ទ្រឹស្ដីសំណុំ (Set Theory) ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅចុងសតវត្សទី១៩ ដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ដ៏ឆ្នើមលោក ចច កង់ទ័រ (Georg Cantor, ១៨៤៥–១៩១៨)។ លោកបានបង្កើតនិយមន័យនៃសំណុំ និងបានណែនាំគំនិតបដិវត្តន៍អំពី «អនន្តភាព» (Infinity) ដែលបានបង្ហាញថាសំណុំអនន្តមួយចំនួនមានទំហំធំជាងសំណុំអនន្តដទៃទៀត។
ទោះបីជាដំបូងទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានជំទាស់ដោយគណិតវិទូមួយចំនួនក៏ដោយ ក្រោយមកលោក ដាវីឌ ហ៊ីលបឺត (David Hilbert) បានប្រកាសយ៉ាងឱឡារិកថា៖ «គ្មាននរណាម្នាក់អាចបណ្តេញយើងចេញពីឋានសួគ៌ដែលកង់ទ័របានបង្កើតឡើងនោះឡើយ!»។ សព្វថ្ងៃនេះ ទ្រឹស្ដីសំណុំគឺជាភាសាសកល និងជាគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាគ្រប់ផ្នែក ដូចជា ធរណីមាត្រ ពីជគណិត ការវិភាគ និងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានទិន្នន័យ (Relational Database) ក្នុងបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានវិទ្យា។
ក្នុងវិស្វកម្មខ្មែរបុរាណ គោលគំនិតនៃការចាត់ថ្នាក់ និងការបែងចែកក្រុមវត្ថុធាតុ (ដូចជាថ្មភក់ ថ្មបាយក្រៀម ប្រភេទឈើ) និងរចនាសម្ព័ន្ធឋានានុក្រមកងទ័ពនាសម័យអង្គរ សុទ្ធសឹងឆ្លុះបញ្ចាំងពីការអនុវត្តជាក់ស្ដែងនៃទ្រឹស្ដីសំណុំក្នុងសង្គមខ្មែរ។
រំលឹកចំណេះដឹងពីថ្នាក់ក្រោម៖
១. ការស្គាល់ចំនួនគត់ ចំនួនសនិទាន និងចំនួនទសភាគ។
២. ការប្រើប្រាស់វង់ក្រចក និងសញ្ញាផ្សេងៗក្នុងការគណនា។
សញ្ញាណនៃសំណុំ
សំណុំកំណត់តាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ
សុខបានជ្រើសរើសអក្សរ \(m, a, t, h, s\) ដើម្បីសរសេរពាក្យ maths ។ អក្សរ \(m, a, t, h, s\) អាចបង្កើតបានជាសំណុំមួយ ។ បើគេតាង \(A\) ជាសំណុំខាងលើនោះ គេកំណត់សរសេរ \(A = \{m, a, t, h, s\}\) ។
គេតាងឈ្មោះនៃសំណុំដោយអក្សរធំ ដូចជា \(A, B, C, D, F, ...\) ។ អក្សរនីមួយៗនៃសំណុំ \(A\) ហៅថា
ធាតុនៃ \(A\) ។
គេបានកំណត់សំណុំ \(A = \{m, a, t, h, s\}\) ដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុទាំងអស់នៃ \(A\) ។
គេបាន \(a\) ជាធាតុមួយនៃ \(A\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(a \in A\) (អានថា \(a\) ជាធាតុនៃ \(A\) ) ។ ផ្ទុយទៅវិញ \(b\) មិនមែនជាធាតុនៃ \(A\) ទេ នោះគេកំណត់សរសេរ \(b \notin A\) (អានថា \(b\) មិនមែនជាធាតុនៃ \(A\) ) ។ គេបាន សំណុំកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ ព្រោះគេអាចបញ្ជាក់ថា វត្ថុណាជាធាតុនៃ \(A\) ឬមិនមែនជាធាតុនៃ \(A\) ។
តាមរបៀបដូចគ្នានេះ បើ \(D\) ជាសំណុំនៃថ្ងៃប្រចាំសប្តាហ៍ នោះគេបាន៖
\(D = \{\) ចន្ទ អង្គារ ពុធ ព្រហស្បតិ៍ សុក្រ សៅរ៍ និងអាទិត្យ \(\}\) ។
គេអាចតាងធាតុទាំងអស់នៃសំណុំដោយចំណុចនៅខ្សែបិទជិតហៅថា
ដ្យាក្រាមវ៉ែន (Venn Diagram) ។ ចំពោះសំណុំ \(A\) ខាងលើគេអាចតាងដ្យាក្រាមវ៉ែនដូចខាងស្ដាំ ។
សំណុំគឺជាបណ្ដុំនៃវត្ថុ ដែលកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ ។ ចំនួនធាតុនៃសំណុំ \(A\) គេកំណត់សរសេរដោយ \(n(A)\) ។
សម្គាល់ សំណុំដែលគ្មានធាតុគេហៅថាសំណុំទទេ ហើយតាងដោយ \(\varnothing\) ឬ \(\{ \}\) ។ គេបាន \(n(\varnothing) = 0\) ។ ធាតុនីមួយៗនៃសំណុំមិនមានភាពច្រំដែល មានន័យថាធាតុនីមួយៗនៃសំណុំត្រូវតែខុសៗគ្នា ។
កំណត់សំណុំខាងក្រោម ៖
| ក. កំណត់សំណុំតួចែកវិជ្ជមាននៃ \(6\) ។ | ខ. កំណត់សំណុំចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ដែលធំជាង \(-3\) តែតូចជាង \(3\) ។ |
ក. សំណុំតួចែកវិជ្ជមាននៃ \(6\) តាងដោយ \(B = \{1, 2, 3, 6\}\) ។
ខ. សំណុំចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ដែលធំជាង \(-3\) តែតូចជាង \(3\) តាងដោយ \(C = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) ។
កំណត់សំណុំដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ កំណត់ចំនួនធាតុ និងគូសដ្យាក្រាមវ៉ែនតាងសំណុំនីមួយៗខាងក្រោម៖
ក. សំណុំនៃចំនួនគត់គូវិជ្ជមានតូចជាងឬស្មើ \(10\) ។
ខ. សំណុំនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិដែលតូចជាង \(8\) តែធំជាង ឬស្មើ \(1\) ។
សំណុំកំណត់តាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ
គេមានសំណុំពីរ \(E\) និង \(F\) ដែលកំណត់ដោយ
\(E = \{x|x \) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានតូចជាង \( 10\}\)
\(F = \{y|y^2 - 4 = 0\}\) ។
គេសង្កេតឃើញថា \(x\) និង \(y\) ជាធាតុនៃសំណុំ \(E\) និង \(F\) រៀងគ្នា ដែលកំណត់ដោយលក្ខណៈរួមនៃធាតុ "\(x\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានតូចជាង 10" និង "\(y^2 - 4 = 0\)" រៀងគ្នា ។ គេថាសំណុំ \(E\) និង \(F\) កំណត់តាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ ។
សំណុំនៃ \(x\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់តាមលក្ខខណ្ឌដែលឱ្យ គឺកំណត់ដោយ \(\{x|x \) ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដែលឱ្យ \(\}\) ។
កំណត់សំណុំខាងក្រោមតាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ និងតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ ហើយបញ្ជាក់ចំនួនធាតុរបស់វា ៖
| ក. សំណុំចំនួនបឋមតូចជាង ឬស្មើនឹង \(23\) | ខ. សំណុំចំនួនដែលជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \(20\) |
| គ. សំណុំចំនួនគត់សេសដែលចែកដាច់នឹង \(2\) ។ |
ក. \(A = \{x \mid x \) ជាចំនួនបឋមតូចជាងឬស្មើនឹង \( 23\}\) (កំណត់សំណុំតាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ)
\(A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}\) (កំណត់សំណុំតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ)
គេបាន \(n(A) = 9\) ។
ខ. \(B = \{x \mid x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 20\}\) (តាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ)
\(B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\) (តាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ)
គេបាន \(n(B) = 6\) ។
គ. \(C = \{x \mid x \) ជាចំនួនគត់សេសដែលចែកដាច់នឹង \( 2\}\) (តាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ)
\(C = \varnothing\) ព្រោះចំនួនសេសចែកមិនដាច់នឹង \(2\) ទេ (ដោយ \(C\) ជាសំណុំទទេ នោះគេមិនអាចកំណត់វាតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុទេ)
គេបាន \(n(C) = 0\) ។
កំណត់សំណុំតាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ និងតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ ហើយកំណត់ចំនួនធាតុនៃសំណុំខាងក្រោម ៖
ក. សំណុំចំនួនគត់សេសវិជ្ជមានតូចជាង ឬស្មើ \(10\) ។
ខ. សំណុំចម្លើយនៃសមីការ \((x - 1)(x - 3) = 0\) ។
គ. សំណុំចំនួនគត់សេសវិជ្ជមានដែលតូចជាង \(20\) និងធំជាង \(2\) ។
សំណុំរាប់អស់និងសំណុំអនន្ត
គេមានសំណុំ \(A = \{x|x^2 = 4\} = \{2, -2\}\) ។
គេបាន \(n(A) = 2\) ជាចំនួនកំណត់ដោយ \(A\) មានចំនួនធាតុជាចំនួនកំណត់នោះ គេថា \(A\) ជាសំណុំរាប់អស់ ។
សំណុំ \(B = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន \(\} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}\) មានចំនួនធាតុច្រើនរាប់មិនអស់ នោះគេថា \(B\) ជាសំណុំអនន្ត ។
សំណុំចែកចេញជាពីរប្រភេទគឺ
1. សំណុំរាប់អស់ គឺជាសំណុំដែលមានចំនួនធាតុ ជាចំនួនកំណត់ ។
2. សំណុំអនន្ត គឺជាសំណុំដែលមានចំនួនធាតុច្រើនរាប់មិនអស់ ។
កំណត់ប្រភេទនៃសំណុំដូចខាងក្រោម៖
ក. សំណុំ \(C = \{x|x^2 - 16 = 0\}\) ។
ខ. សំណុំ \(D = \{x|x > 0, x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(\}\) ។
គ. \(\{y|y \) ចំនួនគត់សេសវិជ្ជមាន \(\}\) ។
ឃ. \(\{2n|0 \leq n \leq 3, n \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប \(\}\) ។
សំណុំដែលមានធាតុមិនមែនជាចំនួន
គេបានសិក្សាសំណុំដែលមានធាតុជាចំនួនរួចហើយ ។ តើអាចមានសំណុំដែលមានធាតុមិនមែនជាចំនួនដែរឬទេ ?
រង្វង់ដែលមានផ្ចិត \(O\) និងមានកាំ \(r\) គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅលើប្លង់ដែលមានចម្ងាយស្មើ \(r\) ពីចំណុច \(O\) ហើយកំណត់ដោយ \(\{P|OP = r\}\) ។ សំណុំចំណុចនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃរង្វង់នេះកំណត់ដោយ \(\{P|OP < r\}\) ហើយសំណុំចំណុចនៅផ្នែកខាងក្រៅនៃរង្វង់នេះកំណត់ដោយ \(\{P|OP > r\}\) ។
ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = ax + b\) គឺជាសំណុំចំណុច \((x, y)\) ទាំងអស់ដែលមានកូអរដោនេ \(x\) និង \(y\) ជាចំនួនពិតហើយផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ \(y = ax + b\) ។
គេកំណត់សរសេរ \(\{(x, y)|y = ax + b\}\) ។
ប្រើនិមិត្តសញ្ញាសំណុំ ដើម្បីតាងក្រាបនៃអនុគមន៍ \(y = x^2\) ។
សំណុំស្មើគ្នា
គេមានសំណុំបី \(A, B\) និង \(C\) ដែល
\(A = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបដែល \( 0 < x < 4\}\)
\(B = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ដែល \( x \leq 3\}\)
\(C = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបដែល \( 3 < x < 5\}\)
គេបាន \(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{1, 2, 3\}\) និង \(C = \{4\}\) ។
គេសង្កេតឃើញថាសំណុំ \(A\) និង \(B\) មានបញ្ជីធាតុដូចគ្នា គេថា \(A\) និង \(B\) ជាសំណុំស្មើគ្នា ។ គេកំណត់សរសេរ \(A = B\) ។ តែសំណុំ \(A\) និង \(C\) ព្រមទាំងសំណុំ \(B\) និង \(C\) មានបញ្ជីធាតុមិនដូចគ្នា គេថាសំណុំ \(A\) និង \(C\) ហើយ \(B\) និង \(C\) ជាសំណុំមិនស្មើគ្នា ។
គេកំណត់សរសេរ \(A \neq C, B \neq C\) ។
សំណុំពីរស្មើគ្នា កាលណាសំណុំទាំងពីរមានបញ្ជីធាតុដូចគ្នា ។
កំណត់សំណុំតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ និងប្រៀបធៀបសំណុំខាងក្រោម៖
\(A = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( 3x \leq 12\}\)
\(B = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( 1 \leq x \leq 4\}\)
\(C = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( x^2 \leq 36\}\) ។
ចំពោះសំណុំ \(A\) គេបាន \(3x \leq 12 \Leftrightarrow x \leq 4\) ដោយ \(x\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន
នោះគេអាចសរសេរបញ្ជីធាតុនៃសំណុំ \(A\) និង \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) ។
ចំពោះសំណុំ \(B\) គេបាន \(B = \{1, 2, 3, 4\}\)
ចំពោះសំណុំ \(C\) គេបាន \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
ដូច្នេះ គេបាន \(A = B, A \neq C \) និង \( B \neq C\) ។
កំណត់សំណុំតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ និងប្រៀបធៀបសំណុំខាងក្រោម៖
\(D = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( 5x \leq 16\}\)
\(E = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( \sqrt{x} \leq 2\}\)
\(F = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( x^2 < 25\}\) ។
សំណុំរង
គេមានពីរសំណុំ \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{a, b, 1, 2, 3, 4\}\) និង \(C = \{a, b, 1, 2, 3, 4\}\) ។ គេឃើញថាគ្រប់ធាតុនៃសំណុំ \(A\) គឺជាធាតុរបស់សំណុំ \(B\) គេកំណត់សរសេរ \(x \in A \Rightarrow x \in B\) នោះ គេថាសំណុំ \(A\) ជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) ។
គេកំណត់សរសេរ \(A \subseteq B\) ។
ដូចគ្នាដែរគ្រប់ធាតុនៃសំណុំ \(C\) ជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) គេកំណត់សរសេរ \(x \in C \Rightarrow x \in B\) នោះគេថាសំណុំ \(C\) ជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) គេកំណត់សរសេរ \(C \subseteq B\) ។
\(A\) ជាសំណុំរងនៃ \(B\) លុះត្រាតែគ្រប់ \(x \in A\) នោះ \(x \in B\)
\(A \subseteq B \Leftrightarrow \) គ្រប់ \( x \in A \Rightarrow x \in B\) ។
ដូច្នេះ សំណុំ \(A\) និងសំណុំ \(C\) សុទ្ធតែជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) ប៉ុន្តែសំណុំទាំងពីរនេះមានចំនួនធាតុខុសគ្នា ហើយ \(n(A) = 4 < n(B)\) និង \(n(C) = 6 = n(B)\) ។ ដោយ \(n(A) < n(B)\) នោះគេហៅថា \(A\) ជាសំណុំរងផ្ទាល់នៃសំណុំ \(B\) ។
បើ \(A\) ជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) មានន័យថា \(A \subseteq B\) នោះ \(n(A) \leq n(B)\) ។
បើ \(A\) ជាសំណុំរងផ្ទាល់នៃសំណុំ \(B\) មានន័យថា \(A \subset B\) នោះ \(n(A) < n(B)\) ។
សម្គាល់ ចំពោះគ្រប់សំណុំ \(A\) គេបាន \(A \subseteq A\) នោះ \(\varnothing \subseteq A\) ។ បើសំណុំ \(A\) មិនមែនជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(B\) នោះគេកំណត់សរសេរ \(A \not\subseteq B\) ។
សំណុំសកល
ឧបមាថា គេមានបីសំណុំ \(P, Q\) និង \(R\) ដូចខាងក្រោម៖
\(P = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( 3x \leq 15\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
\(Q = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( \sqrt{x} \leq 2\} = \{1, 2, 3, 4\}\)
\(R = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន និង \( x^2 \leq 49\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) ។
បើគេកំណត់សំណុំ \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) នោះ គេបានសំណុំទាំងបីសុទ្ធតែជាសំណុំរងនៃសំណុំ \(U\) ។ សំណុំ \(U\) ហៅថា សំណុំសកល ។
សំណុំសកល គឺជាសំណុំមានគ្រប់ធាតុដែលគេបានជ្រើសរើសមកសិក្សា ។
សំណុំបំពេញ
គេមានសំណុំសកល \(U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) និងសំណុំ \(A = \{0, 1, 2, 3\}\) ។ គេអាចកំណត់បាននូវសំណុំ \(\{4, 5, 6\}\) មួយទៀតដែលគ្រប់ជារបស់វាជាធាតុរបស់ \(U\) តែមិនមែនជាធាតុរបស់សំណុំ \(A\) ។ សំណុំថ្មីនេះ ហៅថា សំណុំបំពេញនៃសំណុំ \(A\) ដែលតាងដោយ \(\overline{A}\) ។
គេបាន \(\overline{A} = \{4, 5, 6\}\) ។
\(A\) គឺជាសំណុំរងនៃសំណុំសកល \(U\) ។ សំណុំបំពេញនៃសំណុំ \(A\) គឺជាសំណុំដែលកំណត់ដោយ \(\overline{A} = \{x|x \notin A, x \in U\}\) ។
គេឱ្យសំណុំសកល \(U = \{a, b, c, 1, 2, 3, 4\}\) និងសំណុំ \(P = \{a, 1, 2\}\) ។ កំណត់សំណុំបំពេញនៃ \(P\) ។
សំណុំបំពេញនៃ \(P\) កំណត់ដោយ \(\overline{P} = \{x|x \notin P, x \in U\} = \{b, c, 3, 4\}\) ។
សង្កេត តាមឧទាហរណ៍ខាងលើនេះ គេបាន \(n(U) = 7\), \(n(P) = 3\) និង \(n(\overline{P}) = 4\)
ដូច្នេះ \(n(U) = n(P) + n(\overline{P})\) ។
បើ \(U\) គឺជាសំណុំសកល និង \(\overline{A}\) ជាសំណុំបំពេញនៃសំណុំ \(A\) នោះ \(n(\overline{A}) = n(U) - n(A)\) ។
គេឱ្យសំណុំសកល \(U = \{x|x \) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបដែល \( 0 < x \leq 11\}\) និងសំណុំរងពីរ \(A\) និង \(B\) ដែល \(A = \{x|0 < 2x < 7\}\) , \(B = \{x|0 < 2x < 20\}\) ។
ក. សរសេរសំណុំបំពេញ \(\overline{A}\) និងកំណត់ចំនួនធាតុរបស់សំណុំនោះ ។
ខ. សរសេរសំណុំបំពេញ \(\overline{B}\) និងកំណត់ចំនួនធាតុរបស់សំណុំនោះ ។
គ. ចូរបង្ហាញថា សំណើណាពិតហើយសំណើណាមិនពិត ចំពោះសំណើ \(\overline{A} \subseteq \overline{B}, \overline{B} \not\subseteq A \) និង \( A \not\subset B\) ។
មើលចម្លើយ
ក. \(\overline{A} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\), \(n(\overline{A}) = 8\)
ខ. \(\overline{B} = \{10, 11\}\), \(n(\overline{B}) = 2\)
គ. \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\) មិនពិត, \(\overline{B} \not\subseteq A\) ពិតនិង \(A \not\subset B\) មិនពិត ។
ប្រមាណវិធីលើសំណុំ
ប្រសព្វនៃសំណុំ
គេមានសំណុំពីរ
\(A = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 8\}\)
\(A = \{1, 2, 4, 8\}\) ។
\(B = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 12\}\)
\(B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) ។
គេបានសំណុំ \(\{1, 2, 4\}\) ដែលមានធាតុជាតួចែករួមរបស់ \(A\) ផងនិង \(B\) ផង ហើយដែលជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \(8\) និង \(12\) ។ គេថាសំណុំនេះជាប្រសព្វនៃសំណុំ \(A\) និង \(B\) ។
គេកំណត់សរសេរ \(A \cap B\) (អានថា \(A\) ប្រសព្វ \(B\) ) ។
គេបាន \(A \cap B = \{1, 2, 4\}\) ហើយ \(n(A \cap B) = 3\) ។
\(A \cap B = \{x|x \in A \) និង \( x \in B\}\) ចំនួនធាតុនៃ \(A \cap B\) តាងដោយ \(n(A \cap B)\) ។
គេមានពីរសំណុំ \(A = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 15\}\) និង \(B = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 30\}\) ។ កំណត់សំណុំ \(A \cap B\) និង \(n(A \cap B)\) ។
ដោយ \(A = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 15\} = \{1, 3, 5, 15\}\) និង
\(B = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 30\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}\)
គេបាន \(A \cap B = \{x|x \) ជាតួចែកវិជ្ជមាននៃ \( 15 \) និង \( 30\} = \{1, 3, 5, 15\}\)
ដូច្នេះ \(n(A \cap B) = n(A) = 4\) ។
គេមានពីរសំណុំ \(R = \{a, b, c, 2, 4, 6\}\) និង \(P = \{1, 3, 5, 7\}\) ។
កំណត់សំណុំ \(R \cap P\) និង \(n(R \cap P)\) ។
ដោយសំណុំទាំងពីរនេះគ្មានធាតុរួម នោះគេបាន \(R \cap P = \varnothing\) និង \(n(R \cap P) = 0\)
តាមឧទាហរណ៍ 2 គេបាន \(R \cap P = \varnothing\)
ដូច្នេះ ហៅសំណុំ \(R\) និង \(P\) ជាសំណុំដាច់គ្នា ។
សំណុំ \(A\) និង \(B\) ជាសំណុំដាច់គ្នា លុះត្រាតែ \(A \cap B = \varnothing\) ។
កំណត់ប្រសព្វនិងចំនួនធាតុនៃប្រសព្វ របស់គូសំណុំនីមួយៗខាងក្រោម ៖
| ក. \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) និង \(B = \{2, 4, 6\}\) | ខ. \(R = \{1, 2, 4, 8\}\) និង \(P = \{1, 3, 9\}\) |
| គ. \(C = \{1, 2, 3, 6\}\) និង \(D = \{4, 7\}\) | ឃ. \(M = \{m, a, t, h\}\) និង \(N = \{c, u, t\}\) ។ |
មើលចម្លើយ
| ក. \(A \cap B = \{2, 4\}, \; n(A \cap B) = 2\) | ខ. \(R \cap P = \{1\}, \; n(R \cap P) = 1\) |
| គ. \(C \cap D = \varnothing, \; n(C \cap D) = 0\) | ឃ. \(M \cap N = \{t\}, \; n(M \cap N) = 1\) ។ |
ប្រជុំនៃសំណុំ
គេមានពីរសំណុំ \(A = \{1, 2, 3, 6\}\) និង \(B = \{1, 2, 4, 8\}\) ។
គេអាចបង្កើតបានសំណុំ \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}\) ដែលមានធាតុជាធាតុរបស់ \(A\) តែមិនជារបស់ \(B\) ឬជាជារបស់ \(B\) តែមិនជារបស់ \(A\) ឬជាធាតុរបស់សំណុំទាំងពីរ ។ សំណុំនេះហៅថាប្រជុំនៃសំណុំ \(A\) និង \(B\) ។
គេកំណត់សរសេរ \(A \cup B\) (អានថា \(A\) ប្រជុំ \(B\) ) ។
គេបាន \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}\) ហើយ \(n(A \cup B) = 6\) ។
\(A \cup B = \{x|x \in A \) ឬ \( x \in B\}\) ចំនួនធាតុនៃ \(A \cup B\) តាងដោយ \(n(A \cup B)\) ។
សម្គាល់ \(x \in A \) ឬ \( x \in B\) មានន័យថា \(x \in A\) តែ \(x \notin B\) ឬ \(x \in B\) តែ \(x \notin A\) ឬ \(x \in A \cap B\) ។
គេមានសំណុំសកល \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) និង \(A = \{x|x \in U \) និង \( x \) ជាចំនួនគត់សេស \(\}\) ។ បង្ហាញថា \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) និង \(A \cup \overline{A} = U\) ។
ដោយ \(A = \{x|x \in U \) និង \( x \) ជាចំនួនគត់សេស \(\}\) នោះគេបាន
\(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
\(\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)
ដូច្នេះ \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) និង \(A \cup \overline{A} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} = U\) ។
ចំពោះគ្រប់សំណុំ \(A\) និងសំណុំសកល \(U\)
គេបាន \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) និង \(A \cup \overline{A} = U\) ។
គេមានពីរសំណុំ \(A = \{1, 2, 3, 6, o, p, k\}\) និង \(B = \{k, r, 1, 2, 4, 8\}\) ។
កំណត់សំណុំ \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(n(A \cap B)\) និង \(n(A \cup B)\) ។
ដោយ \(A \cap B = \{x|x \in A \) និង \( x \in B\}\)
នោះគេបាន \(A \cap B = \{1, 2, k\}\)
ម្យ៉ាងទៀត \(A \cup B = \{x|x \in A \) ឬ \( x \in B\}\)
នោះគេបាន \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, o, p, k, r\}\)
\(n(A \cap B) = 3\) ហើយ \(n(A \cup B) = 10\) ។
តាមរយៈឧទាហរណ៍នេះ គេបាន
\(n(A \cup B) = 10 = 7 + 6 - 3 = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\) ។
បើគេមានសំណុំរាប់អស់ពីរ \(A\) និង \(B\) នោះ គេបាន
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\) ។
អង្គការក្រៅរដ្ឋាភិបាលមួយបានចុះស៊ើបសួរពីចំណង់ចំណូលចិត្តសិក្សាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យានិងមុខវិជ្ជាភាសាខ្មែររបស់សិស្សចំនួន 150 នាក់នៅវិទ្យាល័យមួយក្នុងរាជធានីភ្នំពេញ ។ គេទទួលបានព័ត៌មានថា មានសិស្សចំនួន 102 នាក់ចូលចិត្តសិក្សាគណិតវិទ្យា ចំនួន 71 នាក់ចូលចិត្តសិក្សាភាសាខ្មែរនិងចំនួន 40 នាក់ចូលចិត្តសិក្សាមុខវិជ្ជាទាំងពីរ ។
ក. តើមានសិស្សចំនួនប៉ុន្មាននាក់ដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមួយប៉ុណ្ណោះ?
ខ. តើមានសិស្សចំនួនប៉ុន្មាននាក់ដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាភាសាខ្មែរមួយប៉ុណ្ណោះ?
គ. តើមានសិស្សចំនួនប៉ុន្មាននាក់ដែលចូលចិត្តសិក្សាយ៉ាងហោចណាស់មួយមុខវិជ្ជា?
ឃ. តើមានសិស្សចំនួនប៉ុន្មាននាក់ដែលមិនចូលចិត្តសិក្សាមុខវិជ្ជាទាំងពីរ?
តាង \(U\) ជាសំណុំសិស្សទាំងអស់
\(M\) ជាសំណុំសិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាគណិតវិទ្យា, \(K\) ជាសំណុំសិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាភាសាខ្មែរ ។
គេបាន \(n(M) = 102\), \(n(K) = 71\) និង \(n(M \cap K) = 40\) ។
ក. ចំនួនសិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា
\(n(M \cap \overline{K}) = n(M) - n(M \cap K) = 102 - 40 = 62\)
ដូច្នេះ សិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមានចំនួន 62 នាក់ ។
ខ. ចំនួនសិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាភាសាខ្មែរ
\(n(\overline{M} \cap K) = n(K) - n(M \cap K) = 71 - 40 = 31\) ។
ដូច្នេះ សិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាតែមុខវិជ្ជាភាសាខ្មែរមានចំនួន 31 នាក់ ។
គ. ចំនួនសិស្សដែលចូលចិត្តសិក្សាយ៉ាងហោចណាស់មួយមុខវិជ្ជា
\(n(M \cup K) = n(M) + n(K) - n(M \cap K) = 102 + 71 - 40 = 133\) ។
ដូច្នេះ សិស្សចូលចិត្តសិក្សាយ៉ាងហោចណាស់មួយមុខវិជ្ជាមានចំនួន 133 នាក់ ។
ឃ. ចំនួនសិស្សដែលមិនចូលចិត្តសិក្សាមុខវិជ្ជាទាំងពីរ
\(n(U) - n(M \cup K) = 150 - 133 = 17\)
ដូច្នេះ សិស្សដែលមិនចូលចិត្តសិក្សាមុខវិជ្ជាទាំងពីរមានចំនួន 17 នាក់ ។
តាមការសាកសួរព័ត៌មានពីសិស្សចំនួន 160 នាក់បានឱ្យដឹងថាមានសិស្សចំនួន 79 នាក់ចូលចិត្តអានសៀវភៅនៅបណ្ណាល័យ 65 នាក់ចូលចិត្តអានសៀវភៅនៅផ្ទះ និង 41 នាក់ចូលចិត្តអានសៀវភៅនៅកន្លែងទាំងពីរនេះ ។ រកចំនួនសិស្សដែលចូលចិត្តអានសៀវភៅតាមករណីដូចខាងក្រោម៖
ក. នៅបណ្ណាល័យតែម្យ៉ាងប៉ុណ្ណោះ ។
ខ. នៅផ្ទះតែម្យ៉ាងប៉ុណ្ណោះ ។
គ. នៅកន្លែងផ្សេងពីកន្លែងទាំងពីរនោះ ។
មើលចម្លើយ
ក. \(38\) នាក់ ខ. \(24\) នាក់ គ. \(57\) នាក់
លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធីលើសំណុំ
លក្ខណៈដឺម៉ហ្គាន់ (De Morgan)
ចំពោះគ្រប់ពីរសំណុំ \(A\) និង \(B\) គេបាន ៖
| ក. \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) | ខ. \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) ។ |
សម្រាយបញ្ជាក់
ក. គេបាន \(A \cup B = \{x|x \in A \) ឬ \( x \in B\}\)
\(\overline{A \cup B} = \{x|x \notin A \) និង \( x \notin B\}\)
\(\overline{A \cup B} = \{x|x \notin A\} \cap \{x|x \notin B\} = \overline{A} \cap \overline{B}\) ។ ដូច្នេះ \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) ។
ខ. តាមរបៀបដូចខាងលើដែរគេបាន \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) ។
ការបង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន៖
លក្ខណៈផ្ដុំ
គេមានបីសំណុំ \(A, B\) និង \(C\) គេបាន ៖
| ក. \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\) | ខ. \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\) ។ |
សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ការបង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន
លក្ខណៈបំបែក
គេមានបីសំណុំ \(A, B\) និង \(C\) គេបាន ៖
| ក. \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) | ខ. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) ។ |
សម្រាយបញ្ជាក់ ៖ ការបង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន
លំហាត់អនុវត្តន៍
សរសេរសំណុំខាងក្រោមដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ និងកំណត់ចំនួនធាតុ \(n\) នៃសំណុំនីមួយៗ ៖
\(A =\) សំណុំស្រៈក្នុងភាសាអង់គ្លេស
\(B =\) សំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិតូចជាង \(8\)
\(C =\) សំណុំចំនួនបឋមតូចជាង \(15\)
\(D =\) សំណុំខែក្នុងមួយឆ្នាំដែលមាន ៣០ ថ្ងៃ
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរសំណុំដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ និងរកចំនួនធាតុ \(n\) ៖
ក. \(A =\) សំណុំស្រៈក្នុងភាសាអង់គ្លេស ៖
\(A = \{a, e, i, o, u\} \implies \mathbf{n(A) = 5}\)។
ខ. \(B =\) សំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិតូចជាង \(8\) ៖
\(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \implies \mathbf{n(B) = 7}\) (បើគិតពី \(0\) គឺ \(B = \{0, 1, \dots, 7\} \implies n(B) = 8\))។
គ. \(C =\) សំណុំចំនួនបឋមតូចជាង \(15\) ៖
\(C = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\} \implies \mathbf{n(C) = 6}\)។
ឃ. \(D =\) សំណុំខែក្នុងមួយឆ្នាំដែលមាន ៣០ ថ្ងៃ ៖
\(D = \{\) មេសា \(, \) មិថុនា \(, \) កញ្ញា \(, \) វិច្ឆិកា \(\} \implies \mathbf{n(D) = 4}\)។
សរសេរសំណុំខាងក្រោមដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ ៖
\(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \leq 4\}\)
\(B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \) ជាពហុគុណនៃ \( 3 \) និង \( x \leq 18\}\)
\(C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}\)
\(D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 9\}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរសំណុំដោយរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ ៖
ក. \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \leq 4\}\) ៖
\(\mathbf{A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}}\)។
ខ. \(B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \) ជាពហុគុណនៃ \( 3 \) និង \( x \leq 18\}\) ៖
\(\mathbf{B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}}\)។
គ. \(C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}\) ៖
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \((x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2 \lor x = 3\)។
\(\implies \mathbf{C = \{2, 3\}}\)។
ឃ. \(D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 9\}\) ៖
\(x^2 \leq 9 \iff -3 \leq x \leq 3\)។ ដោយ \(x \in \mathbb{Z}\) នាំឱ្យ ៖
\(\mathbf{D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}}\)។
សរសេរសំណុំខាងក្រោមដោយបញ្ជាក់លក្ខណៈរួមនៃធាតុ ៖
\(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)
\(B = \{1, 3, 5, 7, 9, \dots\}\)
\(C = \{1, 4, 9, 16, 25\}\)
\(D = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សរសេរសំណុំដោយបញ្ជាក់លក្ខណៈរួមនៃធាតុ ៖
ក. \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) ៖
\(\mathbf{A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ជាចំនួនគូ និង } 2 \leq x \leq 10\}}\)
(ឬ \(A = \{x = 2k \mid k \in \mathbb{N}, 1 \leq k \leq 5\}\))។
ខ. \(B = \{1, 3, 5, 7, 9, \dots\}\) ៖
\(\mathbf{B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ជាចំនួនគត់សេស}\}}\)
(ឬ \(B = \{x = 2k - 1 \mid k \in \mathbb{N}^*\}\))។
គ. \(C = \{1, 4, 9, 16, 25\}\) ៖
\(\mathbf{C = \{x \in \mathbb{N} \mid x = k^2, k \in \mathbb{N}, 1 \leq k \leq 5\}}\) (ការ៉េប្រាកដនៃ ៥ ចំនួនគត់ដំបូង)។
ឃ. \(D = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) ៖
\(\mathbf{D = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 2\}}\) (ឬ \(\{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \leq 2\}\))។
កំណត់ថាតើសំណុំខាងក្រោមជាសំណុំទទេ (\(\emptyset\)) ឬមិនមែន ៖
\(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}\)
\(B = \{x \in \mathbb{N} \mid 2x + 1 = 4\}\)
\(C = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 4\}\)
\(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq x\}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌនៃសំណុំទទេ (\(\emptyset\)) ៖
ក. \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}\) ៖ ជាសំណុំទទេ (\(A = \emptyset\)) ព្រោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) នាំឱ្យ \(x^2 \geq 0 \implies x^2 + 1 \geq 1 > 0\) គ្មានចំនួនពិតណាផ្ទៀងផ្ទាត់ឡើយ។
ខ. \(B = \{x \in \mathbb{N} \mid 2x + 1 = 4\}\) ៖ ជាសំណុំទទេ (\(B = \emptyset\)) ព្រោះ \(2x = 3 \implies x = 1.5 \notin \mathbb{N}\)។
គ. \(C = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 4\} = \{-2, 2\}\) ៖ មិនមែនសំណុំទទេទេ (\(C \neq \emptyset\)) ព្រោះមានធាតុពីរ។
ឃ. \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq x\}\) ៖ ជាសំណុំទទេ (\(D = \emptyset\)) ព្រោះតាមលក្ខណៈឆ្លុះ ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\) គឺ \(x = x\) ជានិច្ច គ្មាន \(x\) ណាខុសពីខ្លួនឯងឡើយ។
បញ្ជាក់ថាតើសំណុំខាងក្រោមជាសំណុំកម្រិត ឬសំណុំអនន្ត ៖
សំណុំចំនួនគត់គូទាំងអស់
សំណុំចំនួនសិស្សក្នុងសាលារៀនរបស់អ្នក
សំណុំចំនួនទសភាគនៅចន្លោះ \(0\) និង \(1\)
សំណុំខ្សាច់នៅលើឆ្នេរសមុទ្រ
មើលដំណោះស្រាយ
បែងចែកសំណុំកម្រិត និងសំណុំអនន្ត ៖
ក. «សំណុំចំនួនគត់គូទាំងអស់» ៖ សំណុំអនន្ត (Infinite set) ព្រោះមានចំនួនធាតុច្រើនរាប់មិនអស់ \(\{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}\)។
ខ. «សំណុំចំនួនសិស្សក្នុងសាលារៀន» ៖ សំណុំកម្រិត (Finite set) ព្រោះចំនួនសិស្សជាក់ស្តែងអាចរាប់អស់ និងកំណត់ដោយចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(N\) ជាក់លាក់។
គ. «សំណុំចំនួនទសភាគចន្លោះ \(0\) និង \(1\)» ៖ សំណុំអនន្ត ព្រោះចន្លោះ \((0, 1)\) ផ្ទុកចំនួនពិតច្រើនឥតគណនា។
ឃ. «សំណុំខ្សាច់នៅលើឆ្នេរសមុទ្រ» ៖ សំណុំកម្រិត ព្រោះទោះបីជាគ្រាប់ខ្សាច់មានចំនួនច្រើនមហិមាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏វាជាចំនួនរូបវន្តជាក់លាក់ដែលអាចកំណត់បរិមាណបាន។
កំណត់ទំនាក់ទំនង \(\in, \notin, \subset, \not\subset\) ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ៖
\(3 \;\dots\; \{1, 2, 3, 4\}\)
\(\{2\} \;\dots\; \{1, 2, 3\}\)
\(\emptyset \;\dots\; \{5, 6, 7\}\)
\(\{1, 4\} \;\dots\; \{1, 2, 3\}\)
មើលដំណោះស្រាយ
បំពេញនិមិត្តសញ្ញាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ៖
ក. \(3 \in \{1, 2, 3, 4\}\) (៣ ជាធាតុនៃសំណុំ)។
ខ. \(\{2\} \subset \{1, 2, 3\}\) (\(\{2\}\) ជាសំណុំរង)។
គ. \(\emptyset \subset \{5, 6, 7\}\) (សំណុំទទេជាសំណុំរងនៃគ្រប់សំណុំ)។
ឃ. \(\{1, 4\} \not\subset \{1, 2, 3\}\) (ព្រោះធាតុ \(4 \notin \{1, 2, 3\}\))។
គេឱ្យសំណុំ \(A = \{a, b, c\}\)។ ចូរសរសេរគ្រប់សំណុំរងទាំងអស់នៃ \(A\) និងគណនាចំនួនសំណុំរងសរុប។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណុំ \(A = \{a, b, c\}\) មាន \(n = 3\) ធាតុ។ គ្រប់សំណុំរងទាំងអស់នៃ \(A\) រួមមាន ៖
- សំណុំរងមាន ០ ធាតុ ៖ \(\emptyset\)
- សំណុំរងមាន ១ ធាតុ ៖ \(\{a\}, \{b\}, \{c\}\)
- សំណុំរងមាន ២ ធាតុ ៖ \(\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}\)
- សំណុំរងមាន ៣ ធាតុ ៖ \(\{a, b, c\}\)
ចំនួនសំណុំរងសរុបគឺ \(N = 2^3 = \mathbf{8}\) សំណុំរង។
រកចំនួនសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំ \(B = \{1, 2, 3, 4\}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណុំ \(B = \{1, 2, 3, 4\}\) មានចំនួនធាតុ \(n = 4\)។
តាមរូបមន្ត ចំនួនសំណុំរងសរុបនៃសំណុំដែលមាន \(n\) ធាតុគឺ \(2^n\) ៖
\(N = 2^4 = \mathbf{16}\) សំណុំរង។
រកចំនួនសំណុំរងដែលមាន ២ ធាតុ នៃសំណុំ \(S = \{a, b, c, d\}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនសំណុំរងដែលមាន ២ ធាតុ នៃសំណុំ \(S = \{a, b, c, d\}\) (\(n = 4\)) ស្មើនឹងបន្ទំ ២ ធាតុ យកចេញពី ៤ ធាតុ ៖
\(C(4, 2) = \dfrac{4!}{2!(4-2)!} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = \mathbf{6}\) សំណុំរង។
សំណុំរងទាំង ៦ នោះរួមមាន ៖
\(\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}\)។
បង្ហាញថាសំណុំមួយដែលមាន \(n\) ធាតុ តែងតែមានចំនួនសំណុំរងសរុបស្មើនឹង \(2^n\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ថាសំណុំ \(n\) ធាតុ មាន \(2^n\) សំណុំរង ៖
តាមគោលការណ៍ផលគុណ ៖
ក្នុងការបង្កើតសំណុំរងមួយ ធាតុនីមួយៗក្នុងចំណោម \(n\) ធាតុ មាន ២ ជម្រើសឯករាជ្យពីគ្នា ៖
1. ជ្រើសរើសចូលក្នុងសំណុំរង
2. មិនជ្រើសរើសចូលក្នុងសំណុំរង
ដោយមាន \(n\) ធាតុ នោះចំនួនបន្សំនៃការបង្កើតសំណុំរងសរុបគឺ ៖
\(\underbrace{2 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ កត្តា}} = \mathbf{2^n}\)។
(ឬតាមរូបមន្តទ្វេធា \(\sum_{k=0}^n C(n, k) = (1+1)^n = 2^n\))។
គេឱ្យសំណុំ \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) និង \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\)។ រក ៖
\(A \cup B\)
\(A \cap B\)
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) និង \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\) ៖
ក. ប្រជុំសំណុំ \(A \cup B\) (ប្រមូលផ្តុំគ្រប់ធាតុនៃ \(A\) និង \(B\)) ៖
\(\mathbf{A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}}\)។
ខ. ប្រសព្វសំណុំ \(A \cap B\) (ជ្រើសរើសធាតុរួមគ្នានៃ \(A\) និង \(B\)) ៖
\(\mathbf{A \cap B = \{3, 4, 5\}}\)។
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ១១ រក ៖
\(A \setminus B\)
\(B \setminus A\)
មើលដំណោះស្រាយ
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ១១ ៖
ក. ផលដកសំណុំ \(A \setminus B\) (ធាតុនៅក្នុង \(A\) តែមិននៅក្នុង \(B\)) ៖
\(A \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{3, 4, 5, 6, 7\} = \mathbf{\{1, 2\}}\)។
ខ. ផលដកសំណុំ \(B \setminus A\) (ធាតុនៅក្នុង \(B\) តែមិននៅក្នុង \(A\)) ៖
\(B \setminus A = \{3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5\} = \mathbf{\{6, 7\}}\)។
គេឱ្យសំណុំសកល \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) និង \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)។ រកសំណុំបំពេញ \(\bar{A}\) (ឬ \(A^c\))។
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) និង \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) ៖
សំណុំបំពេញ \(\bar{A} = A^c = U \setminus A\) (ធាតុក្នុង \(U\) ក្រៅពី \(A\)) ៖
\(\mathbf{\bar{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}}\)។
តាមសំណុំសកល \(U\) ក្នុងលំហាត់ទី ១៣ និង \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)។ រក ៖
\(\bar{B}\)
\(\bar{A} \cap \bar{B}\)
មើលដំណោះស្រាយ
តាមសំណុំសកល \(U\) និង \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) ៖
ក. សំណុំបំពេញ \(\bar{B} = U \setminus B\) ៖
\(\mathbf{\bar{B} = \{6, 7, 8, 9, 10\}}\)។
ខ. គណនា \(\bar{A} \cap \bar{B}\) ៖
ដោយ \(\bar{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) និង \(\bar{B} = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) នាំឱ្យធាតុរួមគឺ ៖
\(\mathbf{\bar{A} \cap \bar{B} = \{7, 9\}}\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\) ចំពោះសំណុំ \(A, B\) និង \(U\) ក្នុងលំហាត់ទី ១៣ និង ១៤។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\) ៖
- អង្គខាងឆ្វេង ៖
\(A \cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}\)
\(\implies \overline{A \cup B} = U \setminus (A \cup B) = \{7, 9\}\)។
- អង្គខាងស្តាំ ៖
\(\bar{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) និង \(\bar{B} = \{6, 7, 8, 9, 10\}\)
\(\implies \bar{A} \cap \bar{B} = \{7, 9\}\)។
ឃើញថា អង្គខាងឆ្វេង = អង្គខាងស្តាំ \(= \{7, 9\}\) ដូចនេះសមភាពពិត។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\) ចំពោះសំណុំដដែល។
មើលដំណោះស្រាយ
ផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\) ៖
- អង្គខាងឆ្វេង ៖
\(A \cap B = \{2, 4\}\)
\(\implies \overline{A \cap B} = U \setminus \{2, 4\} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)។
- អង្គខាងស្តាំ ៖
\(\bar{A} \cup \bar{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{6, 7, 8, 9, 10\}\)
\(= \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)។
អង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ដូចនេះច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ទីពីរត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់។
គេឱ្យ \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}\) និង \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\}\)។ រក ៖
\(A \cup B\)
\(A \cap B\)
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2, +\infty)\) និង \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\} = (-\infty, 5]\) ៖
ក. \(A \cup B = (-\infty, 5] \cup (2, +\infty) = (-\infty, +\infty) = \mathbf{\mathbb{R}}\)។
ខ. \(A \cap B = (2, +\infty) \cap (-\infty, 5] = \mathbf{(2, 5]} = \{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \leq 5\}\)។
គេឱ្យចន្លោះចំនួនពិត \(A = [-3, 4)\) និង \(B = (1, 6]\)។ រក ៖
\(A \cup B\)
\(A \cap B\)
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យចន្លោះចំនួនពិត \(A = [-3, 4)\) និង \(B = (1, 6]\) ៖
ក. ប្រជុំចន្លោះ ៖
\(\mathbf{A \cup B = [-3, 6]}\) (គ្របដណ្តប់ពី \(-3\) ដល់ \(6\))។
ខ. ប្រសព្វចន្លោះ (ផ្នែកត្រួតស៊ីគ្នា) ៖
\(\mathbf{A \cap B = (1, 4)}\) (ចន្លោះបើកពី \(1\) ដល់ \(4\))។
តាមចន្លោះចំនួនពិតក្នុងលំហាត់ទី ១៨ រក \(A \setminus B\) និង \(B \setminus A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមចន្លោះក្នុងលំហាត់ទី ១៨ ៖
ក. \(A \setminus B = [-3, 4) \setminus (1, 6]\) ៖
ដកផ្នែកដែលធំជាង \(1\) ចេញ ដូច្នេះនៅសល់ត្រឹម \(1\) រួមបញ្ចូល \(1\) ៖
\(\mathbf{A \setminus B = [-3, 1]}\)។
ខ. \(B \setminus A = (1, 6] \setminus [-3, 4)\) ៖
ដកផ្នែកដែលតូចជាង \(4\) ចេញ ដូច្នេះនៅសល់ពី \(4\) ដល់ \(6\) រួមបញ្ចូល \(4\) ៖
\(\mathbf{B \setminus A = [4, 6]}\)។
គេឱ្យ \(A = (-\infty, 3]\)។ រកសំណុំបំពេញ \(A^c\) ក្នុងសំណុំចំនួនពិត \(\mathbb{R}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(A = (-\infty, 3]\)។ សំណុំបំពេញនៃ \(A\) ក្នុង \(\mathbb{R}\) គឺ ៖
\(\mathbf{A^c = \mathbb{R} \setminus (-\infty, 3] = (3, +\infty)} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}\)។
សង់ដ្យាក្រាមវ៉ែនតំណាងឱ្យសំណុំ \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) និង \(B = \{3, 4, 5, 6\}\) ក្នុងសំណុំសកល \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សង់ដ្យាក្រាមវ៉ែនសម្រាប់ \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) និង \(B = \{3, 4, 5, 6\}\) ក្នុង \(U = \{1, 2, \dots, 8\}\) ៖
- តំបន់ប្រសព្វ \(A \cap B = \{3, 4\}\)
- តំបន់ \(A\) តែឯង (\(A \setminus B\)) ផ្ទុក \(\{1, 2\}\)
- តំបន់ \(B\) តែឯង (\(B \setminus A\)) ផ្ទុក \(\{5, 6\}\)
- តំបន់ក្រៅរង្វង់ទាំងពីរក្នុង \(U\) ផ្ទុក \(\{7, 8\}\)។
គូសដ្យាក្រាមវ៉ែនបង្ហាញតំបន់ \(A \cap B\), \(A \cup B\), និង \(A \setminus B\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញតំបន់ប្រតិបត្តិការសំណុំតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន ៖
\(A \cap B\) ៖ ផាត់ពណ៌តែលើផ្ទៃប្រសព្វត្រួតស៊ីគ្នារវាងរង្វង់ \(A\) និងរង្វង់ \(B\)។
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ\(A \cup B\) ៖ ផាត់ពណ៌គ្របដណ្តប់លើរង្វង់ \(A\) និងរង្វង់ \(B\) ទាំងស្រុង។
រូបភាពនេះកំពុងរៀបចំ\(A \setminus B\) ៖ ផាត់ពណ៌លើរង្វង់ \(A\) តែមិនរាប់បញ្ចូលតំបន់ប្រសព្វជាមួយ \(B\) ឡើយ។
%22%3E%3Cg clip-path=%22url(%23clip-1)%22%3E%3Cpath fill-rule=%22nonzero%22 fill=%22rgb(66.59%25, 78.99%25, 78.49%25)%22 fill-opacity=%221%22 d=%22M 16.91 49.99 L 16.91 -11.79 L 78.70 -11.79 L 78.70 49.99 Z M 16.91 49.99 %22/%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3Cg clip-path=%22url(%23clip-2)%22%3E%3Cg clip-path=%22url(%23clip-3)%22%3E%3Cpath fill-rule=%22nonzero%22 fill=%22rgb(100%25, 100%25, 100%25)%22 fill-opacity=%221%22 d=%22M 16.91 49.99 L 16.91 -11.79 L 78.70 -11.79 L 78.70 49.99 Z M 16.91 49.99 %22/%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3Cg clip-path=%22url(%23clip-4)%22%3E%3Cpath fill=%22none%22 stroke-width=%220.79%22 stroke-linecap=%22butt%22 stroke-linejoin=%22miter%22 stroke=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 stroke-opacity=%221%22 stroke-miterlimit=%2210%22 d=%22M 4.67 0.00 C 4.67 8.61 -2.30 15.58 -10.91 15.58 C -19.52 15.58 -26.50 8.61 -26.50 0.00 C -26.50 -8.60 -19.52 -15.59 -10.91 -15.59 C -2.30 -15.59 4.67 -8.60 4.67 0.00 Z M 4.67 0.00 %22 transform=%22matrix(0.99, 0, 0, -0.99, 47.81, 19.09)%22/%3E%3C/g%3E%3Cg fill=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 fill-opacity=%221%22%3E%3Cuse xlink:href=%22%23glyph-0-0%22 x=%226.25%22 y=%2222.47%22/%3E%3C/g%3E%3Cg clip-path=%22url(%23clip-5)%22%3E%3Cpath fill=%22none%22 stroke-width=%220.79%22 stroke-linecap=%22butt%22 stroke-linejoin=%22miter%22 stroke=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 stroke-opacity=%221%22 stroke-miterlimit=%2210%22 d=%22M 26.50 0.00 C 26.50 8.61 19.52 15.58 10.91 15.58 C 2.30 15.58 -4.67 8.61 -4.67 0.00 C -4.67 -8.60 2.30 -15.59 10.91 -15.59 C 19.52 -15.59 26.50 -8.60 26.50 0.00 Z M 26.50 0.00 %22 transform=%22matrix(0.99, 0, 0, -0.99, 47.81, 19.09)%22/%3E%3C/g%3E%3Cg fill=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 fill-opacity=%221%22%3E%3Cuse xlink:href=%22%23glyph-0-1%22 x=%2281.97%22 y=%2222.47%22/%3E%3C/g%3E%3Cg fill=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 fill-opacity=%221%22%3E%3Cuse xlink:href=%22%23glyph-0-0%22 x=%2235.45%22 y=%2260.88%22/%3E%3C/g%3E%3Cg fill=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 fill-opacity=%221%22%3E%3Cuse xlink:href=%22%23glyph-1-0%22 x=%2245.05%22 y=%2260.88%22/%3E%3C/g%3E%3Cg fill=%22rgb(0%25, 0%25, 0%25)%22 fill-opacity=%221%22%3E%3Cuse xlink:href=%22%23glyph-0-1%22 x=%2252.18%22 y=%2260.88%22/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E%0A)
គូសដ្យាក្រាមវ៉ែនបង្ហាញតំបន់ \((A \cup B)^c\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដ្យាក្រាមវ៉ែននៃ \((A \cup B)^c\) ៖
- គូសចតុកោណកែងតំណាងសំណុំសកល \(U\) និងរង្វង់ពីរ \(A, B\)។
- ផ្ទៃនៃ \((A \cup B)^c\) គឺជាផ្ទៃទាំងអស់នៃ \(U\) ដែលស្ថិតនៅក្រៅរង្វង់ \(A\) និងក្រៅរង្វង់ \(B\) (ផាត់ពណ៌ជុំវិញរង្វង់ទាំងពីរក្នុងក្របខ័ណ្ឌ \(U\))។
គូសដ្យាក្រាមវ៉ែនបង្ហាញតំបន់ \(A \cap (B \cup C)\) សម្រាប់បីសំណុំ \(A, B, C\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដ្យាក្រាមវ៉ែននៃ \(A \cap (B \cup C)\) សម្រាប់បីសំណុំ ៖
- សង់រង្វង់បី \(A, B, C\) ត្រួតស៊ីគ្នា។
- សំណុំ \(B \cup C\) គឺជាផ្ទៃរង្វង់ \(B\) និង \(C\) រួមគ្នា។
- ផ្ទៃ \(A \cap (B \cup C)\) គឺជាផ្នែកនៃរង្វង់ \(A\) ដែលត្រួតស៊ីគ្នាជាមួយនឹង \(B\) ឬជាមួយ \(C\) (រួមមានតំបន់ \(A \cap B\), \(A \cap C\), និង \(A \cap B \cap C\))។
បង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែនថាលក្ខណៈចែកចាយពិត ៖ \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន ៖ \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) ៖
បែងចែកប្លង់នៃរង្វង់ទាំង ៣ ជា ៧ តំបន់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ៖
- តំបន់នៃ \(A \cap B\) ផ្ទុកតំបន់រួមរវាង \(A\) និង \(B\)។
- តំបន់នៃ \(A \cap C\) ផ្ទុកតំបន់រួមរវាង \(A\) និង \(C\)។
- ប្រជុំនៃតំបន់ទាំងពីរ \((A \cap B) \cup (A \cap C)\) បង្កើតបានផ្ទៃដូចគ្នាបេះបិទនឹងតំបន់ដែលរង្វង់ \(A\) ជួបនឹង \(B \cup C\)។
ដូចនេះ លក្ខណៈចែកចាយនៃ \(\cap\) លើ \(\cup\) ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់។
បង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន ៖ \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញតាមដ្យាក្រាមវ៉ែន ៖ \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) ៖
- អង្គខាងឆ្វេង ៖ យកផ្ទៃរង្វង់ \(A\) ទាំងមូល រួមជាមួយផ្ទៃប្រសព្វតូច \(B \cap C\)។
- អង្គខាងស្តាំ ៖ យកផ្ទៃប្រសព្វរួមរវាងតំបន់ \((A \cup B)\) និង \((A \cup C)\)។ ផ្ទៃរួមនេះគ្របដណ្តប់លើ \(A\) ទាំងមូល បូកបន្ថែមផ្នែក \(B \cap C\)។
តំបន់ផាត់ពណ៌នៃអង្គទាំងពីរដូចគ្នាទាំងស្រុង នាំឱ្យសមភាពពិត។
គេឱ្យ \(n(A) = 20\), \(n(B) = 15\) និង \(n(A \cap B) = 7\)។ រក \(n(A \cup B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រូបមន្តចំនួនធាតុនៃប្រជុំពីរសំណុំ ៖
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)
ជំនួសតម្លៃ ៖
\(n(A \cup B) = 20 + 15 - 7 = \mathbf{28}\)។
គេឱ្យ \(n(A \cup B) = 35\), \(n(A) = 22\) និង \(n(B) = 18\)។ រក \(n(A \cap B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ទាញរកចំនួនធាតុប្រសព្វ ៖
\(n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)\)
ជំនួសតម្លៃ ៖
\(n(A \cap B) = 22 + 18 - 35 = 40 - 35 = \mathbf{5}\)។
គេឱ្យ \(n(A) = 30\), \(n(B) = 25\) និង \(A \cap B = \emptyset\) (សំណុំដាច់គ្នា)។ រក \(n(A \cup B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយ \(A \cap B = \emptyset\) (សំណុំដាច់គ្នា គ្មានធាតុរួម នាំឱ្យ \(n(A \cap B) = 0\)) ៖
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) = 30 + 25 = \mathbf{55}\)។
គេឱ្យ \(n(U) = 50\), \(n(A) = 28\), \(n(B) = 20\) និង \(n(A \cap B) = 8\)។ រកចំនួនធាតុដែលមិនស្ថិតក្នុង \(A\) ផង និងមិនស្ថិតក្នុង \(B\) ផង (\(n((A \cup B)^c)\))។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(n((A \cup B)^c)\) ៖
- ចំនួនធាតុនៃ \(A \cup B\) គឺ ៖
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 28 + 20 - 8 = 40\)។
- ចំនួនធាតុនៅក្រៅ \(A\) ផង និង \(B\) ផង ៖
\(n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 40 = \mathbf{10}\)។
គេឱ្យ \(n(A \setminus B) = 12\), \(n(B \setminus A) = 8\) និង \(n(A \cap B) = 5\)។ រក \(n(A)\) និង \(n(B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមនិយមន័យនៃផលដក និងប្រសព្វសំណុំ ៖
ក. \(n(A) = n(A \setminus B) + n(A \cap B) = 12 + 5 = \mathbf{17}\)។
ខ. \(n(B) = n(B \setminus A) + n(A \cap B) = 8 + 5 = \mathbf{13}\)។
រក \(n(A \cup B)\) យោងតាមលំហាត់ទី ៣១។
មើលដំណោះស្រាយ
គណនា \(n(A \cup B)\) យោងតាមលំហាត់ទី ៣១ ៖
វិធីទី១ ៖ បូកតំបន់ដាច់គ្នាទាំង ៣ ៖
\(n(A \cup B) = n(A \setminus B) + n(B \setminus A) + n(A \cap B) = 12 + 8 + 5 = \mathbf{25}\)។
វិធីទី២ ៖ តាមរូបមន្តទូទៅ ៖
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 17 + 13 - 5 = \mathbf{25}\)។
គេឱ្យបីសំណុំ \(A, B, C\) ដែល \(n(A)=10, n(B)=12, n(C)=14\), \(n(A \cap B)=4, n(B \cap C)=5, n(A \cap C)=3\) និង \(n(A \cap B \cap C)=2\)។ រក \(n(A \cup B \cup C)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រូបមន្តចំនួនធាតុនៃប្រជុំបីសំណុំ ៖
\(n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)] + n(A \cap B \cap C)\)
ជំនួសតម្លៃ ៖
\(n(A \cup B \cup C) = 10 + 12 + 14 - (4 + 5 + 3) + 2\)
\(= 36 - 12 + 2 = \mathbf{26}\)។
គេឱ្យសំណុំ \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \) ចែកដាច់នឹង \( 2 \) និង \( x \leq 30\}\) និង \(B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \) ចែកដាច់នឹង \( 3 \) និង \( x \leq 30\}\)។ រក \(n(A \cap B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិតូចជាង ឬស្មើ \(30\) ៖
- \(A\) ៖ ចែកដាច់នឹង \(2\) ៖ \(\{2, 4, 6, \dots, 30\}\)
- \(B\) ៖ ចែកដាច់នឹង \(3\) ៖ \(\{3, 6, 9, \dots, 30\}\)
ធាតុនៃ \(A \cap B\) ត្រូវចែកដាច់នឹងទាំង ២ និង ៣ ពោលគឺចែកដាច់នឹង \(\text{LCM}(2, 3) = 6\) ៖
\(A \cap B = \{6, 12, 18, 24, 30\}\)
\(\implies \mathbf{n(A \cap B) = 5}\) (ឬ \(\lfloor 30/6 \rfloor = 5\))។
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ៣៤ រក \(n(A \cup B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ៣៤ ៖
- \(n(A) = \left\lfloor \dfrac{30}{2} \right\rfloor = 15\)
- \(n(B) = \left\lfloor \dfrac{30}{3} \right\rfloor = 10\)
- \(n(A \cap B) = 5\)
\(\implies n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 10 - 5 = \mathbf{20}\)។
រកចំនួនធាតុនៃសំណុំចំនួនគត់ពី \(1\) ដល់ \(100\) ដែលមិនចែកដាច់នឹង \(2\) ផង និងមិនចែកដាច់នឹង \(3\) ផង។
មើលដំណោះស្រាយ
សំណុំសកល \(U = \{1, 2, \dots, 100\} \implies n(U) = 100\)។
- តាង \(A\) ជាសំណុំចំនួនចែកដាច់នឹង \(2\) \(\implies n(A) = \lfloor 100/2 \rfloor = 50\)។
- តាង \(B\) ជាសំណុំចំនួនចែកដាច់នឹង \(3\) \(\implies n(B) = \lfloor 100/3 \rfloor = 33\)។
- \(A \cap B\) ជាចំនួនចែកដាច់នឹង \(6\) \(\implies n(A \cap B) = \lfloor 100/6 \rfloor = 16\)។
ចំនួនដែលចែកដាច់នឹង \(2\) ឬ \(3\) គឺ ៖
\(n(A \cup B) = 50 + 33 - 16 = 67\)។
ចំនួនដែលមិនចែកដាច់នឹង \(2\) ផង និងមិនចែកដាច់នឹង \(3\) ផង គឺ ៖
\(N = n(U) - n(A \cup B) = 100 - 67 = \mathbf{33}\)។
គេឱ្យសំណុំ \(A \subset B\)។ សម្រួលកន្សោម ៖
\(A \cup B\)
\(A \cap B\)
\(A \setminus B\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយសារ \(A \subset B\) (គ្រប់ធាតុនៃ \(A\) សុទ្ធតែនៅក្នុង \(B\)) នាំឱ្យ ៖
ក. \(\mathbf{A \cup B = B}\)
ខ. \(\mathbf{A \cap B = A}\)
គ. \(\mathbf{A \setminus B = \emptyset}\) (គ្មានធាតុណាក្នុង \(A\) ដែលនៅក្រៅ \(B\) ឡើយ)។
សម្រួលកន្សោមសំណុំ ៖ \((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម \((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})\) ៖
អនុវត្តលក្ខណៈចែកចាយទាញ \(A\) ជាកត្តា ៖
\((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) = A \cap (B \cup \bar{B})\)
ដោយ \(B \cup \bar{B} = U\) (សំណុំសកល) ៖
\(= A \cap U = \mathbf{A}\)។
សម្រួលកន្សោមសំណុំ ៖ \(A \cup (B \setminus A)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម \(A \cup (B \setminus A)\) ៖
ដោយ \(B \setminus A = B \cap \bar{A}\) ៖
\(A \cup (B \setminus A) = A \cup (B \cap \bar{A})\)
អនុវត្តលក្ខណៈចែកចាយនៃ \(\cup\) លើ \(\cap\) ៖
\(= (A \cup B) \cap (A \cup \bar{A})\)
ដោយ \(A \cup \bar{A} = U\) ៖
\(= (A \cup B) \cap U = \mathbf{A \cup B}\)។
សម្រួលកន្សោមសំណុំ ៖ \((A \setminus B) \cap B\)។
មើលដំណោះស្រាយ
សម្រួលកន្សោម \((A \setminus B) \cap B\) ៖
ដោយ \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\) ៖
\((A \setminus B) \cap B = (A \cap \bar{B}) \cap B = A \cap (\bar{B} \cap B)\) (លក្ខណៈផ្តុំ)
ដោយ \(\bar{B} \cap B = \emptyset\) ៖
\(= A \cap \emptyset = \mathbf{\emptyset}\)។
បង្ហាញថា \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\) ៖
ចំពោះគ្រប់ធាតុ \(x\) ៖
\(x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)\)
\(\iff (x \in A \land x \in \bar{B})\) (តាមនិយមន័យសំណុំបំពេញ)
\(\iff x \in A \cap \bar{B}\) (តាមនិយមន័យប្រសព្វសំណុំ)។
ដោយសមមូលទ្វេទិសផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ \(x\) នាំឱ្យ \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\) ពិត។
បង្ហាញថា \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ស្រាយបញ្ជាក់ថា \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\) ៖
ប្រើសមភាព \(X \setminus Y = X \cap \bar{Y}\) ៖
\((A \setminus B) \setminus C = (A \cap \bar{B}) \cap \bar{C}\)
\(= A \cap (\bar{B} \cap \bar{C})\) (លក្ខណៈផ្តុំ)
តាមច្បាប់ដឺម៉ូហ្គង់ \(\bar{B} \cap \bar{C} = \overline{B \cup C}\) ៖
\(= A \cap \overline{B \cup C} = \mathbf{A \setminus (B \cup C)}\) ពិត។
គេឱ្យសំណុំ \(A = \{1, 2\}\) និង \(B = \{a, b\}\)។ រកផលគុណដេកាត \(A \times B\)។
មើលដំណោះស្រាយ
គេឱ្យ \(A = \{1, 2\}\) និង \(B = \{a, b\}\) ៖
ផលគុណដេកាត \(A \times B\) គឺជាសំណុំនៃគ្រប់គូមានលំដាប់ \((x, y)\) ដែល \(x \in A, y \in B\) ៖
\(\mathbf{A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}}\)។
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ៤៣ រក \(B \times A\) និង \(A \times A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមសំណុំក្នុងលំហាត់ទី ៤៣ ៖
- \(\mathbf{B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}}\)
- \(\mathbf{A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}}\)។
រកចំនួនធាតុ \(n(A \times B)\) បើ \(n(A) = 4\) និង \(n(B) = 5\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនធាតុនៃផលគុណដេកាត ស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនធាតុសំណុំនីមួយៗ ៖
\(n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 5 = \mathbf{20}\) ធាតុ។
លំហាត់ PISA - ការស្ទង់មតិចំណូលចិត្តកីឡា ៖ ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស ៤០ នាក់។ ក្នុងនោះមាន ២៥ នាក់ចូលចិត្តលេងបាល់ទាត់ ១៨ នាក់ចូលចិត្តលេងបាល់ទះ និង ៨ នាក់ចូលចិត្តលេងកីឡាទាំងពីរ។
សិស្សចូលចិត្តយ៉ាងហោចមួយ?
សិស្សមិនចូលចិត្តទាំងពីរ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការស្ទង់មតិចំណូលចិត្តកីឡា ៖
តាង \(F\) (បាល់ទាត់), \(V\) (បាល់ទះ) ក្នុងចំណោមសិស្សសរុប \(n(U) = 40\) ៖
\(n(F) = 25\), \(n(V) = 18\), \(n(F \cap V) = 8\)។
ក. សិស្សចូលចិត្តលេងយ៉ាងហោចមួយកីឡា ៖
\(n(F \cup V) = n(F) + n(V) - n(F \cap V) = 25 + 18 - 8 = \mathbf{35}\) នាក់។
ខ. សិស្សមិនចូលចិត្តលេងកីឡាទាំងពីរ ៖
\(n((F \cup V)^c) = n(U) - n(F \cup V) = 40 - 35 = \mathbf{5}\) នាក់។
លំហាត់ PISA - ភាសាបរទេស ៖ ក្នុងវិទ្យាស្ថានភាសាមួយមាននិស្សិត ១០០ នាក់។ មាន ៦០ នាក់រៀនភាសាអង់គ្លេស ៤០ នាក់រៀនភាសាបារាំង និង ២០ នាក់រៀនភាសាទាំងពីរ។
រៀនតែអង់គ្លេសមួយមុខគត់?
មិនរៀនភាសាទាំងពីរនេះ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ភាសាបរទេស ៖
តាង \(E\) (អង់គ្លេស), \(F\) (បារាំង) ក្នុងចំណោមនិស្សិតសរុប \(n(U) = 100\) ៖
\(n(E) = 60\), \(n(F) = 40\), \(n(E \cap F) = 20\)។
ក. ចំនួននិស្សិតរៀនតែភាសាអង់គ្លេសមួយមុខគត់ ៖
\(n(E \setminus F) = n(E) - n(E \cap F) = 60 - 20 = \mathbf{40}\) នាក់។
ខ. និស្សិតមិនរៀនភាសាទាំងពីរនេះ ៖
\(n(E \cup F) = 60 + 40 - 20 = 80\) នាក់
\(\implies n((E \cup F)^c) = 100 - 80 = \mathbf{20}\) នាក់។
លំហាត់ PISA - ការអានសៀវភៅ ៖ ក្នុងបណ្ណាល័យមួយ សិស្ស ៥០ នាក់ត្រូវបានសាកសួរពីការអាន ៖ ៣០ នាក់អានសៀវភៅប្រលោមលោក ២០ នាក់អានសៀវភៅវិទ្យាសាស្ត្រ និង ១០ នាក់អានសៀវភៅទាំងពីរប្រភេទ។ តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់អានសៀវភៅតែមួយប្រភេទគត់?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការអានសៀវភៅ ៖
តាង \(N\) (ប្រលោមលោក), \(S\) (វិទ្យាសាស្ត្រ) ក្នុងចំណោមសិស្ស \(50\) នាក់ ៖
\(n(N) = 30\), \(n(S) = 20\), \(n(N \cap S) = 10\)។
- សិស្សអានតែប្រលោមលោកមួយគត់ ៖ \(30 - 10 = 20\) នាក់។
- សិស្សអានតែវិទ្យាសាស្ត្រមួយគត់ ៖ \(20 - 10 = 10\) នាក់។
ចំនួនសិស្សដែលអានសៀវភៅតែមួយប្រភេទគត់ គឺ ៖
\(20 + 10 = \mathbf{30}\) នាក់។
លំហាត់ PISA - ការប្រើប្រាស់បណ្តាញសង្គម ៖ ក្នុងចំណោមមនុស្ស ៨០ នាក់ មាន ៥៥ នាក់ប្រើប្រាស់ Facebook ៤០ នាក់ប្រើប្រាស់ Telegram និង ២៥ នាក់ប្រើប្រាស់ទាំងពីរ។ តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលប្រើប្រាស់យ៉ាងច្រើនបណ្តាញសង្គមមួយ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការប្រើប្រាស់បណ្តាញសង្គម ៖
តាង \(F\) (Facebook), \(T\) (Telegram) ក្នុងចំណោមមនុស្ស \(80\) នាក់ ៖
\(n(F) = 55\), \(n(T) = 40\), \(n(F \cap T) = 25\)។
- មនុស្សប្រើតែ FB មួយគត់ ៖ \(55 - 25 = 30\) នាក់។
- មនុស្សប្រើតែ TG មួយគត់ ៖ \(40 - 25 = 15\) នាក់។
- មនុស្សមិនប្រើទាំងពីរ ៖ \(80 - (55 + 40 - 25) = 80 - 70 = 10\) នាក់។
ចំនួនមនុស្សប្រើប្រាស់យ៉ាងច្រើនបណ្តាញសង្គមមួយ (០ ឬ ១) គឺ ៖
\(30 + 15 + 10 = \mathbf{55}\) នាក់ (ឬ \(80 - 25 = 55\) នាក់)។
លំហាត់ PISA - ការគ្រប់គ្រងទិន្នន័យអតិថិជន ៖ ផ្សារទំនើបមួយកត់ត្រាអតិថិជន ១២០ នាក់។ មាន ៧០ នាក់ទិញភេសជ្ជៈ ៥០ នាក់ទិញអាហារសម្រន់ ៤០ នាក់ទិញផ្លែឈើ ២០ នាក់ទិញភេសជ្ជៈនិងអាហារសម្រន់ ១៥ នាក់ទិញភេសជ្ជៈនិងផ្លែឈើ ១០ នាក់ទិញអាហារសម្រន់និងផ្លែឈើ និង ៥ នាក់ទិញទាំងបីមុខ។
ទិញយ៉ាងហោចណាស់មួយមុខ?
មិនបានទិញទាំងបីមុខនេះសោះ?
មើលដំណោះស្រាយ
លំហាត់ PISA - ការគ្រប់គ្រងទិន្នន័យអតិថិជន ៖
តាង \(D\) (ភេសជ្ជៈ), \(S\) (អាហារសម្រន់), \(F\) (ផ្លែឈើ) ក្នុងចំណោមអតិថិជន \(n(U) = 120\) ៖
\(n(D)=70, n(S)=50, n(F)=40\),
\(n(D \cap S)=20, n(D \cap F)=15, n(S \cap F)=10\),
\(n(D \cap S \cap F)=5\)។
ក. ចំនួនអតិថិជនទិញយ៉ាងហោចមួយមុខ ៖
\(n(D \cup S \cup F) = 70 + 50 + 40 - (20 + 15 + 10) + 5 = 160 - 45 + 5 = \mathbf{120}\) នាក់។
ខ. ចំនួនអតិថិជនមិនបានទិញទាំងបីមុខសោះ ៖
\(n(U) - n(D \cup S \cup F) = 120 - 120 = \mathbf{0}\) នាក់ (អតិថិជនទាំងអស់បានទិញយ៉ាងហោចមួយមុខ)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ២ តក្កវិទ្យា សំណុំ និងចំនួន — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី