លក្ខណៈមុំនៃរង្វង់

គណនាមុំផ្ចិត និងមុំចារឹកក្នុង ៖

• បើ \(\overset{\frown}{AB} = 70^\circ \implies \angle AOB = 70^\circ\) (មុំផ្ចិត)

• មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូនេះ ៖ \(\angle ACB = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)

មុំចារឹកក្នុងស្កាត់កន្លះរង្វង់ ៖ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត នាំឱ្យធ្នូ \(\overset{\frown}{AB} = 180^\circ\)។ ចំពោះគ្រប់ចំណុច \(C\) លើកន្លះរង្វង់ ៖ \(\angle ACB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\) (ទ្រឹស្តីបទតាលែសលើរង្វង់)។

មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូតែមួយ ៖ ចំណុច \(C, D\) លើរង្វង់ស្កាត់ធ្នូ \(\overset{\frown}{AB}\) តែមួយ នាំឱ្យ \(\angle ACB = \angle ADB = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\)។

មុំបង្កើតដោយបន្ទាត់ប៉ះ និងអង្កត់ធ្នូ ៖ \(xy\) ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(A\) និងអង្កត់ធ្នូ \(AB\)។ បើ \(\overset{\frown}{AB} = 110^\circ\) នោះ \(\angle xAB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ\)។ មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូនេះក៏ស្មើ \(55^\circ\) ដែរ។

មុំមានកំពូលក្នុងរង្វង់ ៖ អង្កត់ធ្នូ \(AB\) និង \(CD\) កាត់គ្នាត្រង់ \(P\) ក្នុងរង្វង់ ៖ \(\angle APC = \frac{\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BD}}{2} = \frac{40^\circ + 80^\circ}{2} = 60^\circ\)។

មុំមានកំពូលក្រៅរង្វង់ ៖ ខណ្ឌបន្ទាត់ \(PAB\) និង \(PCD\) កាត់គ្នាត្រង់ \(P\) ក្រៅរង្វង់ ៖ \(\angle P = \frac{\overset{\frown}{BD} - \overset{\frown}{AC}}{2} = \frac{100^\circ - 30^\circ}{2} = 35^\circ\)។

មុំរវាងបន្ទាត់ប៉ះពីរ ៖ បន្ទាត់ប៉ះ \(PA\) និង \(PB\) មានមុំ \(\angle P = \frac{\text{ធ្នូធំ} - \text{ធ្នូតូច}}{2}\)។ ដោយ ធ្នូធំ \(= 360^\circ - \) ធ្នូតូច នាំឱ្យ \(\angle P = 180^\circ - \) ធ្នូតូច \( = 180^\circ - \angle AOB\)។ បើ \(\angle P = 40^\circ \implies \angle AOB = 140^\circ\)។

ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(ABCD\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) និង \(\angle B + \angle D = 180^\circ\)។ បើ \(\angle A = 75^\circ \implies \angle C = 105^\circ\)។ បើ \(\angle B = 110^\circ \implies \angle D = 70^\circ\)។

មុំក្រៅនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ មុំក្រៅត្រង់កំពូល \(C\) បន្ថែមនឹង \(\angle C\) (\(180^\circ - \angle C\)) នាំឱ្យស្មើនឹង \(\angle A\) (មុំក្នុងឈម)។

ត្រីកោណសម័ង្សចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ ជ្រុងទាំងបីស្មើគ្នា ចែករង្វង់ជា ៣ ធ្នូប៉ុនគ្នា ៖ \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CA} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ\)។ មុំផ្ចិតនីមួយៗស្មើ \(120^\circ\) ហើយមុំក្នុងត្រីកោណស្មើ \(60^\circ\)។

ការេចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ ជ្រុងទាំង ៤ ចែករង្វង់ជា ៤ ធ្នូស្មើគ្នា ៖ ធ្នូនីមួយៗស្មើ \(\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ\)។ មុំផ្ចិតស្មើ \(90^\circ\) (អង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា)។

ឆកោណទៀងទាត់ចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ ធ្នូនីមួយៗស្មើ \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\)។ មុំផ្ចិតស្មើ \(60^\circ\) នាំឱ្យត្រីកោណផ្ចិតជាត្រីកោណសម័ង្ស \(\implies a = R\)។

ត្រីកោណកែងក្នុងរង្វង់ ៖ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត, \(C\) លើរង្វង់។ បើ \(\angle A = 35^\circ\) នោះ \(\angle B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)។ ធ្នូ \(\overset{\frown}{BC} = 2(35^\circ) = 70^\circ\) និង \(\overset{\frown}{AC} = 2(55^\circ) = 110^\circ\)។

គណនាមុំ \(\angle BOC\) ៖ \(\Delta ABC\) សមបាតកំពូល \(A\) មាន \(\angle A = 40^\circ\) ចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(\angle B = \angle C = 70^\circ\)។ មុំផ្ចិត \(\angle BOC = 2\angle A = 80^\circ\)។ \(\angle AOB = \angle AOC = 2(70^\circ) = 140^\circ\)។

មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូធំ ៖ បើធ្នូតូច \(\overset{\frown}{AB} = 80^\circ\) នោះធ្នូធំស្មើ \(360^\circ - 80^\circ = 280^\circ\)។ មុំចារឹកក្នុងដែលស្កាត់ធ្នូធំស្មើ \(\frac{280^\circ}{2} = 140^\circ\)។ ផលបូកមុំចារឹកក្នុងសងខាងអង្កត់ធ្នូ ៖ \(40^\circ + 140^\circ = 180^\circ\)។

បន្ទាត់ពុះមុំចារឹកក្នុង ៖ កន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle BAC\) កាត់រង្វង់ត្រង់ \(M\) នាំឱ្យ \(\overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{MC}\) (\(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃធ្នូ \(\overset{\frown}{BC}\))។

អង្កត់ធ្នូស្របគ្នា ៖ បើ \(AB \parallel CD\) នោះធ្នូដែលខណ្ឌចន្លោះស្មើគ្នា ៖ \(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}\)។

ចតុកោណព្នាយសមបាតចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ ដោយ \(AB \parallel CD\) នាំឱ្យ \(\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC} \implies AD = BC\)។ ដូចនេះចតុកោណព្នាយចារឹកក្នុងរង្វង់ត្រូវតែជាចតុកោណព្នាយសមបាត។

បន្ទាត់ប៉ះកាត់គ្នា ៖ \(PA, PB\) ប៉ះរង្វង់ត្រង់ \(A, B\)។ បើ \(\angle APB = 60^\circ\) នោះ \(\Delta PAB\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស (\(PA = PB\) និងមានមុំ \(60^\circ\))។ ដូចនេះ \(AB = PA = PB\)។

មុំផ្ចិត និងកាំកែងគ្នា ៖ បើ \(OA \perp OB\) នោះ \(\angle AOB = 90^\circ \implies AB = R\sqrt{2}\)។ មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ \(AB\) ស្មើ \(45^\circ\) ឬ \(135^\circ\)។

រកមុំនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(\angle A = 3x, \angle C = 2x \implies 3x + 2x = 180^\circ \implies 5x = 180^\circ \implies x = 36^\circ\)។ \(\angle A = 108^\circ, \angle C = 72^\circ\)។

រកមុំនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(\angle B = y + 20^\circ, \angle D = 2y - 50^\circ \implies 3y - 30^\circ = 180^\circ \implies 3y = 210^\circ \implies y = 70^\circ\)។ \(\angle B = 90^\circ, \angle D = 90^\circ\) (ជាចតុកោណកែង)។

ចំណុចរួមនៃរង្វង់ពីរ ៖ រង្វង់ពីរកាត់គ្នាត្រង់ \(A\) និង \(B\)។ អង្កត់ធ្នូរួម \(AB\) កែងនឹងបន្ទាត់តភ្ជាប់ផ្ចិត \(OO'\) ត្រង់ចំណុចកណ្តាល។

មុំរវាងបន្ទាត់ប៉ះ និងបន្ទាត់កាត់ ៖ \(\angle P = \frac{\overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{AB}}{2}\)។ បើ \(\overset{\frown}{AC} = 130^\circ\) និង \(\overset{\frown}{AB} = 50^\circ\) នោះ \(\angle P = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\)។

ត្រីកោណចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ ៖ \(AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត, \(C\) លើរង្វង់។ កម្ពស់ \(CH \perp AB\) ៖ \(CH^2 = AH \times BH\) និង \(AC^2 = AB \times AH\)។

ធ្នូសមាមាត្រ ៖ ធ្នូ \(AB, BC, CD, DA\) សមាមាត្រនឹង \(1, 2, 3, 4\) ៖ ផលបូក \(1+2+3+4 = 10\) ភាគ \(\implies 1 \) ភាគ \( = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ\)។ ធ្នូនីមួយៗ ៖ \(36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ\)។ មុំចតុកោណ ៖ \(\angle A = \frac{72+108}{2} = 90^\circ\), \(\angle B = \frac{108+144}{2} = 126^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle D = 54^\circ\)។

មុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូស្មើគ្នា ៖ បើ \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}\) នោះ \(\angle APB = \angle CQD\) (គ្រប់ចំណុច \(P, Q\) លើធ្នូធំរៀងគ្នា)។

ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា ៖ បើ \(AC \perp BD\) ត្រង់ \(P\) នោះ \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = 4R^2\)។

បន្ទាត់ពុះមុំក្រៅនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ កាត់គ្នានៅលើរង្វង់ ឬបង្កើតបានទំនាក់ទំនងមុំកែង។

ទ្រឹស្តីបទ Simson (Simson Line) ៖ ចំណោលកែងពីចំណុច \(P\) លើរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណទៅកាន់ជ្រុងទាំងបី រត់ត្រង់ជួរគ្នាតាមបន្ទាត់មួយហៅថា បន្ទាត់ Simson។

មុំផ្គុំដោយអង្កត់ធ្នូពីរកែងគ្នា ៖ \(\angle APC = 90^\circ \implies \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BD} = 180^\circ\) (ផលបូកធ្នូឈមស្មើកន្លះរង្វង់)។

មុំបង្កើតដោយបន្ទាត់ប៉ះពីរកែងគ្នា ៖ \(\angle APB = 90^\circ \implies \angle AOB = 90^\circ \implies \overset{\frown}{AB} = 90^\circ\)។ ចតុកោណ \(PAOB\) ជាការេដែលមានជ្រុងស្មើ \(R\)។

ចម្ងាយពី \(P\) ដល់ផ្ចិតពេលបន្ទាត់ប៉ះកែងគ្នា ៖ \(OP = R\sqrt{2}\)។

ទំនាក់ទំនង Ptolemy ៖ ចំពោះការេចារឹកក្នុងរង្វង់ជ្រុង \(a\) អង្កត់ទ្រូង \(d = a\sqrt{2}\) ៖ \(d \cdot d = a \cdot a + a \cdot a \iff d^2 = 2a^2\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់ Ptolemy)។

ទំនាក់ទំនង Ptolemy លើត្រីកោណសម័ង្ស ៖ \(P\) នៅលើធ្នូ \(BC\) នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណសម័ង្ស \(ABC\) ៖ \(PA = PB + PC\)។

រង្វង់ Miquel ៖ ត្រីកោណ ៤ បង្កើតដោយបន្ទាត់ ៤ កាត់គ្នា រង្វង់ចារឹកក្រៅរបស់វាប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ (ចំណុច Miquel)។

មុំផ្ចិតស្មើ \(180^\circ\) ៖ មុំរាប \(\implies\) អង្កត់ធ្នូជាអង្កត់ផ្ចិត \(\implies\) ធ្នូជាកន្លះរង្វង់។

មុំផ្ចិតស្មើ \(360^\circ\) ៖ មុំពេញវង់ \(\implies\) រង្វង់ទាំងមូល។

គណនាមុំក្នុងត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ បើ \(\overset{\frown}{AB} = 100^\circ, \overset{\frown}{BC} = 140^\circ \implies \overset{\frown}{CA} = 120^\circ\) \(\angle C = 50^\circ, \angle A = 70^\circ, \angle B = 60^\circ\)។

គណនាមុំក្រៅត្រីកោណ ៖ មុំក្រៅស្មើផលបូកមុំក្នុងមិនជាប់វា ៖ ផ្ទៀងផ្ទាត់តាមធ្នូរង្វង់។

បន្ទាត់ប៉ះរួម និងមុំ ៖ បន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅកាត់បន្ទាត់ផ្ចិតបង្កើតបានមុំ \(\sin \frac{\theta}{2} = \frac{R - r}{d}\)។

បន្ទាត់ប៉ះរួមក្នុង និងមុំ ៖ \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{R + r}{d}\)។

ចំណុចប៉ះ និងត្រីកោណសមបាត ៖ បន្ទាត់ប៉ះ \(PA, PB\) បង្កើតបាន \(\Delta PAB\) សមបាតកំពូល \(P\) ជានិច្ច។

មុំបាតនៃ \(\Delta PAB\) ៖ \(\angle PAB = \angle PBA = \frac{180^\circ - \angle P}{2} = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\) (ស្មើនឹងមុំចារឹកក្នុងស្កាត់ធ្នូ \(AB\))។

ចតុកោណចារឹកក្រៅ និងចារឹកក្នុងព្រមគ្នា (Bicentric Quadrilateral) ៖ ផ្ទៀងផ្ទាត់ទាំង \(a + c = b + d\) និង \(\angle A + \angle C = 180^\circ\)។

រូបមន្ត Brahmagupta ៖ ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ \(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\)។

រូបមន្ត Heron ជាករណីពិសេសនៃ Brahmagupta ៖ កាលណាជ្រុងមួយខិតជិត \(0\) (\(d = 0\)) ចតុកោណក្លាយជាត្រីកោណ ហើយរូបមន្តក្លាយជា \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)។

លក្ខខណ្ឌចំណុច ៤ លើរង្វង់តែមួយ ៖ ផលបូកមុំឈមស្មើ \(180^\circ\) ឬមុំពីរបង្កើតដោយអង្កត់ទ្រូងស្មើគ្នា។

គន្លឹះដោះស្រាយលំហាត់មុំរង្វង់ ៖ តែងតែភ្ជាប់ចំណុចលើរង្វង់ទៅកាន់ផ្ចិត ឬគូសអង្កត់ផ្ចិតដើម្បីបង្កើតមុំកែង \(90^\circ\)។

ការអនុវត្តតារាសាស្ត្រ និងនាវាចរណ៍ ៖ ការវាស់មុំធ្នូផ្ទៃមេឃ (Arcminutes, Arcseconds) ក្នុងការកំណត់ទីតាំងផ្កាយ និងការធ្វើដំណើរលើផ្ទៃផែនដីរាងស្វ៊ែរ។