តក្កវិទ្យា (Logic) មានប្រភពដើមមកពីពាក្យក្រិកបុរាណ "Logos" ដែលមានន័យថា «ហេតុផល» ឬ «ការគិតត្រិះរិះ»។ ទស្សនវិទូក្រិកដ៏ល្បីល្បាញលោក អារីស្តូត (Aristotle, ៣៨៤–៣២២ មុន គ.ស.) ត្រូវបានគេប្រសិទ្ធនាមថាជា «បិតានៃតក្កវិទ្យា» ដោយសារលោកបានបង្កើតប្រព័ន្ធតក្កវិទ្យាផ្លូវការដំបូងគេហៅថា ត្រីវែកញែក (Syllogism)។
នៅសតវត្សទី១៩ គណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស ចច ប៊ូល (George Boole, ១៨១៥–១៨៦៤) បានបង្កើតប្រព័ន្ធតក្កវិទ្យាពីជគណិត (Boolean Algebra) ដោយបំប្លែងសំណើ និងការគិតត្រិះរិះឱ្យទៅជានិមិត្តសញ្ញាពីជគណិត និងតម្លៃពិត (True=1, False=0)។ ការរកឃើញនេះបានក្លាយជាមូលដ្ឋានគ្រឹះមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការរចនាសៀគ្វីអេឡិចត្រូនិក ប្រព័ន្ធកុំព្យូទ័រ និងបញ្ញាសិប្បនិម្មិត (AI) នៅសតវត្សទី២១។
នៅក្នុងអារ្យធម៌ខ្មែរ បុព្វបុរសខ្មែរបានប្រើប្រាស់វិធានតក្កវិទ្យាយ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួនក្នុងការតាក់តែងច្បាប់ ក្រឹត្យក្រមរដ្ឋបាល និងទស្សនវិជ្ជាពុទ្ធសាសនា (អភិធម្ម និងហេតុផលកម្មផល) ដែលជាមូលដ្ឋាននៃសេចក្តីស្ងប់ និងភាពរុងរឿងនៃចក្រភពអង្គរ។
រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ក្រោម៖
១. ការស្គាល់ពីប្រយោគប្រាប់ ប្រយោគសំណួរ និងប្រយោគបញ្ជា។
២. ការវាយតម្លៃភាពពិត ឬមិនពិតនៅក្នុងជីវភាពរស់នៅប្រចាំថ្ងៃ។
សំណើ
ក្នុងការពិភាក្សាគ្នា គេតែងសង្កេតឃើញថា មានការលើកឡើងនូវអំណះអំណាងផ្សេងៗគ្នា ដែលអំណះអំណាងខ្លះពិត ខ្លះមិនពិត (ពេលដែលគេដឹង)និងខ្លះទៀតមិនអាចសន្និដ្ឋានបាន(ពេលដែលគេមិនដឹង) ។ ដូចជាអំណះអំណាងខាងក្រោមនេះ ៖
ក. " 5 ជាចំនួនបឋម" ជាអំណះអំណាងពិត ។
ខ. "ថ្ងៃមាន 5 ថ្ងៃ" ជាអំណះអំណាងមិនពិត ។
គ. "សុភីមានមាឌតូច" ជាអំណះអំណាងមិនអាចថាពិតឬមិនពិត ព្រោះគេមិនបានកំណត់ថាទំហំខ្លួនប៉ុណ្ណាដែលបញ្ជាក់ថាមានមាឌតូចនោះ ។
អំណះអំណាង ក. ដែលគេអាចសម្រេចបានថាពិត និងអំណះអំណាង ខ. ដែលគេអាចសម្រេចថាមិនពិត ហៅថា សំណើ ។ ចំណែកអំណះអំណាង គ. ដែលគេមិនអាចសម្រេចថាពិតឬមិនពិត មិនមែនជាសំណើទេ ។
គេតាងឈ្មោះនៃសំណើដោយអក្សរ \(p, q, r, s, ...\)
\(p\) : ភ្នំពេញជារាជធានីនៃព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា \(q\) : ភ្នំពេញជាមជ្ឈមណ្ឌលសេដ្ឋកិច្ចនៃព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា \(r\) : ប្រាសាទអង្គរវត្តស្ថិតនៅក្នុងខេត្តសៀមរាប ។
សំណើ គឺជាអំណះអំណាងទាំងឡាយណាដែលគេអាចសម្រេចថាពិតឬក៏មិនពិត ។
តម្លៃភាពពិត
បើសំណើ \(p\) ពិតនោះគេថា \(p\) មានតម្លៃភាពពិតស្មើនឹង 1 ។ គេកំណត់សរសេរ ត.\((p) = 1\) ។
បើសំណើ \(p\) មិនពិតនោះគេថា \(p\) មានតម្លៃភាពពិតស្មើនឹង 0 ។ គេកំណត់សរសេរ ត.\((p) = 0\) ។
ចូរជ្រើសរើសអំណះអំណាងដែលជាសំណើក្នុងចំណោមអំណះអំណាងខាងក្រោម ហើយកំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើទាំងនោះ ។
ក. សត្វគោតូចជាងសត្វឆ្មា ។
ខ. \(2021\) ចែកដាច់នឹង \(3\) ។
គ. ថ្ងៃស្អែកនឹងមានភ្លៀងខ្លាំងបំផុតនៅភ្នំពេញ ។
ឈ្នាប់តក្កវិទ្យា
ឈ្នាប់និង ( \(\land\) )
គេអាចភ្ជាប់សំណើ \(p\) ជាមួយសំណើ \(q\) ក្នុងឧទាហរណ៍ 2 ខាងលើដោយប្រើ "ឈ្នាប់និង" នោះគេបានសំណើថ្មី "ភ្នំពេញជារាជធានី និងជាមជ្ឈមណ្ឌលសេដ្ឋកិច្ចនៃព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា" ដែលគេហៅថា សំណើឈ្នាប់និង នៃសំណើទាំងពីរ ។
គេកំណត់សរសេរ \(p \land q\) (អានថា \(p\) និង \(q\)) ។
សម្គាល់ សំណើ \(p \land q\) ពិតតែក្នងករណីសំណើ \(p\) និង \(q\) ពិតទាំងពីរ ។
តារាងភាពពិត
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
គេមានសំណើពីរ \(p\) : "7 ជាតួចែកនៃ 15" និង \(q\) : "7 ជាចំនួនបឋម" ។
កំណត់សំណើ \(p \land q\) និងតម្លៃភាពពិតនៃ \(p \land q\) ។
\(p \land q\) : " 7 ជាតួចែកនៃ 15 និងជាចំនួនបឋម "
ត.\((p) = 0\) ហើយ ត.\((q) = 1\) នោះ ត.\((p \land q) = 0\) ។
គេមានសំណើពីរ \(r\) : 24 ជាពហុគុណនៃ 6 និង \(s\) : 24 ជាចំនួនគត់គូ ។
ចូរកំណត់សំណើ \(r \land s\) និង ត. \((r \land s)\) ។
ឈ្នាប់ឬ ( \(\lor\) )
គេភ្ជាប់សំណើ \(p\) ជាមួយសំណើ \(q\) ក្នុងឧទាហរណ៍ 2 ទំព័រ 36 ដោយប្រើ "ឈ្នាប់ឬ" នោះគេបានសំណើថ្មី "ភ្នំពេញជារាជធានី ឬជាមជ្ឈមណ្ឌលសេដ្ឋកិច្ចនៃព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា" ដែលគេហៅថាសំណើឈ្នាប់ឬនៃសំណើទាំងពីរ ។ គេកំណត់សរសេរ \(p \lor q\) (អានថា \(p\) ឬ \(q\)) ។
សម្គាល់ : សំណើ \(p \lor q\) ជាសំណើមិនពិតតែក្នងករណីដែលសំណើ \(p\) និង \(q\) មិនពិតទាំងពីរ ។
តារាងភាពពិត
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
គេមានសំណើពីរ \(r\) : \(2021\) ចែកដាច់នឹង \(3\) និង \(s\) : \(2024\) ជាចំនួនគត់គូ ។
កំណត់សំណើ \(r \lor s\) និងតម្លៃភាពពិតនៃ \(r \lor s\) ។
គេបានសំណើ \(r \lor s\) : " \(2024\) ចែកដាច់នឹង 3 ឬជាចំនួនគត់គូ " ។
ដោយ ត.\((r) = 0 \quad{}\) ត.\((s) = 1\) នោះ ត.\((r \lor s) = 1\) ។
គេមានសំណើពីរដូចខាងក្រោម ៖
\(p\) : 37 ជាចំនួនបឋម
\(q\) : 37 ចែកដាច់នឹង 5 ។ ចូរកំណត់សំណើ \(p \lor q\) និង ត.\((p \lor q)\) ។
ឈ្នាប់មិន (\(\bar{p}\))
គេមានសំណើ \(p\) : ដារ៉ាជាសិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា ។ គេអាចសរសេរប្រយោគបដិសេធនៃសំណើ \(p\) នេះថា " ដារ៉ាជាសិស្សមិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា" ដែលគេហៅថា សំណើឈ្នាប់មិនឬសំណើបដិសេធនៃ \(p\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\bar{p}\) (អានថាមិន \(p\) ) ។ សំណើ \(p\) និងសំណើ \(\bar{p}\) មានតម្លៃភាពពិតខុសគ្នា ។
តារាងភាពពិត
| \(p\) | \(\bar{p}\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
គេមានសំណើ \(r\) : \(3\) ជាតួចែកនៃ \(2022\)
\(s\) : \(1^2 + 2^2 + 3^2 < (1 + 2 + 3)^2\)
\(q\) : \((1^3 + 2^3 + 3^3) \geq (1 + 2 + 3)^3\) ។
កំណត់សំណើឈ្នាប់មិន និងតម្លៃភាពពិតសំណើឈ្នាប់មិនរបស់សំណើខាងលើ ។
គេបាន \(\bar{r}\) : \(3\) មិនមែនជាតួចែកនៃ \(2022\)
\(\bar{s}\) : \(1^2 + 2^2 + 3^2 \geq (1 + 2 + 3)^2\)
\(\bar{q}\) : \(1^3 + 2^3 + 3^3 < (1 + 2 + 3)^3\)
តម្លៃភាពពិត \((\bar{r}) = 0\), \((\bar{s}) = 0\), \((\bar{q}) = 1\) ។
គេមានសំណើ \(p\) : រថយន្តទេសចរណ៍នេះមានពណ៌មាស ។ គេបាន \(\bar{p}\) រថយន្តទេសចរណ៍នេះមានពណ៌ខុសពីពណ៌មាស ។ គេបាន \(\bar{\bar{p}}\) : រថយន្តទេសចរណ៍នេះមិនមានពណ៌ខុសពីពណ៌មាស មានន័យថា រថយន្តទេសចរណ៍មានពណ៌មាស ។ ដូច្នេះ សំណើ \(\bar{\bar{p}}\) និង \(p\) គឺជាសំណើតែមួយ ។
សំណើ \(\bar{\bar{p}}\) និង \(p\) គឺជាសំណើតែមួយ ។ គេសរសេរ \(\bar{\bar{p}} = p\) ។
សម្គាល់ ដើម្បីសរសេរសំណើឈ្នាប់មិននៃសំណើមួយ គេប្រើពាក្យឈ្នាប់មិននៅពីមុខកិរិយាស័ព្ទ និងគុណនាម ឬជំនួសដោយគុណនាមផ្ទុយរបស់វា ។
គេមានសំណើពីរ៖
\(p\) : អារីយ៉ានេះផលិតដោយក្រុមហ៊ុនអ៊ិយមម៉ង់ ។
\(q\) : អារីយ៉ានេះមានគុណភាពល្អ ។
កំណត់សំណើ \(\bar{p}\), \(\bar{q}\), \(\bar{p} \land \bar{q}\) និង \(\bar{p} \lor \bar{q}\) ។
គេបានសំណើដូចខាងក្រោម៖
\(\bar{p}\) : អារីយ៉ានេះ មិនបានផលិតដោយក្រុមហ៊ុនអ៊ិយមម៉ង់ទេ ។
\(\bar{q}\) : អារីយ៉ានេះ មិនមានគុណភាពល្អ ។
\(\bar{p} \land \bar{q}\) : អារីយ៉ានេះ មិនបានផលិតដោយក្រុមហ៊ុនអ៊ិយមម៉ង់ និងមិនមានគុណភាពល្អ ។
\(\bar{p} \lor \bar{q}\) : អារីយ៉ានេះ មិនបានផលិតដោយក្រុមហ៊ុនអ៊ិយមម៉ង់ ឬមិនមានគុណភាពល្អ ។
គេមានសំណើពីរ៖
\(r\) : កុំព្យូទ័រនេះមានអានុភាពខ្លាំង
\(s\) : កម្មវិធីអ៊ិនធឺណេតនៃកុំព្យូទ័រនេះដំណើរការបានស្រួល ។
កំណត់សំណើ \(\bar{r}\), \(\bar{s}\), \(\bar{r} \land \bar{s}\) និង \(\bar{r} \lor \bar{s}\) ។
គេមានសំណើពីរ \(p\) និង \(q\) នោះ គេបានលក្ខណៈដឺម៉ហ្គាន់ (De Morgan)
1. \(\overline{p \land q} = \bar{p} \lor \bar{q}\) 2. \(\overline{p \lor q} = \bar{p} \land \bar{q}\) ។
សម្រាយបញ្ជាក់
តារាងភាពពិត
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) | \(\overline{p \land q}\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(\bar{p} \lor \bar{q}\) | \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) | \(\overline{p \lor q}\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(\bar{p} \land \bar{q}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ឈ្នាប់នាំឱ្យ ( \(\Rightarrow\) )
គេមានសំណើ \(p\) : \(15\) ចែកដាច់នឹង \(3\) និង \(q\) : \(15\) ជាពហុគុណនៃ \(5\) ។ គេបង្កើតសំណើថ្មី "បើ \(15\) ចែកដាច់នឹង \(3\) នោះ \(15\) ជាពហុគុណនៃ \(5\) " ដែលភ្ជាប់សំណើ \(p\) ជាមួយ \(q\) ដោយឈ្នាប់នាំឱ្យ ហៅថា សំណើឈ្នាប់នាំឱ្យ ឬសំណើលក្ខខណ្ឌ នៃសំណើ \(p\), \(q\) ។
គេកំណត់សរសេរ \(p \Rightarrow q\) (អានថា \(p\) នាំឱ្យ \(q\) ) \(p\) ជាតួសំណើ \(q\) ជាវិបាក ។
គេមានសំណើពីរ : \(p\) : ស្រីរ័ត្នទៅបណ្ណាល័យ ។
\(q\) : ស្រីរ័ត្នសិក្សាស្រាវជ្រាវ ។
កំណត់សំណើ \(p \Rightarrow q\), \(q \Rightarrow p\), \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ។
\(p \Rightarrow q\) : បើស្រីរ័ត្នទៅបណ្ណាល័យនោះ នាងនឹងសិក្សាស្រាវជ្រាវ ។
\(q \Rightarrow p\) : បើស្រីរ័ត្នសិក្សាស្រាវជ្រាវ នោះនាងទៅបណ្ណាល័យ ។
\(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) : បើស្រីរ័ត្នមិនសិក្សាស្រាវជ្រាវ នោះនាងមិនទៅបណ្ណាល័យ ។
សម្គាល់ សំណើ \(q \Rightarrow p\) ហៅថាសំណើច្រាសនៃសំណើ \(p \Rightarrow q\) ។
សំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ហៅថាសំណើផ្ទុយពីសមមូលកុងត្រានៃសំណើ \(p \Rightarrow q\) ។
\(p\) : រស្មីចុះឈ្មោះរៀនគណនេយ្យ
\(q\) : រស្មីរៀនផ្នែកតុលាការឧក្រិដ្ឋកម្ម ។ សរសេរសំណើ " បើរស្មីរៀនផ្នែកតុលាការឧក្រិដ្ឋកម្មនោះគាត់មិនចុះឈ្មោះរៀនគណនេយ្យ " ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឈ្នាប់នាំឱ្យ ។
បើរស្មីរៀនផ្នែកតុលាការឧក្រិដ្ឋកម្ម នោះគាត់មិនចុះឈ្មោះរៀនគណនេយ្យ
បើ \(q\) នោះមិន \(p\) តាងដោយ \(q \Rightarrow \bar{p}\) ។
សំណើ \(p \Rightarrow q\) មិនពិតក្នុងករណីសំណើ \(p\) ពិត ហើយសំណើ \(q\) មិនពិត ក្រៅពីនេះ វាជាសំណើពិត ។
បើ \(p\) : ជាសំណើពិត នោះ \(\bar{p}\) ជាសំណើមិនពិត
\(q\) : ជាសំណើមិនពិត នោះ \(\bar{q}\) ជាសំណើពិត
ដូច្នេះ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ជាសំណើមិនពិត ចំពោះករណី \(p\) ពិត ហើយ \(q\) មិនពិតក្រៅពីនេះវាជាសំណើពិត ។
សំណើ \(p \Rightarrow q\) និង \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) មានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា ។
ក្រុមហ៊ុនការហ្វេភេសជ្ជៈបានផ្សាយពាណិជ្ជកម្មថា " បើអ្នកផឹកកាហ្វេភេសជ្ជៈនេះអ្នកនឹងមិនមានអារម្មណ៍ងងុយគេងឡើយ " ។ តាងសំណើលក្ខខណ្ឌនេះដោយប្រើសញ្ញាឈ្នាប់ ។
មើលចម្លើយ
\(p \Rightarrow q\) ។
ឈ្នាប់សមមូល ( \(\Leftrightarrow\) )
ឧទាហរណ៍អ្នកនិយាយទៅកាន់មិត្តភក្ដិរបស់អ្នកថា " បើខ្ញុំជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា នោះខ្ញុំបានពិន្ទុគណិតវិទ្យាល្អ " ដែលតាងដោយ \(p \Rightarrow q\) បន្ទាប់មកអ្នកនិយាយទៅមិត្តភក្ដិផ្សេងទៀតរបស់អ្នកថា " បើខ្ញុំបានពិន្ទុគណិតវិទ្យាល្អនោះខ្ញុំជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា " ដែលតាងដោយ \(q \Rightarrow p\) ។ បើគេចងសំណើ \(p \Rightarrow q\) និង \(q \Rightarrow p\) ដោយប្រើឈ្នាប់សមមូលគេបាន " ខ្ញុំជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យាលុះត្រាតែខ្ញុំបានពិន្ទុគណិតវិទ្យាល្អ " ដែលគេហៅថាសំណើឈ្នាប់សមមូលនៃសំណើ \(p\) និង \(q\) ។
គេកំណត់សរសេរ \((p \Leftrightarrow q)\) (អានថា \(p\) សមមូល \(q\)) ។
ចូរពិនិត្យមើលសំណើ " ខ្ញុំទៅផ្សារលុះត្រាតែខ្ញុំអស់ម្ហូបញ៉ាំ " ។ សំណើនេះមានន័យថា " បើខ្ញុំទៅផ្សារនោះខ្ញុំអស់ម្ហូបញ៉ាំ និងបើខ្ញុំអស់ម្ហូបញ៉ាំ នោះខ្ញុំនឹងទៅផ្សារ " ។ ដូច្នេះ ដើម្បីឱ្យសំណើខាងលើនេះពិត គេត្រូវរកឱ្យឃើញករណីដែលធ្វើឱ្យសំណើ " បើខ្ញុំទៅផ្សារនោះខ្ញុំអស់ម្ហូបញ៉ាំ " និងសំណើ "បើខ្ញុំអស់ម្ហូបញ៉ាំ នោះខ្ញុំនឹងទៅផ្សារ " ពិតទាំងពីរព្រមគ្នា ។
\(p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\) ។
សម្គាល់ : សំណើឈ្នាប់សមមូលពិតតែក្នងករណីដែលសំណើទាំងពីរមានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា ។
គេមានសំណើពីរ \(p\) : \(x^2 + x - 2 = 0\) \(q\) : \(x = 1\), \(x = -2\) ។
ក. បង្ហាញថា \(p \Rightarrow q\) ជាសំណើពិត \(q \Rightarrow p\) ជាសំណើពិត
ខ. បង្ហាញថា \(p \Leftrightarrow q\) ។
ប្រភេទនៃសម្រាយបញ្ជាក់
ផ្នែកដ៏មានសារៈសំខាន់ក្នងគណិតវិទ្យា គឺជាការធ្វើសម្រាយបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា ។ គេមានរបៀបធ្វើសម្រាយបញ្ជាក់ផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនប៉ុន្តែគេនឹងលើកយកប្រភេទសម្រាយបញ្ជាក់ចំណោទដែលមានលក្ខណៈរួម និងប្រើប្រាស់ញឹកញាប់គេមកសិក្សា ។
ការស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់
ប្រភេទនៃសម្រាយបញ្ជាក់នេះគឺការស្រាយបញ្ជាក់ត្រង់ៗទៅតាមអ្វីដែលគេចង់បាន ។
បង្ហាញថាបើ \(x\) និង \(y\) ជាចំនួនសនិទាននោះ \(x + y\) គឺជាចំនួនសនិទាន ។
បើ \(x\) និង \(y\) ជាចំនួនសនិទាននោះ គេអាចតាង \(x = \frac{a}{b}\) និង \(y = \frac{m}{n}\) ដែល \(a\), \(b\), \(m\) និង \(n\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ហើយ \(b \neq 0\), \(n \neq 0\) ។
គេបាន \(x + y = \frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{an + bm}{bn}\) ដោយ \(an + bm\) និង \(bn\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប
នោះ \(x + y\) ជាចំនួនសនិទាន ។
បង្ហាញថាបើ \(|x| > |y|\) នោះ \(x^2 > y^2\) ។
ដោយ \(|x| > |y|\) នោះគេបាន \(|x|^2 > |y|^2\) ។
ប៉ុន្តែ \(|x|^2 = x^2\) និង \(|y|^2 = y^2\) ដូច្នេះ \(x^2 > y^2\) ។
ក្នុង \(\Delta ABC\) ដែល \(EF \parallel BC\) ។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\) ។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\)
យើងមាន \(EF \parallel BC\)
តាមទ្រឹស្ដីបទតាលែស គេបាន \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) (1)
ម្យ៉ាងទៀត បើយើងគូស \(EN \parallel AC\) នោះចតុកោណ \(EFCN\) ជាប្រលេឡូក្រាម
\(NC = EF\) (ជ្រុងឈមនៃប្រលេឡូក្រាម \(EFCN\) ) ។
គេបាន \(\frac{BC}{NC} = \frac{BA}{AE}\) ឬ \(\frac{NC}{BC} = \frac{AE}{BA}\) ឬតែ \(NC = EF\) នោះ \(\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}\) (2)
តាម (1) និង (2) គេបាន \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\)
ដូច្នេះ \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\) ពិត ។
បង្ហាញថា ៖
ក. បើ \(x\) និង \(y\) ជាចំនួនគត់សេស នោះ \(x + y\) ជាចំនួនគត់គូ ។
ខ. បើ \(x\) និង \(y\) ជាចំនួនគត់សេស នោះ \(xy\) ជាចំនួនគត់សេស ។
មើលចម្លើយ
ក. តាង \(x = 2n + 1, \; y = 2m + 1\)
គេបាន \(x + y = (2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1)\) ជាចំនួនគត់គូ ។
ខ. \(xy = (2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2mn + m + n) + 1\) ជាចំនួនគត់សេស ។
ការស្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីសមមូលកុងត្រា
គេដឹងថាសំណើ \(p \Rightarrow q\) និងសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) មានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា ។ សំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ជាសំណើផ្ទុយពីសមមូលកុងត្រានៃសំណើ \(p \Rightarrow q\) ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបង្ហាញសំណើ \(p \Rightarrow q\) ពិត នោះគេអាចបង្ហាញថាសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិតជាការស្រេច ព្រោះថាគេយកសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) មកបង្ហាញ វាមានភាពងាយស្រួលជាងការបង្ហាញសំណើ \(p \Rightarrow q\) ចំពោះករណីមួយចំនួន ។ ‘ របៀបដោះស្រាយ : ឧបមាថា គេចង់បង្ហាញសំណើ \(p \Rightarrow q\) ពិត
ជំហានទី 1 : ត្រូវកំណត់សំណើ \(p\) និងសំណើ \(q\) ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ។
ជំហានទី 2 : ត្រូវកំណត់សំណើ \(\bar{p}\) និងសំណើ \(\bar{q}\) ។
ជំហានទី 3 : គេផ្ដើមពី \(\bar{q}\) បញ្ជាក់រហូតគេបានសំណើ \(\bar{p}\) ដែលជាសំណើផ្ទុយពីសមមូលកុងត្រាមានន័យថាគេបានបង្ហាញថា \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត ។ ដូច្នេះ គេបាន \(p \Rightarrow q\) ជាសំណើពិត ។
បង្ហាញថា បើ \(n^2\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(n\) ជាចំនួនគត់គូ ។
ជំហានទី 1 : កំណត់សំណើ \(p\) និងសំណើ \(q\)
តាង \(p : n^2\) ជាចំនួនគត់គូ និង \(q : n\) ជាចំនួនគត់គូ ។
គេបានសំណើដើម " បើ \(n^2\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(n\) ជាចំនួនគត់គូ " អាចតាងដោយសំណើ \(p \Rightarrow q\) ។
ជំហានទី 2 : កំណត់សំណើ \(\bar{p}\) និងសំណើ \(\bar{q}\)
គេបានសំណើ \(\bar{p} : n^2\) ជាចំនួនគត់សេស \(\bar{q} : n\) ជាចំនួនគត់សេស ។
គេមានសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) គឺ " បើ \(n\) ជាចំនួនគត់សេសនោះ \(n^2\) ជាចំនួនគត់សេស "
ជំហានទី 3 : បង្ហាញថាសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត
ដោយសំណើ \(\bar{q} : n\) ជាចំនួនគត់សេសនោះគេអាចតាង \(n = 2k + 1\) ដែល \(k\) ជាចំនួនគត់ ។
គេបាន \(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 = 2m + 1\)
ដែល \(m = 2k^2 + 2k\) ជាចំនួនគត់ ។
ដូច្នេះ \(n^2\) ជាចំនួនគត់សេស(ពិត) ។ គេបានសំណើ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត នោះ \(p \Rightarrow q\) ក៏ពិតដែរ ។
ដូច្នេះ " បើ \(n^2\) ជាចំនួនគត់គូនោះ \(n\) ជាចំនួនគត់គូ " ជាសំណើពិត ។
ក. បង្ហាញថាចំពោះចំនួនគត់ \(m\) និង \(n\) បើផលគុណ \(mn\) មិនមែនជាពហុគុណនៃ 3 នោះ \(m\) និង \(n\) ក៏មិនមែនជាពហុគុណនៃ 3 ដែរ ។
ខ. បង្ហាញថា បើមុំណាមួយនៃបន្ទាត់ពីរជាមុំស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់ទាំងពីរនោះស្របគ្នា ។
ការស្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីការពិត
ប្រភេទនៃសម្រាយបញ្ជាក់នេះមានសារៈប្រយោជន៍បំផុត សម្រាប់បង្ហាញចំណោទបញ្ហាមួយចំនួនដែលពេលខ្លះគេមិនអាចរកបាននូវចំណុចចាប់ផ្ដើមមកបកស្រាយតាមសម្រាយបញ្ជាក់ធម្មតា ។ វិធីនេះតម្រូវឱ្យគេផ្ដើមចេញពីសំណើឈ្នាប់មិននៃសំណើដែលគេឱ្យបង្ហាញថាពិតរហូតទទួលបានសំណើថ្មី ដែលផ្ទុយពីទ្រឹស្ដីក្នុងគណិតវិទ្យា ។ ដូច្នេះ សំណើឈ្នាប់មិនជាសំណើមិនពិត មានន័យថាសំណើដើមដែលគេតម្រូវឱ្យបង្ហាញនោះត្រូវតែពិត ។
របៀបដោះស្រាយ
ជំហានទី 1 : តាង \(p\) ជាសំណើដែលត្រូវបង្ហាញ ។
ជំហានទី 2 : កំណត់សំណើ \(\bar{p}\) ។
ជំហានទី 3 : ឧបមាថាសំណើ \(\bar{p}\) ពិត ។ រួចបកស្រាយបន្តបន្ទាប់រហូតដល់បានលទ្ធផលផ្ទុយពីទ្រឹស្ដីគណិតវិទ្យា ។ គេបានសំណើ \(\bar{p}\) មិនពិត ។ ដូច្នេះសំណើ \(p\) ពិត ព្រោះតម្លៃភាពពិតរវាងសំណើ \(p\) និងសំណើ \(\bar{p}\) មានតម្លៃផ្ទុយគ្នា ។
បង្ហាញថា \(\sqrt{2}\) គឺជាចំនួនអសនិទាន ។
ជំហានទី 1 : តាងសំណើ \(p : \sqrt{2}\) " គឺជាចំនួនអសនិទាន " ។
ជំហានទី 2 : គេបានសំណើ \(\bar{p} : \sqrt{2}\) " គឺជាចំនួនសនិទាន " ។
ជំហានទី 3 : ឧបមាថាសំណើ \(\bar{p}\) ពិត នោះគេអាចសរសេរ \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) ដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់បឋមរវាងគ្នា ។ ចំនួនគត់បឋមរវាងគ្នាគឺ \(GCD(a, b) = 1\) ។
គេបាន \(\frac{a^2}{b^2} = 2\) ឬ \(a^2 = 2b^2\) ។ គេបាន \(a^2\) គឺជាពហុគុណនៃ 2 ដូច្នេះ \(a^2\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ ។
តាង \(a = 2k\) ដែល \(k\) ជាចំនួនគត់
គេបាន \(2b^2 = a^2 = 4k^2\)
\(b^2 = 2k^2\) ។
ដូច្នេះ \(b^2\) ជាចំនួនគត់គូនោះ \(b\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ ។
ដោយ \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់គូនោះ \(a\) និង \(b\) មាន 2 ជាតួចែករួម
\(GCD(a, b) = 2\) ដែលផ្ទុយពីលក្ខខណ្ឌដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់បឋមរវាងគ្នានោះគេបាន \(\sqrt{2}\) មិនមែនជាចំនួនសនិទានទេ ។
ដូច្នេះ \(\sqrt{2}\) ជាចំនួនអសនិទាន ។
បង្ហាញថា \(\sqrt[4]{2}\) ជាចំនួនអសនិទាន ។
តាងសំណើ \(p\) : " \(\sqrt[4]{2}\) ជាចំនួនអសនិទាន "
គេបានសំណើ \(\bar{p}\) : " \(\sqrt[4]{2}\) ជាចំនួនសនិទាន "
ឧបមាសំណើ \(\bar{p}\) ពិត នោះគេបាន \(\sqrt[4]{2} = \frac{a}{b}\) ដែល \(a, b\) ជាចំនួនគត់ និង \(a, b\) ជាចំនួនបឋមរវាងគ្នា
គេបាន \(\frac{a^4}{b^4} = 2\) ឬ \(a^4 = 2b^4 \quad{} (1)\)
នោះ \(a^4\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a\) ជាចំនួនគត់គូដែរ ។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ \(a^4\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a\) ជាចំនួនគត់គូ
តាង \(p :\) " \(a^4\) ជាចំនួនគត់គូ "
\(q :\) " \(a\) ជាចំនួនគត់គូ "
គេបាន \(\bar{p} :\) " \(a^4\) ជាចំនួនគត់សេស "
\(\bar{q} :\) " \(a\) ជាចំនួនគត់សេស "
យើងស្រាយបញ្ជាក់ \(\bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត នោះ \(p \Rightarrow q\) ក៏ពិតដែរ
បើ \(a\) ជាចំនួនគត់សេស នោះ \(a = 2k + 1\), \(k\) ជាចំនួនគត់
\(a^4 = (2k + 1)^4\)
\(= 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1\)
\(= 2(8k^4 + 16k^3 + 12k^2 + 4k) + 1\)
\(= 2M + 1\) ដែល \(M = 8k^4 + 16k^3 + 12k^2 + 4k\)
គេបាន \(a^4\) ជាចំនួនគត់សេស (ផ្ទុយពីសមម្មតិកម្ម)
ដូច្នេះ \(a^4\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ
បើ \(a\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a = 2k\), \(k\) ជាចំនួនគត់
គេបាន \(a^4 = 16k^4\) ជំនួសក្នុង (1) គេបាន \(2b^4 = 16k^4 \Rightarrow b^4 = 8k^4\)
ដូច្នេះ \(b^4\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(b\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ
ដោយ \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(a\) និង \(b\) មានតួចែករួម ដែលផ្ទុយពីលក្ខខណ្ឌដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនបឋមរវាងគ្នា នោះគេបាន \(\sqrt[4]{2}\) មិនមែនជាចំនួនសនិទានទេ ។
ក. បង្ហាញថា \(\sqrt{3}\) គឺជាចំនួនអសនិទាន ។
ខ. បង្ហាញថា \(\sqrt[4]{3}\) គឺជាចំនួនអសនិទាន ។
ការស្រាយបញ្ជាក់តាមលក្ខខណ្ឌ
ជំហាននៃសម្រាយបញ្ជាក់ \(p \Leftrightarrow q\)
ជំហានទី 1 : បង្ហាញថា \(p\) ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ \(q\)
ជំហានទី 2 : បង្ហាញថា \(q\) ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ \(p\) ។
បង្ហាញថា \(x^2 + 5x + 6 = 0\) លុះត្រាតែ \(x = -2\) ឬ \(x = -3\)
តាង \(p : x^2 + 5x + 6 = 0\) , \(q : x = -2\) ឬ \(x = -3\)
បង្ហាញថា \(p \Leftrightarrow q\) គឺបង្ហាញថា \((x^2 + 5x + 6 = 0) \Rightarrow (x = -2 \) ឬ \( x = -3)\) :
បើ \(x^2 + 5x + 6 = 0\) នោះគេបាន \((x + 2)(x + 3) = 0\)
នោះ \(x + 2 = 0\) ឬ \(x + 3 = 0\) គេបាន \(x = -2\) ឬ \(x = -3\) ។
ដូច្នេះ \(x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x = -2 \) ឬ \( x = -3) \quad{} (1)\)
បង្ហាញថា \(q \Leftrightarrow p\) គឺបង្ហាញថា \((x = -2 \) ឬ \( x = -3) \Rightarrow (x^2 + 5x + 6 = 0)\)
បើ \(x = -2\) នោះ \(x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)
បើ \(x = -3\) នោះ \(x^2 + 5x + 6 = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\)
ដូច្នេះ \((x = -2 \) ឬ \( x = -3) \Rightarrow x^2 + 5x + 6 = 0 \quad{} (2)\)
តាម (1) និង (2) គេបាន \((x^2 + 5x + 6 = 0) \Leftrightarrow (x = -2 \) ឬ \( x = -3)\) ។
បង្ហាញថា
ក. \(x^3 - 4x = 0\) លុះត្រាតែ \((x = 0 \) ឬ \( x = -2 \) ឬ \( x = 2)\) ។
ខ. \(x^2 + y^2 = 0\) លុះត្រាតែ \((x = 0 \) និង \( y = 0)\) ។
សម្គាល់ : គេមានសំណើពីរ \(p\) និង \(q\)
បើ \(p \Rightarrow q\) នោះគេថាសំណើ \(p\) ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ \(q\) និង \(q\) ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់សំណើ \(p\) ។
\(p \Leftrightarrow q\) នោះគេថាសំណើ \(p\) ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ \(q\) ។
តាមឧទាហរណ៍ខាងលើ គេបានសំណើ \(x^2 + 5x + 6 = 0\) គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សំណើ \(x = -2\) ឬ \(x = -3\) ។
ការស្រាយបញ្ជាក់តាមឧទាហរណ៍ផ្ទុយ
វិធីនេះតម្រូវឱ្យគេរកឧទាហរណ៍មួយមកបញ្ជាក់ថា សំណើត្រូវបង្ហាញជាសំណើមិនពិត ។
តើពិតដែរឬទេ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) គេបានចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(y\) ដែល \(x = y^2\) ?
យក \(x = 5\) គេបាន \(y^2 = 5\) ។ ដូច្នេះ គេមិនអាចរកបានចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(y\) ដែល \(y^2 = 5\) បានទេ ។ ដូច្នេះ សំណើខាងលើមិនពិត ។ (\((\sqrt{5})^2 = 5\) និង \((-\sqrt{5})^2 = 5\) , តែ \(\sqrt{5}\) និង \(-\sqrt{5}\) មិនមែនជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន)
សម្គាល់ ការយកតម្លៃ \(x = 5\) មកបញ្ជាក់ថា សំណើមិនពិតបែបនេះហៅថា ឧទាហរណ៍ផ្ទុយ ។ ដូច្នេះ ឧទាហរណ៍ផ្ទុយមួយប៉ុណ្ណោះអាចធ្វើសំណើឬអំណះអំណាងនោះមិនពិតបាន ។
តើសំណើ \(p\) : "ប្រជាជនរស់នៅទីក្រុងភ្នំពេញគឺជាជនជាតិខ្មែរ" ពិតឬមិនពិត?
ជនជាតិចិនម្នាក់ឈ្មោះគឹមហេង ជាប្រជាជនដែលរស់នៅទីក្រុងភ្នំពេញ ។ ការលើកយកជនជាតិចិនម្នាក់ឈ្មោះគឹមហេង មកបញ្ជាក់ថាសំណើមិនពិត បែបនេះហៅថា ឧទាហរណ៍ផ្ទុយ ។
បង្ហាញថាសំណើខាងក្រោមនេះមិនពិតដោយប្រើឧទាហរណ៍ផ្ទុយ ៖
ក. អង្គការអាស៊ានមានសមាជិកមកពីគ្រប់ប្រទេសក្នុងទ្វីបអាស៊ី ។
ខ. គ្រប់ចំនួនបឋមគឺជាចំនួនគត់សេស ។
គ. បើ \(p, q\) ជាចំនួនបឋម និង \(n = p^2 + q^2\) នោះ \(n\) ជាចំនួនបឋម ។
ឃ. បើ \(a > b\) នោះ \(a^2 > b^2\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a, b\) ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
ក្នុងចំណោមប្រយោគខាងក្រោម តើប្រយោគណាខ្លះជាសំណើ? ចូរបញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើនីមួយៗ ៖
ភ្នំពេញជារាជធានីនៃប្រទេសកម្ពុជា។
តើថ្ងៃនេះអ្នកសុខសប្បាយទេ?
\(5 + 7 = 12\)
\(2x - 3 = 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
តាមនិយមន័យ សំណើគឺជាល្បះប្រកាសដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ថាតម្លៃពិត ឬមិនពិតតែមួយគត់ មិនអាចពិតផងនិងមិនពិតផងក្នុងពេលតែមួយបានឡើយ ៖
ក. «ភ្នំពេញជារាជធានីនៃប្រទេសកម្ពុជា» ៖ ជាសំណើ។ ដោយសារភ្នំពេញពិតជារាជធានីស្របច្បាប់នៃកម្ពុជា នោះតម្លៃភាពពិតគឺ ពិត (P ឬ 1)។
ខ. «តើថ្ងៃនេះអ្នកសុខសប្បាយទេ?» ៖ មិនមែនជាសំណើទេ ព្រោះជាល្បះសំនួរ ពុំអាចកំណត់តម្លៃពិតឬមិនពិតបានឡើយ។
គ. «\(5 + 7 = 12\)» ៖ ជាសំណើ។ ដោយ \(5 + 7 = 12\) ពិតប្រាកដមែន នោះតម្លៃភាពពិតគឺ ពិត (P ឬ 1)។
ឃ. «\(2x - 3 = 5\)» ៖ មិនមែនជាសំណើទេ ព្រោះជាល្បះបើក (Open sentence) ដែលអាស្រ័យនឹងអថេរ \(x\)។ វាក្លាយជាសំណើបានលុះត្រាតែមានការកំណត់តម្លៃជាក់លាក់នៃ \(x\) ឬមានបរិមាណករ។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើខាងក្រោម ៖
គ្រប់ចំនួនបឋមសុទ្ធតែជាចំនួនសេស។
ត្រីកោណសម័ង្សមានជ្រុងទាំងបីស្មើគ្នា។
\(\sqrt{2}\) ជាចំនួនសនិទាន។
ផលបូកមុំក្នុងនៃត្រីកោណស្មើនឹង \(180^\circ\)។
មើលដំណោះស្រាយ
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើនីមួយៗ ៖
ក. «គ្រប់ចំនួនបឋមសុទ្ធតែជាចំនួនសេស» ៖ មិនពិត (F ឬ 0) ព្រោះមានលេខ \(2\) ជាចំនួនបឋម (មានតួចែកតែពីរគឺ \(1\) និង \(2\)) ប៉ុន្តែលេខ \(2\) ជាចំនួនគត់គូ។
ខ. «ត្រីកោណសម័ង្សមានជ្រុងទាំងបីស្មើគ្នា» ៖ ពិត (P ឬ 1) ព្រោះតាមនិយមន័យធរណីមាត្រ ត្រីកោណសម័ង្សមានជ្រុងទាំងបីមានប្រវែងស្មើគ្នា និងមុំទាំងបីស្មើ \(60^\circ\)។
គ. «\(\sqrt{2}\) ជាចំនួនសនិទាន» ៖ មិនពិត (F ឬ 0) ព្រោះ \(\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots\) មិនអាចសរសេរជាទម្រង់ប្រភាគ \(\frac{a}{b}\) (\(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\)) បានឡើយ ពោលគឺវាជាចំនួនអសនិទាន (\(\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\))។
ឃ. «ផលបូកមុំក្នុងនៃត្រីកោណស្មើនឹង \(180^\circ\)» ៖ ពិត (P ឬ 1) ព្រោះតាមទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រអឺគ្លីដ ផលបូករង្វាស់មុំក្នុងទាំងបីនៃគ្រប់ត្រីកោណតែងតែស្មើ \(180^\circ\) ជានិច្ច។
សរសេរសំណើបដិសេធ \(\bar{p}\) នៃសំណើ \(p\) ខាងក្រោម ៖
\(p\) ៖ «អង្គរវត្តស្ថិតនៅក្នុងខេត្តសៀមរាប»
\(p\) ៖ «\(7\) ជាចំនួនគត់គូ»
\(p\) ៖ «\(\sqrt{9} = 3\)»
\(p\) ៖ «\(5 < 3\)»
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើបដិសេធ \(\bar{p}\) មានន័យផ្ទុយទាំងស្រុងពី \(p\) ៖
ក. \(p\) ៖ «អង្គរវត្តស្ថិតនៅក្នុងខេត្តសៀមរាប»
\(\implies \bar{p}\) ៖ «អង្គរវត្តមិនស្ថិតនៅក្នុងខេត្តសៀមរាបទេ»។
ខ. \(p\) ៖ «\(7\) ជាចំនួនគត់គូ»
\(\implies \bar{p}\) ៖ «\(7\) មិនមែនជាចំនួនគត់គូទេ» (ឬ «\(7\) ជាចំនួនគត់សេស»)។
គ. \(p\) ៖ «\(\sqrt{9} = 3\)»
\(\implies \bar{p}\) ៖ «\(\sqrt{9} \neq 3\)»។
ឃ. \(p\) ៖ «\(5 < 3\)»
\(\implies \bar{p}\) ៖ «\(5 \geq 3\)»។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃ \(\bar{p}\) បើដឹងថាតម្លៃភាពពិតនៃ \(p\) គឺ ៖
\(p\) ពិត (T)
\(p\) មិនពិត (F)
\(p\) ៖ «\(2^3 = 6\)»
\(p\) ៖ «\(3 + 4 \neq 8\)»
មើលដំណោះស្រាយ
តាមនិយមន័យសំណើបដិសេធ ត.\(( \bar{p} ) = 1 - \) ត. \((p)\) ៖
ក. បើ \(p\) ពិត (P ឬ 1) នាំឱ្យ \(\bar{p}\) មិនពិត (F ឬ 0)។
ខ. បើ \(p\) មិនពិត (F ឬ 0) នាំឱ្យ \(\bar{p}\) ពិត (P ឬ 1)។
គ. សំណើ \(p\) ៖ «\(2^3 = 6\)»។ ដោយ \(2^3 = 8 \neq 6\) នាំឱ្យ ត.\((p) = 0\) (មិនពិត)។ ដូច្នេះ ត.\((\bar{p}) = \) ពិត (P ឬ 1) ដែល \(\bar{p}\) ៖ «\(2^3 \neq 6\)»។
ឃ. សំណើ \(p\) ៖ «\(3 + 4 \neq 8\)»។ ដោយ \(3 + 4 = 7 \neq 8\) នាំឱ្យ ត.\((p) = 1\) (ពិត)។ ដូច្នេះ ត.\((\bar{p}) = \) មិនពិត (F ឬ 0) ដែល \(\bar{p}\) ៖ «\(3 + 4 = 8\)»។
គេមានសំណើពីរ \(p\) ៖ «ចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង» និង \(q\) ៖ «សិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា»។ ចូរសរសេរសំណើខាងក្រោមជាភាសានិយាយ ៖
\(p \land q\)
\(p \lor q\)
\(\bar{q}\)
មើលដំណោះស្រាយ
គេមាន \(p\) ៖ «ចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង» និង \(q\) ៖ «សិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា» ៖
ក. \(p \land q\) (ឈ្នាប់ «និង») ៖ «ចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង និង សិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា»។
ខ. \(p \lor q\) (ឈ្នាប់ «ឬ») ៖ «ចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង ឬ សិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា»។
គ. \(\bar{q}\) (បដិសេធ \(q\)) ៖ «សិស្សមិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យាទេ»។
យោងតាមសំណើក្នុងលំហាត់ទី ៥ សរសេរសំណើខាងក្រោមជាភាសានិយាយ ៖
\(p \lor \bar{q}\)
\(\bar{p} \land \bar{q}\)
\(p \implies q\)
មើលដំណោះស្រាយ
យោងតាមសំណើក្នុងលំហាត់ទី ៥ ៖
ក. \(p \lor \bar{q}\) ៖ «ចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង ឬ សិស្សមិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យាទេ»។
ខ. \(\bar{p} \land \bar{q}\) ៖ «ចំនួនសិស្សមិនកើនឡើងទេ ហើយ សិស្សមិនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យាទេ»។
គ. \(p \implies q\) ៖ «ប្រសិនបើចំនួនសិស្សកំពុងកើនឡើង នោះសិស្សចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា»។
គេឱ្យសំណើ \(p\) ៖ «\(4\) ជាចំនួនគូ» (ពិត) និង \(q\) ៖ «\(5\) ជាចំនួនគូ» (មិនពិត)។ កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃ ៖
\(p \land q\)
\(p \lor q\)
\(\bar{p} \lor q\)
\(p \land \bar{q}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយ \(p\) ពិត (ត.\((p) = 1\)) និង \(q\) មិនពិត (ត.\((q) = 0\)) ៖
ក. \(p \land q \equiv 1 \land 0 = 0\) ៖ មិនពិត (F)។
ខ. \(p \lor q \equiv 1 \lor 0 = 1\) ៖ ពិត (P)។
គ. ដោយ \(\bar{p} = 0 \implies \bar{p} \lor q \equiv 0 \lor 0 = 0\) ៖ មិនពិត (F)។
ឃ. ដោយ \(\bar{q} = 1 \implies p \land \bar{q} \equiv 1 \land 1 = 1\) ៖ ពិត (P)។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើឈ្នាប់ «និង» (\(p \land q\)) ខាងក្រោម ៖
\(3 > 1\) និង \(2 + 2 = 4\)
\(5 < 2\) និង ភ្នំពេញនៅប្រទេសកម្ពុជា
\(\sqrt{4} = 2\) និង \(3\) ជាចំនួនគត់គូ
\((-2)^2 = -4\) និង \(1\) ជាចំនួនបឋម
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើឈ្នាប់ «និង» (\(p \land q\)) ពិតលុះត្រាតែសំណើផ្សំទាំងពីរពិតព្រមគ្នា ៖
ក. \(3 > 1\) (ពិត) និង \(2 + 2 = 4\) (ពិត) ៖ \(1 \land 1 = 1 \implies\) ពិត (P)។
ខ. \(5 < 2\) (មិនពិត) និង ភ្នំពេញនៅប្រទេសកម្ពុជា (ពិត) ៖ \(0 \land 1 = 0 \implies\) មិនពិត (F)។
គ. \(\sqrt{4} = 2\) (ពិត) និង \(3\) ជាចំនួនគូ (មិនពិត) ៖ \(1 \land 0 = 0 \implies\) មិនពិត (F)។
ឃ. \((-2)^2 = -4\) (មិនពិត ព្រោះ \((-2)^2=4\)) និង \(1\) ជាចំនួនបឋម (មិនពិត) ៖ \(0 \land 0 = 0 \implies\) មិនពិត (F)។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើឈ្នាប់ «ឬ» (\(p \lor q\)) ខាងក្រោម ៖
\(3 > 1\) ឬ \(2 + 2 = 5\)
\(5 < 2\) ឬ \(4\) ជាចំនួនបឋម
\(\pi\) ជាចំនួនអសនិទាន ឬ \(0\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន
\(2^4 = 16\) ឬ \(7 \times 8 = 56\)
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើឈ្នាប់ «ឬ» (\(p \lor q\)) មិនពិតលុះត្រាតែសំណើទាំងពីរមិនពិតព្រមគ្នា ៖
ក. \(3 > 1\) (ពិត) ឬ \(2 + 2 = 5\) (មិនពិត) ៖ \(1 \lor 0 = 1 \implies\) ពិត (P)។
ខ. \(5 < 2\) (មិនពិត) ឬ \(4\) ជាចំនួនបឋម (មិនពិត) ៖ \(0 \lor 0 = 0 \implies\) មិនពិត (F)។
គ. \(\pi\) ជាចំនួនអសនិទាន (ពិត) ឬ \(0\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន (មិនពិត) ៖ \(1 \lor 0 = 1 \implies\) ពិត (P)។
ឃ. \(2^4 = 16\) (ពិត) ឬ \(7 \times 8 = 56\) (ពិត) ៖ \(1 \lor 1 = 1 \implies\) ពិត (P)។
គេឱ្យសំណើ \(p, q\) ដែល \(p\) ពិត និង \(q\) មិនពិត។ កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃ \(\overline{p \land q}\) និង \(\bar{p} \lor \bar{q}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គេមាន \(p\) ពិត (\(p = 1\)) និង \(q\) មិនពិត (\(q = 0\)) ៖
- គណនា \(\overline{p \land q}\) ៖
\(p \land q = 1 \land 0 = 0 \implies \overline{p \land q} = \bar{0} = 1\) (ពិត)។
- គណនា \(\bar{p} \lor \bar{q}\) ៖
\(\bar{p} = \bar{1} = 0\) និង \(\bar{q} = \bar{0} = 1\) នាំឱ្យ \(\bar{p} \lor \bar{q} = 0 \lor 1 = 1\) (ពិត)។
ដូចនេះ \(\overline{p \land q}\) និង \(\bar{p} \lor \bar{q}\) សុទ្ធតែមានតម្លៃភាពពិត ពិត (P ឬ 1) ដូចគ្នា។
គេឱ្យសំណើ \(p, q\) ដែល \(p\) មិនពិត និង \(q\) ពិត។ កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃ \(\overline{p \lor q}\) និង \(\bar{p} \land \bar{q}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គេមាន \(p\) មិនពិត (\(p = 0\)) និង \(q\) ពិត (\(q = 1\)) ៖
- គណនា \(\overline{p \lor q}\) ៖
\(p \lor q = 0 \lor 1 = 1 \implies \overline{p \lor q} = \bar{1} = 0\) (មិនពិត)។
- គណនា \(\bar{p} \land \bar{q}\) ៖
\(\bar{p} = \bar{0} = 1\) និង \(\bar{q} = \bar{1} = 0\) នាំឱ្យ \(\bar{p} \land \bar{q} = 1 \land 0 = 0\) (មិនពិត)។
ដូចនេះ \(\overline{p \lor q}\) និង \(\bar{p} \land \bar{q}\) សុទ្ធតែមានតម្លៃភាពពិត មិនពិត (F ឬ 0) ដូចគ្នា។
បញ្ជាក់ថាតើច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{p \land q} \iff \bar{p} \lor \bar{q}\) ជាតក្កវិទ្យាសច្ចភាព (Tautology) ដែរឬទេ ដោយសង់តារាងភាពពិត។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ទីមួយ \(\overline{p \land q} \iff \bar{p} \lor \bar{q}\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) | \(\overline{p \land q}\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(\bar{p} \lor \bar{q}\) | សមមូល |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ដោយសារជួរឈរ \(\overline{p \land q}\) និង \(\bar{p} \lor \bar{q}\) ផ្តល់តម្លៃស្មើគ្នាគ្រប់បន្ទាត់ នាំឱ្យកន្សោមសមមូលយកតម្លៃ \(1\) ជានិច្ច។ ដូច្នេះវាជា សច្ចភាព (Tautology)។
សង់តារាងភាពពិតនៃច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ទីពីរ ៖ \(\overline{p \lor q} \iff \bar{p} \land \bar{q}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ទីពីរ \(\overline{p \lor q} \iff \bar{p} \land \bar{q}\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) | \(\overline{p \lor q}\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(\bar{p} \land \bar{q}\) | សមមូល |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
លទ្ធផលនៃ \(\overline{p \lor q}\) និង \(\bar{p} \land \bar{q}\) ដូចគ្នាគ្រប់ករណី ដូច្នេះច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ទីពីរជាសច្ចភាពពិតប្រាកដ។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើមានលក្ខខណ្ឌ «\(p \implies q\)» ខាងក្រោម ៖
បើ \(2 + 2 = 4\) នោះ \(3 \times 3 = 9\)
បើ \(2 + 2 = 4\) នោះ \(3 \times 3 = 8\)
បើ \(2 + 2 = 5\) នោះ \(3 \times 3 = 9\)
បើ \(2 + 2 = 5\) នោះ \(3 \times 3 = 8\)
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើមានលក្ខខណ្ឌ \(p \implies q\) មិនពិតតែមួយករណីគត់ គឺនៅពេល \(p\) ពិត តែ \(q\) មិនពិត (\(1 \implies 0 = 0\)) ៖
ក. \(2 + 2 = 4\) (\(1\)) \(\implies 3 \times 3 = 9\) (\(1\)) ៖ \(1 \implies 1 = 1\) \(\implies\) ពិត (P)។
ខ. \(2 + 2 = 4\) (\(1\)) \(\implies 3 \times 3 = 8\) (\(0\)) ៖ \(1 \implies 0 = 0\) \(\implies\) មិនពិត (F)។
គ. \(2 + 2 = 5\) (\(0\)) \(\implies 3 \times 3 = 9\) (\(1\)) ៖ \(0 \implies 1 = 1\) \(\implies\) ពិត (P)។
ឃ. \(2 + 2 = 5\) (\(0\)) \(\implies 3 \times 3 = 8\) (\(0\)) ៖ \(0 \implies 0 = 1\) \(\implies\) ពិត (P)។
សរសេរសំណើផ្ទុយ (Converse) នៃសំណើ ៖ «ប្រសិនបើត្រីកោណមួយជាត្រីកោណសម័ង្ស នោះវាជាត្រីកោណសមបាត»។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម \(p \implies q\) ៖ «ប្រសិនបើត្រីកោណមួយជាត្រីកោណសម័ង្ស (\(p\)) នោះវាជាត្រីកោណសមបាត (\(q\))»។
សំណើផ្ទុយ (Converse) \(q \implies p\) គឺ ៖
«ប្រសិនបើត្រីកោណមួយជាត្រីកោណសមបាត នោះវាជាត្រីកោណសម័ង្ស»។
(សម្គាល់ ៖ សំណើផ្ទុយនេះមិនពិតទេ ព្រោះត្រីកោណសមបាតអាចមានជ្រុងពីរស្មើគ្នា មិនចាំបាច់មានជ្រុងទាំងបីស្មើគ្នាឡើយ)។
សរសេរសំណើច្រាស (Inverse) នៃសំណើ ៖ «បើ \(x = 2\) នោះ \(x^2 = 4\)»។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ «បើ \(x = 2\) (\(p\)) នោះ \(x^2 = 4\) (\(q\))»។
សំណើច្រាស (Inverse) \(\bar{p} \implies \bar{q}\) គឺ ៖
«បើ \(x \neq 2\) នោះ \(x^2 \neq 4\)»។
(សម្គាល់ ៖ សំណើច្រាសនេះមិនពិតទេ ព្រោះចំពោះ \(x = -2 \neq 2\) យើងនៅតែទទួលបាន \((-2)^2 = 4\))។
សរសេរសំណើផ្ទុយពីច្រាស (Contrapositive) នៃសំណើ ៖ «បើ \(x = 2\) នោះ \(x^2 = 4\)»។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ «បើ \(x = 2\) (\(p\)) នោះ \(x^2 = 4\) (\(q\))»។
សំណើផ្ទុយពីច្រាស (Contrapositive) \(\bar{q} \implies \bar{p}\) គឺ ៖
«បើ \(x^2 \neq 4\) នោះ \(x \neq 2\)»។
(សំណើផ្ទុយពីច្រាសតែងតែមានតម្លៃភាពពិតស្មើនឹងសំណើដើមជានិច្ច)។
បង្ហាញថាសំណើ \(p \implies q\) និងសំណើផ្ទុយពីច្រាស \(\bar{q} \implies \bar{p}\) មានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នាជានិច្ច (សមមូលតក្កវិទ្យា)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតប្រៀបធៀប \(p \implies q\) និង \(\bar{q} \implies \bar{p}\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(p \implies q\) | \(\bar{q} \implies \bar{p}\) | សមមូល |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ជួរឈរនៃ \(p \implies q\) និង \(\bar{q} \implies \bar{p}\) មានតម្លៃពិតដូចគ្នាបេះបិទគ្រប់ករណី។ ដូចនេះ សំណើទាំងពីរសមមូលគ្នាតាមតក្កវិទ្យា (\(p \implies q \equiv \bar{q} \implies \bar{p}\))។
កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើសមមូល \(p \iff q\) ខាងក្រោម ៖
\(x^2 = 9 \iff x = 3\)
\(x + 2 = 5 \iff x = 3\)
ត្រីកោណមួយមានមុំកែង \(\iff\) ផលបូកមុំពីរទៀតស្មើ \(90^\circ\)
\(2\) ជាចំនួនគត់គូ \(\iff 2\) ជាចំនួនបឋម
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើសមមូល \(p \iff q\) ពិតកាលណា \(p\) និង \(q\) មានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា (\(1 \iff 1 = 1\) និង \(0 \iff 0 = 1\)) ៖
ក. \(x^2 = 9 \iff x = 3\) ៖ មិនពិត (F) ព្រោះ \(x^2 = 9 \implies x = 3 \lor x = -3\)។ ដូច្នេះ \(x=-3\) ផ្ទៀងផ្ទាត់អង្គខាងឆ្វេងតែមិនផ្ទៀងផ្ទាត់អង្គខាងស្តាំ (\(1 \iff 0 = 0\))។
ខ. \(x + 2 = 5 \iff x = 3\) ៖ ពិត (P) ព្រោះសមីការទាំងពីរសមមូលគ្នាទាំងស្រុងលើ \(\mathbb{R}\)។
គ. «ត្រីកោណកែង \(\iff\) ផលបូកមុំពីរទៀតស្មើ \(90^\circ\)» ៖ ពិត (P) ព្រោះផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណស្មើ \(180^\circ\) កាលណាមុំមួយកែង (\(90^\circ\)) មុំពីរទៀតត្រូវតែមានផលបូកស្មើ \(90^\circ\) ជានិច្ច។
ឃ. «\(2\) ជាចំនួនគូ \(\iff 2\) ជាចំនួនបឋម» ៖ ពិត (P) ព្រោះសំណើទាំងពីរជាសំណើពិតស្របគ្នា (\(1 \iff 1 = 1\))។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \land q) \implies p\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់ \((p \land q) \implies p\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) | \((p \land q) \implies p\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
គ្រប់បន្ទាត់ក្នុងតារាងសុទ្ធតែទទួលបានតម្លៃពិត \(1\) ជានិច្ច ហេតុនេះកន្សោមនេះជា សច្ចភាព (Tautology)។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \(p \implies (p \lor q)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់ \(p \implies (p \lor q)\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) | \(p \implies (p \lor q)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
កន្សោមផ្តល់តម្លៃ \(1\) គ្រប់ករណី ដូចនេះវាជា សច្ចភាព (Tautology)។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \implies q) \land p \implies q\) (វិធាន Modus Ponens)។
មើលដំណោះស្រាយ
វិធាន Modus Ponens ៖ \([(p \implies q) \land p] \implies q\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(p \implies q\) | \((p \implies q) \land p\) | វិធាន MP |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
ជួរឈរចុងក្រោយមានតម្លៃពិត \(1\) គ្រប់បន្ទាត់ នាំឱ្យវិធាន Modus Ponens ជាសច្ចភាព។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \implies q) \land \bar{q} \implies \bar{p}\) (វិធាន Modus Tollens)។
មើលដំណោះស្រាយ
វិធាន Modus Tollens ៖ \([(p \implies q) \land \bar{q}] \implies \bar{p}\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(\bar{p}\) | \(\bar{q}\) | \(p \implies q\) | \((p \implies q) \land \bar{q}\) | វិធាន MT |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ជួរឈរចុងក្រោយទទួលបាន \(1\) គ្រប់បន្ទាត់ នាំឱ្យវិធាន Modus Tollens ជាសច្ចភាព។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \lor q) \land \bar{p} \implies q\)។
មើលដំណោះស្រាយ
Disjunctive Syllogism ៖ \([(p \lor q) \land \bar{p}] \implies q\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(\bar{p}\) | \(p \lor q\) | \((p \lor q) \land \bar{p}\) | លទ្ធផល |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
គ្រប់ករណីសុទ្ធតែពិត ហេតុនេះជាសច្ចភាព។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \implies q) \land (q \implies r) \implies (p \implies r)\) (លក្ខណៈឆ្លង)។
មើលដំណោះស្រាយ
Hypothetical Syllogism (លក្ខណៈឆ្លង) ៖
\([(p \implies q) \land (q \implies r)] \implies (p \implies r)\) ៖
| \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \Rightarrow q\) | \(q \Rightarrow r\) | និង | \(p \Rightarrow r\) | កន្សោម |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ជួរឈរចុងក្រោយមានតម្លៃ \(1\) ទាំង ៨ ករណី ដូច្នេះវាជាសច្ចភាព។
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់កន្សោមតក្កវិទ្យា ៖ \((p \land \bar{p})\) និងបញ្ជាក់ថាវាជាវិសមភាពតក្កវិទ្យា (Contradiction)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់ \((p \land \bar{p})\) ៖
| \(p\) | \(\bar{p}\) | \(p \land \bar{p}\) |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
ដោយសារគ្រប់បន្ទាត់សុទ្ធតែមិនពិត (\(0\)) ជានិច្ច ហេតុនេះកន្សោម \(p \land \bar{p}\) គឺជា វិសមភាពតក្កវិទ្យា (Contradiction)។
បញ្ជាក់ថាកន្សោមខាងក្រោមជាសច្ចភាព (Tautology) ៖ \(p \lor \bar{p}\) (ច្បាប់កណ្តាលមិនរាប់បញ្ចូល)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់តារាងភាពពិតសម្រាប់ \(p \lor \bar{p}\) (ច្បាប់កណ្តាលមិនរាប់បញ្ចូល) ៖
| \(p\) | \(\bar{p}\) | \(p \lor \bar{p}\) |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
កន្សោមតែងតែពិត (\(1\)) ជានិច្ចគ្រប់ករណី ហេតុនេះ \(p \lor \bar{p}\) ជា សច្ចភាព (Tautology)។
បង្ហាញថាកន្សោម \(p \implies q\) សមមូលនឹង \(\bar{p} \lor q\) ដោយប្រើតារាងភាពពិត។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញថា \(p \implies q \equiv \bar{p} \lor q\) ដោយតារាងភាពពិត ៖
| \(p\) | \(q\) | \(\bar{p}\) | \(p \implies q\) | \(\bar{p} \lor q\) | សមមូល |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ជួរឈរទី ៤ និងទី ៥ មានតម្លៃពិតដូចគ្នាបេះបិទគ្រប់បន្ទាត់ នាំឱ្យសមភាពតក្កវិទ្យា \(p \implies q \equiv \bar{p} \lor q\) ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។
បង្ហាញថាកន្សោម \(\overline{p \implies q}\) សមមូលនឹង \(p \land \bar{q}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញថា \(\overline{p \implies q} \equiv p \land \bar{q}\) ៖
តាមសមមូលតក្កវិទ្យាក្នុងលំហាត់ទី ២៨ គេមាន ៖
\(p \implies q \equiv \bar{p} \lor q\)។
បំពាក់បដិសេធលើអង្គទាំងសងខាង ៖
\(\overline{p \implies q} \equiv \overline{\bar{p} \lor q}\)។
អនុវត្តច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{A \lor B} \equiv \bar{A} \land \bar{B}\) ៖
\(\overline{\bar{p} \lor q} \equiv \bar{\bar{p}} \land \bar{q}\)។
ដោយសារ \(\bar{\bar{p}} \equiv p\) (បដិសេធពីរដងត្រឡប់ជាដើម) គេទាញបាន ៖
\(\overline{p \implies q} \equiv p \land \bar{q}\) ពិត។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ ៖ «បើមេឃភ្លៀង នោះផ្លូវសើម»។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ «បើមេឃភ្លៀង (\(p\)) នោះផ្លូវសើម (\(q\))»។
តាមរូបមន្តបដិសេធ \(\overline{p \implies q} \equiv p \land \bar{q}\) ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖
«មេឃភ្លៀង ប៉ុន្តែផ្លូវមិនសើមទេ»។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ ៖ «បើ \(x > 0\) នោះ \(x^2 > 0\)»។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ «បើ \(x > 0\) (\(p\)) នោះ \(x^2 > 0\) (\(q\))»។
តាមរូបមន្តបដិសេធ \(\overline{p \implies q} \equiv p \land \bar{q}\) ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖
«\(x > 0\) និង \(x^2 \leq 0\)»។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើមានបរិមាណករ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0\) ៖
ពិត (P) ព្រោះការ៉េនៃគ្រប់ចំនួនពិត (វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬសូន្យ) តែងតែធំជាង ឬស្មើ \(0\) ជានិច្ច។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 > 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 > 0\) ៖
មិនពិត (F) ព្រោះចំពោះ \(x = 0 \in \mathbb{R}\) នោះ \(0^2 = 0 \not> 0\) (មិនធំជាងដាច់ខាតពីសូន្យទេ)។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = 2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = 2\) ៖
ពិត (P) ព្រោះមានចំនួនពិត \(x = \sqrt{2} \in \mathbb{R}\) (ឬ \(x = -\sqrt{2} \in \mathbb{R}\)) ដែល \((\pm\sqrt{2})^2 = 2\) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ \(\exists x \in \mathbb{Q},\; x^2 = 2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\exists x \in \mathbb{Q},\; x^2 = 2\) ៖
មិនពិត (F) ព្រោះឫសនៃសមីការ \(x^2 = 2\) គឺ \(x = \pm\sqrt{2}\) ដែលជាចំនួនអសនិទាន មិនអាចជាចំនួនសនិទានបានឡើយ (\(\pm\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\))។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ \(\forall n \in \mathbb{N},\; 2n + 1\) ជាចំនួនសេស។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\forall n \in \mathbb{N},\; 2n + 1\) ជាចំនួនសេស ៖
ពិត (P) ព្រោះចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) កន្សោម \(2n\) ចែកដាច់នឹង \(2\) ជានិច្ច (ជាចំនួនគូ) នាំឱ្យ \(2n + 1\) មិនអាចចែកដាច់នឹង \(2\) ឡើយ ពោលគឺវាជាចំនួនសេសជានិច្ច។
បញ្ជាក់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើ \(\exists n \in \mathbb{N},\; n^2 + n\) ជាចំនួនសេស។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើ \(\exists n \in \mathbb{N},\; n^2 + n\) ជាចំនួនសេស ៖
មិនពិត (F) ព្រោះ \(n^2 + n = n(n + 1)\) គឺជាផលគុណនៃពីរចំនួនគត់ជាប់គ្នា ដែលតែងតែមានកត្តាមួយជាចំនួនគូជានិច្ច ហេតុនេះផលគុណ \(n(n+1)\) ត្រូវតែជាចំនួនគូជានិច្ចចំពោះគ្រប់ \(n \in \mathbb{N}\) (គ្មាន \(n\) ណាធ្វើឱ្យចេញចំនួនសេសបានឡើយ)។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 > 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 > 0\)។
តាមវិធានបដិសេធនៃបរិមាណករសកល \(\overline{\forall x, P(x)} \equiv \exists x, \overline{P(x)}\) ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖ \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 \leq 0\)។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 - 4 = 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 - 4 = 0\)។
តាមវិធានបដិសេធនៃបរិមាណករអត្ថិភាព \(\overline{\exists x, P(x)} \equiv \forall x, \overline{P(x)}\) ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 - 4 \neq 0\)។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x > 2 \implies x^2 > 4\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ \(\forall x \in \mathbb{R},\; (x > 2 \implies x^2 > 4)\)។
ដោយសារបដិសេធនៃ \(p \implies q\) គឺ \(p \land \bar{q}\) គេបាន ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖ \(\exists x \in \mathbb{R},\; (x > 2 \land x^2 \leq 4)\)។
សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើ \(\exists x \in \mathbb{N},\; x\) ចែកដាច់នឹង \(3\) និង \(5\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណើដើម ៖ \(\exists x \in \mathbb{N},\; (x \vdots 3 \land x \vdots 5)\)។
តាមច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ បដិសេធនៃ «\(A\) និង \(B\)» គឺ «មិន \(A\) ឬ មិន \(B\)» ៖
សំណើបដិសេធគឺ ៖
\(\forall x \in \mathbb{N},\; (x \) មិនចែកដាច់នឹង \( 3 \lor x \) មិនចែកដាច់នឹង \( 5)\)។
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំង (Counterexample) បង្ហាញថាសំណើ «គ្រប់ចំនួនបឋមជាចំនួនសេស» មិនពិត។
មើលដំណោះស្រាយ
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំងបង្ហាញថាសំណើ «គ្រប់ចំនួនបឋមជាចំនួនសេស» មិនពិត ៖
ឧទាហរណ៍ប្រឆាំង ៖ ជ្រើសរើសយកលេខ \(2\)។
- \(2\) ជាចំនួនបឋមពិតប្រាកដ (មានតួចែកវិជ្ជមានតែពីរគឺ \(1\) និង \(2\))។
- ប៉ុន្តែលេខ \(2\) ជាចំនួនគូ មិនមែនជាចំនួនសេសឡើយ។
ដូច្នេះ វត្តមាននៃលេខ \(2\) បញ្ជាក់ថាសំណើខាងលើមិនពិត។
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំងបង្ហាញថាសំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 > x\) មិនពិត។
មើលដំណោះស្រាយ
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំងចំពោះសំណើ \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 > x\) ៖
ឧទាហរណ៍ប្រឆាំង ៖ ជ្រើសរើសយក \(x = \dfrac{1}{2} \in \mathbb{R}\)។
គណនាការ៉េ ៖ \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)។
សង្កេតឃើញថា \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\) ពោលគឺ \(x^2 \not> x\)។
(ឬយក \(x = 0 \implies 0^2 = 0 \not> 0\) ឬ \(x = 1 \implies 1^2 = 1 \not> 1\))។
ដូចនេះ សំណើខាងលើមិនពិត។
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំងបង្ហាញថាសំណើ \(\forall a, b \in \mathbb{R},\; |a + b| = |a| + |b|\) មិនពិត។
មើលដំណោះស្រាយ
រកឧទាហរណ៍ប្រឆាំងចំពោះ \(\forall a, b \in \mathbb{R},\; |a + b| = |a| + |b|\) ៖
ឧទាហរណ៍ប្រឆាំង ៖ ជ្រើសរើសយក \(a = 3\) និង \(b = -5\)។
- អង្គខាងឆ្វេង ៖ \(|a + b| = |3 + (-5)| = |-2| = 2\)។
- អង្គខាងស្តាំ ៖ \(|a| + |b| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8\)។
ដោយ \(2 \neq 8\) នាំឱ្យសមភាពមិនពិតជានិច្ចឡើយ (វាពិតលុះត្រាតែ \(a\) និង \(b\) មានសញ្ញាដូចគ្នា ពោលគឺ \(ab \geq 0\))។
ស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយ (Proof by Contradiction) ៖ បើ \(3n + 2\) សេស នោះ \(n\) សេស (\(n \in \mathbb{Z}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយ ៖ «បើ \(3n + 2\) សេស នោះ \(n\) សេស (\(n \in \mathbb{Z}\))» ៖
- សម្មតិកម្មផ្ទុយ ៖ សន្មតថា \(n\) មិនមែនជាចំនួនសេស ពោលគឺ \(n\) ជាចំនួនគូ។
- តាមនិយមន័យចំនួនគូ មានចំនួនគត់ \(k \in \mathbb{Z}\) ដែល \(n = 2k\)។
- ជំនួស \(n = 2k\) ចូលទៅក្នុងកន្សោម \(3n + 2\) ៖
\(3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)\)។
- ដោយ \(k \in \mathbb{Z} \implies 3k + 1 \in \mathbb{Z}\) នាំឱ្យ \(3n + 2 = 2m\) (\(m = 3k+1\)) គឺជាចំនួនគត់គូ។
- លទ្ធផលនេះផ្ទុយស្រឡះពីបម្រាប់ដើមដែលថា \(3n + 2\) ជាចំនួនសេស!
- ដូចនេះ ការសន្មតផ្ទុយមិនត្រឹមត្រូវឡើយ ពោលគឺ \(n\) ត្រូវតែជាចំនួនសេស។
ស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយ ៖ បើ \(n^2\) គូ នោះ \(n\) គូ (\(n \in \mathbb{Z}\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទុយ ៖ «បើ \(n^2\) គូ នោះ \(n\) គូ (\(n \in \mathbb{Z}\))» ៖
- សម្មតិកម្មផ្ទុយ ៖ សន្មតថា \(n\) ជាចំនួនសេស។
- តាមនិយមន័យចំនួនសេស មាន \(k \in \mathbb{Z}\) ដែល \(n = 2k + 1\)។
- គណនាការ៉េនៃ \(n\) ៖
\(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)។
- តាង \(m = 2k^2 + 2k \in \mathbb{Z}\) គេបាន \(n^2 = 2m + 1\) ដែលជាទម្រង់នៃចំនួនសេស។
- លទ្ធផលនេះផ្ទុយពីបម្រាប់ដែលកំណត់ថា \(n^2\) ជាចំនួនគូ!
- ដូចនេះ ការសន្មតមិនពិត នាំឱ្យ \(n\) ត្រូវតែជាចំនួនគូ។
លំហាត់ PISA - ការវិភាគសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៖ ក្នុងសវនាការមួយ ជនសង្ស័យបីនាក់ ក, ខ, និង គ ផ្តល់ចម្លើយដូចតទៅ ៖
ក ៖ «ខ ជាចោរ»
ខ ៖ «គ ជាចោរ»
គ ៖ «ខ្ញុំមិនមែនជាចោរទេ»
បើដឹងថាមានតែមនុស្សម្នាក់គត់និយាយពិត និងមានចោរតែម្នាក់គត់ តើនរណាជាចោរពិតប្រាកដ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការវិភាគសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៖
ចម្លើយ ៖ ក ៖ «ខ ជាចោរ», ខ ៖ «គ ជាចោរ», គ ៖ «ខ្ញុំមិនមែនជាចោរទេ»។
បម្រាប់ ៖ មានមនុស្សម្នាក់គត់និយាយពិត និងមានចោរតែម្នាក់គត់។
យើងបង្កើតតារាងវិភាគគ្រប់លទ្ធភាពនៃអ្នកជាចោរ ៖
| បើចោរជា | សម្តី ក | សម្តី ខ | សម្តី គ | ចំនួនអ្នកពិត |
|---|---|---|---|---|
| ក | 0 | 0 | 1 | 1 នាក់ (គ ពិត) |
| ខ | 1 | 0 | 1 | 2 នាក់ (ផ្ទុយបម្រាប់) |
| គ | 0 | 1 | 0 | 1 នាក់ (ខ ពិត) |
- បើ ខ ជាចោរ \(\implies\) ទាំង ក និង គ និយាយពិត (មាន ២ នាក់និយាយពិត ផ្ទុយពីបម្រាប់)។
- បើ ក ជាចោរ \(\implies\) មានតែ គ ម្នាក់គត់និយាយពិត។
- បើ គ ជាចោរ \(\implies\) មានតែ ខ ម្នាក់គត់និយាយពិត (ហើយ គ និយាយកុហក)។
ប្រសិនបើសន្មតតាមគោលការណ៍ទូទៅនៃសំណួរតក្កវិទ្យាតុលាការ ដែលចោរមិនដែលសារភាពខ្លួនឯង និងតែងកុហក នោះ គ ជាចោរពិតប្រាកដ (ខ និយាយពិត) ឬផ្អែកតាមការផ្ទៀងផ្ទាត់តក្កវិទ្យា ចោរគឺ គ (ឬ ក)។
លំហាត់ PISA - សៀគ្វីអគ្គិសនីតក្កវិទ្យា ៖ អំពូលភ្លើងមួយត្រូវភ្ជាប់ទៅនឹងកុងតាក់ពីរ \(p\) និង \(q\)។
បើកុងតាក់ទាំងពីរតជាស៊េរី តើអំពូលភ្លឺនៅពេលណា? ចូរសរសេររូបមន្តតក្កវិទ្យា។
បើកុងតាក់ទាំងពីរតជាស្រប តើអំពូលភ្លឺនៅពេលណា? ចូរសរសេររូបមន្តតក្កវិទ្យា។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - សៀគ្វីអគ្គិសនីតក្កវិទ្យា ៖
តាង \(p = 1\) (កុងតាក់ \(p\) បិទ), \(p = 0\) (កុងតាក់ \(p\) បើក)។ ដូចគ្នាសម្រាប់ \(q\)។ តាង \(L\) ជាស្ថានភាពអំពូល (\(L = 1\) អំពូលភ្លឺ, \(L = 0\) អំពូលរលត់) ៖
ក. តជាស៊េរី ៖ ចរន្តអគ្គិសនីឆ្លងកាត់បានលុះត្រាតែកុងតាក់ទាំងពីរត្រូវបានបិទព្រមគ្នា។
- អំពូលភ្លឺនៅពេលកុងតាក់ \(p\) និង \(q\) បិទព្រមគ្នា (\(p = 1\) និង \(q = 1\))។
- រូបមន្តតក្កវិទ្យា ៖ \(L = p \land q\)។
ខ. តជាស្រប ៖ ចរន្តអគ្គិសនីអាចឆ្លងកាត់តាមខ្សែណាមួយក៏បាន។
- អំពូលភ្លឺនៅពេលកុងតាក់ \(p\) ឬកុងតាក់ \(q\) យ៉ាងហោចមួយត្រូវបានបិទ។
- រូបមន្តតក្កវិទ្យា ៖ \(L = p \lor q\)។
លំហាត់ PISA - ប្រព័ន្ធសុវត្ថិភាព ៖ ប្រព័ន្ធរោទិ៍សុវត្ថិភាពមួយនឹងបន្លឺឡើងលុះត្រាតែ «ទ្វាររបងត្រូវបានបើក (\(p\)) និង ឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាចលនាដំណើរការ (\(q\))» ឬ «ប៊ូតុងអាសន្នត្រូវបានចុច (\(r\))»។ ចូរសរសេរកន្សោមតក្កវិទ្យាតំណាងឱ្យលក្ខខណ្ឌដែលប្រព័ន្ធរោទិ៍ដំណើរការ។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ប្រព័ន្ធសុវត្ថិភាព ៖
តាងសំណើផ្សំ ៖
- \(p\) ៖ «ទ្វាររបងត្រូវបានបើក»
- \(q\) ៖ «ឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាចលនាដំណើរការ»
- \(r\) ៖ «ប៊ូតុងអាសន្នត្រូវបានចុច»
- \(S\) ៖ «ប្រព័ន្ធរោទិ៍សុវត្ថិភាពបន្លឺឡើង»
តាមលក្ខខណ្ឌប្រព័ន្ធ ប្រព័ន្ធរោទិ៍ដំណើរការកាលណា (\(p\) និង \(q\)) ឬ \(r\) ផ្ទៀងផ្ទាត់។
កន្សោមតក្កវិទ្យាតំណាងឱ្យលក្ខខណ្ឌដំណើរការគឺ ៖
\(S = (p \land q) \lor r\)។
(ប្រព័ន្ធនឹងបន្លឺសំឡេងរោទិ៍កាលណា \(S = 1\))។
លំហាត់ PISA - ការត្រួតពិនិត្យកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ ៖ កម្មវិធីមួយអនុញ្ញាតឱ្យចូលប្រើប្រាស់បាន លុះត្រាតែលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមពិត ៖ \((\) Password ត្រឹមត្រូវ \( \land \) គណនីសកម្ម \() \lor \) មានសិទ្ធិជា Admin ។ ប្រសិនបើអ្នកប្រើប្រាស់ម្នាក់វាយ Password ខុស ប៉ុន្តែគាត់មានសិទ្ធិជា Admin តើប្រព័ន្ធអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ចូលប្រើប្រាស់ដែរឬទេ? ចូរពន្យល់ដោយប្រើតក្កវិទ្យា។
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការត្រួតពិនិត្យកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ ៖
លក្ខខណ្ឌអនុញ្ញាតចូលប្រើប្រាស់ ៖
\(\text{Access} = (P \land A) \lor \text{Admin}\) ដែល ៖
- \(P\) ៖ Password ត្រឹមត្រូវ
- \(A\) ៖ គណនីសកម្ម
- \(\text{Admin}\) ៖ មានសិទ្ធិជា Admin
តាមបម្រាប់ ៖
- អ្នកប្រើប្រាស់វាយ Password ខុស \(\implies P = 0\) (មិនពិត)។
- គាត់មានសិទ្ធិជា Admin \(\implies \text{Admin} = 1\) (ពិត)។
ជំនួសតម្លៃភាពពិតចូលកន្សោមតក្កវិទ្យា ៖
\(\text{Access} = (0 \land A) \lor 1 = 0 \lor 1 = \) 1 (ពិត) ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ ប្រព័ន្ធនៅតែអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ចូលប្រើប្រាស់បានដដែល ពីព្រោះឈ្នាប់ «ឬ» (\(\lor\)) ជាមួយសំណើ Admin ដ៏ពិត ធ្វើឱ្យកន្សោមទាំងមូលមានតម្លៃពិតជានិច្ច ទោះបីជាការផ្ទៀងផ្ទាត់ Password មិនពិតក៏ដោយ។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ២ តក្កវិទ្យា សំណុំ និងចំនួន — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី