ទ្រឹស្តីប្រូបាប (Probability Theory) មានប្រភពដើមចេញពីការវិភាគគណិតវិទ្យាលើល្បែងភ្នាល់គ្រាប់ឡុកឡាក់ ៖
លោក Blaise Pascal (១៦២៣-១៦៦២) និង Pierre de Fermat (១៦០១-១៦៦៥) ៖ នៅរដូវក្តៅឆ្នាំ ១៦៥៤ អ្នកប្រាជ្ញបារាំងទាំងពីររូបបានឆ្លើយឆ្លងសំបុត្រគ្នា ដើម្បីដោះស្រាយ «បញ្ហាបែងចែកប្រាក់រង្វាន់» (Problem of Points) ដែលចោទសួរដោយអ្នកលេងល្បែង Chevalier de Méré។ ការឆ្លើយឆ្លងនេះត្រូវបានចាត់ទុកជាការប្រសូតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាបសម័យទំនើប។
លោក Christiaan Huygens (១៦២៩-១៦៩៥) ៖ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិហូឡង់ បានបោះពុម្ពសៀវភៅទ្រឹស្តីប្រូបាបដំបូងបង្អស់លើពិភពលោក De Ratiociniis in Ludo Aleae ក្នុងឆ្នាំ ១៦៥៧ ដោយណែនាំគំនិតនៃ «សង្ឃឹមគណិត» (Mathematical Expectation)។
លោក Andrey Kolmogorov (១៩០៣-១៩៨៧) ៖ គណិតវិទូជនជាតិរុស្ស៊ី បានដាក់ចេញនូវប្រព័ន្ធស្វ័យសច្ចពន្ធ (Axiomatic Foundation) នៃទ្រឹស្តីប្រូបាបក្នុងឆ្នាំ ១៩៣៣ ដែលផ្សារភ្ជាប់ប្រូបាបទៅនឹងទ្រឹស្តីរង្វាស់ទំនើប។
លំហសំណាក និងព្រឹត្តិការណ៍
ការពិសោធចៃដន្យ (Random Experiment) ៖ ជាសកម្មភាពដែលគេមិនអាចដឹងមុននូវលទ្ធផលជាក់លាក់ ប៉ុន្តែអាចស្គាល់នូវគ្រប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។
លំហសំណាក (Sample Space, \(S\)) ៖ គឺជាសំណុំនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងទាំងអស់នៃការពិសោធចៃដន្យមួយ។ ចំនួនធាតុនៃលំហសំណាកតាងដោយ \(n(S)\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ (Event, \(A\)) ៖ គឺជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក (\(A \subseteq S\))។
ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាច (Impossible Event) ៖ \(A = \emptyset\) (មិនអាចកើតឡើងបាន)។
ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ (Certain Event) ៖ \(A = S\) (កើតឡើងជានិច្ច)។
ក្នុងការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់សុចរិតមួយគ្រាប់ ៖
កំណត់លំហសំណាក \(S\) និង \(n(S)\)។
កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «ចេញលេខគូ» និង \(n(A)\)។
លំហសំណាក ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។
ព្រឹត្តិការណ៍ចេញលេខគូ ៖ \(A = \{2, 4, 6\} \implies n(A) = 3\)។
ក្នុងការបោះកាក់មួយចំនួន ២ ដង ៖ ចូរសរសេរលំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ៖ «ចេញមុខរូបយ៉ាងតិចម្តង»។
និយមន័យប្រូបាបក្លាស៊ិក
បើគ្រប់លទ្ធផលនៃលំហសំណាក \(S\) មានឱកាសកើតឡើងស្មើៗគ្នា នោះប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) កំណត់ដោយ ៖
ចំពោះគ្រប់ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ \(0 \le P(A) \le 1\)
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាច ៖ \(P(\emptyset) = 0\)
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ៖ \(P(S) = 1\)
ថង់មួយមានឃ្លីក្រហម ៤ គ្រាប់ និងឃ្លីខៀវ ៦ គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖
ឃ្លីពណ៌ក្រហម
ឃ្លីពណ៌ខៀវ
ចំនួនករណីអាចសរុបគឺ \(n(S) = 4 + 6 = 10\)។
\(P(\) ក្រហម \() = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0.4\) (\(40\%\))
\(P(\) ខៀវ \() = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0.6\) (\(60\%\))
បៀមួយហ៊ូមាន ៥២ សន្លឹក។ ដកបៀមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលដកបានសន្លឹក Ace (អាត់)។
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ
ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃ \(A\) តាងដោយ \(\bar{A}\) (ឬ \(A'\)) គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែល «មិនកើតឡើង \(A\)»។ គេបានរូបមន្ត ៖
បើប្រូបាបដែលសិស្សម្នាក់ប្រឡងជាប់គឺ \(0.85\) នោះប្រូបាបដែលសិស្សនោះប្រឡងធ្លាក់គឺ ៖
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ព្រមគ្នា។ រកប្រូបាបដែលផលបូកលេខទាំងពីរធំជាង \(3\) (ប្រើព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ)។
វិធានផលគុណ និងការពិសោធច្រើនដង
បើការពិសោធទីមួយមាន \(k_1\) ករណី, ការពិសោធទីពីរមាន \(k_2\) ករណី, \(\dots\), ការពិសោធទី \(n\) មាន \(k_n\) ករណី នោះចំនួនករណីសរុបនៃការពិសោធទាំង \(n\) បន្តបន្ទាប់គ្នាគឺ ៖
លំហាត់អនុវត្តន៍
គេចាប់យកអក្សរមួយនៃពាក្យ «PHNOM PENH» ដោយចៃដន្យ។ ចូររកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន ៖
អក្សរ P
អក្សរ H
អក្សរ O ឬ M
អក្សរ P ឬ N
មើលដំណោះស្រាយ
ពាក្យ «PHNOM PENH» មាន ៩ អក្សរ ៖ P, H, N, O, M, P, E, N, H (\(n(S) = 9\)) ៖
a. អក្សរ P មាន ២ នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{9}\)
b. អក្សរ H មាន ២ នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{9}\)
c. អក្សរ O ឬ M ៖ មាន \(1 + 1 = 2\) នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{9}\)
d. អក្សរ P ឬ N ៖ មាន \(2 + 2 = 4\) នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{9}\)
បើគេពិសោធចាប់យកអក្សរមួយចេញពីពាក្យ «BANANA» តើលទ្ធផលដែលអាចកើតឡើងមានប៉ុន្មានរបៀប? ចូររកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បានអក្សរ A។
មើលដំណោះស្រាយ
ពាក្យ «BANANA» មាន ៦ អក្សរ ៖ B, A, N, A, N, A (\(n(S) = 6\)) ៖
លទ្ធផលអាចមាន ៦ របៀប (ឬ ៣ ប្រភេទអក្សរផ្សេងគ្នា)។
អក្សរ A មាន ៣ នាំឱ្យប្រូបាបចាប់បានអក្សរ A គឺ \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)។
គេចាប់យកអក្សរមួយនៃពាក្យ «MATHEMATICS» ដោយចៃដន្យ។ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖
អក្សរ M
អក្សរ T
អក្សរ A ឬ T
អក្សរ A ឬ S
មើលដំណោះស្រាយ
ពាក្យ «MATHEMATICS» មាន ១១ អក្សរ (\(n(S) = 11\)) ៖
a. អក្សរ M មាន ២ នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{11}\)
b. អក្សរ T មាន ២ នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{11}\)
c. អក្សរ A ឬ T ៖ មាន \(2 + 2 = 4\) នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{11}\)
d. អក្សរ A ឬ S ៖ មាន \(2 + 1 = 3\) នាំឱ្យ \(P = \frac{3}{11}\)
ថង់មួយមានឃ្លីបួនគ្រាប់ដែលបង់អក្សរ \(a, A, b, B\)។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងពីរចេញពីថង់ ៖
តើមានព្រឹត្តិការណ៍អ្វីខ្លះដែលអាចកើតឡើង?
ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីមានអក្សរតូចមួយ និងធំមួយ។
ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីមានអក្សរតូចទាំងពីរ ឬធំទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
ឃ្លីបួនគ្រាប់ \(a, A, b, B\) ចាប់ម្តងពីរ ៖ ក. ករណីអាចសរុបគឺ \(C(4, 2) = 6\) ៖ \(\{a, A\}, \{a, b\}, \{a, B\}, \{A, b\}, \{A, B\}, \{b, B\}\)។
ខ. រកប្រូបាប ៖
តូចមួយ ធំមួយ ៖ \(\{a, A\}, \{a, B\}, \{A, b\}, \{b, B\}\) មាន ៤ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)។
តូចទាំងពីរ ឬធំទាំងពីរ ៖ \(\{a, b\}\) និង \(\{A, B\}\) មាន ២ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)។
គេធ្វើតេស្តលើអំពូល \(500\) គ្រឿង ហើយរកឃើញមានអំពូលខូច \(4\) គ្រឿង ៖
ចូររកប្រូបាបនៃការរកឃើញអំពូលខូចនេះ។
បើក្រុមហ៊ុនត្រូវលក់អំពូលចំនួន \(8500\) គ្រឿង តើគេត្រូវត្រៀមអំពូលប៉ុន្មានគ្រឿងបន្ថែមដើម្បីធានាជូនអតិថិជន?
មើលដំណោះស្រាយ
ក. ប្រូបាបរកឃើញអំពូលខូច ៖ \(P = \frac{4}{500} = \frac{1}{125} = 0.008\) (\(0.8\%\))។
ខ. ចំនួនអំពូលខូចប៉ាន់ស្មានក្នុងចំណោម ៨៥០០ គ្រឿង ៖ \(8500 \times 0.008 = 68\) គ្រឿង។ ដូចនេះក្រុមហ៊ុនត្រូវត្រៀមយ៉ាងតិច ៦៨ គ្រឿង។
គេស្ទាបស្ទង់ចំណង់ចំណូលចិត្តនៃភ្ញៀវទេសចរ ៖
| អាយុ | អង្គរវត្ត | ឆ្នេរសមុទ្រ | តំបន់ជនជាតិ |
|---|---|---|---|
| \(< 30\) | \(46\) | \(92\) | \(5\) |
| \(30 \le x < 50\) | \(72\) | \(61\) | \(34\) |
| \(\ge 50\) | \(67\) | \(20\) | \(48\) |
រកប្រូបាបអ្នកអាយុក្រោម ៣០ ឆ្នាំដែលចូលចិត្តឆ្នេរសមុទ្រ។
រកប្រូបាបអ្នកអាយុចាប់ពី ៣០ ឆ្នាំឡើងទៅដែលចូលចិត្តអង្គរវត្ត ឬតំបន់ជនជាតិ។
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូកភ្ញៀវទេសចរសរុប ៖ \(N = (46+92+5) + (72+61+34) + (67+20+48) = 143 + 167 + 135 = 445\) នាក់។
ក. អាយុក្រោម ៣០ ឆ្នាំ ចូលចិត្តឆ្នេរសមុទ្រ (\(92\) នាក់) ៖ \(P = \frac{92}{445} \approx 0.207\) (\(20.67\%\))។
ខ. អាយុ \(\ge 30\) ចូលចិត្តអង្គរវត្ត ឬជនជាតិ ៖ \((72 + 34) + (67 + 48) = 106 + 115 = 221\) នាក់ នាំឱ្យ \(P = \frac{221}{445} \approx 0.497\) (\(49.66\%\))។
ថង់មួយមានឃ្លីស និងខ្មៅសរុប ១៥ គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយហើយកត់ត្រា រួចដាក់ចូលវិញ។ ក្នុង ១០០ ដង គេឃើញឃ្លីខ្មៅចេញ ៤០ ដង។ ចូររកចំនួនឃ្លីខ្មៅ និងឃ្លីស។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រេកង់ធៀបនៃឃ្លីខ្មៅ ៖ \(\frac{40}{100} = 0.4\)។ ចំនួនឃ្លីខ្មៅប៉ាន់ស្មាន ៖ \(15 \times 0.4 = 6\) គ្រាប់។ ចំនួនឃ្លីសគឺ ៖ \(15 - 6 = 9\) គ្រាប់។
ថង់មួយមានឃ្លីខ្មៅ ៤ គ្រាប់ និងឃ្លីស ២ គ្រាប់ ៖
រកប្រូបាបដែល ក ចាប់បានឃ្លីខ្មៅមួយគ្រាប់។
បើ ក ចាប់បានខ្មៅហើយមិនដាក់ចូលវិញ រួច ខ ចាប់បន្ត។ រកប្រូបាបដែល ខ ចាប់បានឃ្លីខ្មៅ។
មើលដំណោះស្រាយ
ឃ្លីខ្មៅ ៤, ស ២ (សរុប ៦) ៖ ក. ប្រូបាបដែល ក ចាប់បានខ្មៅ ៖ \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)។
ខ. ក ចាប់បានខ្មៅមួយមិនដាក់ចូលវិញ សល់ខ្មៅ ៣ សរុប ៥ ៖ ប្រូបាបដែល ខ ចាប់បានខ្មៅ ៖ \(P = \frac{3}{5}\)។
ថង់មួយមានឃ្លីខៀវ ៣ គ្រាប់ និងឃ្លីស ២ គ្រាប់។ ចាប់យកឃ្លី ២ គ្រាប់ព្រមគ្នា ៖
រកប្រូបាបបានឃ្លីសទាំងពីរ
រកប្រូបាបបានឃ្លីខៀវមួយយ៉ាងតិច
មើលដំណោះស្រាយ
ខៀវ ៣, ស ២ (សរុប ៥) ចាប់ ២ គ្រាប់ព្រមគ្នា ៖ \(n(S) = C(5, 2) = 10\)។
សទាំងពីរ ៖ \(C(2, 2) = 1 \implies P = \frac{1}{10}\)
ខៀវមួយយ៉ាងតិច ៖ ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញនៃសទាំងពីរ នាំឱ្យ \(P = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)
ថង់មួយមានឃ្លី ១២ គ្រាប់ (ស និងខ្មៅ) ៖
រកចំនួនឃ្លីខ្មៅ បើប្រូបាបចាប់បានឃ្លីខ្មៅគឺ \(\frac{1}{3}\)។
រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីស។
មើលដំណោះស្រាយ
សរុប ១២ គ្រាប់ ៖ ក. ចំនួនឃ្លីខ្មៅ ៖ \(12 \times \frac{1}{3} = 4\) គ្រាប់។
ខ. ប្រូបាបចាប់បានឃ្លីស ៖ \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (មានឃ្លីស ៨ គ្រាប់)។
កាបូបមួយមានប៊ិក ១៤ ដើម (ក្រហម និងខៀវ) ៖
រកចំនួនប៊ិកក្រហម បើប្រូបាបចាប់បានប៊ិកក្រហមគឺ \(\frac{3}{7}\)។
រកប្រូបាបចាប់បានប៊ិកខៀវ។
មើលដំណោះស្រាយ
ប៊ិក ១៤ ដើម ៖ ក. ចំនួនប៊ិកក្រហម ៖ \(14 \times \frac{3}{7} = 6\) ដើម។
ខ. ប្រូបាបចាប់បានប៊ិកខៀវ ៖ \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\) (មានប៊ិកខៀវ ៨ ដើម)។
បោះកាក់ម្តងពីរ។ រកប្រូបាបដែលចេញមុខពីរផ្សេងគ្នា រួចទាញរកប្រូបាបដែលចេញមុខពីរដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ពីរដង ៖ \(S = \{HH, HT, TH, TT\}\) (\(n(S) = 4\)) ៖
មុខពីរផ្សេងគ្នា (\(HT, TH\)) ៖ \(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
មុខពីរដូចគ្នា ៖ តាមព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ \(P' = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
បោះកាក់បីដង។ រកប្រូបាបដែលចេញមុខ T ពីរ និង H មួយ រួចរកប្រូបាបដែលចេញមុខ H ទាំងបី។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ ៣ ដង ៖ \(n(S) = 2^3 = 8\) ៖
\(T\) ពីរ និង \(H\) មួយ ៖ \(\{TTH, THT, HTT\}\) មាន ៣ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{3}{8}\)
\(H\) ទាំងបី ៖ \(\{HHH\}\) មាន ១ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{1}{8}\)
ក្រុមហ៊ុនមួយមានបុគ្គលិក ២៥០ នាក់។ អ្នកជិះរថយន្តផ្ទាល់ខ្លួនមាន ៥០ នាក់។ រកប្រូបាបដែលបុគ្គលិកធ្វើដំណើរដោយមធ្យោបាយដទៃទៀត។
មើលដំណោះស្រាយ
បុគ្គលិក ២៥០ នាក់ រថយន្តផ្ទាល់ខ្លួន ៥០ នាក់ ៖ ប្រូបាបរថយន្តផ្ទាល់ខ្លួន ៖ \(\frac{50}{250} = \frac{1}{5}\)។ ប្រូបាបមធ្យោបាយដទៃទៀត ៖ \(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (\(80\%\))។
បង្ហាញពីលំនាំប្រូបាបនៃការបោះកាក់បានមុខ T ទាំងស្រុង ពី ១ ដង ដល់ ៤ ដង។
មើលដំណោះស្រាយ
លំនាំបោះកាក់ ៖
a. បោះ ១ ដង ៖ \(P(T) = \frac{1}{2}\)
b. បោះ ២ ដង ៖ \(P(TT) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
c. បោះ ៣ ដង ៖ \(P(TTT) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
d. បោះ ៤ ដង ៖ \(P(TTTT) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)
គ្រួសារមួយចង់បានកូន ៣ នាក់ ៖
រកក្តីសង្ឃឹមចង់បានកូនប្រុសច្បង ស្រីទី២ និងប្រុសពៅ។
រកប្រូបាបដែលបានកូនស្រីច្បង។
រកប្រូបាបដែលបានកូនស្រី ២ នាក់ និងប្រុស ១ នាក់។
មើលដំណោះស្រាយ
កូន ៣ នាក់ ៖ \(n(S) = 2^3 = 8\) ៖
a. កូនប្រុសច្បង ស្រីទី២ ប្រុសពៅ (BGB) ៖ \(P = \frac{1}{8}\)
b. កូនស្រីច្បង (\(Gxx\)) ៖ មាន ៤ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
c. ស្រីពីរ ប្រុសម្នាក់ (\(GGB, GBG, BGG\)) ៖ មាន ៣ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{3}{8}\)
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួនពីរដង ៖
រកប្រូបាបដែលចេញលេខដូចគ្នា។
រកប្រូបាបដែលផលបូកលេខទាំងពីរស្មើនឹង \(10\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ ដង ៖ \(n(S) = 36\) ៖
a. ចេញលេខដូចគ្នា ៖ \((1,1), \dots, (6,6)\) មាន ៦ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
b. ផលបូកស្មើ \(10\) ៖ \((4,6), (5,5), (6,4)\) មាន ៣ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
សុខនឹកលេខសេសពី ១ ដល់ ២១ ហើយសៅនឹកលេខគូពី ១ ដល់ ២១។ តើប្រូបាបនៃលេខដែលពួកគេនឹកស្មើគ្នាឬទេ?
មើលដំណោះស្រាយ
ចន្លោះពី ១ ទៅ ២១ ៖ ចំនួនសេស ៖ \(3, 5, \dots, 19\) មាន ៩ ចំនួន។ ចំនួនគូ ៖ \(2, 4, \dots, 20\) មាន ១០ ចំនួន។ ប្រូបាបដែលសុខរកនឹកគឺ \(\frac{9}{19}\) ហើយសៅគឺ \(\frac{10}{19}\) (មិនស្មើគ្នាទេ សៅមានប្រូបាបធំជាង)។
ក្នុងវិញ្ញាសាគប់ព្រួញលើផ្ទាំងរូបភាព k15 តើប្រូបាបដែលគប់ត្រូវផ្ទៃផាត់ពណ៌ស្មើនឹងផ្ទៃមិនផាត់ពណ៌ឬទេ?
មើលដំណោះស្រាយ
គប់ព្រួញលើផ្ទាំងរូបភាព k15 ៖ ប្រូបាបធរណីមាត្រស្មើនឹងផលធៀបរវាងផ្ទៃផាត់ពណ៌ និងផ្ទៃសរុប។ បើផ្ទៃផាត់ពណ៌ស្មើនឹងកន្លះនៃផ្ទៃសរុប នោះប្រូបាបទាំងពីរស្មើគ្នាគឺ \(\frac{1}{2}\)។
រកប្រូបាបដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញលេខពី ១ ដល់ ៤។
មើលដំណោះស្រាយ
គ្រាប់ឡុកឡាក់ចេញពីលេខ ១ ដល់ ៤ ៖ ករណីស្រប ៖ \(\{1, 2, 3, 4\}\) មាន ៤ ករណី។ \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)។
ការអង្កេតលើមធ្យោបាយធ្វើដំណើរ ៖ រថយន្ត (ក្នុងក្រុង ១៨២, ជាយក្រុង ៥២), ម៉ូតូ (ក្នុងក្រុង ២៥៤, ជាយក្រុង ៣៣៨) ៖
រកប្រូបាបអ្នកជិះម៉ូតូ និងអ្នកជិះរថយន្ត។
បើមានភ្ញៀវ ១២០០ នាក់ (ក្នុងក្រុង ៧៦០, ជាយក្រុង ៤៤០) តើត្រូវត្រៀមកន្លែងចតរថយន្តប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
ទិន្នន័យមធ្យោបាយធ្វើដំណើរ (\(N = 234 + 592 = 826\)) ៖
a. អ្នកធ្វើដំណើរដោយម៉ូតូ ៖ \(P = \frac{592}{826} \approx 0.7167\) (\(71.67\%\))
b. អ្នកធ្វើដំណើរដោយរថយន្ត ៖ \(P = \frac{234}{826} \approx 0.2833\) (\(28.33\%\))
c. ភ្ញៀវក្នុងក្រុង ៧៦០ (រថយន្ត \(\frac{182}{436} \approx 0.4174\)) និងជាយក្រុង ៤៤០ (រថយន្ត \(\frac{52}{390} \approx 0.1333\)) ៖ ចំនួនកន្លែងចតរថយន្តប៉ាន់ស្មាន \(\approx 760(0.4174) + 440(0.1333) \approx 317 + 59 = 376\) កន្លែង។
ស្ទង់មតិគាំទ្របេក្ខជន A, B, C ៖ គណនាអត្រាគាំទ្រនៃបេក្ខជននីមួយៗ និងប្រៀបធៀប។
មើលដំណោះស្រាយ
សំឡេងគាំទ្របេក្ខជន ៖
A ៖ គាំទ្រ \(\frac{1420}{1676} \approx 84.7\%\)
B ៖ គាំទ្រ \(\frac{846}{994} \approx 85.1\%\)
C ៖ គាំទ្រ \(\frac{570}{671} \approx 84.9\%\)
បេក្ខជន B ទទួលបានអត្រាគាំទ្រខ្ពស់ជាងគេបន្តិច។
បោះកាក់មួយម្តង។ រកប្រូបាបចេញមុខ H និងចេញមុខ T។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់មួយម្តង ៖ \(S = \{H, T\} \implies n(S) = 2\)។ \(P(H) = \frac{1}{2}\) និង \(P(T) = \frac{1}{2}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ម្តង។ រកប្រូបាបចេញលេខសេស។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់លេខសេស ៖ \(\{1, 3, 5\} \implies P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ម្តង។ រកប្រូបាបចេញលេខបឋម។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់លេខបឋម ៖ \(\{2, 3, 5\} \implies P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ម្តង។ រកប្រូបាបចេញពហុគុណនៃ ៣។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពហុគុណនៃ ៣ ៖ \(\{3, 6\} \implies P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)។
ដកបៀមួយសន្លឹកពីបៀ ៥២ សន្លឹក។ រកប្រូបាបបានបៀសន្លឹកបេះដូង (Heart)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដកបៀសន្លឹកបេះដូងក្រហម (Heart) ៖ មាន ១៣ សន្លឹក នាំឱ្យ \(P = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)។
ដកបៀមួយសន្លឹកពីបៀ ៥២ សន្លឹក។ រកប្រូបាបបានសន្លឹក King។
មើលដំណោះស្រាយ
ដកបៀសន្លឹក King ៖ មាន ៤ សន្លឹក នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)។
ដកបៀមួយសន្លឹកពីបៀ ៥២ សន្លឹក។ រកប្រូបាបបានសន្លឹក Ace ពណ៌ខ្មៅ។
មើលដំណោះស្រាយ
ដកបៀសន្លឹក Ace ខ្មៅ ៖ មាន ២ សន្លឹក (Spade, Club) នាំឱ្យ \(P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}\)។
ជ្រើសរើសលេខមួយពី ១ ដល់ ៥០។ រកប្រូបាបបានលេខចែកដាច់នឹង ៧។
មើលដំណោះស្រាយ
លេខពី ១ ដល់ ៥០ ចែកដាច់នឹង ៧ ៖ \(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\) មាន ៧ ចំនួន។ \(P = \frac{7}{50} = 0.14\) (\(14\%\))។
ជ្រើសរើសលេខមួយពី ១ ដល់ ៥០។ រកប្រូបាបបានលេខជាការេប្រាកដ។
មើលដំណោះស្រាយ
លេខពី ១ ដល់ ៥០ ជាការេប្រាកដ ៖ \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\) មាន ៧ ចំនួន។ \(P = \frac{7}{50} = 0.14\) (\(14\%\))។
បោះកាក់ ៣ ដង។ រកប្រូបាបដែលចេញមុខដូចគ្នាទាំងអស់។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ ៣ ដង បានមុខដូចគ្នាទាំងអស់ ៖ \(\{HHH, TTT\} \implies P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)។
បោះកាក់ ៣ ដង។ រកប្រូបាបដែលចេញមុខរូបយ៉ាងតិច ២ ដង។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះកាក់ ៣ ដង បានមុខរូបយ៉ាងតិច ២ ៖ \(\{HHT, HTH, THH, HHH\}\) មាន ៤ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់។ រកប្រូបាបដែលផលបូកស្មើនឹង ៨។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះឡុកឡាក់ ២ ផលបូកស្មើ ៨ ៖ \((2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\) មាន ៥ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{5}{36}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់។ រកប្រូបាបដែលផលបូកស្មើនឹង ៩។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះឡុកឡាក់ ២ ផលបូកស្មើ ៩ ៖ \((3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\) មាន ៤ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)។
បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់។ រកប្រូបាបដែលផលបូកធំជាង ១០។
មើលដំណោះស្រាយ
បោះឡុកឡាក់ ២ ផលបូកធំជាង ១០ ៖ \((5,6), (6,5), (6,6)\) មាន ៣ ករណី នាំឱ្យ \(P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)។
ថង់មួយមានបាល់ក្រហម ៥, ស ៣, ខៀវ ២។ រកប្រូបាបចាប់បានបាល់ស។
មើលដំណោះស្រាយ
ថង់មានបាល់ក្រហម ៥, ស ៣, ខៀវ ២ (សរុប ១០) ៖ ប្រូបាបចាប់បានបាល់ស ៖ \(P = \frac{3}{10}\)។
ពីលំហាត់ ៣៧ រកប្រូបាបដែលចាប់មិនបានបាល់ក្រហម។
មើលដំណោះស្រាយ
ពីលំហាត់ ៣៧ ប្រូបាបមិនបានបាល់ក្រហម ៖ \(1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)។
ឆ្នោត ៥០០ សន្លឹក មានរង្វាន់ ១០ សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែលទិញមួយសន្លឹកត្រូវរង្វាន់។
មើលដំណោះស្រាយ
ឆ្នោត ៥០០ សន្លឹក មានរង្វាន់ធំ ១, រង្វាន់តូច ៩ ៖ ប្រូបាបត្រូវរង្វាន់ណាមួយ ៖ \(\frac{1 + 9}{500} = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02\) (\(2\%\))។
រកប្រូបាបដែលមនុស្សម្នាក់កើតចំខែកុម្ភៈក្នុងឆ្នាំធម្មតាមួយ។
មើលដំណោះស្រាយ
ឆ្នាំមួយមាន ៣៦៥ ថ្ងៃ ៖ ប្រូបាបដែលថ្ងៃកំណើតធ្លាក់ក្នុងខែកុម្ភៈ (២៨ ថ្ងៃ) គឺ \(\frac{28}{365}\)។
ជ្រើសរើសលេខពីរខ្ទង់ពី ១០ ដល់ ៩៩។ រកប្រូបាបបានលេខដែលខ្ទង់ទាំងពីរដូចគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
ចាប់លេខពីរខ្ទង់ពី ១០ ដល់ ៩៩ (សរុប ៩០ លេខ) ៖ លេខដែលខ្ទង់ទាំងពីរដូចគ្នា ៖ \(11, 22, \dots, 99\) មាន ៩ ចំនួន នាំឱ្យ \(P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\)។
គណនាចំនួនរបៀបស្លៀកពាក់បើមានអាវ ៤ និងខោ ៣។
មើលដំណោះស្រាយ
វិធានផលគុណ ៖ ស្លៀកពាក់អាវ ៤ និងខោ ៣ ៖ មាន \(4 \times 3 = 12\) របៀប។
បង្កើតលេខកូដសម្ងាត់ ៣ ខ្ទង់ពីលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\) ដោយមិនប្រើលេខផ្ទួនគ្នា។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្កើតលេខកូដសម្ងាត់ ៣ ខ្ទង់ពីលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\) មិនផ្ទួន ៖ \(5 \times 4 \times 3 = 60\) របៀប។
បោះកាក់ម្តង និងបោះឡុកឡាក់ម្តង។ រកប្រូបាបចេញមុខ H និងលេខ ៦។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រូបាបព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ ៖ បោះកាក់ម្តង និងបោះឡុកឡាក់ម្តង ៖ \(P(H \) និង \( 6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\)។
A បាញ់ត្រូវ \(0.8\) និង B បាញ់ត្រូវ \(0.7\) (ឯករាជ្យ)។ រកប្រូបាបដែលមានយ៉ាងហោចម្នាក់បាញ់ត្រូវ។
មើលដំណោះស្រាយ
បាញ់ស៊ីប ៖ កីឡាករ A បាញ់ត្រូវ \(0.8\), B បាញ់ត្រូវ \(0.7\) ៖ ប្រូបាបដែលយ៉ាងហោចមានម្នាក់បាញ់ត្រូវ ៖ \(1 - (0.2 \times 0.3) = 1 - 0.06 = 0.94\)។
ចាប់បាល់ពីរម្តងមួយៗដោយមិនដាក់ចូលវិញពីថង់មានក្រហម ៤ និងខៀវ ៦។ រកប្រូបាបបានក្រហមទាំងពីរ។
មើលដំណោះស្រាយ
ចាប់បាល់ពីរម្តងមួយៗដោយមិនដាក់ចូលវិញ ៖ បាល់ក្រហម ៤ និងខៀវ ៦ (សរុប ១០) ៖ \(P(\) ក្រហមទាំងពីរ \() = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}\)។
ពីលំហាត់ ៤៦ រកប្រូបាបបានក្រហមទាំងពីរប្រសិនបើចាប់ដោយដាក់ចូលវិញ។
មើលដំណោះស្រាយ
ពីលំហាត់ ៤៦ បើចាប់ដោយដាក់ចូលវិញ ៖ \(P(\) ក្រហមទាំងពីរ \() = \frac{4}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{4}{25}\)។
គណនាប្រូបាបធរណីមាត្រនៃចំណុចធ្លាក់ក្នុងរង្វង់កាំតូច \(\frac{R}{2}\) ធៀបនឹងរង្វង់ធំកាំ \(R\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រូបាបធរណីមាត្រ ៖ ចំណុចចៃដន្យក្នុងរង្វង់កាំ \(R\) ធ្លាក់ក្នុងរង្វង់រួមផ្ចិតកាំ \(\frac{R}{2}\) ៖ \(P = \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{1}{4}\)។
បង្ហាញវិសមភាព \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាពប្រូបាប ៖ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le P(A) + P(B)\) (ពិតជានិច្ច)។
ពន្យល់អំពីទ្រឹស្តីបទប្រូបាបសរុប \(\sum P(e_i) = 1\) លើគ្រប់លទ្ធផលបឋមនៃលំហសំណាក។
មើលដំណោះស្រាយ
ទ្រឹស្តីបទប្រូបាបសរុប ៖ ផលបូកប្រូបាបនៃគ្រប់លទ្ធផលបឋមក្នុងលំហសំណាក \(S\) គឺ \(\sum_{i} P(e_i) = 1\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៨ ប្រូបាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី