KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ៨
  3. មេរៀនទី ១១
១១
មេរៀនទី ១១ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

ប្រូបាប

ស្ថិតិ-ប្រូបាប៣ ផ្នែកលំហាត់ ៥០សំណួរពហុជ្រើសរើស ៥០▶ ស្លាយបង្រៀន
ប្រវត្តិនៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប និងការគណនាភាពចៃដន្យ

ទ្រឹស្ដី ប្រូបាប (Probability) បានកកើតឡើងចេញពីការចង់យល់ដឹង និងគ្រប់គ្រងភាពមិនច្បាស់លាស់ (Uncertainty) និងល្បែងភ្នាល់ចៃដន្យ ៖

  • ហ្សេរ៉ូឡាម៉ូ កាដាណូ (Girolamo Cardano, 1501–1576) ៖ គណិតវិទូ និងគ្រូពេទ្យជនជាតិអ៊ីតាលី បានសរសេរសៀវភៅ Liber de Ludo Aleae (សៀវភៅស្តីពីល្បែងគ្រាប់ឡុកឡាក់) ដែលជាស្នាដៃដំបូងបង្អស់ក្នុងការគណនាប្រូបាបនៃល្បែងគ្រាប់ឡុកឡាក់តាមរយៈការរាប់ចំនួនករណីអាច។

  • ការឆ្លើយឆ្លងរវាង ប៉ាស្កាល់ និង ហ្វែរម៉ា (1654) ៖ កំណើតពិតប្រាកដនៃទ្រឹស្ដីប្រូបាបទំនើប បានចាប់ផ្តើមនៅពេលដែល Chevalier de Méré (អ្នកលេងល្បែងជនជាតិបារាំង) បានចោទសួរ Blaise Pascal អំពី «បញ្ហាបែងចែកប្រាក់រង្វាន់ (Problem of Points)» នៅពេលល្បែងត្រូវផ្អាកកណ្តាលទី។ Pascal បានសរសេរសំបុត្រពិភាក្សាជាមួយ Pierre de Fermat ហើយអ្នកទាំងពីរបានបង្កើតគ្រឹះនៃទ្រឹស្ដីប្រូបាបគណិតវិទ្យា។

  • គ្រីស្ទៀន ហ៊ុយហ្គេន និង យ៉ាកុប ប៊ែរនូយី ៖ Christiaan Huygens បានបោះពុម្ពសៀវភៅសិក្សាប្រូបាបដំបូងបង្អស់នៅឆ្នាំ ១៦៥៧។ បន្ទាប់មក Jakob Bernoulli បានបង្កើត ច្បាប់នៃចំនួនធំ (Law of Large Numbers) នៅក្នុងសៀវភៅ Ars Conjectandi (១៧១៣)។

  • អង់ដ្រេ កូលម៉ូហ្គោរ៉ូវ (Andrey Kolmogorov, 1903–1987) ៖ គណិតវិទូជនជាតិរុស្ស៊ី បានបង្កើតប្រព័ន្ធស្វ័យស័ត្យ (Axiomatic foundation) នៃប្រូបាបនៅឆ្នាំ ១៩៣៣ ដែលធ្វើឱ្យប្រូបាបក្លាយជាផ្នែកមួយដ៏រឹងមាំ និងមានកិត្យានុភាពនៃគណិតវិទ្យាទំនើប។

សញ្ញាណគ្រឹះនៃប្រូបាប

ការពិសោធន៍ចៃដន្យ និងលំហសំណាក

ការពិសោធន៍ចៃដន្យ និងលំហសំណាក

  • ការពិសោធន៍ចៃដន្យ (Random Experiment) ៖ គឺជាសកម្មភាព ឬការពិសោធន៍ទាំងឡាយណាដែលគេដឹងមុននូវរាល់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់ ប៉ុន្តែមិនអាចដឹងមុនច្បាស់ថាលទ្ធផលណាមួយនឹងកើតឡើងពិតប្រាកដនោះឡើយ (ឧទាហរណ៍ ៖ ការបោះកាក់, ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់, ការចាប់សន្លឹកឆ្នោត...)។

  • លំហសំណាក (Sample Space, តាងដោយ \(S\)) ៖ គឺជាសំណុំនៃរាល់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃការពិសោធន៍ចៃដន្យមួយ។

  • ចំនួនករណីអាច (Total Outcomes) ៖ តាងដោយ \(n(S)\) គឺជាចំនួនធាតុទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងលំហសំណាក \(S\)។

ឧទាហរណ៍

ចូរកំណត់លំហសំណាក \(S\) និងចំនួនករណីអាច \(n(S)\) ចំពោះការពិសោធន៍ខាងក្រោម ៖

  1. បោះកាក់មួយម្តង

  2. បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្តង

  3. បោះកាក់មួយចំនួន ២ ដង

ដំណោះស្រាយ

  1. តាង \(H\) ជាខាងរូប (Head) និង \(T\) ជាខាងលេខ (Tail) ៖ \(S = \{H, T\} \implies n(S) = 2\)។

  2. គ្រាប់ឡុកឡាក់មាន ៦ មុខ ៖ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។

  3. បោះកាក់ ២ ដង ៖ \(S = \{HH, HT, TH, TT\} \implies n(S) = 4\)។

ព្រឹត្តិការណ៍ (Events)

ព្រឹត្តិការណ៍

ព្រឹត្តិការណ៍ (Event, តាងដោយ \(A, B, C, \dots\)) គឺជាសំណុំរងនៃលំហសំណាក (\(A \subseteq S\))។

  • ចំនួនករណីស្រប ៖ តាងដោយ \(n(A)\) គឺជាចំនួនធាតុនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) (លទ្ធផលដែលយើងចង់បាន)។

  • ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន (Impossible Event) ៖ \(A = \emptyset\) (មាន \(n(A) = 0\))។ ឧទាហរណ៍ ៖ បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់បានលេខ ៧។

  • ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ (Certain Event) ៖ \(A = S\) (មាន \(n(A) = n(S)\))។ ឧទាហរណ៍ ៖ បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់បានលេខតូចជាង ៧។

  • ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ (Complementary Event, តាងដោយ \(\bar{A}\) ឬ \(A'\)) ៖ ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែល «មិនមែន \(A\)» (\(A \cup \bar{A} = S\) និង \(A \cap \bar{A} = \emptyset\))។

និយមន័យប្រូបាបក្លាស៊ិក

រូបមន្តគណនាប្រូបាប

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) គឺជាផលធៀបរវាងចំនួនករណីស្រប និងចំនួនករណីអាច ៖

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{ចំនួនករណីស្រប}}{\text{ចំនួនករណីអាច}}\]

លក្ខណៈសំខាន់ៗនៃប្រូបាប

  1. ចំពោះគ្រប់ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ \(0 \le P(A) \le 1\)

  2. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតមាន ៖ \(P(\emptyset) = 0\)

  3. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដ ៖ \(P(S) = 1\)

  4. ផលបូកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ និងព្រឹត្តិការណ៍បំពេញរបស់វា ៖

    \[P(A) + P(\bar{A}) = 1 \iff P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]

  5. ប្រូបាបអាចសរសេរជា ៖ ប្រភាគសម្រួលរួច, ចំនួនទសភាគ, ឬភាគរយ (\(P\% = P \times 100\%\))។

ឧទាហរណ៍

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ដែលល្អស្មើដៃចំនួនមួយដង។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖

  1. \(A\) ៖ «បោះបានលេខសេស»

  2. \(B\) ៖ «បោះបានលេខធំជាង ៤»

  3. \(C\) ៖ «បោះបានចំនួនបឋម»

  4. \(D\) ៖ «បោះបានពហុគុណនៃ ៣»

ដំណោះស្រាយ

លំហសំណាក \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)។

  1. \(A = \{1, 3, 5\} \implies n(A) = 3 \implies P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 50\%\)។

  2. \(B = \{5, 6\} \implies n(B) = 2 \implies P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)។

  3. \(C = \{2, 3, 5\} \implies n(C) = 3 \implies P(C) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) (លេខ ១ មិនមែនបឋមទេ!)។

  4. \(D = \{3, 6\} \implies n(D) = 2 \implies P(D) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)។

ការពិសោធន៍ដែលមានច្រើនដំណាក់កាល (Multiple Trials)

ដ្យាក្រាមដើមឈើ (Tree Diagram)

ដ្យាក្រាមដើមឈើជួយរៀបរាប់គ្រប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់សម្រាប់ការពិសោធន៍ដែលមាន ២ ឬ ៣ ដំណាក់កាល ៖

  • វិធានផលគុណ ៖ បើដំណាក់កាលទីមួយមាន \(m\) លទ្ធផល និងដំណាក់កាលទីពីរមាន \(k\) លទ្ធផល នោះការពិសោធន៍ទាំងមូលមាន \(n(S) = m \times k\) លទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍

គេបោះកាក់មួយចំនួន ៣ ដង។

  1. រកចំនួនករណីអាចសរុប \(n(S)\)

  2. គណនាប្រូបាបដែលបោះបានមុខរូប (H) យ៉ាងតិចពីរដង

ដំណោះស្រាយ

  1. \(n(S) = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\) ករណី ៖

    \[S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}\]

  2. ព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) ៖ «បាន H យ៉ាងតិច ២ ដង» មានន័យថា ២ ដង ឬ ៣ ដង ៖

    \[A = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \implies n(A) = 4\]
    \[P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\%\]

ប្រូបាបគ្រួសារ

គូស្វាមីភរិយាមួយគូចង់បានកូន ៣ នាក់ (សន្មតថាប្រូបាបកើតកូនប្រុស និងកូនស្រីស្មើគ្នាគឺ \(\dfrac{1}{2}\))។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ទទួលបានកូនស្រីទាំងបី

  2. ទទួលបានកូនប្រុសយ៉ាងតិចម្នាក់

លំហាត់អនុវត្តន៍

១លំហាត់ទី ១

កំណត់លំហសំណាក \(S\) និងចំនួនករណីអាច \(n(S)\) នៃការពិសោធន៍ខាងក្រោម ៖

  1. បោះកាក់មួយម្តង

  2. បោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្តង

  3. បង្វិលថាសមួយដែលមាន ៤ ពណ៌ស្មើគ្នា ៖ ក្រហម, ខៀវ, លឿង, បៃតង

  4. ជ្រើសរើសថ្ងៃមួយក្នុងសប្តាហ៍

មើលដំណោះស្រាយ

លំហសំណាក ៖

  • a. \(S = \{H, T\} \implies n(S) = 2\)

  • b. \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6\)

  • c. \(S = \{\) ក្រហម \(, \) ខៀវ \(, \) លឿង \(, \) បៃតង \(\} \implies n(S) = 4\)

  • d. \(S = \{\) ច័ន្ទ \(, \) អង្គារ \(, \dots, \) អាទិត្យ \(\} \implies n(S) = 7\)

២លំហាត់ទី ២

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្តង។ សរសេរព្រឹត្តិការណ៍ជាសំណុំ និងគណនាប្រូបាប ៖

  1. \(A\) ៖ «បោះបានលេខសេស»

  2. \(B\) ៖ «បោះបានលេខចែកដាច់នឹង ៣»

  3. \(C\) ៖ «បោះបានលេខតូចជាង ៥»

  4. \(D\) ៖ «បោះបានពហុគុណនៃ ២»

មើលដំណោះស្រាយ

គ្រាប់ឡុកឡាក់ ៖

  • a. \(A = \{1, 3, 5\} \implies P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

  • b. \(B = \{3, 6\} \implies P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

  • c. \(C = \{1, 2, 3, 4\} \implies P(C) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

  • d. \(D = \{2, 4, 6\} \implies P(D) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

៣លំហាត់ទី ៣

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយម្តង។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖

  1. បោះបានចំនួនបឋម

  2. បោះបានលេខធំជាង ឬស្មើ ៣

  3. បោះបានលេខ ៧

  4. បោះបានលេខវិជ្ជមានតូចជាង ១០

មើលដំណោះស្រាយ

គ្រាប់ឡុកឡាក់ ៖

  • a. ចំនួនបឋម \(\{2, 3, 5\} \implies P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

  • b. ធំជាងឬស្មើ ៣ \(\{3, 4, 5, 6\} \implies P = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

  • c. លេខ ៧ ៖ \(P = \dfrac{0}{6} = 0\)

  • d. តូចជាង ១០ ៖ \(P = \dfrac{6}{6} = 1\)

៤លំហាត់ទី ៤

គេជ្រើសរើសអក្សរមួយដោយចៃដន្យចេញពីពាក្យ «MATHEMATICS»។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. បានអក្សរ M

  2. បានអក្សរ A

  3. បានស្រៈ

  4. បានព្យញ្ជនៈ

មើលដំណោះស្រាយ

«MATHEMATICS» មាន ១១ អក្សរ ៖

  • a. \(P(M) = \dfrac{2}{11}\)

  • b. \(P(A) = \dfrac{2}{11}\)

  • c. ស្រៈ \(\{A, E, A, I\}\) មាន ៤ \(\implies P = \dfrac{4}{11}\)

  • d. ព្យញ្ជនៈ ៖ \(P = 1 - \dfrac{4}{11} = \dfrac{7}{11}\)

៥លំហាត់ទី ៥

គេជ្រើសរើសអក្សរមួយចេញពីពាក្យ «PROBABILITY»។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. បានអក្សរ B

  2. បានអក្សរ I

  3. មិនមែនជាស្រៈ

មើលដំណោះស្រាយ

«PROBABILITY» មាន ១១ អក្សរ ៖

  • a. \(P(B) = \dfrac{2}{11}\)

  • b. \(P(I) = \dfrac{2}{11}\)

  • c. ស្រៈ \(\{O, A, I, I\}\) មាន ៤ \(\implies P(\) មិនមែន \() = \dfrac{7}{11}\)

៦លំហាត់ទី ៦

ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីក្រហម ៥ ឃ្លីស ៣ និងឃ្លីខៀវ ៤។ គេចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ចាប់បានឃ្លីក្រហម

  2. ចាប់បានឃ្លីស

  3. ចាប់បានឃ្លីមិនមែនពណ៌ខៀវ

  4. ចាប់បានឃ្លីពណ៌លឿង

មើលដំណោះស្រាយ

សរុប \(5 + 3 + 4 = 12\) ឃ្លី ៖

  • a. \(P(\) ក្រហម \() = \dfrac{5}{12}\)

  • b. \(P(\) ស \() = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)

  • c. មិនមែនខៀវ ៖ \(\dfrac{5+3}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\)

  • d. លឿង ៖ \(P = 0\)

៧លំហាត់ទី ៧

ក្នុងថង់មួយមានបាល់ ១៥ គ្រាប់ ចុះលេខពី ១ ដល់ ១៥។ ចាប់យកបាល់មួយ។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ចាប់បានលេខគូ

  2. ចាប់បានពហុគុណនៃ ៤

  3. ចាប់បានចំនួនបឋម

  4. ចាប់បានលេខចែកដាច់នឹង ៥

មើលដំណោះស្រាយ

បាល់ ១៥ គ្រាប់ ៖

  • a. លេខគូ \(\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\} \implies P = \dfrac{7}{15}\)

  • b. ពហុគុណ ៤ \(\{4, 8, 12\} \implies P = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\)

  • c. បឋម \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13\} \implies P = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\)

  • d. ចែកដាច់នឹង ៥ \(\{5, 10, 15\} \implies P = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\)

៨លំហាត់ទី ៨

សន្លឹកបៀមួយត្រូវបានដកចេញពីបៀមួយហ៊ូ (៥២ សន្លឹក)។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. បានសន្លឹកស្តេច (King)

  2. បានសន្លឹកប៊ិចខ្មៅ (Spade)

  3. បានសន្លឹកពណ៌ក្រហម

  4. បានសន្លឹកកាតូ (Diamond)

មើលដំណោះស្រាយ

សន្លឹកបៀ ៥២ សន្លឹក ៖

  • a. King មាន ៤ សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)

  • b. Spade មាន ១៣ សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\)

  • c. ក្រហម មាន ២៦ សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\)

  • d. Diamond មាន ១៣ សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{1}{4}\)

៩លំហាត់ទី ៩

តាមទិន្នន័យសន្លឹកបៀ ៥២ សន្លឹក គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. បានសន្លឹកបៀរូបមនុស្ស (Jack, Queen, King)

  2. បានសន្លឹកលេខ ១០ ក្រហម

  3. មិនមែនជាសន្លឹកអាត់ (Ace)

  4. បានសន្លឹកជ្វាខ្មៅ (Club) ឬកាតូក្រហម

មើលដំណោះស្រាយ

សន្លឹកបៀ ៥២ សន្លឹក ៖

  • a. រូបមនុស្សមាន \(3 \times 4 = 12\) \(\implies P = \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}\)

  • b. លេខ ១០ ក្រហមមាន ២ \(\implies P = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26}\)

  • c. មិនមែន Ace ៖ \(1 - \dfrac{4}{52} = \dfrac{48}{52} = \dfrac{12}{13}\)

  • d. Club ឬ Diamond ៖ \(\dfrac{13+13}{52} = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\)

១០លំហាត់ទី ១០

គេបោះកាក់មួយចំនួន ២ ដង។

  1. សរសេរលំហសំណាក \(S\)

  2. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងរូប (H) ទាំងពីរដង

  3. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងរូបយ៉ាងតិចមួយដង

  4. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងលេខ (T) តែមួយដងគត់

មើលដំណោះស្រាយ

បោះកាក់ ២ ដង ៖

  • a. \(S = \{HH, HT, TH, TT\}\) (\(n(S) = 4\))

  • b. \(P(HH) = \dfrac{1}{4}\)

  • c. យ៉ាងតិចមួយ H ៖ \(\{HH, HT, TH\} \implies P = \dfrac{3}{4}\)

  • d. T មួយដង ៖ \(\{HT, TH\} \implies P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)

១១លំហាត់ទី ១១

គេបោះកាក់មួយចំនួន ៣ ដង។

  1. សរសេរដ្យាក្រាមដើមឈើ និងលំហសំណាក \(S\)

  2. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងរូប ៣ ដង

  3. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងរូប ២ ដង និងខាងលេខ ១ ដង

  4. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងលេខយ៉ាងតិច ២ ដង

មើលដំណោះស្រាយ

បោះកាក់ ៣ ដង (\(n(S) = 8\)) ៖

  • a. \(S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}\)

  • b. \(P(HHH) = \dfrac{1}{8}\)

  • c. 2H, 1T ៖ \(\{HHT, HTH, THH\} \implies P = \dfrac{3}{8}\)

  • d. យ៉ាងតិច 2T ៖ \(\{HTT, THT, TTH, TTT\} \implies P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)

១២លំហាត់ទី ១២

គ្រួសារមួយមានកូន ៣ នាក់។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. កូនទាំងបីជាកូនប្រុស

  2. មានកូនស្រី ២ នាក់ និងកូនប្រុស ១ នាក់

  3. កូនបងបង្អស់ជាកូនស្រី

  4. មានកូនប្រុសយ៉ាងតិចម្នាក់

មើលដំណោះស្រាយ

កូន ៣ នាក់ (\(n(S) = 8\)) ៖

  • a. \(P(BBB) = \dfrac{1}{8}\)

  • b. 2G, 1B ៖ \(\{GGB, GBG, BGG\} \implies P = \dfrac{3}{8}\)

  • c. បងស្រី \(\{GGG, GGB, GBG, GBB\} \implies P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)

  • d. យ៉ាងតិចកូនប្រុសមួយ ៖ \(1 - P(GGG) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\)

១៣លំហាត់ទី ១៣

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់ព្រមគ្នា។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ផលបូកលេខទាំងពីរស្មើ \(8\)

  2. ផលបូកលេខទាំងពីរស្មើ \(10\)

  3. ផលបូកលេខទាំងពីរតូចជាង ៥

  4. ផលបូកលេខទាំងពីរធំជាង ៩

មើលដំណោះស្រាយ

ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់ (\(n(S) = 36\)) ៖

  • a. ផលបូក ៨ ៖ \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \implies \dfrac{5}{36}\)

  • b. ផលបូក ១០ ៖ \((4,6),(5,5),(6,4) \implies \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}\)

  • c. តូចជាង ៥ (ផលបូក ២, ៣, ៤) ៖ ៦ ករណី \(\implies \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)

  • d. ធំជាង ៩ (ផលបូក ១០, ១១, ១២) ៖ ៦ ករណី \(\implies \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)

១៤លំហាត់ទី ១៤

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. គ្រាប់ទាំងពីរចេញលេខដូចគ្នា

  2. គ្រាប់ទីមួយចេញលេខធំជាងគ្រាប់ទីពីរ

  3. ផលគុណលេខទាំងពីរស្មើ \(12\)

  4. ផលគុណលេខទាំងពីរជាចំនួនសេស

មើលដំណោះស្រាយ

ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់ ៖

  • a. លេខដូចគ្នា ៖ \(6\) ករណី \(\implies \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)

  • b. គ្រាប់ទី១ ធំជាងទី២ ៖ \(\dfrac{36-6}{2} = 15\) ករណី \(\implies \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\)

  • c. ផលគុណ ១២ ៖ \((2,6),(3,4),(4,3),(6,2) \implies \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\)

  • d. ផលគុណសេស (ទាំងពីរសេស) ៖ \(3 \times 3 = 9\) ករណី \(\implies \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\)

១៥លំហាត់ទី ១៥

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស ៣៥ នាក់ ក្នុងនោះស្រី ២០ នាក់ និងប្រុស ១៥ នាក់។ គេជ្រើសរើសសិស្ស ២ នាក់ជាតំណាងថ្នាក់ដោយចៃដន្យ។

  1. គណនាប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានសិស្សស្រីទាំងពីរ

  2. គណនាប្រូបាបដែលជ្រើសរើសបានប្រុសម្នាក់ និងស្រីម្នាក់

មើលដំណោះស្រាយ

សិស្ស ៣៥ នាក់ ៖

  • a. ស្រីទាំងពីរ ៖ \(\dfrac{20}{35} \times \dfrac{19}{34} = \dfrac{380}{1190} = \dfrac{38}{119}\)

  • b. ប្រុសម្នាក់ ស្រីម្នាក់ ៖ \(2 \times \dfrac{15}{35} \times \dfrac{20}{34} = \dfrac{600}{1190} = \dfrac{60}{119}\)

១៦លំហាត់ទី ១៦

ក្នុងប្រអប់មួយមានអំពូលភ្លើង ២០ គ្រាប់ ក្នុងនោះមាន ៤ គ្រាប់ខូច។ គេយកអំពូល ២ គ្រាប់ចេញមកប្រើព្រមគ្នា។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. អំពូលទាំងពីរជាអំពូលល្អ

  2. អំពូលទាំងពីរជាអំពូលខូច

  3. មានអំពូលល្អយ៉ាងតិចមួយគ្រាប់

មើលដំណោះស្រាយ

អំពូល ២០ (ល្អ ១៦, ខូច ៤) ៖

  • a. ល្អទាំងពីរ ៖ \(\dfrac{16}{20} \times \dfrac{15}{19} = \dfrac{240}{380} = \dfrac{12}{19}\)

  • b. ខូចទាំងពីរ ៖ \(\dfrac{4}{20} \times \dfrac{3}{19} = \dfrac{12}{380} = \dfrac{3}{95}\)

  • c. ល្អយ៉ាងតិចមួយ ៖ \(1 - \dfrac{3}{95} = \dfrac{92}{95}\)

១៧លំហាត់ទី ១៧

គេមានប័ណ្ណ ១០ សន្លឹក ចុះលេខពី ១ ដល់ ១០។ គេចាប់យកប័ណ្ណ ២ សន្លឹកព្រមគ្នា។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ប័ណ្ណទាំងពីរមានលេខសេស

  2. ផលបូកលេខទាំងពីរជាចំនួនសេស

មើលដំណោះស្រាយ

ប័ណ្ណ ១០ សន្លឹក (សេស ៥, គូ ៥) ៖

  • a. សេសទាំងពីរ ៖ \(\dfrac{5}{10} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}\)

  • b. ផលបូកសេស (១ គូ, ១ សេស) ៖ \(2 \times \dfrac{5}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{50}{90} = \dfrac{5}{9}\)

១៨លំហាត់ទី ១៨

ក្នុងការចាប់ឆ្នោតមួយ មានសន្លឹកឆ្នោតសរុប ៥០០ សន្លឹក ក្នុងនោះមានរង្វាន់ធំ ១ រង្វាន់ទីពីរ ៥ និងរង្វាន់លើកទឹកចិត្ត ២០។ តារាទិញឆ្នោតមួយសន្លឹក។ គណនាប្រូបាបដែលតារា ៖

  1. ត្រូវរង្វាន់ធំ

  2. ត្រូវរង្វាន់ណាមួយ

  3. មិនត្រូវរង្វាន់សោះ

មើលដំណោះស្រាយ

ឆ្នោត ៥០០ សន្លឹក (រង្វាន់ \(1+5+20 = 26\)) ៖

  • a. រង្វាន់ធំ ៖ \(P = \dfrac{1}{500} = 0.002\)

  • b. ត្រូវរង្វាន់ ៖ \(P = \dfrac{26}{500} = \dfrac{13}{250} = 0.052\)

  • c. មិនត្រូវរង្វាន់ ៖ \(1 - 0.052 = 0.948\)

១៩លំហាត់ទី ១៩

បង្វិលកង់សំណាងមួយដែលចែកជា ១២ ផ្នែកស្មើៗគ្នា ចុះលេខពី ១ ដល់ ១២។ គណនាប្រូបាបដែលព្រួញចង្អុលចំ ៖

  1. លេខពហុគុណនៃ ៣

  2. លេខតួចែកនៃ ១២

  3. ចំនួនបឋម

  4. លេខធំជាង ៨

មើលដំណោះស្រាយ

កង់ ១២ ផ្នែក ៖

  • a. ពហុគុណនៃ ៣ ៖ \(\{3, 6, 9, 12\} \implies P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)

  • b. តួចែកនៃ ១២ ៖ \(\{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \implies P = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)

  • c. ចំនួនបឋម ៖ \(\{2, 3, 5, 7, 11\} \implies P = \dfrac{5}{12}\)

  • d. ធំជាង ៨ ៖ \(\{9, 10, 11, 12\} \implies P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)

២០លំហាត់ទី ២០

គេបោះកាក់មួយ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយព្រមគ្នា។

  1. សរសេរលំហសំណាក \(S\)

  2. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងរូប និងលេខសេស

  3. គណនាប្រូបាបដែលបានខាងលេខ និងលេខធំជាង ៤

មើលដំណោះស្រាយ

កាក់ និងឡុកឡាក់ (\(n(S) = 12\)) ៖

  • a. \(S = \{(H,1), \dots, (H,6), (T,1), \dots, (T,6)\}\)

  • b. H និងសេស ៖ \(\{(H,1), (H,3), (H,5)\} \implies P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)

  • c. T និង \(> 4\) ៖ \(\{(T,5), (T,6)\} \implies P = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\)

២១លំហាត់ទី ២១

ក្នុងប្រអប់មួយមានស្ករគ្រាប់រសជាតិស្ត្រប៊ឺរី ៨ គ្រាប់ រសជាតិក្រូច ៦ គ្រាប់ និងរសជាតិជីអង្កាម ១០ គ្រាប់។ ក្មេងម្នាក់ចាប់យកស្ករមួយគ្រាប់។ គណនាប្រូបាបដែលបាន ៖

  1. រសជាតិស្ត្រប៊ឺរី

  2. រសជាតិក្រូច ឬជីអង្កាម

  3. មិនមែនរសជាតិជីអង្កាម

មើលដំណោះស្រាយ

ស្ករសរុប \(8 + 6 + 10 = 24\) គ្រាប់ ៖

  • a. ស្ត្រប៊ឺរី ៖ \(P = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\)

  • b. ក្រូច ឬជីអង្កាម ៖ \(\dfrac{6+10}{24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}\)

  • c. មិនមែនជីអង្កាម ៖ \(1 - \dfrac{10}{24} = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12}\)

២២លំហាត់ទី ២២

បើគេដឹងថាប្រូបាបដែលក្រុមបាល់ទាត់មួយឈ្នះការប្រកួតគឺ \(0.6\) និងប្រូបាបស្មើគឺ \(0.25\)។ គណនាប្រូបាបដែលក្រុមនោះចាញ់ការប្រកួត។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P(\) ចាញ់ \() = 1 - (P(\) ឈ្នះ \() + P(\) ស្មើ \()) = 1 - (0.6 + 0.25) = 1 - 0.85 = 0.15\)។

២៣លំហាត់ទី ២៣

គេសរសេរអក្សរនៃពាក្យ «ANGKOR» លើក្រដាសតូចៗចំនួន ៦ សន្លឹក រួចដាក់ក្នុងប្រអប់។ ចាប់យកក្រដាសមួយសន្លឹក។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. ចាប់បានអក្សរ R

  2. ចាប់បានស្រៈ

  3. ចាប់បានអក្សរមុនអក្សរ M ក្នុងតារាងអក្ខរក្រមឡាតាំង

មើលដំណោះស្រាយ

«ANGKOR» មាន ៦ អក្សរ ៖

  • a. \(P(R) = \dfrac{1}{6}\)

  • b. ស្រៈ \(\{A, O\} \implies P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

  • c. មុន M \(\{A, G, K\} \implies P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

២៤លំហាត់ទី ២៤

ក្នុងកន្ត្រកមួយមានពងមាន់ ២៤ គ្រាប់ ក្នុងនោះមាន ៣ គ្រាប់ស្អុយ។ គេយកពងមាន់មួយគ្រាប់មកចៀន។ គណនាប្រូបាបដែលបានពងមាន់ល្អ។

មើលដំណោះស្រាយ

ពងល្អមាន \(24 - 3 = 21\) គ្រាប់ ៖
\(P(\) ល្អ \() = \dfrac{21}{24} = \dfrac{7}{8}\)។

២៥លំហាត់ទី ២៥

គេបោះកាក់មួយ ៤ ដង។ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. បោះបានខាងរូបទាំង ៤ ដង

  2. បោះបានខាងរូប ២ ដង និងខាងលេខ ២ ដង

  3. បោះបានខាងលេខយ៉ាងតិច ៣ ដង

មើលដំណោះស្រាយ

បោះកាក់ ៤ ដង (\(n(S) = 16\)) ៖

  • a. 4H ៖ \(P = \dfrac{1}{16}\)

  • b. 2H, 2T ៖ \(\binom{4}{2} = 6\) ករណី \(\implies P = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\)

  • c. យ៉ាងតិច 3T ៖ \(\binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 4 + 1 = 5 \implies P = \dfrac{5}{16}\)

២៦លំហាត់ទី ២៦

រកប្រូបាបដែលខែដែលជ្រើសរើសដោយចៃដន្យក្នុងមួយឆ្នាំ ៖

  1. មាន ៣១ ថ្ងៃ

  2. ចាប់ផ្តើមដោយអក្សរ J (January, June, July)

មើលដំណោះស្រាយ

ខែក្នុងមួយឆ្នាំ (១២ ខែ) ៖

  • a. ៣១ ថ្ងៃ (៧ ខែ) ៖ \(P = \dfrac{7}{12}\)

  • b. ចាប់ផ្តើមដោយ J (៣ ខែ) ៖ \(P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)

២៧លំហាត់ទី ២៧

គេជ្រើសរើសចំនួនគត់មួយពីចន្លោះ \([10, 99]\) (ចំនួនមានពីរខ្ទង់)។ គណនាប្រូបាបដែលចំនួននោះ ៖

  1. ជាពហុគុណនៃ ១០

  2. មានលេខខ្ទង់ទាំងពីរដូចគ្នា

  3. ជាការេប្រាកដ

មើលដំណោះស្រាយ

ចំនួនមានពីរខ្ទង់ពី ១០ ដល់ ៩៩ មាន \(90\) ចំនួន ៖

  • a. ពហុគុណ ១០ (៩ ចំនួន) ៖ \(P = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}\)

  • b. លេខដូចគ្នា (៩ ចំនួន ៖ \(11, \dots, 99\)) ៖ \(P = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}\)

  • c. ការេប្រាកដ (\(16, 25, 36, 49, 64, 81\)) មាន ៦ ៖ \(P = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)

២៨លំហាត់ទី ២៨

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស ៤០ នាក់។ ក្នុងនោះ ២៥ នាក់ចូលចិត្តលេងបាល់ទាត់ ១៨ នាក់ចូលចិត្តលេងបាល់ទះ និង ៨ នាក់ចូលចិត្តលេងកីឡាទាំងពីរ។ គេជ្រើសរើសសិស្សម្នាក់ដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបដែលសិស្សនោះ ៖

  1. ចូលចិត្តលេងកីឡាយ៉ាងតិចមួយប្រភេទ

  2. មិនចូលចិត្តលេងកីឡាទាំងពីរប្រភេទ

មើលដំណោះស្រាយ

\(n(F \cup V) = n(F) + n(V) - n(F \cap V) = 25 + 18 - 8 = 35\) នាក់ ៖

  • a. យ៉ាងតិចមួយ ៖ \(P = \dfrac{35}{40} = \dfrac{7}{8}\)

  • b. មិនចូលចិត្តទាំងពីរ ៖ \(1 - \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{8}\)

២៩លំហាត់ទី ២៩

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់។ គណនាប្រូបាបដែលផលបូកលេខទាំងពីរចែកដាច់នឹង ៤។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកចែកដាច់នឹង ៤ (ផលបូក ៤, ៨, ១២) ៖
ផលបូក ៤ ៖ ៣ ករណី ; ៨ ៖ ៥ ករណី ; ១២ ៖ ១ ករណី \(\implies 9\) ករណី។
\(P = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\)។

៣០លំហាត់ទី ៣០

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់។ គណនាប្រូបាបដែលផលបូកលេខទាំងពីរជាចំនួនបឋម។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូកជាចំនួនបឋម (២, ៣, ៥, ៧, ១១) ៖
ករណី ៖ \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\) ករណី។
\(P = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\)។

៣១លំហាត់ទី ៣១

គេមានប័ណ្ណ ៥ សន្លឹក ចុះលេខ \(1, 2, 3, 4, 5\)។ គេដកប័ណ្ណ ២ សន្លឹកជាបន្តបន្ទាប់ដោយមិនដាក់ចូលវិញ។ គណនាប្រូបាបដែលប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនគូ។

មើលដំណោះស្រាយ

គ្មានដាក់ចូលវិញ ៖ \(P = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\)។

៣២លំហាត់ទី ៣២

តាមលំហាត់ទី ៣១ ប្រសិនបើដកដោយមានដាក់ចូលវិញ គណនាប្រូបាបដែលប័ណ្ណទាំងពីរជាចំនួនគូ។

មើលដំណោះស្រាយ

មានដាក់ចូលវិញ ៖ \(P = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}\)។

៣៣លំហាត់ទី ៣៣

ក្នុងប្រអប់មួយមានស្រោមសំបុត្រពណ៌ស ៧ និងពណ៌ខៀវ \(x\)។ បើគេដឹងថាប្រូបាបដែលចាប់បានស្រោមសំបុត្រពណ៌ខៀវគឺ \(\dfrac{3}{10}\) ចូររកចំនួន \(x\)។

មើលដំណោះស្រាយ

\(\dfrac{x}{7 + x} = \dfrac{3}{10} \implies 10x = 21 + 3x \implies 7x = 21 \implies x = 3\)។

៣៤លំហាត់ទី ៣៤

គណនាប្រូបាបដែលឆ្នាំមួយដែលជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ គឺជាឆ្នាំបង្គ្រប់ (Leap year) ក្នុងចំណោមឆ្នាំពី ២០០១ ដល់ ២០២០។

មើលដំណោះស្រាយ

ពី ២០០១ ដល់ ២០២០ មាន ២០ ឆ្នាំ។ ឆ្នាំបង្គ្រប់ (ចែកដាច់នឹង ៤) គឺ ២០០៤, ២០០៨, ២០១២, ២០១៦, ២០២០ (៥ ឆ្នាំ) ៖
\(P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\)។

៣៥លំហាត់ទី ៣៥

គេបោះកាក់មួយរហូតដល់ចេញខាងរូប (H) ឬបោះគ្រប់ ៣ ដងទើបឈប់។ សរសេរលំហសំណាកនៃល្បែងនេះ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(S = \{H, TH, TTH, TTT\}\) (\(n(S) = 4\))។

៣៦លំហាត់ទី ៣៦

គេមានឃ្លី ៣ ពណ៌ ៖ ក្រហម ខៀវ និងលឿង។ គេដកឃ្លីមួយរួចកត់ត្រាពណ៌ ហើយដកឃ្លីមួយទៀត (ដោយដាក់ចូលវិញ)។ គណនាប្រូបាបដែលបានពណ៌ខុសគ្នាទាំងពីរដង។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P(\) ពណ៌ដូចគ្នា \() = 3 \times \left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}\)។
\(P(\) ពណ៌ខុសគ្នា \() = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)។

៣៧លំហាត់ទី ៣៧

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយ សិស្ស ៧០% ឆ្លងកាត់ការប្រឡងភាសាអង់គ្លេស និង ៦០% ឆ្លងកាត់ការប្រឡងកុំព្យូទ័រ។ បើ ៥០% ឆ្លងកាត់មុខវិជ្ជាទាំងពីរ រកប្រូបាបដែលសិស្សម្នាក់ជ្រើសរើសដោយចៃដន្យធ្លាក់ទាំងពីរមុខ។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P(E \cup C) = 0.70 + 0.60 - 0.50 = 0.80\)។
\(P(\) ធ្លាក់ទាំងពីរ \() = 1 - 0.80 = 0.20 = 20\%\)។

៣៨លំហាត់ទី ៣៨

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ៣ គ្រាប់ព្រមគ្នា។

  1. រកចំនួនករណីអាចសរុប

  2. គណនាប្រូបាបដែលគ្រាប់ទាំងបីចេញលេខដូចគ្នាទាំងអស់

មើលដំណោះស្រាយ

ឡុកឡាក់ ៣ គ្រាប់ ៖

  • a. \(n(S) = 6^3 = 216\)

  • b. ដូចគ្នាទាំង ៣ ៖ \((1,1,1), \dots, (6,6,6)\) (៦ ករណី) \(\implies P = \dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{36}\)

៣៩លំហាត់ទី ៣៩

តាមលំហាត់ទី ៣៨ គណនាប្រូបាបដែលផលបូកនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងបីស្មើនឹង ៤។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ៤ ៖ \((1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)\) (៣ ករណី) ៖
\(P = \dfrac{3}{216} = \dfrac{1}{72}\)។

៤០លំហាត់ទី ៤០

តាមលំហាត់ទី ៣៨ គណនាប្រូបាបដែលផលបូកនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងបីស្មើនឹង ១៨។

មើលដំណោះស្រាយ

ផលបូក ១៨ ៖ \((6,6,6)\) (១ ករណី) ៖
\(P = \dfrac{1}{216}\)។

៤១លំហាត់ទី ៤១

គេជ្រើសរើសចំនួនគត់មួយពីចន្លោះ \([1, 100]\)។ គណនាប្រូបាបដែលចំនួននោះចែកដាច់នឹង ៣ ឬចែកដាច់នឹង ៥។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកដាច់នឹង ៣ (៣៣ ចំនួន), នឹង ៥ (២០ ចំនួន), នឹង ១៥ (៦ ចំនួន) ៖
\(N = 33 + 20 - 6 = 47 \implies P = \dfrac{47}{100}\)។

៤២លំហាត់ទី ៤២

គេជ្រើសរើសចំនួនគត់មួយពីចន្លោះ \([1, 100]\)។ គណនាប្រូបាបដែលចំនួននោះចែកដាច់នឹងទាំង ៣ និង ៥ (ចែកដាច់នឹង ១៥)។

មើលដំណោះស្រាយ

ចែកដាច់នឹង ១៥ មាន ៦ ចំនួន \(\implies P = \dfrac{6}{100} = \dfrac{3}{50}\)។

៤៣លំហាត់ទី ៤៣

ក្នុងរោងចក្រមួយ ផលិតផលត្រូវបានពិនិត្យគុណភាព។ ក្នុងចំណោម ១០០០ ផលិតផល មាន ២០ ផលិតផលមានបញ្ហាបច្ចេកទេស។ គណនាប្រូបាបដែលអតិថិជនម្នាក់ទិញចំផលិតផលគ្មានបញ្ហា។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P = \dfrac{1000 - 20}{1000} = \dfrac{980}{1000} = 0.98 = 98\%\)។

៤៤លំហាត់ទី ៤៤

អ្នកបាញ់កាំភ្លើងម្នាក់បាញ់ចំគោលដៅដោយប្រូបាប \(0.8\)។ បើគាត់បាញ់ ២ គ្រាប់ដោយឯករាជ្យ គណនាប្រូបាបដែល ៖

  1. គាត់បាញ់ចំគោលដៅទាំង ២ គ្រាប់

  2. គាត់បាញ់ខុសទាំង ២ គ្រាប់

  3. គាត់បាញ់ចំគោលដៅយ៉ាងតិច ១ គ្រាប់

មើលដំណោះស្រាយ

បាញ់កាំភ្លើង ៖

  • a. ចំទាំងពីរ ៖ \(0.8 \times 0.8 = 0.64\)

  • b. ខុសទាំងពីរ ៖ \(0.2 \times 0.2 = 0.04\)

  • c. ចំយ៉ាងតិចមួយ ៖ \(1 - 0.04 = 0.96\)

៤៥លំហាត់ទី ៤៥

ប្រព័ន្ធសុវត្ថិភាពមួយមានសោរលេខកូដសម្ងាត់ ៣ ខ្ទង់ (ពី 0 ដល់ 9)។ គណនាប្រូបាបដែលជនខិលខូចម្នាក់ទាយត្រូវលេខកូដសម្ងាត់ក្នុងការសាកល្បងលើកដំបូង។

មើលដំណោះស្រាយ

កូដ ៣ ខ្ទង់មាន \(10^3 = 1000\) ករណី ៖
\(P = \dfrac{1}{1000} = 0.001\)។

៤៦លំហាត់ទី ៤៦

ក្នុងប្រអប់មួយមានស្រោមជើងពណ៌ខ្មៅ ៤ គូ និងពណ៌ស ៦ គូដែលច្របល់ចូលគ្នា។ គេចាប់យកស្រោមជើង ២ មួយចំហៀងៗដោយចៃដន្យក្នុងទីងងឹត។ គណនាប្រូបាបដែលចាប់បានស្រោមជើងពណ៌ដូចគ្នា។

មើលដំណោះស្រាយ

ស្រោមជើងសរុប ២០ (ខ្មៅ ៨, ស ១២) ៖
\(P(\) ដូចគ្នា \() = \dfrac{8}{20}\times\dfrac{7}{19} + \dfrac{12}{20}\times\dfrac{11}{19} = \dfrac{56 + 132}{380} = \dfrac{188}{380} = \dfrac{47}{95}\)។

៤៧លំហាត់ទី ៤៧

គេមានសិស្ស ៣ នាក់។ គណនាប្រូបាបដែលសិស្សទាំង ៣ នាក់កើតក្នុងថ្ងៃខុសៗគ្នាក្នុងសប្តាហ៍។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P = \dfrac{7}{7} \times \dfrac{6}{7} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{30}{49}\)។

៤៨លំហាត់ទី ៤៨

គណនាប្រូបាបដែលសិស្សយ៉ាងតិច ២ នាក់ក្នុងចំណោម ៣ នាក់កើតក្នុងថ្ងៃតែមួយនៃសប្តាហ៍។

មើលដំណោះស្រាយ

\(P = 1 - \dfrac{30}{49} = \dfrac{19}{49}\)។

៤៩លំហាត់ទី ៤៩

បង្ហាញថា បើ \(A\) និង \(B\) ជាពីរព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា (\(A \cap B = \emptyset\)) នោះ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ដោយ \(A \cap B = \emptyset\) នោះ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B)\)។
ចែកនឹង \(n(S)\) ៖ \(\dfrac{n(A \cup B)}{n(S)} = \dfrac{n(A)}{n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (ពិត)។

៥០លំហាត់ទី ៥០

បង្ហាញថា ចំពោះពីរព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) ណាមួយ គេតែងតែបានរូបមន្តបូកប្រូបាប ៖

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

មើលដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីសំណុំ ៖ \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)។
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង \(n(S)\) គេបាន ៖
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) (ពិត)។

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១១ ប្រូបាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត