KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ២៤
២៤
ជំពូកទី ៧ ប្រូបាប · មេរៀនទី ២៤ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ និងទ្រឹស្ដីបទបៃយេស

ប្រូបាប៥ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ១០០

ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាស

លក្ខណៈ

  • ក្នុងវិញ្ញាសាហូតហើយដាក់វិញ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន ឬព្រឹត្តិការណ៍កើតក្រោយរក្សាដដែល។

  • ក្នុងវិញ្ញាសាហូតហើយមិនដាក់វិញ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតក្រោយប្រែប្រួលតាមព្រឹត្តិការណ៍កើតមុន។

សន្និដ្ឋាន

  1. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\) គឺ :

    • \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) បើ \(A\) និង \(B\) មិនទាក់ទងគ្នា ។

    • \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B/A)\) បើ \(A\) និង \(B\) ទាក់ទងគ្នា។
      \(B/A\) មានន័យថា \(B\) ដែល \(A\) កើតមុន

  2. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលបូក \(A\) និង \(B\) គឺ :

    • \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) បើ \(A\) និង \(B\) ចុះសម្រុងគ្នា ។

    • \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) បើ \(A\) និង \(B\) មិនចុះសម្រុងគ្នា ។

  3. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង \(A\) គឺ\(P(\Bar{A})=1-P(A)\) ។ ចំណាំ : \(P(\phi)=0, P(S)=1, 0\leq P(A)\leq 1\) ។

ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ

និយមន័យ

  • បើ \(A\) និង \(B\)ជាព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) ក្នុងលំហសំណាកមួយដែល \(P(A)\ne 0\) នោះប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) ដោយដឹង \(A\) គឺ : \(P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

  • គេអាចគណនាបានដូចគ្នា \(P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\quad{} (P(B)\ne 0)\)

  • តាមរូបមន្តនេះ គេអាចទាញបានប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ \(A\) និង \(B\)
    \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B/A)=P(B)\times P(A/B)\)

ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទងគ្នានិងមិនទាក់ទងគ្នា

ជាទូទៅ

\(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ \(2\) ដែលមានប្រូបាបមិនសូន្យ

  • គេថាព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) មិនអាស្រ័យគ្នា កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ទាំង \(2\) ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌណាមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖

    1. \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) ឬ

    2. \(P(A/B)=P(A)\) ឬ

    3. \(P(B/A)=P(B)\)

  • គេថាព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) អាស្រ័យគ្នា កាលណា \(P(A\cap B)\ne P(A)\times P(B)\)

ទ្រឹស្ដីបទបៃយេស

ជាទូទៅ

  1. រូបមន្តប្រូបាបសរុប: \(P(B)=\sum_{i=1}^n[P(B/A_i)\times P(A_i)]\)

  2. ទ្រឹស្ដីបទបៃយេស : \(P(A_k/B)=\dfrac{P(B/A_k)\times P(A_k)}{\sum_{i=1}^n[P(B/A_i)\times P(A_i)]}\)

ឧទាហរណ៍

គេមានមាស៊ីន \(A, B\) និង \(C\) ផលិតវត្ថុដូចគ្នា ។ ម៉ាស៊ីន \(A\) ផលិតបាន \(50\%\) \(B\) បាន \(30\%\) និង \(C\) បាន \(20\%\) ។ គេដឹងថាវត្ថុដែលផលិតដោយម៉ាស៊ីន \(A\) មានខូច \(3\%\) ម៉ាស៊ីន \(B\) ខូច \(4\%\) និងម៉ាស៊ីន \(C\) ខូច \(4\%\) ។

  1. រកប្រូបាបដែលមានវត្ថុខូច

  2. ក្នុងចំណោមវត្ថុខូចចំនួន \(1000\) តើម៉ាស៊ីន \(A\) ធ្វើខូចចំនួនប៉ុន្មាន? \(B\) ធ្វើខូចចំនួនប៉ុន្មាន? \(C\) ខូចចំនួនប៉ុន្មាន?

ចម្លើយ

តាង \(D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ «វត្ថុផលិតបានមានការខូចខាត»។
គេមាន ៖ \(P(A) = 0.50\), \(P(B) = 0.30\), \(P(C) = 0.20\)
និង \(P(D|A) = 0.03\), \(P(D|B) = 0.04\), \(P(D|C) = 0.04\)

  1. តាមរូបមន្តប្រូបាបសរុប ៖

    \[\begin{aligned} P(D) &= P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) \\ &= (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.04) \\ &= 0.015 + 0.012 + 0.008 = 0.035 \quad{} (3.5\%) \end{aligned}\]

  2. តាមទ្រឹស្ដីបទបៃយេស ប្រូបាបដែលវត្ថុខូចផលិតដោយម៉ាស៊ីននីមួយៗគឺ ៖

    • ម៉ាស៊ីន \(A\) ៖ \(P(A|D) = \dfrac{P(A)P(D|A)}{P(D)} = \dfrac{0.015}{0.035} = \dfrac{3}{7}\)

    • ម៉ាស៊ីន \(B\) ៖ \(P(B|D) = \dfrac{P(B)P(D|B)}{P(D)} = \dfrac{0.012}{0.035} = \dfrac{12}{35}\)

    • ម៉ាស៊ីន \(C\) ៖ \(P(C|D) = \dfrac{P(C)P(D|C)}{P(D)} = \dfrac{0.008}{0.035} = \dfrac{8}{35}\)

    ក្នុងចំណោមវត្ថុខូចចំនួន \(1000\) ៖

    • ម៉ាស៊ីន \(A\) ធ្វើខូច ៖ \(1000 \times \dfrac{3}{7} \approx 429\) វត្ថុ

    • ម៉ាស៊ីន \(B\) ធ្វើខូច ៖ \(1000 \times \dfrac{12}{35} \approx 343\) វត្ថុ

    • ម៉ាស៊ីន \(C\) ធ្វើខូច ៖ \(1000 \times \dfrac{8}{35} \approx 228\) វត្ថុ

ឧទាហរណ៍

ក្នុងក្រូចមួយកញ្ឆេមានលាយក្រូចបាត់ដំបង \(70\%\) និងក្រូចកំពង់ចាម \(30\%\) ។ គេដឹងថាក្រូចទាំង \(2\) ប្រភេទនេះ មានផ្លែខ្លះជូរ ផ្លែខ្លះផ្អែម។ ក្រូចបាត់ដំបងមានក្រូចជូរ \(5\%\) និងក្រូចកំពង់ចាម \(9\%\) ។

  1. រកប្រូបាបដែលគេជ្រើសរើសក្រូចមួយផ្លែបានក្រូចជូរ

  2. រកប្រូបាបដែលក្រូចបាត់ដំបង ដោយដឹងថាក្រូចជូរ

  3. រកប្រូបាបដែលក្រូចកំពង់ចាម ដោយដឹងថាក្រូចផ្អែម

  4. បើក្នុងកញ្ឆេនេះមានក្រូច \(1000\) ផ្លែ តើមានក្រូចជូរចំនួនប៉ុន្មានផ្លែ? ក្រូចជូរជាក្រូចបាត់ដំបងមានប៉ុន្មានផ្លែ?

ចម្លើយ

តាង \(B_1\) ជាក្រូចបាត់ដំបង (\(P(B_1)=0.70\)), \(B_2\) ជាក្រូចកំពង់ចាម (\(P(B_2)=0.30\))។
តាង \(S\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ «ក្រូចជូរ» ៖ \(P(S|B_1)=0.05\), \(P(S|B_2)=0.09\)។

  1. តាមរូបមន្តប្រូបាបសរុប ៖

    \[P(S) = P(B_1)P(S|B_1) + P(B_2)P(S|B_2) = (0.70)(0.05) + (0.30)(0.09) = 0.035 + 0.027 = 0.062\]

  2. តាមទ្រឹស្ដីបទបៃយេស ៖

    \[P(B_1|S) = \frac{P(B_1 \cap S)}{P(S)} = \frac{0.035}{0.062} = \frac{35}{62} \approx 0.5645\]

  3. ប្រូបាបក្រូចផ្អែម (\(\overline{S}\)) ៖ \(P(\overline{S}) = 1 - 0.062 = 0.938\)។
    ក្រូចកំពង់ចាមផ្អែម ៖ \(P(B_2 \cap \overline{S}) = P(B_2)P(\overline{S}|B_2) = 0.30 \times (1 - 0.09) = 0.30 \times 0.91 = 0.273\)។
    នាំឱ្យ ៖ \(P(B_2|\overline{S}) = \dfrac{0.273}{0.938} = \dfrac{273}{938} \approx 0.291\)។

  4. ក្នុងចំណោមក្រូច \(1000\) ផ្លែ ៖

    • ចំនួនក្រូចជូរសរុប ៖ \(1000 \times 0.062 = 62\) ផ្លែ

    • ចំនួនក្រូចជូរជាក្រូចបាត់ដំបង ៖ \(1000 \times 0.035 = 35\) ផ្លែ

ឧទាហរណ៍

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(2\) និងឃ្លីខៀវ \(3\) ។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ចេញពីថង់មួយៗដោយចៃដន្យ។

  1. ក្នុងករណីយកហើយដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន :

    • ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ

    • ឃ្លីក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ

  2. ក្នុងករណីយកហើយមិនដាក់វិញ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន:

    • ឃ្លីក្រហមមុន និងខៀវក្រោយ

    • ឃ្លីក្រហមមុន ឬខៀវក្រោយ

ចម្លើយ

តាង \(K_1\) ជាក្រហមលើកទី ១, \(Kh_2\) ជាខៀវលើកទី ២។ ឃ្លីសរុប \(2 + 3 = 5\) គ្រាប់។

  1. ករណីយកហើយដាក់វិញ (ព្រឹត្តិការណ៍មិនអាស្រ័យគ្នា) ៖

    • \(P(K_1 \cap Kh_2) = P(K_1) \times P(Kh_2) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25}\)

    • \(P(K_1 \cup Kh_2) = P(K_1) + P(Kh_2) - P(K_1 \cap Kh_2) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} - \dfrac{6}{25} = 1 - \dfrac{6}{25} = \dfrac{19}{25}\)

  2. ករណីយកហើយមិនដាក់វិញ (ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យគ្នា) ៖

    • \(P(K_1 \cap Kh_2) = P(K_1) \times P(Kh_2|K_1) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\)

    • \(P(Kh_2) = P(K_1)P(Kh_2|K_1) + P(Kh_1)P(Kh_2|Kh_1) = \dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\)
      \(\implies P(K_1 \cup Kh_2) = P(K_1) + P(Kh_2) - P(K_1 \cap Kh_2) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}\)

ឧទាហរណ៍

សរសេរតួអក្សរមួយដាក់លើសន្លឹកកាតមួយ ក្នុងចំណោមតួអក្សរនៃពាក្យ \(ALGEBRA\) រួចដាក់ចូលក្នុងថង់។ គេចាប់សន្លឹកកាតម្តងមួយចេញពីថង់ \(2\) ដងដោយចៃដន្យ ដោយយកហើយដាក់វិញ។ តាង \(A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បានស្រះនៅលើកទី \(1\) \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(1\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ចាប់បានព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(2\) ។

  1. តើព្រឹត្តិការណ៍ណាជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នា

  2. រកប្រូបាបដែលចាប់យកបាន:

    1. ស្រះនៅលើកទី \(1\)

    2. ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(1\)

    3. ព្យញ្ជនៈនៅលើកទី \(2\)

    4. ស្រះមុន និង ព្យញ្ជនៈក្រោយ

ចម្លើយ

ពាក្យ \(ALGEBRA\) មាន \(7\) អក្សរ ដែលមានស្រះ \(3\) គឺ \(\{A, E, A\}\) និងព្យញ្ជនៈ \(4\) គឺ \(\{L, G, B, R\}\)។

  1. ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញគ្នាគឺ \(A\) និង \(B\) ព្រោះនៅលើកទី ១ អក្សរដែលចាប់បានត្រូវតែជាស្រះ ឬព្យញ្ជនៈ (\(A\cap B = \emptyset\) និង \(A\cup B = S\))។

  2. រកប្រូបាប (ដោយសារចាប់ហើយដាក់វិញ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរមិនអាស្រ័យគ្នា) ៖

    1. \(P(A) = \dfrac{3}{7}\)

    2. \(P(B) = \dfrac{4}{7}\)

    3. \(P(C) = \dfrac{4}{7}\)

    4. \(P(A \cap C) = P(A) \times P(C) = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{49}\)

ឧទាហរណ៍

គេជ្រើសរើសសិស្ស \(2\) នាក់ ក្នុងចំណោមសិស្សស្រី \(4\) នាក់ និងសិស្សប្រុស \(5\) នាក់ជាតំណាងក្រុម។ រកប្រូបាបដែលសិស្ស:

  1. ស្រីជាប្រធានក្រុម

  2. ប្រុសទាំង \(2\) ជាតំណាងក្រុម

  3. ស្រីជាប្រធាន និងប្រុសជាអនុប្រធាន

  4. យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ជាតំណាងក្រុម។

ចម្លើយ

សិស្សសរុប \(4 + 5 = 9\) នាក់។

  1. ជ្រើសប្រធាន និងអនុប្រធាន (គិតលំដាប់ ៖ \(n(S) = A_9^2 = 72\))។ ប្រធានជាសិស្សស្រី (មាន \(4\) ជម្រើស) អនុប្រធានយកពី \(8\) នាក់ដែលនៅសល់ (មាន \(8\) ជម្រើស) ៖

    \[P = \frac{4 \times 8}{72} = \frac{32}{72} = \frac{4}{9}\]

  2. ប្រុសទាំងពីរនាក់ជាតំណាងក្រុម ៖ \(n(S) = C_9^2 = 36\)។ ជ្រើសប្រុស ២ ពី ៥ ៖ \(C_5^2 = 10\)។

    \[P = \frac{C_5^2}{C_9^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\]

  3. ស្រីជាប្រធាន (មាន \(4\) ជម្រើស) និងប្រុសជាអនុប្រធាន (មាន \(5\) ជម្រើស) ៖

    \[P = \frac{4 \times 5}{72} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}\]

  4. យ៉ាងតិចមានសិស្សស្រីម្នាក់ ៖ ប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង «ប្រុសទាំងពីរនាក់» ៖

    \[P = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}\]

ឧទាហរណ៍

ក្នុងស្បោងមួយមានឃ្លីពណ៍ក្រហម \(4\) ឃ្លីពណ៍ខ្មៅចំនួន \(3\) និងឃ្លីពណ៍សចំនួន \(1\) ។
គេចាប់យកម្តងឃ្លីចំនួន \(3\) ។ គេសន្និដ្ឋានថាប្រូបាបដែលចាប់បានយកឃ្លីនីមួយៗជាសមប្រូបាប។
គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម:

  1. “យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៍ក្រហម”

  2. “យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៍ដូចគ្នា”

  3. “ឃ្លីទាំងបីមានពណ៍ខុសៗគ្នា”

ចម្លើយ

ចំនួនឃ្លីសរុប \(4 + 3 + 1 = 8\) គ្រាប់។ ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី \(3\) គឺ ៖

\[n(S) = C_8^3 = \frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1} = 56\]

  1. «យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ក្រហម» ៖

    • ក្រហម ២ និងពណ៌ផ្សេង ១ ៖ \(C_4^2 \times C_4^1 = 6 \times 4 = 24\) ករណី

    • ក្រហមទាំង ៣ ៖ \(C_4^3 = 4\) ករណី

    \(\implies P = \dfrac{24 + 4}{56} = \dfrac{28}{56} = \dfrac{1}{2}\)

  2. «យ៉ាងតិចមានឃ្លីពីរពណ៌ដូចគ្នា» ៖ ជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនឹង «ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា» (ក្រហម ១ ខ្មៅ ១ ស ១ ៖ \(C_4^1 \times C_3^1 \times C_1^1 = 12\)) ៖

    \[P = 1 - \frac{12}{56} = 1 - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}\]

  3. «ឃ្លីទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា» (ក្រហម ១ ខ្មៅ ១ ស ១) ៖

    \[P = \frac{C_4^1 \times C_3^1 \times C_1^1}{56} = \frac{4 \times 3 \times 1}{56} = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}\]

ឧទាហរណ៍

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស \(30\) នាក់ដែលក្នុងនោះ \(14\) នាក់ជានារី។ ក្នុងចំណោមសិស្សទាំងនោះ នារី \(8\) នាក់ និង បុរស \(4\) នាក់ជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ សិស្សដទៃទៀតនៅក្រៅអន្តេវាសិកដ្ឋាន។ គេជ្រើសរើសសិស្សម្នាក់ក្នុងថ្នាក់នេះដោយចៃដន្យ។ កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖

  1. \(A\) :“សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន”

  2. \(B\) :“សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សប្រុស”

  1. គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) រួចរកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(B\)

  2. គណនាប្រូបាប \(P(B|A)\) មានន័យថាប្រូបាបនៃការជ្រើសរើសសិស្សបុរស ដោយដឹងថាជាសិស្សនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន។
    កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\cap B\)

ចម្លើយ

ចំនួនសិស្សសរុប \(n(S) = 30\) នាក់។
សិស្សស្រី \(14\) នាក់ \(\implies\) សិស្សប្រុស \(n(B) = 30 - 14 = 16\) នាក់។
សិស្សក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន ៖ ស្រី \(8\) + ប្រុស \(4 \implies n(A) = 8 + 4 = 12\) នាក់។

  1. គណនាប្រូបាប ៖

    \[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0.4 \quad{} , \quad{} P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}\]

  2. គណនា \(P(B|A)\) និង \(P(A\cap B)\) ៖

    • \(P(B|A)\) ៖ ក្នុងចំណោមសិស្សអន្តេវាសិកដ្ឋានទាំង \(12\) នាក់ មានសិស្សប្រុស \(4\) នាក់ ៖

      \[P(B|A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

    • \(P(A\cap B)\) ៖ សិស្សប្រុសនៅក្នុងអន្តេវាសិកដ្ឋាន (មាន \(4\) នាក់) ៖

      \[P(A\cap B) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \quad{} (\text{ឬ } P(A\cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15})\]

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងល្បែងបៀរ \(52\) សន្លឹកគេដកយកសន្លឹកបៀមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យ។
គេកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍:

  • \(A:\) “សន្លឹកបៀរដែលដកយកបានជាបេះដូង”

  • \(B:\) “សន្លឹកបៀរដែលដកយកបានជាអាត់”

  • \(C:\) “សន្លឹកបៀរដែលដកយកបានជាសន្លឹកអាត់ និង ក្រហម”
    រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, C\) ។

ចម្លើយខ្លី

ហ៊ូបៀរមាន \(52\) សន្លឹក ៖

  • បេះដូងមាន \(13\) សន្លឹក \(\implies P(A) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\)

  • អាត់មាន \(4\) សន្លឹក \(\implies P(B) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\)

  • អាត់ក្រហម (អាត់បេះដូង និងអាត់ការ៉ូ) មាន \(2\) សន្លឹក \(\implies P(C) = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26}\)

ប្រតិបត្តិ

នៅក្នុងធុងមួយគេមានប៊ូល \(12\) ដែលគេសរសេរលេខពី \(1\) ដល់ \(12\) ។ គេចាប់យកប៊ូល \(3\) ចេញពីធុងព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម:

  • \(A:\) “គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង \(3\)”

  • \(B:\) “គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង \(3\)”

  • \(C:\) “គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្តដែលមានផលសងរួម \(d=3\)”

  • \(D:\) “គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់បង្កើតបានជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រមានផលធៀបរួម \(q=\frac{1}{2}\)”

ចម្លើយខ្លី

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{12}^3 = 220\)។

  • លេខចែកដាច់នឹង ៣ គឺ \(\{3, 6, 9, 12\}\) (\(4\) គ្រាប់) \(\implies P(A) = \dfrac{C_4^3}{220} = \dfrac{4}{220} = \dfrac{1}{55}\)

  • ប៊ូលតែ ១ គត់ចែកដាច់នឹង ៣ ៖ \(P(B) = \dfrac{C_4^1 \times C_8^2}{220} = \dfrac{4 \times 28}{220} = \dfrac{112}{220} = \dfrac{28}{55}\)

  • ស្វ៊ីតនព្វន្ត \(d=3\) ៖ \(\{a, a+3, a+6\}\) មាន ៦ ឈុត \(\implies P(C) = \dfrac{6}{220} = \dfrac{3}{110}\)

  • ស្វ៊ីតធរណីមាត្រ \(q=1/2\) (លំដាប់ចុះ \(\{4,2,1\}, \{8,4,2\}, \{12,6,3\}\)) មាន ៣ ឈុត \(\implies P(D) = \dfrac{3}{220}\)

ចំណាំ ៖ សូមពិនិត្យផ្ទៀងផ្ទាត់ តារាងសោចម្លើយ MCQ ទាំង ១០០ នៅក្នុង ផ្នែកដំណោះស្រាយ នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

  1. គេហូតបៀរមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យចេញពីហ៊ូបៀរ \(52\)សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែលហូតបាន៖

    1. សន្លឹកអាត់។

    2. សន្លឹកក្រហម។

    3. សន្លឹកអាត់ ឬក្រហម។

    4. មិនមែនអាត់ និងមិនមែនក្រហម។

  2. ថង់មួយមានឃ្លី \(10\) ចុះលេខពី \(0\) ទៅ \(9\)។ គេចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ។ ចូរកំណត់៖

    1. លំហសំណាក \(\mathrm{S}\) និងព្រឹត្តិការណ៍៖

      1. «ចាប់បានឃ្លីមានលេខជាពហុគុណនៃ\(3\)»

      2. «ចាប់បាបឃ្លីមានលេខធំជាង\(5\)»

    2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A,\ B,\ A\cap B}\) និង \(\mathrm{A\cup B}\) ។

  3. ថង់មួយមានឃ្លីខៀវ \(7\) និងឃ្លីស \(3\) ។ គេចាប់យកឃ្លីម្តង \(3\) ដោយចៃដន្យតែម្តងគត់។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន៖

    1. ឃ្លីខៀវ \(2\) និងឃ្លីស \(1\)

    2. ឃ្លីខៀវទាំង \(3\)

    3. ឃ្លីសទាំង \(3\)

  4. ក្នុងប្រអប់ \(1\) មានក្រដាសបត់ជាសន្លឹកឆ្នោតចាប់យករង្វាន់។ សន្លឹកឆ្នោតមាន \(20\) សន្លឹកដែលឆ្នោតត្រូវរង្វាន់មាន \(12\) សន្លឹក សម្រាប់សិស្ស\(20\) នាក់ ចាប់យកមួយសន្លឹកម្នាក់បន្តបន្ទាប់គ្នាដើម្បីផ្ទៀងមើលរង្វាន់រៀងៗខ្លួន។ សុខជាអ្នកចាប់បានមុនគេ បន្ទាប់សៅចាប់ទី\(2\) និងសនចាប់ទី\(3\) និងសិស្សឯទៀតចាប់ម្នាក់មួយបន្តបន្ទាប់គ្នារហូតអស់។ រកប្រូបាបដែល៖

    1. សុខចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់។

    2. សៅចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់។

    3. សនចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់។

    4. តើអ្នកចាប់មុន និងអ្នកចាប់ក្រោយអ្នកណាមានសំណាងជាងអ្នកណា?

  5. គេបោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ \(2\) ព្រមគ្នា មួយពណ៌ខៀវ មួយទៀតពណ៌ក្រហម។ រកប្រូបាបដែល៖

    1. លេខចេញលើគ្រាប់ខៀវ ស្មើនឹង\(2\) ដង នៃលេខចេញលើគ្រាប់ក្រហម។

    2. ផលបូកលេខគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ទាំង \(2\) ស្មើនឹង \(5\) ។

  6. គេបោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ដូចគ្នា\(2\)ព្រមគ្នា។ តាង\(\mathrm{A}\)ជាព្រឹត្តិការណ៍«ផលបូកលេខដែលគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ទាំង\(2\)ចេញជាចំនួនគូ» និង \(\mathrm{B}\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ «គម្លាតរវាងលេខទាំង\(2\)ជាចំនួនគូ»។

    1. គណនា \(\mathrm{P(A),\ P(B)}\) និង \(\mathrm{P(A\cap B)}\) ។

    2. តើព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}\) និង \(\mathrm{B}\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទងគ្នា ឬមិនទាក់ទងគ្នា?

    3. គណនា \(\mathrm{P(A|B)}\) និង \(\mathrm{P(B|A)}\) ។

  7. គេបោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់មួយគ្រាប់ \(2\) ដង បន្តបន្ទាប់គ្នា។ គេតាងព្រឹត្តិការណ៍៖

    1. \(\mathrm{A}:\) «ផលបូកលេខដែលបោះបានជាចំនួនគូ»

    2. \(\mathrm{B}:\) «បោះលើកទី១ បានលេខ \(6\)»

    3. \(\mathrm{C}:\) «បោះលើកទី១ បានលេខធំជាងលើកទី \(2\)»

    1. គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ \(\mathrm{P(B|A)}\) និង \(\mathrm{P(C|A)}\) ។

    2. តើព្រឹត្តិការណ៍ទាំងគូនេះទាក់ទងគ្នា ឬមិនទាក់ទងគ្នា ៖ \(\mathrm{A}\) និង \(\mathrm{B}\) ; \(\mathrm{A}\) និង \(\mathrm{C}\) ; \(\mathrm{B}\) និង \(\mathrm{C}\) ។

  8. ថង់មួយមានប៊ូលក្រហម \(5\) និងប៊ូលខ្មៅ \(1\)។ គេចាប់យកប៊ូលម្តងមួយៗ ចំនួន \(3\) ដង ដោយចៃដន្យចេញពីថង់ដោយមិនដាក់វិញ។ គេតាងព្រឹត្តិការណ៍ ៖

    1. \(\mathrm{A}\) ៖ «ប៊ូលយកចេញលើកទី \(1\) ពណ៌ក្រហម»

    2. \(\mathrm{B}\) ៖ «ប៊ូលចាប់លើកទី \(2\) ពណ៌ក្រហម»

    3. \(\mathrm{C}\) ៖ «ប៊ូលចាប់លើកទី \(3\) ពណ៌ខ្មៅ»

    1. គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖ \(\mathrm{P(A|B)}, \mathrm{P(C|A\cap B)}, \mathrm{P(A|C)}\) ។

    2. តើព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{C}\) អាស្រ័យគ្នា ឬមិនអាស្រ័យគ្នា?

    3. តើព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{A}\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{B}\) អាស្រ័យគ្នា ឬមិនអាស្រ័យគ្នា?

  9. គេបោះគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ \(2\) គ្រាប់ខុសគ្នា។ រកប្រូបាបដែលគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់មួយចេញលេខ \(1\) ដោយដឹងថាគ្រាប់ទ្បុកទ្បាក់ទាំង \(2\) ចេញលេខខុសគ្នា។

  10. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(6\) : ឃ្លី \(3\) មានលេខ \(1\) និងឃ្លី \(2\) មានលេខ \(2\) និងឃ្លី \(1\) មានលេខ \(3\)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។

    1. ចូរកំនត់លំហសំណាក \(\mathrm{S}\) និងគណនាប្រូបាបនៃលទ្ធផលនីមួយៗក្នុងលំហសំណាក។

    2. គណនាប្រូបាបដែលយកបានឃ្លី \(2\) មានលេខខុសគ្នា? យកបានឃ្លីលេខ \(1\) តែ \(1\) គត់?
      យកបានឃ្លីលេខ \(1\) យ៉ាងតិចម្តង?

    3. គណនាប្រូបាបដែលឃ្លីយកចេញមានផលបូកលេខស្មើនឹង \(4\) ។

  11. គេរៀបចំឆ្នោត \(150\) សន្លឹកដើម្បីលក់ឲ្យអស់មុនពេលចេញផ្ទៀង ដែលក្នុងនោះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(7\) សន្លឹក។

    1. បើអ្នកទិញ បានទិញឆ្នោត \(1\) សន្លឹក តើប្រូបាបដែលគាត់ត្រូវរង្វាន់ស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

    2. បើអ្នកទិញបានទិញឆ្នោត \(2\) សន្លឹក រកប្រូបាបដែលគាត់ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក?

    3. ឧបមាថាក្នុងឆ្នោត \(150\) សន្លឹកនេះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(\frac{1}{10}\)។ បើគេទិញឆ្នោត \(15\) សន្លឹក តើគេប្រាកដក្នុងចិត្តថា ពិតជាត្រូវរង្វាន់ទាំង \(\frac{1}{10}\) នេះឬទេ? រកប្រូបាបដែលអ្នកមានឆ្នោតត្រូវយ៉ាងតិច \(3\) សន្លឹក។

  12. ក្នុងកម្មវិធីប្រទ្បងមួយ គ្រូឲ្យសំណួរត្រៀមទៅសិស្ស \(100\) សំណួរ។ សិស្សម្នាក់ៗត្រូវចាប់យកសំណួរ \(3\) ដោយចៃដន្យដើម្បីឆ្លើយ។ សិស្ស \(\mathrm{A}\) រៀបចំដោះស្រាយចម្លើយបាន \(\frac{1}{4}\) នៃសំណួរទាំងអស់។ រកប្រូបាបដែលសិស្ស \(\mathrm{A}\) ចាប់បានសំណួរដែលបានត្រៀមចម្លើយរួចស្រេច៖

    1. \(3\) សំណួរ។

    2. \(2\) សំណួរ។

    3. គ្មានបានសំណួរដែលត្រៀមហើយ\(1\)សោះ។

    4. យ៉ាងតិច \(1\) សំណួរ។

  13. គេចាប់បៀមួយដែមាន \(8\) សន្លឹកចេញពីហ៊ូបៀ \(52\) សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែលបៀក្នុងដៃមាន៖

    1. សន្លឹកជួងតែ \(2\) ។

    2. សន្លឹកការ៉ូ \(2\) និងសន្លឹកអាត់ \(1\) ។

    3. សន្លឹកការ៉ូ \(3\) និងសន្លឹកស្តេចចាស់ \(2\) សន្លឹក។

  14. គ្រូចង់ដឹងពីចំណង់ចំណូលចិត្តសិស្សក្នុងវិស័យកីទ្បា។ ក្នុងចំណោមសិស្ស \(30\) នាក់មាន \(20\) នាក់ចូលចិត្តអានទស្សនាវដ្តីកីទ្បា \(14\)នាក់ចូលចិត្តលេងកីទ្បាផ្ទាល់ និង \(8\)នាក់ចូលចិត្តទាំង \(2\) មុខនេះ។ គ្រូសួរសិស្ស \(6\) នាក់ដោយចៃដន្យ។ ចូររកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖

    1. «សិស្សទាំង \(6\) នាក់ចូលចិត្តលេងកីទ្បា ឬអានទស្សនាវដ្តីកីទ្បា»។

    2. «គ្មានសិស្សណាម្នាក់ចូលចិត្តលេងកីទ្បា»។

    3. «មានសិស្សម្នាក់គត់ចូលចិត្តលេងកីទ្បា»។

  15. គេហូតយកបៀ \(1\) សន្លឹកចេញពីហ៊ូបៀ \(52\) សន្លឹក។ គេតាងព្រឹត្តិការណ៍៖

    1. \(\mathrm{C}:\) «ហូតបៀបានសន្លឹកកឺ»

    2. \(\mathrm{F}:\) «ហូតបៀបានសន្លឹកស្តេច»

    3. \(\mathrm{D}:\) «ហូតបៀបានសន្លឹកក្រមុំ ឬប៊ិច»

    1. តើព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{C}\) និង \(\mathrm{F}\) អាស្រ័យគ្នាឬទេ?

    2. គណនា \(\mathrm{P(C|F)}\) ។ តើព្រឹត្តិការណ៍ \(\mathrm{C}\) និង \(\mathrm{F}\) អាស្រ័យគ្នាឬទេ?

  16. គេមានប្រអប់ \(2\) ដែលប្រអប់ទី១ មានឃ្លីពណ៌ស \(2\) គ្រាប់ ខ្មៅ \(3\) គ្រាប់ និងប្រអប់ទី២ មានឃ្លីពណ៌ស \(3\) គ្រាប់ ខ្មៅ \(4\) គ្រាប់។
    គេជ្រើសរើសប្រអប់មួយដោយចៃដន្យ រួចចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់នេះ។

    1. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ស។

    2. រកប្រូបាបនៃឃ្លីយកចេញពីថង់ទី១ ដោយដឹងថាជាឃ្លីពណ៌ខ្មៅ។

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
colframe=teal!80!black, colback=white, colbacktitle=teal!80!black, coltitle=white, title= តារាងចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ 100) — មេរៀនទី ២, halign=center, arc=1.5mm, boxrule=1.2pt, left=1mm, right=1mm, top=2mm, bottom=2mm
ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ
១ គ ២១ គ ៤១ គ ៦១ គ ៨១ គ
២ ខ ២២ ខ ៤២ ខ ៦២ ខ ៨២ ខ
៣ ក ២៣ ក ៤៣ ក ៦៣ ក ៨៣ ក
៤ ឃ ២៤ ឃ ៤៤ ឃ ៦៤ ឃ ៨៤ ឃ
៥ គ ២៥ គ ៤៥ គ ៦៥ ឃ ៨៥ គ
៦ ខ ២៦ ខ ៤៦ ខ ៦៦ ខ ៨៦ ខ
៧ ក ២៧ ក ៤៧ ក ៦៧ ក ៨៧ ក
៨ ឃ ២៨ ឃ ៤៨ ឃ ៦៨ ក ៨៨ ឃ
៩ គ ២៩ គ ៤៩ គ ៦៩ គ ៨៩ គ
១០ ខ ៣០ ខ ៥០ ខ ៧០ ខ ៩០ ខ
១១ ក ៣១ ក ៥១ ក ៧១ ក ៩១ ក
១២ ឃ ៣២ ឃ ៥២ ឃ ៧២ ឃ ៩២ ឃ
១៣ គ ៣៣ គ ៥៣ គ ៧៣ គ ៩៣ គ
១៤ ខ ៣៤ ខ ៥៤ ខ ៧៤ ខ ៩៤ ខ
១៥ ក ៣៥ ក ៥៥ ក ៧៥ ក ៩៥ ក
១៦ ឃ ៣៦ ឃ ៥៦ ឃ ៧៦ ឃ ៩៦ ឃ
១៧ គ ៣៧ គ ៥៧ គ ៧៧ គ ៩៧ គ
១៨ ខ ៣៨ ខ ៥៨ ខ ៧៨ ខ ៩៨ ខ
១៩ ក ៣៩ ក ៥៩ ក ៧៩ ក ៩៩ ក
២០ ឃ ៤០ ឃ ៦០ ឃ ៨០ ឃ ១០០ ឃ
ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍
លំហាត់ទី ១

គេហូតបៀរមួយសន្លឹកដោយចៃដន្យចេញពីហ៊ូបៀរ \(52\) សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែលហូតបាន ៖

ក សន្លឹកអាត់ ខ សន្លឹកក្រហម គ សន្លឹកអាត់ ឬក្រហម ឃ មិនមែនអាត់ និងមិនមែនក្រហម

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 52\)។

ក សន្លឹកអាត់មាន \(4\) សន្លឹក ៖

\[P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\]
ដូចនេះ ៖

ខ សន្លឹកក្រហមមាន \(26\) សន្លឹក ៖

\[P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\]
ដូចនេះ ៖

គ សន្លឹកអាត់ ឬក្រហម (\(A \cup B\)) ៖
មានអាត់ក្រហម \(2\) សន្លឹក (\(A \cap B\)) ៖

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\[= \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}\]
ដូចនេះ ៖

ឃ មិនមែនអាត់ និងមិនមែនក្រហម ៖

\[P = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{7}{13} = \frac{6}{13}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ២

ថង់មួយមានឃ្លី \(10\) ចុះលេខពី \(0\) ទៅ \(9\)។ គេចាប់យកឃ្លីមួយដោយចៃដន្យ។ ចូរកំណត់ ៖

ក លំហសំណាក \(S\) និងព្រឹត្តិការណ៍ ៖ (a) «ចាប់បានឃ្លីមានលេខជាពហុគុណនៃ \(3\)», (b) «ចាប់បានឃ្លីមានលេខធំជាង \(5\)»។ ខ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A, B, A \cap B\) និង \(A \cup B\)។

ដំណោះស្រាយ

ក កំណត់សំណុំ ៖
\(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \implies n(S) = 10\)។
\(A = \{0, 3, 6, 9\} \implies n(A) = 4\)។
\(B = \{6, 7, 8, 9\} \implies n(B) = 4\)។

ខ គណនាប្រូបាប ៖

\[P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \quad{} , \quad{} P(B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\]
\(A \cap B = \{6, 9\} \implies n(A \cap B) = 2\) ៖
\[P(A \cap B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]
តាមរូបមន្តផលបូកប្រូបាប ៖
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\[= \frac{4}{10} + \frac{4}{10} - \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៣

ថង់មួយមានឃ្លីខៀវ \(7\) និងឃ្លីស \(3\) (សរុប \(10\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លីម្តង \(3\) ដោយចៃដន្យតែម្តងគត់។ រកប្រូបាបដែលចាប់បាន ៖

ក ឃ្លីខៀវ \(2\) និងឃ្លីស \(1\) ខ ឃ្លីខៀវទាំង \(3\) គ ឃ្លីសទាំង \(3\)

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖

\[n(S) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

ក ខៀវ \(2\) និងស \(1\) ៖

\[n(A) = C_7^2 \times C_3^1 = 21 \times 3 = 63\]
\[\implies P(A) = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}\]
ដូចនេះ ៖

ខ ខៀវទាំង \(3\) ៖

\[n(B) = C_7^3 = 35 \implies P(B) = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}\]
ដូចនេះ ៖

គ សទាំង \(3\) ៖

\[n(C) = C_3^3 = 1 \implies P(C) = \frac{1}{120}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៤

ក្នុងប្រអប់មួយមានក្រដាសបត់ជាសន្លឹកឆ្នោតចាប់យករង្វាន់ \(20\) សន្លឹក ដែលឆ្នោតត្រូវរង្វាន់មាន \(12\) សន្លឹក សម្រាប់សិស្ស \(20\) នាក់ ចាប់យកម្នាក់មួយសន្លឹកបន្តបន្ទាប់គ្នាដោយមិនដាក់ចូលវិញ។ សុខចាប់មុនគេ, សៅចាប់ទី២, សនចាប់ទី៣។ រកប្រូបាបដែល ៖

ក សុខចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ ខ សៅចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ គ សនចាប់បានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ ឃ តើអ្នកចាប់មុន និងអ្នកចាប់ក្រោយ អ្នកណាមានសំណាងជាង?

ដំណោះស្រាយ

ក សុខចាប់មុនគេ ៖

\[P(\text{សុខ}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\]
ដូចនេះ ៖

ខ សៅចាប់ទី២ (រូបមន្តប្រូបាបសរុប) ៖

\[P(\text{សៅ}) = \frac{11}{19}\left(\frac{12}{20}\right) + \frac{12}{19}\left(\frac{8}{20}\right) = \frac{228}{380} = \frac{3}{5}\]
ដូចនេះ ៖

គ សនចាប់ទី៣ ៖
តាមលក្ខណៈប្រូបាបនៃការចាប់បន្តបន្ទាប់ដោយគ្មានការជំនួស ៖

\[P(\text{សន}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\]
ដូចនេះ ៖

ឃ អ្នកចាប់មុន និងអ្នកចាប់ក្រោយមានសំណាងស្មើគ្នា ព្រោះប្រូបាបត្រូវរង្វាន់គឺ \(\frac{3}{5}\) ដូចគ្នា។

លំហាត់ទី ៥

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) ព្រមគ្នា មួយពណ៌ខៀវ មួយទៀតពណ៌ក្រហម (\(n(S) = 36\))។ រកប្រូបាបដែល ៖

ក លេខចេញលើគ្រាប់ខៀវស្មើនឹង \(2\) ដង នៃលេខចេញលើគ្រាប់ក្រហម ខ ផលបូកលេខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរស្មើនឹង \(5\)

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 6 \times 6 = 36\)។

ក លេខខៀវ \(= 2 \times\) លេខក្រហម ៖
គូ \((X_{\text{ខៀវ}}, X_{\text{ក្រហម}})\) អាចជា ៖
\(\{(2,1), (4,2), (6,3)\}\) (មាន \(3\) ករណី) ៖

\[P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\]
ដូចនេះ ៖

ខ ផលបូកលេខទាំងពីរស្មើ \(5\) ៖
\(\{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\}\) (មាន \(4\) ករណី) ៖

\[P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៦

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ដូចគ្នា \(2\) ព្រមគ្នា (\(n(S) = 36\))។ តាង \(A\) ៖ «ផលបូកលេខទាំងពីរជាចំនួនគូ» និង \(B\) ៖ «គម្លាតរវាងលេខទាំងពីរជាចំនួនគូ»។

ក គណនា \(P(A), P(B)\) និង \(P(A \cap B)\)។ ខ តើព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) ទាក់ទងគ្នា ឬមិនទាក់ទងគ្នា? គ គណនា \(P(A|B)\) និង \(P(B|A)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក គណនាប្រូបាប ៖
\(\bullet\) \(A\) (ផលបូកគូ) ៖ (គូ, គូ) ឬ (សេស, សេស) ៖

\[n(A) = 3 \times 3 + 3 \times 3 = 18 \implies P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\]
\(\bullet\) \(B\) (គម្លាតគូ) ៖ ផលដកជាចំនួនគូ លុះត្រាតែលេខទាំងពីរមានភាពគូសេសដូចគ្នា (\(A = B\)) ៖
\[n(B) = 18 \implies P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\]
\(\bullet\) \(A \cap B = A \implies P(A \cap B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)។

ខ ពិនិត្យភាពទាក់ទងគ្នា ៖
ដោយ \(P(A \cap B) = \frac{1}{2} \ne P(A)P(B) = \frac{1}{4}\) នាំឱ្យ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទងគ្នា (អាស្រ័យគ្នា)។

គ គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/2}{1/2} = 1\]
\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/2}{1/2} = 1\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៧

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ \(2\) ដងបន្តបន្ទាប់គ្នា (\(n(S) = 36\))។ គេតាង ៖
\(A\) ៖ «ផលបូកលេខដែលបោះបានជាចំនួនគូ»
\(B\) ៖ «បោះលើកទី១ បានលេខ \(6\)»
\(C\) ៖ «បោះលើកទី១ បានលេខធំជាងលើកទី២»

ក គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ \(P(B|A)\) និង \(P(C|A)\)។ ខ តើព្រឹត្តិការណ៍ទាំងគូនេះទាក់ទងគ្នា ឬមិនទាក់ទងគ្នា ៖ \(A\) និង \(B\); \(A\) និង \(C\); \(B\) និង \(C\)?

ដំណោះស្រាយ

សំណុំករណី ៖ \(n(S) = 36\)។ \(n(A) = 18 \implies P(A) = \frac{1}{2}\)។
\(B = \{(6,1), \dots, (6,6)\} \implies n(B) = 6, P(B) = \frac{1}{6}\)។
\(A \cap B = \{(6,2), (6,4), (6,6)\} \implies n(A \cap B) = 3\)។
\(n(C) = \frac{36-6}{2} = 15 \implies P(C) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\)។
\(A \cap C\) មាន \(6\) ករណី ៖ \(\{(3,1), (5,1), (5,3), (4,2), (6,2), (6,4)\}\)។

ក គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖

\[P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\]
\[P(C|A) = \frac{n(A \cap C)}{n(A)} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\]

ខ ពិនិត្យភាពឯករាជ្យ ៖
\(\bullet\) \(P(B|A) = \frac{1}{6} = P(B) \implies A, B\) មិនទាក់ទងគ្នា។
\(\bullet\) \(P(C|A) = \frac{1}{3} \ne P(C) = \frac{5}{12} \implies A, C\) ទាក់ទងគ្នា។
\(\bullet\) \(B \cap C = \{(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)\} \implies n = 5\) ៖
\(P(B \cap C) = \frac{5}{36} \ne P(B)P(C) = \frac{5}{72} \implies B, C\) ទាក់ទងគ្នា។

លំហាត់ទី ៨

ថង់មួយមានប៊ូលក្រហម \(5\) និងប៊ូលខ្មៅ \(1\) (សរុប \(6\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកប៊ូលម្តងមួយៗចំនួន \(3\) ដងដោយមិនដាក់ចូលវិញ។ គេតាង ៖
\(A\) ៖ «ប៊ូលលើកទី១ ពណ៌ក្រហម»
\(B\) ៖ «ប៊ូលលើកទី២ ពណ៌ក្រហម»
\(C\) ៖ «ប៊ូលលើកទី៣ ពណ៌ខ្មៅ»

ក គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ \(P(A|B), P(C|A \cap B), P(A|C)\)។ ខ តើព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(C\) អាស្រ័យគ្នា ឬមិនអាស្រ័យគ្នា? គ តើព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) និង \(B\) អាស្រ័យគ្នា ឬមិនអាស្រ័យគ្នា?

ដំណោះស្រាយ

ក គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖
\(\bullet\) \(P(A) = \frac{5}{6}\), \(P(B) = \frac{5}{6}\)។
\(P(A \cap B) = \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) ៖

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2/3}{5/6} = \frac{4}{5}\]
\(\bullet\) បន្ទាប់ពីចាប់បានក្រហម ២ នៅសល់ប៊ូល \(4\) (ក្រហម \(3\), ខ្មៅ \(1\)) ៖
\[P(C|A \cap B) = \frac{1}{4}\]
\(\bullet\) បើលើកទី៣ បានខ្មៅ ដោយសារមានខ្មៅតែមួយ លើកទី១ និងទី២ ប្រាកដជាក្រហម ៖
\[P(A|C) = 1\]

ខ ដោយ \(P(A|C) = 1 \ne P(A) = \frac{5}{6}\) នាំឱ្យ \(A\) និង \(C\) ជាព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យគ្នា។

គ ដោយ \(P(A|B) = \frac{4}{5} \ne P(A) = \frac{5}{6}\) នាំឱ្យ \(A\) និង \(B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យគ្នា។

លំហាត់ទី ៩

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ \(2\) គ្រាប់ខុសគ្នា (\(n(S) = 36\))។ រកប្រូបាបដែលគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចេញលេខ \(1\) ដោយដឹងថាគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរចេញលេខខុសគ្នា។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(E\) ៖ «គ្រាប់ទាំងពីរចេញលេខខុសគ្នា» ៖
ករណីលេខដូចគ្នាមាន \(6\) ករណី ៖

\[n(E) = 36 - 6 = 30\]
តាង \(A\) ៖ «មានគ្រាប់មួយចេញលេខ \(1\)»។
ករណីក្នុង \(E\) ដែលមានលេខ \(1\) គឺ ៖
\[(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\]
\[(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)\]
មានសរុប \(5 + 5 = 10\) ករណី។

តាមនិយមន័យប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖

\[P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១០

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី \(6\) គ្រាប់ ៖ ឃ្លី \(3\) មានលេខ \(1\), ឃ្លី \(2\) មានលេខ \(2\), និងឃ្លី \(1\) មានលេខ \(3\)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។

ក កំណត់លំហសំណាក \(S\) និងគណនាប្រូបាបនៃលទ្ធផលនីមួយៗ។ ខ គណនាប្រូបាប ៖ យកបានឃ្លី \(2\) មានលេខខុសគ្នា, យកបានឃ្លីលេខ \(1\) តែ \(1\) គត់, យកបានឃ្លីលេខ \(1\) យ៉ាងតិចម្តង។ គ គណនាប្រូបាបដែលឃ្លីយកចេញមានផលបូកលេខស្មើនឹង \(4\)។

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_6^2 = 15\)។

ក ប្រូបាបនៃលទ្ធផលនីមួយៗ ៖
\(\bullet\) \(P(\{1,1\}) = \frac{C_3^2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)
\(\bullet\) \(P(\{1,2\}) = \frac{C_3^1 C_2^1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)
\(\bullet\) \(P(\{1,3\}) = \frac{C_3^1 C_1^1}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)
\(\bullet\) \(P(\{2,2\}) = \frac{C_2^2}{15} = \frac{1}{15}\)
\(\bullet\) \(P(\{2,3\}) = \frac{C_2^1 C_1^1}{15} = \frac{2}{15}\)

ខ គណនាប្រូបាប ៖
\(\bullet\) លេខខុសគ្នា ៖ \(1 - \frac{3+1}{15} = \frac{11}{15}\)
\(\bullet\) លេខ \(1\) តែមួយគត់ ៖ \(\frac{6+3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)
\(\bullet\) លេខ \(1\) យ៉ាងតិចម្តង ៖ \(1 - \frac{C_3^2}{15} = 1 - \frac{3}{15} = \frac{4}{5}\)

គ ផលបូកស្មើ \(4\) (\(\{1,3\}\) ឬ \(\{2,2\}\)) ៖

\[P = \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១១

គេរៀបចំឆ្នោត \(150\) សន្លឹកដើម្បីលក់ឱ្យអស់មុនពេលចេញផ្ទៀង ដែលក្នុងនោះមានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(7\) សន្លឹក។

ក បើទិញឆ្នោត \(1\) សន្លឹក តើប្រូបាបត្រូវរង្វាន់ស្មើនឹងប៉ុន្មាន? ខ បើទិញឆ្នោត \(2\) សន្លឹក រកប្រូបាបដែលត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក? គ ឧបមាថាក្នុងឆ្នោត \(150\) សន្លឹក មានឆ្នោតត្រូវរង្វាន់ \(\frac{1}{10}\) (\(15\) សន្លឹក)។ បើទិញ \(15\) សន្លឹក តើប្រាកដក្នុងចិត្តថាត្រូវរង្វាន់ឬទេ? រកប្រូបាបត្រូវយ៉ាងតិច \(3\) សន្លឹក។

ដំណោះស្រាយ

ក ទិញ \(1\) សន្លឹក ៖

\[P = \frac{7}{150}\]
ដូចនេះ ៖

ខ ទិញ \(2\) សន្លឹក (\(n(S) = C_{150}^2 = 11175\)) ៖
គ្មានត្រូវរង្វាន់សោះ ៖

\[P_0 = \frac{C_{143}^2}{C_{150}^2} = \frac{10153}{11175} \approx 0.9085\]
\[\implies P(\ge 1) = 1 - 0.9085 = 0.0915 \approx 0.091\]
ដូចនេះ ៖

គ ទិញ \(15\) សន្លឹក មិនប្រាកដក្នុងចិត្តថាពិតជាត្រូវរង្វាន់ \(100\%\) ទេ ព្រោះការចាប់ជាលក្ខណៈចៃដន្យ ហើយអាចចាប់ប៉ះសន្លឹកមិនត្រូវទាំងអស់ (ប្រូបាបមិនត្រូវសោះ \(\approx (0.9)^{15} \approx 20.6\%\))។
ប្រូបាបត្រូវយ៉ាងតិច \(3\) សន្លឹក ៖

\[P(X \ge 3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)] \approx 0.184\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១២

ក្នុងកម្មវិធីប្រឡងមួយ គ្រូឱ្យសំណួរត្រៀមទៅសិស្ស \(100\) សំណួរ។ សិស្សម្នាក់ៗត្រូវចាប់យកសំណួរ \(3\) ដោយចៃដន្យដើម្បីឆ្លើយ។ សិស្ស \(\mathrm{A}\) រៀបចំដោះស្រាយចម្លើយបាន \(\frac{1}{4}\) នៃសំណួរទាំងអស់ (\(25\) សំណួរចេះ, \(75\) សំណួរមិនចេះ)។ រកប្រូបាបដែលសិស្ស \(\mathrm{A}\) ចាប់បានសំណួរដែលបានត្រៀម ៖

ក \(3\) សំណួរ ខ \(2\) សំណួរ គ គ្មានបានសំណួរដែលត្រៀមមួយសោះ ឃ យ៉ាងតិច \(1\) សំណួរ

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖

\[n(S) = C_{100}^3 = \frac{100 \times 99 \times 98}{6} = 161700\]

ក បានត្រៀមទាំង \(3\) សំណួរ ៖

\[P(A) = \frac{C_{25}^3}{C_{100}^3} = \frac{2300}{161700} = \frac{23}{1617} \approx 0.0142\]
ដូចនេះ ៖

ខ បានត្រៀម \(2\) សំណួរ ៖

\[P(B) = \frac{C_{25}^2 \times C_{75}^1}{C_{100}^3} = \frac{300 \times 75}{161700} = \frac{75}{539} \approx 0.1391\]
ដូចនេះ ៖

គ គ្មានបានត្រៀមសោះ ៖

\[P(C) = \frac{C_{75}^3}{C_{100}^3} = \frac{67525}{161700} \approx 0.4176\]
ដូចនេះ ៖

ឃ យ៉ាងតិចបានត្រៀម \(1\) សំណួរ ៖

\[P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0.4176 = 0.5824\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១៣

គេចាប់បៀមួយដៃមាន \(8\) សន្លឹកចេញពីហ៊ូបៀ \(52\) សន្លឹក។ រកប្រូបាបដែលបៀក្នុងដៃមាន ៖

ក សន្លឹកជួងតែ \(2\) ខ សន្លឹកការ៉ូ \(2\) និងសន្លឹកអាត់ \(1\) គ សន្លឹកការ៉ូ \(3\) និងសន្លឹកស្តេច \(2\) សន្លឹក

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{52}^8\)។

ក សន្លឹកជួងតែ \(2\) (ជួង \(2\) ក្នុង \(13\), មិនមែនជួង \(6\) ក្នុង \(39\)) ៖

\[P = \frac{C_{13}^2 \times C_{39}^6}{C_{52}^8}\]
ដូចនេះ ៖

ខ សន្លឹកការ៉ូ \(2\) និងសន្លឹកអាត់ \(1\) ៖
\(\bullet\) បើមានអាត់ការ៉ូ (\(1\) សន្លឹក) ៖ ការ៉ូដទៃ \(1\), មិនមែនអាត់/ការ៉ូ \(6\) ៖ \(C_{12}^1 \times C_{36}^6\)
\(\bullet\) បើគ្មានអាត់ការ៉ូ ៖ ការ៉ូ \(2\), អាត់ផ្សេង \(1\), ដទៃ \(5\) ៖ \(C_{12}^2 \times C_3^1 \times C_{36}^5\)

\[P = \frac{C_{12}^1 C_{36}^6 + 3 C_{12}^2 C_{36}^5}{C_{52}^8}\]

គ សន្លឹកការ៉ូ \(3\) និងសន្លឹកស្តេច \(2\) ៖
បំបែកតាមករណីមាន ឬគ្មានស្តេចការ៉ូ ៖

\[P = \frac{C_{12}^2 C_3^1 C_{36}^4 + C_{12}^3 C_3^2 C_{36}^3}{C_{52}^8}\]

លំហាត់ទី ១៤

ក្នុងចំណោមសិស្ស \(30\) នាក់ មាន \(20\) នាក់ចូលចិត្តអានទស្សនាវដ្តីកីឡា (\(A\)), \(14\) នាក់ចូលចិត្តលេងកីឡាផ្ទាល់ (\(B\)), និង \(8\) នាក់ចូលចិត្តទាំងពីរ (\(A \cap B\))។ គ្រូសួរសិស្ស \(6\) នាក់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖

ក «សិស្សទាំង \(6\) នាក់ចូលចិត្តលេងកីឡា ឬអានទស្សនាវដ្តីកីឡា» ខ «គ្មានសិស្សណាម្នាក់ចូលចិត្តលេងកីឡា» គ «មានសិស្សម្នាក់គត់ចូលចិត្តលេងកីឡា»

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_{30}^6 = 593775\)។ \(n(A \cup B) = 20 + 14 - 8 = 26\) នាក់។
សិស្សចូលចិត្តលេងកីឡាមាន \(14\) នាក់; មិនលេងកីឡាមាន \(16\) នាក់។

ក សិស្សទាំង \(6\) ចូលចិត្តលេង ឬអាន (\(A \cup B\)) ៖

\[P = \frac{C_{26}^6}{C_{30}^6} = \frac{230230}{593775} \approx 0.3877\]
ដូចនេះ ៖

ខ គ្មានសិស្សណាចូលចិត្តលេងកីឡា (រើសពី \(16\) នាក់) ៖

\[P = \frac{C_{16}^6}{C_{30}^6} = \frac{8008}{593775} \approx 0.0135\]
ដូចនេះ ៖

គ មានសិស្សម្នាក់គត់ចូលចិត្តលេងកីឡា ៖

\[P = \frac{C_{14}^1 \times C_{16}^5}{C_{30}^6} = \frac{14 \times 4368}{593775} \approx 0.1030\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១៥

គេហូតយកបៀ \(1\) សន្លឹកចេញពីហ៊ូបៀ \(52\) សន្លឹក។ គេតាងព្រឹត្តិការណ៍ ៖
\(C\) ៖ «ហូតបៀបានសន្លឹកកឺ»
\(F\) ៖ «ហូតបៀបានសន្លឹកស្តេច»
\(D\) ៖ «ហូតបៀបានសន្លឹកក្រមុំ ឬប៊ិច»

ក តើព្រឹត្តិការណ៍ \(C\) និង \(F\) អាស្រ័យគ្នាឬទេ? ខ គណនា \(P(C|F)\)។ តើព្រឹត្តិការណ៍ \(C\) និង \(F\) អាស្រ័យគ្នាឬទេ?

ដំណោះស្រាយ

ក្នុងហ៊ូបៀ \(52\) សន្លឹក ៖ \(n(C) = 13 \implies P(C) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)។
\(n(F) = 4 \implies P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)។
\(C \cap F\) (ស្តេចកឺ) មាន \(1\) សន្លឹក ៖

\[P(C \cap F) = \frac{1}{52}\]

ក ពិនិត្យផលគុណប្រូបាប ៖

\[P(C) \times P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} = P(C \cap F)\]
នាំឱ្យ \(C\) និង \(F\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យគ្នា (មិនអាស្រ័យគ្នា)។

ខ គណនាប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ ៖

\[P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)} = \frac{1/52}{1/13} = \frac{1}{4}\]
ដោយ \(P(C|F) = P(C) = \frac{1}{4}\) បញ្ជាក់ឡើងវិញថា \(C\) និង \(F\) មិនអាស្រ័យគ្នា (ឯករាជ្យគ្នា)។

លំហាត់ទី ១៦

គេមានប្រអប់ពីរ ៖ ប្រអប់ទី១ មានឃ្លីពណ៌ស \(2\) គ្រាប់ ខ្មៅ \(3\) គ្រាប់; ប្រអប់ទី២ មានឃ្លីពណ៌ស \(3\) គ្រាប់ ខ្មៅ \(4\) គ្រាប់។ គេជ្រើសរើសប្រអប់មួយដោយចៃដន្យ រួចចាប់យកឃ្លីមួយចេញពីប្រអប់នោះ។

ក រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ស (តាមរូបមន្តប្រូបាបសរុប)។ ខ រកប្រូបាបដែលឃ្លីនោះយកចេញពីប្រអប់ទី១ ដោយដឹងថាជាឃ្លីពណ៌ខ្មៅ (ទ្រឹស្ដីបទបៃយេស)។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(B_1, B_2\) ៖ ជ្រើសបានប្រអប់ទី១, ទី២ ៖

\[P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}\]
តាង \(W\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីស», \(K\) ៖ «ចាប់បានឃ្លីខ្មៅ»។
\(P(W|B_1) = \frac{2}{5} \,,\, P(K|B_1) = \frac{3}{5}\)។
\(P(W|B_2) = \frac{3}{7} \,,\, P(K|B_2) = \frac{4}{7}\)។

ក តាមរូបមន្តប្រូបាបសរុប ៖

\[P(W) = P(W|B_1)P(B_1) + P(W|B_2)P(B_2)\]
\[= \left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{5} + \frac{3}{14} = \frac{29}{70}\]
ដូចនេះ ៖

ខ តាមទ្រឹស្ដីបទបៃយេស ៖

\[P(K) = 1 - P(W) = 1 - \frac{29}{70} = \frac{41}{70}\]
\[P(B_1|K) = \frac{P(K|B_1)P(B_1)}{P(K)} = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{41}{70}} = \frac{21}{41} \approx 0.512\]
ដូចនេះ ៖

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

✎ សំណួរទី ៥១–៦០

✎ សំណួរទី ៦១–៧០

✎ សំណួរទី ៧១–៨០

✎ សំណួរទី ៨១–៩០

✎ សំណួរទី ៩១–១០០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៤ ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ និងទ្រឹស្ដីបទបៃយេស — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត