សមីការ (Equation) គឺជាបេះដូងនៃពីជគណិត ៖
ក្រដាសផាពីរុសរីន (Rhind Papyrus, ១៦៥០ មុន គ.ស.) ៖ ជនជាតិអេហ្ស៊ីបបុរាណបានដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីមួយដោយហៅចំនួនមិនស្គាល់ថា «Aha» (មានន័យថា «គំនរ») ដូចជា ៖ «គំនរមួយ បូកនឹងមួយភាគប្រាំពីរបង្កើតបាន \(19\)» (\(x + \frac{1}{7}x = 19\)) ដោយប្រើវិធីសន្មតខុស។
លោក Diophantus (សតវត្សទី ៣ នៃ គ.ស.) ៖ ក្នុងសៀវភៅ Arithmetica គណិតវិទូក្រិក Diophantus បានណែនាំនិមិត្តសញ្ញាដំបូងសម្រាប់តាងអថេរ និងបានដោះស្រាយសមីការជាច្រើន។
វិធាន Al-Jabr (សតវត្សទី ៩) ៖ លោក Al-Khwarizmi បានបង្កើតវិធាន Al-Jabr (ការប្តូរតួអវិជ្ជមានទៅអង្គម្ខាងទៀតដោយប្តូរសញ្ញា) និង Al-Muqabala (ការលុបតួដូចគ្នាចេញពីអង្គទាំងពីរ) ដែលជាគ្រឹះពីជគណិតរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។
សមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត និងលក្ខណៈគ្រឹះ
សមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត គឺជាសមីការដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ទូទៅ ៖
បើ \(a \ne 0\) ៖ សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ \(x = -\dfrac{b}{a}\)។
បើ \(a = 0\) និង \(b \ne 0\) ៖ សមីការទៅជា \(0x = -b\) គ្មានឫស (សំណុំចម្លើយ \(S = \emptyset\))។
បើ \(a = 0\) និង \(b = 0\) ៖ សមីការទៅជា \(0x = 0\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(x\) (មានឫសរាប់មិនអស់ \(S = \mathbb{R}\))។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\(5x - 7 = 2x + 8\)
\(3(2x - 1) - 2(x - 4) = 17\)
\(5x - 7 = 2x + 8 \iff 5x - 2x = 8 + 7 \iff 3x = 15 \iff x = \dfrac{15}{3} = 5\)
ដូចនេះ សមីការមានឫស \(x = 5\)។
\(3(2x - 1) - 2(x - 4) = 17 \iff 6x - 3 - 2x + 8 = 17\)
\(\iff 4x + 5 = 17 \iff 4x = 17 - 5 \iff 4x = 12 \iff x = 3\)
ដូចនេះ សមីការមានឫស \(x = 3\)។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\(7x - 4 = 3x + 16\)
\(4(x - 2) - 3(2x - 5) = 1\)
សមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ និងសមីការផលគុណកត្តា
សមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ គេត្រូវ ៖
រកភាគបែងរួមតូចបំផុត (LCM) នៃភាគបែងទាំងអស់។
គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹងភាគបែងរួមនោះ ដើម្បីបំបាត់ភាគបែង។
ពន្លាតវង់ក្រចក និងលើកតួមានអញ្ញាតទៅអង្គម្ខាង តួថេរទៅអង្គម្ខាងទៀត រួចទាញរកតម្លៃ \(x\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} = \dfrac{x + 5}{6}\)
ភាគបែងរួមតូចបំផុតនៃ \(3, 4, 6\) គឺ \(\text{LCM}(3, 4, 6) = 12\)។
គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង \(12\) ៖
\[12\left(\frac{2x - 1}{3}\right) - 12\left(\frac{x - 2}{4}\right) = 12\left(\frac{x + 5}{6}\right)\]\[4(2x - 1) - 3(x - 2) = 2(x + 5)\]ពន្លាតវង់ក្រចក និងដោះស្រាយ ៖
\[8x - 4 - 3x + 6 = 2x + 10 \iff 5x + 2 = 2x + 10\]\[\iff 5x - 2x = 10 - 2 \iff 3x = 8 \iff x = \frac{8}{3}\]ដូចនេះ សមីការមានឫស \(x = \dfrac{8}{3}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ \(\dfrac{x + 3}{2} - \dfrac{2x - 1}{5} = \dfrac{x + 9}{10}\)
សមីការដែលអង្គទី១ ជាផលគុណកត្តា
ផលគុណនៃពីរកត្តាស្មើសូន្យ លុះត្រាតែកត្តាណាមួយស្មើសូន្យ ៖
ដោះស្រាយសមីការផលគុណកត្តាខាងក្រោម ៖
\((2x - 5)(3x + 6) = 0\)
\((x - 3)(2x + 1) + (x - 3)(x + 4) = 0\)
\((2x - 5)(3x + 6) = 0 \iff 2x - 5 = 0 \quad{} \) ឬ \( \quad{} 3x + 6 = 0\)
\(2x - 5 = 0 \iff 2x = 5 \iff x = \dfrac{5}{2}\)
\(3x + 6 = 0 \iff 3x = -6 \iff x = -2\)
ដូចនេះ សមីការមានឫសពីរគឺ \(x = \dfrac{5}{2}\) និង \(x = -2\)។
ដាក់ជាផលគុណកត្តាដោយទាញកត្តារួម \((x - 3)\) ៖
\[(x - 3)[(2x + 1) + (x + 4)] = 0 \iff (x - 3)(3x + 5) = 0\]\[\iff x - 3 = 0 \quad{} \text{ឬ} \quad{} 3x + 5 = 0 \iff x = 3 \quad{} \text{ឬ} \quad{} x = -\frac{5}{3}\]ដូចនេះ សមីការមានឫសពីរគឺ \(x = 3\) និង \(x = -\dfrac{5}{3}\)។
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\((3x - 1)(x + 4) = 0\)
\((2x - 1)(x + 2) - (2x - 1)(3x - 5) = 0\)
វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយចំណោទតាមសមីការ
ដើម្បីដោះស្រាយចំណោទដោយប្រើសមីការ គេត្រូវអនុវត្តតាម ៥ ជំហាន ៖
ជ្រើសរើសអញ្ញាត ៖ តាងអក្សរ \(x\) តំណាងឱ្យបរិមាណមិនស្គាល់ដែលត្រូវរក ព្រមទាំងបញ្ជាក់ខ្នាត និងលក្ខខណ្ឌ។
បកប្រែប្រធានជាកន្សោមពីជគណិត ៖ សរសេរបរិមាណដទៃទៀតជាអនុគមន៍នៃ \(x\)។
បង្កើតសមីការ ៖ ផ្អែកលើទំនាក់ទំនងដែលប្រធានបានកំណត់។
ដោះស្រាយសមីការ ៖ រកតម្លៃ \(x\)។
ផ្ទៀងផ្ទាត់ និងឆ្លើយ ៖ ពិនិត្យថាតើតម្លៃ \(x\) ស្របតាមលក្ខខណ្ឌជាក់ស្ដែង រួចសរសេរចម្លើយ។
ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ \(48\,\text{cm}\)។ ប្រវែងបណ្តោយវែងជាងទទឹង \(4\,\text{cm}\)។ គណនាទទឹង បណ្តោយ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងនោះ។
ជំហានទី ១ (ជ្រើសរើសអញ្ញាត) ៖ តាង \(x\) ជាទទឹងនៃចតុកោណកែង (\(x > 0\), គិតជា \(\text{cm}\))។
ជំហានទី ២ (បកប្រែកន្សោម) ៖ នោះបណ្តោយគឺ \(x + 4\) (គិតជា \(\text{cm}\))។
ជំហានទី ៣ (បង្កើតសមីការ) ៖ រូបមន្តបរិមាត្រគឺ \(P = 2(\) បណ្តោយ \( + \) ទទឹង \()\) ៖
\[2[(x + 4) + x] = 48\]ជំហានទី ៤ (ដោះស្រាយសមីការ) ៖
\[2(2x + 4) = 48 \iff 4x + 8 = 48 \iff 4x = 40 \iff x = 10\]ជំហានទី ៥ (ផ្ទៀងផ្ទាត់ និងឆ្លើយ) ៖
ទទឹងនៃចតុកោណកែងគឺ \(10\,\text{cm}\)
បណ្តោយនៃចតុកោណកែងគឺ \(10 + 4 = 14\,\text{cm}\)
ផ្ទៀងផ្ទាត់បរិមាត្រ ៖ \(2(14 + 10) = 48\,\text{cm}\) (ពិត)
ផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង ៖ \(S = 14 \times 10 = 140\,\text{cm}^2\)
ដូចនេះ ទទឹងស្មើ \(10\,\text{cm}\), បណ្តោយស្មើ \(14\,\text{cm}\) និងផ្ទៃក្រឡាស្មើ \(140\,\text{cm}^2\)។
ផលបូកពីរចំនួនស្មើនឹង \(54\)។ បើចំនួនធំ ធំជាងពីរដងនៃចំនួនតូចចំនួន \(6\) ចូរកំណត់ចំនួនទាំងពីរនោះ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាតខាងក្រោម ៖
\(3x - 12 = 0\)
\(5x + 20 = 0\)
\(7x - 4 = 17\)
\(4x + 9 = 25\)
\(6x - 15 = 3x\)
\(8x + 6 = 2x + 24\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \(3x = 12 \implies x = 4\)
b. \(5x = -20 \implies x = -4\)
c. \(7x = 21 \implies x = 3\)
d. \(4x = 16 \implies x = 4\)
e. \(3x = 15 \implies x = 5\)
f. \(6x = 18 \implies x = 3\)
ដោះស្រាយសមីការដែលមានវង់ក្រចក ៖
\(3(x - 4) = 2(x + 1)\)
\(5(2x - 1) = 3(3x + 2)\)
\(4(x + 2) - 3(2x - 1) = 5\)
\(2(3x - 4) + 5(x + 1) = 30\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \(3x - 12 = 2x + 2 \implies x = 14\)
b. \(10x - 5 = 9x + 6 \implies x = 11\)
c. \(4x + 8 - 6x + 3 = 5 \implies -2x = -6 \implies x = 3\)
d. \(6x - 8 + 5x + 5 = 30 \implies 11x = 33 \implies x = 3\)
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\(2(x - 3) - 4(x + 1) = 3(x - 2)\)
\(5(x + 1) + 2(3 - x) = 4(x + 2) - 1\)
\(3[x - 2(x - 1)] = 4x - 6\)
\(2 - [3x - (2x - 5)] = 4(x - 1)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \(2x - 6 - 4x - 4 = 3x - 6 \implies -5x = 4 \implies x = -0.8\)
b. \(5x + 5 + 6 - 2x = 4x + 8 - 1 \implies 3x + 11 = 4x + 7 \implies x = 4\)
c. \(3(2 - x) = 4x - 6 \implies 6 - 3x = 4x - 6 \implies 7x = 12 \implies x = \frac{12}{7}\)
d. \(2 - (x + 5) = 4x - 4 \implies -x - 3 = 4x - 4 \implies 5x = 1 \implies x = 0.2\)
ដោះស្រាយសមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ ៖
\(\dfrac{x}{4} + 3 = 8\)
\(\dfrac{2x}{3} - 5 = 1\)
\(\dfrac{3x}{5} + \dfrac{x}{2} = 11\)
\(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{6} = 4\)
\(\dfrac{5x}{6} - \dfrac{3x}{4} = 2\)
\(\dfrac{2x}{7} + \dfrac{3x}{14} = 5\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការមានភាគបែង ៖
a. \(x/4 = 5 \implies x = 20\)
b. \(2x/3 = 6 \implies 2x = 18 \implies x = 9\)
c. \(6x + 5x = 110 \implies 11x = 110 \implies x = 10\)
d. \(3x - x = 24 \implies 2x = 24 \implies x = 12\)
e. \(10x - 9x = 24 \implies x = 24\)
f. \(4x + 3x = 70 \implies 7x = 70 \implies x = 10\)
ដោះស្រាយសមីការដែលមានភាគបែងជាលេខ ៖
\(\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{x-2}{2}\)
\(\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{x+5}{3}\)
\(\dfrac{3x+1}{5} = \dfrac{2x-4}{3}\)
\(\dfrac{4x-1}{6} = \dfrac{2x+3}{4}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការសមាមាត្រ ៖
a. \(2(x+1) = 3(x-2) \implies 2x+2 = 3x-6 \implies x = 8\)
b. \(3(2x-3) = 4(x+5) \implies 6x-9 = 4x+20 \implies 2x = 29 \implies x = 14.5\)
c. \(3(3x+1) = 5(2x-4) \implies 9x+3 = 10x-20 \implies x = 23\)
d. \(2(4x-1) = 3(2x+3) \implies 8x-2 = 6x+9 \implies 2x = 11 \implies x = 5.5\)
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{x+3}{4} = 3\)
\(\dfrac{2x+1}{3} - \dfrac{x-2}{6} = 2\)
\(\dfrac{3x-1}{4} - \dfrac{2x+3}{3} = \dfrac{1}{12}\)
\(\dfrac{x+4}{5} - \dfrac{x-3}{2} = \dfrac{x-1}{10}\)
មើលដំណោះស្រាយ
តម្រូវភាគបែង ៖
a. ភាគបែងរួម \(4\) ៖ \(2(x-1) + (x+3) = 12 \implies 3x + 1 = 12 \implies x = \frac{11}{3}\)
b. ភាគបែងរួម \(6\) ៖ \(2(2x+1) - (x-2) = 12 \implies 3x + 4 = 12 \implies x = \frac{8}{3}\)
c. ភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(3(3x-1) - 4(2x+3) = 1 \implies x - 15 = 1 \implies x = 16\)
d. ភាគបែងរួម \(10\) ៖ \(2(x+4) - 5(x-3) = x-1 \implies -3x + 23 = x - 1 \implies 4x = 24 \implies x = 6\)
ដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម ៖
\(\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{5x+2}{6} = 1 - \dfrac{x-3}{2}\)
\(\dfrac{3(x-1)}{4} - \dfrac{2(x+1)}{3} = \dfrac{x+5}{6}\)
\(x - \dfrac{2x-1}{3} = \dfrac{x+3}{2} - 1\)
\(\dfrac{x+2}{4} - \dfrac{2x-3}{6} = \dfrac{3x+1}{12}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. ភាគបែងរួម \(6\) ៖ \(2(2x-1) - (5x+2) = 6 - 3(x-3) \implies -x - 4 = 15 - 3x \implies 2x = 19 \implies x = 9.5\)
b. ភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(9(x-1) - 8(x+1) = 2(x+5) \implies x - 17 = 2x + 10 \implies x = -27\)
c. ភាគបែងរួម \(6\) ៖ \(6x - 2(2x-1) = 3(x+3) - 6 \implies 2x + 2 = 3x + 3 \implies x = -1\)
d. ភាគបែងរួម \(12\) ៖ \(3(x+2) - 2(2x-3) = 3x+1 \implies -x + 12 = 3x + 1 \implies 4x = 11 \implies x = 2.75\)
ដោះស្រាយសមីការដែលអង្គទី១ ជាផលគុណកត្តា (\(A \times B = 0\)) ៖
\((x - 5)(x + 2) = 0\)
\((2x - 3)(x + 4) = 0\)
\((3x + 1)(2x - 5) = 0\)
\(x(x - 7) = 0\)
\((4x - 6)(5x + 15) = 0\)
\((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការផលគុណស្មើសូន្យ ៖
a. \(x = 5\) ឬ \(x = -2\)
b. \(x = 1.5\) ឬ \(x = -4\)
c. \(x = -1/3\) ឬ \(x = 2.5\)
d. \(x = 0\) ឬ \(x = 7\)
e. \(x = 1.5\) ឬ \(x = -3\)
f. \(x = \pm \sqrt{2}\)
ដោះស្រាយសមីការតាមវិធីទាញកត្តារួម ៖
\(x^2 - 8x = 0\)
\(3x^2 + 12x = 0\)
\(2x^2 - 5x = 0\)
\(4x^2 = 16x\)
\(5x^2 = -10x\)
\(x(x + 2) = 3(x + 2)\)
មើលដំណោះស្រាយ
ទាញកត្តារួម ៖
a. \(x(x-8) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = 8\)
b. \(3x(x+4) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = -4\)
c. \(x(2x-5) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = 2.5\)
d. \(4x(x-4) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = 4\)
e. \(5x(x+2) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = -2\)
f. \((x+2)(x-3) = 0 \implies x = -2\) ឬ \(x = 3\)
ដោះស្រាយសមីការតាមរូបមន្ត \(a^2 - b^2 = 0\) ៖
\(x^2 - 49 = 0\)
\(4x^2 - 25 = 0\)
\(9x^2 - 1 = 0\)
\((x + 1)^2 - 9 = 0\)
\((2x - 3)^2 - 16 = 0\)
\((3x + 2)^2 - 25 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(a^2-b^2 = 0\) ៖
a. \(x = \pm 7\)
b. \((2x-5)(2x+5) = 0 \implies x = \pm 2.5\)
c. \(x = \pm 1/3\)
d. \((x+1-3)(x+1+3) = 0 \implies (x-2)(x+4) = 0 \implies x = 2\) ឬ \(x = -4\)
e. \((2x-3-4)(2x-3+4) = 0 \implies (2x-7)(2x+1) = 0 \implies x = 3.5\) ឬ \(x = -0.5\)
f. \((3x+2-5)(3x+2+5) = 0 \implies (3x-3)(3x+7) = 0 \implies x = 1\) ឬ \(x = -7/3\)
ដោះស្រាយសមីការតាមវិធីដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
\((2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0\)
\((3x + 2)^2 - (2x - 5)^2 = 0\)
\((x + 4)^2 = (2x - 1)^2\)
\(4(x - 1)^2 - 9(x + 2)^2 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការផលដកការេ ៖
a. \([(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)] = (x-4)(3x+2) = 0 \implies x = 4\) ឬ \(x = -2/3\)
b. \((5x-3)(x+7) = 0 \implies x = 3/5\) ឬ \(x = -7\)
c. \((x+4)^2 - (2x-1)^2 = (-x+5)(3x+3) = 0 \implies x = 5\) ឬ \(x = -1\)
d. \([2(x-1)-3(x+2)][2(x-1)+3(x+2)] = (-x-8)(5x+4) = 0 \implies x = -8\) ឬ \(x = -4/5\)
ដោះស្រាយសមីការត្រីធាដឺក្រេទីពីរដោយបំបែកតួកណ្ដាល ៖
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(x^2 - 7x + 12 = 0\)
\(x^2 + 8x + 15 = 0\)
\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដាក់ត្រីធាជាផលគុណកត្តា ៖
a. \((x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2\) ឬ \(x = 3\)
b. \((x-3)(x-4) = 0 \implies x = 3\) ឬ \(x = 4\)
c. \((x+3)(x+5) = 0 \implies x = -3\) ឬ \(x = -5\)
d. \((x+5)(x-2) = 0 \implies x = -5\) ឬ \(x = 2\)
ដោះស្រាយសមីការត្រីធាដឺក្រេទីពីរ ៖
\(x^2 - 2x - 24 = 0\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
\(x^2 - 9x + 14 = 0\)
\(x^2 - 4x - 21 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \((x-6)(x+4) = 0 \implies x = 6\) ឬ \(x = -4\)
b. \((x+5)(x-4) = 0 \implies x = -5\) ឬ \(x = 4\)
c. \((x-2)(x-7) = 0 \implies x = 2\) ឬ \(x = 7\)
d. \((x-7)(x+3) = 0 \implies x = 7\) ឬ \(x = -3\)
ដោះស្រាយសមីការត្រីធាដឺក្រេទីពីរ (\(a \ne 1\)) ៖
\(2x^2 + 5x + 2 = 0\)
\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
\(3x^2 + 10x + 3 = 0\)
\(3x^2 - 8x + 4 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ (\(a \ne 1\)) ៖
a. \((2x+1)(x+2) = 0 \implies x = -0.5\) ឬ \(x = -2\)
b. \((2x-1)(x-3) = 0 \implies x = 0.5\) ឬ \(x = 3\)
c. \((3x+1)(x+3) = 0 \implies x = -1/3\) ឬ \(x = -3\)
d. \((3x-2)(x-2) = 0 \implies x = 2/3\) ឬ \(x = 2\)
ដោះស្រាយសមីការត្រីធា ៖
\(2x^2 + x - 6 = 0\)
\(3x^2 - 5x - 2 = 0\)
\(4x^2 + 4x - 3 = 0\)
\(6x^2 - 7x - 3 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
ដោះស្រាយសមីការ ៖
a. \((2x-3)(x+2) = 0 \implies x = 1.5\) ឬ \(x = -2\)
b. \((3x+1)(x-2) = 0 \implies x = -1/3\) ឬ \(x = 2\)
c. \((2x-1)(2x+3) = 0 \implies x = 0.5\) ឬ \(x = -1.5\)
d. \((2x-3)(3x+1) = 0 \implies x = 1.5\) ឬ \(x = -1/3\)
ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់តាមវិធីដាក់ជាផលគុណកត្តា ៖
\(x^3 - 4x = 0\)
\(x^3 - 9x = 0\)
\(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការដឺក្រេទី ៣ ៖
a. \(x(x-2)(x+2) = 0 \implies x \in \{0, 2, -2\}\)
b. \(x(x-3)(x+3) = 0 \implies x \in \{0, 3, -3\}\)
c. \(x^2(x-3) - 4(x-3) = (x^2-4)(x-3) = 0 \implies x \in \{3, 2, -2\}\)
d. \(x^2(x+2) - (x+2) = (x^2-1)(x+2) = 0 \implies x \in \{-2, 1, -1\}\)
ដោះស្រាយសមីការ ៖
\((x - 2)(x^2 + 3x + 2) = 0\)
\((2x + 1)(x^2 - 5x + 6) = 0\)
\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
\(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ ៖
a. \((x-2)(x+1)(x+2) = 0 \implies x \in \{2, -1, -2\}\)
b. \((2x+1)(x-2)(x-3) = 0 \implies x \in \{-0.5, 2, 3\}\)
c. \((x^2-1)(x^2-4) = 0 \implies x \in \{\pm 1, \pm 2\}\)
d. \((x^2-1)(x^2-9) = 0 \implies x \in \{\pm 1, \pm 3\}\)
ដោះស្រាយសមីការដែលមានលក្ខខណ្ឌអញ្ញាតនៅភាគបែង ៖
\(\dfrac{2}{x-1} = 1\)
\(\dfrac{3}{x+2} = \dfrac{2}{x-1}\)
\(\dfrac{x+3}{x-2} = \dfrac{x-1}{x+4}\)
\(\dfrac{2x}{x-3} - \dfrac{6}{x-3} = 2\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការមានភាគបែង ៖
a. \(x - 1 = 2 \implies x = 3\) (យក)
b. \(3(x-1) = 2(x+2) \implies 3x - 3 = 2x + 4 \implies x = 7\) (យក)
c. \((x+3)(x+4) = (x-2)(x-1) \implies x^2+7x+12 = x^2-3x+2 \implies 10x = -10 \implies x = -1\) (យក)
d. \(2x - 6 = 2(x-3) \implies 2x - 6 = 2x - 6\) (ពិតជានិច្ច លើកលែង \(x = 3\)) ៖ \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\)
ដោះស្រាយសមីការសមាមាត្រ ៖
\(\dfrac{x^2-1}{x+1} = 4\)
\(\dfrac{x^2-4}{x-2} = 5\)
\(\dfrac{x^2-9}{x+3} = 2x - 1\)
\(\dfrac{x^2+3x}{x+3} = x\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការសមាមាត្រ ៖
a. \(x - 1 = 4 \implies x = 5\) (យក)
b. \(x + 2 = 5 \implies x = 3\) (យក)
c. \(x - 3 = 2x - 1 \implies x = -2\) (យក)
d. \(x = x\) (ពិតជានិច្ច លើកលែង \(x = -3\))
ដោះស្រាយសមីការដែលមានរ៉ាឌីកាល់បឋម ៖
\(\sqrt{2}x - 6 = 0\)
\(\sqrt{3}x + 3 = 0\)
\((x - \sqrt{3})(x + \sqrt{5}) = 0\)
\(x\sqrt{2} - 1 = x - \sqrt{2}\)
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការរ៉ាឌីកាល់ ៖
a. \(x = 6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
b. \(x = -3/\sqrt{3} = -\sqrt{3}\)
c. \(x = \sqrt{3}\) ឬ \(x = -\sqrt{5}\)
d. \((\sqrt{2}-1)x = 1-\sqrt{2} = -(\sqrt{2}-1) \implies x = -1\)
ផលបូកនៃពីរចំនួនស្មើនឹង \(84\) ហើយចំនួនមួយធំជាងចំនួនមួយទៀត \(16\)។ ចូររកចំនួនទាំងពីរនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
រកពីរចំនួន ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនតូច នោះចំនួនធំគឺ \(x + 16\)។ \(x + (x + 16) = 84 \implies 2x = 68 \implies x = 34\)។ ចំនួនទាំងពីរគឺ \(34\) និង \(50\)។
រកពីរចំនួនគត់គូបន្តបន្ទាប់គ្នា ដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(106\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពីរចំនួនគត់គូបន្តបន្ទាប់ ៖ \(2n + (2n + 2) = 106 \implies 4n = 104 \implies n = 26\)។ ចំនួនទាំងពីរគឺ \(52\) និង \(54\)។
រកបីចំនួនគត់សេសបន្តបន្ទាប់គ្នា ដែលមានផលបូកស្មើនឹង \(87\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បីចំនួនគត់សេសបន្តបន្ទាប់ ៖ \((2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 87 \implies 6n + 9 = 87 \implies 6n = 78 \implies n = 13\)។ ចំនួនទាំងបីគឺ \(27, 29, 31\)។
បច្ចុប្បន្ន ម្ដាយមានអាយុ \(36\) ឆ្នាំ ហើយកូនស្រីមានអាយុ \(10\) ឆ្នាំ។ តើនៅប៉ុន្មានឆ្នាំទៀត ទើបអាយុម្ដាយស្មើនឹងពីរដងនៃអាយុកូនស្រី?
មើលដំណោះស្រាយ
អាយុម្ដាយនិងកូន ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនឆ្នាំទៅមុខទៀត ៖ \(36 + x = 2(10 + x) \implies 36 + x = 20 + 2x \implies x = 16\,\) ឆ្នាំ ។
បច្ចុប្បន្ន លោកតាមានអាយុ \(68\) ឆ្នាំ ហើយចៅប្រុសមានអាយុ \(14\) ឆ្នាំ។ កាលពីប៉ុន្មានឆ្នាំមុន ទើបអាយុលោករស្មើនឹង \(4\) ដងនៃអាយុចៅប្រុស?
មើលដំណោះស្រាយ
អាយុលោករនិងចៅ ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនឆ្នាំកាលពីមុន ៖ \(68 - x = 4(14 - x) \implies 68 - x = 56 - 4x \implies 3x = -12\) (មិនសមហេតុផល ៖ \(68-x = 4(14-x) \implies 3x = -12\)? បើ \(14 \times 4 = 56 < 68\))។ កែសម្រួល \(4\) ដង ៖ \(68-x = 4(14-x) \implies 3x = -12\) (គ្មានកាលពីមុន តែបើកាល \(x\) ឆ្នាំមុន លោករចាស់ជាង \(4\) ដង)។
ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ \(56\,\text{m}\)។ បើបណ្ដោយវែងជាងទទឹង \(6\,\text{m}\) ចូរគណនាវិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
ចតុកោណកែង ៖ កន្លះបរិមាត្រ \(L + W = 28\)។ \(W + (W + 6) = 28 \implies 2W = 22 \implies W = 11\,\text{m}, L = 17\,\text{m}\)។ ផ្ទៃក្រឡា \(S = 17 \times 11 = 187\,\text{m}^2\)។
ចតុកោណកែងមួយមានបណ្ដោយពីរដងនៃទទឹង។ បើគេបង្កើនបណ្ដោយ \(3\,\text{m}\) និងបន្ថយទទឹង \(2\,\text{m}\) នោះផ្ទៃក្រឡាថយចុះ \(24\,\text{m}^2\)។ គណនាវិមាត្រដើមនៃចតុកោណកែង។
មើលដំណោះស្រាយ
ចតុកោណកែងដើម ៖ ទទឹងដើម \(x\), បណ្ដោយ \(2x\) ផ្ទៃ \(2x^2\)។ ផ្ទៃថ្មី \((2x+3)(x-2) = 2x^2 - x - 6\)។ \(2x^2 - (2x^2 - x - 6) = 24 \implies x + 6 = 24 \implies x = 18\,\text{m}\)។ វិមាត្រដើម ៖ ទទឹង \(18\,\text{m}\), បណ្ដោយ \(36\,\text{m}\)។
ត្រីកោណមួយមានជ្រុងទីពីរវែងជាងជ្រុងទីមួយ \(3\,\text{cm}\) និងជ្រុងទីបីវែងជាងជ្រុងទីពីរ \(2\,\text{cm}\)។ បើបរិមាត្រនៃត្រីកោណស្មើ \(35\,\text{cm}\) គណនាប្រវែងជ្រុងនីមួយៗ។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងត្រីកោណ ៖ \(x + (x+3) + (x+5) = 35 \implies 3x + 8 = 35 \implies 3x = 27 \implies x = 9\,\text{cm}\)។ ជ្រុងទាំងបីគឺ \(9\,\text{cm}, 12\,\text{cm}, 14\,\text{cm}\)។
ត្រីកោណកែងមួយមានរង្វាស់ជ្រុងទាំងបីជាបីចំនួនគត់បន្តបន្ទាប់គ្នា។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណកែងនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
ត្រីកោណកែងជ្រុងបន្តបន្ទាប់ ៖ \((x+1)^2 = x^2 + (x-1)^2 \implies x^2+2x+1 = 2x^2-2x+1 \implies x^2 - 4x = 0 \implies x = 4\)។ ជ្រុងទាំងបីគឺ \(3, 4, 5\)។
ការេមួយ និងត្រីកោណសម័ង្សមួយមានបរិមាត្រស្មើគ្នា។ បើជ្រុងនៃការេខ្លីជាងជ្រុងនៃត្រីកោណសម័ង្ស \(3\,\text{cm}\) ចូរគណនាប្រវែងជ្រុងនៃការេ និងត្រីកោណសម័ង្ស។
មើលដំណោះស្រាយ
ការេ និងត្រីកោណសម័ង្ស ៖ តាង \(c\) ជាជ្រុងការេ នោះជ្រុងត្រីកោណគឺ \(c + 3\)។ បរិមាត្រស្មើគ្នា ៖ \(4c = 3(c + 3) \implies 4c = 3c + 9 \implies c = 9\,\text{cm}\)។ ជ្រុងការេគឺ \(9\,\text{cm}\) និងជ្រុងត្រីកោណគឺ \(12\,\text{cm}\)។
រថយន្តមួយបើកបរពីទីក្រុង \(A\) ទៅទីក្រុង \(B\) ដោយល្បឿន \(60\,\text{km/h}\)។ ពេលត្រឡប់មកវិញ តាមផ្លូវដដែល រថយន្តបើកបរដោយល្បឿន \(40\,\text{km/h}\)។ រយៈពេលសរុបនៃការធ្វើដំណើរទាំងទៅទាំងមកគឺ \(5\) ម៉ោង។ គណនាចម្ងាយផ្លូវពី \(A\) ទៅ \(B\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ចម្ងាយផ្លូវ \(A\) ទៅ \(B\) ៖ \(\frac{d}{60} + \frac{d}{40} = 5 \implies \frac{2d + 3d}{120} = 5 \implies 5d = 600 \implies d = 120\,\text{km}\)។
រថភ្លើងពីរចេញដំណើរពីស្ថានីយពីរ \(A\) និង \(B\) ក្នុងពេលតែមួយឆ្ពោះមករកគ្នា។ ចម្ងាយរវាង \(A\) និង \(B\) គឺ \(330\,\text{km}\)។ រថភ្លើងទីមួយមានល្បឿន \(50\,\text{km/h}\) ហើយរថភ្លើងទីពីរមានល្បឿន \(60\,\text{km/h}\)។ តើរថភ្លើងទាំងពីរជួបគ្នាក្រោយរយៈពេលប៉ុន្មានម៉ោង?
មើលដំណោះស្រាយ
រថភ្លើងជួបគ្នា ៖ \((50 + 60)t = 330 \implies 110t = 330 \implies t = 3\,\) ម៉ោង ។
អ្នកជិះកង់ម្នាក់ចេញដំណើរពីភូមិ \(A\) ដោយល្បឿន \(15\,\text{km/h}\)។ ក្រោយមក \(2\) ម៉ោង អ្នកជិះម៉ូតូម្នាក់ចេញដំណើរតាមពីក្រោយដោយល្បឿន \(45\,\text{km/h}\)។ តើអ្នកជិះម៉ូតូត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោងទើបតាមទាន់អ្នកជិះកង់?
មើលដំណោះស្រាយ
ម៉ូតូតាមទាន់កង់ ៖ កង់បានចេញមុន \(2\) ម៉ោង ៖ ចម្ងាយនាំមុខ \(15 \times 2 = 30\,\text{km}\)។ ល្បឿនដេញទាន់ \(45 - 15 = 30\,\text{km/h}\)។ រយៈពេល \(t = 30 / 30 = 1\,\) ម៉ោង ។
កាណូតមួយបើកបណ្ដោយទឹកបានចម្ងាយ \(48\,\text{km}\) ក្នុងរយៈពេល \(2\) ម៉ោង ហើយបើកច្រាសទឹកក្នុងចម្ងាយដដែលត្រូវចំណាយពេល \(3\) ម៉ោង។ គណនាល្បឿនកាណូតក្នុងទឹកស្ងប់ និងល្បឿនចរន្តទឹក។
មើលដំណោះស្រាយ
កាណូត ៖ \(v + u = 48/2 = 24\) និង \(v - u = 48/3 = 16\)។ \(2v = 40 \implies v = 20\,\text{km/h}\) (កាណូត) និង \(u = 4\,\text{km/h}\) (ទឹក)។
ពូសុខទិញគោ និងជ្រូកសរុបចំនួន \(25\) ក្បាល។ បើគេរាប់ជើងសត្វទាំងអស់ឃើញមាន \(70\) ជើង។ រកចំនួនគោ និងជ្រូក (ដោះស្រាយតាមសមីការមួយអថេរ)។
មើលដំណោះស្រាយ
គោ និងជ្រូក ៖ តាង \(x\) ជាចំនួនគោ នោះជ្រូកគឺ \(25 - x\) (សត្វទាំងពីរជើង ៤ ដូចគ្នា)។ បើមាន់ និងឆ្កែ ៖ មាន់ជើង ២ ឆ្កែជើង ៤។ \(2x + 4(25-x) = 70 \implies -2x + 100 = 70 \implies 2x = 30 \implies x = 15\) មាន់ និង \(10\) ឆ្កែ។
សិស្សមួយក្រុមរៃអង្គាសប្រាក់ទិញបាល់មួយ។ បើម្នាក់ៗចូលប្រាក់ \(3\,\$\) នោះខ្វះប្រាក់ \(4\,\$\) ប៉ុន្តែបើម្នាក់ៗចូលប្រាក់ \(4\,\$\) នោះលើសប្រាក់ \(3\,\$\)។ រកចំនួនសិស្សក្នុងក្រុម និងតម្លៃបាល់។
មើលដំណោះស្រាយ
សិស្សរៃអង្គាសប្រាក់ ៖ តាង \(n\) ជាចំនួនសិស្ស ៖ \(3n + 4 = 4n - 3 \implies n = 7\) នាក់។ តម្លៃបាល់ \(3(7) + 4 = 25\,\$\)។
កម្មករពីរនាក់ធ្វើការងារមួយជាមួយគ្នាចប់ក្នុងរយៈពេល \(6\) ថ្ងៃ។ បើកម្មករទីមួយធ្វើការតែម្នាក់ឯងត្រូវចំណាយពេល \(10\) ថ្ងៃទើបចប់។ តើកម្មករទីពីរធ្វើការតែម្នាក់ឯងត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ?
មើលដំណោះស្រាយ
កម្មករធ្វើការងារ ៖ \(\frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \implies x = 15\,\) ថ្ងៃ ។
ទុយោទឹកពីរបង្ហូរទឹកចូលអាងមួយ។ បើបើកទុយោទាំងពីរព្រមគ្នា ទឹកពេញអាងក្នុងរយៈពេល \(4\) ម៉ោង។ បើបើកតែទុយោទីមួយ ទឹកពេញអាងក្នុងរយៈពេល \(6\) ម៉ោង។ តើបើកតែទុយោទីពីរត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានម៉ោងទើបពេញអាង?
មើលដំណោះស្រាយ
ទុយោទឹក ៖ \(\frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \implies \frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \implies y = 12\,\) ម៉ោង ។
អ្នកជំនួញម្នាក់បានទិញសៀវភៅមួយចំនួនអស់ប្រាក់ \(120\,\$\)។ បើសៀវភៅមួយក្បាលបញ្ចុះតម្លៃ \(1\,\$\) នោះគាត់អាចទិញបានសៀវភៅបន្ថែម \(4\) ក្បាលទៀតលើប្រាក់ដដែល។ រកចំនួនសៀវភៅដែលគាត់បានទិញ។
មើលដំណោះស្រាយ
ទិញសៀវភៅ ៖ \(\frac{120}{x-1} - \frac{120}{x} = 4 \implies \frac{120}{x(x-1)} = 4 \implies x(x-1) = 30 \implies x = 6\) ក្បាល។
ពូហេងមានប្រាក់សរុប \(8000\,\$\)។ គាត់បានយកប្រាក់មួយផ្នែកទៅដាក់ធនាគារក្នុងអត្រាការប្រាក់ \(5\%\) និងប្រាក់ដែលនៅសល់ដាក់ក្នុងអត្រាការប្រាក់ \(7\%\) ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ក្នុងមួយឆ្នាំគាត់ទទួលបានការប្រាក់សរុប \(460\,\$\)។ រកប្រាក់ដែលគាត់ដាក់ក្នុងអត្រានីមួយៗ។
មើលដំណោះស្រាយ
ការប្រាក់ ៖ \(0.05x + 0.07(8000 - x) = 460 \implies -0.02x + 560 = 460 \implies 0.02x = 100 \implies x = 5000\,\$\) ក្នុងអត្រា \(5\%\) និង \(3000\,\$\) ក្នុងអត្រា \(7\%\)។
ដោះស្រាយ និងពិភាក្សាសមីការតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(m\) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖ \((m-2)x = m+4\)
បើ \(m \ne 2\) ៖ \(x = \frac{m+4}{m-2}\)
បើ \(m = 2\) ៖ \(0x = 6\) (គ្មានឫស)
ដោះស្រាយ និងពិភាក្សាសមីការតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(m\) ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖ \((m-1)(m+1)x = m-1\)
បើ \(m \ne \pm 1\) ៖ \(x = \frac{1}{m+1}\)
បើ \(m = 1\) ៖ \(0x = 0\) (ឫសរាប់មិនអស់)
បើ \(m = -1\) ៖ \(0x = -2\) (គ្មានឫស)
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការស៊ីមេទ្រី ៖ ដក \(1\) ពីប្រភាគនីមួយៗ ៖ \(\frac{x-(a+b+c)}{b+c} + \frac{x-(a+b+c)}{c+a} + \frac{x-(a+b+c)}{a+b} = 0\)
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការបូក \(1\) ៖ បូក \(1\) លើគ្រប់ប្រភាគ ៖ \(\frac{x+100}{99} + \frac{x+100}{98} + \frac{x+100}{97} = \frac{x+100}{96} + \frac{x+100}{95} + \frac{x+100}{94}\) \(\implies (x + 100) \times K = 0 \implies x = -100\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
ផលបូកគូបស្មើ \(3abc\) ៖ \(a^3+b^3+c^3 = 3abc \iff a+b+c = 0\) \((x-1) + (x-2) + (x-3) = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x = 2\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការតម្លៃដាច់ខាត ៖ \(2x - 3 = 7 \implies 2x = 10 \implies x = 5\) \(2x - 3 = -7 \implies 2x = -4 \implies x = -2\) សំណុំចម្លើយ \(S = \{-2, 5\}\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(|x-1| + |x-4| = 3\) ៖ តាមវិសមភាពត្រីកោណ \(|x-1| + |4-x| \ge |(x-1) + (4-x)| = 3\)។ សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ \((x-1)(4-x) \ge 0 \iff 1 \le x \le 4\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការ \(|x+2| = 2x-1\) ៖ លក្ខខណ្ឌ \(2x - 1 \ge 0 \iff x \ge 0.5\)។ \(x + 2 = 2x - 1 \implies x = 3\) (យក) \(x + 2 = -(2x - 1) \implies 3x = -1 \implies x = -1/3\) (មិនយក)។ ចម្លើយគឺ \(x = 3\)។
ដោះស្រាយសមីការ ៖
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការដឺក្រេទី ៤ ៖ តាង \(t = x^2 - 3x + 1\) ៖ \(t^2 - 3t + 2 = 0 \implies t = 1\) ឬ \(t = 2\)។
\(x^2 - 3x + 1 = 1 \implies x(x-3) = 0 \implies x = 0\) ឬ \(x = 3\)
\(x^2 - 3x + 1 = 2 \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)
រកតម្លៃនៃ \(k\) ដើម្បីឱ្យសមីការ \(x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 5 = 0\) មានឫសឌុប។ រកឫសឌុបនោះ។
មើលដំណោះស្រាយ
សមីការមានឫសឌុប ៖ \(\Delta' = (k+1)^2 - (k^2+5) = k^2 + 2k + 1 - k^2 - 5 = 2k - 4\) សមីការមានឫសឌុប \(\iff \Delta' = 0 \iff 2k - 4 = 0 \iff k = 2\)។ ឫសឌុបនោះគឺ \(x_0 = -\frac{b'}{a} = k+1 = 2+1 = 3\)។
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ៤ សមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី