មេរៀនទី ៧ : មធ្យមស្ថិតិ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

ប្រវត្តិនៃរង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល និងស្ថិតិសង្គម

រង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល (Measures of Central Tendency) គឺជាតម្លៃតំណាងតែមួយគត់ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈរួមនៃទិន្នន័យមួយក្រុម ៖

លោក Adolphe Quetelet (១៧៩៦-១៨៧៤) ៖ តារាវិទូ និងគណិតវិទូជនជាតិបែលហ្ស៊ិក ត្រូវបានចាត់ទុកជាបិតានៃស្ថិតិសង្គមវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតគំនិត «មនុស្សមធ្យម» (l’homme moyen) ដោយប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធដើម្បីសិក្សាពីកម្ពស់ ទម្ងន់ និងឥរិយាបថរបស់មនុស្សក្នុងសង្គម។
លោក Sir Francis Galton (១៨២២-១៩១១) ៖ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិអង់គ្លេស បានសង្កត់ធ្ងន់លើសារៈសំខាន់នៃ «មេដ្យាន» (Median) ដោយបង្ហាញថាមេដ្យានមានភាពរឹងមាំ (Robust) មិនងាយរងឥទ្ធិពលពីតម្លៃខុសប្រក្រតីខ្លាំង (Outliers) ដូចមធ្យមនព្វន្ធឡើយ។
ពាក្យ «ម៉ូត» (Mode) ៖ ត្រូវបានណែនាំជាផ្លូវការដោយលោក Karl Pearson ក្នុងឆ្នាំ ១៨៩៥ ដែលមានប្រភពមកពីពាក្យបារាំង la mode មានន័យថា «ការពេញនិយមបំផុត»។

មធ្យមនព្វន្ធ (Arithmetic Mean)

មធ្យមនព្វន្ធ

ចំពោះទិន្នន័យទោល (Ungrouped data) ៖
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\]
ចំពោះទិន្នន័យប្រមូលផ្តុំជាប្រេកង់ (Discrete frequency table) ៖
\[\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k} = \frac{\sum xf}{N} \quad{} (N = \sum f)\]
ចំពោះទិន្នន័យប្រមូលផ្តុំជាថ្នាក់ (Grouped data) ៖
\[\bar{x} = \frac{m_1 f_1 + m_2 f_2 + \dots + m_k f_k}{N} = \frac{\sum mf}{N}\]
ដែល $m_i = \dfrac{a_i + b_i}{2}$ ជាផ្ចិតនៃថ្នាក់ទី $i$។

ឧទាហរណ៍

គណនាមធ្យមនៃពិន្ទុសិស្ស ៥ នាក់ ៖ $7, 8, 6, 9, 10$។

ដំណោះស្រាយ

\[\bar{x} = \frac{7 + 8 + 6 + 9 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8\]

ប្រតិបត្តិ

គណនាមធ្យមនៃទិន្នន័យក្នុងតារាងប្រេកង់ខាងក្រោម ៖

តម្លៃ ($x$)	$2$	$4$	$6$	$8$
ប្រេកង់ ($f$)	$3$	$5$	$7$	$5$

មេដ្យាន (Median)

មេដ្យាន

មេដ្យាន ($Me$) គឺជាតម្លៃទិន្នន័យដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលគេ បន្ទាប់ពីបានរៀបទិន្នន័យតាមលំដាប់ពីតូចទៅធំ (ឬពីធំទៅតូច) ៖

បើចំនួនទិន្នន័យ $n$ ជា ចំនួនសេស ៖ មេដ្យានជាតួទី $\dfrac{n + 1}{2}$។
បើចំនួនទិន្នន័យ $n$ ជា ចំនួនគូ ៖ មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួកណ្តាលទាំងពីរ (តួទី $\frac{n}{2}$ និង $\frac{n}{2} + 1$) ៖
\[Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}\]
ចំពោះទិន្នន័យជាប្រេកង់ ៖ មេដ្យានត្រូវនឹងតម្លៃដែលប្រេកង់កើន $f\nearrow \ge \dfrac{N}{2}$។

ឧទាហរណ៍

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

$3, 8, 2, 9, 5$
$12, 7, 15, 10, 6, 18$

ដំណោះស្រាយ

រៀបតាមលំដាប់ ៖ $2, 3, 5, 8, 9$ ($n = 5$ សេស) $\implies Me = 5$ (តួទី ៣)។
រៀបតាមលំដាប់ ៖ $6, 7, 10, 12, 15, 18$ ($n = 6$ គូ) $\implies Me = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$។

ប្រតិបត្តិ

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៖ $14, 25, 18, 30, 22, 19, 27, 35$។

ម៉ូត (Mode)

ម៉ូត

ម៉ូត ($Mo$) គឺជាតម្លៃទិន្នន័យដែលមានប្រេកង់ច្រើនជាងគេបំផុត (កើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេ) ៖

បើតម្លៃនីមួយៗកើតឡើងម្តងស្មើៗគ្នា នោះទិន្នន័យ គ្មានម៉ូត (No mode)។
បើមានតម្លៃពីរដែលមានប្រេកង់ខ្ពស់បំផុតស្មើគ្នា នោះទិន្នន័យមាន ម៉ូតពីរ (Bimodal)។
ចំពោះទិន្នន័យជាថ្នាក់ ថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេហៅថា ថ្នាក់ម៉ូត (Modal class)។

ឧទាហរណ៍

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យខាងក្រោម ៖

$2, 5, 3, 5, 7, 5, 8 \implies Mo = 5$ ($f = 3$)
$1, 3, 3, 4, 6, 6, 9 \implies Mo = 3$ និង $Mo = 6$ (ម៉ូតពីរ)
$4, 7, 10, 13 \implies$ គ្មានម៉ូត

ប្រតិបត្តិ

រកម៉ូតនៃពិន្ទុសិស្ស ៖ $8, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 10, 6, 8, 7$។

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

គេកត់ត្រាចំនួនភ្ញៀវចូលហាងកាត់សក់រៀងរាល់ថ្ងៃ ៖

ថ្ងៃ	ច័ន្ទ	អង្គារ	ពុធ	ព្រហស្បតិ៍	សុក្រ	សៅរ៍	អាទិត្យ
ចំនួនភ្ញៀវ	$18$	$12$	$30$	$26$	$38$	$45$	$48$

តើជាមធ្យមមានភ្ញៀវប៉ុន្មាននាក់ចូលកាត់សក់ក្នុងមួយថ្ងៃ?
តើភាគច្រើនភ្ញៀវចូលកាត់សក់នៅថ្ងៃណា?

មើលដំណោះស្រាយ

ក. មធ្យមនៃចំនួនភ្ញៀវចូលកាត់សក់ ៖ ផលបូកភ្ញៀវ ៖ $18 + 12 + 30 + 26 + 38 + 45 + 48 = 217$ នាក់។ ចំនួនថ្ងៃ ៖ $7$ ថ្ងៃ។ មធ្យម ៖ $\bar{x} = \frac{217}{7} = 31$ នាក់ក្នុងមួយថ្ងៃ។
ខ. ភាគច្រើនភ្ញៀវចូលកាត់សក់នៅថ្ងៃអាទិត្យ (Sun) ដែលមានចំនួនច្រើនជាងគេគឺ $48$ នាក់ (ម៉ូត)។

២លំហាត់ទី ២

គេស្រង់ចំនួនភ្ញៀវជិះរថយន្តឈ្នួលចំនួន ៣០ ថ្ងៃ ៖

$20 \quad{} 16 \quad{} 18 \quad{} 10 \quad{} 20 \quad{} 16 \quad{} 18 \quad{} 20 \quad{} 14 \quad{} 16 \quad{} 10 \quad{} 16 \quad{} 20 \quad{} 18 \quad{} 12$
$12 \quad{} 10 \quad{} 18 \quad{} 16 \quad{} 20 \quad{} 14 \quad{} 16 \quad{} 17 \quad{} 20 \quad{} 12 \quad{} 14 \quad{} 18 \quad{} 20 \quad{} 16 \quad{} 4$

ចូរសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់។
តើជាមធ្យមមានភ្ញៀវប៉ុន្មាននាក់ជិះរថយន្តក្នុងមួយថ្ងៃ?
រកមេដ្យាននៃចំនួនភ្ញៀវ។

មើលដំណោះស្រាយ

ក. សង់តារាងប្រេកង់នៃភ្ញៀវជិះរថយន្ត ($N = 30$) ៖

$4: f = 1$
$10: f = 3$
$12: f = 3$
$14: f = 3$
$16: f = 7$
$17: f = 1$
$18: f = 5$
$20: f = 7$

ខ. មធ្យមភ្ញៀវ ៖ $\sum xf = (4\times 1) + (10\times 3) + (12\times 3) + (14\times 3) + (16\times 7) + (17\times 1) + (18\times 5) + (20\times 7) = 4 + 30 + 36 + 42 + 112 + 17 + 90 + 140 = 471$។ $\bar{x} = \frac{471}{30} = 15.7$ នាក់ក្នុងមួយថ្ងៃ។
គ. មេដ្យាន ៖ $N = 30$ (គូ) ទីតាំងគឺតួទី $15$ និង $16$។ តារាងប្រេកង់កើនបង្ហាញថាតួទី ១៥ និង ១៦ សុទ្ធតែជា $16$ នាំឱ្យមេដ្យានគឺ $Me = 16$ នាក់។

៣លំហាត់ទី ៣

សុខបានប្រឡង ៩ មុខវិជ្ជាដោយទទួលបានពិន្ទុមធ្យម $78$។ ពិន្ទុ ៨ មុខដំបូងគឺ $90, 95, 75, 80, 85, 65, 70, 60$។ ចូរកំណត់ពិន្ទុនៃមុខវិជ្ជាទី ៩ ដែលភ្លេចនោះ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកពិន្ទុមុខវិជ្ជាដែលភ្លេច ($x$) ៖ សុខប្រឡង ៩ មុខ មានមធ្យម $78$ នាំឱ្យផលបូកពិន្ទុសរុបគឺ $9 \times 78 = 702$។ ផលបូក ៨ មុខវិជ្ជា ៖ $90 + 95 + 75 + 80 + 85 + 65 + 70 + 60 = 620$។ ពិន្ទុមុខវិជ្ជាដែលភ្លេចគឺ ៖ $x = 702 - 620 = 82$ ពិន្ទុ។

៤លំហាត់ទី ៤

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f$	$3$	$6$	$5$	$2$	$2$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត ៖ $N = 3 + 6 + 5 + 2 + 2 = 18$។

$\sum xf = (0\times 3) + (1\times 6) + (2\times 5) + (3\times 2) + (4\times 2) = 0 + 6 + 10 + 6 + 8 = 30$
មធ្យម ៖ $\bar{x} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \approx 1.67$
ម៉ូត ៖ $Mo = 1$ (ប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត $f = 6$)
មេដ្យាន ៖ តួទី $9$ និង $10$ ធ្លាក់លើតម្លៃ $x = 2$ នាំឱ្យ $Me = 2$

៥លំហាត់ទី ៥

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យពិន្ទុ ៖

ពិន្ទុ ($x$)	$5$	$6$	$7$	$8$
ចំនួនសិស្ស ($f$)	$4$	$8$	$5$	$3$

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖ ឧបមាទិន្នន័យពិន្ទុ ៖ $5, 6, 7, 8$ ប្រេកង់រៀងគ្នា $4, 8, 5, 3$ ($N = 20$)។

$\sum xf = (5\times 4) + (6\times 8) + (7\times 5) + (8\times 3) = 20 + 48 + 35 + 24 = 127$
$\bar{x} = \frac{127}{20} = 6.35$
$Mo = 6$ ($f = 8$)
$Me = 6$ (តួទី ១០ និង ១១ គឺ $6$)

៦លំហាត់ទី ៦

គណនាមធ្យមនៃទិន្នន័យ ៖ $8, 12, 15, 10, 5$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃទិន្នន័យទោល ៖ $8, 12, 15, 10, 5$ ៖ $\bar{x} = \frac{8 + 12 + 15 + 10 + 5}{5} = \frac{50}{5} = 10$។

៧លំហាត់ទី ៧

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៖ $8, 12, 15, 10, 5$។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននៃទិន្នន័យទោល ៖ រៀបតាមលំដាប់ ៖ $5, 8, 10, 12, 15$។ ចំនួនតួ $n = 5$ (សេស) នាំឱ្យមេដ្យានជាតួទី $\frac{5+1}{2} = 3$ គឺ $Me = 10$។

៨លំហាត់ទី ៨

រកមេដ្យាននៃទិន្នន័យចំនួនគូ ៖ $4, 7, 9, 12, 15, 18$។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននៃទិន្នន័យចំនួនគូ ៖ $4, 7, 9, 12, 15, 18$ (រៀបរួច) ៖ $n = 6$ នាំឱ្យ $Me = \frac{9 + 12}{2} = 10.5$។

៩លំហាត់ទី ៩

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖ $3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8$។

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖ $3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8$ ៖ តម្លៃ $6$ កើតឡើង ៣ ដងច្រើនជាងគេ នាំឱ្យ $Mo = 6$។

១០លំហាត់ទី ១០

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖ $2, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8$។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យម៉ូតពីរ ៖ $2, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8$ ៖ តម្លៃ $3$ និង $7$ កើតឡើង ៣ ដងដូចគ្នា នាំឱ្យទិន្នន័យមានម៉ូតពីរគឺ $Mo = 3$ និង $Mo = 7$។

១១លំហាត់ទី ១១

រកម៉ូតនៃទិន្នន័យ ៖ $10, 12, 14, 16, 18$។

មើលដំណោះស្រាយ

ទិន្នន័យគ្មានម៉ូត ៖ $10, 12, 14, 16, 18$ ៖ គ្រប់តម្លៃសុទ្ធតែកើតឡើងម្តងស្មើៗគ្នា ដូចនេះគ្មានម៉ូតទេ (No mode)។

១២លំហាត់ទី ១២

មធ្យមនៃ $6, 8, 12, x$ គឺ $9$។ រកតម្លៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ $x$ ពីមធ្យម ៖ មធ្យមនៃ $6, 8, 12, x$ គឺ $9$ ៖ $\frac{6 + 8 + 12 + x}{4} = 9 \implies 26 + x = 36 \implies x = 10$។

១៣លំហាត់ទី ១៣

មធ្យមនៃ $x, x+3, x+6, x+9$ គឺ $15$។ រកតម្លៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃ $x$ ពីមធ្យម ៖ មធ្យមនៃ $x, x+3, x+6, x+9$ គឺ $15$ ៖ $\frac{4x + 18}{4} = 15 \implies 4x + 18 = 60 \implies 4x = 42 \implies x = 10.5$។

១៤លំហាត់ទី ១៤

គណនាមធ្យមតាមតារាងប្រេកង់ ៖ $x = 10 (f=2), x = 20 (f=5), x = 30 (f=3)$។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យមតាមតារាងប្រេកង់ ៖

$x$	$10$	$20$	$30$
$f$	$2$	$5$	$3$

$\sum xf = 20 + 100 + 90 = 210$, $N = 10$ នាំឱ្យ $\bar{x} = \frac{210}{10} = 21$។

១៥លំហាត់ទី ១៥

ពីទិន្នន័យលំហាត់ ១៤ រកមេដ្យាន។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមេដ្យានតាមតារាងប្រេកង់ខាងលើ ៖ $N = 10$ នាំឱ្យតួទី $5$ និង $6$ ធ្លាក់ក្នុងតម្លៃ $x = 20$ (ព្រោះ $f\nearrow_2 = 7$) នាំឱ្យ $Me = 20$។

១៦លំហាត់ទី ១៦

ពីទិន្នន័យលំហាត់ ១៤ រកម៉ូត។

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ូតតាមតារាងប្រេកង់ ៖ $Mo = 20$ ព្រោះមានប្រេកង់ធំជាងគេគឺ $f = 5$។

១៧លំហាត់ទី ១៧

គណនាមធ្យមនៃទិន្នន័យជាថ្នាក់ ៖ $[0, 10)$ មាន $f=4$; $[10, 20)$ មាន $f=6$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃទិន្នន័យជាថ្នាក់ ៖

$[0, 10)$ ៖ $m_1 = 5, f_1 = 4 \implies m_1 f_1 = 20$
$[10, 20)$ ៖ $m_2 = 15, f_2 = 6 \implies m_2 f_2 = 90$

$\bar{x} = \frac{20 + 90}{10} = 11$។

១៨លំហាត់ទី ១៨

ពីទិន្នន័យលំហាត់ ១៧ កំណត់ថ្នាក់ម៉ូត និងថ្នាក់មេដ្យាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ថ្នាក់ម៉ូត និងថ្នាក់មេដ្យាន ៖ ពីទិន្នន័យខាងលើ ថ្នាក់ $[10, 20)$ មានប្រេកង់ធំជាងគេ ($f=6$) ដូចនេះថ្នាក់ម៉ូតគឺ $[10, 20)$។ $N/2 = 5$ ធ្លាក់ក្នុងថ្នាក់ $[10, 20)$ ដូចនេះថ្នាក់មេដ្យានគឺ $[10, 20)$។

១៩លំហាត់ទី ១៩

គណនាមធ្យមនៃ ៣ ថ្នាក់ ៖ $[10, 20), [20, 30), [30, 40)$ មានប្រេកង់ $3, 4, 3$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃ ៣ ថ្នាក់ ៖ ថ្នាក់ $[10, 20), [20, 30), [30, 40)$ មានផ្ចិត $15, 25, 35$ និងប្រេកង់ $3, 4, 3$ ($N=10$) ៖ $\sum mf = 45 + 100 + 105 = 250 \implies \bar{x} = 25$។

២០លំហាត់ទី ២០

បើទិន្នន័យនីមួយៗបូកនឹង $5$ ពន្យល់ពីការប្រែប្រួលនៃមធ្យមថ្មី។

មើលដំណោះស្រាយ

ឥទ្ធិពលនៃការបូកចំនួនថេរ ៖ បើទិន្នន័យនីមួយៗបូកនឹង $5$ នោះមធ្យមថ្មីគឺ $\bar{x}_{\text{ថ្មី}} = \bar{x}_{\text{ចាស់}} + 5 = 25 + 5 = 30$។

២១លំហាត់ទី ២១

បើទិន្នន័យនីមួយៗគុណនឹង $2$ ពន្យល់ពីការប្រែប្រួលនៃមធ្យមថ្មី។

មើលដំណោះស្រាយ

ឥទ្ធិពលនៃការគុណចំនួនថេរ ៖ បើទិន្នន័យនីមួយៗគុណនឹង $2$ នោះមធ្យមថ្មីគឺ $\bar{x}_{\text{ថ្មី}} = 2 \times \bar{x}_{\text{ចាស់}} = 2 \times 25 = 50$។

២២លំហាត់ទី ២២

ក្រុម A មាន ២០ នាក់ មធ្យម $75$។ ក្រុម B មាន ៣០ នាក់ មធ្យម $85$។ រកមធ្យមរួម។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមរួមនៃពីរក្រុម ៖ ក្រុម A ($n_1 = 20, \bar{x}_1 = 75$) និងក្រុម B ($n_2 = 30, \bar{x}_2 = 85$) ៖ $\bar{x} = \frac{20(75) + 30(85)}{20 + 30} = \frac{1500 + 2550}{50} = \frac{4050}{50} = 81$។

២៣លំហាត់ទី ២៣

បង្ហាញថាផលបូកគម្លាតនៃទិន្នន័យធៀបនឹងមធ្យម $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ លើទិន្នន័យ $2, 4, 6, 8, 10$។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកគម្លាតធៀបនឹងមធ្យម ៖ ចំពោះ $2, 4, 6, 8, 10$ មាន $\bar{x} = 6$ ៖ $\sum (x_i - 6) = (2-6) + (4-6) + (6-6) + (8-6) + (10-6) = -4 - 2 + 0 + 2 + 4 = 0$ (ពិត)។

២៤លំហាត់ទី ២៤

មធ្យមនៃមនុស្ស ១០ នាក់គឺ $60$។ ក្រោយមកពិនិត្យឃើញកត់ច្រឡំពី $50$ ទៅ $70$។ រកមធ្យមពិត។

មើលដំណោះស្រាយ

កែតម្រូវតម្លៃមធ្យម ៖ មធ្យមនៃមនុស្ស ១០ នាក់គឺ $60$ (ផលបូក $600$)។ ក្រោយមកពិនិត្យឃើញកត់ច្រឡំពី $50$ ទៅ $70$ (លើស $20$) ៖ ផលបូកពិតគឺ $600 - 20 = 580$ នាំឱ្យមធ្យមពិតគឺ $\bar{x} = \frac{580}{10} = 58$។

២៥លំហាត់ទី ២៥

សិស្សប្រឡងគណិត $90$ (មេគុណ ៣), រូបវិទ្យា $80$ (មេគុណ ២), ខ្មែរ $70$ (មេគុណ ២)។ គណនាមធ្យមភាគ។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមភាគពិន្ទុប្រឡង ៖ សិស្សបានពិន្ទុ គណិត $90$ (មេគុណ ៣), រូបវិទ្យា $80$ (មេគុណ ២), ភាសាខ្មែរ $70$ (មេគុណ ២) ៖ $\bar{x} = \frac{90(3) + 80(2) + 70(2)}{3 + 2 + 2} = \frac{270 + 160 + 140}{7} = \frac{570}{7} \approx 81.43$។

២៦លំហាត់ទី ២៦

ទិន្នន័យ $2, 5, x, 11, 14$ រៀបតាមលំដាប់កើន។ បើមេដ្យានគឺ $8$ រក $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននៃអថេរ $x$ ៖ ទិន្នន័យ $2, 5, x, 11, 14$ រៀបតាមលំដាប់កើន។ បើមេដ្យានគឺ $8$ នោះ $x = 8$។

២៧លំហាត់ទី ២៧

ទិន្នន័យ $3, 6, x, x+2, 15, 18$ មានមេដ្យាន $10$។ រកតម្លៃ $x$។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននៃទិន្នន័យ ៦ តួ ៖ $3, 6, x, x+2, 15, 18$ មានមេដ្យាន $10$ ៖ $\frac{x + (x+2)}{2} = 10 \implies 2x + 2 = 20 \implies x = 9$។

២៨លំហាត់ទី ២៨

ប្រាក់ខែបុគ្គលិក ៖ $200, 220, 210, 250, 5000\$$។ តើរវាងមធ្យម និងមេដ្យាន មួយណាសមស្របជាង? ព្រោះអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ការជ្រើសរើសរង្វាស់សមស្រប ៖ ប្រាក់ខែបុគ្គលិក ៖ $200, 220, 210, 250, 5000$ (នាយក) ៖ មធ្យមគឺ $1176\$$ (ខ្ពស់ខុសធម្មតាដោយសារតម្លៃ $5000\$$)។ មេដ្យានគឺ $220\$$ ដែលតំណាងឱ្យបុគ្គលិកភាគច្រើនបានល្អជាង។

២៩លំហាត់ទី ២៩

ពន្យល់ពីវិធីគណនាមធ្យមតាមការប្តូរអថេរ (Coding method)។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យមនៃទិន្នន័យធំ ៖ ប្រើវិធីប្តូរអថេរ $u_i = x_i - 100$ ៖ ងាយស្រួលគណនាដោយមិនបាច់គុណលេខធំ។

៣០លំហាត់ទី ៣០

បង្ហាញថាមធ្យមនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដំបូងគឺ $\dfrac{n+1}{2}$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដំបូង ៖ $\bar{x} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$។

៣១លំហាត់ទី ៣១

បង្ហាញថាមធ្យមនៃចំនួនគត់គូ $n$ ដំបូងគឺ $n + 1$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃចំនួនគត់គូ $n$ ដំបូង ៖ $2, 4, 6, \dots, 2n$ ៖ $\bar{x} = \frac{2(1 + 2 + \dots + n)}{n} = n + 1$។

៣២លំហាត់ទី ៣២

បង្ហាញថាមធ្យមនៃចំនួនគត់សេស $n$ ដំបូងគឺ $n$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃចំនួនគត់សេស $n$ ដំបូង ៖ $1, 3, 5, \dots, 2n-1$ ៖ ផលបូកស្មើនឹង $n^2$ នាំឱ្យមធ្យមគឺ $\bar{x} = \frac{n^2}{n} = n$។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

រកប្រេកង់ដែលបាត់ក្នុងតារាងបំណែងចែកមួយ។

មើលដំណោះស្រាយ

រកតម្លៃប្រេកង់ដែលបាត់ $f_1, f_2$ ៖ តារាងមាន $x = 1, 2, 3$ មានប្រេកង់ $f_1, 4, f_2$ ដោយ $N = 10$ និង $\bar{x} = 2.1$ ៖ $f_1 + f_2 = 6$ និង $f_1 + 8 + 3f_2 = 21 \implies f_1 + 3f_2 = 13$។ ដកសមីការ ៖ $2f_2 = 7 \implies$ (កែសម្រួលទិន្នន័យឱ្យចេញចំនួនគត់ ៖ $f_1 = 3, f_2 = 3$ ពេល $\bar{x} = 2.0$)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គ្រួសារមួយមានកូន ៣ នាក់ ($6, 8, 10$ ឆ្នាំ) និងឪពុកម្តាយ ($36, 40$ ឆ្នាំ)។ រកមធ្យមអាយុគ្រួសារនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យមអាយុ ៖ ទិន្នន័យអាយុគ្រួសារ ៖ កូន ៣ នាក់ ($6, 8, 10$) និងឪពុកម្តាយ ($36, 40$) ៖ $\bar{x} = \frac{6 + 8 + 10 + 36 + 40}{5} = \frac{100}{5} = 20$ ឆ្នាំ។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

រថយន្តរត់បាន $120\,\text{km}$ ក្នុងល្បឿន $60\,\text{km/h}$ និង $120\,\text{km}$ ក្នុងល្បឿន $40\,\text{km/h}$។ រកល្បឿនមធ្យម។

មើលដំណោះស្រាយ

គណនាមធ្យមល្បឿន ៖ រថយន្តរត់បាន $120\,\text{km}$ ក្នុងល្បឿន $60\,\text{km/h}$ ($t_1 = 2\,\text{h}$) និង $120\,\text{km}$ ក្នុងល្បឿន $40\,\text{km/h}$ ($t_2 = 3\,\text{h}$) ៖ ល្បឿនមធ្យមគឺ $v_{\text{មធ្យម}} = \frac{240}{2+3} = 48\,\text{km/h}$ (មធ្យមអាម៉ូនិច មិនមែន $\frac{60+40}{2} = 50$ ទេ)។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

សិស្ស ១៥ នាក់មានមេដ្យាន $7.5$។ បើសិស្ស ៣ នាក់ពិន្ទុទាបបំផុតត្រូវដកចេញ តើមេដ្យានប្រែប្រួលយ៉ាងណា?

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យាននៃពិន្ទុ ៖ ពិន្ទុសិស្ស ១៥ នាក់មានមេដ្យាន $7.5$។ បើសិស្ស ៣ នាក់ដែលបានពិន្ទុទាបជាងគេត្រូវដកចេញ នោះមេដ្យាននៃ ១២ នាក់ដែលនៅសល់នឹងកើនឡើង ឬនៅដដែល។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ការស្ទង់ពណ៌ចូលចិត្ត ៖ ក្រហម ២៥, ខៀវ ៤០, បៃតង ១៥។ រកម៉ូតនៃទិន្នន័យនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ូតនៃទិន្នន័យគុណភាព ៖ ការស្ទង់មតិពណ៌ដែលចូលចិត្ត ៖ ក្រហម ២៥, ខៀវ ៤០, បៃតង ១៥ ៖ ម៉ូតគឺ «ពណ៌ខៀវ» (ប្រេកង់ខ្ពស់បំផុត)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គណនាមធ្យមនៃ ៤ ថ្នាក់ ៖ $[20, 30): f=2$; $[30, 40): f=5$; $[40, 50): f=8$; $[50, 60): f=5$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃទិន្នន័យ ៤ ថ្នាក់ ៖ $[20, 30): m=25, f=2$; $[30, 40): m=35, f=5$; $[40, 50): m=45, f=8$; $[50, 60): m=55, f=5$ ($N = 20$) ៖ $\sum mf = 50 + 175 + 360 + 275 = 860 \implies \bar{x} = \frac{860}{20} = 43$។

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

ពីលំហាត់ ៣៨ កំណត់ថ្នាក់ម៉ូត និងថ្នាក់មេដ្យាន។

មើលដំណោះស្រាយ

ថ្នាក់មេដ្យាន និងថ្នាក់ម៉ូត ៖ ពីលំហាត់ ៣៨ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ $[40, 50)$ ($f = 8$)។ $N/2 = 10$ ធ្លាក់ក្នុងថ្នាក់ $[40, 50)$ ($f\nearrow = 15$) ដូចនេះថ្នាក់មេដ្យានគឺ $[40, 50)$។

៤០លំហាត់ទី ៤០

ពន្យល់ពីទំនាក់ទំនងរវាងមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតក្នុងរបាយស៊ីមេទ្រី។

មើលដំណោះស្រាយ

លក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ៖ ពីលំហាត់ ៣៨ ទិន្នន័យមានប្រេកង់ស៊ីមេទ្រី ($2, 5, 8, 5$) នាំឱ្យមធ្យមស្មើនឹងផ្ចិតកណ្តាល $\bar{x} = 43$ (ខិតជិត $45$)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

រកចំនួនទិន្នន័យ $n$ និងមធ្យមបើ $\sum (x_i - 5) = 20$ និង $\sum (x_i - 8) = -10$។

មើលដំណោះស្រាយ

រកចំនួនទិន្នន័យ $n$ ៖ $\sum (x_i - 5) = 20$ និង $\sum (x_i - 8) = -10$ ៖ ដកសមីការ ៖ $3n = 30 \implies n = 10$។ នាំឱ្យ $\bar{x} = 5 + \frac{20}{10} = 7$។

៤២លំហាត់ទី ៤២

ពន្យល់ពីវិសមភាពរវាងមធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមអាម៉ូនិចតាម Cauchy-Schwarz។

មើលដំណោះស្រាយ

វិសមភាព Cauchy-Schwarz លើមធ្យម ៖ ចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន $x_1, \dots, x_n$ ៖ $(\sum x_i)(\sum \frac{1}{x_i}) \ge n^2 \implies \bar{x}_{\text{arit}} \ge \bar{x}_{\text{harm}}$។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ប្រៀបធៀបមធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រនៃ $2$ និង $8$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមធរណីមាត្រធៀបនឹងមធ្យមនព្វន្ធ ៖ ចំពោះ $2$ និង $8$ ៖ $\bar{x}_{\text{arith}} = \frac{2+8}{2} = 5$ និង $\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt{2 \times 8} = 4$។ គេបាន $\bar{x}_{\text{arith}} \ge \bar{x}_{\text{geom}}$។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

គណនាគម្លាតដាច់ខាតមធ្យម (MAD) នៃ $2, 4, 6, 8, 10$។

មើលដំណោះស្រាយ

គម្លាតដាច់ខាតមធ្យម (Mean Absolute Deviation) ៖ ចំពោះ $2, 4, 6, 8, 10$ ($\bar{x} = 6$) ៖ $\text{MAD} = \frac{|2-6| + |4-6| + |6-6| + |8-6| + |10-6|}{5} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = 2.4$។

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

មធ្យមនៃ ៥ តួគឺ $12$។ បើតួមួយមានតម្លៃ $12$ ត្រូវលុបចោល រកមធ្យមនៃ ៤ តួដែលនៅសល់។

មើលដំណោះស្រាយ

ការបាត់បង់ទិន្នន័យ ៖ មធ្យមនៃទិន្នន័យ ៥ តួគឺ $12$។ បើតួមួយមានតម្លៃ $12$ ត្រូវលុបចោល នោះមធ្យមនៃ ៤ តួដែលនៅសល់នៅតែស្មើ $12$ ដដែល។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

បង្ហាញថាមធ្យមនៃ $y_i = ax_i + b$ គឺ $\bar{y} = a\bar{x} + b$។

មើលដំណោះស្រាយ

មធ្យមនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ៖ បើ $y_i = ax_i + b$ នោះ $\bar{y} = a\bar{x} + b$។ ឧទាហរណ៍ ៖ $y = 3x - 5$ បើ $\bar{x} = 10$ នោះ $\bar{y} = 3(10) - 5 = 25$។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

បង្ហាញរូបមន្តគណនាមេដ្យានសម្រាប់ទិន្នន័យជាថ្នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

មេដ្យានបង្រួមសម្រាប់ទិន្នន័យជាថ្នាក់ ៖ រូបមន្តប៉ាន់ស្មានមេដ្យាន ៖ $Me = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F}{f_m}\right) \times h$ ដែល $L$ ជាចុងក្រោមថ្នាក់មេដ្យាន, $F$ ជាប្រេកង់កើនមុនថ្នាក់មេដ្យាន, $f_m$ ជាប្រេកង់ថ្នាក់មេដ្យាន, $h$ ជាប្រវែងថ្នាក់។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

បង្ហាញរូបមន្តគណនាម៉ូតសម្រាប់ទិន្នន័យជាថ្នាក់។

មើលដំណោះស្រាយ

ម៉ូតបង្រួមសម្រាប់ទិន្នន័យជាថ្នាក់ ៖ រូបមន្តប៉ាន់ស្មានម៉ូត ៖ $Mo = L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times h$ ដែល $\Delta_1 = f_m - f_{m-1}$ និង $\Delta_2 = f_m - f_{m+1}$។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

ពន្យល់ពីទំនាក់ទំនងពិសោធន៍របស់ Pearson ៖ $\text{Mean} - \text{Mode} \approx 3(\text{Mean} - \text{Median})$។

មើលដំណោះស្រាយ

ទំនាក់ទំនងពិសោធន៍របស់ Pearson ៖ ចំពោះរបាយលម្អៀងកម្រិតមធ្យម ៖ $\text{Mean} - \text{Mode} \approx 3(\text{Mean} - \text{Median})$ ឬ $\text{Mode} \approx 3\text{Median} - 2\text{Mean}$។

៥០លំហាត់ទី ៥០

ក្នុងអាជីវកម្មលក់ស្បែកជើង តើម្ចាស់ហាងគួរផ្អែកលើមធ្យម មេដ្យាន ឬម៉ូត ដើម្បីបញ្ជាទិញទំនិញ? ព្រោះអ្វី?

មើលដំណោះស្រាយ

ការអនុវត្តជាក់ស្តែង ៖ ក្នុងការកំណត់ទំហំស្បែកជើងផលិតលក់ ក្រុមហ៊ុនត្រូវជ្រើសរើស «ម៉ូត» ព្រោះជាទំហំដែលមនុស្សពាក់ច្រើនជាងគេបំផុត (លក់ដាច់បំផុត)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៧ មធ្យមស្ថិតិ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត