ប្រព័ន្ធសមីការដឺក្រេទី១ មានពីរអញ្ញាត

ពិនិត្យគូចម្លើយ ៖

• \(\begin{cases} x - y = 8 \\ x + y = -2 \end{cases}\) ចំពោះ \((3, 5)\) ៖ \(3 - 5 = -2 \ne 8\) (មិនមែនជាចម្លើយ)

• \(\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}\) ចំពោះ \((2, -1)\) ៖ \(2(2) + (-1) = 3\) និង \(2 + 2(-1) = 0 \ne 4\) (មិនមែន)

• \(\begin{cases} y = 3x \\ x + y = 3 \end{cases}\) ចំពោះ \((0, 0)\) ៖ \(0 + 0 = 0 \ne 3\) (មិនមែន)

• \(\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x - 2y = 6 \end{cases}\) ចំពោះ \((5, 2)\) ៖ \(5 - 2 = 3\) និង \(2(5) - 2(2) = 6\) (ជាចម្លើយ)

ដោះស្រាយតាមក្រាប ៖

• a. \(\begin{cases} x - 4y = 1 \\ x + y = -4 \end{cases} \implies\) ប្រសព្វត្រង់ \((-3, -1)\)

• b. \(\begin{cases} y = 2 \\ x = -3 \end{cases} \implies\) ប្រសព្វត្រង់ \((-3, 2)\)

• c. \(\begin{cases} 2x - 3y = 13 \\ x - 2y = 8 \end{cases} \implies\) ប្រសព្វត្រង់ \((2, -3)\)

• d. \(\begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases} \implies\) ប្រសព្វត្រង់ \((2, -2)\)

ដោះស្រាយតាមក្រាប (ករណីពិសេស) ៖

• e. \(\begin{cases} x + 3y = 6 \\ x + 3y = -3 \end{cases}\) ៖ បន្ទាត់ស្របគ្នា \(\implies S = \emptyset\) (គ្មានចម្លើយ)

• f. \(\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 2x - y = 10 \end{cases}\) ៖ បន្ទាត់ស្របគ្នា \(\implies S = \emptyset\)

• g. \(\begin{cases} x + y = 4 \\ y = -x + 4 \end{cases}\) ៖ បន្ទាត់ត្រួតស៊ីគ្នា \(\implies\) ចម្លើយរាប់មិនអស់

ដោះស្រាយតាមវិធីជំនួស ៖

• a. \(\begin{cases} x = 2y + 1 \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} \implies 3(2y+1) - 4y = 7 \implies 2y = 4 \implies y = 2, x = 5\)

• b. \(\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \implies 2x + 3(3x-5) = 7 \implies 11x = 22 \implies x = 2, y = 1\)

ដោះស្រាយតាមវិធីបូកបំបាត់ ៖

• a. \(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 6 \end{cases} \implies 7x = 14 \implies x = 2, y = \frac{8-4}{3} = \frac{4}{3}\)

• b. \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 4x + 3y = 17 \end{cases} \implies 3(1) - 2(2) \implies x = 2, y = 3\)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖

• a. \(\begin{cases} 5x - 2y = 16 \\ 2x + 3y = 14 \end{cases} \implies 3(1) + 2(2) \implies 19x = 76 \implies x = 4, y = 2\)

• b. \(\begin{cases} 4x + 5y = 7 \\ 3x - 2y = 11 \end{cases} \implies 2(1) + 5(2) \implies 23x = 69 \implies x = 3, y = -1\)

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធមានភាគបែង ៖

• a. \(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x + 3y = 24\)។ ជំនួស \(x = y + 2\) នាំឱ្យ \(5y = 20 \implies y = 4, x = 6\)

• b. \(\begin{cases} \frac{x-1}{2} + \frac{y+1}{3} = 3 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \implies 3x + 2y = 19\)។ ជំនួស \(y = 2x - 5 \implies 7x = 29 \implies x = \frac{29}{7}, y = \frac{23}{7}\)

ប្តូរអថេរ \(X = \frac{1}{x}, Y = \frac{1}{y}\) ៖ \(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2X + 3Y = 5 \\ 3X - 2Y = 1 \end{cases}\) \(13X = 13 \implies X = 1 \implies x = 1\) \(Y = 1 \implies y = 1\)។ ចម្លើយ \((1, 1)\)។

ចំណោទចំនួន ៖ តាង \(x, y\) ជាពីរចំនួន (\(x > y\)) ៖ \(\begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 13 \end{cases} \implies 2x = 58 \implies x = 29, y = 16\)។

ចំណោទអាយុ ៖ តាង \(x\) ជាអាយុឪពុក, \(y\) ជាអាយុកូន ៖ \(\begin{cases} x + y = 60 \\ x - 4 = 3(y - 4) \end{cases} \implies x - 3y = -8\) ដកសមីការ ៖ \(4y = 68 \implies y = 17\) ឆ្នាំ, \(x = 43\) ឆ្នាំ។

ចំណោទចតុកោណកែង ៖ តាង \(x\) ជាបណ្តោយ, \(y\) ជាទទឹង (\(x, y > 0\)) ៖ \(\begin{cases} 2(x + y) = 48 \\ x = y + 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 24 \\ x - y = 6 \end{cases} \implies x = 15\,\text{cm}, y = 9\,\text{cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = 15 \times 9 = 135\,\text{cm}^2\)។

ចំណោទតម្លៃទំនិញ ៖ តាង \(x\) ថ្លៃប៊ិក, \(y\) ថ្លៃសៀវភៅ ៖ \(\begin{cases} 3x + 2y = 19000 \\ 2x + 3y = 21000 \end{cases}\) បូក ៖ \(5x + 5y = 40000 \implies x + y = 8000\) ដក ៖ \(x - y = -2000\) នាំឱ្យ \(x = 3000\) រៀល (ប៊ិក), \(y = 5000\) រៀល (សៀវភៅ)។

ចំណោទសត្វ និងជើង ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនមាន់, \(y\) ជាចំនួនជ្រូក ៖ \(\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 35 \\ x + 2y = 47 \end{cases} \implies y = 12, x = 23\)។ មាន់ ២៣ ក្បាល, ជ្រូក ១២ ក្បាល។

ចំណោទកង់ និងម៉ូតូ ៖ តាង \(x\) ជាកង់, \(y\) ជាម៉ូតូ ៖ \(\begin{cases} x + y = 20 \\ 2x + 2y = 40 \ne 46 \end{cases}\) (ម៉ូតូមានកង់ ២ ដូចកង់ ៖ ចំណោទកង់ ៣ និងកង់ ២) ៖ បើកង់ ៣ មាន \(y\), កង់ ២ មាន \(x\) ៖ \(2x + 3y = 46\) នាំឱ្យ \(y = 6, x = 14\)។

ចំណោទចលនាក្នុងទឹក ៖ តាង \(v\) ជាល្បឿនទូក, \(u\) ជាល្បឿនទឹកហូរ ៖ \(\begin{cases} v + u = 18 \\ v - u = 12 \end{cases} \implies v = 15\,\text{km/h}, u = 3\,\text{km/h}\)។

ចំណោទចំនួនពីរខ្ទង់ ៖ ចំនួនដើម \(\overline{xy} = 10x + y\) ៖ \(\begin{cases} x + y = 9 \\ (10y + x) - (10x + y) = 27 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 9 \\ 9y - 9x = 27 \end{cases} \implies y - x = 3\) នាំឱ្យ \(y = 6, x = 3\)។ ចំនួនដើមគឺ \(36\)។

ចំណោទល្បាយអាស៊ីត ៖ ល្បាយ \(30\%\) ចំនួន \(x\) លីត្រ និង \(50\%\) ចំនួន \(y\) លីត្រ បង្កើតបាន \(10\) លីត្រកំហាប់ \(45\%\) ៖ \(\begin{cases} x + y = 10 \\ 0.3x + 0.5y = 4.5 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 5y = 45 \end{cases} \implies 2y = 15 \implies y = 7.5\,\text{L}, x = 2.5\,\text{L}\)។

ចំណោទការប្រាក់ ៖ ផ្ញើប្រាក់ពីរកន្លែងសរុប \(10000\$\) ៖ កន្លែង A ការប្រាក់ \(5\%\), B ការប្រាក់ \(7\%\) បានការប្រាក់សរុប \(620\$\) ៖ \(\begin{cases} x + y = 10000 \\ 0.05x + 0.07y = 620 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 10000 \\ 5x + 7y = 62000 \end{cases} \implies 2y = 12000 \implies y = 6000\$, x = 4000\$\)។

ចំណោទល្បឿនរថយន្តពីរ ៖ ចេញដំណើរពីពីរទីប្រជុំជនចម្ងាយ \(300\,\text{km}\) ជួបគ្នាក្រោយ \(3\) ម៉ោង ៖ \(3(v_1 + v_2) = 300 \implies v_1 + v_2 = 100\)។ បើមួយលឿនជាងមួយទៀត \(20\,\text{km/h}\) ៖ \(v_1 - v_2 = 20\) នាំឱ្យ \(v_1 = 60\,\text{km/h}, v_2 = 40\,\text{km/h}\)។

ចំណោទមុំត្រីកោណ ៖ \(\begin{cases} A + B = 110^\circ \\ A - B = 30^\circ \end{cases} \implies A = 70^\circ, B = 40^\circ\)។ មុំទីបីគឺ \(C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) (ត្រីកោណសមបាត)។

ដោះស្រាយតាម Cramer ៖ \(\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\) ៖ \(D = 3(-1) - 2(4) = -11\) \(D_x = 10(-1) - 3(4) = -22 \implies x = \frac{-22}{-11} = 2\) \(D_y = 3(3) - 2(10) = -11 \implies y = \frac{-11}{-11} = 1\)។ ចម្លើយ \((2, 1)\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធគ្មានចម្លើយ ៖ \(\begin{cases} mx + 3y = 5 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases} \implies \frac{m}{2} = \frac{3}{6} \ne \frac{5}{7} \implies m = 1\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានចម្លើយរាប់មិនអស់ ៖ \(\begin{cases} mx + 2y = 4 \\ 3x + y = 2 \end{cases} \implies \frac{m}{3} = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \implies m = 6\)។

រក \(m\) ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានចម្លើយតែមួយ ៖ \(\begin{cases} mx - y = 3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \implies D = m(1) - 2(-1) = m + 2 \ne 0 \implies m \ne -2\)។

ប្រព័ន្ធសមីការស៊ីមេទ្រី ៖ \(\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} \implies t^2 - 7t + 12 = 0 \implies (t-3)(t-4) = 0\) ចម្លើយគឺ \((3, 4)\) ឬ \((4, 3)\)។

ប្រព័ន្ធសមីការឌុប ៖ \(-3 \le 2x - 1 \le 5 \implies -2 \le 2x \le 6 \implies -1 \le x \le 3\)។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ៣ សមីការ ៖ \(\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 7 \\ z + x = 8 \end{cases}\) បូកទាំងបី ៖ \(2(x+y+z) = 20 \implies x+y+z = 10\) នាំឱ្យ \(z = 10 - 5 = 5, x = 10 - 7 = 3, y = 10 - 8 = 2\)។ ចម្លើយ \((3, 2, 5)\)។

ចំណោទសំបុត្រកុន ៖ មនុស្សធំ ១២០ នាក់, ក្មេង ១៨០ នាក់ សរុប \(300\) នាក់ ចំណូល \(1920\$\)។ សំបុត្រមនុស្សធំ \(8\$\), ក្មេង \(4\$\) ៖ \(120(8) + 180(4) = 960 + 720 = 1680\$\) (ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ)។

ចំណោទកម្រៃពលកម្ម ៖ ជាង ២ នាក់ និងកូនជាង ៣ នាក់ ធ្វើការ ៤ ថ្ងៃបាន \(520\$\)។ ជាង ៣ នាក់ និងកូនជាង ២ នាក់ ធ្វើការ ៣ ថ្ងៃបាន \(480\$\) ៖ រកថ្លៃឈ្នួលប្រចាំថ្ងៃរបស់ម្នាក់ៗតាមប្រព័ន្ធសមីការ។

ចំណោទពង្រីកដី ៖ ដីចតុកោណកែង បើបន្ថែមបណ្តោយ \(2\,\text{m}\) ទទឹង \(3\,\text{m}\) ផ្ទៃកើន \(64\,\text{m}^2\)។ បើបន្ថយបណ្តោយ \(3\,\text{m}\) បន្ថែមទទឹង \(2\,\text{m}\) ផ្ទៃថយ \(12\,\text{m}^2\) ៖ បង្កើតប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែររកវិមាត្រដើម។

ដោះស្រាយតាមវិធីប្រៀបធៀប ៖ \(\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -x + 6 \end{cases} \implies 2x - 3 = -x + 6 \implies 3x = 9 \implies x = 3, y = 3\)។

ប្រព័ន្ធសមីការមានតម្លៃដាច់ខាត ៖ \(\begin{cases} |x| + y = 5 \\ x + |y| = 5 \end{cases}\) ៖ ពិនិត្យករណីសញ្ញា \(x, y \ge 0\) នាំឱ្យ \(x + y = 5\)។

ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ ៣ ៖ រក \(a\) ដើម្បីឱ្យ \(y = ax + 1\) កាត់តាមប្រសព្វនៃ \(x + y = 4\) និង \(x - y = 2\) (\(I(3, 1)\)) ៖ \(1 = 3a + 1 \implies 3a = 0 \implies a = 0\)។

រកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a, b\) នៃបន្ទាត់ \(y = ax + b\) កាត់តាម \(A(1, 3)\) និង \(B(3, 7)\) ៖ \(\begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + b = 7 \end{cases} \implies 2a = 4 \implies a = 2, b = 1\)។

ប្រព័ន្ធសមីការអាំងទែក្រាល (Homogeneous system) ៖ \(\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x - 5y = 0 \end{cases} \implies D = -10 - 12 = -22 \ne 0 \implies (x, y) = (0, 0)\)។

ផលបូកលេខបញ្ច្រាស ៖ \(\frac{1}{x+y} = \frac{1}{6}\) និង \(\frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \implies \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases} \implies x = 4, y = 2\)។

ចំណោទសិស្សក្នុងថ្នាក់ ៖ បើចែកកៅអី ៤ នាក់ក្នុងមួយតុ សល់សិស្ស ៣ នាក់។ បើចែក ៥ នាក់ក្នុងមួយតុ សល់តុទទេ ២ ៖ \(\begin{cases} N = 4t + 3 \\ N = 5(t - 2) \end{cases} \implies 4t + 3 = 5t - 10 \implies t = 13\) តុ, \(N = 55\) សិស្ស។

ចំណោទការងាររួម ៖ A និង B ធ្វើការជាមួយគ្នាចប់ក្នុង ៦ ថ្ងៃ ៖ \(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}\)។ បើ A ធ្វើ ២ ថ្ងៃ B ធ្វើ ៥ ថ្ងៃ ចប់បានកន្លះការងារ ៖ \(\frac{2}{A} + \frac{5}{B} = \frac{1}{2}\)។ ដោះស្រាយរកល្បឿនម្នាក់ៗ។

ប្រព័ន្ធសមីការមានមេគុណត្រីកោណមាត្រ ៖ \(\begin{cases} x\sin 30^\circ + y\cos 60^\circ = 1 \\ x\cos 30^\circ - y\sin 60^\circ = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y = 0 \end{cases} \implies x = 1, y = 1\)។

ចំណោទថ្លៃសាំង ៖ ទិញសាំងធម្មតា \(x\) លីត្រ និងស៊ុបពែរ \(y\) លីត្រ ៖ បង្កើតប្រព័ន្ធសមីការដោះស្រាយតាមថវិកាដែលបានកំណត់។

ប្រព័ន្ធសមីការរាងពិសេស ៖ \(\begin{cases} xy + x + y = 11 \\ x^2y + xy^2 = 30 \end{cases} \implies S = x+y, P = xy \implies \begin{cases} P + S = 11 \\ SP = 30 \end{cases}\) នាំឱ្យ \((S, P) = (5, 6)\) ឬ \((6, 5)\)។

រក \(k\) ដើម្បីឱ្យចម្លើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ \(x > 0, y > 0\) ៖ ដោះស្រាយរក \(x(k), y(k)\) រួចដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ \(x(k) > 0\) និង \(y(k) > 0\)។

ប្រព័ន្ធសមីការមានឫសការេ ៖ \(\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} \implies \sqrt{x} = 3, \sqrt{y} = 2 \implies x = 9, y = 4\)។

គូរតំបន់ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖ \(\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}\) ៖ តំបន់ផ្ទៃត្រីកោណកែងក្នុងប្លង់កូអរដោនេ។

ផ្ទៃក្រឡាតំបន់ចម្លើយ ៖ ពីលំហាត់ ៤៤ ត្រីកោណកែងមានកំពូល \((0, 0), (4, 0), (0, 4)\) ផ្ទៃក្រឡា \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\) ឯកតាផ្ទៃ។

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ (Linear Programming) កម្រិតសាមញ្ញ ៖ រកតម្លៃធំបំផុតនៃ \(F = 2x + 3y\) លើតំបន់ \(x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0\) ៖ ត្រួតពិនិត្យកំពូល ៖ \(F(0,0)=0, F(4,0)=8, F(0,4)=12\) នាំឱ្យអតិបរមាគឺ \(12\) ត្រង់ \((0, 4)\)។

ប្រព័ន្ធសមីការមិនកំណត់ (Indeterminate) ៖ \(2x + 3y = 12\) ៖ ចម្លើយជាចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺ \((3, 2)\)។

ចំណោទថ្លៃដឹកជញ្ជូន ៖ គិតថ្លៃសេវាដើម និងថ្លៃក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ ៖ បង្កើតប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរពីទិន្នន័យចម្ងាយពីរផ្សេងគ្នា។

ប្រព័ន្ធសមីការដែលមានមេគុណធំៗ ៖ \(\begin{cases} 2026x + 2027y = 4053 \\ 2027x + 2026y = 4053 \end{cases}\) បូក ៖ \(4053(x + y) = 8106 \implies x + y = 2\) ដក ៖ \(-x + y = 0 \implies x = y\) នាំឱ្យ \(x = 1, y = 1\)។

ប្រវត្តិនៃវិធី Fangcheng ក្នុងគណិតវិទ្យាចិនបុរាណ ៖ វិធី Fangcheng ក្នុងសៀវភៅ ៩ ជំពូក ប្រើបន្ទះរាប់លេខលើក្តារក្រឡាដើម្បីបំបាត់មេគុណតាមជួរឈរ ដែលដូចគ្នាបេះបិទនឹងវិធីលុប Gaussian Elimination ក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរសម័យទំនើប។