ទ្រឹស្តីបទតាលែស

គណនាប្រវែង \(AB\) និង \(BC\) ៖ តាមទ្រឹស្តីបទតាលែសលើបន្ទាត់ស្រប \(\Delta_1 \parallel \Delta_2 \parallel \Delta_3\) ៖ \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)។ ដោយ \(AC = 4\,\text{cm}\) និងផលធៀបស្មើ \(1\) នាំឱ្យ \(AB = 2\,\text{cm}, BC = 2\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែងតាមទ្រឹស្តីបទតាលែសក្នុងត្រីកោណ ៖ \(MN \parallel BC \implies \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)។ ជំនួសតម្លៃ ៖ \(AN = \frac{AM \times AC}{AB} = \frac{3 \times 12}{9} = 4\,\text{cm}\)។ \(NC = 12 - 4 = 8\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែង \(MN\) ៖ \(\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \implies MN = \frac{BC}{3} = \frac{9}{3} = 3\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែងតាមកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ ៖ \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)។ \(BD + DC = BC = 10 \implies 5 \) ភាគ \( = 10 \implies 1 \) ភាគ \( = 2\)។ ដូចនេះ \(BD = 2 \times 2 = 4\,\text{cm}\) និង \(DC = 3 \times 2 = 6\,\text{cm}\)។

គណនាកម្ពស់តាមស្រមោល (Thales Pyramid Method) ៖ \(\frac{H_{\text{ដើមឈើ}}}{H_{\text{បង្គោល}}} = \frac{L_{\text{ស្រមោលដើមឈើ}}}{L_{\text{ស្រមោលបង្គោល}}} \implies \frac{H}{2} = \frac{15}{3} = 5 \implies H = 10\,\text{m}\)។

ពិនិត្យបន្ទាត់ស្របតាមទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស ៖ \(\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = 0.4\) និង \(\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = 0.4\)។ ដោយ \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\) នោះតាមទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសតាលែស គេបាន \(MN \parallel BC\)។

ពិនិត្យករណីមិនស្រប ៖ \(\frac{AM}{MB} = \frac{2}{3}\) និង \(\frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}\)។ ដោយ \(\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4}\) នាំឱ្យ \(MN\) មិនស្របនឹង \(BC\) ឡើយ។

គណនាប្រវែងក្នុងចតុកោណព្នាយ ៖ \(AB \parallel CD\) អង្កត់ទ្រូងកាត់គ្នាត្រង់ \(O\) ៖ \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)។ ដូចនេះ \(OC = 2OA\) និង \(OD = 2OB\)។

គណនាប្រវែងបាតកណ្តាលចតុកោណព្នាយ ៖ \(E, F\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទ្រេត ៖ \(EF = \frac{AB + CD}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែងកាត់តាមប្រសព្វអង្កត់ទ្រូង ៖ បន្ទាត់ \(PQ \parallel AB \parallel CD\) កាត់តាម \(O\) ៖ \(PQ = \frac{2 \times AB \times CD}{AB + CD} = \frac{2 \times 3 \times 6}{3 + 6} = \frac{36}{9} = 4\,\text{cm}\) (មធ្យមអាម៉ូនិច)។

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ ៖ \(\frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \implies \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)។ \(\frac{S_{MNCB}}{S_{ABC}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)។

គណនាផ្ទៃក្រឡាជាក់ស្តែង ៖ បើ \(S_{AMN} = 12\,\text{cm}^2\) និង \(\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}\) នោះ ៖ \(S_{ABC} = 12 \times 2^2 = 48\,\text{cm}^2\)។ \(S_{MNCB} = 48 - 12 = 36\,\text{cm}^2\)។

លក្ខណៈទីប្រជុំទម្ងន់ ៖ \(G\) ជាទីប្រជុំទម្ងន់ \(\implies \frac{AG}{AM} = \frac{2}{3}\)។ បន្ទាត់កាត់តាម \(G\) ស្របនឹង \(BC\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ \(P\) នាំឱ្យ \(\frac{AP}{AB} = \frac{AG}{AM} = \frac{2}{3}\)។ \(PQ = \frac{2}{3}BC\)។

ត្រីកោណបង្កើតដោយចំណុចកណ្តាល ៖ \(M, N, P\) ជាចំណុចកណ្តាល ៖ ជ្រុងនីមួយៗស្មើកន្លះជ្រុងធំ នាំឱ្យបរិមាត្រស្មើ \(\frac{1}{2}\) និងផ្ទៃក្រឡាស្មើ \(\frac{1}{4}\) នៃ \(\Delta ABC\)។

កន្លះបន្ទាត់ពុះក្រៅ ៖ \(\frac{D'B}{D'C} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)។ \(3D'B = 2D'C = 2(D'B + BC) = 2D'B + 20 \implies D'B = 20\,\text{cm}\)។

បណ្តុំអាម៉ូនិកនៃកន្លះបន្ទាត់ពុះ ៖ \(\frac{DB}{DC} = \frac{D'B}{D'C} = \frac{AB}{AC}\) នាំឱ្យ \(D\) និង \(D'\) ចែក \([BC]\) ជាអាម៉ូនិក។

គណនាប្រវែងកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(AD\) ៖ \(AD^2 = AB \times AC - BD \times DC = 8 \times 12 - 4 \times 6 = 96 - 24 = 72 \implies AD = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\)។

ទ្រឹស្តីបទ Varignon លើចតុកោណ ៖ ភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងទាំងបួនបង្កើតបានជាប្រលេឡូក្រាមជានិច្ច ព្រោះជ្រុងឈមស្រប និងស្មើកន្លះអង្កត់ទ្រូងចតុកោណធំ។ ផ្ទៃក្រឡាស្មើកន្លះផ្ទៃចតុកោណធំ។

គណនាប្រវែង \(BC\) ៖ \(AD = 2DB \implies \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}\)។ \(\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3} \implies BC = \frac{3}{2}DE = \frac{3}{2}(6) = 9\,\text{cm}\)។

ត្រីកោណកែង និងបន្ទាត់ស្រប ៖ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AB\) (\(AM = 3\))។ \(MN \parallel AC \implies \frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{2} \implies MN = \frac{8}{2} = 4\,\text{cm}\)។ \(AN = \sqrt{AM^2 + MN^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}\) (ស្មើកន្លះ \(BC\))។

ចែកអង្កត់ជា ៥ ភាគស្មើគ្នា ៖ គូសកាំរស្មី \(Ax\), កំណត់ ៥ អង្កត់ស្មើគ្នាតាមដែកឈាន \(A_1, \dots, A_5\)។ ភ្ជាប់ \(A_5B\) រួចគូសបន្ទាត់ស្របពី \(A_1, A_2, A_3, A_4\) មកកាត់ \([AB]\)។

វាស់ទទឹងទន្លេ ៖ កំណត់ចំណុច \(A\) (ត្រើយម្ខាង), \(B\) (ត្រើយម្ខាងទៀត)។ បោះបង្គោលបង្កើតត្រីកោណសមាមាត្រលើដីគោក រួចគណនាប្រវែង \(AB\) តាមតាលែស។

ទ្រឹស្តីបទ Ceva ៖ ត្រួតពិនិត្យផលគុណ \(\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1\)។ ចំពោះមេដ្យាន ៖ ផលធៀបនីមួយៗស្មើ \(1\) នាំឱ្យផលគុណស្មើ \(1\) (ប្រសព្វត្រង់ទីប្រជុំទម្ងន់)។

ទ្រឹស្តីបទ Menelaus ៖ ប្រើសម្រាប់បញ្ជាក់ ៣ ចំណុចរត់ត្រង់ជួរគ្នាលើជ្រុងនៃត្រីកោណ។

កន្លះបន្ទាត់ពុះក្នុងត្រីកោណកែង ៖ \(AB = 3, AC = 4 \implies BC = 5\) \(\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} \implies BD = \frac{3}{7}(5) = \frac{15}{7}, DC = \frac{20}{7}\)។

បន្ទាត់ស្របកាត់ជ្រុងពង្រីក ៖ ទម្រង់មេអំបៅ (Bow-tie / Hourglass) ៖ \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\)។

គណនាប្រវែងមិនស្គាល់ ៖ \(\frac{x}{x+3} = \frac{4}{7} \implies 7x = 4x + 12 \implies 3x = 12 \implies x = 4\)។

គណនាប្រវែងមិនស្គាល់ ៖ \(\frac{2x-1}{5} = \frac{x+2}{4} \implies 8x - 4 = 5x + 10 \implies 3x = 14 \implies x = \frac{14}{3}\)។

បន្ទាត់ស្របបីកាត់ខ្នាត់ ៖ \(AB = 4, BC = 6, A'B' = 6 \implies \frac{4}{6} = \frac{6}{B'C'} \implies B'C' = 9\)។

ប្រវែង \(A'C'\) ៖ \(A'C' = A'B' + B'C' = 6 + 9 = 15\)។

បន្ទាត់ស្របក្នុងត្រីកោណសមបាត ៖ បន្ទាត់ស្របនឹងបាតកាត់បង្កើតបានត្រីកោណសមបាតតូចមួយទៀតដែលមានមុំដូចគ្នា។

បន្ទាត់ស្របក្នុងត្រីកោណសម័ង្ស ៖ បន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុងមួយបង្កើតបានត្រីកោណសម័ង្សតូចមួយទៀត។

ចតុកោណព្នាយមានអង្កត់ទ្រូងកែងគ្នា ៖ គណនាផលធៀបអង្កត់ទ្រូងតាមសមាមាត្រតាលែស។

កម្ពស់ពីរ៉ាមីត ៖ ស្រមោលដំបង \(1.5\,\text{m}\) គឺ \(2\,\text{m}\), ស្រមោលពីរ៉ាមីតគឺ \(180\,\text{m}\) ៖ កម្ពស់ពីរ៉ាមីតគឺ \(\frac{1.5 \times 180}{2} = 135\,\text{m}\)។

កម្ពស់បង្គោលភ្លើង ៖ ស្រមោលមនុស្ស \(1.7\,\text{m}\) គឺ \(2.5\,\text{m}\), ស្រមោលបង្គោល \(10\,\text{m}\) ៖ កម្ពស់បង្គោលគឺ \(\frac{1.7 \times 10}{2.5} = 6.8\,\text{m}\)។

ចំណោទកញ្ចក់ឆ្លុះវាស់កម្ពស់ ៖ កាំរស្មីពន្លឺបង្កើតត្រីកោណសមាមាត្រតាមច្បាប់ឆ្លុះនៃពន្លឺ (មុំចាំងស្មើនឹងមុំឆ្លុះ)។

មធ្យមធរណីមាត្រតាមតាលែស ៖ សង់អង្កត់ប្រវែង \(\sqrt{ab}\) ដោយប្រើកន្លះរង្វង់ និងកម្ពស់។

ចែកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា ៖ បន្ទាត់ស្របនឹង \(BC\) កាត់ \(AB\) ត្រង់ \(M\) ៖ \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \implies \frac{AM}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)។

ចែកផ្ទៃក្រឡាជា ៣ ស្មើគ្នា ៖ \(\frac{AM_1}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) និង \(\frac{AM_2}{AB} = \sqrt{\frac{2}{3}}\)។

សមាមាត្រនៃបរិមាត្រ ៖ ផលធៀបបរិមាត្រស្មើផលធៀបសមាមាត្រ \(k = \frac{AM}{AB}\)។

ផលធៀបផ្ទៃក្រឡា ៖ ផលធៀបផ្ទៃក្រឡាស្មើការេនៃផលធៀបសមាមាត្រ \(k^2\)។

បន្ទាត់ពុះមុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត ៖ កាត់ជ្រុងឈមតាមផលធៀប \(\frac{b}{a}\)។

ចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងចតុកោណព្នាយ ៖ អង្កត់ភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរស្របនឹងបាត និងមានប្រវែងស្មើ \(\frac{|CD - AB|}{2}\)។

គណនាប្រវែងអង្កត់ភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលអង្កត់ទ្រូង ៖ \(AB = 6, CD = 14 \implies KL = \frac{14 - 6}{2} = 4\,\text{cm}\)។

ទ្រឹស្តីបទ Thales ក្នុងលម្ហ ៖ ប្លង់ស្របបីកាត់បន្ទាត់ពីរក្នុងលម្ហបង្កើតបានអង្កត់សមាមាត្រគ្នា។

កោណកាត់ ៖ ប្លង់ស្របនឹងបាតកាត់កោណបង្កើតបានកោណតូចដែលមានវិមាត្រសមាមាត្រនឹងកោណធំ។

ពីរ៉ាមីតកាត់ ៖ សមាមាត្រជ្រុងបាត និងកម្ពស់ផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រឹស្តីបទតាលែស។

អនុវត្តន៍គំនូរប្លង់ស្ថាបត្យកម្ម ៖ មាត្រដ្ឋានប្លង់ \(1:100\) ឬ \(1:500\) ផ្អែកលើគោលការណ៍សមាមាត្រតាលែស។

គន្លឹះដោះស្រាយលំហាត់តាលែស ៖ ស្វែងរក ឬគូសបន្ទាត់ស្របជំនួយដើម្បីបង្កើតសមាមាត្រ។

ប្រវត្តិនៃការរកឃើញទ្រឹស្តីបទតាលែស ៖ ដំណើរទស្សនកិច្ចរបស់លោកតាលែសនៅអេហ្ស៊ីប និងការបង្កើតធរណីមាត្រដកស្រង់ (Deductive Geometry) ដំបូងបង្អស់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។