ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ

គណនាអ៊ីប៉ូតេនុស \(BC\) នៃត្រីកោណកែង \(ABC\) កែងត្រង់ \(A\) ៖ \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies BC = 13\,\text{cm}\)។

គណនាជ្រុងជាប់មុំកែង \(AC\) ៖ \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \implies AC = 12\,\text{cm}\)។

គណនាជ្រុងជាប់មុំកែង \(AB\) ៖ \(AB^2 = BC^2 - AC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \implies AB = 24\,\text{cm}\)។

គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងការេ ៖ \(d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\)។

គណនាជ្រុងការេពីអង្កត់ទ្រូង ៖ \(d = 8\,\text{cm} \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\)។

គណនាកម្ពស់ និងផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណសម័ង្ស (\(a = 6\,\text{cm}\)) ៖ \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\,\text{cm}\) \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2\)។

គណនាជ្រុងនៃត្រីកោណសម័ង្សពីកម្ពស់ ៖ \(h = 6\sqrt{3}\,\text{cm} \implies \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \implies a = 12\,\text{cm}\)។

ត្រីកោណកែងដែលមានមុំ \(30^\circ, 60^\circ\) ៖ អ៊ីប៉ូតេនុស \(c = 16\,\text{cm}\) ៖ ជ្រុងឈម \(30^\circ\) គឺ \(a = \frac{c}{2} = 8\,\text{cm}\) ជ្រុងឈម \(60^\circ\) គឺ \(b = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\,\text{cm}\)។

ត្រីកោណកែងសមបាត ៖ ជ្រុងជាប់មុំកែងស្មើ \(7\,\text{cm}\) នាំឱ្យអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ \(c = 7\sqrt{2}\,\text{cm}\)។

ពិនិត្យប្រភេទត្រីកោណតាមប្រវែងជ្រុង \(9, 12, 15\) ៖ \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) តាមទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសពីតាគ័រ ត្រីកោណនេះជាត្រីកោណកែង។

ពិនិត្យប្រភេទត្រីកោណ \(7, 8, 10\) ៖ \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 > 10^2 = 100\) ដោយ \(a^2 + b^2 > c^2\) នោះជាត្រីកោណស្រួច។

ពិនិត្យប្រភេទត្រីកោណ \(4, 6, 9\) ៖ \(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 < 9^2 = 81\) ដោយ \(a^2 + b^2 < c^2\) នោះជាត្រីកោណទាល។

អង្កត់ទ្រូងចតុកោណកែង ៖ បណ្តោយ \(12\,\text{cm}\), ទទឹង \(5\,\text{cm}\) ៖ \(d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\,\text{cm}\)។

ជ្រុងចតុកោណស្មើពីអង្កត់ទ្រូង ៖ អង្កត់ទ្រូង \(10\,\text{cm}\) និង \(24\,\text{cm}\) កាត់គ្នាកែងត្រង់ចំណុចកណ្តាល (\(5\) និង \(12\)) ៖ ជ្រុង \(a = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\,\text{cm}\)។ បរិមាត្រ ៖ \(P = 4 \times 13 = 52\,\text{cm}\)។

កម្ពស់ត្រីកោណសមបាត ៖ ជ្រុងទ្រេត \(13\,\text{cm}\), បាត \(10\,\text{cm}\) (កន្លះបាត \(5\,\text{cm}\)) ៖ \(h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\,\text{cm}\)។ ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60\,\text{cm}^2\)។

កម្ពស់ចតុកោណព្នាយកែង ៖ បាតតូច \(6\), បាតធំ \(10\), ជ្រុងទ្រេត \(5\) ៖ បាតត្រីកោណកែង ៖ \(10 - 6 = 4\) កម្ពស់ ៖ \(h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\,\text{cm}\)។

អង្កត់ទ្រូងគូប ៖ ជ្រុង \(a = 5\,\text{cm}\) នាំឱ្យអង្កត់ទ្រូងធំគឺ \(d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\)។

អង្កត់ទ្រូងប្រអប់ឈរ ៖ វិមាត្រ \(2, 3, 6\,\text{cm}\) ៖ \(d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\)។

ចំណោទជណ្ដើរ ៖ ជណ្ដើរ \(6.5\,\text{m}\), គល់ជណ្ដើរឆ្ងាយពីជញ្ជាំង \(2.5\,\text{m}\) ៖ កម្ពស់ដល់ចុងជណ្ដើរ ៖ \(h = \sqrt{6.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{42.25 - 6.25} = \sqrt{36} = 6\,\text{m}\)។

ចំណោទដើមឈើបាក់ ៖ ដើមឈើកម្ពស់ \(16\,\text{m}\) បាក់ត្រឹម \(x\,\text{m}\) ចុងប៉ះដីចម្ងាយ \(8\,\text{m}\) ពីគល់ ៖ អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ \(16 - x\) \((16 - x)^2 = x^2 + 8^2 \implies 256 - 32x + x^2 = x^2 + 64 \implies 32x = 192 \implies x = 6\,\text{m}\)។ ដើមឈើបាក់ត្រឹមកម្ពស់ \(6\,\text{m}\) ពីដី។

ចំណោទនាវាចរណ៍ ៖ រត់ខាងកើត \(15\,\text{km}\) រួចជើង \(8\,\text{km}\) ៖ ចម្ងាយពីដើម ៖ \(d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = 17\,\text{km}\)។

កម្ពស់លើអ៊ីប៉ូតេនុស ៖ \(AB = 9, AC = 12 \implies BC = 15\) \(AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{9 \times 12}{15} = 7.2\,\text{cm}\)។

ចំណោលកែងលើអ៊ីប៉ូតេនុស ៖ ពីលំហាត់ ២២ ៖ \(BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{81}{15} = 5.4\,\text{cm}\) \(CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{144}{15} = 9.6\,\text{cm}\)។

ទំនាក់ទំនង \(AH^2 = BH \times CH\) ៖ \(5.4 \times 9.6 = 51.84 = (7.2)^2\) (ពិត)។

ទំនាក់ទំនង \(\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}\) ៖ \(\frac{1}{81} + \frac{1}{144} = \frac{16 + 9}{1296} = \frac{25}{1296} = \frac{1}{51.84} = \frac{1}{AH^2}\) (ពិត)។

អង្កត់ទ្រូងចតុកោណព្នាយសមបាត ៖ បាត \(6\) និង \(12\), ជ្រុងទ្រេត \(5\) ៖ កម្ពស់ \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)។ អង្កត់ទ្រូង \(d = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}\,\text{cm}\)។

ខ្សែពួរចងបង្គោល ៖ បង្គោល \(12\,\text{m}\), ចងទៅដីចម្ងាយ \(5\,\text{m}\) ពីគល់ ៖ ប្រវែងខ្សែពួរ ៖ \(L = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\,\text{m}\)។

ត្រីកោណកែងចារឹកក្នុងរង្វង់ ៖ អ៊ីប៉ូតេនុសជាអង្កត់ផ្ចិតរង្វង់ ៖ \(2R = c\)។ បើជ្រុងកែង \(8, 15\) នោះ \(c = 17 \implies R = 8.5\,\text{cm}\)។

កាំរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណកែង ៖ \(r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm}\)។

បង្កើតត្រីធាតុពីតាគ័រតាម \((m, n) = (3, 2)\) ៖ \(a = 3^2 - 2^2 = 5, b = 2(3)(2) = 12, c = 3^2 + 2^2 = 13\)។

បង្កើតត្រីធាតុពីតាគ័រតាម \((m, n) = (4, 1)\) ៖ \(a = 4^2 - 1^2 = 15, b = 2(4)(1) = 8, c = 4^2 + 1^2 = 17\)។

បង្កើតត្រីធាតុពីតាគ័រតាម \((m, n) = (4, 3)\) ៖ \(a = 4^2 - 3^2 = 7, b = 2(4)(3) = 24, c = 4^2 + 3^2 = 25\)។

បង្កើតត្រីធាតុពីតាគ័រតាម \((m, n) = (5, 2)\) ៖ \(a = 5^2 - 2^2 = 21, b = 2(5)(2) = 20, c = 5^2 + 2^2 = 29\)។

គណនាផ្ទៃត្រីកោណកែងពីមេដ្យាន ៖ មេដ្យានលើអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើកន្លះអ៊ីប៉ូតេនុស ៖ \(m_a = \frac{c}{2}\)។

ចម្ងាយអតិបរមាក្នុងបន្ទប់ ៖ បន្ទប់ \(4\,\text{m} \times 5\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) ៖ \(d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{m}\)។

កម្រាស់បំពង់ស៊ីឡាំង ៖ កាំក្នុង \(r = 6\), កាំក្រៅ \(R = 10\) ៖ ប្រវែងអង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់ក្រៅដែលប៉ះរង្វង់ក្នុងគឺ \(2\sqrt{R^2 - r^2} = 2\sqrt{100 - 36} = 2(8) = 16\,\text{cm}\)។

អង្កត់ធ្នូរង្វង់ពីចម្ងាយទៅផ្ចិត ៖ កាំ \(R = 13\), ចម្ងាយទៅផ្ចិត \(d = 5\) ៖ ប្រវែងអង្កត់ធ្នូគឺ \(2\sqrt{13^2 - 5^2} = 2(12) = 24\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយរវាងផ្ចិត និងអង្កត់ធ្នូ ៖ កាំ \(R = 10\), អង្កត់ធ្នូ \(16\) (កន្លះគឺ \(8\)) ៖ ចម្ងាយ \(d = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយពីចំណុចក្រៅរង្វង់ដល់ចំណុចប៉ះ ៖ កាំ \(R = 5\), ចម្ងាយពីផ្ចិតទៅចំណុចក្រៅ \(OP = 13\) ៖ ប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះ \(PT = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\,\text{cm}\)។

ចម្ងាយរវាងអង្កត់ធ្នូស្របគ្នាពីរក្នុងរង្វង់ ៖ អង្កត់ធ្នូ \(12\) (\(d_1 = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\)) និង \(16\) (\(d_2 = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\)) ៖ បើនៅសងខាងផ្ចិត ៖ \(d = 8 + 6 = 14\,\text{cm}\)។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន Apollonius ៖ \(b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}\)។ ចំពោះត្រីកោណកែង \(b^2 + c^2 = a^2\) នាំឱ្យ \(m_a = \frac{a}{2}\)។

ទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រលើពីរត្រីកោណកែងជាប់គ្នា ៖ គណនាជ្រុងរួមដើម្បីទាញរកទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងដទៃទៀត។

បង្ហាញរូបមន្តកម្ពស់ត្រីកោណសម័ង្សតាមពីតាគ័រ ៖ \(h^2 + (a/2)^2 = a^2 \implies h^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4 \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)។

បង្ហាញរូបមន្តអង្កត់ទ្រូងការេតាមពីតាគ័រ ៖ \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies d = a\sqrt{2}\)។

កាំរង្វង់ប៉ះរួមក្រៅនៃរង្វង់ពីរ ៖ កាំ \(R = 9, r = 4\), ចម្ងាយផ្ចិត \(d = 13\) ៖ ប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះរួមក្រៅគឺ \(\sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\,\text{cm}\)។

កាំរង្វង់ប៉ះរួមក្នុងនៃរង្វង់ពីរ ៖ កាំ \(R = 4, r = 2\), ចម្ងាយផ្ចិត \(d = 10\) ៖ ប្រវែងបន្ទាត់ប៉ះរួមក្នុងគឺ \(\sqrt{d^2 - (R + r)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\)។

ការបកស្រាយពីតាគ័រតាមធរណីមាត្រ ៖ ផ្ទៃក្រឡាការេលើអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើផលបូកផ្ទៃក្រឡាការេលើជ្រុងជាប់មុំកែងទាំងពីរ។

ចន្ទ្រានៃ Hippocrates ៖ បង្ហាញថាផលបូកផ្ទៃក្រឡាចន្ទ្រាទាំងពីរស្មើផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណកែង ៖ \(S_{\text{ចន្ទ្រា}} = S_1 + S_2 - (S_{\text{កន្លះរង្វង់ធំ}} - S_{\Delta}) = S_{\Delta}\) ព្រោះ \(S_1 + S_2 = S_{\text{កន្លះរង្វង់ធំ}}\)។

អនុវត្តន៍ក្នុងការសាងសង់ប្រាសាទបុរាណខ្មែរ ៖ ការប្រើប្រាស់ត្រីធាតុពីតាគ័រ \((3, 4, 5)\) និង \((5, 12, 13)\) ដើម្បីតម្រង់មុំកែងនៃគ្រឹះប្រាសាទឱ្យចំទិសទាំងបួនយ៉ាងសុក្រឹតឥតខ្ចោះ។

ទ្រឹស្តីបទចុងក្រោយរបស់ Fermat (Fermat’s Last Theorem) ៖ \(a^n + b^n = c^n\) គ្មានចម្លើយជាចំនួនគត់វិជ្ជមានចំពោះគ្រប់ \(n > 2\) ដែលជាការពង្រីកដ៏ល្បីល្បាញបំផុតចេញពីទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ។