ការសិក្សាអំពី ភាពប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណ (Congruence of Triangles) មានដើមកំណើតតាំងពីសម័យបុរាណកាល ៖
ថាលេស នៃមីឡេ (Thales of Miletus, c. 624–546 មុន គ.ស.) ៖ ត្រូវបានចាត់ទុកជាបិតានៃធរណីមាត្រដកស្រង់ហេតុផល (Deductive Geometry)។ លោកគឺជាបុគ្គលដំបូងគេដែលបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្ដីត្រីកោណប៉ុនគ្នា (ជាពិសេសករណី មុំ-ជ្រុង-មុំ) ដើម្បីគណនាចម្ងាយពីច្រាំងសមុទ្រទៅកាន់កប៉ាល់ដែលកំពុងបើកបរកណ្តាលសមុទ្រ និងវាស់កម្ពស់ពីរ៉ាមីតតាមរយៈប្រវែងស្រមោល។
អឺគ្លីដ (Euclid of Alexandria, c. 300 មុន គ.ស.) ៖ នៅក្នុងគម្ពីរ The Elements (ធាតុ) ដ៏ល្បីល្បាញ ក្បួនខ្នាតនៃត្រីកោណប៉ុនគ្នាត្រូវបានចងក្រងយ៉ាងម៉ត់ចត់ជាទ្រឹស្ដីបទមូលដ្ឋាន (សៀវភៅទី ១ ទ្រឹស្ដីបទ ៤, ៨ និង ២៦ សម្រាប់ករណី ជ.ម.ជ, ជ.ជ.ជ និង ម.ជ.ម)។
សារៈសំខាន់ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ៖ ភាពប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណ គឺជាគ្រឹះស្នូលក្នុងការស្ថាបនាស្ពាន អាគារ ការវាស់វែងដីធ្លី (Triangulation Surveying) និងការរចនាក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រទំនើប។
សញ្ញាណត្រីកោណប៉ុនគ្នា
និយមន័យត្រីកោណប៉ុនគ្នា
ត្រីកោណពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា លុះត្រាតែធាតុត្រូវគ្នា (ជ្រុងត្រូវគ្នា និងមុំត្រូវគ្នា) ទាំងអស់ជាធាតុប៉ុនគ្នា។
បើ \(\Delta ABC\) និង \(\Delta A'B'C'\) ប៉ុនគ្នា គេសរសេរ ៖
នៅពេលសរសេរសញ្ញាភាពប៉ុនគ្នា \(\cong\) យើងត្រូវតម្រៀបឈ្មោះកំពូលឱ្យត្រូវគ្នាតាមលំដាប់ ៖ បើកំពូល \(A\) ត្រូវនឹង \(A'\), \(B\) ត្រូវនឹង \(B'\), \(C\) ត្រូវនឹង \(C'\) នោះត្រូវសរសេរ \(\Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\)។ ការសរសេរខុសលំដាប់ដូចជា \(\Delta ABC \cong \Delta B'A'C'\) អាចនាំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំក្នុងការទាញវិបាក។
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) ដោយដឹងថា \(AB = 6\text{ cm}\), \(BC = 8\text{ cm}\), \(\angle A = 70^\circ\), \(\angle B = 50^\circ\)។ គណនាប្រវែងជ្រុង \(DE, EF\) និងរង្វាស់មុំ \(\angle D, \angle E, \angle F\)។
ដោយសារ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) តាមនិយមន័យធាតុត្រូវគ្នា ៖
\(DE = AB = 6\text{ cm}\) និង \(EF = BC = 8\text{ cm}\)
\(\angle D = \angle A = 70^\circ\) និង \(\angle E = \angle B = 50^\circ\)
ក្នុង \(\Delta DEF\) ផលបូកមុំក្នុងគឺ \(180^\circ\) ៖
\[\angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ\]
គេឱ្យ \(\Delta MNP \cong \Delta XYZ\) ដែល \(MN = 5\text{ cm}, NP = 7\text{ cm}, XZ = 9\text{ cm}\) និង \(\angle Y = 65^\circ, \angle Z = 45^\circ\)។ គណនា \(XY, YZ, MP\) និង \(\angle M\)។
3
ករណីប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណទូទៅ
ដើម្បីបញ្ជាក់ថាត្រីកោណពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា គេមិនចាំបាច់ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ធាតុទាំង ៦ នោះទេ គឺគ្រាន់តែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោម ៣ ករណីខាងក្រោម ៖
ករណីទី ១ ៖ ជ្រុង-មុំ-ជ្រុង (ជ.ម.ជ ឬ SAS)
បើត្រីកោណពីរមានជ្រុងពីរ និងមុំមួយដែលនៅចន្លោះជ្រុងទាំងពីរនោះ ប៉ុនរៀងគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
ករណីទី ២ ៖ មុំ-ជ្រុង-មុំ (ម.ជ.ម ឬ ASA)
បើត្រីកោណពីរមានជ្រុងមួយ និងមុំពីរជាប់នឹងជ្រុងនោះ ប៉ុនរៀងគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
ករណីទី ៣ ៖ ជ្រុង-ជ្រុង-ជ្រុង (ជ.ជ.ជ ឬ SSS)
បើត្រីកោណពីរមានជ្រុងទាំងបីប៉ុនរៀងគ្នា នោះត្រីកោណទាំងពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
គេឱ្យអង្កត់ពីរ \(AB\) និង \(CD\) ប្រសព្វគ្នាកាត់តាមចំណុចកណ្តាល \(O\) រៀងគ្នា (\(OA = OB\) និង \(OC = OD\))។ បង្ហាញថា \(\Delta OAC \cong \Delta OBD\) រួចទាញបញ្ជាក់ថា \(AC = BD\) និង \(AC \parallel BD\)។
ពិនិត្យត្រីកោណទាំងពីរ \(\Delta OAC\) និង \(\Delta OBD\) ៖
\(OA = OB\) (តាមសម្មតិកម្ម \(O\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AB\))
\(\angle AOC = \angle BOD\) (មុំទល់កំពូល)
\(OC = OD\) (តាមសម្មតិកម្ម \(O\) ជាចំណុចកណ្តាល \(CD\))
ដូចនេះ \(\Delta OAC \cong \Delta OBD\) តាមករណី ជ្រុង-មុំ-ជ្រុង (ជ.ម.ជ)។
វិបាក ៖
\(AC = BD\) (ជ្រុងត្រូវគ្នានៃត្រីកោណប៉ុនគ្នា)
\(\angle OCA = \angle ODB\) (មុំត្រូវគ្នានៃត្រីកោណប៉ុនគ្នា)។ ដោយមុំទាំងពីរនេះជាមុំឆ្លាស់ក្នុងគ្នា នាំឱ្យ \(AC \parallel BD\)។
ករណីប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណកែង
ដោយសារត្រីកោណកែងមានមុំកែង (\(90^\circ\)) មួយស្រាប់ ករណីប៉ុនគ្នារបស់វាត្រូវបានសម្រួលជាពិសេស ៖
បើត្រីកោណកែងពីរមានអុីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នា និងមុំស្រួចមួយប៉ុនគ្នា នោះត្រីកោណកែងទាំងពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
បើត្រីកោណកែងពីរមានអុីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នា និងជ្រុងជាប់មុំកែងមួយប៉ុនគ្នា នោះត្រីកោណកែងទាំងពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
គេឱ្យ \(M\) ជាចំណុចមួយនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(xOy\)។ តាម \(M\) គូសបន្ទាត់កែងនឹង \(Ox\) ត្រង់ \(A\) និងកែងនឹង \(Oy\) ត្រង់ \(B\)។ បង្ហាញថា \(MA = MB\)។
ពិនិត្យត្រីកោណកែង \(\Delta OAM\) (កែងត្រង់ \(A\)) និង \(\Delta OBM\) (កែងត្រង់ \(B\)) ៖
\(OM\) ជាអុីប៉ូតេនុសរួម
\(\angle MOA = \angle MOB\) (\(OM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\angle xOy\))
ដូចនេះ \(\Delta OAM \cong \Delta OBM\) តាមករណី អុីប៉ូតេនុស-មុំស្រួច (អ.ម)។
វិបាក ៖ \(MA = MB\) (ចំណុចនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះ ស្មើចម្ងាយពីជ្រុងទាំងពីរនៃមុំ)។
លក្ខណៈនៃត្រីកោណសមបាត និងត្រីកោណសម័ង្ស
ក្នុងត្រីកោណសមបាត មុំបាតទាំងពីរមានរង្វាស់ប៉ុនគ្នា ៖
\[AB = AC \iff \angle B = \angle C\]ក្នុងត្រីកោណសមបាត បន្ទាត់ពុះមុំកំពូល កម្ពស់គូសចេញពីកំពូល មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល និងមេដ្យាទ័រនៃបាត គឺជាបន្ទាត់តែមួយ។
ត្រីកោណមួយជាត្រីកោណសម័ង្ស លុះត្រាតែមុំទាំងបីប៉ុនគ្នា ដែលមុំនីមួយៗស្មើនឹង \(60^\circ\)។
គ្រប់បន្ទាត់ពិសេសគូសចេញពីកំពូលនីមួយៗ (កម្ពស់, មេដ្យាន, បន្ទាត់ពុះ, មេដ្យាទ័រ) គឺត្រួតស៊ីគ្នា។
វិសមភាពត្រីកោណ និងទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងមុំ
ក្នុងត្រីកោណមួយ ៖
បើជ្រុងពីរមិនប៉ុនគ្នា នោះមុំឈមនឹងជ្រុងទាំងពីរក៏មិនប៉ុនគ្នាដែរ ហើយមុំឈមនឹងជ្រុងធំ គឺជាមុំធំជាង ៖
\[a > b \iff \angle A > \angle B\]ជ្រុងឈមនឹងមុំកែង (អុីប៉ូតេនុស) ជាជ្រុងវែងជាងគេក្នុងត្រីកោណកែង។
ក្នុងគ្រប់ត្រីកោណ ផលបូកប្រវែងជ្រុងពីរ តែងតែធំជាងប្រវែងជ្រុងទីបីជានិច្ច ៖
តើរង្វាស់ប្រវែង \(4\text{ cm}, 7\text{ cm}, 12\text{ cm}\) អាចបង្កើតបានជាត្រីកោណមួយដែរឬទេ?
ពិនិត្យផលបូកជ្រុងតូចទាំងពីរ ៖ \(4 + 7 = 11\)។ ដោយសារ \(11 < 12\) (ផលបូកជ្រុងពីរតូចជាងជ្រុងទីបី) នោះតាមវិសមភាពត្រីកោណ ប្រវែងទាំងបីនេះមិនអាចបង្កើតជាត្រីកោណបានឡើយ។
លំហាត់អនុវត្តន៍
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\)។ ចូរសរសេរគូនៃជ្រុងត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នា និងគូនៃមុំត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នាទាំងអស់។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយសារ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) ៖
ជ្រុងត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នា ៖ \(AB = DE, BC = EF, AC = DF\)
មុំត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នា ៖ \(\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\)
គេឱ្យ \(\Delta MNP \cong \Delta TRS\) ដោយដឹងថា \(MN = 7\text{ cm}, NP = 9\text{ cm}, MP = 11\text{ cm}\) និង \(\angle M = 55^\circ, \angle N = 80^\circ\)។ គណនាប្រវែងជ្រុងទាំងអស់ និងមុំទាំងអស់នៃ \(\Delta TRS\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ដោយ \(\Delta MNP \cong \Delta TRS\) ៖
\(TR = MN = 7\text{ cm}, RS = NP = 9\text{ cm}, TS = MP = 11\text{ cm}\)
\(\angle T = \angle M = 55^\circ, \angle R = \angle N = 80^\circ\)
\(\angle S = 180^\circ - (55^\circ + 80^\circ) = 45^\circ\)
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) ដែល \(AB = 3x - 4\) និង \(DE = 2x + 5\)។ គណនាតម្លៃ \(x\) និងប្រវែង \(AB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC \cong \Delta DEF \implies AB = DE\) ៖
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) ដែល \(\angle A = 4x + 10^\circ\) និង \(\angle D = 6x - 20^\circ\)។ គណនាតម្លៃ \(x\) និងរង្វាស់ \(\angle A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC \cong \Delta DEF \implies \angle A = \angle D\) ៖
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta MNP\) ដែល \(BC = 2x + 30\) និង \(NP = 5x - 90\) (គិតជា cm)។ កំណត់តម្លៃ \(x\) និងប្រវែង \(BC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC \cong \Delta MNP \implies BC = NP\) ៖
គេឱ្យ \(\Delta ABC \cong \Delta XYZ\) ដែល \(AB = 4x + 8\) និង \(XY = 6x - 16\) (គិតជា cm)។ កំណត់តម្លៃ \(x\) និងប្រវែង \(AB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC \cong \Delta XYZ \implies AB = XY\) ៖
លើប្លង់មួយ មានអង្កត់ពីរ \(AB\) និង \(CD\) កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាល \(O\) រៀងគ្នា។
បង្ហាញថា \(\Delta OAD \cong \Delta OBC\)។
ទាញបញ្ជាក់ថា \(AD = BC\) និង \(AD \parallel BC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
អង្កត់ \(AB, CD\) កាត់គ្នាត្រង់ចំណុចកណ្តាល \(O\) ៖
a. ពិនិត្យ \(\Delta OAD\) និង \(\Delta OBC\) ៖ \(OA = OB\), \(OD = OC\), និង \(\angle AOD = \angle BOC\) (ទល់កំពូល) \(\implies \Delta OAD \cong \Delta OBC\) (ជ.ម.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(AD = BC\) និង \(\angle OAD = \angle OBC\) (មុំឆ្លាស់ក្នុងស្មើគ្នា) \(\implies AD \parallel BC\)។
គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\) (\(AB = AC\))។ \(M\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABM \cong \Delta ACM\)។
ទាញបញ្ជាក់ថា \(AM \bot BC\) និង \(AM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\angle BAC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាត (\(AB = AC\)), \(M\) កណ្តាល \(BC\) ៖
a. ពិនិត្យ \(\Delta ABM\) និង \(\Delta ACM\) ៖ \(AB = AC\), \(BM = CM\), \(AM\) រួម \(\implies \Delta ABM \cong \Delta ACM\) (ជ.ជ.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(\angle BMA = \angle CMA = 180^\circ/2 = 90^\circ \implies AM \bot BC\) និង \(\angle BAM = \angle CAM \implies AM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ។
គេឱ្យ \(\angle xOy\) និងកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(Oz\)។ នៅលើ \(Ox\) ដៅចំណុច \(A\) និងលើ \(Oy\) ដៅចំណុច \(B\) ដែល \(OA = OB\)។ លើ \(Oz\) ដៅចំណុច \(M\) មួយ។
ប្រៀបធៀប \(\Delta OMA\) និង \(\Delta OMB\)។
ទាញវិបាកបញ្ជាក់ថា \(MA = MB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. ពិនិត្យ \(\Delta OMA\) និង \(\Delta OMB\) ៖ \(OA = OB\), \(OM\) រួម, \(\angle AOM = \angle BOM\) (\(Oz\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ) \(\implies \Delta OMA \cong \Delta OMB\) (ជ.ម.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(MA = MB\)។
គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ កម្ពស់ \(BD\) និង \(CE\) គូសចេញពី \(B\) និង \(C\) កាត់ជ្រុងឈមត្រង់ \(D\) និង \(E\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា \(BD = CE\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies AB = AC\) និង \(\angle B = \angle C\)។ ពិនិត្យត្រីកោណកែង \(\Delta BDC\) (កែងត្រង់ \(D\)) និង \(\Delta CEB\) (កែងត្រង់ \(E\)) ៖
\(BC\) ជាអុីប៉ូតេនុសរួម
\(\angle BCD = \angle CBE\) (\(\angle C = \angle B\))
\(\implies \Delta BDC \cong \Delta CEB\) (អ.ម) \(\implies BD = CE\)។
គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) មួយ។ កម្ពស់ \(BD\) និង \(CE\) កាត់ជ្រុង \(AC\) និង \(AB\) ត្រង់ \(D\) និង \(E\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា បើ \(BD = CE\) នោះ \(\Delta ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់ \(A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យត្រីកោណកែង \(\Delta BDC\) និង \(\Delta CEB\) ៖ \(BC\) រួម, \(BD = CE \implies \Delta BDC \cong \Delta CEB\) (អ.ជ)។ វិបាក ៖ \(\angle BCD = \angle CBE \implies \angle C = \angle B \implies \Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។
គេឱ្យត្រីកោណ \(ABC\) និងចំណុចកណ្តាល \(M\) នៃជ្រុង \(BC\)។ តាម \(M\) គូសបន្ទាត់កែងនឹង \(AB\) ត្រង់ \(D\) និងកែងនឹង \(AC\) ត្រង់ \(E\)។ បង្ហាញថា បើ \(MD = ME\) នោះ \(\Delta ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យត្រីកោណកែង \(\Delta MDB\) និង \(\Delta MEC\) ៖ \(MB = MC\) (\(M\) កណ្តាល \(BC\)), \(MD = ME\) (សម្មតិកម្ម) \(\implies \Delta MDB \cong \Delta MEC\) (អ.ជ)។ វិបាក ៖ \(\angle B = \angle C \implies \Delta ABC\) សមបាត។
គេឱ្យ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម និងអង្កត់ទ្រូង \(BD\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABD \cong \Delta CDB\)។
ទាញវិបាកអំពីជ្រុងឈម និងមុំឈមនៃប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
\(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម ៖
a. \(AB \parallel CD \implies \angle ABD = \angle CDB\) (ឆ្លាស់ក្នុង)។ \(AD \parallel BC \implies \angle ADB = \angle CBD\) (ឆ្លាស់ក្នុង)។ \(BD\) ជ្រុងរួម \(\implies \Delta ABD \cong \Delta CDB\) (ម.ជ.ម)។
b. វិបាក ៖ \(AB = CD, AD = BC\) (ជ្រុងឈមស្មើគ្នា) និង \(\angle A = \angle C\) (មុំឈមស្មើគ្នា)។
គេឱ្យចតុកោណ \(ABCD\) ដែលមាន \(AB = CD\) និង \(AD = BC\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABC \cong \Delta CDA\)។
ទាញបញ្ជាក់ថា \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
មើលដំណោះស្រាយ
a. ពិនិត្យ \(\Delta ABC\) និង \(\Delta CDA\) ៖ \(AB = CD, BC = DA, AC\) រួម \(\implies \Delta ABC \cong \Delta CDA\) (ជ.ជ.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(\angle BAC = \angle DCA \implies AB \parallel CD\) និង \(\angle BCA = \angle DAC \implies BC \parallel AD\)។ ដូចនេះ \(ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
គេឱ្យត្រីកោណសមបាត \(ABC\) មាន \(AB = AC\)។ នៅលើបន្លាយនៃបាត \(BC\) គេដៅចំណុច \(D\) និង \(E\) ដោយឱ្យ \(BD = CE\) (\(D\) នៅខាង \(B\) និង \(E\) នៅខាង \(C\))។ បង្ហាញថា \(\Delta ADE\) ជាត្រីកោណសមបាត។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies AB = AC, \angle B = \angle C\)។ នាំឱ្យមុំក្រៅ \(\angle ABD = \angle ACE\)។ ពិនិត្យ \(\Delta ABD\) និង \(\Delta ACE\) ៖ \(AB = AC, BD = CE, \angle ABD = \angle ACE \implies \Delta ABD \cong \Delta ACE\) (ជ.ម.ជ)។ វិបាក ៖ \(AD = AE \implies \Delta ADE\) សមបាត។
ក្នុងរូបត្រីកោណ \(ABC\) មួយ គេឱ្យ \(AB = AC\) ហើយ \(D, E\) ជាចំណុចនៅលើ \(AB, AC\) រៀងគ្នាដែល \(AD = AE\)។ បង្ហាញថា \(BE = CD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យ \(\Delta ABE\) និង \(\Delta ACD\) ៖ \(AB = AC, AE = AD, \angle A\) រួម \(\implies \Delta ABE \cong \Delta ACD\) (ជ.ម.ជ)។ វិបាក ៖ \(BE = CD\)។
គេឱ្យត្រីកោណកែងពីរ \(\Delta ABC\) (កែងត្រង់ \(A\)) និង \(\Delta DEF\) (កែងត្រង់ \(D\)) ដែលមានអុីប៉ូតេនុស \(BC = EF\) និង \(\angle B = \angle E\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\)។
បើ \(AB = 5\text{ cm}, BC = 13\text{ cm}\) គណនា \(DE\) និង \(DF\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\Delta ABC\) និង \(\Delta DEF\) កែងត្រង់ \(A, D\) មាន \(BC = EF\) (អុីប៉ូតេនុស) និង \(\angle B = \angle E \implies \Delta ABC \cong \Delta DEF\) (អ.ម)។
b. \(DE = AB = 5\text{ cm}\)។ តាមពីតាករ ៖ \(DF = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\text{ cm}\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) កែងត្រង់ \(A\) និង \(\Delta A'B'C'\) កែងត្រង់ \(A'\) ដែល \(BC = B'C'\) និង \(AB = A'B'\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\)។
ទាញបញ្ជាក់ថា \(\angle C = \angle C'\) និង \(AC = A'C'\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\Delta ABC, \Delta A'B'C'\) កែងត្រង់ \(A, A'\) មាន \(BC = B'C'\) (អុីប៉ូតេនុស) និង \(AB = A'B'\) (ជ្រុងជាប់មុំកែង) \(\implies \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (អ.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(\angle C = \angle C'\) និង \(AC = A'C'\)។
គេឱ្យអង្កត់ \(AB\) មួយ និងបន្ទាត់មេដ្យាទ័រ \(\Delta\) របស់វាដែលកាត់ \(AB\) ត្រង់ \(I\)។ ចំណុច \(M\) ស្ថិតនៅលើ \(\Delta\)។ បង្ហាញថា \(\Delta MIA \cong \Delta MIB\) រួចទាញថា \(MA = MB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta MIA\) និង \(\Delta MIB\) កែងត្រង់ \(I\) ៖ \(IA = IB\) (\(I\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AB\)), \(MI\) រួម \(\implies \Delta MIA \cong \Delta MIB\) (ជ.ម.ជ)។ វិបាក ៖ \(MA = MB\) (ចំណុចលើមេដ្យាទ័រស្មើចម្ងាយពីចុងសងខាង)។
គេឱ្យមុំស្រួច \(\angle xOy\)។ លើ \(Ox\) ដៅចំណុច \(A, B\) និងលើ \(Oy\) ដៅចំណុច \(C, D\) ដែល \(OA = OC\) និង \(OB = OD\) (\(A\) នៅចន្លោះ \(O\) និង \(B\))។ បង្ហាញថា \(AD = BC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យ \(\Delta OAD\) និង \(\Delta OCB\) ៖ \(OA = OC, OD = OB, \angle O\) រួម \(\implies \Delta OAD \cong \Delta OCB\) (ជ.ម.ជ)។ វិបាក ៖ \(AD = BC\)។
តាមទិន្នន័យលំហាត់ទី ២០ តាង \(I\) ជាចំណុចប្រសព្វរវាង \(AD\) និង \(BC\)។
បង្ហាញថា \(\Delta IAB \cong \Delta ICD\) ឬ \(\Delta IAB\) និង \(\Delta ICD\) មិនប៉ុនគ្នា? ចូរប្រៀបធៀប \(\Delta IAB\) ជាមួយ \(\Delta ICD\)? (ពិនិត្យ \(\Delta DAB\) និង \(\Delta BCD\))។
បង្ហាញថា \(OI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\angle xOy\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. ពី \(\Delta OAD \cong \Delta OCB \implies \angle ODA = \angle OBC\) និង \(\angle OAD = \angle OCB \implies \angle IAB = \angle ICD\) (មុំបន្ថែម)។ ម៉្យាងទៀត \(AB = OB - OA = OD - OC = CD\)។ ដូចនេះ \(\Delta IAB \cong \Delta ICD\) (ម.ជ.ម)។
b. វិបាក ៖ \(IA = IC\)។ ពិនិត្យ \(\Delta OIA\) និង \(\Delta OIC\) មាន \(OA = OC, IA = IC, OI\) រួម \(\implies \Delta OIA \cong \Delta OIC\) (ជ.ជ.ជ) \(\implies \angle AOI = \angle COI \implies OI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\) មាន \(\angle A = 40^\circ\)។ គណនារង្វាស់មុំបាត \(\angle B\) និង \(\angle C\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\) មាន \(\angle B = \angle C\) ៖
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\) មានមុំបាតមួយស្មើ \(65^\circ\)។ គណនារង្វាស់មុំកំពូល \(\angle A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A \implies \angle B = \angle C = 65^\circ\) ៖
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\) មានមុំក្រៅត្រង់កំពូល \(A\) ស្មើ \(130^\circ\)។ គណនារង្វាស់មុំក្នុងទាំងបីនៃត្រីកោណ។
មើលដំណោះស្រាយ
មុំក្រៅត្រង់ \(A\) ស្មើ \(130^\circ \implies \angle A = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)។ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A \implies \angle B = \angle C = \dfrac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) ដែលមាន \(\angle B = 70^\circ\) និង \(\angle C = 40^\circ\)។
គណនារង្វាស់មុំ \(\angle A\)។
រៀបលំដាប់ប្រវែងជ្រុងទាំងបីពីតូចទៅធំ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle A = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ\)។
b. មុំ \(\angle C = 40^\circ\) តូចជាងគេ \(\implies AB\) ខ្លីជាងគេ។ \(\angle A = \angle B = 70^\circ \implies BC = AC\)។ លំដាប់ ៖ \(AB < BC = AC\)។
គេឱ្យ \(\Delta MNP\) ដែលមាន \(MN = 6\text{ cm}, NP = 8\text{ cm}, MP = 11\text{ cm}\)។ រៀបលំដាប់រង្វាស់មុំទាំងបីពីធំទៅតូច។
មើលដំណោះស្រាយ
\(MP = 11\text{ cm} > NP = 8\text{ cm} > MN = 6\text{ cm}\)។ មុំឈមនឹងជ្រុងធំជាង ជាមុំធំជាង ៖
ក្នុង \(\Delta EFG\) មាន \(\angle E = 55^\circ\) និង \(\angle F = 65^\circ\)។
គណនា \(\angle G\)។
កំណត់ជ្រុងវែងជាងគេ និងជ្រុងខ្លីជាងគេ។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle G = 180^\circ - (55^\circ + 65^\circ) = 60^\circ\)។
b. \(\angle F = 65^\circ\) ធំជាងគេ \(\implies EG\) វែងជាងគេ។ \(\angle E = 55^\circ\) តូចជាងគេ \(\implies FG\) ខ្លីជាងគេ។
កំណត់ថាតើរង្វាស់ប្រវែងជ្រុងក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម អាចគូសបានជាត្រីកោណដែរឬទេ? ព្រោះអ្វី?
\(12\text{ cm}, 11\text{ cm}, 17\text{ cm}\)
\(1\text{ cm}, 2\text{ cm}, 3\text{ cm}\)
\(5.5\text{ cm}, 3.5\text{ cm}, 4.5\text{ cm}\)
\(2\text{ m}, 5.8\text{ m}, 10.2\text{ m}\)
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យវិសមភាពត្រីកោណ ៖
a. \(11 + 12 = 23 > 17\) ៖ គូសបាន។
b. \(1 + 2 = 3\) (មិនធំជាង ៣) ៖ មិនអាចគូសបាន។
c. \(3.5 + 4.5 = 8 > 5.5\) ៖ គូសបាន។
d. \(2 + 5.8 = 7.8 < 10.2\) ៖ មិនអាចគូសបាន។
ត្រីកោណមួយមានជ្រុងពីរប្រវែង \(6\text{ cm}\) និង \(10\text{ cm}\)។
រកចន្លោះតម្លៃនៃប្រវែងជ្រុងទីបី \(x\)។
បើ \(x\) ជាចំនួនគត់សេស តើ \(x\) អាចមានតម្លៃប៉ុន្មានខ្លះ?
មើលដំណោះស្រាយ
a. តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(10 - 6 < x < 10 + 6 \implies 4 < x < 16\) (គិតជា cm)។
b. \(x\) ជាចំនួនគត់សេស ៖ \(x \in \{5, 7, 9, 11, 13, 15\}\)។
ត្រីកោណសមបាតមួយមានជ្រុងពីរប្រវែង \(4\text{ cm}\) និង \(9\text{ cm}\)។ កំណត់ប្រវែងជ្រុងទីបី។ ពន្យល់មូលហេតុ។
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងទាំងពីរគឺ \(4\text{ cm}\) និង \(9\text{ cm}\) ៖
បើជ្រុងទីបីស្មើ \(4\text{ cm}\) នោះ \(4 + 4 = 8 < 9\) (មិនអាចកើតមាន)។
ដូចនេះជ្រុងទីបីត្រូវតែស្មើ \(9\text{ cm}\) ព្រោះ \(4 + 9 = 13 > 9\)។
ត្រីកោណសមបាតមួយមានជ្រុងពីរប្រវែង \(7\text{ cm}\) និង \(3\text{ cm}\)។ តើជ្រុងទីបីមានប្រវែងប៉ុន្មាន? ព្រោះអ្វី?
មើលដំណោះស្រាយ
ជ្រុងទាំងពីរគឺ \(7\text{ cm}\) និង \(3\text{ cm}\) ៖
បើជ្រុងទីបីស្មើ \(3\text{ cm}\) នោះ \(3 + 3 = 6 < 7\) (មិនអាចកើតមាន)។
ដូចនេះជ្រុងទីបីត្រូវតែស្មើ \(7\text{ cm}\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) ដែល \(AB < AC\)។ \(AD\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\angle A\) (\(D \in BC\))។ បង្ហាញថា \(CD > BD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
យក \(E\) លើ \(AC\) ដែល \(AE = AB \implies \Delta ABD \cong \Delta AED\) (ជ.ម.ជ)។ \(\implies BD = ED\)។ ក្នុង \(\Delta CDE\) តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(CD > CE - ED \dots\) នាំឱ្យបាន \(CD > BD\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) និងចំណុច \(M\) មួយនៅខាងក្នុងត្រីកោណ។ បង្ហាញថា \(MB + MC < AB + AC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
បន្លាយ \(BM\) កាត់ \(AC\) ត្រង់ \(K\)។ ក្នុង \(\Delta ABK\) ៖ \(MB + MK < AB + AK\)។ ក្នុង \(\Delta KMC\) ៖ \(MC < MK + KC\)។ បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(MB + MC < AB + AC\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) និងចំណុច \(M\) នៅខាងក្នុងត្រីកោណ។ បង្ហាញថា ៖
មើលដំណោះស្រាយ
តាមលំហាត់ ៣៣ ៖ \(MA + MB < AC + BC\), \(MB + MC < AB + AC\), \(MC + MA < AB + BC\)។ បូកបញ្ចូលគ្នា ៖ \(2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA) \implies MA + MB + MC < AB + BC + CA\)។
ក្នុង \(\Delta MAB, \Delta MBC, \Delta MCA\) ៖ \(MA + MB > AB\), \(MB + MC > BC\), \(MC + MA > CA\) \(\implies MA + MB + MC > \frac{AB + BC + CA}{2}\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ បន្លាយបាត \(BC\) ទៅខាង \(C\) ឱ្យបានចំណុច \(D\) (\(CD = AC\))។ បង្ហាញថា \(\angle ACD > \angle CAD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies \angle B = \angle ACB\)។ \(\angle ACD\) ជាមុំក្រៅនៃ \(\Delta ABC \implies \angle ACD = \angle A + \angle B > \angle B\)។ \(\Delta ACD\) សមបាត (\(AC = CD\)) \(\implies \angle CAD = \angle D\)។ ដោយ \(\angle B = \angle ACB = 2\angle D \implies \angle ACD > \angle CAD\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ តាម \(A\) គូសបន្ទាត់ស្របនឹង \(BC\) កាត់បន្ទាត់គូសចេញពី \(C\) ត្រង់ \(D\)។ បង្ហាញថា \(AD + AB > CD\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុង \(\Delta ACD\) តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖ \(AD + AC > CD\)។ ដោយ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A \implies AC = AB\)។ ដូចនេះ \(AD + AB > CD\)។
គេឱ្យអង្កត់ \(AB\) និងចំណុច \(M\) មិននៅលើ \(AB\)។ បង្ហាញថា ប្រសិនបើ \(MA = MB\) នោះ \(M\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃ \(AB\)។
មើលដំណោះស្រាយ
តាង \(I\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AB\)។ ពិនិត្យ \(\Delta MIA\) និង \(\Delta MIB\) ៖ \(MA = MB, IA = IB, MI\) រួម \(\implies \Delta MIA \cong \Delta MIB\) (ជ.ជ.ជ)។ \(\implies \angle MIA = \angle MIB = 90^\circ \implies MI \bot AB\)។ ដូចនេះ \(M\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃ \(AB\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) កែងត្រង់ \(A\) មាន \(\angle B = 30^\circ\)។ បង្ហាញថា ជ្រុងឈមនឹងមុំ \(30^\circ\) ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអុីប៉ូតេនុស (\(AC = \frac{1}{2}BC\))។
មើលដំណោះស្រាយ
លើបន្លាយ \(AC\) យក \(D\) ឱ្យ \(CD = AC\)។ \(\Delta ABD\) មាន \(BC\) ជាមេដ្យាន និងកម្ពស់ \(\implies \Delta ABD\) សមបាត \(\implies \angle D = \angle A = 60^\circ \implies \Delta ABD\) សម័ង្ស \(\implies AD = AB = BC \implies AC = \frac{1}{2}BC\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មានមេដ្យាន \(AM\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(AM = \frac{1}{2}BC\)។ បង្ហាញថា \(\Delta ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta MAB\) សមបាត (\(MA = MB\)) \(\implies \angle MAB = \angle B\)។ \(\Delta MAC\) សមបាត (\(MA = MC\)) \(\implies \angle MAC = \angle C\)។ \(\angle A = \angle MAB + \angle MAC = \angle B + \angle C\)។ ដោយ \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សម័ង្ស។ \(M, N, P\) ជាចំណុចរៀងគ្នានៅលើ \(AB, BC, CA\) ដែល \(AM = BN = CP\)។ បង្ហាញថា \(\Delta MNP\) ជាត្រីកោណសម័ង្ស។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABC\) សម័ង្ស \(\implies AB = BC = CA\) និង \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\)។ \(AM = BN = CP \implies MB = NC = PA\)។ \(\Delta AMP \cong \Delta BNM \cong \Delta CPN\) (ជ.ម.ជ) ៖ \(\implies MP = MN = NP \implies \Delta MNP\) សម័ង្ស។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មាន \(AB = AC\)។ កន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle B\) និង \(\angle C\) កាត់គ្នាត្រង់ \(I\)។
បង្ហាញថា \(\Delta IBC\) ជាត្រីកោណសមបាត។
បង្ហាញថា \(AI\) ជាបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\angle BAC\) និងជាបន្ទាត់មេដ្យាទ័រនៃ \(BC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(\angle B = \angle C \implies \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}\angle C \implies \angle IBC = \angle ICB \implies \Delta IBC\) សមបាតត្រង់ \(I\)។
b. \(\Delta ABI \cong \Delta ACI\) (ជ.ជ.ជ) \(\implies \angle BAI = \angle CAI \implies AI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ។ ដោយ \(\Delta ABC\) សមបាត នាំឱ្យ \(AI\) ក៏ជាមេដ្យាទ័រនៃ \(BC\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មួយ។ នៅខាងក្រៅត្រីកោណ គេសង់ត្រីកោណសម័ង្ស \(\Delta ABD\) និង \(\Delta ACE\)។ បង្ហាញថា \(CD = BE\)។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យ \(\Delta DAC\) និង \(\Delta BAE\) ៖ \(AD = AB\) (\(\Delta ABD\) សម័ង្ស), \(AC = AE\) (\(\Delta ACE\) សម័ង្ស)។ \(\angle DAC = 60^\circ + \angle BAC = \angle BAE\)។ \(\implies \Delta DAC \cong \Delta BAE\) (ជ.ម.ជ) \(\implies CD = BE\)។
គេឱ្យការេ \(ABCD\)។ លើជ្រុង \(AB, BC, CD, DA\) គេដៅចំណុច \(M, N, P, Q\) រៀងគ្នាដែល \(AM = BN = CP = DQ\)។ បង្ហាញថា \(MNPQ\) ជាការេ។
មើលដំណោះស្រាយ
ពិនិត្យ ៤ ត្រីកោណកែង \(\Delta AMQ, \Delta BNM, \Delta CPN, \Delta DQP\) ៖ មានជ្រុងជាប់មុំកែងប៉ុនរៀងគ្នា (\(AM = BN = CP = DQ\) និង \(AQ = BM = CN = DP\))។ \(\implies\) ត្រីកោណទាំង ៤ ប៉ុនគ្នា \(\implies MN = NP = PQ = QM\) (ចតុកោណស្មើ)។ ម៉្យាងទៀត មុំស្រួចទាំងពីរនៃត្រីកោណកែងបូកគ្នាបាន \(90^\circ \implies \angle NMQ = 90^\circ\)។ ដូចនេះ \(MNPQ\) ជាការេ។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ លើជ្រុង \(AB\) និង \(AC\) គេដៅចំណុច \(D\) និង \(E\) រៀងគ្នាដែល \(AD = AE\)។ ហៅ \(K\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃ \(BE\) និង \(CD\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABE \cong \Delta ACD\)។
បង្ហាញថា \(\Delta KBC\) ជាត្រីកោណសមបាត។
បង្ហាញថា \(AK\) កែងនឹង \(BC\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(AB = AC, AE = AD, \angle A\) រួម \(\implies \Delta ABE \cong \Delta ACD\) (ជ.ម.ជ)។
b. វិបាក ៖ \(\angle ABE = \angle ACD\)។ ដោយ \(\angle ABC = \angle ACB \implies \angle KBC = \angle KCB \implies \Delta KBC\) សមបាត។
c. \(\Delta ABK \cong \Delta ACK\) (ជ.ជ.ជ) \(\implies AK\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះកំពូលនៃ \(\Delta ABC\) សមបាត \(\implies AK \bot BC\)។
គេឱ្យមុំស្រួច \(\angle xOy\) និងចំណុច \(A\) នៅក្នុងមុំនោះ។ គូស \(H\) ជាចំណោលកែងនៃ \(A\) លើ \(Ox\) និង \(K\) ជាចំណោលកែងនៃ \(A\) លើ \(Oy\)។ បង្ហាញថា បើ \(AH = AK\) នោះ \(OA\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle xOy\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta OHA\) និង \(\Delta OKA\) កែងត្រង់ \(H, K\) ៖ \(OA\) ជាអុីប៉ូតេនុសរួម, \(AH = AK \implies \Delta OHA \cong \Delta OKA\) (អ.ជ)។ វិបាក ៖ \(\angle HOA = \angle KOA \implies OA\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\angle xOy\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មានកម្ពស់ \(AH\)។ ដឹងថា \(AB = 13\text{ cm}, AC = 15\text{ cm}, AH = 12\text{ cm}\)។ គណនាប្រវែងបាត \(BC\) (ករណី \(H\) នៅលើអង្កត់ \(BC\))។
មើលដំណោះស្រាយ
តាមពីតាករ ៖ \(BH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}\)។ \(CH = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9\text{ cm}\)។ បាត \(BC = BH + CH = 5 + 9 = 14\text{ cm}\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មាន \(AB = 5\text{ cm}, AC = 12\text{ cm}, BC = 13\text{ cm}\)។
បង្ហាញថា \(\Delta ABC\) ជាត្រីកោណកែង។
គណនាប្រវែងកម្ពស់ \(AH\) គូសចេញពី \(A\)។
មើលដំណោះស្រាយ
a. \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \implies \Delta ABC\) កែងត្រង់ \(A\) (ច្រាសពីតាករ)។
b. ផ្ទៃក្រឡា ៖ \(S = \frac{1}{2}AB \times AC = \frac{1}{2}BC \times AH\) ៖
\[AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13}\text{ cm}\]
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) សមបាតត្រង់ \(A\)។ លើបាត \(BC\) គេយកចំណុច \(D\) និង \(E\) ដែល \(BD = DE = EC\)។ ប្រៀបធៀបរង្វាស់មុំ \(\angle BAD\) និង \(\angle DAE\)។
មើលដំណោះស្រាយ
\(\Delta ABD\) និង \(\Delta ACE\) ប៉ុនគ្នា (ជ.ម.ជ) \(\implies AD = AE\)។ ក្នុង \(\Delta ADE\) សមបាតត្រង់ \(A\) ៖ \(D, E\) នៅចន្លោះ \(B, C\) នាំឱ្យ \(\angle DAE < \angle BAD\) (ឬអាស្រ័យលើមុំកំពូល \(A\))។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\)។ \(D\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AB\)។ តាម \(D\) គូសបន្ទាត់ស្របនឹង \(BC\) កាត់ \(AC\) ត្រង់ \(E\)។ បង្ហាញថា \(E\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC\) និង \(DE = \frac{1}{2}BC\) (បាតមធ្យមនៃត្រីកោណ)។
មើលដំណោះស្រាយ
គូស \(EF \parallel AB\) (\(F \in BC\)) \(\implies BDEF\) ជាប្រលេឡូក្រាម \(\implies EF = BD = AD\)។ \(\Delta ADE \cong \Delta EFC\) (ម.ជ.ម) \(\implies AE = EC\) (\(E\) ជាចំណុចកណ្តាល \(AC\)) និង \(DE = FC = BF \implies DE = \frac{1}{2}BC\)។
គេឱ្យ \(\Delta ABC\) មួយ។ បង្ហាញថា ផលបូកនៃកម្ពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណ តូចជាងបរិមាត្រនៃត្រីកោណនោះ (\(h_a + h_b + h_c < AB + BC + CA\))។
មើលដំណោះស្រាយ
ក្នុងត្រីកោណកែង កាត់តាមកម្ពស់ ជ្រុងទ្រេតវែងជាងកម្ពស់ជានិច្ច ៖ \(h_a < AB\), \(h_b < BC\), \(h_c < CA\)។ បូកវិសមភាពទាំងបីអង្គ និងអង្គ ៖
សំណួរពហុជ្រើសរើស
ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។
✎ សំណួរទី ១–១០
✎ សំណួរទី ១១–២០
✎ សំណួរទី ២១–៣០
✎ សំណួរទី ៣១–៤០
✎ សំណួរទី ៤១–៥០
តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ១២ ការប្រៀបធៀបត្រីកោណ — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី