មេរៀនទី ៥ : ចំនួន — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃប្រព័ន្ធចំនួន និងចំនួនកុំផ្លិច

ប្រព័ន្ធចំនួនបានវិវត្តជាបន្តបន្ទាប់ពីចំនួនគត់ធម្មជាតិ $\mathbb{N}$ ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប $\mathbb{Z}$ ចំនួនសនិទាន $\mathbb{Q}$ រហូតដល់ចំនួនពិត $\mathbb{R}$។ ប៉ុន្តែសមីការដឺក្រេទីពីរងាយៗដូចជា $x^2 + 1 = 0$ គ្មានឫសក្នុង $\mathbb{R}$ ឡើយ។

នៅសតវត្សទី១៦ គណិតវិទូអ៊ីតាលី Girolamo Cardano និង Rafael Bombelli បានបង្កើតគំនិតដំបូងអំពី «ចំនួននិម្មិត» ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីបី។ លុះដល់សតវត្សទី១៨ គណិតវិទូស្វីស Leonhard Euler បានបង្កើតនិមិត្តសញ្ញា $i$ សម្រាប់តំណាងឱ្យ $\sqrt{-1}$ ($i^2 = -1$) ហើយ Carl Friedrich Gauss បានដាក់ឈ្មោះថា «ចំនួនកុំផ្លិច (Complex Numbers)» និងបានបង្ហាញប្លង់កុំផ្លិច (Argand-Gauss Plane)។

សព្វថ្ងៃ ចំនួនកុំផ្លិចមានសារៈសំខាន់បំផុតក្នុងរូបវិទ្យាទំនើប រលកអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច មេកានិចកង់ទិច និងវិស្វកម្មអគ្គិសនីចរន្តឆ្លាស់។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ក្រោម៖
១. ប្រមាណវិធីបូក ដក គុណ ចែក ចំនួនទសភាគ និងប្រភាគ
២. ការគណនាស្វ័យគុណនិងឫសការ៉េ

ចំនួនពិត

បន្ទាត់ចំនួន

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យចំណុច $O$ និងចំណុច $E$ មួយផ្សេងទៀតនៅលើបន្ទាត់ $L$ ។ បើគេមិនរាប់បញ្ចូលចំណុច $O$ ទេ នោះគេអាចចែកបន្ទាត់ $L$ ជាពីរផ្នែកនៅសងខាងនៃចំណុច $O$ ។ ផ្នែកដែលមានចំណុច $E$ ហៅថា ផ្នែកវិជ្ជមាន និងផ្នែកដែលគ្មានចំណុច $E$ ហៅថា ផ្នែកអវិជ្ជមាន ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំពោះគ្រប់ចំណុចនៅលើបន្ទាត់ $L$ ដែលមានអង្កត់ $OE$ ជាឯកតាប្រវែង ត្រូវគ្នានឹងចំនួនតាមរបៀបដូចខាងក្រោម ៖

ចំណុច $O$ ត្រូវនឹងចំនួន $0$ ។
គ្រប់ចំណុចនៅផ្នែកវិជ្ជមាន ហើយមានចម្ងាយ $s$ ពីចំណុច $O$ ត្រូវគ្នានឹងចំនួនវិជ្ជមាន $s$ ។
គ្រប់ចំណុចនៅផ្នែកអវិជ្ជមាន ហើយមានចម្ងាយ $s$ ពីចំណុច $O$ ត្រូវគ្នានឹងចំនួនអវិជ្ជមាន $(-s)$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

តាមរបៀបនេះ គ្រប់ចំណុច $M$ នៅលើ $L$ ត្រូវគ្នានឹងចំនួនតែមួយគត់ មានន័យថា ចំណុចផ្សេងគ្នាត្រូវគ្នានឹងចំនួនផ្សេងគ្នា ។ ចំនួន $x$ ដែលត្រូវនឹងចំណុច $M$ ហៅថាអាប់ស៊ីស នៃចំណុច $M$ ។ គេកំណត់សរសេរ $M(x)$ ។

ក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ $L$ ហៅថាបន្ទាត់ចំនួនដែលមានចំណុច $O$ ជាគល់ និង $E$ ជាចំណុចឯកតា ។ អាប់ស៊ីសនៃចំណុចគល់ស្មើនឹង $0$ និងអាប់ស៊ីសនៃចំណុចឯកតាស្មើនឹង $1$ ។

គ្រប់ចំនួនដែលត្រូវគ្នានឹងគ្រប់ចំណុចនៅលើបន្ទាត់ចំនួន ហៅថា ចំនួនពិត ។ បើគេគូសបន្ទាត់ចំនួនជាបន្ទាត់ដេក នោះផ្នែកវិជ្ជមានត្រូវនៅខាងស្តាំ និងផ្នែកអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង ។

ប្រតិបត្តិ

ដៅចំនួនដូចខាងក្រោមនៅលើបន្ទាត់ចំនួន
ក. $4$
ខ. $-3$
គ. $2.5$
ឃ. $-1.5$
ង. $-\frac{3}{4}$ ។

ការប្រៀបធៀបចំនួនពិត

ឧទាហរណ៍

គេដៅចំនួនវិជ្ជមាននៅលើបន្ទាត់ចំនួនដោយចំណុចជាច្រើននៅផ្នែកខាងស្តាំនៃគល់ និងដៅចំនួនអវិជ្ជមានដោយចំណុចជាច្រើននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃគល់ ។ បើគេនិយាយថា ចំនួនពិត $b$ ធំជាងចំនួនពិត $a$ ឬ $a$ តូចជាង $b$ នោះគេថាចំណុច $b$ នៅខាងស្តាំនៃចំណុច $a$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេកំណត់សរសេរ $a < b$ ឬ $b < a$ ។

បើ $a$ វិជ្ជមាន គេសរសេរ $a > 0$ ។
បើ $a$ អវិជ្ជមាន គេសរសេរ $a < 0$ ។

គេអាចប្រៀបធៀបចំនួនពិតតាមលក្ខណៈខាងក្រោម ៖
ក. ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ គេអាចបានទំនាក់ទំនងមួយក្នុងចំណោមទំនាក់ទំនង

\[a < b , \quad{} a = b \quad{} \text{និង} \quad{} a > b \text{~។}\]

ខ.

\[(a < b \quad{} \text{និង} \quad{} b < c) \Rightarrow a < c \text{~។}\]

គ.

\[a > b \Leftrightarrow a - b > 0 \text{~។}\]

តម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនពិត

ចម្ងាយពីគល់ $O$ ទៅចំណុច $a$ នៅលើបន្ទាត់ចំនួនហៅថាតម្លៃដាច់ខាត នៃចំនួន $a$ ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនពិត $a$ កំណត់ដោយ $|a|$ ។

ឧទាហរណ៍

$|3| = 3 , \quad{} |-3| = 3 \quad{} $ និង $ \quad{} |0| = 0$ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ប្រតិបត្តិ

១. គណនាតម្លៃខាងក្រោម ៖
ក. $|8|$ ខ. $|-10|$ គ. $|2.5|$ ឃ. $\left|-\frac{1}{3}\right|$ ។
២. កំណត់ចំនួនពិត $x$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|x| = 7$ ។

មើលចម្លើយ

១. ក. $8$ ខ. $10$ គ. $2.5$ ឃ. $\frac{1}{3}$ ២. $x = \pm 7$ ។

តាមនិយមន័យនៃតម្លៃដាច់ខាត គេទាញបានលក្ខណៈខាងក្រោម ៖

$|a| = a$ បើ $a \geq 0$
$|a| = -a$ បើ $a < 0$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ គេបាន $|a| \geq 0$
$|a| = 0$ លុះត្រាតែ $a = 0$ ។

១លំហាត់គំរូ ១

បង្ហាញថាសមភាព $|-a| = |a|$ ពិត ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ ។

ដំណោះស្រាយ

ពិនិត្យសមភាពនេះចំពោះ $a \geq 0$ និង $a < 0$ ។ $(i)$ ចំពោះ $a \geq 0$ គេបាន $|a| = a$ និង $-a \leq 0$ នោះ $|-a| = -(-a) = a = |a|$

$(ii)$ ចំពោះ $a < 0$ គេបាន $|a| = -a$ និង $-a > 0$ នោះ $|-a| = -a = |a|$

តាម $(i)$ និង $(ii)$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតនៃ $a$ គេបាន $|-a| = |a|$ ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា $a^2 = |a|^2$ ពិត ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ ។

ចំណែកថ្នាក់នៃចំនួនពិត

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេតាងសំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិ $1, 2, 3, \dots$ ដោយ $\mathbb{N}$ ។ គេបាន $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ ។ ផលបូក និងផលគុណនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ ។ គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $1, 2, 3, \dots$ គ្រប់ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន $-1, -2, -3, \dots$ និង $0$ បង្កើតបានជាសំណុំនៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបដែលតាងដោយ $\mathbb{Z}$ ។ ផលបូក ផលដក និងផលគុណនៃចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ។

គ្រប់ចំនួនដែលមានទម្រង់ $\frac{m}{n}$ ដែល $m$ និង $n$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ហើយ $n \neq 0$ ហៅថា ចំនួនសនិទាន ។ គេតាងសំណុំនៃចំនួនសនិទានដោយ $\mathbb{Q}$ ។

គ្រប់ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប $m$ អាចសរសេរជារាងប្រភាគ $\frac{m}{1}$ នោះវាក៏ជាចំនួនសនិទានដែរ ។ ផលបូក ផលដក ផលគុណ និងផលចែកចំនួនសនិទាន ក៏ជាចំនួនសនិទានផងដែរ ។

មានចំណុចជាច្រើននៅលើបន្ទាត់ចំនួន ដែលមិនមែនជាចំនួនសនិទាន ។

ឧទាហរណ៍

ការេដែលមានប្រវែងជ្រុងស្មើនឹង 1 មានប្រវែងអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង $\sqrt{2}$ ។ គេអាចដៅចំនួន $\sqrt{2}$ នៅលើបន្ទាត់ចំនួនបាន ។ ចំនួន $\sqrt{2}$ មិនមែនជាចំនួនសនិទានទេ ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាចំនួនសនិទានហៅថា ចំនួនអសនិទាន ។ $\sqrt{2}$ ជាចំនួនអសនិទាន និងចំនួនថេរ $\pi$ ក៏ជាចំនួនអសនិទានដែរ ។

សម្គាល់ : គេអាចសរសេរចំនួនសនិទាន ដែលមិនមែនជាចំនួនគត់ឱ្យទៅចំនួនទសភាគ កំណត់ ឬចំនួនទសភាគខួប ។

ឧទាហរណ៍

$\frac{1}{8} = 0.125$ ជាចំនួនទសភាគកំណត់ ។ $\frac{4}{3} = 1.333\dots$ ជាចំនួនទសភាគខួប ដែលមាន $3$ ជាខួប ។ $\frac{9}{74} = 0.1216216216\dots$ ជាចំនួនទសភាគខួប ដែលមាន $216$ ជាខួប ។

គេអាចសរសេរចំនួនអសនិទានឱ្យទៅជាចំនួនទសភាគអនន្តដែលគ្មានខួប ។

ឧទាហរណ៍

$\sqrt{2} = 1.41421356237\dots$ ជាចំនួនទសភាគអនន្តដែលគ្មានខួប ។ $\pi = 3.14159\dots$ ជាចំនួនទសភាគអនន្តដែលគ្មានខួប ។

ប្រតិបត្តិ

តើចំនួនណាខ្លះជាចំនួនសនិទាន ចំនួនអសនិទាន ក្នុងចំណោមចំនួនទាំងនេះ $0, 3, \pi, -5, \frac{2}{7}, -\frac{9}{4}, \sqrt{8}, \sqrt{0.16}, \sqrt{3}+1$ ។

ការគណនាកន្សោមដែលមានរ៉ាឌីកាល់

ឫសការេនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន ឬសូន្យ

ឧទាហរណ៍

ឫសការេនៃ $4$ គឺ $\sqrt{4} = 2$ និង $-\sqrt{4} = -2$ ។ ឫសការេនៃ $0$ គឺ $0$ ហើយកំណត់ដោយ $\sqrt{0} = 0$ ។ ចំនួនអវិជ្ជមាន គ្មានឫសការេនៅក្នុងសំណុំចំនួនពិតទេ ។

គេថាចំនួនពិត $x$ ជាឫសការេនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន ឬសូន្យ $a$ កាលណា $x^2 = a$ ។ ចំនួនវិជ្ជមាន $a$ មានឫសការេពីរដែលជាចំនួនផ្ទុយគ្នា ។ គេតាងឫសការេវិជ្ជមាននៃ $a$ ដោយ $\sqrt{a}$ និងឫសការេអវិជ្ជមាននៃ $a$ ដោយ $-\sqrt{a}$ ។ ដូច្នេះ $(\sqrt{a})^2 = a , \quad{} (-\sqrt{a})^2 = a$ ។

ប្រតិបត្តិ

ចូរឱ្យឧទាហរណ៍នៃចំនួនពិត $a$ មួយដែលមិនផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព $\sqrt{a^2} = a$ រួចបង្ហាញថា $\sqrt{a^2} = |a|$ ពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ ។

ផលគុណនិងផលចែកនៃឫសការេ

ចំពោះ $a > 0$ និង $b > 0$ គេបាន

\[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} , \quad{} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad{} \text{និង} \quad{} \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \text{~។}\]

២លំហាត់គំរូ ២

គណនា $\sqrt{20} , \quad{} \sqrt{10} \times \sqrt{45} , \quad{} \sqrt{0.03} , \quad{} \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ ។

ដំណោះស្រាយ

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$	$\sqrt{10}\sqrt{45} = \sqrt{2 \times 5 \times 3^2 \times 5} = 15\sqrt{2}$
$\sqrt{0.03} = \sqrt{\dfrac{3}{100}} = \dfrac{\sqrt{3}}{10}$	$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$ ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

ក. $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{3}{4}}$

ខ. $(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})(3\sqrt{2} - \sqrt{3})$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{3}{4}} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ។
ខ. $(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})(3\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 12 - 2\sqrt{6} + 15\sqrt{6} - 15 = -3 + 13\sqrt{6}$ ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

ក. $\sqrt{8} - \sqrt{18} + \sqrt{72}$	ខ. $\sqrt{20} - 3\sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{5}{9}} + \sqrt{50}$
គ. $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$	ឃ. $(3\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $5\sqrt{2}$	ខ. $\dfrac{5}{3}\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$
គ. $5 - 2\sqrt{6}$	ឃ. $5\sqrt{6}$ ។

ការប្រៀបធៀបឫសការេនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ

ចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន $a$ និង $b$ គេមាន $a < b \Leftrightarrow a - b < 0 \quad{} (1)$

តែ $a - b = \sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

តាម $(1)$ គេបាន

\[a < b \Leftrightarrow (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) < 0\]

\[a < b \Leftrightarrow (\sqrt{a} - \sqrt{b}) < 0 \quad{} \text{ព្រោះ } \sqrt{a} + \sqrt{b} > 0\]

\[a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\]

៤លំហាត់គំរូ ៤

ប្រៀបធៀប $1 + \sqrt{3}$ និង $\sqrt{7}$ ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយចំនួនទាំងពីរជាចំនួនវិជ្ជមាន នោះគេអាចប្រៀបធៀបតម្លៃរបស់វា ដោយលើកអង្គទាំងពីរជាការេ ហើយគេគណនាផលដក ៖

$(1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 + 2\sqrt{3}) - 7 = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{12} - \sqrt{9} > 0$ ព្រោះ $\sqrt{12} > \sqrt{9}$ គេបាន $(1 + \sqrt{3})^2 > (\sqrt{7})^2$ តាមលក្ខណៈ $a > b \Leftrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}$ ចំពោះករណី $a > 0 , \quad{} b > 0$ ដូច្នេះ $1 + \sqrt{3} > \sqrt{7}$ ។

ប្រតិបត្តិ

ប្រៀបធៀប ៖

ក. $2\sqrt{7}$ និង $3\sqrt{3}$

ខ. $2 + \sqrt{6}$ និង $2\sqrt{5}$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$

ខ. $2 + \sqrt{6} < 2\sqrt{5}$ ។

ការបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង

គេអាចបំប្លែងប្រភាគដែលមានភាគបែងជារ៉ាឌីកាល់ ទៅជាប្រភាគដែលគ្មានរ៉ាឌីកាល់នៅភាគបែង ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

ចូរបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងនៃប្រភាគខាងក្រោម ៖

ក. $\dfrac{1}{\sqrt{12}}$

ខ. $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. $\dfrac{1}{\sqrt{12}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3})^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ។
ខ. $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \dfrac{5 + \sqrt{10}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{5 + \sqrt{10}}{3}$ ។

ប្រតិបត្តិ

១. ចូរបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងនៃប្រភាគខាងក្រោម ៖

ក. $\dfrac{1}{\sqrt{28}}$

ខ. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

គ. $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ ។

២. រកតម្លៃប្រហែលនៃ $\dfrac{3}{\sqrt{7} - 2}$ ដោយដឹងថា $\sqrt{7} \approx 2.6458$ ។

មើលចម្លើយ

១. ក. $\dfrac{\sqrt{7}}{14}$ ខ. $3 - \sqrt{6}$ គ. $-4 - \sqrt{15}$
២. $\dfrac{3}{\sqrt{7} - 2} \approx 4.65$ ។

ការសម្រួលកន្សោមដែលមានរ៉ាឌីកាល់ពីរជាន់

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{3 \times 2} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ អាចបំប្លែង $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ។

គេហៅការបំប្លែងបែបនេះហៅថា ការសម្រួលកន្សោមដែលមានរ៉ាឌីកាល់ពីរជាន់ ។

៦លំហាត់គំរូ ៦

កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដែល $a > b$ ដោយដឹងថា $a + b = 7$ និង $ab = 10$ ។ សម្រួលកន្សោម $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ ។

ដំណោះស្រាយ

គេមាន $\begin{cases} a + b = 7 = 5 + 2 \\ ab = 10 = 5 \times 2 \end{cases}$ នោះ $a = 5 , b = 2$

គេបាន $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5 + 2 + 2\sqrt{5 \times 2}} = \sqrt{\sqrt{5}^2 + \sqrt{2}^2 + 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}$

$= \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ ។

ដូច្នេះ $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ ។

៧លំហាត់គំរូ ៧

សម្រួលកន្សោម $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$

ដំណោះស្រាយ

យក $\begin{cases} a + b = 8 = 5 + 3 \\ ab = 15 = 5 \times 3 \end{cases}$ នោះ $a = 5 , b = 3$

គេបាន $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5 + 3 - 2\sqrt{5 \times 3}}$

$= \sqrt{\sqrt{5}^2 + \sqrt{3}^2 + (-2) \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}}$

$= \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

ដូច្នេះ $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ។

ជាទូទៅ

$\sqrt{\sqrt{a}^2 \pm 2\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}^2} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} \pm \sqrt{b}|$ ចំពោះ $a > 0 , \quad{} b > 0$ ។

ប្រតិបត្តិ

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម ៖

ក. $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

ខ. $\sqrt{6 - 2\sqrt{8}}$

គ. $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $1 + \sqrt{3}$

ខ. $2 - \sqrt{2}$

គ. $1 + \sqrt{6}$ ។

ប្រព័ន្ធរាប់

ប្រព័ន្ធរាប់គោល 10

ដើមឡើយគេប្រើម្រាមដៃនិងម្រាមជើងទាំងអស់ ដើម្បីរាប់ចំនួន ។ ពេលគេមិនអាចរាប់ចំនួនដែលធំជាងចំនួនម្រាមដៃនិងម្រាមជើង គេចាប់ផ្តើមយកដុំថ្ម ឬបំណែកឈើសម្រាប់រាប់ចំនួន ។

បន្ទាប់មកទើបគេបង្កើតលេខដែលមាននិមិត្តសញ្ញា $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8$ និងលេខ $9$ ។ សំណុំនៃលេខទាំងនេះគេហៅថា ប្រព័ន្ធរាប់គោល 10 រកឃើញដោយជនជាតិហិណ្ឌូ និងយកទៅប្រើប្រាស់នៅអឺរ៉ុបតាមរយៈជនជាតិអារ៉ាប់ ។

ឧទាហរណ៍

សុភីមានស្ករគ្រាប់ចំនួន $n = 147$ គ្រាប់ ហើយនាងចង់ច្រកស្ករគ្រាប់ទាំងនោះចូលក្នុងថង់តាមជំហានដូចខាងក្រោម ៖

ជំហានទី 1 : នាងច្រកស្ករគ្រាប់ $10$ គ្រាប់ចូលក្នុងថង់តូចៗបានចំនួន $14$ ថង់ និងសល់ $7$ គ្រាប់រាយ ។

ជំហានទី 2 : នាងច្រកថង់ស្ករគ្រាប់តូចៗចំនួន $10$ ថង់ចូលក្នុងថង់ធំមួយ នាងបានថង់ធំ $1$ ថង់តូច $4$ និង $7$ គ្រាប់រាយ ។ គេបាន

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

\[\begin{aligned} & \text{1 ថង់ធំ} \quad{} & + \quad{} & \text{4 ថង់តូច} \quad{} & + \quad{} & \text{7 គ្រាប់រាយ} \\ & 1 \times 10^2 \quad{} & + \quad{} & 4 \times 10 \quad{} & + \quad{} & 7 \\ n = 147 = \; & 1 \times 10^2 \quad{} & + \quad{} & 4 \times 10 \quad{} & + \quad{} & 7 \end{aligned}\]

សម្គាល់ : ក្នុងប្រព័ន្ធគោល $10$ គេមិនចាំបាច់សរសេរសន្ទស្សន៍ $10$ ទេ ។ គេអាចសរសេរ $147_{10}$ ឬ $147_{10}$ ដោយងាយថា $147$ ។

កំណត់សរសេរ $147 = 100 + 40 + 7$ ឬ $147 = 1 \times 10^2 + 4 \times 10 + 7$ ហៅថាទម្រង់ពន្លាតនៃចំនួន $147$ ក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$ ។

ជាទូទៅ

បើ $n$ ជាចំនួនគត់ដែលមាន $4$ ខ្ទង់នោះ ទម្រង់ពន្លាតនៃ $n$ កំណត់ដោយ

\[n = \overline{abcd}_{10} = a \times 10^3 + b \times 10^2 + c \times 10 + d \text{~។}\]

ឧទាហរណ៍

ក. $1234 = 1000 + 200 + 30 + 4$
$= 1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4$ (ជាទម្រង់ពន្លាតនៃចំនួន $1234$) ។
ខ. $27003 = 20000 + 7000 + 3 = 2 \times 10^4 + 7 \times 10^3 + 3$ (ជាទម្រង់ពន្លាតនៃចំនួន $27003$) ។

របៀបហៅចំនួន : ឧបមាថាគេមានចំនួន $341 \; 213 \; 679 \; 821$ នោះគេហៅថាឈ្មោះខ្ទង់នីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

ម៉ឺនកោដិ	ពាន់កោដិ	រយកោដិ	ដប់កោដិ	កោដិ	លាន	សែន	ម៉ឺន	ពាន់	រយ	ដប់	រាយ
3	4	1	2	1	3	6	7	9	8	2	1

ដូច្នេះ គេហៅចំនួន $341 \; 213 \; 679 \; 821$ ថាបីម៉ឺនបួនពាន់មួយរយម្ភៃមួយកោដិបីលានប្រាំមួយសែនប្រាំពីរម៉ឺនប្រាំបួនពាន់ប្រាំបីរយម្ភៃមួយ ។

ប្រតិបត្តិ

១. សរសេរទម្រង់ពន្លាតខាងក្រោមនេះជាចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$ ៖

ក. $3 \times 10^6 + 5 \times 10^4 + 7 \times 10$	ខ. $9 \times 10^7 + 1 \times 10^6 + 7 \times 10^3 + 2$
គ. $8 \times 10^8 + 1 \times 10^5 + 2 \times 10^2 + 1$	ឃ. $1 \times 10^9 + 2 \times 10^8 + 5 \times 10^5 + 9 \times 10$ ។

២. ហៅឈ្មោះតាមឈ្មោះខ្ទង់ ហើយសរសេរជាទម្រង់ពន្លាតនៃចំនួនខាងក្រោម ៖

ក. $123 \; 345 \; 456$	ខ. $987 \; 098 \; 678 \; 002$
គ. $987 \; 654 \; 321 \; 001$	ឃ. $100 \; 700 \; 800 \; 123$ ។

មើលចម្លើយ

១.

[t]@X@X@ ក. $3 \; 050 \; 070$ & ខ. $91 \; 007 \; 002$
គ. $800 \; 100 \; 201$ & ឃ. $200 \; 500 \; 090$ ។

២.
ក. $123 \; 345 \; 456 = 1\times 10^8 + 2\times 10^7 + 3\times 10^6 + 3\times 10^5$
$+ 4\times 10^4 + 5\times 10^3 + 4\times 10^2 + 5\times 10 + 6$
ខ. $987 \; 098 \; 678 \; 002 = 9\times 10^{11} + 8\times 10^{10} + 7\times 10^9 + 9\times 10^7 + 8\times 10^6$
$+ 6\times 10^5 + 7\times 10^4 + 8\times 10^3 + 2$
គ. $987 \; 654 \; 321 \; 001 = 9\times 10^{11} + 8\times 10^{10} + 7\times 10^9 + 6\times 10^8 + 5\times 10^7$
$+ 4\times 10^6 + 3\times 10^5 + 2\times 10^4 + 1\times 10^3 + 1$
ឃ. $100 \; 700 \; 800 \; 123 = 1\times 10^{11} + 7\times 10^8 + 8\times 10^5$
$+ 1\times 10^2 + 2\times 10 + 3$ ។

ប្រព័ន្ធរាប់គោល 2

ឧទាហរណ៍

សុភាពរាប់ប៊ិចចំនួន $n = 13$ ដើម ។ នាងចង់រៀបប៊ិចដាក់ក្នុងប្រអប់តាមជំហាននីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

ជំហានទី 1 : នាងរៀបប៊ិចដាក់ក្នុងប្រអប់តូចៗដែលក្នុងប្រអប់នីមួយៗមានប៊ិច $2$ ដើម ។ នាងបាន $6$ ប្រអប់តូចនិងសល់ប៊ិចរាយ $1$ (ដូចរូបខាងស្តាំ) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជំហានទី 2 : នាងយកប្រអប់តូចៗ $2$ ប្រអប់ដាក់ក្នុងប្រអប់មធ្យមនាងបាន $3$ ប្រអប់មធ្យមនិងនៅសល់ប៊ិចរាយ $1$ (ដូចរូបខាងស្តាំ) ។

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

ជំហានទី 3 : នាងយកប្រអប់មធ្យម $2$ ប្រអប់ដាក់ក្នុងប្រអប់ធំ $1$ ។ នាងបាន $1$ ប្រអប់ធំ $1$ ប្រអប់មធ្យម និងសល់ប៊ិចរាយ $1$ (ដូចរូបខាងក្រោម) ។ គេបាន

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

\[\begin{aligned} & 1 \times 2^3 \quad{} & + \quad{} & 1 \times 2^2 \quad{} & + \quad{} & 0 \times 2^1 \quad{} & + \quad{} & 1 \\ \text{ហើយ} \quad{} n = \; & 1 \times 2^3 \quad{} & + \quad{} & 1 \times 2^2 \quad{} & + \quad{} & 0 \times 2 \quad{} & + \quad{} & 1 \quad{} \text{ជាទម្រង់ពន្លាតនៃ } n \text{ ក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល 2} \end{aligned}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេកំណត់សរសេរ $n = 1101_2 \quad{} ($ អានថា : មួយ មួយ សូន្យ មួយ ក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោលពីរ $)$ ។ ‘

ការបំប្លែងពីប្រព័ន្ធរាប់គោល 10 ទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល 2

ឧទាហរណ៍

សរសេរចំនួន $n = 13_{10}$ ទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល 2 ។

គេមាន $n = 13$

\[\begin{aligned} 13 & = 2 \times 6 + 1 \quad{} \text{សំណល់ } 1 \\ 6 & = 2 \times 3 + 0 \quad{} \text{សំណល់ } 0 \\ 3 & = 2 \times 1 + 1 \quad{} \text{សំណល់ } 1 \\ 1 & = 2 \times 0 + 1 \quad{} \text{សំណល់ } 1 \end{aligned}\]

រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ

គេបាន $n = 13_{10} = 1101_2$ ។

ឧទាហរណ៍

សរសេរ $25$ ក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល $2$

ចែក $25$ នឹង $2$ គេបានផលចែក $12$ សំណល់ $1$
ចែក $12$ នឹង $2$ គេបានផលចែក $6$ សំណល់ $0$
ចែក $6$ នឹង $2$ គេបានផលចែក $3$ សំណល់ $0$
ចែក $3$ នឹង $2$ គេបានផលចែក $1$ សំណល់ $1$
ចែក $1$ នឹង $2$ គេបានផលចែក $0$ សំណល់ $1$

គេបាន $25_{10} = 11001_2$

ជាទូទៅ

ដើម្បីបំប្លែងចំនួនមួយពីប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$ ទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល $2$ គេត្រូវ ៖

ចែកចំនួននោះនឹង $2$ បន្តបន្ទាប់រហូតដល់ផលចែកស្មើនឹង $0$
សំណល់ទី 1 ជាខ្ទង់ទី 1 សំណល់ទី 2 ជាខ្ទង់ទី 2 សំណល់ទី 3 ជាខ្ទង់ទី 3 ... នៃចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល 2 រាប់ពីស្តាំទៅឆ្វេង ។

ប្រតិបត្តិ

បំប្លែងចំនួនខាងក្រោមទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល $2$ ៖

ក. $n = 14_{10}$

ខ. $n = 29_{10}$

គ. $n = 127_{10}$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $n = 1110_2$

ខ. $n = 11101_2$

គ. $n = 1111111_2$ ។

ការបំប្លែងពីប្រព័ន្ធរាប់គោល 2 ទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល 10

ឧទាហរណ៍

បំប្លែងចំនួន $1011_2$ ទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$
គេមាន $1011_2$ សរសេរជាទម្រង់ពន្លាត

\[\begin{aligned} 1011_2 & = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \\ & = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ $1011_2 = 11_{10}$ ។

ឧទាហរណ៍

សរសេរ $110110_2$ ក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$
គេមាន

\[\begin{aligned} 110110_2 & = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \\ & = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 \\ & = 54 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ $110110_2 = 54_{10}$ ។

ប្រតិបត្តិ

បំប្លែងចំនួនខាងក្រោមទៅជាប្រព័ន្ធរាប់គោល $10$ ៖

ក. $1111_2$

ខ. $101101_2$

គ. $1010111_2$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $15$

ខ. $45$

គ. $87$ ។

ប្រមាណវិធីបូកនិងគុណក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល 2

១. ប្រមាណវិធីបូក

វិធាន

វិធាន ៖ ការបូកចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល 2 គេត្រូវអនុវត្តតាមវិធានខាងក្រោម ៖

$0_2 + 0_2 = 0_2$
$0_2 + 1_2 = 1_2$
$1_2 + 0_2 = 1_2$
$1_2 + 1_2 = 10_2$ (សរសេរលេខ $0$ ត្រាទុក $1$)

ឧទាហរណ៍

គណនាផលបូក ៖
ក. $101_2 + 11_2$ ខ. $1101_2 + 1011_2$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. $\begin{array}{r} 101_2 \\ + \quad{} 11_2 \\ \hline 1000_2 \end{array}$ ខ. $\begin{array}{r} 1101_2 \\ + \quad{} 1011_2 \\ \hline 11000_2 \end{array}$

២. ប្រមាណវិធីគុណ

វិធាន

វិធាន ៖ ការគុណចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធរាប់គោល 2 គេត្រូវអនុវត្តតាមវិធានខាងក្រោម ៖

$0_2 \times 0_2 = 0_2$
$0_2 \times 1_2 = 0_2$
$1_2 \times 0_2 = 0_2$
$1_2 \times 1_2 = 1_2$

ឧទាហរណ៍

គណនាផលគុណ ៖
ក. $101_2 \times 11_2$ ខ. $110_2 \times 101_2$ ។

ដំណោះស្រាយ

ក. $\begin{array}{r} 101_2 \\ \times \quad{} 11_2 \\ \hline 101 \\ 1010 \\ \hline 1111_2 \end{array}$ ខ. $\begin{array}{r} 110_2 \\ \times \quad{} 101_2 \\ \hline 110 \\ 0000 \\ 11000 \\ \hline 11110_2 \end{array}$

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ចាត់ថ្នាក់ចំនួនខាងក្រោមទៅតាមសំណុំ $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ៖ $-5 \;,\; \sqrt{7} \;,\; \frac{3}{4} \;,\; 0 \;,\; 12 \;,\; -\frac{16}{4} \;,\; 0.\overline{3} \;,\; \pi$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចាត់ថ្នាក់បណ្តាចំនួន ៖ $-5, \sqrt{7}, \frac{3}{4}, 0, 12, -\frac{16}{4}, 0.\overline{3}, \pi$។
សម្គាល់ ៖ $-\frac{16}{4} = -4 \in \mathbb{Z}$ និង $0.\overline{3} = \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ ៖
- សំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិ $\mathbb{N}$ ៖ $\mathbf{0, 12}$
- សំណុំចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប $\mathbb{Z}$ ៖ $\mathbf{-5, -\frac{16}{4}, 0, 12}$
- សំណុំចំនួនសនិទាន $\mathbb{Q}$ ៖ $\mathbf{-5, -\frac{16}{4}, 0, \frac{3}{4}, 0.\overline{3}, 12}$
- សំណុំចំនួនអសនិទាន ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$) ៖ $\mathbf{\sqrt{7}, \pi}$
- គ្រប់ចំនួនខាងលើសុទ្ធតែជាចំនួនពិត $\mathbb{R}$។

២លំហាត់ទី ២

គណនាតម្លៃដាច់ខាតខាងក្រោម ៖

$|-7|$
$|3.14 - \pi|$
$|\sqrt{3} - 2|$
$|5 - \sqrt{5}|$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃដាច់ខាត (ចម្ងាយពីគល់ $0$ មិនអវិជ្ជមាន) ៖
ក. $|-7| = \mathbf{7}$។
ខ. ដោយ $\pi \approx 3.14159\dots > 3.14 \implies 3.14 - \pi < 0$ នាំឱ្យ ៖
$|3.14 - \pi| = -(3.14 - \pi) = \mathbf{\pi - 3.14}$។
គ. ដោយ $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2 \implies \sqrt{3} - 2 < 0$ នាំឱ្យ ៖
$|\sqrt{3} - 2| = -( \sqrt{3} - 2 ) = \mathbf{2 - \sqrt{3}}$។
ឃ. ដោយ $5 = \sqrt{25} > \sqrt{5} \implies 5 - \sqrt{5} > 0$ នាំឱ្យ ៖
$|5 - \sqrt{5}| = \mathbf{5 - \sqrt{5}}$។

៣លំហាត់ទី ៣

សរសេរកន្សោមខាងក្រោមដោយគ្មានសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត ៖

$|x - 3|$ ចំពោះ $x \geq 3$
$|2x + 1|$ ចំពោះ $x < -\frac{1}{2}$

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរកន្សោមដោយគ្មានសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត ៖
ក. ចំពោះ $x \geq 3 \implies x - 3 \geq 0$ នាំឱ្យ ៖
$|x - 3| = \mathbf{x - 3}$។
ខ. ចំពោះ $x < -\frac{1}{2} \implies 2x < -1 \implies 2x + 1 < 0$ នាំឱ្យ ៖
$|2x + 1| = -(2x + 1) = \mathbf{-2x - 1}$។

៤លំហាត់ទី ៤

ដោះស្រាយសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖

$|x - 4| = 7$
$|2x + 3| = 5$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការតម្លៃដាច់ខាត $|A| = c$ ($c \geq 0 \iff A = c \lor A = -c$) ៖
ក. $|x - 4| = 7 \iff x - 4 = 7 \lor x - 4 = -7$
$\implies x = 11 \lor x = -3$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \{-3, 11\}}$។
ខ. $|2x + 3| = 5 \iff 2x + 3 = 5 \lor 2x + 3 = -5$
$\implies 2x = 2 \lor 2x = -8 \implies x = 1 \lor x = -4$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \{-4, 1\}}$។

៥លំហាត់ទី ៥

ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖

$|x - 2| \leq 3$
$|2x + 1| > 5$

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖
ក. $|x - 2| \leq 3 \iff -3 \leq x - 2 \leq 3$
បូក $2$ គ្រប់អង្គ ៖ $-3 + 2 \leq x \leq 3 + 2 \iff -1 \leq x \leq 5$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{x \in [-1, 5]}$។
ខ. $|2x + 1| > 5 \iff 2x + 1 > 5 \lor 2x + 1 < -5$
$\implies 2x > 4 \lor 2x < -6 \implies x > 2 \lor x < -3$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)}$។

៦លំហាត់ទី ៦

រកចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ $A(x_A)$ និង $B(x_B)$ លើបន្ទាត់ចំនួន ៖

$x_A = -3$ និង $x_B = 5$
$x_A = 2.5$ និង $x_B = -4.5$

មើលដំណោះស្រាយ

រូបមន្តចម្ងាយរវាងចំណុចពីរលើបន្ទាត់ចំនួន ៖ $d(A, B) = |x_B - x_A|$ ៖
ក. $x_A = -3, x_B = 5 \implies d(A, B) = |5 - (-3)| = |8| = \mathbf{8}$ ឯកតា។
ខ. $x_A = 2.5, x_B = -4.5 \implies d(A, B) = |-4.5 - 2.5| = |-7| = \mathbf{7}$ ឯកតា។

៧លំហាត់ទី ៧

សម្រួលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖

$\sqrt{75}$
$\sqrt{32} - \sqrt{18}$
$2\sqrt{27} + 3\sqrt{12} - \sqrt{48}$

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ៖
ក. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{5^2 \times 3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$។
ខ. $\sqrt{32} - \sqrt{18} = \sqrt{16 \times 2} - \sqrt{9 \times 2} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \mathbf{\sqrt{2}}$។
គ. $2\sqrt{27} + 3\sqrt{12} - \sqrt{48} = 2(3\sqrt{3}) + 3(2\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \mathbf{8\sqrt{3}}$។

៨លំហាត់ទី ៨

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖

$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$
$\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1}$
$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

មើលដំណោះស្រាយ

បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង ៖
ក. $\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$។
ខ. គុណនឹងកន្សោមឆ្លាស់ $(\sqrt{5} + 1)$ ៖
$\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \dfrac{\mathbf{\sqrt{5} + 1}}{\mathbf{2}}$។
គ. $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \mathbf{2 + \sqrt{3}}$។

៩លំហាត់ទី ៩

បង្ហាញថាកន្សោមខាងក្រោមជាចំនួនសនិទាន ៖ $A = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា $A = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ជាចំនួនសនិទាន ៖
តម្រូវភាគបែងរួម $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ ៖
$A = \dfrac{(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{4}{1} = \mathbf{4}$។
ដោយ $4 = \frac{4}{1} \in \mathbb{Q}$ នាំឱ្យ $A$ ជាចំនួនសនិទាន។

១០លំហាត់ទី ១០

បង្ហាញសមភាព ៖ $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញសមភាព $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ ៖
គណនាការ៉េនៃកន្សោមខាងស្តាំ ៖
$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$។
ដោយសារ $2 + \sqrt{3} > 0$ នាំឱ្យបំពាក់ឫសការ៉េ ៖
$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = \mathbf{2 + \sqrt{3}}$ ពិត។

១១លំហាត់ទី ១១

បំប្លែងចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធគោលដប់ទៅជាប្រព័ន្ធគោលពីរ ៖

$13$
$25$
$42$

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងពីគោលដប់ទៅជាគោលពីរ (វិធីចែកនឹង ២ បន្តបន្ទាប់) ៖
ក. $13$ ៖
$13 = 2 \times 6 + 1$
$6 = 2 \times 3 + 0$
$3 = 2 \times 1 + 1$
$1 = 2 \times 0 + 1$
យកសំណល់បញ្ច្រាសពីក្រោមឡើងលើ ៖ $13 = \mathbf{1101_2}$។
ខ. $25 = 16 + 8 + 1 = 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = \mathbf{11001_2}$។
គ. $42 = 32 + 8 + 2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = \mathbf{101010_2}$។

១២លំហាត់ទី ១២

បំប្លែងចំនួនក្នុងប្រព័ន្ធគោលពីរទៅជាប្រព័ន្ធគោលដប់ ៖

$1011_2$
$11010_2$
$111111_2$

មើលដំណោះស្រាយ

បំប្លែងពីគោលពីរទៅជាគោលដប់ ៖
ក. $1011_2 = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = \mathbf{11}$។
ខ. $11010_2 = 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = \mathbf{26}$។
គ. $111111_2 = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = \mathbf{63}$ (ឬ $2^6 - 1 = 63$)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

គណនាផលបូកក្នុងប្រព័ន្ធគោលពីរ ៖ $1011_2 + 110_2$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូកក្នុងប្រព័ន្ធគោលពីរ $1011_2 + 110_2$ ៖
បូកតាមជួរឈរ (រាប់ទាំងត្រាទុក) ៖

$\begin{array}{rl} & 1011_2 \quad{} (= 11) \\ + & 110_2 \quad{} (= 6) \\ \hline & \mathbf{10001_2} \quad{} (= 17) \end{array}$

លទ្ធផលផលបូកគឺ $\mathbf{10001_2}$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គណនាស្វ័យគុណនៃឯកតានិម្មិត $i$ ៖

$i^3$
$i^4$
$i^7$
$i^{10}$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាស្វ័យគុណនៃឯកតានិម្មិត $i$ (ដែល $i^2 = -1$) ៖
ក. $i^3 = i^2 \cdot i = (-1)\cdot i = \mathbf{-i}$។
ខ. $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = \mathbf{1}$។
គ. $i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = \mathbf{-i}$។
ឃ. $i^{10} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1^2 \cdot (-1) = \mathbf{-1}$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

គណនាស្វ័យគុណនៃ $i$ ៖

$i^{25}$
$i^{48}$
$i^{102}$
$i^{2027}$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាស្វ័យគុណនៃ $i$ ដោយចែកស្វ័យគុណនឹង ៤ ($i^{4k+r} = i^r$) ៖
ក. $25 = 4 \times 6 + 1 \implies i^{25} = i^1 = \mathbf{i}$។
ខ. $48 = 4 \times 12 \implies i^{48} = (i^4)^{12} = 1^{12} = \mathbf{1}$។
គ. $102 = 4 \times 25 + 2 \implies i^{102} = i^2 = \mathbf{-1}$។
ឃ. $2027 = 4 \times 506 + 3 \implies i^{2027} = i^3 = \mathbf{-i}$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

គណនាផលបូក ៖ $S = 1 + i + i^2 + i^3 + i^4 + \dots + i^{100}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលបូក $S = 1 + i + i^2 + i^3 + \dots + i^{100}$ ៖
សម្គាល់ឃើញថាផលបូក ៤ តួជាប់គ្នាស្មើ $0$ ជានិច្ច ៖
$1 + i + i^2 + i^3 = 1 + i - 1 - i = 0$។
ចំនួនតួសរុបមាន $101$ តួ (ពីស្វ័យគុណ $0$ ដល់ $100$)។
ដោយ $101 = 4 \times 25 + 1$ នាំឱ្យមាន ២៥ ក្រុមស្មើ ០ និងសល់ ១ តួចុងក្រោយ ៖
$S = 25 \times 0 + i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = \mathbf{1}$។
(ឬប្រើរូបមន្តផលបូកស្វ័យគុណធរណីមាត្រ ៖ $S = \dfrac{1 - i^{101}}{1 - i} = \dfrac{1 - i}{1 - i} = 1$)។

១៧លំហាត់ទី ១៧

សរសេរកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អវិជ្ជមានជាចំនួនកុំផ្លិច ៖

$\sqrt{-16}$
$\sqrt{-25}$
$\sqrt{-12}$
$-\sqrt{-49}$

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អវិជ្ជមានជាចំនួនកុំផ្លិច ($\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$ ចំពោះ $a > 0$) ៖
ក. $\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = \mathbf{4i}$។
ខ. $\sqrt{-25} = \sqrt{25} \cdot i = \mathbf{5i}$។
គ. $\sqrt{-12} = \sqrt{4 \times 3} \cdot i = \mathbf{2i\sqrt{3}}$។
ឃ. $-\sqrt{-49} = -(\sqrt{49}\cdot i) = \mathbf{-7i}$។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនា $\sqrt{-4} \times \sqrt{-9}$ (ប្រយ័ត្នកុំច្រឡំវិធានរ៉ាឌីកាល់វិជ្ជមាន)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនា $\sqrt{-4} \times \sqrt{-9}$ ៖
បំប្លែងទៅជាចំនួនកុំផ្លិចជាមុនសិន ៖
$\sqrt{-4} = 2i$ និង $\sqrt{-9} = 3i$។
$\implies \sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = (2i) \times (3i) = 6i^2 = 6(-1) = \mathbf{-6}$។
ការព្រមាន ៖ មិនអាចយក $\sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$ បានឡើយ ពីព្រោះវិធាន $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ពិតតែចំពោះ $a \geq 0$ ឬ $b \geq 0$ ប៉ុណ្ណោះ។

១៩លំហាត់ទី ១៩

កំណត់ផ្នែកពិត $\text{Re}(z)$ និងផ្នែកនិម្មិត $\text{Im}(z)$ នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោម ៖

$z = 3 + 4i$
$z = -2 - 5i$
$z = 7i$

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ផ្នែកពិត $\text{Re}(z)$ និងផ្នែកនិម្មិត $\text{Im}(z)$ ៖
ក. $z = 3 + 4i \implies \mathbf{\text{Re}(z) = 3,\; \text{Im}(z) = 4}$។
ខ. $z = -2 - 5i \implies \mathbf{\text{Re}(z) = -2,\; \text{Im}(z) = -5}$។
គ. $z = 7i = 0 + 7i \implies \mathbf{\text{Re}(z) = 0,\; \text{Im}(z) = 7}$ (ចំនួននិម្មិតសុទ្ធ)។

២០លំហាត់ទី ២០

រកតម្លៃនៃ $x$ និង $y$ បើដឹងថា $2x + 3yi = 6 - 9i$ ($x, y \in \mathbb{R}$)។

មើលដំណោះស្រាយ

សមភាពពីរចំនួនកុំផ្លិច $2x + 3yi = 6 - 9i$ ($x, y \in \mathbb{R}$) ៖
ផ្ទឹមផ្នែកពិត និងផ្នែកនិម្មិត ៖
$\begin{cases} 2x = 6 \\ 3y = -9 \end{cases} \implies \mathbf{x = 3,\; y = -3}$។

២១លំហាត់ទី ២១

រកតម្លៃនៃ $x$ និង $y$ បើដឹងថា $(x + y) + (2x - y)i = 5 + 4i$។

មើលដំណោះស្រាយ

សមភាព $(x + y) + (2x - y)i = 5 + 4i$ ៖
ផ្ទឹមផ្នែកពិត និងផ្នែកនិម្មិត ៖
$\begin{cases} x + y = 5 \quad{} (1) \\ 2x - y = 4 \quad{} (2) \end{cases}$
បូកសមីការ $(1)$ និង $(2)$ ៖ $3x = 9 \implies x = 3$។
ជំនួស $x = 3$ ចូល $(1)$ ៖ $3 + y = 5 \implies y = 2$។
ដូចនេះ $\mathbf{x = 3,\; y = 2}$។

២២លំហាត់ទី ២២

សរសេរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $\bar{z}$ នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោម ៖

$z = 4 + 3i$
$z = -2 - 7i$
$z = 5i$

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $\bar{z}$ នៃ $z = a + bi$ គឺ $\bar{z} = a - bi$ ៖
ក. $z = 4 + 3i \implies \mathbf{\bar{z} = 4 - 3i}$។
ខ. $z = -2 - 7i \implies \mathbf{\bar{z} = -2 + 7i}$។
គ. $z = 5i = 0 + 5i \implies \mathbf{\bar{z} = -5i}$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គណនាផលបូក និងផលដកចំនួនកុំផ្លិច ៖

$(3 + 2i) + (4 - 5i)$
$(-2 + 7i) - (5 - 3i)$

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក និងផលដកចំនួនកុំផ្លិច ៖
ក. $(3 + 2i) + (4 - 5i) = (3 + 4) + (2 - 5)i = \mathbf{7 - 3i}$។
ខ. $(-2 + 7i) - (5 - 3i) = (-2 - 5) + [7 - (-3)]i = \mathbf{-7 + 10i}$។

២៤លំហាត់ទី ២៤

គណនាផលគុណចំនួនកុំផ្លិច ៖

$(2 + 3i)(4 - i)$
$(3 - 2i)(3 + 2i)$

មើលដំណោះស្រាយ

ផលគុណចំនួនកុំផ្លិច ៖
ក. $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i + 3 = \mathbf{11 + 10i}$។
ខ. $(3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 + 4 = \mathbf{13}$។

២៥លំហាត់ទី ២៥

គណនាផលគុណ $(1 + i)^2$ និង $(1 - i)^2$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាការ៉េទ្វេធា ៖
- $(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = \mathbf{2i}$។
- $(1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = \mathbf{-2i}$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

គណនាស្វ័យគុណ $(1 + i)^4$ និង $(1 + i)^8$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាស្វ័យគុណខ្ពស់នៃ $(1 + i)$ ៖
- $(1 + i)^4 = [(1 + i)^2]^2 = (2i)^2 = 4i^2 = \mathbf{-4}$។
- $(1 + i)^8 = [(1 + i)^4]^2 = (-4)^2 = \mathbf{16}$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ពន្លាតកន្សោម $(2 - 3i)^2$។

មើលដំណោះស្រាយ

ពន្លាតកន្សោម $(2 - 3i)^2$ ៖
$(2 - 3i)^2 = 2^2 - 2(2)(3i) + (3i)^2$
$= 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = \mathbf{-5 - 12i}$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

គណនាផលចែកចំនួនកុំផ្លិច (គុណនឹងកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង) ៖

$\dfrac{1}{i}$
$\dfrac{3 + 2i}{i}$

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកនឹង $i$ (គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-i$ ឬ $i$) ៖
ក. $\dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = \mathbf{-i}$។
ខ. $\dfrac{3 + 2i}{i} = \dfrac{(3 + 2i)(-i)}{-i^2} = \dfrac{-3i - 2i^2}{1} = \mathbf{2 - 3i}$។

២៩លំហាត់ទី ២៩

គណនាផលចែកចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\dfrac{2 + 3i}{1 - 2i}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែក $\dfrac{2 + 3i}{1 - 2i}$ ៖
គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង $(1 + 2i)$ ៖
$\dfrac{2 + 3i}{1 - 2i} = \dfrac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1^2 - (2i)^2}$
$= \dfrac{2 + 7i - 6}{1 + 4} = \dfrac{-4 + 7i}{5} = \mathbf{-\dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{5}i}$។

៣០លំហាត់ទី ៣០

គណនាផលចែកចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\dfrac{4 - i}{2 + 3i}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាផលចែក $\dfrac{4 - i}{2 + 3i}$ ៖
គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងកុំផ្លិចឆ្លាស់ $(2 - 3i)$ ៖
$\dfrac{4 - i}{2 + 3i} = \dfrac{(4 - i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \dfrac{8 - 12i - 2i + 3i^2}{2^2 - (3i)^2}$
$= \dfrac{8 - 14i - 3}{4 + 9} = \dfrac{5 - 14i}{13} = \mathbf{\dfrac{5}{13} - \dfrac{14}{13}i}$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

សរសេរកន្សោម $z = \dfrac{1 + 3i}{2 - i} + \dfrac{2 - i}{1 + i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a + bi$។

មើលដំណោះស្រាយ

សរសេរ $z = \dfrac{1 + 3i}{2 - i} + \dfrac{2 - i}{1 + i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a + bi$ ៖
- សម្រួលតួទីមួយ ៖
$\dfrac{1 + 3i}{2 - i} = \dfrac{(1 + 3i)(2 + i)}{2^2 + (-1)^2} = \dfrac{2 + i + 6i - 3}{5} = \dfrac{-1 + 7i}{5}$។
- សម្រួលតួទីពីរ ៖
$\dfrac{2 - i}{1 + i} = \dfrac{(2 - i)(1 - i)}{1^2 + 1^2} = \dfrac{2 - 2i - i - 1}{2} = \dfrac{1 - 3i}{2}$។
- បូកបញ្ចូលគ្នាដោយតម្រូវភាគបែងរួម $10$ ៖
$z = \dfrac{2(-1 + 7i) + 5(1 - 3i)}{10} = \dfrac{-2 + 14i + 5 - 15i}{10}$
$= \dfrac{3 - i}{10} = \mathbf{\dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{10}i}$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោម ៖

$|3 + 4i|$
$|1 - i|$
$|-5 + 12i|$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ៖
ក. $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$។
ខ. $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \mathbf{\sqrt{2}}$។
គ. $|-5 + 12i| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

គណនាម៉ូឌុលនៃ $z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាម៉ូឌុលនៃ $z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ ៖
$|z| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{4}{4}} = \mathbf{1}$។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$, $z \cdot \bar{z} = |z|^2$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ៖
តាង $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) នាំឱ្យ $\bar{z} = a - bi$។
- គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖
$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2$។
- គណនាអង្គខាងស្តាំ ៖
តាមនិយមន័យម៉ូឌុល $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \implies |z|^2 = a^2 + b^2$។
ដូចនេះ $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ ពិត។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

បង្ហាញថាម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើផលគុណម៉ូឌុល ៖ $|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| \cdot |1 - i|$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថាម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើផលគុណម៉ូឌុល ៖
$|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| \cdot |1 - i|$ ៖
- អង្គខាងស្តាំ ៖
$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ និង $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
$\implies |3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5\sqrt{2}$។
- អង្គខាងឆ្វេង ៖
$(3 + 4i)(1 - i) = 3 - 3i + 4i - 4i^2 = 7 + i$
$\implies |7 + i| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$។
អង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ដូចនេះសមភាពពិត។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

បង្ហាញថាម៉ូឌុលនៃផលចែកស្មើផលចែកម៉ូឌុល ៖ $\left|\dfrac{4 + 3i}{1 + i\sqrt{3}}\right| = \dfrac{|4 + 3i|}{|1 + i\sqrt{3}|}$។

មើលដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថាម៉ូឌុលនៃផលចែកស្មើផលចែកម៉ូឌុល ៖
$\left|\dfrac{4 + 3i}{1 + i\sqrt{3}}\right| = \dfrac{|4 + 3i|}{|1 + i\sqrt{3}|}$ ៖
- អង្គខាងស្តាំ ៖
$|4 + 3i| = \sqrt{16 + 9} = 5$ និង $|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$
$\implies \dfrac{|4 + 3i|}{|1 + i\sqrt{3}|} = \dfrac{5}{2} = \mathbf{2.5}$។
- អង្គខាងឆ្វេង ៖
$\dfrac{4 + 3i}{1 + i\sqrt{3}} = \dfrac{(4 + 3i)(1 - i\sqrt{3})}{1 + 3} = \dfrac{(4 + 3\sqrt{3}) + (3 - 4\sqrt{3})i}{4}$
ម៉ូឌុលការ៉េ ៖
$|z|^2 = \dfrac{(4 + 3\sqrt{3})^2 + (3 - 4\sqrt{3})^2}{16}$
$= \dfrac{43 + 24\sqrt{3} + 57 - 24\sqrt{3}}{16} = \dfrac{100}{16} = \dfrac{25}{4}$
$\implies |z| = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}$។
ដូចនេះ សមភាពពិត។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

តាងចំណុចរូបភាពនៃចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ៖

$A(2 + 3i)$
$B(-3 + 2i)$
$C(-1 - 4i)$
$D(4 - i)$

មើលដំណោះស្រាយ

ចំណុចរូបភាពក្នុងប្លង់កុំផ្លិច (Argand-Gauss) ៖
ចំនួនកុំផ្លិច $z = a + bi$ ត្រូវគ្នានឹងចំណុចកូអរដោនេ $(a, b)$ ៖
ក. $A(2 + 3i) \implies \mathbf{A(2, 3)}$
ខ. $B(-3 + 2i) \implies \mathbf{B(-3, 2)}$
គ. $C(-1 - 4i) \implies \mathbf{C(-1, -4)}$
ឃ. $D(4 - i) \implies \mathbf{D(4, -1)}$

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

រកចម្ងាយរវាងចំណុចរូបភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1 + 2i$ និង $z_2 = 4 + 6i$។

មើលដំណោះស្រាយ

ចម្ងាយរវាងចំណុចរូបភាព $z_1 = 1 + 2i$ និង $z_2 = 4 + 6i$ ៖
$d = |z_2 - z_1| = |(4 + 6i) - (1 + 2i)| = |3 + 4i|$
$= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ ឯកតា។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី ២ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ ៖ $x^2 + 9 = 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការក្នុង $\mathbb{C}$ ៖ $x^2 + 9 = 0$ ៖
$x^2 = -9 \iff x^2 = 9i^2 \implies x = \pm\sqrt{9i^2} = \pm 3i$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \{-3i, 3i\}}$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ ៖ $x^2 + 2x + 5 = 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ $x^2 + 2x + 5 = 0$ ក្នុង $\mathbb{C}$ ៖
មេគុណ ៖ $a = 1, b' = 1, c = 5$ ៖
$\Delta' = b'^2 - ac = 1^2 - 1(5) = -4 = 4i^2 = (2i)^2$។
ឫសនៃសមីការ ៖
$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a} = \dfrac{-1 \pm 2i}{1} = \mathbf{-1 \pm 2i}$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \{-1 - 2i, -1 + 2i\}}$។

៤១លំហាត់ទី ៤១

ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ ៖ $x^2 - 4x + 13 = 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ $x^2 - 4x + 13 = 0$ ក្នុង $\mathbb{C}$ ៖
មេគុណ ៖ $a = 1, b' = -2, c = 13$ ៖
$\Delta' = (-2)^2 - 1(13) = 4 - 13 = -9 = (3i)^2$។
ឫសនៃសមីការ ៖
$x = \dfrac{2 \pm 3i}{1} = \mathbf{2 \pm 3i}$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \{2 - 3i, 2 + 3i\}}$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ ៖ $2x^2 - 3x + 4 = 0$។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោះស្រាយសមីការ $2x^2 - 3x + 4 = 0$ ក្នុង $\mathbb{C}$ ៖
មេគុណ ៖ $a = 2, b = -3, c = 4$ ៖
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 = 23i^2$។
ឫសនៃសមីការ ៖
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \mathbf{\dfrac{3 \pm i\sqrt{23}}{4}}$។
សំណុំចម្លើយ ៖ $\mathbf{S = \left\{\dfrac{3 - i\sqrt{23}}{4}, \dfrac{3 + i\sqrt{23}}{4}\right\}}$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

រកសមីការដឺក្រេទី ២ ដែលមានឫសជា $z_1 = 2 + 3i$ និង $z_2 = 2 - 3i$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសមីការដឺក្រេទី ២ ដែលមានឫស $z_1 = 2 + 3i$ និង $z_2 = 2 - 3i$ ៖
- ផលបូកឫស ៖ $S = z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 4$
- ផលគុណឫស ៖ $P = z_1 z_2 = (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 + 3^2 = 13$
សមីការដឺក្រេទីពីរមានទម្រង់ $x^2 - Sx + P = 0$ ៖
$\mathbf{x^2 - 4x + 13 = 0}$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$)។ រកសំណុំចំណុច $M(x,y)$ ក្នុងប្លង់កុំផ្លិចដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|z| = 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំចំណុច $M(x, y)$ ដែល $|z| = 3$ ៖
តាង $z = x + yi$ ($x, y \in \mathbb{R}$) ៖
$|z| = 3 \iff \sqrt{x^2 + y^2} = 3 \iff \mathbf{x^2 + y^2 = 9}$។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ សំណុំចំណុច $M(x, y)$ គឺជារង្វង់ដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់កូអរដោនេ $O(0, 0)$ និងកាំ $R = 3$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

រកសំណុំចំណុច $M(x,y)$ ក្នុងប្លង់កុំផ្លិចដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|z - 2 + i| = 4$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំចំណុច $M(x, y)$ ដែល $|z - 2 + i| = 4$ ៖
សរសេរជាទម្រង់ $|z - z_0| = R$ ៖
$|z - (2 - i)| = 4$។
ជំនួស $z = x + yi$ ៖
$|(x - 2) + (y + 1)i| = 4 \iff \mathbf{(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16}$។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ សំណុំចំណុច $M(x, y)$ គឺជារង្វង់ដែលមានផ្ចិតត្រង់ចំណុច $I(2, -1)$ និងកាំ $R = 4$។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

រកសំណុំចំណុច $M(x,y)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|z - 1| = |z - i|$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកសំណុំចំណុច $M(x, y)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|z - 1| = |z - i|$ ៖
ជំនួស $z = x + yi$ ៖
$|(x - 1) + yi| = |x + (y - 1)i|$
$\iff (x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$\iff x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
$\iff -2x = -2y \iff \mathbf{y = x}$។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ សំណុំចំណុច $M$ គឺជាបន្ទាត់ពុះមុំទីមួយ $y = x$ (មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ភ្ជាប់រូបភាព $A(1, 0)$ និង $B(0, 1)$)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

លំហាត់ PISA - សៀគ្វីអគ្គិសនីចរន្តឆ្លាស់ ៖ ក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី អ៊ីំពែដង់សរុប (Impedance) នៃសៀគ្វីមួយត្រូវបានតាងដោយចំនួនកុំផ្លិច $Z = R + X i$ ដែល $R$ ជារេស៊ីស្តង់ និង $X$ ជារីអាក់តង់។

ប្រសិនបើសៀគ្វីទីមួយមាន $Z_1 = 4 + 3i\ \Omega$ និងសៀគ្វីទីពីរមាន $Z_2 = 2 - 5i\ \Omega$ តជាស៊េរី ចូរគណនា $Z = Z_1 + Z_2$។
គណនាម៉ូឌុលនៃអ៊ីំពែដង់សរុប $|Z|$ នោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - សៀគ្វីអគ្គិសនីចរន្តឆ្លាស់ ៖
គេមាន $Z_1 = 4 + 3i\ \Omega$ និង $Z_2 = 2 - 5i\ \Omega$ តជាស៊េរី ៖
ក. អ៊ីំពែដង់សរុបនៃសៀគ្វី ៖
$Z = Z_1 + Z_2 = (4 + 3i) + (2 - 5i) = (4 + 2) + (3 - 5)i$
$\implies \mathbf{Z = 6 - 2i\ \Omega}$។
ខ. ម៉ូឌុលអ៊ីំពែដង់សរុប ៖
$|Z| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \mathbf{2\sqrt{10} \approx 6.32\ \Omega}$។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

លំហាត់ PISA - កម្លាំង និងវ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ៖ កម្លាំងពីរត្រូវបានតំណាងដោយចំនួនកុំផ្លិច $F_1 = 10 + 5i$ (N) និង $F_2 = -4 + 3i$ (N)។

គណនាកម្លាំងផ្គួប $F = F_1 + F_2$។
គណនាទំហំនៃកម្លាំងផ្គួប $|F|$។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - កម្លាំង និងវ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ៖
គេមាន $F_1 = 10 + 5i$ (N) និង $F_2 = -4 + 3i$ (N) ៖
ក. កម្លាំងផ្គួប ៖
$F = F_1 + F_2 = (10 - 4) + (5 + 3)i = \mathbf{6 + 8i\text{ N}}$។
ខ. ទំហំនៃកម្លាំងផ្គួប (ម៉ូឌុល) ៖
$|F| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10\text{ N}}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

លំហាត់ PISA - ការគណនាកូដគោលពីរក្នុងកុំព្យូទ័រ ៖ កាតមេម៉ូរីកុំព្យូទ័រមួយកត់ត្រាអាសយដ្ឋានអង្គចងចាំជាលេខគោលពីរ $A = 110110_2$ និង $B = 10101_2$។

បំប្លែង $A, B$ ជាចំនួនទសភាគ។
គណនាផលបូក $A + B$ ជាលេខគោលពីរ។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ការគណនាកូដគោលពីរក្នុងកុំព្យូទ័រ ៖
ក. បំប្លែង $A, B$ ជាចំនួនទសភាគ (គោលដប់) ៖
- $A = 110110_2 = 1\cdot 2^5 + 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0$
$= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = \mathbf{54}$។
- $B = 10101_2 = 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0$
$= 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = \mathbf{21}$។
ខ. ផលបូក $A + B$ ជាលេខគោលពីរ ៖
$A + B = 110110_2 + 10101_2 = \mathbf{1001011_2}$។
(ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $54 + 21 = 75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 1001011_2$ ពិត)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

លំហាត់ PISA - គំរូសេដ្ឋកិច្ច និងប្រាក់ចំណេញកើន ៖ ក្រុមហ៊ុនមួយមានប្រាក់ចំណេញសុទ្ធក្នុងរយៈពេល ៤ ត្រីមាស (គិតជាពាន់ដុល្លារ) ៖ $Q_1 = -12$, $Q_2 = 25$, $Q_3 = -8$, $Q_4 = 45$។

គណនាប្រាក់ចំណេញសរុបប្រចាំឆ្នាំ។
គណនាផលបូក $|Q_1| + |Q_2| + |Q_3| + |Q_4|$។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - គំរូសេដ្ឋកិច្ច និងប្រាក់ចំណេញកើន ៖
ទិន្នន័យ ៤ ត្រីមាស ៖ $Q_1 = -12, Q_2 = 25, Q_3 = -8, Q_4 = 45$ (ពាន់ដុល្លារ) ៖
ក. ប្រាក់ចំណេញសរុបប្រចាំឆ្នាំ ៖
$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = -12 + 25 - 8 + 45 = \mathbf{50}$ (ពាន់ដុល្លារ)
ពោលគឺក្រុមហ៊ុនទទួលបានប្រាក់ចំណេញសុទ្ធចំនួន $50\,000\$$ ក្នុងមួយឆ្នាំ។
ខ. ផលបូកតម្លៃដាច់ខាត (ទំហំប្រែប្រួលសរុប) ៖
$|-12| + |25| + |-8| + |45| = 12 + 25 + 8 + 45 = \mathbf{90}$ (ពាន់ដុល្លារ)
ពោលគឺទំហំប្រែប្រួលលំហូរសរុបស្មើនឹង $90\,000\$$។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ២ តក្កវិទ្យា សំណុំ និងចំនួន — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត

\(\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}\)	\(\sqrt{10}\sqrt{45} = \sqrt{2 \times 5 \times 3^2 \times 5} = 15\sqrt{2}\)
\(\sqrt{0.03} = \sqrt{\dfrac{3}{100}} = \dfrac{\sqrt{3}}{10}\)	\(\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3\) ។

ក. \(\sqrt{8} - \sqrt{18} + \sqrt{72}\)	ខ. \(\sqrt{20} - 3\sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{5}{9}} + \sqrt{50}\)
គ. \((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\)	ឃ. \((3\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})\) ។

ក. \(5\sqrt{2}\)	ខ. \(\dfrac{5}{3}\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\)
គ. \(5 - 2\sqrt{6}\)	ឃ. \(5\sqrt{6}\) ។

ក. \(3 \times 10^6 + 5 \times 10^4 + 7 \times 10\)	ខ. \(9 \times 10^7 + 1 \times 10^6 + 7 \times 10^3 + 2\)
គ. \(8 \times 10^8 + 1 \times 10^5 + 2 \times 10^2 + 1\)	ឃ. \(1 \times 10^9 + 2 \times 10^8 + 5 \times 10^5 + 9 \times 10\) ។

ក. \(123 \; 345 \; 456\)	ខ. \(987 \; 098 \; 678 \; 002\)
គ. \(987 \; 654 \; 321 \; 001\)	ឃ. \(100 \; 700 \; 800 \; 123\) ។