrt{x + 4} = x - 2\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2\)។
\(x + 4 = (x - 2)^2 \iff x + 4 = x^2 - 4x + 4\)
\(x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0 \implies x = 0 \lor x = 5\)។
ដោយ \(x \ge 2\) នាំឱ្យយកតែ \(\mathbf{x = 5}\)។
ខ. \(\sqrt{2x + 3} = x\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 0\)។
\(2x + 3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0\)។
ដោយ \(x \ge 0 \implies \mathbf{x = 3}\)។
គ. \(\sqrt{6 - x} = x\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 0\)។
\(6 - x = x^2 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x + 3)(x - 2) = 0\)។
ដោយ \(x \ge 0 \implies \mathbf{x = 2}\)។
ឃ. \(\sqrt{x^2 - 5x + 6} = x - 1\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 1\)។
\(x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x + 1 \iff -3x = -5 \implies \mathbf{x = \dfrac{5}{3}}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\ge 1\))។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
\(\sqrt{2x - 1} = x - 2\)
\(\sqrt{3x + 1} = x - 3\)
\(\sqrt{x^2 + 9} = 2x - 3\)
\(\sqrt{4x^2 - 3x - 1} = 2x - 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
ក. \(\sqrt{2x - 1} = x - 2\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 2\)។
\(2x - 1 = (x - 2)^2 \iff 2x - 1 = x^2 - 4x + 4\)
\(x^2 - 6x + 5 = 0 \iff (x - 1)(x - 5) = 0\)។
ដោយ \(x \ge 2 \implies \mathbf{x = 5}\)។
ខ. \(\sqrt{3x + 1} = x - 3\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 3\)។
\(3x + 1 = x^2 - 6x + 9 \iff x^2 - 9x + 8 = 0 \implies x = 1 \lor x = 8\)។
ដោយ \(x \ge 3 \implies \mathbf{x = 8}\)។
គ. \(\sqrt{x^2 + 9} = 2x - 3\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(2x - 3 \ge 0 \iff x \ge 1.5\)។
\(x^2 + 9 = 4x^2 - 12x + 9 \iff 3x^2 - 12x = 0 \iff 3x(x - 4) = 0\)។
ដោយ \(x \ge 1.5 \implies \mathbf{x = 4}\)។
ឃ. \(\sqrt{4x^2 - 3x - 1} = 2x - 1\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge \dfrac{1}{2}\)។
\(4x^2 - 3x - 1 = 4x^2 - 4x + 1 \iff x = 2\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\ge 1/2\)) ៖ \(\mathbf{x = 2}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានដែលមានរ៉ាឌីកាល់ពីរ ៖
\(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 2} = 3\)
\(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1\)
\(\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5\)
\(\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x - 1} = 2\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការមានរ៉ាឌីកាល់ពីរ ៖
ក. \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 2} = 3\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 2\)។
លើកជាការ៉េ ៖ \((x + 1) + 2\sqrt{(x+1)(x-2)} + (x - 2) = 9\)
\(2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - x - 2} = 9 \iff 2\sqrt{x^2 - x - 2} = 10 - 2x\)
\(\sqrt{x^2 - x - 2} = 5 - x\) (លក្ខខណ្ឌ \(x \le 5\))។
លើកជាការ៉េម្តងទៀត ៖ \(x^2 - x - 2 = 25 - 10x + x^2\)
\(9x = 27 \implies \mathbf{x = 3}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(2 \le 3 \le 5\))។
ខ. \(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1 \iff \sqrt{2x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}\) (\(x \ge -1\)) ៖
\(2x + 3 = 1 + 2\sqrt{x + 1} + x + 1 \iff x + 1 = 2\sqrt{x + 1}\)
\(\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1} - 2) = 0 \implies \sqrt{x+1} = 0 \lor \sqrt{x+1} = 2\)
\(\implies x + 1 = 0 \lor x + 1 = 4 \implies \mathbf{x = -1 \lor x = 3}\)។
គ. \(\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5\) ៖ \(x \ge 0\) ៖
\(\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x} \implies x + 5 = 25 - 10\sqrt{x} + x\)
\(10\sqrt{x} = 20 \iff \sqrt{x} = 2 \implies \mathbf{x = 4}\)។
ឃ. \(\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x - 1} = 2 \iff \sqrt{3x + 1} = 2 + \sqrt{x - 1}\) (\(x \ge 1\)) ៖
\(3x + 1 = 4 + 4\sqrt{x - 1} + x - 1 \iff 2x - 2 = 4\sqrt{x - 1}\)
\(x - 1 = 2\sqrt{x - 1} \implies \sqrt{x - 1}(\sqrt{x-1} - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x = 1 \lor x = 5}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
\(\sqrt{2x - 3} - \sqrt{x - 2} = 1\)
\(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 8} = 5\)
\(\sqrt{2x + 5} + \sqrt{x - 1} = 4\)
\(\sqrt{4x + 1} - \sqrt{x - 2} = 3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
ក. \(\sqrt{2x - 3} - \sqrt{x - 2} = 1 \iff \sqrt{2x - 3} = 1 + \sqrt{x - 2}\) (\(x \ge 2\)) ៖
\(2x - 3 = 1 + 2\sqrt{x - 2} + x - 2 \iff x - 2 = 2\sqrt{x - 2}\)
\(\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 2) = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = 6}\)។
ខ. \(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 8} = 5\) (\(x \ge -3\)) ៖
លើកជាការ៉េ ៖ \(2x + 11 + 2\sqrt{(x+3)(x+8)} = 25\)
\(2\sqrt{x^2 + 11x + 24} = 14 - 2x \iff \sqrt{x^2 + 11x + 24} = 7 - x\) (\(x \le 7\)) ៖
\(x^2 + 11x + 24 = 49 - 14x + x^2 \iff 25x = 25 \implies \mathbf{x = 1}\)។
គ. \(\sqrt{2x + 5} + \sqrt{x - 1} = 4\) (\(x \ge 1\)) ៖
\(2x + 5 = (4 - \sqrt{x - 1})^2 = 16 - 8\sqrt{x-1} + x - 1\)
\(8\sqrt{x-1} = 10 - x \implies 64(x-1) = 100 - 20x + x^2\)
\(x^2 - 84x + 164 = 0 \iff (x - 2)(x - 82) = 0\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(1 \le x \le 10\) នាំឱ្យយកតែ \(\mathbf{x = 2}\)។
ឃ. \(\sqrt{4x + 1} - \sqrt{x - 2} = 3\) (\(x \ge 2\)) ៖
\(4x + 1 = 9 + 6\sqrt{x-2} + x - 2 \iff 3x - 6 = 6\sqrt{x-2}\)
\(x - 2 = 2\sqrt{x-2} \implies \sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 2) = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = 6}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទានតាមវិធីតាងអថេរជំនួយ ៖
\(x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7\)
\(x^2 + 2x - \sqrt{x^2 + 2x + 1} = 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយតាមវិធីតាងអថេរជំនួយ ៖
ក. \(x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7\) ៖
តាង \(u = \sqrt{x^2 - 3x + 5} \ge 0 \implies x^2 - 3x = u^2 - 5\) ៖
\((u^2 - 5) + u = 7 \iff u^2 + u - 12 = 0 \iff (u + 4)(u - 3) = 0\)។
ដោយ \(u \ge 0 \implies u = 3\) ៖
\(\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3 \iff x^2 - 3x + 5 = 9 \iff x^2 - 3x - 4 = 0\)
\((x - 4)(x + 1) = 0 \implies \mathbf{x = 4 \lor x = -1}\)។
ខ. \(x^2 + 2x - \sqrt{x^2 + 2x + 1} = 5\) ៖
តាង \(u = \sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x + 1| \ge 0 \implies x^2 + 2x = u^2 - 1\) ៖
\(u^2 - 1 - u = 5 \iff u^2 - u - 6 = 0 \iff (u - 3)(u + 2) = 0\)។
ដោយ \(u \ge 0 \implies u = 3 \iff |x + 1| = 3\)
\(\implies x + 1 = 3 \lor x + 1 = -3 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = -4}\)។
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
\(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}} + \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} = \dfrac{5}{2}\)
\(\sqrt{x + \sqrt{x - 1}} = 3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖
ក. \(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}} + \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} = \dfrac{5}{2}\) ៖
តាង \(u = \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}} > 0\) នាំឱ្យកន្សោមទីពីរគឺ \(\dfrac{1}{u}\) ៖
\(u + \dfrac{1}{u} = \dfrac{5}{2} \iff 2u^2 - 5u + 2 = 0 \iff (2u - 1)(u - 2) = 0 \implies u = 2 \lor u = \dfrac{1}{2}\)។
- បើ \(u = 2 \implies \dfrac{x+1}{x-1} = 4 \iff x + 1 = 4x - 4 \implies \mathbf{x = \dfrac{5}{3}}\)។
- បើ \(u = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{1}{4} \iff 4x + 4 = x - 1 \implies \mathbf{x = -\dfrac{5}{3}}\)។
ខ. \(\sqrt{x + \sqrt{x - 1}} = 3\) (\(x \ge 1\)) ៖
លើកជាការ៉េ ៖ \(x + \sqrt{x - 1} = 9 \iff \sqrt{x - 1} = 9 - x\) (\(x \le 9\)) ៖
\(x - 1 = (9 - x)^2 = 81 - 18x + x^2 \iff x^2 - 19x + 82 = 0\)។
\(\Delta = 361 - 328 = 33 \implies x = \dfrac{19 - \sqrt{33}}{2}\) (ព្រោះ \(\le 9\))។
ដូចនេះ \(\mathbf{x = \dfrac{19 - \sqrt{33}}{2}}\)។
ដោះស្រាយសមីការឫសគូប ៖
\(\sqrt[3]{x - 2} = 3\)
\(\sqrt[3]{2x + 1} = -3\)
\(\sqrt[3]{x^3 - 7} = x - 1\)
\(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x-1} = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការឫសគូប (\(\sqrt[3]{A} = B \iff A = B^3\)) ៖
ក. \(\sqrt[3]{x - 2} = 3 \iff x - 2 = 3^3 = 27 \implies \mathbf{x = 29}\)។
ខ. \(\sqrt[3]{2x + 1} = -3 \iff 2x + 1 = (-3)^3 = -27 \implies 2x = -28 \implies \mathbf{x = -14}\)។
គ. \(\sqrt[3]{x^3 - 7} = x - 1 \iff x^3 - 7 = (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)
\(\iff 3x^2 - 3x - 6 = 0 \iff x^2 - x - 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = -1}\)។
ឃ. \(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x-1} = 0 \iff \sqrt[3]{x+1} = -\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{1-x}\)
\(\iff x + 1 = 1 - x \iff 2x = 0 \implies \mathbf{x = 0}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0\) ៖
តាង \(t = x + 2\) នាំឱ្យសមីការក្លាយជា ៖
\(\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t} + \sqrt[3]{t + 1} = 0\)។
អនុគមន៍ \(f(t) = \sqrt[3]{t-1} + \sqrt[3]{t} + \sqrt[3]{t+1}\) ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ \(\mathbb{R}\)។
ម៉្យាងទៀត ពិនិត្យត្រង់ \(t = 0\) ៖
\(f(0) = \sqrt[3]{-1} + 0 + \sqrt[3]{1} = -1 + 0 + 1 = 0\)។
ដោយសារ \(f(t)\) កើនដាច់ខាត សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ \(t = 0\)។
\(\implies x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = -2}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 2\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(x \ge 1\)។ សម្គាល់ឃើញថា ៖
\(x \pm 2\sqrt{x-1} = (x - 1) \pm 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} \pm 1)^2\)។
សមីការក្លាយជា ៖
\(\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = 2\)
\((\sqrt{x-1} + 1) + |\sqrt{x-1} - 1| = 2 \iff |\sqrt{x-1} - 1| = 1 - \sqrt{x-1}\)។
សមភាព \(|A| = -A\) កើតឡើងលុះត្រាតែ \(A \le 0\) ៖
\(\sqrt{x-1} - 1 \le 0 \iff \sqrt{x-1} \le 1 \iff 0 \le x - 1 \le 1 \iff \mathbf{1 \le x \le 2}\)។
សំណុំចម្លើយគឺគ្រប់ចំនួនពិតក្នុងចន្លោះបិទ \(\mathbf{x \in [1, 2]}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} = x^2 - 4x + 6\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} = x^2 - 4x + 6\) ៖
លក្ខខណ្ឌ ៖ \(1 \le x \le 3\)។
- វាយតម្លៃអង្គខាងឆ្វេងតាមវិសមីការ Cauchy-Schwarz ៖
\((\sqrt{x-1} + \sqrt{3-x})^2 \le (1^2 + 1^2)[(x-1) + (3-x)] = 2 \times 2 = 4\)
\(\implies \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} \le \sqrt{4} = 2\)។
- វាយតម្លៃអង្គខាងស្តាំ ៖
\(x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2 \ge 2\)។
សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែអង្គទាំងសងខាងស្មើ \(2\) ព្រមគ្នា ៖
\(\begin{cases} \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x} = 2 \\ (x - 2)^2 + 2 = 2 \end{cases} \iff x - 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2}\)។
ដោះស្រាយសមីការទ្វេការ៉េ (Biquadratic equations) ៖
\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
\(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)
\(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
\(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការទ្វេការ៉េ (\(u = x^2 \ge 0\)) ៖
ក. \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \iff (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0\)
\(\implies x^2 = 1 \lor x^2 = 4 \implies \mathbf{x \in \{\pm 1, \pm 2\}}\)។
ខ. \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \iff (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \{\pm 1, \pm 3\}}\)។
គ. \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \iff (x^2 - 4)(x^2 - 9) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \{\pm 2, \pm 3\}}\)។
ឃ. \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \iff (x^2 - 4)(x^2 + 1) = 0\) ៖
\(x^2 = 4 \implies \mathbf{x = \pm 2}\) (លើ \(\mathbb{R}\)) ឬ \(x = \pm i\) (លើ \(\mathbb{C}\))។
ដោះស្រាយសមីការទ្វេការ៉េ ៖
\(2x^4 - 7x^2 + 3 = 0\)
\(3x^4 - 10x^2 + 3 = 0\)
\(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\)
\(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\) (ក្នុងសំណុំ \(\mathbb{C}\))
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការទ្វេការ៉េ ៖
ក. \(2x^4 - 7x^2 + 3 = 0 \iff (2x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0\)
\(\implies x^2 = \dfrac{1}{2} \lor x^2 = 3 \implies \mathbf{x \in \left\{\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \pm\sqrt{3}\right\}}\)។
ខ. \(3x^4 - 10x^2 + 3 = 0 \iff (3x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \left\{\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \pm\sqrt{3}\right\}}\)។
គ. \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0 \iff (4x^2 - 1)(x^2 - 1) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \left\{\pm\dfrac{1}{2}, \pm 1\right\}}\)។
ឃ. \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0 \iff (x^2 + 1)(x^2 + 4) = 0\) ក្នុង \(\mathbb{C}\) ៖
\(x^2 = -1 = i^2 \implies x = \pm i\)
\(x^2 = -4 = (2i)^2 \implies x = \pm 2i\)
\(\implies \mathbf{x \in \{\pm i, \pm 2i\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការដោយតាង \(u = x^2 + 2x\) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0\) ៖
តាង \(u = x^2 + 2x\) ៖
\(u^2 - 2u - 3 = 0 \iff (u - 3)(u + 1) = 0 \implies u = 3 \lor u = -1\)។
- បើ \(u = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \iff (x - 1)(x + 3) = 0 \implies \mathbf{x = 1 \lor x = -3}\)។
- បើ \(u = -1 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x + 1)^2 = 0 \implies \mathbf{x = -1}\) (ឫសឌុប)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-3, -1, 1\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការដោយតាង \(u = x^2 - 3x\) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3) = 5\) ៖
តាង \(u = x^2 - 3x - 1\) នាំឱ្យសមីការទៅជា ៖
\((u + 2)(u - 2) = 5 \iff u^2 - 4 = 5 \iff u^2 = 9 \implies u = \pm 3\)។
- បើ \(u = 3 \implies x^2 - 3x - 1 = 3 \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \implies \mathbf{x = 4 \lor x = -1}\)។
- បើ \(u = -3 \implies x^2 - 3x - 1 = -3 \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = 1 \lor x = 2}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-1, 1, 2, 4\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 15\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 15\) ៖
\([(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)] = 15 \iff (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 15\)។
តាង \(u = x^2 - 5x + 5\) ៖
\((u - 1)(u + 1) = 15 \iff u^2 - 1 = 15 \iff u^2 = 16 \implies u = \pm 4\)។
- បើ \(u = 4 \implies x^2 - 5x + 5 = 4 \iff x^2 - 5x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2}}\)។
- បើ \(u = -4 \implies x^2 - 5x + 9 = 0\) (\(\Delta = 25 - 36 < 0\) គ្មានឫសពិត)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\) ៖
\([x(x+3)][(x+1)(x+2)] = 24 \iff (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 24\)។
តាង \(u = x^2 + 3x + 1\) ៖
\((u - 1)(u + 1) = 24 \iff u^2 - 1 = 24 \iff u^2 = 25 \implies u = \pm 5\)។
- បើ \(u = 5 \implies x^2 + 3x + 1 = 5 \iff x^2 + 3x - 4 = 0 \implies \mathbf{x = 1 \lor x = -4}\)។
- បើ \(u = -5 \implies x^2 + 3x + 6 = 0\) (\(\Delta = 9 - 24 < 0\) គ្មានឫសពិត)។
សំណុំចម្លើយពិត ៖ \(\mathbf{S = \{-4, 1\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x^2 - 4x + 3)^2 - 5(x-1)(x-3) - 6 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x^2 - 4x + 3)^2 - 5(x-1)(x-3) - 6 = 0\) ៖
សម្គាល់ \((x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3\)។
តាង \(u = x^2 - 4x + 3\) សមីការក្លាយជា ៖
\(u^2 - 5u - 6 = 0 \iff (u - 6)(u + 1) = 0 \implies u = 6 \lor u = -1\)។
- បើ \(u = 6 \implies x^2 - 4x + 3 = 6 \iff x^2 - 4x - 3 = 0 \implies \mathbf{x = 2 \pm \sqrt{7}}\)។
- បើ \(u = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0 \implies \mathbf{x = 2}\) (ឫសឌុប)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{2, 2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x+1)^4 + (x-1)^4 = 82\) ដោយតាង \(u = x^2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x+1)^4 + (x-1)^4 = 82\) ៖
ពន្លាតតាមទ្វេធាញូតុន ៖
\((x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) = 82\)
\(2x^4 + 12x^2 + 2 = 82 \iff x^4 + 6x^2 - 40 = 0\)។
តាង \(u = x^2 \ge 0 \implies u^2 + 6u - 40 = 0 \iff (u - 4)(u + 10) = 0\)។
ដោយ \(u \ge 0 \implies u = 4 \iff x^2 = 4 \implies \mathbf{x = \pm 2}\)។
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ ដោយវិធីដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
\(x^3 - 4x = 0\)
\(x^3 - 3x^2 + 2x = 0\)
\(x^3 - x^2 - x + 1 = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ ដោយដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
ក. \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \implies \mathbf{x \in \{0, -2, 2\}}\)។
ខ. \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \iff x(x^2 - 3x + 2) = 0 \iff x(x - 1)(x - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \{0, 1, 2\}}\)។
គ. \(x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \iff x^2(x - 1) - (x - 1) = 0\)
\(\iff (x - 1)(x^2 - 1) = 0 \iff (x - 1)^2(x + 1) = 0 \implies \mathbf{x = 1 \lor x = -1}\)។
ឃ. \(x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \iff x^2(x + 2) - (x + 2) = 0\)
\(\iff (x + 2)(x^2 - 1) = 0 \implies \mathbf{x \in \{-2, -1, 1\}}\)។
គេឱ្យពហុធា \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា \(x = 1\) ជាឫសនៃ \(P(x)\)។
ដាក់ \(P(x)\) ជាផលគុណកត្តាដឺក្រេទីមួយ រួចទាញរកគ្រប់ឫសនៃ \(P(x) = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) ៖
ក. គណនា \(P(1) = 1^3 - 6(1^2) + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\)។
ដូចនេះ \(x = 1\) ជាឫសនៃ \(P(x)\) ពិតមែន។
ខ. ចែក \(P(x)\) នឹង \(x - 1\) ដោយតារាងហន័រ ៖
| 1 | -6 | 11 | -6 | |
| 1 | \(\downarrow\) | 1 | -5 | 6 |
| 1 | -5 | 6 | 0 |
ផលចែកគឺ \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)។
\(\implies P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\)។
គ្រប់ឫសនៃសមីការ \(P(x) = 0\) គឺ ៖ \(\mathbf{x \in \{1, 2, 3\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកត្តា ៖
\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(x^3 - 7x + 6 = 0\)
\(x^3 + 3x^2 - 4 = 0\)
\(2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ៣ តាមទ្រឹស្តីបទកត្តា ៖
ក. \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\) ៖ \(a+b+c+d = 1-2-5+6=0 \implies x = 1\) ជាឫស។
ចែកនឹង \(x-1\) ទទួលបាន \((x-1)(x^2 - x - 6) = 0 \iff (x-1)(x-3)(x+2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \{-2, 1, 3\}}\)។
ខ. \(x^3 - 7x + 6 = 0\) ៖ ផលបូកមេគុណស្មើ \(0 \implies x = 1\) ជាឫស។
\((x - 1)(x^2 + x - 6) = 0 \iff (x - 1)(x + 3)(x - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \{-3, 1, 2\}}\)។
គ. \(x^3 + 3x^2 - 4 = 0\) ៖ \(x = 1\) ជាឫស ៖
\((x - 1)(x^2 + 4x + 4) = 0 \iff (x - 1)(x + 2)^2 = 0 \implies \mathbf{x = 1 \lor x = -2}\)។
ឃ. \(2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0\) ៖ សមីការឆ្លាស់មាន \(x = -1\) ជាឫស ៖
\((x + 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0 \iff (x + 1)(2x - 1)(x - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{x \in \left\{-1, \dfrac{1}{2}, 2\right\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0\) ក្នុងសំណុំ \(\mathbb{C}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0\) ក្នុង \(\mathbb{C}\) ៖
សាកល្បង \(x = 2 \implies 2^3 - 3(4) + 4(2) - 4 = 8 - 12 + 8 - 4 = 0\)។
ចែកនឹង \(x - 2\) ទទួលបាន ៖
\((x - 2)(x^2 - x + 2) = 0\)។
- \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)។
- \(x^2 - x + 2 = 0\) ៖ \(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = -7 = 7i^2\)
\(\implies x = \dfrac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}\)។
សំណុំចម្លើយក្នុង \(\mathbb{C}\) ៖ \(\mathbf{S = \left\{2, \dfrac{1 - i\sqrt{7}}{2}, \dfrac{1 + i\sqrt{7}}{2}\right\}}\)។
កំណត់តម្លៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យពហុធា \(P(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + k\) ចែកដាច់នឹង \(x - 1\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពហុធា \(P(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + k\) ចែកដាច់នឹង \(x - 1 \iff P(1) = 0\) ៖
\(P(1) = 1^3 - 4(1^2) - 7(1) + k = 0\)
\(1 - 4 - 7 + k = 0 \iff -10 + k = 0 \implies \mathbf{k = 10}\)។
កំណត់តម្លៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យពហុធា \(P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8x + 4\) ចែកដាច់នឹង \((x - 1)(x + 2)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8x + 4\) ចែកដាច់នឹង \((x-1)(x+2) \iff \begin{cases} P(1) = 0 \\ P(-2) = 0 \end{cases}\)
- \(P(1) = 1 + a + b - 8 + 4 = 0 \iff a + b = 3 \quad{} (1)\)
- \(P(-2) = 16 - 8a + 4b + 16 + 4 = 0 \iff -8a + 4b = -36 \iff 2a - b = 9 \quad{} (2)\)
បូក \((1)\) និង \((2)\) ៖ \(3a = 12 \implies \mathbf{a = 4}\)។
ជំនួសចូល \((1)\) ៖ \(4 + b = 3 \implies \mathbf{b = -1}\)។
រកសំណល់នៃផលចែករវាង \(P(x) = x^{2026} - 2x^3 + 5\) នឹង \(x - 1\) ដោយមិនបាច់ធ្វើប្រមាណវិធីចែក។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ សំណល់នៃផលចែករវាង \(P(x)\) នឹង \(x - 1\) គឺ \(R = P(1)\) ៖
\(R = P(1) = 1^{2026} - 2(1^3) + 5 = 1 - 2 + 5 = \mathbf{4}\)។
រកពហុធាសំណល់ \(R(x)\) នៃផលចែករវាង \(P(x)\) នឹង \((x-1)(x-3)\) ដោយដឹងថា \(P(1) = 4\) និង \(P(3) = 10\)។
មើលដំណោះស្រាយ
កាលណា \(P(x)\) ចែកនឹង \((x-1)(x-3)\) សំណល់មានដឺក្រេយ៉ាងច្រើន ១ គឺ \(R(x) = ax + b\) ៖
\(P(x) = (x-1)(x-3)Q(x) + (ax + b)\) ៖
- \(P(1) = a + b = 4 \quad{} (1)\)
- \(P(3) = 3a + b = 10 \quad{} (2)\)
យក \((2) - (1)\) ៖ \(2a = 6 \implies a = 3\) នាំឱ្យ \(b = 4 - 3 = 1\)។
ដូចនេះ ពហុធាសំណល់គឺ ៖ \(\mathbf{R(x) = 3x + 1}\)។
ដោះស្រាយសមីការស៊ីមេទ្រីដឺក្រេទី ៤ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0\) ៖
សម្គាល់មេគុណតាមត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ៖
\((x - 1)^4 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}\) (ឫសស្វ័យគុណ ៤)។
ដោះស្រាយសមីការឆ្លាស់ ៖ \(2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0\) (ចែកនឹង \(x^2\) រួចតាង \(u = x + \dfrac{1}{x}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការឆ្លាស់ \(2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0\) ៖
ដោយ \(x = 0\) មិនមែនជាឫស ចែកអង្គទាំងសងខាងនឹង \(x^2\) ៖
\(2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 9\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 14 = 0\)។
តាង \(u = x + \dfrac{1}{x} \implies x^2 + \dfrac{1}{x^2} = u^2 - 2\) ៖
\(2(u^2 - 2) - 9u + 14 = 0 \iff 2u^2 - 9u + 10 = 0\)
\((2u - 5)(u - 2) = 0 \implies u = 2 \lor u = \dfrac{5}{2}\)។
- បើ \(u = 2 \implies x + \dfrac{1}{x} = 2 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}\) (ឫសឌុប)។
- បើ \(u = \dfrac{5}{2} \implies x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2} \iff 2x^2 - 5x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = \dfrac{1}{2}}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \left\{1, 2, \dfrac{1}{2}\right\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0\) ៖
ចែកនឹង \(x^2 \neq 0\) ៖
\(6\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 35\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 62 = 0\)។
តាង \(u = x + \dfrac{1}{x} \implies 6(u^2 - 2) - 35u + 62 = 0\)
\(6u^2 - 35u + 50 = 0 \iff (2u - 5)(3u - 10) = 0 \implies u = \dfrac{5}{2} \lor u = \dfrac{10}{3}\)។
- \(u = \dfrac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2 \lor x = \dfrac{1}{2}}\)។
- \(u = \dfrac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0 \implies \mathbf{x = 3 \lor x = \dfrac{1}{3}}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \left\{\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}, 2, 3\right\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 2x + 1 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 2x + 1 = 0\) ៖
ចែកនឹង \(x^2\) ៖ \(\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 6 = 0\)។
តាង \(u = x + \dfrac{1}{x} \implies (u^2 - 2) + 2u - 6 = 0 \iff u^2 + 2u - 8 = 0\)
\((u + 4)(u - 2) = 0 \implies u = 2 \lor u = -4\)។
- \(u = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}\) (ឫសឌុប)។
- \(u = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = -2 \pm \sqrt{3}}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{1, -2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x+2)^4 + (x+4)^4 = 82\) ដោយតាង \(u = x + 3\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x+2)^4 + (x+4)^4 = 82\) ៖
តាង \(u = x + 3\) នាំឱ្យ \(x + 2 = u - 1\) និង \(x + 4 = u + 1\) ៖
\((u - 1)^4 + (u + 1)^4 = 82\)
\(2(u^4 + 6u^2 + 1) = 82 \iff u^4 + 6u^2 - 40 = 0\)
\((u^2 - 4)(u^2 + 10) = 0 \implies u^2 = 4 \implies u = \pm 2\)។
- \(u = 2 \implies x + 3 = 2 \implies \mathbf{x = -1}\)។
- \(u = -2 \implies x + 3 = -2 \implies \mathbf{x = -5}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{-5, -1\}}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x-3)^4 + (x-5)^4 = 2\) ដោយតាង \(u = x - 4\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x-3)^4 + (x-5)^4 = 2\) ៖
តាង \(u = x - 4\) នាំឱ្យ \((u + 1)^4 + (u - 1)^4 = 2\) ៖
\(2(u^4 + 6u^2 + 1) = 2 \iff u^4 + 6u^2 = 0 \iff u^2(u^2 + 6) = 0\)។
ចំពោះឫសពិត \(u = 0 \implies x - 4 = 0 \implies \mathbf{x = 4}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0\) ៖
ចែកនឹង \(x^2 \neq 0\) ៖
\(\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 1 = 0\)។
តាង \(u = x + \dfrac{1}{x} \implies u^2 - 2 - 2u - 1 = 0 \iff u^2 - 2u - 3 = 0\)
\((u - 3)(u + 1) = 0 \implies u = 3 \lor u = -1\)។
- \(u = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}\)។
- \(u = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0\) (\(\Delta < 0\) គ្មានឫសពិត)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1\) ៖
លក្ខខណ្ឌ \(x \ge 1\)។ សម្គាល់ការ៉េ ៖
\(x + 3 - 4\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1} - 2)^2\)
\(x + 8 - 6\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1} - 3)^2\)
សមីការក្លាយជា ៖ \(|\sqrt{x-1} - 2| + |\sqrt{x-1} - 3| = 1\)។
ដោយចម្ងាយរវាង \(2\) និង \(3\) លើបន្ទាត់ចំនួនគឺ \(|3 - 2| = 1\) នាំឱ្យសមភាពផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ \(\sqrt{x-1}\) ក្នុងចន្លោះ \([2, 3]\) ៖
\(2 \le \sqrt{x-1} \le 3 \iff 4 \le x - 1 \le 9 \iff \mathbf{5 \le x \le 10}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 4x + 3} = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 4x + 3} = 0\) ៖
ផលបូកនៃពីរចំនួនមិនអវិជ្ជមានស្មើ \(0\) លុះត្រាតែតួនីមួយៗស្មើ \(0\) ព្រមគ្នា ៖
\(\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x^2 - 4x + 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x - 1)(x - 2) = 0 \\ (x - 1)(x - 3) = 0 \end{cases} \implies \mathbf{x = 1}\)។
រកគ្រប់ឫសពិតនៃសមីការ ៖ \((x^2 - 1)^2 = 4x + 1\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \((x^2 - 1)^2 = 4x + 1\) ៖
\(x^4 - 2x^2 + 1 = 4x + 1 \iff x^4 - 2x^2 - 4x = 0\)
\(x(x^3 - 2x - 4) = 0\)។
ពិនិត្យ \(x^3 - 2x - 4 = 0\) មានឫស \(x = 2\) ៖
\((x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0\)។
ដោយ \(x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0\) គ្មានឫសពិត នាំឱ្យឫសពិតគឺ ៖
\(\mathbf{x = 0 \lor x = 2}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^3 + \dfrac{x^3}{(x-1)^3} + \dfrac{3x^2}{x-1} - 2 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^3 + \dfrac{x^3}{(x-1)^3} + \dfrac{3x^2}{x-1} - 2 = 0\) ៖
លក្ខខណ្ឌ \(x \neq 1\)។ សម្គាល់រូបមន្ត \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\) ៖
តាង \(a = x\) និង \(b = \dfrac{x}{x-1}\) នាំឱ្យ \(a + b = x + \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x^2}{x-1} = ab\)។
សមីការក្លាយជា ៖ \((a + b)^3 - 3ab(a+b) + 3ab - 2 = 0\)
\((ab)^3 - 3(ab)^2 + 3ab - 2 = 0 \iff (ab - 1)^3 - 1 = 0 \implies ab - 1 = 1 \implies ab = 2\)។
\(\implies \dfrac{x^2}{x-1} = 2 \iff x^2 - 2x + 2 = 0\) (\(\Delta' = 1 - 2 = -1 < 0\))។
សមីការគ្មានឫសជាចំនួនពិតឡើយ (ឫសកុំផ្លិច \(\mathbf{x = 1 \pm i}\))។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}\) ៖
លើកជាស្វ័យគុណ ៣ អង្គសងខាងតាមរូបមន្ត \((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\) ៖
\(x + 2x - 3 + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}\underbrace{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3})}_{\sqrt[3]{12(x-1)}} = 12(x-1)\)
\(3x - 3 + 3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 12x - 12\)
\(3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 9(x - 1)\)
\(\iff \sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 3(x-1)\)។
លើកជាស្វ័យគុណ ៣ ៖
\(12x(2x-3)(x-1) = 27(x-1)^3\)
\(\iff (x-1)[12x(2x-3) - 27(x-1)^2] = 0\)
- \(x - 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}\)។
- \(12(2x^2 - 3x) - 27(x^2 - 2x + 1) = 0 \iff -3x^2 + 18x - 27 = 0\)
\(-3(x - 3)^2 = 0 \implies \mathbf{x = 3}\)។
សំណុំចម្លើយ ៖ \(\mathbf{S = \{1, 3\}}\)។
កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(x^4 - 2(m+1)x^2 + 2m + 1 = 0\) មានឫស ៤ ផ្សេងគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(x^4 - 2(m+1)x^2 + 2m + 1 = 0\) មានឫស ៤ ផ្សេងគ្នា \(\iff\) សមីការដឺក្រេទី ២ តាម \(u = x^2\) មានឫសវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា ៖
\(\begin{cases} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (m+1)^2 - (2m+1) > 0 \\ 2(m+1) > 0 \\ 2m + 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m^2 > 0 \\ m > -1 \\ m > -\dfrac{1}{2} \end{cases}\)
\(\implies \mathbf{m > -\dfrac{1}{2}\text{ និង } m \neq 0}\)។
កំណត់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(x^3 - 3x^2 + mx - 1 = 0\) មានឫស ៣ បង្កើតបានជាស្វ៊ីតនព្វន្ត។
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(x^3 - 3x^2 + mx - 1 = 0\) មានឫស ៣ ជាស្វ៊ីតនព្វន្ត ៖
តាងឫសទាំង ៣ ដោយ \(x_1 = a - d, x_2 = a, x_3 = a + d\) ៖
ផលបូកឫសតាមវីយ៉ែត ៖ \(x_1 + x_2 + x_3 = 3a = 3 \implies a = 1\)។
ដោយ \(x = a = 1\) ជាឫសមួយនៃសមីការ ជំនួស \(x = 1\) ចូលសមីការ ៖
\(1^3 - 3(1^2) + m(1) - 1 = 0 \iff 1 - 3 + m - 1 = 0 \implies \mathbf{m = 3}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\sqrt{x-2} + \sqrt{7-x} = 3\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(\sqrt{x-2} + \sqrt{7-x} = 3\) ៖
លក្ខខណ្ឌ \(2 \le x \le 7\)។ លើកជាការ៉េអង្គទាំងសងខាង ៖
\((x - 2) + 2\sqrt{(x-2)(7-x)} + (7 - x) = 9\)
\(5 + 2\sqrt{-x^2 + 9x - 14} = 9 \iff \sqrt{-x^2 + 9x - 14} = 2\)
\(-x^2 + 9x - 14 = 4 \iff x^2 - 9x + 18 = 0\)
\((x - 3)(x - 6) = 0 \implies \mathbf{x = 3 \lor x = 6}\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(2 \le x \le 7\))។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយ \(x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0\) ៖
ចែកនឹង \(x^2 \neq 0\) ៖ \(\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 4\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 5 = 0\)។
តាង \(u = x + \dfrac{1}{x} \implies u^2 - 2 - 4u + 5 = 0 \iff u^2 - 4u + 3 = 0\)
\((u - 1)(u - 3) = 0 \implies u = 1 \lor u = 3\)។
- \(u = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0\) (គ្មានឫសពិត)។
- \(u = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}\)។
គេឱ្យសមីការ \(x^3 - px^2 + qx - r = 0\) មានឫស \(a, b, c\)។ បង្ហាញថា \(a^2 + b^2 + c^2 = p^2 - 2q\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(x^3 - px^2 + qx - r = 0\) មានឫស \(a, b, c\) ៖
តាមទ្រឹស្តីបទវីយ៉ែត ៖
\(a + b + c = p\) និង \(ab + bc + ca = q\)។
គណនាការ៉េនៃផលបូក ៖
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)
\(p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2q\)
\(\implies \mathbf{a^2 + b^2 + c^2 = p^2 - 2q}\) ពិត។
លំហាត់ PISA - ល្បឿននៃរលកយក្សស៊ូណាមិ ៖ ក្នុងរូបវិទ្យាមហាសមុទ្រ ល្បឿនធ្វើដំណើរ \(v\) (គិតជាម៉ែត្រ/វិនាទី) នៃរលកយក្សស៊ូណាមិក្នុងទឹកជ្រៅ កំណត់ដោយរូបមន្តអសនិទាន ៖
គណនាល្បឿនរលកស៊ូណាមិ (គិតជា \(\text{km/h}\)) នៅពេលវាធ្វើដំណើរឆ្លងកាត់មហាសមុទ្រដែលមានជម្រៅ \(d = 4000\text{ m}\)។
ប្រសិនបើរលកស៊ូណាមិមានល្បឿន \(140\text{ m/s}\) តើសមុទ្រនៅត្រង់នោះមានជម្រៅប៉ុន្មានម៉ែត្រ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ល្បឿននៃរលកយក្សស៊ូណាមិ ៖
រូបមន្ត ៖ \(v = \sqrt{g \cdot d}\) (\(g = 9.8\text{ m/s}^2\)) ៖
ក. ជម្រៅទឹក \(d = 4000\text{ m}\) ៖
\(v = \sqrt{9.8 \times 4000} = \sqrt{39\,200} = 197.99\text{ m/s}\)។
បំប្លែងជា \(\text{km/h}\) ៖ \(197.99 \times 3.6 \approx \mathbf{712.8\text{ km/h}}\)។
ខ. បើ \(v = 140\text{ m/s}\) ៖
\(140 = \sqrt{9.8 \cdot d} \iff 140^2 = 9.8d \iff 19\,600 = 9.8d\)
\(\implies d = \dfrac{19\,600}{9.8} = \mathbf{2000\text{ m}}\)។
លំហាត់ PISA - អត្រាហូរនៃទឹកក្នុងបំពង់ធារាសាស្ត្រ ៖ វិស្វករធារាសាស្ត្រប្រើប្រាស់រូបមន្ត \(v = c \sqrt{R \cdot S}\) ដើម្បីគណនាល្បឿនហូរនៃទឹកក្នុងប្រឡាយ។
បើ \(c = 45\), \(R = 2\text{ m}\) និង \(S = 0.005\) ចូរគណនាល្បឿនទឹក \(v\)។
បើគេចង់បានល្បឿនទឹក \(v = 6\text{ m/s}\) ដោយដឹងថា \(c = 50\) និង \(S = 0.008\) ចូរគណនាកាំធារាសាស្ត្រ \(R\)។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - អត្រាហូរនៃទឹកក្នុងបំពង់ធារាសាស្ត្រ ៖
រូបមន្ត ៖ \(v = c\sqrt{R \cdot S}\) ៖
ក. បើ \(c = 45, R = 2\text{ m}, S = 0.005\) ៖
\(v = 45\sqrt{2 \times 0.005} = 45\sqrt{0.01} = 45 \times 0.1 = \mathbf{4.5\text{ m/s}}\)។
ខ. បើ \(v = 6, c = 50, S = 0.008\) ៖
\(6 = 50\sqrt{0.008R} \iff \sqrt{0.008R} = \dfrac{6}{50} = 0.12\)
\(0.008R = (0.12)^2 = 0.0144 \implies R = \dfrac{0.0144}{0.008} = \mathbf{1.8\text{ m}}\)។
លំហាត់ PISA - ការរចនាប្រអប់វេចខ្ចប់ទំនិញ ៖ រោងចក្រផលិតក្រដាសកាតុងមួយប្រើប្រាស់សន្លឹកក្រដាសរាងចតុកោណកែងទំហំ \(20\text{ cm} \times 16\text{ cm}\) ដើម្បីធ្វើជាប្រអប់បើកគម្របខាងលើ ដោយកាត់ជ្រុងការ៉េទំហំ \(x\text{ cm} \times x\text{ cm}\) ចេញពីជ្រុងទាំងបួន រួចបត់ឡើងលើ។
សរសេរកន្សោមមាឌប្រអប់ \(V(x)\) ជាពហុធាដឺក្រេទី ៣ នៃ \(x\)។
បើគេចង់បានមាឌប្រអប់ស្មើនឹង \(384\text{ cm}^3\) ចូររកតម្លៃ \(x\)។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការរចនាប្រអប់វេចខ្ចប់ទំនិញ ៖
សន្លឹកកាតុងទំហំ \(20\text{ cm} \times 16\text{ cm}\) កាត់ការ៉េជ្រុង \(x\) ចេញពីជ្រុងទាំងបួន ៖
ក. វិមាត្របាតប្រអប់គឺ \((20 - 2x)\) និង \((16 - 2x)\) កម្ពស់គឺ \(x\) (\(0 < x < 8\)) ៖
\(V(x) = x(20 - 2x)(16 - 2x) = 4x(10 - x)(8 - x)\)
\(= 4x(x^2 - 18x + 80) = \mathbf{4x^3 - 72x^2 + 320x\text{ cm}^3}\)។
ខ. មាឌស្មើ \(384\text{ cm}^3\) ៖
\(4x^3 - 72x^2 + 320x = 384 \iff x^3 - 18x^2 + 80x - 96 = 0\)
\((x - 2)(x^2 - 16x + 48) = 0 \iff (x - 2)(x - 4)(x - 12) = 0\)។
ដោយ \(0 < x < 8\) នាំឱ្យតម្លៃសមស្របគឺ \(\mathbf{x = 2\text{ cm}\text{ ឬ } x = 4\text{ cm}}\)។
លំហាត់ PISA - កម្លាំងបត់បែននៃធ្នឹមសំណង់ ៖ កម្រិតរេចុះក្រោម \(y\) (គិតជា \(\text{mm}\)) នៃធ្នឹមស្ពានដែកប្រវែង \(L = 10\text{ m}\) ក្រោមទម្ងន់បន្ទុក កំណត់ដោយពហុធាដឺក្រេទី ៤ ៖
ពិនិត្យកម្រិតរេនៅចុងធ្នឹមទាំងសងខាង (\(x = 0\) និង \(x = L\))។
រកចំណុច \(x\) លើធ្នឹមដែលទទួលរងកម្រិតរេខ្លាំងបំផុត។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - កម្លាំងបត់បែននៃធ្នឹមសំណង់ ៖
\(y(x) = k(x^4 - 2Lx^3 + L^3x)\) (\(L = 10\text{ m}\)) ៖
ក. ពិនិត្យកម្រិតរេនៅចុងទាំងពីរ ៖
- ត្រង់ \(x = 0 \implies y(0) = k(0) = \mathbf{0\text{ mm}}\)។
- ត្រង់ \(x = L \implies y(L) = k(L^4 - 2L^4 + L^4) = \mathbf{0\text{ mm}}\)។
(ចុងធ្នឹមទាំងសងខាងជាប់នឹងជញ្ជាំងទ្រ គ្មានការរេទេ)។
ខ. កម្រិតរេខ្លាំងបំផុតកើតឡើងត្រង់ចំណុចកណ្តាលធ្នឹម ដោយសារលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ៖
\(x = \dfrac{L}{2} = \dfrac{10}{2} = \mathbf{5\text{ m}}\)។
លំហាត់ PISA - កំហាប់ឱសថក្នុងឈាមអ្នកជំងឺ ៖ ក្រោយពីអ្នកជំងឺលេបថ្នាំព្យាបាលមួយគ្រាប់ កំហាប់ថ្នាំ \(C\) (គិតជា \(\text{mg/L}\)) ក្នុងចរន្តឈាមនៅខណៈពេល \(t\) ម៉ោង កំណត់ដោយសមីការសនិទាន ៖
គណនាកំហាប់ថ្នាំក្រោយពេលលេបបានរយៈពេល \(1\) ម៉ោង, \(2\) ម៉ោង និង \(3\) ម៉ោង។
តើនៅខណៈពេលណាខ្លះដែលកំហាប់ថ្នាំក្នុងឈាមស្មើនឹង \(1.6\text{ mg/L}\)?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA ៖ កំហាប់ឱសថក្នុងឈាមអ្នកជំងឺ ៖
\(C(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}\) (\(t \ge 0\)) ៖
ក. គណនាកំហាប់ថ្នាំ ៖
- \(t = 1\text{ h} \implies C(1) = \dfrac{4(1)}{1^2 + 1} = \mathbf{2\text{ mg/L}}\)។
- \(t = 2\text{ h} \implies C(2) = \dfrac{4(2)}{2^2 + 1} = \dfrac{8}{5} = \mathbf{1.6\text{ mg/L}}\)។
- \(t = 3\text{ h} \implies C(3) = \dfrac{4(3)}{3^2 + 1} = \dfrac{12}{10} = \mathbf{1.2\text{ mg/L}}\)។
ខ. រកពេលដែល \(C(t) = 1.6\text{ mg/L}\) ៖
\(\dfrac{4t}{t^2 + 1} = 1.6 \iff 1.6t^2 - 4t + 1.6 = 0\)
\(\iff 2t^2 - 5t + 2 = 0 \iff (2t - 1)(t - 2) = 0\)
\(\implies \mathbf{t = 0.5\text{ ម៉ោង}}\) (30 នាទី) និង \(\mathbf{t = 2\text{ ម៉ោង}}\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ៣ សមីការ និងវិសមីការ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី