វិសមភាព (Inequality) គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏សំខាន់ក្នុងការប៉ាន់ស្មាន ព្រំដែនកំហុស និងការដោះស្រាយបញ្ហាអតិបរមា/អប្បបរមា ៖
លោក Thomas Harriot (១៥៦០-១៦២១) ៖ គណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Thomas Harriot គឺជាអ្នកបង្កើតនិមិត្តសញ្ញា «ធំជាង» (\(>\)) និង «តូចជាង» (\(<\)) ក្នុងសៀវភៅ Artis Analyticae Praxis ដែលបោះពុម្ពក្នុងឆ្នាំ ១៦៣១។ និមិត្តសញ្ញានេះផ្អែកលើគំនិតដែលថា ចុងស្រួចចង្អុលទៅរកចំនួនតូចជាង ហើយផ្នែកបើកធំចង្អុលទៅរកចំនួនធំជាង។
លោក Pierre Bouguer (១៦៩៨-១៧៥៨) ៖ គណិតវិទូ និងតារាវិទូជនជាតិបារាំង Pierre Bouguer បានបង្កើតនិមិត្តសញ្ញា «ធំជាង ឬស្មើ» (\(\ge\)) និង «តូចជាង ឬស្មើ» (\(\le\)) ក្នុងឆ្នាំ ១៧៣៤ ដោយដាក់របារផ្ដេកពីក្រោមក្បាលសញ្ញា។
វិសមភាពក្នុងវិស្វកម្មសំណង់ខ្មែរ ៖ ក្នុងការសាងសង់ប្រាសាទថ្មបុរាណ វិស្វករខ្មែរបានគិតគូរយ៉ាងល្អិតល្អន់ពី «បន្ទុកសុវត្ថិភាព» (Safety Load) នៃធ្នឹម និងសសរថ្មភក់ ៖ បន្ទុកសរុបត្រូវតែតូចជាង ឬស្មើនឹងកម្លាំងទ្រទ្រង់អតិបរមានៃថ្ម (\(P_{\text{load}} \le P_{\text{capacity}}\))។ គោលការណ៍វិសមភាពនេះហើយដែលធ្វើឱ្យប្រាសាទខ្មែរឈររឹងមាំរាប់ពាន់ឆ្នាំ។
លក្ខណៈគ្រឹះនៃវិសមភាព
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a, b, c\) ៖
វិធីបូក ឬដកចំនួនដូចគ្នា ៖
\[a > b \iff a + c > b + c \quad{} ; \quad{} a > b \iff a - c > b - c\]វិធីគុណ ឬចែកនឹងចំនួនវិជ្ជមាន (\(c > 0\)) ៖ រក្សាទិសដៅវិសមភាពដដែល ៖
\[a > b \iff ac > bc \quad{} ; \quad{} a > b \iff \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\]វិធីគុណ ឬចែកនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន (\(c < 0\)) ៖ ត្រូវត្រឡប់ទិសដៅវិសមភាព ៖
\[a > b \iff ac < bc \quad{} ; \quad{} a > b \iff \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\]
នៅពេលគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹង ចំនួនអវិជ្ជមាន អ្នកត្រូវតែ ប្តូរទិសដៅវិសមភាព ជានិច្ច ៖
គេឱ្យ \(a < b\)។ ចូរប្រៀបធៀបកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(a + 5\) និង \(b + 5\)
\(-3a\) និង \(-3b\)
តាមលក្ខណៈបូកចំនួនដូចគ្នា \(5\) ទៅអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព \(a < b\) គេបាន ៖
\[a + 5 < b + 5\]គុណអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព \(a < b\) នឹងចំនួនអវិជ្ជមាន \(-3\) (ត្រូវប្តូរទិសដៅវិសមភាព) ៖
\[-3a > -3b\]
គេឱ្យ \(x \ge y\)។ ចូរប្រៀបធៀបកន្សោមខាងក្រោម ៖
\(x - 7\) និង \(y - 7\)
\(-5x\) និង \(-5y\)
វិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត និងការតាងចម្លើយ
វិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត គឺជាវិសមីការដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ ៖
\(x > a\) ៖ ចន្លោះ \((a, +\infty)\) (មិនរាប់បញ្ចូល \(a\) គូសរង្វង់ប្រហោង \(\circ\))
\(x \ge a\) ៖ ចន្លោះ \([a, +\infty)\) (រាប់បញ្ចូល \(a\) គូសរង្វង់ខ្មៅជិត \(\bullet\))
\(x < a\) ៖ ចន្លោះ \((-\infty, a)\)
\(x \le a\) ៖ ចន្លោះ \((-\infty, a]\)
ដោះស្រាយវិសមីការ \(3(x - 2) \le 5x + 4\) និងតាងចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន។
ពន្លាត ៖ \(3x - 6 \le 5x + 4 \implies 3x - 5x \le 4 + 6 \implies -2x \le 10\)
ចែកនឹង \(-2\) (ប្តូរទិសដៅវិសមភាព) ៖
\[x \ge \frac{10}{-2} \implies x \ge -5\]សំណុំចម្លើយគឺ \(S = [-5, +\infty)\)។
ដោះស្រាយវិសមីការ \(2(2x - 3) > 5x - 8\) និងតាងចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន។
ចំណោទវិសមីការ
ដើម្បីដោះស្រាយចំណោទដោយប្រើវិសមីការ គេត្រូវអនុវត្តតាមជំហាន ៖ ជ្រើសរើសអញ្ញាត បកប្រែប្រធានជាវិសមភាព បង្កើតវិសមីការ ដោះស្រាយ និងឆ្លើយ។
សិស្សម្នាក់ទទួលបានពិន្ទុតេស្តគណិតវិទ្យាពីរលើកដំបូងគឺ \(75\) និង \(82\)។ ដើម្បីទទួលបាននិទ្ទេសល្អ សិស្សនោះត្រូវមានពិន្ទុមធ្យមភាគយ៉ាងហោចណាស់ \(80\) ក្នុងតេស្តទាំងបីលើក។ តើតេស្តលើកទីបីគាត់ត្រូវទទួលបានពិន្ទុយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន?
តាង \(x\) ជាពិន្ទុតេស្តលើកទីបី (\(0 \le x \le 100\))។
មធ្យមភាគនៃតេស្តទាំងបីគឺ ៖ \(\dfrac{75 + 82 + x}{3}\)
តាមប្រាប់ ៖
\[\frac{75 + 82 + x}{3} \ge 80 \iff 157 + x \ge 240 \iff x \ge 240 - 157 \iff x \ge 83\]ដូចនេះ តេស្តលើកទីបីគាត់ត្រូវទទួលបានពិន្ទុយ៉ាងតិច \(83\) ពិន្ទុ។
អ្នកបើកបរតាក់ស៊ីម្នាក់គិតថ្លៃសេវាដើម \(1.50\,\$\) និងបន្ថែម \(0.80\,\$\) ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ។ បើអ្នកដំណើរម្នាក់មានប្រាក់តែ \(15\,\$\) តើគាត់អាចធ្វើដំណើរបានចម្ងាយច្រើនបំផុតប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ?
លំហាត់អនុវត្តន៍
ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាតខាងក្រោម ៖
\(x + 7 > 12\)
\(x - 5 \le 8\)
\(3x \ge 15\)
\(4x < -20\)
\(-2x > 10\)
\(-5x \le -35\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
a. \(x > 12 - 7 \implies x > 5\)
b. \(x \le 8 + 5 \implies x \le 13\)
c. \(x \ge 15/3 \implies x \ge 5\)
d. \(x < -20/4 \implies x < -5\)
e. \(x < 10/(-2) \implies x < -5\)
f. \(x \ge -35/(-5) \implies x \ge 7\)
ដោះស្រាយវិសមីការ និងគូសតាងចម្លើយលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
\(2x - 3 > 7\)
\(3x + 4 \le 19\)
\(5x - 8 \ge 2x + 7\)
\(7x + 2 < 4x - 10\)
\(-3x + 5 \le x - 7\)
\(4 - 2x > 16 - 6x\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
a. \(2x > 10 \implies x > 5\)
b. \(3x \le 15 \implies x \le 5\)
c. \(3x \ge 15 \implies x \ge 5\)
d. \(3x < -12 \implies x < -4\)
e. \(-4x \le -12 \implies x \ge 3\)
f. \(4x > 12 \implies x > 3\)
ដោះស្រាយវិសមីការដែលមានវង់ក្រចក ៖
\(2(x - 3) < 3(x + 1)\)
\(4(2x - 1) \ge 3(2x + 4)\)
\(3(x + 2) - 2(2x - 1) \le 5\)
\(5(1 - x) + 3(2x - 1) > 2(x + 4)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
a. \(2x - 6 < 3x + 3 \implies -x < 9 \implies x > -9\)
b. \(8x - 4 \ge 6x + 12 \implies 2x \ge 16 \implies x \ge 8\)
c. \(3x + 6 - 4x + 2 \le 5 \implies -x + 8 \le 5 \implies x \ge 3\)
d. \(5 - 5x + 6x - 3 > 2x + 8 \implies x + 2 > 2x + 8 \implies x < -6\)
ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖
\(3(2x - 5) - 2(3x + 1) < 0\)
\(4(x - 1) - 2(2x + 3) \ge -10\)
\(2[x - 3(x - 1)] > 4 - 3x\)
\(5 - [2x - (3x + 1)] \le 3(x - 2)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
a. \(6x - 15 - 6x - 2 < 0 \implies -17 < 0\) (ពិតជានិច្ច គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\))
b. \(4x - 4 - 4x - 6 \ge -10 \implies -10 \ge -10\) (ពិតជានិច្ច គ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\))
c. \(2(3 - x) > 4 - 3x \implies 6 - 2x > 4 - 3x \implies x > -2\)
d. \(5 - (-x - 1) \le 3x - 6 \implies x + 6 \le 3x - 6 \implies 2x \ge 12 \implies x \ge 6\)
ដោះស្រាយវិសមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ ៖
\(\dfrac{x}{3} - 2 > 1\)
\(\dfrac{2x}{5} + 3 \le 7\)
\(\dfrac{x+1}{4} < \dfrac{x-1}{3}\)
\(\dfrac{2x-3}{2} \ge \dfrac{3x+1}{4}\)
\(\dfrac{3x-1}{5} > \dfrac{2x+3}{3}\)
\(\dfrac{4x+1}{6} \le \dfrac{2x-1}{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការមានភាគបែង ៖
a. \(x/3 > 3 \implies x > 9\)
b. \(2x/5 \le 4 \implies 2x \le 20 \implies x \le 10\)
c. \(3(x+1) < 4(x-1) \implies 3x + 3 < 4x - 4 \implies x > 7\)
d. \(2(2x-3) \ge 3x + 1 \implies 4x - 6 \ge 3x + 1 \implies x \ge 7\)
e. \(3(3x-1) > 5(2x+3) \implies 9x - 3 > 10x + 15 \implies x < -18\)
f. \(4x + 1 \le 3(2x-1) \implies 4x + 1 \le 6x - 3 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2\)
ដោះស្រាយវិសមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ ៖
\(\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{x+2}{3} > 2\)
\(\dfrac{2x+1}{4} - \dfrac{x-3}{6} \le 1\)
\(\dfrac{3x-2}{5} - \dfrac{2x+1}{3} < \dfrac{x-4}{15}\)
\(\dfrac{x+3}{2} - \dfrac{x-1}{4} \ge 2 + \dfrac{x}{3}\)
មើលដំណោះស្រាយ
តម្រូវភាគបែង ៖
a. \(3(x-1) + 2(x+2) > 12 \implies 5x + 1 > 12 \implies x > 2.2\)
b. \(3(2x+1) - 2(x-3) \le 12 \implies 4x + 9 \le 12 \implies x \le 0.75\)
c. \(3(3x-2) - 5(2x+1) < x - 4 \implies -x - 11 < x - 4 \implies 2x > -7 \implies x > -3.5\)
d. ភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(6(x+3) - 3(x-1) \ge 24 + 4x \implies 3x + 21 \ge 24 + 4x \implies x \le -3\)
ដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{3(x+1)}{4} \ge \dfrac{x-5}{6}\)
\(x - \dfrac{3x-1}{4} < 2 - \dfrac{x+2}{3}\)
\(\dfrac{2x-1}{2} - \dfrac{3x+2}{5} \le 1 - \dfrac{x-2}{10}\)
\(\dfrac{4(x-2)}{3} + \dfrac{2(x+1)}{5} > \dfrac{3x-1}{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
a. \(8(x-1) - 9(x+1) \ge 2(x-5) \implies -x - 17 \ge 2x - 10 \implies 3x \le -7 \implies x \le -7/3\)
b. ភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(12x - 3(3x-1) < 24 - 4(x+2) \implies 3x + 3 < 16 - 4x \implies 7x < 13 \implies x < 13/7\)
c. ភាគបែងរួម \(10\) ៖ \(5(2x-1) - 2(3x+2) \le 10 - (x-2) \implies 4x - 9 \le 12 - x \implies 5x \le 21 \implies x \le 4.2\)
d. ភាគបែងរួម \(30\) ៖ \(40(x-2) + 12(x+1) > 15(3x-1) \implies 52x - 68 > 45x - 15 \implies 7x > 53 \implies x > 53/7\)
ដោះស្រាយវិសមីការឌុប (Double Inequalities) ៖
\(-3 < 2x - 1 \le 5\)
\(1 \le 3x + 4 < 16\)
\(-5 \le 4 - 3x < 7\)
\(2 < \dfrac{2x+1}{3} \le 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការឌុប ៖
a. \(-2 < 2x \le 6 \implies -1 < x \le 3\)
b. \(-3 \le 3x < 12 \implies -1 \le x < 4\)
c. \(-9 \le -3x < 3 \implies -1 < x \le 3\)
d. \(6 < 2x + 1 \le 15 \implies 5 < 2x \le 14 \implies 2.5 < x \le 7\)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត ៖
\(\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ 3x + 1 \le 16 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4x + 1 \ge 9 \\ 2x - 5 < 7 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3x - 2 < x + 4 \\ 2x + 5 \ge 4x - 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 > 3 \\ 2x - 1 \le 11 \end{cases}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
a. \(x > 2\) និង \(x \le 5 \implies 2 < x \le 5\) (ចន្លោះ \((2, 5]\))
b. \(x \ge 2\) និង \(x < 6 \implies 2 \le x < 6\) (ចន្លោះ \([2, 6)\))
c. \(2x < 6 \implies x < 3\) និង \(2x \le 6 \implies x \le 3\) នាំឱ្យ \(x < 3\)
d. \(x > 4\) និង \(x \le 6 \implies 4 < x \le 6\) (ចន្លោះ \((4, 6]\))
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការខាងក្រោម ៖
\(\begin{cases} 2(x - 1) \le 3x + 4 \\ 4(x + 2) > 2x - 6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{x-1}{3} < \dfrac{x+2}{4} \\ 2(x - 3) \ge x - 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3x - 1 > 5 \\ 2x + 4 < 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x - 2 \ge 3x + 4 \\ 4x + 3 > 2x + 9 \end{cases}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
a. \(-x \le 6 \implies x \ge -6\) និង \(2x > -14 \implies x > -7\) នាំឱ្យ \(x \ge -6\)
b. \(4x - 4 < 3x + 6 \implies x < 10\) និង \(x \ge 5\) នាំឱ្យ \(5 \le x < 10\)
c. \(x > 2\) និង \(x < -1\) គ្មានចម្លើយរួម (\(S = \emptyset\))
d. \(2x \ge 6 \implies x \ge 3\) និង \(2x > 6 \implies x > 3\) នាំឱ្យ \(x > 3\)
ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត \(|x| \le a\) ឬ \(|x| > a\) ៖
\(|x| < 6\)
\(|x| \ge 5\)
\(|x - 3| \le 4\)
\(|x + 2| > 3\)
\(|2x - 1| < 7\)
\(|3x + 2| \ge 8\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖
a. \(-6 < x < 6\)
b. \(x \le -5\) ឬ \(x \ge 5\)
c. \(-4 \le x - 3 \le 4 \implies -1 \le x \le 7\)
d. \(x + 2 < -3\) ឬ \(x + 2 > 3 \implies x < -5\) ឬ \(x > 1\)
e. \(-7 < 2x - 1 < 7 \implies -6 < 2x < 8 \implies -3 < x < 4\)
f. \(3x + 2 \le -8\) ឬ \(3x + 2 \ge 8 \implies x \le -10/3\) ឬ \(x \ge 2\)
ដោះស្រាយវិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖
\(|2x - 5| \le 3\)
\(|4x + 3| > 9\)
\(\left| \dfrac{x-1}{2} \right| < 3\)
\(|3 - 2x| \ge 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖
a. \(-3 \le 2x - 5 \le 3 \implies 2 \le 2x \le 8 \implies 1 \le x \le 4\)
b. \(4x + 3 < -9\) ឬ \(4x + 3 > 9 \implies x < -3\) ឬ \(x > 1.5\)
c. \(-3 < (x-1)/2 < 3 \implies -6 < x - 1 < 6 \implies -5 < x < 7\)
d. \(3 - 2x \le -5\) ឬ \(3 - 2x \ge 5 \implies x \ge 4\) ឬ \(x \le -1\)
ដោះស្រាយវិសមីការតាមតារាងសញ្ញានៃផលគុណកត្តា ៖
\((x - 2)(x - 5) < 0\)
\((x + 1)(x - 4) \ge 0\)
\((2x - 3)(x + 2) \le 0\)
\((3x + 1)(2x - 4) > 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
តារាងសញ្ញា ៖
a. \(2 < x < 5\)
b. \(x \le -1\) ឬ \(x \ge 4\)
c. \(-2 \le x \le 1.5\)
d. \(x < -1/3\) ឬ \(x > 2\)
ដោះស្រាយវិសមីការតាមតារាងសញ្ញា ៖
\(x^2 - 9 < 0\)
\(4x^2 - 25 \ge 0\)
\(x^2 - 6x + 8 \le 0\)
\(x^2 + 2x - 15 > 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
តារាងសញ្ញា ៖
a. \((x-3)(x+3) < 0 \implies -3 < x < 3\)
b. \((2x-5)(2x+5) \ge 0 \implies x \le -2.5\) ឬ \(x \ge 2.5\)
c. \((x-2)(x-4) \le 0 \implies 2 \le x \le 4\)
d. \((x+5)(x-3) > 0 \implies x < -5\) ឬ \(x > 3\)
ដោះស្រាយវិសមីការប្រភាគ (តារាងសញ្ញានៃផលចែក) ៖
\(\dfrac{x-3}{x+2} > 0\)
\(\dfrac{2x+1}{x-4} \le 0\)
\(\dfrac{x-1}{x-5} \ge 0\)
\(\dfrac{3-x}{2x+4} < 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការប្រភាគ ៖
a. \(x < -2\) ឬ \(x > 3\)
b. \(-0.5 \le x < 4\)
c. \(x \le 1\) ឬ \(x > 5\)
d. \(x < -2\) ឬ \(x > 3\)
ដោះស្រាយវិសមីការប្រភាគ ៖
\(\dfrac{2}{x-1} > 1\)
\(\dfrac{x+1}{x-2} \le 2\)
\(\dfrac{3x-2}{x+1} \ge 2\)
\(\dfrac{1}{x} < 1\)
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការប្រភាគ ៖
a. \(\frac{2-(x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{3-x}{x-1} > 0 \implies 1 < x < 3\)
b. \(\frac{x+1-2(x-2)}{x-2} \le 0 \implies \frac{5-x}{x-2} \le 0 \implies x < 2\) ឬ \(x \ge 5\)
c. \(\frac{3x-2-2(x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{x-4}{x+1} \ge 0 \implies x < -1\) ឬ \(x \ge 4\)
d. \(\frac{1-x}{x} < 0 \implies x < 0\) ឬ \(x > 1\)
រកសំណុំតម្លៃនៃ \(x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោមមានន័យ ៖
\(\sqrt{3x - 12}\)
\(\sqrt{15 - 5x}\)
\(\sqrt{\dfrac{2x-4}{3}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{4x - 8}}\)
\(\sqrt{x^2 - 16}\)
\(\sqrt{25 - x^2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
លក្ខខណ្ឌរ៉ាឌីកាល់ ៖
a. \(3x - 12 \ge 0 \implies x \ge 4\)
b. \(15 - 5x \ge 0 \implies x \le 3\)
c. \(2x - 4 \ge 0 \implies x \ge 2\)
d. \(4x - 8 > 0 \implies x > 2\)
e. \(x^2 - 16 \ge 0 \implies x \le -4\) ឬ \(x \ge 4\)
f. \(25 - x^2 \ge 0 \implies -5 \le x \le 5\)
រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(x\) ទាំងអស់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖
\(3x - 4 < 11\)
\(2(x + 3) \le 15\)
\(\dfrac{x+2}{3} < 2\)
\(4x - 5 \le 2x + 7\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនគត់វិជ្ជមាន (\(x \in \mathbb{Z}^+\)) ៖
a. \(3x < 15 \implies x < 5 \implies x \in \{1, 2, 3, 4\}\)
b. \(2x \le 9 \implies x \le 4.5 \implies x \in \{1, 2, 3, 4\}\)
c. \(x + 2 < 6 \implies x < 4 \implies x \in \{1, 2, 3\}\)
d. \(2x \le 12 \implies x \le 6 \implies x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
រកចំនួនគត់អវិជ្ជមាន \(x\) ទាំងអស់ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖
\(2x + 7 \ge 5x - 8\)
\(3(x - 2) < 2(x + 1)\)
\(\dfrac{2x-1}{4} \le \dfrac{x+1}{3}\)
\(5 - 2x > -3\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (\(x \in \{0, 1, 2, \dots\}\)) ៖
a. \(3x \le 15 \implies x \le 5 \implies x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)
b. \(x < 8 \implies x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
c. \(6x - 3 \le 4x + 4 \implies 2x \le 7 \implies x \le 3.5 \implies x \in \{0, 1, 2, 3\}\)
d. \(2x < 8 \implies x < 4 \implies x \in \{0, 1, 2, 3\}\)
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមីការ ៖
\(-2 \le \dfrac{3x+1}{2} < 5\)
\(1 < \dfrac{2-x}{3} \le 4\)
\(|2x - 3| < 6\)
\(x^2 - 4x \le 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនគត់ \(x \in \mathbb{Z}\) ៖
a. \(-4 \le 3x + 1 < 10 \implies -5 \le 3x < 9 \implies -1.67 \le x < 3 \implies x \in \{-1, 0, 1, 2\}\)
b. \(3 < 2 - x \le 12 \implies 1 < -x \le 10 \implies -10 \le x < -1 \implies x \in \{-10, -9, \dots, -2\}\)
c. \(-6 < 2x - 3 < 6 \implies -3 < 2x < 9 \implies -1.5 < x < 4.5 \implies x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}\)
d. \(x^2 - 4x - 5 \le 0 \implies (x+1)(x-5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5 \implies x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)
សិស្សម្នាក់មានប្រាក់ \(20\,\$\)។ គាត់ចង់ទិញសៀវភៅមួយក្បាលថ្លៃ \(4.50\,\$\) និងប៊ិចមួយចំនួនដែលមួយដើមថ្លៃ \(1.20\,\$\)។ រកចំនួនប៊ិចច្រើនបំផុតដែលគាត់អាចទិញបាន។
មើលដំណោះស្រាយ
ទិញប៊ិច ៖ \(4.50 + 1.20x \le 20 \implies 1.20x \le 15.50 \implies x \le 12.91\)។ ចំនួនប៊ិចច្រើនបំផុតអាចទិញបានគឺ \(12\) ដើម។
ពូសុខជួលរថយន្តដឹកទំនិញមួយគ្រឿង។ ថ្លៃជួលមូលដ្ឋានគឺ \(30\,\$\) បូកនឹង \(1.50\,\$\) ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ។ បើគាត់មានថវិកាត្រឹមតែ \(120\,\$\) គណនាចម្ងាយផ្លូវអតិបរមាដែលគាត់អាចដឹកជញ្ជូនបាន។
មើលដំណោះស្រាយ
ជួលរថយន្ត ៖ \(30 + 1.50d \le 120 \implies 1.50d \le 90 \implies d \le 60\,\text{km}\)។ ចម្ងាយអតិបរមាគឺ \(60\,\text{km}\)។
កញ្ញាធីតាប្រឡងគណិតវិទ្យាបានពិន្ទុ \(76\) និង \(82\) ក្នុងការប្រឡងពីរលើកដំបូង។ តើការប្រឡងលើកទីបី នាងត្រូវទទួលបានពិន្ទុយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន ដើម្បីឱ្យមធ្យមភាគពិន្ទុទាំងបីលើកមិនទាបជាង \(85\)?
មើលដំណោះស្រាយ
ពិន្ទុប្រឡង ៖ \(\frac{76 + 82 + x}{3} \ge 85 \implies 158 + x \ge 255 \implies x \ge 97\) ពិន្ទុ។
ចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយ \(15\,\text{cm}\)។ រកប្រវែងទទឹង \(w\) នៃការេ ដើម្បីឱ្យបរិមាត្រចតុកោណកែងមិនលើសពី \(46\,\text{cm}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ទទឹងចតុកោណកែង ៖ \(2(15 + w) \le 46 \implies 15 + w \le 23 \implies w \le 8\,\text{cm}\) (និង \(w > 0\))។
ចតុកោណកែងមួយមានទទឹង \(8\,\text{cm}\)។ រកប្រវែងបណ្ដោយ \(L\) ដើម្បីឱ្យផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងយ៉ាងតិចស្មើ \(96\,\text{cm}^2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បណ្ដោយចតុកោណកែង ៖ \(8L \ge 96 \implies L \ge 12\,\text{cm}\)។
ត្រីកោណមួយមានជ្រុងពីរប្រវែង \(7\,\text{cm}\) និង \(11\,\text{cm}\)។ តាមវិសមភាពត្រីកោណ រកចន្លោះប្រវែងនៃជ្រុងទីបី \(x\)។
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(11 - 7 < x < 11 + 7 \implies 4 < x < 18\,\text{cm}\)។
ផលបូកនៃបីចំនួនគត់គូបន្តបន្ទាប់គ្នាតូចជាង \(78\)។ រកតម្លៃធំបំផុតនៃចំនួនទាំងបីនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
បីចំនួនគត់គូបន្តបន្ទាប់ ៖ \(2n + (2n+2) + (2n+4) < 78 \implies 6n + 6 < 78 \implies 6n < 72 \implies n < 12\)។ តម្លៃធំបំផុត \(n = 11\) នាំឱ្យចំនួនទាំងបីគឺ \(22, 24, 26\)។
ផលបូកនៃបួនចំនួនគត់សេសបន្តបន្ទាប់គ្នាធំជាង \(120\)។ រកតម្លៃតូចបំផុតនៃចំនួនទាំងបួននោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
បួនចំនួនគត់សេសបន្តបន្ទាប់ ៖ \((2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7) > 120 \implies 8n + 16 > 120 \implies 8n > 104 \implies n > 13\)។ តម្លៃតូចបំផុត \(n = 14\) នាំឱ្យចំនួនទាំងបួនគឺ \(29, 31, 33, 35\)។
ក្រុមហ៊ុនសេវាទូរស័ព្ទពីរផ្តល់ជម្រើសដូចខាងក្រោម ៖
គម្រោង \(A\) ៖ បង់ថ្លៃសេវាប្រចាំខែ \(10\,\$\) និង \(0.05\,\$\) ក្នុងមួយនាទី។
គម្រោង \(B\) ៖ គ្មានបង់ថ្លៃសេវាប្រចាំខែទេ ប៉ុន្តែគិត \(0.10\,\$\) ក្នុងមួយនាទី។
តើត្រូវនិយាយទូរស័ព្ទលើសពីប៉ុន្មាននាទីក្នុងមួយខែ ទើបគម្រោង \(A\) ចំណេញជាងគម្រោង \(B\)?
មើលដំណោះស្រាយ
គម្រោងទូរស័ព្ទ ៖ \(10 + 0.05t < 0.10t \implies 0.05t > 10 \implies t > 200\,\) នាទី ។ ត្រូវនិយាយលើសពី \(200\) នាទីក្នុងមួយខែ។
រោងពុម្ពមួយបោះពុម្ពសៀវភៅដោយចំណាយថេរ \(500\,\$\) និងចំណាយបន្ថែម \(2\,\$\) ក្នុងសៀវភៅមួយក្បាល។ បើសៀវភៅលក់ចេញក្នុងតម្លៃ \(4.50\,\$\) ក្នុងមួយក្បាល តើរោងពុម្ពត្រូវលក់សៀវភៅយ៉ាងតិចប៉ុន្មានក្បាលទើបទទួលបានប្រាក់ចំណេញ?
មើលដំណោះស្រាយ
រោងពុម្ព ៖ \(4.50n > 500 + 2n \implies 2.50n > 500 \implies n > 200\)។ ត្រូវលក់យ៉ាងតិច \(201\) ក្បាល។
ការេមួយមានជ្រុងប្រវែង \(x\,\text{cm}\)។ បើគេបង្កើនជ្រុងនីមួយៗ \(3\,\text{cm}\) នោះផ្ទៃក្រឡាកើនឡើងមិនលើសពី \(39\,\text{cm}^2\)។ រកតម្លៃអតិបរមានៃ \(x\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ការេ ៖ \((x+3)^2 - x^2 \le 39 \implies 6x + 9 \le 39 \implies 6x \le 30 \implies x \le 5\,\text{cm}\)។
ជណ្តើរយន្តមួយអាចផ្ទុកទម្ងន់អតិបរមា \(600\,\text{kg}\)។ បុរសម្នាក់ទម្ងន់ \(75\,\text{kg}\) ត្រូវយកប្រអប់ទំនិញដែលក្នុងមួយប្រអប់ទម្ងន់ \(25\,\text{kg}\) ឡើងតាមជណ្តើរយន្ត។ តើគាត់អាចយកប្រអប់ទំនិញបានច្រើនបំផុតប៉ុន្មានប្រអប់ក្នុងជើងនីមួយៗ?
មើលដំណោះស្រាយ
ជណ្តើរយន្ត ៖ \(75 + 25n \le 600 \implies 25n \le 525 \implies n \le 21\) ប្រអប់។
ធុងមួយផ្ទុកទឹក \(40\,\text{L}\)។ គេបង្ហូរទឹកចេញតាមទុយោមួយក្នុងល្បឿន \(2.5\,\text{L/mn}\)។ តើរយៈពេល \(t\) យ៉ាងតិចប៉ុន្មាននាទី ទើបទឹកក្នុងធុងនៅសល់តិចជាង \(10\,\text{L}\)?
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហូរទឹក ៖ \(40 - 2.5t < 10 \implies 2.5t > 30 \implies t > 12\,\) នាទី ។
សូលុយស្យុងអាស៊ីត \(10\,\text{L}\) មានកំហាប់ \(30\%\)។ តើត្រូវបន្ថែមទឹកសុទ្ធយ៉ាងតិចប៉ុន្មានលីត្រ ដើម្បីឱ្យកំហាប់អាស៊ីតធ្លាក់ចុះមកនៅក្រោម \(20\%\)?
មើលដំណោះស្រាយ
ពង្រាវអាស៊ីត ៖ \(\frac{3}{10 + x} < 0.20 \implies 10 + x > 15 \implies x > 5\,\text{L}\)។ ត្រូវបន្ថែមទឹកសុទ្ធលើសពី \(5\,\text{L}\)។
រថយន្តមួយបើកបរលើផ្លូវចម្ងាយ \(180\,\text{km}\)។ ដើម្បីទៅដល់គោលដៅក្នុងរយៈពេលមិនលើសពី \(2\) ម៉ោង \(15\) នាទី តើរថយន្តត្រូវបើកបរក្នុងល្បឿនមធ្យមយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន?
មើលដំណោះស្រាយ
ល្បឿនរថយន្ត ៖ \(t \le 2.25\,\text{h} \implies \frac{180}{v} \le 2.25 \implies v \ge \frac{180}{2.25} = 80\,\text{km/h}\)។
រកគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(n\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(\dfrac{2n - 1}{3} < \dfrac{3n + 4}{5}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចំនួនគត់ \(n\) ៖ \(5(2n-1) < 3(3n+4) \implies 10n - 5 < 9n + 12 \implies n < 17\)។ \(n \in \{1, 2, \dots, 16\}\)។
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖ វិសមីការទី ១ ៖ \(x < 8\)។ វិសមីការទី ២ ៖ \(6 - 3x \le 6 - 2x \implies x \ge 0\)។ ចម្លើយគត់ ៖ \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)។
រកគ្រប់ចំនួនគត់ \(x\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការឌុប ៖ \(-3 \le 2x - 5 \le 9 \implies 2 \le 2x \le 14 \implies 1 \le x \le 7\)។ \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)។
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a, b > 0\) នោះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាព \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) ៖ \(\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0\) (ពិតព្រោះ \((a-b)^2 \ge 0\) និង \(ab > 0\))។ សមភាពកើតឡើងពេល \(a = b\)។
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a, b, c > 0\) នោះ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាព ៖ តាម AM-GM ៖ \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\), \(b+c \ge 2\sqrt{bc}\), \(c+a \ge 2\sqrt{ca}\)។ គុណអង្គនិងអង្គ ៖ \((a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc\)។
បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x, y\) គេបាន ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាព ៖ \(2(x^2+y^2+1 - xy - x - y) = (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0\) ពិតជានិច្ច។
បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(a, b, c\) គេបាន ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមភាព ៖ \(2(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0\) ពិតជានិច្ច។
បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(a + b \ge 2\) នោះ \(a^4 + b^4 \ge 2\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បង្ហាញ \(a^4+b^4 \ge 2\) ៖ តាម Cauchy-Schwarz ឬ AM-GM ៖ \(a^2+b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2} \ge 2\)។ \(a^4+b^4 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge \frac{4}{2} = 2\)។
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោម \(P = x + \dfrac{4}{x}\) ចំពោះ \(x > 0\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃតូចបំផុត \(P\) ៖ តាម AM-GM ៖ \(x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \times \frac{4}{x}} = 4\)។ តូចបំផុតគឺ \(4\) ពេល \(x = 2\)។
រកតម្លៃតូចបំផុតនៃកន្សោម \(Q = \dfrac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 1}}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តម្លៃតូចបំផុត \(Q\) ៖ \(Q = \sqrt{x^2+1} + \frac{4}{\sqrt{x^2+1}} \ge 2\sqrt{4} = 4\)។ តូចបំផុតគឺ \(4\) ពេល \(x^2+1 = 4 \implies x = \pm \sqrt{3}\)។
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖ បម្លែង និងសិក្សាតារាងសញ្ញា ៖ \(x \in (0, 1) \cup (2, +\infty)\)។
ដោះស្រាយវិសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖ បំបែកតាមចន្លោះ \(x < 1\), \(1 \le x \le 2\), \(x > 2\) ៖ សំណុំចម្លើយគឺ \(0 \le x \le \frac{10}{3}\) (ចន្លោះ \([0, 3.33]\))។
រកគ្រប់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យវិសមីការ \((m - 2)x + 3 > 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ \(x \in \mathbb{R}\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រក \(m\) ៖ ដើម្បីឱ្យ \((m-2)x + 3 > 0\) ចំពោះគ្រប់ \(x\) លុះត្រាតែ \(m - 2 = 0 \iff m = 2\) (ពេលនោះ \(3 > 0\) ពិតជានិច្ច)។
រកគ្រប់តម្លៃ \(m\) ដើម្បីឱ្យវិសមីការ \(mx - 2 < 3x + m\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ \(x > 1\)។
មើលដំណោះស្រាយ
រក \(m\) ៖ \((m-3)x < m+2\) ចំពោះគ្រប់ \(x > 1\) ៖ លុះត្រាតែ \(m - 3 \le 0\) និងផ្ទៀងផ្ទាត់ព្រំដែន នាំឱ្យ \(m \le 3\) និង \(m - 3 \le m + 2\)។
បង្ហាញវិសមភាព Cauchy-Schwarz ចំពោះ \(n=2\) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
Cauchy-Schwarz ៖ \((a_1b_2 - a_2b_1)^2 \ge 0 \iff a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2 \ge 0\) បូក \(a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2\) លើអង្គទាំងពីរ គេបាន \((a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2)^2\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៥ វិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី