មេរៀនទី ២ : ប្រមាណវិធីចែកពហុធា — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

ប្រវត្តិនៃវិធីចែកពហុធា និងអ្នកប្រាជ្ញ Horner-Ruffini

ការអភិវឌ្ឍប្រមាណវិធីលើពហុធា និងវិធីចែកពហុធា មានការចូលរួមយ៉ាងសំខាន់ពីអ្នកប្រាជ្ញល្បីៗជាច្រើនក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។ គណិតវិទូជនជាតិក្រិកបុរាណ អឺគ្លីដ (Euclid) បានបង្កើតក្បួនចែកអឺគ្លីដសម្រាប់ចំនួនគត់ ដែលក្រោយមកត្រូវបានពង្រីកទៅជាក្បួនចែកពហុធាដោយគណិតវិទូសម័យក្រុមហ៊ុនវិទ្យាសាស្ត្រអឺរ៉ុប។

នៅឆ្នាំ១៨០៩ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី ប៉ាវឡូ រូហ្វីនី (Paolo Ruffini) បានរកឃើញក្បួនចែកសំយោគដ៏រហ័សហៅថា វិធានរូហ្វីនី (Ruffini’s Rule) សម្រាប់ការចែកពហុធានឹងទ្វេធាដឺក្រេទីមួយ \(x - c\)។ ក្រោយមកនៅឆ្នាំ១៨១៩ គណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស វីលៀម ចច ហន័រ (William George Horner) បានកែលម្អក្បួននេះឱ្យកាន់តែទូលំទូលាយហៅថា ក្បួនហន័រ (Horner’s Method) ដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់ទាំងក្នុងការគណនាតម្លៃពហុធា និងការរកឫសប្រហាក់ប្រហែល។

លើសពីនេះ ទ្រឹស្តីបទសំណល់ (Remainder Theorem) និងទ្រឹស្តីបទកត្តា (Factor Theorem) របស់ Étienne Bézout (អេជាន បេហ្ស៊ូ) បានក្លាយជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតក្នុងការដោះស្រាយសមីការពីជគណិតដឺក្រេខ្ពស់រហូតដល់បច្ចុប្បន្ន។

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ?

មុនចូលមេរៀននេះ ត្រូវចេះអ្វីខ្លះ៖
១. វិធីបូក ដក និងគុណពហុធា
២. ការដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តា
៣. លក្ខណៈនៃស្វ័យគុណ \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

ប្រមាណវិធីចែកពហុធា

សំណុំកំណត់តាងការរៀបចំឈ្មោះតួ

ឧទាហរណ៍

ក្នុងវិធីចែករវាងចំនួន \(18\) និង \(3\) គេអាចសរសេរ \(18 \div 3 = \frac{18}{3} = 6\) ។

ដូច្នេះ \(18 = 3 \times 6\) គេថា \(18\) ចែកដាច់នឹង \(3\) ។ \(3\) ជាតួចែកនៃ \(18\) ហើយ \(18\) ជាផលគុណនៃ \(3\) និង \(6\) ។

ជាទូទៅ

បើគេឱ្យកន្សោមពីរ \(A\) និង \(B\) រួចមានកន្សោម \(Q\) មួយដែល \(A = B \times Q\) នោះគេថា \(A\) ចែកដាច់នឹង \(B\) ។ \(B\) ជាតួចែក \(Q\) ជាផលចែក និង \(A\) ជាតំណាងចែកឬជាផលគុណនៃ \(B\) និង \(Q\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(A \div B = Q\) ។

ឧទាហរណ៍

ដោយ \(x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)\) នោះ គេថា កន្សោម \(x - 1\) ជាតួចែក និង \(x - 4\) ជាផលចែករវាងកន្សោម \(x^2 - 5x + 4\) និង \(x - 1\) ហើយ \(x^2 - 5x + 4\) ជាផលគុណ \(x - 1\) និង \(x - 4\) ។ គេកំណត់សរសេរ \((x^2 - 5x + 4) \div (x - 1) = x - 4\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

បើគេមានកន្សោម \(A = 6x^2 + 5x - 4\) និង \(B = 2x - 1\) គណនា \(A + B\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេគណនាតាមរបៀបខាងក្រោម៖

\(\begin{array}{r|l} 6x^2 + 5x - 4 & 2x - 1 \\ - \begin{array}{r} 6x^2 - 3x \end{array} & 3x + 4 \\ 8x - 4 & \\ - \begin{array}{r} 8x - 4 \end{array} & \\ 0 & \end{array}\)

\(\begin{array}{r} 3x + 4 \\ 2x - 1 \overline{) 6x^2 + 5x - 4} \\ - \begin{array}{r} 6x^2 - 3x \end{array} \\ \hline 8x - 4 \quad{} \leftarrow (2x - 1) \times 3x \\ - \begin{array}{r} 8x - 4 \end{array} \quad{} \leftarrow (2x - 1) \times 4 \\ \hline 0 \quad{} \end{array}\)

ដូច្នេះ \(A + B = (3x + 4)\) ឬ \(6x^2 + 5x - 4 = (2x - 1)(3x + 4)\) ។

ប្រតិបត្តិ

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម ៖

ក. \((x^2 + 6x - 55) \div (x - 5)\)	ខ. \((6y^4 - 10y^2 + y^3 + 6 + 7y) \div (2y + 3)\)
គ. \((5a^2 + 2a^3 - 1) \div (-1 + 2a + a^2)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(x + 11\)	ខ. \(3y^3 - 4y^2 + y + 2\)
គ. \(2a + 1\) ។

២លំហាត់គំរូ ២

ធ្វើប្រមាណវិធីចែក \((2x^3 - 3x^2 - x + 4) \div (2x^2 + 2x - 3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{array}{r} x - \frac{5}{2} \\ 2x^2 + 2x - 3 \overline{) 2x^3 - 3x^2 - x + 4} \\ - \begin{array}{r} 2x^3 + 2x^2 - 3x \end{array} \\ \hline - 5x^2 + 2x + 4 \\ - \begin{array}{r} - 5x^2 - 5x + \frac{15}{2} \end{array} \\ \hline 7x - \frac{7}{2} \end{array}\]

តាង \(Q = x - \frac{5}{2}\) ជាផលចែក \(R = 7x - \frac{7}{2}\) ជាសំណល់នៃវិធីចែក

គេបាន \(2x^3 - 3x^2 - x + 4 = (2x^2 + 2x - 3)(x - \frac{5}{2}) + (7x - \frac{7}{2})\) ។

ជាទូទៅ

គេឱ្យកន្សោមពីរ \(A\) និង \(B\) ដែលមានអថេរដូចគ្នា ហើយមានដឺក្រេ \(m\) និង \(n\) រៀងគ្នា។ បើ \(m \geq n\) គេអាចរកកន្សោមពីជគណិត \(Q\) និង \(R\) ដែល
\(A = B \times Q + R\) ។ ដឺក្រេនៃ \(R\) តូចជាងដឺក្រេនៃ \(B\) ។ \(Q\) ជាផលចែក ហើយ \(R\) ជាសំណល់ក្នុងវិធីចែក។ ផលចែក \(Q\) មានដឺក្រេ \(m - n\) ។ បើ \(R = 0\) គេថា \(A\) ចែកដាច់នឹង \(B\) ។

ប្រតិបត្តិ

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម ៖

ក. \((4x - 5) \div (x + 2)\)	ខ. \((x^3 - x^2 + x - 1) \div (x + 2)\)
គ. \((3x^2 + 2x + 1) \div (3x - 4)\)	ឃ. \((3x^2 + 5x - 2) \div (2x + 1)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(4 - \dfrac{13}{x + 2}\)	ខ. \(x^2 - 3x + 7 - \dfrac{15}{x + 2}\)
គ. \(x + 2 + \dfrac{9}{3x - 4}\)	ឃ. \(\dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{4} - \dfrac{15}{4(2x + 1)}\) ។

៣លំហាត់គំរូ ៣

ចែក \((y^4 - 2y^2 - y + 8)\) និង \((y^2 - y - 2)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{array}{r} y^2 + y + 1 \\ y^2 - y - 2 \overline{) y^4 - 2y^2 - y + 8} \\ - \begin{array}{r} y^4 - y^3 - 2y^2 \end{array} \\ \hline y^3 - y + 8 \\ - \begin{array}{r} y^3 - y^2 - 2y \end{array} \\ \hline y^2 + y + 8 \\ - \begin{array}{r} y^2 - y - 2 \end{array} \\ \hline 2y + 10 \end{array}\]

គេទទួលបាន \(y^4 - 2y^2 - y + 8 = (y^2 - y - 2)(y^2 + y + 1) + (2y + 10)\) ។

ប្រតិបត្តិ

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម ៖

ក. \((a^4 + 7a - 1) \div (a^2 + 2)\)	ខ. \((x^4 - 25x^2 + 8x - 3) \div (x^2 - 3x + 1)\)
គ. \((x^5 - 2x^3 - 4x + 5) \div (3x^3 + 2)\)	ឃ. \((\frac{1}{2}x^4 + 4x^2 + x + 5) \div (3x^2 + 2)\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(a^2 - 2 + \dfrac{7a + 3}{a^2 + 2}\)	ខ. \(x^2 + 3x - 17 - \dfrac{46x - 14}{x^2 - 3x + 1}\)
គ. \(\dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2x^2 + 12x - 19}{3(3x^3 + 2)}\)	ឃ. \(\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{11}{9} + \dfrac{9x + 23}{9(3x^2 + 2)}\) ។

តួចែករួមធំបំផុតនិងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃពហុធា

ឧទាហរណ៍

គេមានឯកធា \(75x^3y^4\) និង \(45x^2y^5\) ។

គេសរសេរ \(75x^3y^4 = 3 \times 5^2 \times x^3 \times y^4\) និង \(45x^2y^5 = 3^2 \times 5 \times x^2 \times y^5\)

គេសង្កេតឃើញថា ឯកធាទាំងពីរនេះមាន \(3 \times 5 \times x^2 \times y^4\) ជាកត្តារួមដែលតួនៃឯកធានីមួយៗមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ ។ គេថាកន្សោម \(3 \times 5 \times x^2 \times y^4 = 15x^2y^4\) ជាតួចែករួមធំបំផុតនៃ \(75x^3y^4\) និង \(45x^2y^5\) ។

ម្យ៉ាងទៀតកន្សោម \(3^2 \times 5^2 \times x^3 \times y^5 = 225x^3y^5\) ហៅថាពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃ \(75x^3y^4\) និង \(45x^2y^5\) ។

ជាទូទៅ

តួចែករួមធំបំផុតនៃកន្សោម \(A\) និង \(B\) គឺជាផលគុណកត្តារួម ដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ។
ពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃកន្សោម \(A\) និង \(B\) គឺជាផលគុណកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេ និងកត្តាមិនរួមទាំងអស់។

វិធាន

ដើម្បីគណនាតួចែករួមធំបំផុតនៃ \(A\) និង \(B\)

ដាក់ \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា។
ជ្រើសរើសកត្តារួម ដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ។
ដាក់តួចែករួមធំបំផុតជាផលគុណនៃកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេទាំងនោះ។

ដើម្បីគណនាពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃ \(A\) និង \(B\)

ដាក់ \(A\) និង \(B\) ជាផលគុណកត្តា។
ជ្រើសរើសកត្តាមិនរួមនិងកត្តារួមដោយយកនិទស្សន្តធំជាងគេ។
ដាក់ពហុគុណរួមតូចបំផុតជាផលគុណនៃកត្តាទាំងនោះ។

៤លំហាត់គំរូ ៤

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃកន្សោម៖
\(A = 54x^3y^5\), \(B = 36x^4y^2\) និង \(C = 90x^6y^3\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(A = 54x^3y^5 = 2^1 \times 3^3 \times x^3 \times y^5\)
\(B = 36x^4y^2 = 2^2 \times 3^2 \times x^4 \times y^2\)
\(C = 90x^6y^3 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times x^6 \times y^3\)

ដូច្នេះ គេបាន \(2^1 \times 3^2 \times x^3 \times y^2 = 18x^3y^2\) ជាតួចែករួមធំបំផុត ។
\(2^2 \times 3^3 \times 5 \times x^6 \times y^5 = 540x^6y^5\) ជាពហុគុណរួមតូចបំផុត ។

៥លំហាត់គំរូ ៥

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃកន្សោម \(x^2(x - 1)\) និង \(x(x - 1)(x + 1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេអាចដោះស្រាយតាមវិធីម្យ៉ាងទៀតដូចខាងក្រោម ៖

\(x^2\)	\((x - 1)\)
\(x\)	\((x - 1)\)	\((x + 1)\)
\(x\)	\((x - 1)\)	តួចែករួមធំបំផុត ។
\(x^2\)	\(\times (x - 1)\)	\(\times (x + 1)\) ពហុគុណរួមតូចបំផុត ។

ដូច្នេះតួចែករួមធំបំផុតគឺ \(x(x - 1)\) និងពហុគុណរួមតូចបំផុតគឺ \(x^2(x - 1)(x + 1)\) ។

ប្រតិបត្តិ

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុត ៖

ក. \(3x^5\), \(4x^7\) និង \(5x^3\)	ខ. \(25x^3y^2\), \(30x^6y^3\) និង \(15x^2y^4\)
គ. \(4x^2 - 2x - 12\) និង \(4x^2 - 16\) ។

មើលចម្លើយ

	តួចែករួមធំបំផុត	ពហុគុណរួមតូចបំផុត
ក.	\(x^3\)	\(60x^7\)
ខ.	\(5x^2y^2\)	\(150x^6y^4\)
គ.	\(2(x - 2)\)	\(4(2x + 3)(x^2 - 4)\)

ប្រតិបត្តិ

ក. គេឱ្យការ៉េមួយដែលមានរង្វាស់ជ្រុងស្មើនឹង \(r\) រកតួចែករួមធំបំផុតនៃផ្ទៃក្រឡាការ៉េ និងផ្ទៃក្រឡារង្វង់។
ខ. តាង \(A_1\) និង \(A_2\) ជាផ្ទៃបាត និងផ្ទៃខាងរៀងគ្នានៃស៊ីឡាំងបរិវត្តមួយដែលមានកាំនៃបាតស្មើនឹង \(r\) និងកម្ពស់ស្មើនឹង \(h\) ។ រកតួចែករួមធំបំផុតនៃ \(A_1\) និង \(A_2\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(r^2\)

ខ. \(\pi r\) ។

ប្រមាណវិធីលើប្រភាគសនិទាន

ការសម្រួលកន្សោមប្រភាគ

កន្សោមដែលមានទម្រង់ \(\frac{A}{B}\) \((B \neq 0)\) ហៅថាប្រភាគសនិទាន ហើយ \(A\) ជាភាគយក និង \(B\) ជាភាគបែង។ កន្សោមប្រភាគ \(\frac{A}{B}\) និង \(\frac{A'}{B'}\) \((B \neq 0, B' \neq 0)\) សមមូលគ្នា កាលណាវាមាផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(A \times B' = A' \times B\) ។

ពេលដែល \(A\) ចែកដាច់នឹង \(B\) នោះគេបាន \(\frac{A}{B}\) ជាផលចែក។ កន្សោមប្រភាគ \(\frac{A}{1}\) គឺសមមូលនឹងកន្សោមពីជគណិត \(A\) ។

ជាទូទៅ

\(\frac{A \times B}{B \times C} = \frac{A}{C}\) \((B \neq 0, C \neq 0)\) ។

ដូច្នេះ បើភាគយកនិងភាគបែង មានតួចែករួមនោះ គេអាចសម្រួលប្រភាគឱ្យទៅជាប្រភាគមិនអាចសម្រួលបាន។

បើគេចែកភាគយកនិងភាគបែងដោយតួចែករួមធំបំផុតរបស់វានោះ គេបានកន្សោមប្រភាគដែលមិនអាចសម្រួលបាន។

៦លំហាត់គំរូ ៦

សម្រួលកន្សោម \(\frac{2x^2 - x - 1}{x^3 - 1}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\frac{2x^2 - x - 1}{x^3 - 1} = \frac{(x - 1)(2x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) ។

ប្រតិបត្តិ

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម និងបំប្លែងវាទៅជាកន្សោមប្រភាគដែលមិនអាចសម្រួលបាន ៖

ក. \(\dfrac{3a^2b^3c}{9ab^4c^3}\)	ខ. \(\dfrac{x^2 - 1}{x^3 + 1}\)
គ. \(\dfrac{a^3 - a^2 - 2a}{a^3 - 4a}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{a}{3bc^2}; \; (b \neq 0, c \neq 0)\)	ខ. \(\dfrac{x - 1}{x^2 - x + 1}; \; (x + 1 \neq 0)\)
គ. \(\dfrac{a + 1}{a + 2}; \; (a \neq 0, a - 2 \neq 0)\) ។

៧លំហាត់គំរូ ៧

សរសេរកន្សោមប្រភាគ \(\frac{2}{x + 1}\) និង \(\frac{3}{x - 1}\) ឱ្យទៅជាកន្សោមប្រភាគដែលមានតួចែកដូចគ្នា (ភាគបែងរួម) ។

ដំណោះស្រាយ

គេបាន \(\frac{2}{x + 1} = \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}\) និង \(\frac{3}{x - 1} = \frac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}\) ។

ការធ្វើភាគបែងឱ្យស្មើគ្នាហៅថា ការតម្រូវភាគបែងកន្សោមប្រភាគឱ្យដូចគ្នា ។

ប្រតិបត្តិ

តម្រូវភាគបែងនៃកន្សោមប្រភាគនីមួយៗខាងក្រោម ៖

ក. \(\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}, \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}\)	ខ. \(\dfrac{x}{yz}, \dfrac{y}{zx}, \dfrac{z}{xy}\)
គ. \(\dfrac{1}{x + y}, \dfrac{1}{y - x}, \dfrac{1}{x^2 - y^2}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}, \; \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\)	ខ. \(\dfrac{x^2}{xyz}, \; \dfrac{y^2}{xyz}, \; \dfrac{z^2}{xyz}\)
គ. \(\dfrac{x - y}{x^2 - y^2}, \; \dfrac{-(x + y)}{x^2 - y^2}, \; \dfrac{1}{x^2 - y^2}\) ។

ប្រមាណវិធីបូកនិងប្រមាណវិធីដកនៃកន្សោមប្រភាគ

រំលឹក : ប្រមាណវិធីបូកនិងប្រមាណវិធីដកនៃកន្សោមប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា អាចអនុវត្តវិធីដូចតទៅ៖

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\) និង \(\frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1 - 2}{5} = -\frac{1}{5}\) ។

ជាទូទៅ

\(\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}\) និង \(\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C} \quad{} (C \neq 0)\) ។

វិធាន

តម្រូវប្រភាគនីមួយៗឱ្យមានភាគបែងរួម ។
ធ្វើប្រមាណវិធីបូក ឬដកតែភាគយក រក្សាទុកភាគបែងរួម ។
សម្រួលលទ្ធផល ។

៨លំហាត់គំរូ ៨

គណនា \(\frac{x + 8}{x^2 + x - 2} - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 2}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \frac{x + 8}{x^2 + x - 2} - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 2} & = \frac{x + 8}{(x + 2)(x - 1)} - \frac{x + 4}{(x + 2)(x + 1)} \\ & = \frac{(x + 8)(x + 1) - (x + 4)(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)} \\ & = \frac{x^2 + 9x + 8 - x^2 - 3x + 4}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)} \\ & = \frac{6x + 12}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)} \\ & = \frac{6(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)} \\ \frac{x + 8}{x^2 + x - 2} - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 2} & = \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} \text{~។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

ក. \(\dfrac{x}{x^2 - 1} - \dfrac{1}{x^2 - 1}\)	ខ. \(\dfrac{x + 2}{x - 2} + \dfrac{4}{2 - x}\)
គ. \(\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{2a}{1 - a^2}\)	ឃ. \(\dfrac{x - 2}{x^2 - x + 1} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{x^2 + x + 3}{x^3 + 1}\)

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{1}{x + 1}; \; (x - 1 \neq 0)\)	ខ. \(1; \; (2 - x \neq 0)\)
គ. \(\dfrac{1}{1 - a}; \; (1 + a \neq 0)\)	ឃ. \(\dfrac{x}{x^2 - x + 1}; \; (x + 1 \neq 0)\) ។

ប្រតិបត្តិ

បង្ហាញថា \(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{2}{x^2 + 1} - \dfrac{4}{x^4 + 1} = \dfrac{8}{x^8 - 1}\) ។

ប្រមាណវិធីគុណនិងប្រមាណវិធីចែក

រំលឹក : ប្រមាណវិធីគុណនិងចែកនៃកន្សោមពីជគណិត

\(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}, \quad{} \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) ។

ជាទូទៅ

\(\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}\) និង \(\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \times D}{B \times C} \quad{} (B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0)\) ។

វិធាន

ដាក់ភាគយក និងភាគបែងនៃកន្សោមប្រភាគទាំងអស់ជាផលគុណកត្តា។
សម្រួលកន្សោមប្រភាគនីមួយៗ។
ធ្វើប្រមាណវិធីគុណ ឬចែកតាមរូបមន្តខាងលើ។

៩លំហាត់គំរូ ៩

គណនាកន្សោមប្រភាគ \(\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 4} \div \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 4x + 4}\) ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 4} \div \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 4x + 4} & = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 4} \times \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4x + 3} \\ & = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)} \times \frac{(x + 2)^2}{(x - 3)(x - 1)} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)}; \; (x - 3 \neq 0, x + 2 \neq 0) \text{~។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ

គណនាកន្សោមប្រភាគខាងក្រោម ៖

ក. \(\dfrac{x^2 - 49}{x^2 + 2x} \times \dfrac{x + 2}{x - 7}\)	ខ. \(\dfrac{2a - 1}{a^2 - 2a + 1} \times \dfrac{a^2 - 3a + 2}{4a^2 - 1}\)
គ. \(\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \dfrac{x^3 - 8}{2x + 4}\)	ឃ. \(\dfrac{2x^3 + 7x^2 + 6x}{3x^2 + 5x - 2} \div \dfrac{4x^3 - 9x}{6x^2 - 11x + 3}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(\dfrac{x + 7}{x}; \; (x - 7 \neq 0, x + 2 \neq 0)\)	ខ. \(\dfrac{a - 2}{2a^2 - a - 1}; \; (a - 1 \neq 0)\)
គ. \(\dfrac{2}{x^2 + 2x + 4}; \; (x - 4 \neq 0)\)	ឃ. \(1; \; (x + 2 \neq 0, 4x^2 - 9 \neq 0, 3x - 1 \neq 0)\) ។

ប្រតិបត្តិ

សម្រួលកន្សោមប្រភាគ ៖

ក. \(\dfrac{x - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)

ខ. \(\dfrac{\frac{a + 2}{2}}{a - \frac{2}{a + 1}}\) ។

មើលចម្លើយ

ក. \(x + 1; \; (x - 1 \neq 0)\)

ខ. \(\dfrac{a + 1}{2a - 2}; \; (a + 2 \neq 0)\) ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដនៃពហុធាខាងក្រោម ៖

\[(6x^2 - 7x + 2) \div (2x - 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((6x^2 - 7x + 2) \div (2x - 1)\) ៖

យក \(6x^2 \div 2x = 3x\) ៖ ដក \(3x(2x - 1) = 6x^2 - 3x\) នៅសល់ \(-4x + 2\)
យក \(-4x \div 2x = -2\) ៖ ដក \(-2(2x - 1) = -4x + 2\) នៅសល់ \(0\)

សមភាពចែក ៖

\[6x^2 - 7x + 2 = (2x - 1)(3x - 2) + 0\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = 3x - 2\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

២លំហាត់ទី ២

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(4x^3 - 3x - 9) \div (2x - 3)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((4x^3 - 3x - 9) \div (2x - 3)\) ៖

យក \(4x^3 \div 2x = 2x^2\) ៖ ដក \(2x^2(2x - 3) = 4x^3 - 6x^2\) នៅសល់ \(6x^2 - 3x - 9\)
យក \(6x^2 \div 2x = 3x\) ៖ ដក \(3x(2x - 3) = 6x^2 - 9x\) នៅសល់ \(6x - 9\)
យក \(6x \div 2x = 3\) ៖ ដក \(3(2x - 3) = 6x - 9\) នៅសល់ \(0\)

សមភាពចែក ៖

\[4x^3 - 3x - 9 = (2x - 3)(2x^2 + 3x + 3) + 0\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = 2x^2 + 3x + 3\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

៣លំហាត់ទី ៣

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1)\) ៖

យក \(x^3 \div x = x^2\) ៖ ដក \(x^2(x - 1) = x^3 - x^2\) នៅសល់ \(-x^2 - 5x + 6\)
យក \(-x^2 \div x = -x\) ៖ ដក \(-x(x - 1) = -x^2 + x\) នៅសល់ \(-6x + 6\)
យក \(-6x \div x = -6\) ៖ ដក \(-6(x - 1) = -6x + 6\) នៅសល់ \(0\)

សមភាពចែក ៖

\[x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) + 0\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = x^2 - x - 6\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

៤លំហាត់ទី ៤

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(2x^3 + 5x^2 - 4x - 5) \div (2x + 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((2x^3 + 5x^2 - 4x - 5) \div (2x + 1)\) ៖

យក \(2x^3 \div 2x = x^2\) ៖ ដក \(x^2(2x + 1) = 2x^3 + x^2\) នៅសល់ \(4x^2 - 4x - 5\)
យក \(4x^2 \div 2x = 2x\) ៖ ដក \(2x(2x + 1) = 4x^2 + 2x\) នៅសល់ \(-6x - 5\)
យក \(-6x \div 2x = -3\) ៖ ដក \(-3(2x + 1) = -6x - 3\) នៅសល់ \(-5 - (-3) = -2\)

សមភាពចែក ៖

\[2x^3 + 5x^2 - 4x - 5 = (2x + 1)(x^2 + 2x - 3) - 2\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) និងសំណល់ \(R = -2\)។

៥លំហាត់ទី ៥

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(3x^3 - 5x^2 + 8x - 3) \div (3x - 2)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((3x^3 - 5x^2 + 8x - 3) \div (3x - 2)\) ៖

យក \(3x^3 \div 3x = x^2\) ៖ ដក \(x^2(3x - 2) = 3x^3 - 2x^2\) នៅសល់ \(-3x^2 + 8x - 3\)
យក \(-3x^2 \div 3x = -x\) ៖ ដក \(-x(3x - 2) = -3x^2 + 2x\) នៅសល់ \(6x - 3\)
យក \(6x \div 3x = 2\) ៖ ដក \(2(3x - 2) = 6x - 4\) នៅសល់ \(-3 - (-4) = 1\)

សមភាពចែក ៖

\[3x^3 - 5x^2 + 8x - 3 = (3x - 2)(x^2 - x + 2) + 1\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = x^2 - x + 2\) និងសំណល់ \(R = 1\)។

៦លំហាត់ទី ៦

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5) \div (x^2 - x + 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5) \div (x^2 - x + 1)\) ៖

យក \(x^4 \div x^2 = x^2\) ៖ ដក \(x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2\) នៅសល់ \(-2x^3 + x^2 - 5\)
យក \(-2x^3 \div x^2 = -2x\) ៖ ដក \(-2x(x^2 - x + 1) = -2x^3 + 2x^2 - 2x\) នៅសល់ \(-x^2 + 2x - 5\)
យក \(-x^2 \div x^2 = -1\) ៖ ដក \(-1(x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1\) នៅសល់ \(x - 4\)

សមភាពចែក ៖

\[\begin{aligned} x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5 &= (x^2 - x + 1)(x^2 - 2x - 1) \\ &\quad{} + (x - 4) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = x^2 - 2x - 1\) និងសំណល់ \(R(x) = x - 4\)។

៧លំហាត់ទី ៧

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1) \div (x^2 + 2x - 3)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ \((2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1) \div (x^2 + 2x - 3)\) ៖

យក \(2x^4 \div x^2 = 2x^2\) ៖ ដក \(2x^2(x^2 + 2x - 3) = 2x^4 + 4x^3 - 6x^2\) នៅសល់ \(-x^3 + 4x^2 + x - 1\)
យក \(-x^3 \div x^2 = -x\) ៖ ដក \(-x(x^2 + 2x - 3) = -x^3 - 2x^2 + 3x\) នៅសល់ \(6x^2 - 2x - 1\)
យក \(6x^2 \div x^2 = 6\) ៖ ដក \(6(x^2 + 2x - 3) = 6x^2 + 12x - 18\) នៅសល់ \(-14x + 17\)

សមភាពចែក ៖

\[\begin{aligned} &2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 1 \\ &= (x^2 + 2x - 3)(2x^2 - x + 6) + (-14x + 17) \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = 2x^2 - x + 6\) និងសំណល់ \(R(x) = -14x + 17\)។

៨លំហាត់ទី ៨

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

\[(a^4 - 4a^3 - 10a^2 + 2a + 5) \div (5a + 4 - a^2)\]

មើលដំណោះស្រាយ

តម្រៀបពហុធាតាមលំដាប់ស្វ័យគុណចុះ ៖

\[(a^4 - 4a^3 - 10a^2 + 2a + 5) \div (-a^2 + 5a + 4)\]

យក \(a^4 \div (-a^2) = -a^2\) ៖ ដក \(-a^2(-a^2 + 5a + 4) = a^4 - 5a^3 - 4a^2\) នៅសល់ \(a^3 - 6a^2 + 2a + 5\)
យក \(a^3 \div (-a^2) = -a\) ៖ ដក \(-a(-a^2 + 5a + 4) = a^3 - 5a^2 - 4a\) នៅសល់ \(-a^2 + 6a + 5\)
យក \(-a^2 \div (-a^2) = 1\) ៖ ដក \(1(-a^2 + 5a + 4) = -a^2 + 5a + 4\) នៅសល់ \(a + 1\)

សមភាពចែក ៖

\[\begin{aligned} &a^4 - 4a^3 - 10a^2 + 2a + 5 \\ &= (-a^2 + 5a + 4)(-a^2 - a + 1) + (a + 1) \end{aligned}\]

ផលចែកគឺ \(Q(a) = -a^2 - a + 1\) និងសំណល់ \(R(a) = a + 1\)។

៩លំហាត់ទី ៩

រកពហុធា \(P(x)\) បើដឹងថាចែក \(P(x)\) នឹង \((3x^2 + 1)\) ទទួលបានផលចែក \((x^3 - 2)\) និងសំណល់ \((4x - 5)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្តនៃវិធីចែកអឺគ្លីដ \(P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)\) ដែល \(D(x) = 3x^2 + 1\), \(Q(x) = x^3 - 2\), \(R(x) = 4x - 5\) ៖

\[\begin{aligned} P(x) &= (3x^2 + 1)(x^3 - 2) + (4x - 5) \\ &= 3x^2(x^3 - 2) + 1(x^3 - 2) + 4x - 5 \\ &= 3x^5 - 6x^2 + x^3 - 2 + 4x - 5 \\ &= 3x^5 + x^3 - 6x^2 + 4x - 7 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ពហុធាដែលត្រូវរកគឺ \(P(x) = 3x^5 + x^3 - 6x^2 + 4x - 7\)។

១០លំហាត់ទី ១០

រកពហុធា \(A(x)\) បើដឹងថា \((2x^2 - 3x + 1) \cdot A(x) = 6x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 7x - 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមសមភាព \((2x^2 - 3x + 1) \cdot A(x) = 6x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 7x - 2\) គេទាញបាន ៖

\[A(x) = \dfrac{6x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 7x - 2}{2x^2 - 3x + 1}\]

ធ្វើវិធីចែកអឺគ្លីដ ៖

យក \(6x^4 \div 2x^2 = 3x^2\) ៖ ដក \(3x^2(2x^2 - 3x + 1) = 6x^4 - 9x^3 + 3x^2\) នៅសល់ \(2x^3 - 7x^2 + 7x - 2\)
យក \(2x^3 \div 2x^2 = x\) ៖ ដក \(x(2x^2 - 3x + 1) = 2x^3 - 3x^2 + x\) នៅសល់ \(-4x^2 + 6x - 2\)
យក \(-4x^2 \div 2x^2 = -2\) ៖ ដក \(-2(2x^2 - 3x + 1) = -4x^2 + 6x - 2\) នៅសល់ \(0\)

ដូចនេះ ពហុធាដែលត្រូវរកគឺ \(A(x) = 3x^2 + x - 2\)។

១១លំហាត់ទី ១១

ប្រើក្បួនហន័រ ឬវិធីចែកសំយោគ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \div (x - 2)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើក្បួនហន័រចែកនឹង \(x - 2\) (\(c = 2\)) ៖

	1	-4	5	-2
2		2	-4	2
	1	-2	1	0

មេគុណនៃផលចែកគឺ \(1, -2, 1\) និងសំណល់ \(0\)។
ដូចនេះ ផលចែក \(Q(x) = x^2 - 2x + 1\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

១២លំហាត់ទី ១២

ប្រើក្បួនហន័រ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(2x^3 - 7x^2 + 9x - 3) \div (x - 3)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើក្បួនហន័រចែកនឹង \(x - 3\) (\(c = 3\)) ៖

	2	-7	9	-3
3		6	-3	18
	2	-1	6	15

មេគុណនៃផលចែកគឺ \(2, -1, 6\) និងសំណល់ \(15\)។
ដូចនេះ ផលចែក \(Q(x) = 2x^2 - x + 6\) និងសំណល់ \(R = 15\)។

១៣លំហាត់ទី ១៣

ប្រើក្បួនហន័រ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(3x^3 + 8x^2 - x - 10) \div (x + 2)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើក្បួនហន័រចែកនឹង \(x + 2 = x - (-2)\) (\(c = -2\)) ៖

	3	8	-1	-10
-2		-6	-4	10
	3	2	-5	0

មេគុណនៃផលចែកគឺ \(3, 2, -5\) និងសំណល់ \(0\)។
ដូចនេះ ផលចែក \(Q(x) = 3x^2 + 2x - 5\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

១៤លំហាត់ទី ១៤

ប្រើក្បួនហន័រ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12) \div (x + 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើក្បួនហន័រចែកនឹង \(x + 1 = x - (-1)\) (\(c = -1\)) ៖

	1	-2	-7	8	12
-1		-1	3	4	-12
	1	-3	-4	12	0

មេគុណនៃផលចែកគឺ \(1, -3, -4, 12\) និងសំណល់ \(0\)។
ដូចនេះ ផលចែក \(Q(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) និងសំណល់ \(R = 0\)។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ប្រើក្បួនហន័រ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(4x^3 - 6x^2 + 8x - 5) \div \left(x - \dfrac{1}{2}\right)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រើក្បួនហន័រចែកនឹង \(x - \dfrac{1}{2}\) (\(c = \dfrac{1}{2}\)) ៖

	4	-6	8	-5
\(1/2\)		2	-2	3
	4	-4	6	-2

មេគុណនៃផលចែកគឺ \(4, -4, 6\) និងសំណល់ \(-2\)។
ដូចនេះ ផលចែកគឺ \(Q(x) = 4x^2 - 4x + 6\) និងសំណល់ \(R = -2\)។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ប្រើក្បួនហន័រ រកផលចែក និងសំណល់ ៖

\[(2x^3 + 3x^2 - 6x - 5) \div (2x - 1)\]

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកនឹង \(2x - 1 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\)។ ជាដំបូងចែកនឹង \(x - \dfrac{1}{2}\) ដោយប្រើតារាងហន័រ (\(c = \dfrac{1}{2}\)) ៖

	2	3	-6	-5
\(1/2\)		1	2	-2
	2	4	-4	-7

ដោយតួចែកដើមគឺ \(2x - 1\) នោះមេគុណផលចែកត្រូវចែកនឹង \(2\) ៖

\[Q(x) = \dfrac{2x^2 + 4x - 4}{2} = x^2 + 2x - 2\]

សំណល់នៃការចែកមិនប្រែប្រួលទេ គឺ \(R = -7\)។

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាតម្លៃនៃ \(P(3)\) ចំពោះ \(P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) ដោយប្រើតារាងហន័រ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃ \(P(3)\) ចំពោះ \(P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) ដោយប្រើតារាងហន័រ (\(c = 3\)) ៖

	1	-3	2	-5	7
3		3	0	6	3
	1	0	2	1	10

តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ តម្លៃនៃពហុធា \(P(3)\) គឺស្មើនឹងសំណល់ចុងក្រោយនៃតារាងហន័រ។
ដូចនេះ \(P(3) = 10\)។

១៨លំហាត់ទី ១៨

គណនាតម្លៃនៃ \(P(-2)\) ចំពោះ \(P(x) = 2x^4 + 5x^3 - 4x + 6\) ដោយប្រើតារាងហន័រ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាតម្លៃនៃ \(P(-2)\) ចំពោះ \(P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 0x^2 - 4x + 6\) ដោយប្រើតារាងហន័រ (\(c = -2\)) ៖

	2	5	0	-4	6
-2		-4	-2	4	0
	2	1	-2	0	6

តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ តម្លៃនៃពហុធា \(P(-2)\) គឺស្មើនឹងសំណល់ចុងក្រោយនៃតារាងហន័រ។
ដូចនេះ \(P(-2) = 6\)។

១៩លំហាត់ទី ១៩

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទសំណល់ ចូរកំណត់សំណល់នៃការចែក \(P(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5\) នឹង \((x - 1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ សំណល់នៃការចែក \(P(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5\) នឹង \(x - 1\) គឺស្មើនឹង \(R = P(1)\) ៖

\[\begin{aligned} R = P(1) &= 3(1)^3 - 4(1)^2 + 2(1) - 5 \\ &= 3(1) - 4(1) + 2 - 5 \\ &= 3 - 4 + 2 - 5 = -4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណល់គឺ \(R = -4\)។

២០លំហាត់ទី ២០

រកសំណល់នៃការចែក \(P(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3x - 8\) នឹង \((x + 2)\) ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទសំណល់។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ សំណល់នៃការចែក \(P(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3x - 8\) នឹង \(x + 2 = x - (-2)\) គឺ \(R = P(-2)\) ៖

\[\begin{aligned} R = P(-2) &= 2(-2)^4 - 5(-2)^2 + 3(-2) - 8 \\ &= 2(16) - 5(4) - 6 - 8 \\ &= 32 - 20 - 6 - 8 = -2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណល់គឺ \(R = -2\)។

២១លំហាត់ទី ២១

រកសំណល់នៃការចែក \(P(x) = 4x^3 - 6x + 7\) នឹង \((2x - 1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

កំណត់ឫសនៃតួចែក ៖ \(2x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{2}\)។
តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ សំណល់គឺ \(R = P\left(\dfrac{1}{2}\right)\) ៖

\[\begin{aligned} R &= 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\dfrac{1}{2}\right) + 7 \\ &= 4\left(\dfrac{1}{8}\right) - 3 + 7 \\ &= \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{9}{2} \end{aligned}\]

ដូចនេះ សំណល់គឺ \(R = \dfrac{9}{2} = 4.5\)។

២២លំហាត់ទី ២២

ពហុធា \(P(x) = x^3 + kx^2 - 2x + 4\) ចែកនឹង \((x - 2)\) មានសំណល់ស្មើ \(12\)។ រកតម្លៃ \(k\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទសំណល់ សំណល់នៃការចែក \(P(x) = x^3 + kx^2 - 2x + 4\) នឹង \(x - 2\) គឺ \(R = P(2)\)។ ដោយ \(R = 12\) គេបាន ៖

\[\begin{aligned} P(2) = 12 &\iff 2^3 + k(2)^2 - 2(2) + 4 = 12 \\ &\iff 8 + 4k - 4 + 4 = 12 \\ &\iff 4k + 8 = 12 \\ &\iff 4k = 4 \implies k = 1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(k = 1\)។

២៣លំហាត់ទី ២៣

ពហុធា \(P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + b\) ចែកនឹង \((x - 1)\) សល់ \(3\) ហើយចែកនឹង \((x + 1)\) សល់ \(-5\)។ រកតម្លៃ \(a\) និង \(b\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ពហុធា \(P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + b\)។ តាមបម្រាប់ ៖

ចែកនឹង \((x - 1)\) សល់ \(3 \implies P(1) = 3\) ៖
\[\begin{aligned} 2(1)^3 - 1^2 + a(1) + b &= 3 \\ \iff 2 - 1 + a + b &= 3 \\ \iff a + b &= 2 \quad{} (1) \end{aligned}\]
ចែកនឹង \((x + 1)\) សល់ \(-5 \implies P(-1) = -5\) ៖
\[\begin{aligned} 2(-1)^3 - (-1)^2 + a(-1) + b &= -5 \\ \iff -2 - 1 - a + b &= -5 \\ \iff -a + b &= -2 \quad{} (2) \end{aligned}\]

បូកសមីការ \((1)\) និង \((2)\) អង្គនិងអង្គ ៖

\[2b = 0 \implies b = 0\]

ជំនួស \(b = 0\) ចូល \((1)\) ៖ \(a + 0 = 2 \implies a = 2\)។
ដូចនេះ \(a = 2\) និង \(b = 0\)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

ពហុធា \(P(x)\) មួយចែកនឹង \((x - 1)\) សល់ \(4\) ហើយចែកនឹង \((x - 3)\) សល់ \(10\)។ រកសំណល់នៃការចែក \(P(x)\) នឹង \((x - 1)(x - 3)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោយតួចែក \((x - 1)(x - 3)\) ជាពហុធាដឺក្រេទី ២ នោះសំណល់ត្រូវតែជាពហុធាដឺក្រេយ៉ាងច្រើនទី ១ ដែលមានទម្រង់ ៖

\[R(x) = ax + b\]

សមភាពចែកគឺ \(P(x) = Q(x)(x - 1)(x - 3) + (ax + b)\)។
តាមបម្រាប់ ៖

ចែកនឹង \(x - 1\) សល់ \(4 \implies P(1) = a(1) + b = 4 \iff a + b = 4\)
ចែកនឹង \(x - 3\) សល់ \(10 \implies P(3) = a(3) + b = 10 \iff 3a + b = 10\)

ដកសមីការទាំងពីរ ៖

\[(3a + b) - (a + b) = 10 - 4 \implies 2a = 6 \implies a = 3\]

ជំនួស \(a = 3\) ចូល \(a + b = 4 \implies 3 + b = 4 \implies b = 1\)។
ដូចនេះ សំណល់គឺ \(R(x) = 3x + 1\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

ពហុធា \(P(x)\) ចែកនឹង \((x - 2)\) សល់ \(5\) ហើយចែកនឹង \((x + 3)\) សល់ \(-5\)។ រកសំណល់នៃការចែក \(P(x)\) នឹង \((x^2 + x - 6)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

សង្កេតឃើញ \(x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)\) ជាពហុធាដឺក្រេទី ២ នាំឱ្យសំណល់មានទម្រង់ \(R(x) = ax + b\)។
សមភាពចែកគឺ \(P(x) = Q(x)(x - 2)(x + 3) + (ax + b)\)។
តាមបម្រាប់ ៖

\(P(2) = 2a + b = 5\)
\(P(-3) = -3a + b = -5\)

ដកសមីការទាំងពីរ ៖

\[\begin{aligned} (2a + b) - (-3a + b) &= 5 - (-5) \\ \implies 5a = 10 &\implies a = 2 \end{aligned}\]

ជំនួស \(a = 2\) ចូល \(2(2) + b = 5 \implies b = 1\)។
ដូចនេះ សំណល់នៃការចែកគឺ \(R(x) = 2x + 1\)។

២៦លំហាត់ទី ២៦

បង្ហាញថា \((x - 2)\) ជាកត្តានៃពហុធា \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទកត្តា ទ្វេធា \((x - 2)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) លុះត្រាតែ \(P(2) = 0\)។ គណនា \(P(2)\) ៖

\[\begin{aligned} P(2) &= 2^3 - 3(2)^2 + 4 \\ &= 8 - 3(4) + 4 \\ &= 8 - 12 + 4 = 0 \end{aligned}\]

ដោយ \(P(2) = 0\) ដូចនេះ \((x - 2)\) ពិតជាកត្តានៃពហុធា \(P(x)\)។

២៧លំហាត់ទី ២៧

បង្ហាញថា \((x + 3)\) ជាកត្តានៃពហុធា \(P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x - 3\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទកត្តា \((x + 3)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x - 3\) លុះត្រាតែ \(P(-3) = 0\)។ គណនា \(P(-3)\) ៖

\[\begin{aligned} P(-3) &= 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 4(-3) - 3 \\ &= 2(-27) + 5(9) + 12 - 3 \\ &= -54 + 45 + 12 - 3 = 0 \end{aligned}\]

ដោយ \(P(-3) = 0\) ដូចនេះ \((x + 3)\) ជាកត្តានៃពហុធា \(P(x)\)។

២៨លំហាត់ទី ២៨

រកតម្លៃនៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យ \((x - 3)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = x^3 - 2x^2 + mx - 12\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទកត្តា \((x - 3)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = x^3 - 2x^2 + mx - 12\) លុះត្រាតែ \(P(3) = 0\) ៖

\[\begin{aligned} P(3) = 0 &\iff 3^3 - 2(3)^2 + m(3) - 12 = 0 \\ &\iff 27 - 18 + 3m - 12 = 0 \\ &\iff 3m - 3 = 0 \\ &\iff 3m = 3 \implies m = 1 \end{aligned}\]

ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(m = 1\)។

២៩លំហាត់ទី ២៩

រកតម្លៃនៃ \(a\) ដើម្បីឱ្យ \((x + 1)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = 3x^3 + ax^2 - 5x + 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\((x + 1)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = 3x^3 + ax^2 - 5x + 2\) លុះត្រាតែ \(P(-1) = 0\) ៖

\[\begin{aligned} P(-1) = 0 &\iff -3 + a + 5 + 2 = 0 \\ &\iff a + 4 = 0 \implies a = -4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវរកគឺ \(a = -4\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

រកតម្លៃនៃ \(a\) និង \(b\) ដើម្បីឱ្យពហុធា \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\) ចែកដាច់នឹង \((x - 1)\) ផង និង \((x + 2)\) ផង។

មើលដំណោះស្រាយ

ពហុធា \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\) ចែកដាច់នឹង \((x - 1)\) និង \((x + 2)\) នាំឱ្យ \(P(1) = 0\) និង \(P(-2) = 0\) ៖

\(P(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 = 0 \iff a + b = 5 \quad{} (1)\)
\(P(-2) = 0\) ៖
\[\begin{aligned} -8 + 4a - 2b - 6 = 0 &\iff 4a - 2b = 14 \\ &\iff 2a - b = 7 \quad{} (2) \end{aligned}\]

បូក \((1)\) និង \((2)\) អង្គនិងអង្គ ៖

\[3a = 12 \implies a = 4\]

ជំនួស \(a = 4\) ចូល \((1)\) ៖ \(4 + b = 5 \implies b = 1\)។
ដូចនេះ \(a = 4\) និង \(b = 1\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖ \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\) ដោយដឹងថា \(x = -1\) ជាឫសមួយរបស់ពហុធា។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោយ \(x = -1\) ជាឫស នោះ \((x + 1)\) ជាកត្តានៃ \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)។ ចែក \(P(x)\) នឹង \(x + 1\) ដោយប្រើតារាងហន័រ (\(c = -1\)) ៖

	1	-4	1	6
-1		-1	5	-6
	1	-5	6	0

ផលចែកគឺ \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)។
ដូចនេះ ផលគុណកត្តាគឺ ៖

\[P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\]

៣២លំហាត់ទី ៣២

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖ \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2\) ដោយស្វែងរកឫសងាយមួយជាមុន។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្វែងរកឫសងាយនៃ \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2\) ៖ - ចំពោះ \(x = -1\) ៖ \(P(-1) = 2(-1) - 3(1) - 3(-1) + 2 = -2 - 3 + 3 + 2 = 0\)។ នាំឱ្យ \((x + 1)\) ជាកត្តាមួយ។ ចែក \(P(x)\) នឹង \(x + 1\) តាមក្បួនហន័រ ៖

	2	-3	-3	2
-1		-2	5	-2
	2	-5	2	0

ផលចែកគឺ \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)\)។
ដូចនេះ ផលគុណកត្តាគឺ ៖

\[P(x) = (x + 1)(2x - 1)(x - 2)\]

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រក PGCD និង PPCM នៃឯកធា ៖ \(18a^3b^2c\) និង \(30a^2b^3c^2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បំបែកឯកធានីមួយៗជាកត្តាបឋម ៖

\[\begin{aligned} 18a^3b^2c &= 2 \cdot 3^2 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot c \\ 30a^2b^3c^2 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^2 \end{aligned}\]

\(\text{PGCD}\) យកកត្តារួមដែលមានស្វ័យគុណតូចបំផុត ៖
\[\text{PGCD} = 2 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c = 6a^2b^2c\]
\(\text{PPCM}\) យកកត្តារួមនិងមិនរួមដែលមានស្វ័យគុណធំបំផុត ៖
\[\text{PPCM} = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot c^2 = 90a^3b^3c^2\]

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

រក PGCD និង PPCM នៃពហុធា ៖ \(A = (2x - 3)(x + 2)\) និង \(B = (2x - 3)(3x - 1)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

គេមាន \(A = (2x - 3)(x + 2)\) និង \(B = (2x - 3)(3x - 1)\) ៖

\(\text{PGCD}\) ជាកត្តារួម ៖
\[\text{PGCD} = 2x - 3\]
\(\text{PPCM}\) ជាផលគុណកត្តារួមនិងមិនរួម ៖
\[\text{PPCM} = (2x - 3)(x + 2)(3x - 1)\]

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រក PGCD និង PPCM នៃពហុធា ៖ \(A = x^2 - 4\) និង \(B = x^2 + 4x + 4\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

\[\begin{aligned} A &= x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \\ B &= x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \end{aligned}\]

\(\text{PGCD}\) (កត្តារួមស្វ័យគុណតូច) ៖ \(\text{PGCD} = x + 2\)
\(\text{PPCM}\) (កត្តាស្វ័យគុណធំ) ៖ \(\text{PPCM} = (x - 2)(x + 2)^2\)

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

រក PGCD និង PPCM នៃពហុធា ៖ \(A = x^2 - 9\) និង \(B = x^2 - 5x + 6\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

\[\begin{aligned} A &= x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \\ B &= x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \end{aligned}\]

\(\text{PGCD}\) យកកត្តារួម ៖ \(\text{PGCD} = x - 3\)
\(\text{PPCM}\) យកកត្តារួមនិងមិនរួម ៖ \(\text{PPCM} = (x - 3)(x + 3)(x - 2)\)

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

រក PGCD និង PPCM នៃពហុធា ៖ \(A = x^3 - 1\) និង \(B = x^2 + x - 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖

\[\begin{aligned} A &= x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \\ B &= x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \end{aligned}\]

\(\text{PGCD} = x - 1\)
\(\text{PPCM} = (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 1)\)

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

រក PGCD និង PPCM នៃពហុធា ៖ \(A = x^2 - 2x\), \(B = x^2 - 4\) និង \(C = x^2 - x - 2\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តានៃពហុធាទាំងបី ៖

\[\begin{aligned} A &= x^2 - 2x = x(x - 2) \\ B &= x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \\ C &= x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \end{aligned}\]

\(\text{PGCD}\) (កត្តារួមទាំងបី) ៖ \(\text{PGCD} = x - 2\)
\(\text{PPCM}\) ៖ \(\text{PPCM} = x(x - 2)(x + 2)(x + 1)\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

រកដែនកំណត់នៃប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ៖

\(\dfrac{2x + 1}{x - 3}\)
\(\dfrac{5}{x^2 - 4}\)
\(\dfrac{x - 1}{x^2 + 3x - 10}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ប្រភាគសនិទានមានន័យ (កំណត់) កាលណាភាគបែងខុសពីសូន្យ ៖

a. \(\dfrac{2x + 1}{x - 3}\) មានន័យកាលណា ៖
\[x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3\]
b. \(\dfrac{5}{x^2 - 4}\) មានន័យកាលណា ៖
\[x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2\]
c. \(\dfrac{x - 1}{x^2 + 3x - 10}\) មានន័យកាលណា ៖
\[\begin{aligned} x^2 + 3x - 10 \neq 0 &\iff (x + 5)(x - 2) \neq 0 \\ &\implies x \neq -5, \ x \neq 2 \end{aligned}\]

៤០លំហាត់ទី ៤០

សម្រួលប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ៖

\(\dfrac{6x^2y^3}{9xy^5}\)
\(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}\)

មើលដំណោះស្រាយ

សម្រួលប្រភាគសនិទាន ៖

a. \(\dfrac{6x^2y^3}{9xy^5} = \dfrac{3xy^3(2x)}{3xy^3(3y^2)} = \dfrac{2x}{3y^2}\)
b. \(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x - 3}{x + 3}\)

៤១លំហាត់ទី ៤១

សម្រួលប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ៖

\(\dfrac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}\)
\(\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}\)

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ភាគយកនិងភាគបែងជាកត្តា រួចសម្រួលកត្តារួម ៖

a. \(\dfrac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2} = \dfrac{2(x^2 - 4)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{2(x + 2)}{x + 1}\)
b. \(\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \dfrac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}\)

៤២លំហាត់ទី ៤២

សម្រួលប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ៖

\[\dfrac{x^2 + xy - 2y^2}{x^2 + 3xy + 2y^2}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ភាគយកនិងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ៖

\[\begin{aligned} \dfrac{x^2 + xy - 2y^2}{x^2 + 3xy + 2y^2} &= \dfrac{(x^2 - xy) + (2xy - 2y^2)}{(x^2 + xy) + (2xy + 2y^2)} \\ &= \dfrac{x(x - y) + 2y(x - y)}{x(x + y) + 2y(x + y)} \\ &= \dfrac{(x - y)(x + 2y)}{(x + y)(x + 2y)} = \dfrac{x - y}{x + y} \end{aligned}\]

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

គណនាផលបូក និងផលដកប្រភាគសនិទាន ៖

\(\dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1}\)
\(\dfrac{5}{x - 2} - \dfrac{3}{x + 2}\)

មើលដំណោះស្រាយ

តម្រូវភាគបែងរួមរួចគណនា ៖

a. ភាគបែងរួមគឺ \((x + 1)(x - 1) = x^2 - 1\) ៖
\[\begin{aligned} \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1} &= \dfrac{3(x - 1) + 2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= \dfrac{3x - 3 + 2x + 2}{x^2 - 1} \\ &= \dfrac{5x - 1}{x^2 - 1} \end{aligned}\]
b. ភាគបែងរួមគឺ \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4\) ៖
\[\begin{aligned} \dfrac{5}{x - 2} - \dfrac{3}{x + 2} &= \dfrac{5(x + 2) - 3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \dfrac{5x + 10 - 3x + 6}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{2x + 16}{x^2 - 4} = \dfrac{2(x + 8)}{x^2 - 4} \end{aligned}\]

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គណនាផលបូក និងផលដកប្រភាគសនិទាន ៖

\[\dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{2}{1 + x} + \dfrac{2x}{x^2 - 1}\]

មើលដំណោះស្រាយ

សង្កេតឃើញ \(1 - x = -(x - 1)\) នាំឱ្យ \(\dfrac{1}{1 - x} = -\dfrac{1}{x - 1}\)។ ភាគបែងរួមគឺ \((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\) ៖

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{2}{1 + x} + \dfrac{2x}{x^2 - 1} \\ &\quad{} = -\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{2x}{(x - 1)(x + 1)} \\ &\quad{} = \dfrac{-(x + 1) + 2(x - 1) + 2x}{(x - 1)(x + 1)} \\ &\quad{} = \dfrac{-x - 1 + 2x - 2 + 2x}{x^2 - 1} \\ &\quad{} = \dfrac{3x - 3}{x^2 - 1} = \dfrac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{3}{x + 1} \end{aligned}\]

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

គណនាផលគុណប្រភាគសនិទាន ៖

\[\dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \times \dfrac{x^2 - 9}{x - 2}\]

មើលដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តាគ្រប់ភាគយកនិងភាគបែង រួចសម្រួលកត្តារួម ៖

\[\begin{aligned} &\dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \times \dfrac{x^2 - 9}{x - 2} \\ &= \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \times \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 2} \\ &= (x + 2)(x - 3) \\ &= x^2 - x - 6 \end{aligned}\]

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

គណនាផលចែកប្រភាគសនិទាន ៖

\[\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} \div \dfrac{x - 1}{x + 2}\]

មើលដំណោះស្រាយ

គុណនឹងចម្រាសនៃតួចែក រួចសម្រួល ៖

\[\begin{aligned} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4} \div \dfrac{x - 1}{x + 2} &= \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 2)^2} \times \dfrac{x + 2}{x - 1} \\ &= \dfrac{x + 1}{x + 2} \end{aligned}\]

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

លំហាត់ PISA - ចលនានិងល្បឿន ៖ ចម្ងាយចរនៃរថយន្តមួយត្រូវបានកំណត់ដោយ \(s(t) = t^3 + 2t^2 - t - 2\) (គិតជា \(\text{km}\)) ក្នុងរយៈពេល \(t + 2\) (គិតជាម៉ោង)។

ចូរសរសេរកន្សោមនៃល្បឿនមធ្យម \(v(t) = \dfrac{s(t)}{t + 2}\) ជាពហុធាសម្រួលរួច។
ប្រសិនបើ \(t = 3\text{ h}\) ចូរគណនាល្បឿនមធ្យមនៃរថយន្តនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ចលនានិងល្បឿន ៖ ចម្ងាយចរ \(s(t) = t^3 + 2t^2 - t - 2\) ក្នុងរយៈពេល \(t + 2\)។

a. ដាក់ \(s(t)\) ជាផលគុណកត្តា ៖
\[\begin{aligned} s(t) &= t^2(t + 2) - 1(t + 2) \\ &= (t + 2)(t^2 - 1) \end{aligned}\]
កន្សោមនៃល្បឿនមធ្យមគឺ ៖
\[v(t) = \dfrac{s(t)}{t + 2} = \dfrac{(t + 2)(t^2 - 1)}{t + 2} = t^2 - 1\text{ km/h}\]
b. ចំពោះ \(t = 3\text{ h}\) ៖
\[v(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8\text{ km/h}\]

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

លំហាត់ PISA - ធន់ទ្រាំអគ្គិសនីតជាស្រប ៖ ក្នុងសៀគ្វីអគ្គិសនីមួយដែលមានរេស៊ីស្តង់ពីរ \(R_1 = x\) និង \(R_2 = x + 2\) (\(\Omega\)) តជាស្រប នោះរេស៊ីស្តង់សមមូល \(R\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\)។

ចូរសរសេរសមីការទាញរក \(R\) ជាប្រភាគសនិទាននៃ \(x\)។
បើ \(x = 4\ \Omega\) គណនាតម្លៃនៃរេស៊ីស្តង់សមមូល \(R\)។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ធន់ទ្រាំអគ្គិសនីតជាស្រប ៖

a. តាមរូបមន្តរេស៊ីស្តង់សមមូល \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\) ដោយ \(R_1 = x, R_2 = x + 2\) ៖
\[\begin{aligned} \dfrac{1}{R} &= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2} \\ &= \dfrac{(x + 2) + x}{x(x + 2)} = \dfrac{2x + 2}{x(x + 2)} \end{aligned}\]
ទាញរក \(R\) ដោយចម្រាសប្រភាគ ៖
\[R = \dfrac{x(x + 2)}{2x + 2} = \dfrac{x^2 + 2x}{2x + 2}\ (\Omega)\]
b. ចំពោះ \(x = 4\ \Omega\) ៖
\[R = \dfrac{4(4 + 2)}{2(4) + 2} = \dfrac{4(6)}{8 + 2} = \dfrac{24}{10} = 2.4\ \Omega\]

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

លំហាត់ PISA - អត្រាបូមទឹក ៖ ម៉ាស៊ីនបូមទឹកទី១ បូមទឹកពេញអាងក្នុងរយៈពេល \(x\) ម៉ោង ហើយម៉ាស៊ីនទី២ ត្រូវការរយៈពេល \((x + 3)\) ម៉ោង។

សរសេរប្រភាគតំណាងឱ្យបរិមាណទឹកដែលម៉ាស៊ីនទាំងពីររួមគ្នាអាចបូមបានក្នុងរយៈពេល ១ ម៉ោង។
ប្រសិនបើ \(x = 2\) ម៉ោង ចូរគណនាបរិមាណទឹកនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - អត្រាបូមទឹក ៖

a. ក្នុងរយៈពេល ១ ម៉ោង ៖ - ម៉ាស៊ីនទី១ បូមបាន \(\dfrac{1}{x}\) នៃអាង - ម៉ាស៊ីនទី២ បូមបាន \(\dfrac{1}{x + 3}\) នៃអាង បរិមាណទឹកដែលម៉ាស៊ីនទាំងពីរបូមបានរួមគ្នាក្នុង ១ ម៉ោងគឺ ៖
\[\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 3} &= \dfrac{(x + 3) + x}{x(x + 3)} \\ &= \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x}\text{ (នៃអាង)} \end{aligned}\]
b. ប្រសិនបើ \(x = 2\) ម៉ោង ៖
\[\dfrac{2(2) + 3}{2^2 + 3(2)} = \dfrac{4 + 3}{4 + 6} = \dfrac{7}{10} = 0.7\text{ នៃអាង}\]
(ស្មើនឹង \(70\%\) នៃចំណុះអាង)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

លំហាត់ PISA - ថ្លៃដើមផលិតកម្មមធ្យម ៖ រោងចក្រមួយចំណាយសរុប \(C(x) = x^2 + 50x + 400\) (គិតជាពាន់រៀល) ក្នុងការផលិតទំនិញ \(x\) ឯកតា។ ថ្លៃដើមមធ្យមក្នុងមួយឯកតាគឺ \(\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}\)។

ចូរសរសេរ \(\bar{C}(x)\) ជាផលបូកនៃទ្វេធានិងប្រភាគសនិទាន។
គណនាថ្លៃដើមមធ្យមក្នុងមួយឯកតា ប្រសិនបើរោងចក្រផលិតបាន \(x = 20\) ឯកតា និង \(x = 100\) ឯកតា។

មើលដំណោះស្រាយ

លំហាត់ PISA - ថ្លៃដើមផលិតកម្មមធ្យម ៖ ចំណាយសរុប \(C(x) = x^2 + 50x + 400\)។

a. កន្សោមថ្លៃដើមមធ្យមក្នុងមួយឯកតា ៖
\[\begin{aligned} \bar{C}(x) &= \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{x^2 + 50x + 400}{x} \\ &= \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{50x}{x} + \dfrac{400}{x} \\ &= x + 50 + \dfrac{400}{x}\text{ (ពាន់រៀល)} \end{aligned}\]
b. គណនាថ្លៃដើមមធ្យម ៖
- ចំពោះ \(x = 20\) ឯកតា ៖
  \[\bar{C}(20) = 20 + 50 + \dfrac{400}{20} = 70 + 20 = 90\text{ ពាន់រៀល}\]
  (ស្មើនឹង \(90\,000\) រៀលក្នុងមួយឯកតា)
- ចំពោះ \(x = 100\) ឯកតា ៖
  \[\begin{aligned} \bar{C}(100) &= 100 + 50 + \frac{400}{100} \\ &= 150 + 4 = 154\text{ ពាន់រៀល} \end{aligned}\]
  (ស្មើនឹង \(154\,000\) រៀលក្នុងមួយឯកតា)

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ ជំពូកទី ១ ពហុធា និងប្រមាណវិធីចែកពហុធា — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត