KPCambodianmathematicsគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ៧–១២
សិស្សចូលប្រឡង
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១២
  3. មេរៀនទី ២៥
២៥
ជំពូកទី ៧ ប្រូបាប · មេរៀនទី ២៥ · គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១២

អថេរចៃដន្យ និងបំណែងចែកប្រូបាប

ប្រូបាប៦ ផ្នែកសំណួរពហុជ្រើសរើស ១០០

សញ្ញាណនៃអថេរចៃដន្យ

និយមន័យអថេរចៃដន្យ

ក្នុងការពិសោធន៍ចៃដន្យមួយ ជារឿយៗយើងមិនត្រឹមតែចាប់អារម្មណ៍លើលទ្ធផលជាក់លាក់នៃពិសោធន៍នោះទេ ប៉ុន្តែយើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃលេខដែលទាក់ទងនឹងលទ្ធផលទាំងនោះ ដូចជា ចំនួនគ្រាប់ដែលត្រូវ ចំនួនកាក់ដែលផ្ងារខាងរូប ចំនួនផលិតផលខូច ឬពិន្ទុដែលទទួលបានជាដើម។

និយមន័យ

អថេរចៃដន្យ គឺជាអនុគមន៍មួយដែលភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៃលំហសំណាក \(S\) ទៅនឹងចំនួនពិតមួយ។
បើ \(S\) ជាលំហសំណាកនៃពិសោធន៍ចៃដន្យមួយ នោះអថេរចៃដន្យ \(X\) គឺជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ ៖

\[X : S \longrightarrow \mathbb{R}\]
សំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់ដែលអថេរចៃដន្យ \(X\) អាចទទួលយកបាន តាងដោយ \(X(S)\) ឬ \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\)។

ជាទូទៅ

គេចែកអថេរចៃដន្យជាពីរប្រភេទចម្បង ៖

  1. អថេរចៃដន្យដាច់ (Discrete Random Variable) ៖ គឺជាអថេរចៃដន្យដែលសំណុំតម្លៃរបស់វាជាសំណុំរាប់អស់ ឬជាសំណុំរាប់មិនអស់តែរាប់បាន (ដូចជា ចំនួនគត់ \(0, 1, 2, \dots\))។

  2. អថេរចៃដន្យជាប់ (Continuous Random Variable) ៖ គឺជាអថេរចៃដន្យដែលសំណុំតម្លៃរបស់វាជាចន្លោះមួយនៃចំនួនពិត (ដូចជា កម្ពស់ ទម្ងន់ រយៈពេល សីតុណ្ហភាព)។

សម្គាល់ ៖ ក្នុងកម្មវិធីសិក្សាគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១២ យើងផ្តោតការសិក្សាជាចម្បងលើ អថេរចៃដន្យដាច់។

ឧទាហរណ៍

គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(2\) ដង។

  1. ចូរសរសេរលំហសំណាក \(S\) នៃវិញ្ញាសានេះ។

  2. តាង \(X\) ជាអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យចំនួនដងដែលចេញខាងរូប (\(H\))។ រកសំណុំតម្លៃនៃ \(X(S)\)។

ចម្លើយ

  1. លំហសំណាក ៖ \(S = \{(H,H),\, (H,T),\, (T,H),\, (T,T)\}\) ដែល \(n(S) = 4\)។

  2. អថេរចៃដន្យ \(X\) ភ្ជាប់លទ្ធផលនីមួយៗទៅនឹងចំនួនរូប (\(H\)) ៖

    • ចំពោះលទ្ធផល \((T,T)\) គ្មានរូបទេ នាំឱ្យ \(X(T,T) = 0\)

    • ចំពោះលទ្ធផល \((H,T)\) និង \((T,H)\) មានរូបមួយ នាំឱ្យ \(X(H,T) = X(T,H) = 1\)

    • ចំពោះលទ្ធផល \((H,H)\) មានរូបពីរ នាំឱ្យ \(X(H,H) = 2\)

    ដូចនេះ សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(X\) គឺ \(X(S) = \{0, 1, 2\}\)។

ឧទាហរណ៍

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីក្រហម \(3\) និងឃ្លីស \(2\) (សរុប \(5\) គ្រាប់)។ គេចាប់យកឃ្លី \(2\) គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ តាង \(Y\) ជាអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យចំនួនឃ្លីក្រហមដែលចាប់បាន។ ចូរកំណត់សំណុំតម្លៃនៃ \(Y\)។

ចម្លើយ

ចំនួនករណីអាចនៃការចាប់ឃ្លី \(2\) ចេញពី \(5\) គឺ \(n(S) = C_5^2 = \dfrac{5\times 4}{2} = 10\)។
ក្នុងចំណោមឃ្លី \(2\) ដែលចាប់បាន ចំនួនឃ្លីក្រហមអាចជា ៖

  • គ្មានឃ្លីក្រហមសោះ (គឺចាប់បានឃ្លីសទាំង \(2\)) នាំឱ្យ \(Y = 0\)

  • ឃ្លីក្រហម \(1\) និងឃ្លីស \(1\) នាំឱ្យ \(Y = 1\)

  • ឃ្លីក្រហមទាំង \(2\) នាំឱ្យ \(Y = 2\)

ដូចនេះ សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(Y\) គឺ \(Y(S) = \{0, 1, 2\}\)។

ប្រតិបត្តិ

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ដែលល្អស្មើចំនួន \(1\) ដង។ តាង \(X\) ជាអថេរចៃដន្យកំណត់ដូចតទៅ ៖ \(X = 1\) បើបោះបានលេខគូ និង \(X = -1\) បើបោះបានលេខសេស។

  1. ចូរកំណត់លំហសំណាក \(S\)។

  2. កំណត់សំណុំតម្លៃនៃ \(X(S)\) និងរកព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវនឹងតម្លៃនីមួយៗនៃ \(X\)។

ចម្លើយខ្លី

  1. \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

  2. សំណុំតម្លៃ ៖ \(X(S) = \{-1, 1\}\)។
    ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវនឹង \(X = -1\) គឺ \(\{1, 3, 5\}\) (លេខសេស)។
    ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវនឹង \(X = 1\) គឺ \(\{2, 4, 6\}\) (លេខគូ)។

ច្បាប់បំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យដាច់

និយមន័យ និងលក្ខណៈ

និយមន័យ

ឧបមាថា \(X\) ជាអថេរចៃដន្យដាច់មួយ ដែលទទួលតម្លៃ \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\)។
ច្បាប់បំណែងចែកប្រូបាប (ឬ បំណែងចែកប្រូបាប) នៃអថេរចៃដន្យ \(X\) គឺជាការកំណត់ប្រូបាប \(p_i = P(X = x_i)\) ចំពោះគ្រប់តម្លៃ \(x_i\) (\(i = 1, 2, \dots, n\))។

លក្ខណៈ

គ្រប់បំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យដាច់ \(X\) ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌគ្រឹះទាំងពីរខាងក្រោម ៖

  1. \(0 \le P(X = x_i) \le 1 \quad{} (\) ឬ \( 0 \le p_i \le 1) \quad{} \) ចំពោះគ្រប់ \( i = 1, 2, \dots, n\)

  2. \(\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X = x_i) = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\)

តារាងបំណែងចែកប្រូបាប

ជាទូទៅ គេសរសេរបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យដាច់ជាទម្រង់តារាង ហៅថា តារាងបំណែងចែកប្រូបាប ៖

\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(x_3\) \(\cdots\) \(x_n\)
\(P(X = x_i)\) \(p_1\) \(p_2\) \(p_3\) \(\cdots\) \(p_n\)
ឧទាហរណ៍

គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(3\) ដង។ តាង \(X\) ជាអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យចំនួនដងដែលចេញខាងរូប (\(H\))។

  1. កំណត់សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(X\)។

  2. គណនាប្រូបាបចំពោះតម្លៃនីមួយៗនៃ \(X\)។

  3. សរសេរតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។

ចម្លើយ

  1. លំហសំណាកនៃការបោះកាក់ \(3\) ដង ៖
    \(S = \{(HHH),\, (HHT),\, (HTH),\, (HTT),\, (THH),\, (THT),\, (TTH),\, (TTT)\}\) \(\implies n(S) = 2^3 = 8\)។
    ចំនួនរូប (\(H\)) អាចជា \(0, 1, 2, 3\)។ ដូចនេះ \(X(S) = \{0, 1, 2, 3\}\)។

  2. គណនាប្រូបាប ៖

    • \(P(X = 0)\) ៖ ចេញ \((TTT)\) មាន \(1\) ករណី \(\implies P(X = 0) = \dfrac{1}{8}\)

    • \(P(X = 1)\) ៖ ចេញ \((HTT), (THT), (TTH)\) មាន \(3\) ករណី \(\implies P(X = 1) = \dfrac{3}{8}\)

    • \(P(X = 2)\) ៖ ចេញ \((HHT), (HTH), (THH)\) មាន \(3\) ករណី \(\implies P(X = 2) = \dfrac{3}{8}\)

    • \(P(X = 3)\) ៖ ចេញ \((HHH)\) មាន \(1\) ករណី \(\implies P(X = 3) = \dfrac{1}{8}\)

  3. តារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\) ៖

    \(X\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
    \(P(X = x_i)\) \(\dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{1}{8}\)

    ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ \(\displaystyle\sum p_i = \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\) (ពិត)។

ឧទាហរណ៍

តារាងខាងក្រោមជាបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យ \(X\) ៖

\(X\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(P(X = x)\) \(0.1\) \(2k\) \(0.3\) \(k\) \(0.15\)

  1. រកតម្លៃនៃចំនួនថេរ \(k\)។

  2. គណនាប្រូបាប \(P(X \ge 3)\) និង \(P(1 < X \le 4)\)។

ចម្លើយ

  1. តាមលក្ខណៈនៃបំណែងចែកប្រូបាប ផលបូកនៃប្រូបាបទាំងអស់ស្មើនឹង \(1\) ៖

    \[0.1 + 2k + 0.3 + k + 0.15 = 1 \iff 3k + 0.55 = 1 \iff 3k = 0.45 \iff k = 0.15\]
    ដូចនេះ \(k = 0.15\)។ ពេលនោះ \(P(X=2) = 2(0.15) = 0.30\) និង \(P(X=4) = 0.15\)។

  2. គណនាប្រូបាប ៖

    • \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.3 + 0.15 + 0.15 = 0.60\)

    • \(P(1 < X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.30 + 0.30 + 0.15 = 0.75\)

ប្រតិបត្តិ

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ស \(4\) និងឃ្លីពណ៌ខ្មៅ \(3\)។ គេចាប់យកឃ្លី \(3\) ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ តាង \(X\) ជាចំនួនឃ្លីពណ៌សដែលចាប់បាន។

  1. រកសំណុំតម្លៃនៃ \(X\)។

  2. រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យ \(X\)។

ចម្លើយខ្លី

  1. សំណុំតម្លៃ ៖ \(X(S) = \{0, 1, 2, 3\}\) (\(n(S) = C_7^3 = 35\))

  2. \(P(X=0) = \dfrac{C_3^3}{35} = \dfrac{1}{35}\), \(P(X=1) = \dfrac{C_4^1 C_3^2}{35} = \dfrac{12}{35}\),
    \(P(X=2) = \dfrac{C_4^2 C_3^1}{35} = \dfrac{18}{35}\), \(P(X=3) = \dfrac{C_4^3}{35} = \dfrac{4}{35}\)

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រលក្ខណៈ ៖ សង្ឃឹមគណិត វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដា

សង្ឃឹមគណិត (Mathematical Expectation)

និយមន័យ

សង្ឃឹមគណិត (ឬ តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យដាច់ \(X\) ដែលមានបំណែងចែកប្រូបាប \(P(X = x_i) = p_i\) កំណត់ដោយ ៖

\[\mu = E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\]

លក្ខណៈ

ចំពោះចំនួនថេរ \(a, b, c\) និងអថេរចៃដន្យ \(X, Y\) គេបាន ៖

  1. \(E(c) = c\)

  2. \(E(aX + b) = aE(X) + b\)

  3. \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)

  4. បើ \(X\) និង \(Y\) មិនទាក់ទងគ្នា (ឯករាជ្យ) នោះ \(E(XY) = E(X)\cdot E(Y)\)

អត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃសង្ឃឹមគណិត

សង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) តំណាងឱ្យតម្លៃមធ្យមដែលគេរំពឹងថានឹងទទួលបានក្នុងរយៈពេលវែង ប្រសិនបើគេធ្វើពិសោធន៍នោះដដែលៗជាច្រើនដង។ ក្នុងល្បែងភ្នាល់ ៖

  • បើ \(E(X) = 0\) គេថាជា ល្បែងយុត្តិធម៌ (Fair Game) (គ្មានអ្នកណាចំណេញ ឬខាត)។

  • បើ \(E(X) > 0\) អ្នកលេងមានប្រៀបចំណេញ។

  • បើ \(E(X) < 0\) អ្នកលេងខាតបង់ជាមធ្យម។

វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដា (Variance & Standard Deviation)

និយមន័យ

វ៉ារ្យ៉ង់ នៃអថេរចៃដន្យ \(X\) តាងដោយ \(V(X)\) ឬ \(\sigma^2\) គឺជាតម្លៃមធ្យមនៃការ៉េនៃគម្លាតរវាង \(X\) និងតម្លៃមធ្យម \(\mu = E(X)\) ៖

\[V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 p_i\]
ក្នុងការគណនាជាក់ស្តែង គេប្រើរូបមន្តសម្រួល ៖
\[\boxed{\displaystyle V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\]
ដែល \(\displaystyle E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \cdots + x_n^2 p_n\)។

និយមន័យ

គម្លាតស្តង់ដា នៃអថេរចៃដន្យ \(X\) គឺជាឬសការ៉េវិជ្ជមាននៃវ៉ារ្យ៉ង់ ៖

\[\boxed{\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{V(X)}}\]
គម្លាតស្តង់ដាវាស់វែងពីកម្រិតនៃការបែកខ្ញែក ឬគម្លាតនៃតម្លៃរបស់ \(X\) ជុំវិញតម្លៃមធ្យម \(E(X)\)។

លក្ខណៈ

ចំពោះចំនួនថេរ \(a, b, c\) គេបាន ៖

  1. \(V(X) \ge 0\) និង \(\sigma(X) \ge 0\) ជានិច្ច

  2. \(V(c) = 0\)

  3. \(V(aX + b) = a^2 V(X)\) នាំឱ្យ \(\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)\)

  4. បើ \(X\) និង \(Y\) ជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីគ្នា នោះ \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)

ឧទាហរណ៍

គេឱ្យតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យ \(X\) ៖

\(X\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(P(X = x_i)\) \(0.1\) \(0.4\) \(0.3\) \(0.2\)

ចូរគណនា \(E(X)\), \(V(X)\), និង \(\sigma(X)\)។

ចម្លើយ

  • គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) ៖

    \[E(X) = \sum x_i p_i = (0)(0.1) + (1)(0.4) + (2)(0.3) + (3)(0.2) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 = 1.6\]

  • គណនា \(E(X^2)\) ៖

    \[E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (0^2)(0.1) + (1^2)(0.4) + (2^2)(0.3) + (3^2)(0.2) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4\]

  • គណនាវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\) ៖

    \[V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84\]

  • គណនាគម្លាតស្តង់ដា \(\sigma(X)\) ៖

    \[\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.84} \approx 0.9165\]

ឧទាហរណ៍

ក្នុងល្បែងកម្សាន្តមួយ អ្នកលេងត្រូវបង់ប្រាក់ \(1000\) រៀលដើម្បីទិញសំបុត្រមួយសន្លឹក។ ក្នុងចំណោមសំបុត្រ \(100\) សន្លឹក មានរង្វាន់ធំ \(50000\) រៀលចំនួន \(1\) រង្វាន់, រង្វាន់កណ្តាល \(10000\) រៀលចំនួន \(2\) រង្វាន់ និងរង្វាន់តូច \(2000\) រៀលចំនួន \(5\) រង្វាន់។ តាង \(X\) ជាប្រាក់ចំណេញសុទ្ធរបស់អ្នកលេងម្នាក់ (គិតជារៀល)។

  1. រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។

  2. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\)។ តើល្បែងនេះយុត្តិធម៌សម្រាប់អ្នកលេងដែរឬទេ?

ចម្លើយ

  1. អ្នកលេងត្រូវចំណាយដើមទុន \(1000\) រៀលជាមុន។ ដូចនេះ ប្រាក់ចំណេញសុទ្ធ \(X\) មានតម្លៃ ៖

    • ត្រូវរង្វាន់ធំ ៖ \(50000 - 1000 = 49000\) រៀល (មាន \(1\) សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{1}{100} = 0.01\))

    • ត្រូវរង្វាន់កណ្តាល ៖ \(10000 - 1000 = 9000\) រៀល (មាន \(2\) សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{2}{100} = 0.02\))

    • ត្រូវរង្វាន់តូច ៖ \(2000 - 1000 = 1000\) រៀល (មាន \(5\) សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{5}{100} = 0.05\))

    • មិនត្រូវរង្វាន់សោះ ៖ \(0 - 1000 = -1000\) រៀល (មាន \(100 - 1 - 2 - 5 = 92\) សន្លឹក \(\implies P = \dfrac{92}{100} = 0.92\))

    តារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\) ៖

    \(X\) (រៀល) \(49000\) \(9000\) \(1000\) \(-1000\)
    \(P(X = x_i)\) \(0.01\) \(0.02\) \(0.05\) \(0.92\)

  2. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) ៖

    \[\begin{aligned} E(X) &= (49000)(0.01) + (9000)(0.02) + (1000)(0.05) + (-1000)(0.92) \\ &= 490 + 180 + 50 - 920 = 720 - 920 = -200 \text{ រៀល} \end{aligned}\]
    ដោយសារ \(E(X) = -200 < 0\) ដូចនេះល្បែងនេះ មិនយុត្តិធម៌ទេ សម្រាប់អ្នកលេង (អ្នកលេងខាតជាមធ្យម \(200\) រៀលក្នុងមួយសំបុត្រ)។

ប្រតិបត្តិ

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ដែលល្អស្មើចំនួន \(1\) ដង។ តាង \(X\) ជាលេខដែលចេញលើមុខគ្រាប់ឡុកឡាក់។

  1. សរសេរតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។

  2. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) វ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\) និងគម្លាតស្តង់ដា \(\sigma(X)\)។

ចម្លើយខ្លី

  1. \(X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(P(X=x) = \dfrac{1}{6}\) ចំពោះគ្រប់ \(x\)

  2. \(E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5\)
    \(E(X^2) = \dfrac{1+4+9+16+25+36}{6} = \dfrac{91}{6} \approx 15.17\)
    \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 15.17 - (3.5)^2 \approx 2.92 \implies \sigma(X) = \sqrt{2.92} \approx 1.71\)

ពិសោធន៍ប៊ែរនូយី និងច្បាប់ប៊ីណូម

ពិសោធន៍ប៊ែរនូយី (Bernoulli Trial)

និយមន័យ

ពិសោធន៍ប៊ែរនូយី គឺជាពិសោធន៍ចៃដន្យមួយដែលមានលទ្ធផលត្រឹមតែ \(2\) គត់ដែលមិនចុះសម្រុងគ្នា ៖

  • «ជោគជ័យ» (Success តាងដោយ \(S\)) ដែលមានប្រូបាប \(P(S) = p \quad{} (0 < p < 1)\)

  • «បរាជ័យ» (Failure តាងដោយ \(F\)) ដែលមានប្រូបាប \(P(F) = q = 1 - p\)

ឧទាហរណ៍

  1. ការបោះកាក់មួយ ៖ អាចចេញ «រូប» (ជោគជ័យ) ឬ «លេខ» (បរាជ័យ)។

  2. ការបាញ់ផ្ទាំងស៊ីបមួយគ្រាប់ ៖ អាច «ត្រូវ» ឬ «ខុស»។

  3. ការពិនិត្យផលិតផលមួយចេញពីរោងចក្រ ៖ អាច «ល្អ» ឬ «ខូច»។

ច្បាប់បំណែងចែកប៊ីណូម (Binomial Distribution)

និយមន័យ

ឧបមាថាយើងធ្វើពិសោធន៍ប៊ែរនូយីដដែលៗចំនួន \(n\) ដងដោយឯករាជ្យពីគ្នា (លទ្ធផលនៃការធ្វើម្តងៗមិនប៉ះពាល់ដល់ការធ្វើលើកក្រោយៗឡើយ) ហើយប្រូបាបជោគជ័យ \(p\) រក្សាថេរគ្រប់លើក។
តាង \(X\) ជាអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យ ចំនួនដងនៃភាពជោគជ័យ ក្នុងចំណោមការធ្វើពិសោធន៍ទាំង \(n\) ដង។ នោះគេថា \(X\) មាន ច្បាប់បំណែងចែកប៊ីណូម ដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(n\) និង \(p\) តាងដោយ ៖

\[X \sim B(n,\, p)\]
សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(X\) គឺ \(X(S) = \{0, 1, 2, \dots, n\}\)។

រូបមន្តប្រូបាបនៃច្បាប់ប៊ីណូម

ប្រូបាបដើម្បីទទួលបានជោគជ័យចំនួន \(k\) ដង (\(k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}\)) ក្នុងការធ្វើពិសោធន៍ \(n\) ដង កំណត់ដោយរូបមន្ត ៖

\[\boxed{\displaystyle P(X = k) = C_n^k \, p^k \, q^{n-k} = C_n^k \, p^k \, (1-p)^{n-k}}\]
ដែល ៖

  • \(n\) ៖ ចំនួនដងសរុបនៃការធ្វើពិសោធន៍

  • \(k\) ៖ ចំនួនដងដែលទទួលបានជោគជ័យ (\(0 \le k \le n\))

  • \(p\) ៖ ប្រូបាបជោគជ័យក្នុងមួយលើក

  • \(q = 1 - p\) ៖ ប្រូបាបបរាជ័យក្នុងមួយលើក

  • \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) ៖ ចំនួនបន្សំ \(k\) ធាតុយកពី \(n\) ធាតុ

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រលក្ខណៈនៃច្បាប់ប៊ីណូម

បើ \(X \sim B(n, p)\) នោះគេបាន ៖

  1. សង្ឃឹមគណិត ៖ \(\displaystyle E(X) = n p\)

  2. វ៉ារ្យ៉ង់ ៖ \(\displaystyle V(X) = n p q = n p (1 - p)\)

  3. គម្លាតស្តង់ដា ៖ \(\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{n p q} = \sqrt{n p (1 - p)}\)

ឧទាហរណ៍

គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(5\) ដង។

  1. រកប្រូបាបដែលបោះបានខាងរូប (\(H\)) ចំនួន \(3\) ដងគត់។

  2. រកប្រូបាបដែលបោះបានខាងរូបយ៉ាងតិច \(1\) ដង។

  3. គណនាសង្ឃឹមគណិត និងវ៉ារ្យ៉ង់នៃចំនួនដងដែលចេញខាងរូប។

ចម្លើយ

តាង \(X\) ជាចំនួនដងដែលចេញខាងរូប (\(H\)) ក្នុងការបោះ \(5\) ដង។
ការបោះកាក់ម្តងៗជាពិសោធន៍ប៊ែរនូយីដែលមាន \(p = P(H) = \dfrac{1}{2}\) និង \(q = 1 - p = \dfrac{1}{2}\)។
ដោយការបោះទាំង \(5\) ដងឯករាជ្យពីគ្នា នោះ \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម \(X \sim B\left(5,\, \dfrac{1}{2}\right)\)។

  1. ប្រូបាបចេញរូប \(3\) ដងគត់ (\(k = 3\)) ៖

    \[P(X = 3) = C_5^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{5-3} = \frac{5!}{3!2!} \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\]

  2. «ចេញរូបយ៉ាងតិច \(1\) ដង» គឺព្រឹត្តិការណ៍ \(X \ge 1\)។ ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយរបស់វាគឺ «គ្មានចេញរូបសោះ» (\(X = 0\)) ៖

    \[P(X = 0) = C_5^0 \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}\]
    តាមរូបមន្តព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ៖
    \[P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}\]

  3. សង្ឃឹមគណិត និងវ៉ារ្យ៉ង់ ៖

    • \(E(X) = np = 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5\)

    • \(V(X) = npq = 5 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4} = 1.25\)

ឧទាហរណ៍

អ្នកបាញ់កាំភ្លើងម្នាក់មានប្រូបាបបាញ់ត្រូវចំផ្ទាំងស៊ីបស្មើនឹង \(0.8\) ក្នុងមួយគ្រាប់ៗ។ គាត់បាញ់សរុបចំនួន \(4\) គ្រាប់ដោយឯករាជ្យពីគ្នា។

  1. រកប្រូបាបដែលគាត់បាញ់ត្រូវចំស៊ីបទាំង \(4\) គ្រាប់។

  2. រកប្រូបាបដែលគាត់បាញ់ត្រូវចំស៊ីបយ៉ាងហោចណាស់ \(3\) គ្រាប់។

  3. គណនាសង្ឃឹមគណិត និងគម្លាតស្តង់ដានៃចំនួនគ្រាប់ដែលបាញ់ត្រូវ។

ចម្លើយ

តាង \(X\) ជាចំនួនគ្រាប់ដែលបាញ់ត្រូវចំស៊ីប។ គេបាន \(X \sim B(4,\, 0.8)\) ដែល \(n = 4\), \(p = 0.8\), \(q = 1 - 0.8 = 0.2\)។

  1. ប្រូបាបបាញ់ត្រូវទាំង \(4\) គ្រាប់ (\(k = 4\)) ៖

    \[P(X = 4) = C_4^4 (0.8)^4 (0.2)^0 = 1 \times 0.4096 \times 1 = 0.4096\]

  2. ប្រូបាបបាញ់ត្រូវយ៉ាងហោចណាស់ \(3\) គ្រាប់ គឺ \(P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)\) ៖

    \[P(X = 3) = C_4^3 (0.8)^3 (0.2)^1 = 4 \times 0.512 \times 0.2 = 0.4096\]
    នាំឱ្យ ៖
    \[P(X \ge 3) = 0.4096 + 0.4096 = 0.8192\]

  3. ប៉ារ៉ាម៉ែត្រលក្ខណៈ ៖

    • \(E(X) = np = 4 \times 0.8 = 3.2\) គ្រាប់

    • \(V(X) = npq = 4 \times 0.8 \times 0.2 = 0.64\)

    • \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.64} = 0.8\) គ្រាប់

ឧទាហរណ៍

អថេរចៃដន្យ \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម \(B(n, p)\) ដែលមានសង្ឃឹមគណិត \(E(X) = 6\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X) = 4.2\)។ ចូរកំណត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(n\) និង \(p\) រួចគណនា \(P(X = 2)\)។

ចម្លើយ

តាមរូបមន្តច្បាប់ប៊ីណូម ៖

\[\begin{cases} E(X) = np = 6 \\ V(X) = np(1 - p) = 4.2 \end{cases}\]
ជំនួស \(np = 6\) ចូលក្នុងសមីការទីពីរ ៖
\[6(1 - p) = 4.2 \iff 1 - p = \frac{4.2}{6} = 0.7 \iff p = 1 - 0.7 = 0.3\]
ទាញរក \(n\) ៖
\[n(0.3) = 6 \iff n = \frac{6}{0.3} = 20\]
ដូចនេះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺ \(n = 20\) និង \(p = 0.3\) (\(X \sim B(20,\, 0.3)\))។
គណនា \(P(X = 2)\) ៖
\[P(X = 2) = C_{20}^2 (0.3)^2 (0.7)^{18} = \frac{20 \times 19}{2} (0.09) (0.7)^{18} = 190 \times 0.09 \times (0.7)^{18} = 17.1 \times (0.7)^{18} \approx 0.0278\]

ប្រតិបត្តិ

គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(5\) ដង។ តាង \(X\) ជាចំនួនដងដែលចេញខាងរូប (\(H\))។

  1. បញ្ជាក់ច្បាប់បំណែងចែកនៃ \(X\) និងប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។

  2. គណនាប្រូបាបដែលចេញខាងរូប \(3\) ដងគត់ (\(P(X=3)\))។

  3. រកសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\)។

ចម្លើយខ្លី

  1. \(X \sim B(5,\, 0.5)\) មាន \(n = 5\) និង \(p = 0.5\) (\(q = 0.5\))

  2. \(P(X=3) = C_5^3 (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times (0.5)^5 = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = 0.3125\)

  3. \(E(X) = np = 5 \times 0.5 = 2.5\) , \(V(X) = npq = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25\)

ចំណាំ ៖ សូមពិនិត្យផ្ទៀងផ្ទាត់ តារាងសោចម្លើយ MCQ ទាំង ១០០ នៅក្នុង ផ្នែកដំណោះស្រាយ នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅ។

លំហាត់អនុវត្តន៍

  1. គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ព្រមគ្នា។ តាង \(X\) ជាផលបូកនៃលេខដែលចេញលើមុខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរ។

    1. ចូរកំណត់សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(X\)។

    2. រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។

    3. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\)។

  2. តារាងខាងក្រោមជាបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យដាច់ \(Y\) ៖

    \(Y\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
    \(P(Y = y)\) \(0.15\) \(c\) \(0.35\) \(2c\) \(0.2\)

    1. រកតម្លៃនៃចំនួនថេរ \(c\)។

    2. គណនាប្រូបាប \(P(Y < 0)\) និង \(P(Y \ge 1)\)។

    3. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(Y)\) វ៉ារ្យ៉ង់ \(V(Y)\) និងគម្លាតស្តង់ដា \(\sigma(Y)\)។

  3. ក្នុងថង់មួយមានប៊ិចខៀវ \(5\) ដើម និងប៊ិចក្រហម \(3\) ដើម។ គេចាប់យកប៊ិច \(2\) ដើមព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ តាង \(X\) ជាចំនួនប៊ិចខៀវដែលចាប់បាន។

    1. រកសំណុំតម្លៃនៃ \(X\)។

    2. រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។

    3. គណនាតម្លៃមធ្យម \(E(X)\) និងគម្លាតស្តង់ដា \(\sigma(X)\)។

  4. ការប្រឡងតេស្តមួយមានសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ) ចំនួន \(10\) សំណួរ។ សំណួរនីមួយៗមានជម្រើស \(4\) ដែលក្នុងនោះមានចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយគត់។ សិស្សម្នាក់មិនបានរៀនមេរៀនសោះ ហើយបានជ្រើសរើសចម្លើយដោយចៃដន្យទាំងស្រុងលើគ្រប់សំណួរទាំងអស់។ តាង \(X\) ជាចំនួនសំណួរដែលគាត់ឆ្លើយត្រូវ។

    1. តើ \(X\) មានបំណែងចែកប្រូបាបអ្វី? បញ្ជាក់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបំណែងចែកនោះ។

    2. គណនាសង្ឃឹមគណិត និងគម្លាតស្តង់ដានៃចំនួនសំណួរដែលគាត់ឆ្លើយត្រូវ។

    3. រកប្រូបាបដែលគាត់ឆ្លើយត្រូវ \(3\) សំណួរគត់។

    4. រកប្រូបាបដែលគាត់ឆ្លើយខុសទាំងអស់។

  5. តាមស្ថិតិនៃរោងចក្រមួយ គេដឹងថាមានផលិតផលខូច \(5\%\) នៃផលិតផលដែលផលិតបានសរុប។ គេជ្រើសរើសផលិតផល \(8\) មកត្រួតពិនិត្យដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល ៖

    1. គ្មានផលិតផលខូចសោះ។

    2. មានផលិតផលខូច \(1\) គត់។

    3. មានផលិតផលខូចយ៉ាងតិច \(2\)។

  6. គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(6\) ដង។ រកប្រូបាបដែល ៖

    1. ចេញខាងរូបចំនួន \(4\) ដង។

    2. ចេញខាងរូបយ៉ាងតិច \(5\) ដង។

    3. ចេញខាងរូប និងខាងលេខមានចំនួនស្មើគ្នា។

  7. អថេរចៃដន្យ \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម \(B(n, p)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(E(X) = 8\) និង \(\sigma(X) = 2\)។

    1. រកតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(n\) និង \(p\)។

    2. គណនាប្រូបាប \(P(X = 0)\) និង \(P(X = 1)\)។

  8. ក្នុងប្រអប់មួយមានសំបុត្រឆ្នោត \(20\) សន្លឹក ក្នុងនោះមានសំបុត្រត្រូវរង្វាន់ \(4\) សន្លឹក។ មនុស្សម្នាក់ចាប់យកសំបុត្រម្តងមួយៗចំនួន \(3\) លើក ដោយដាក់ចូលប្រអប់វិញរាល់ពេលចាប់រួច។ តាង \(X\) ជាចំនួនសន្លឹកដែលត្រូវរង្វាន់។

    1. បង្ហាញថា \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។

    2. គណនាប្រូបាបដែលគាត់ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក។

    3. គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\)។

  9. មន្ទីរពេទ្យមួយទទួលព្យាបាលអ្នកជំងឺដោយឱសថថ្មីមួយប្រភេទដែលមានអត្រាជោគជ័យជាសះស្បើយ \(80\%\)។ ប្រសិនបើមានអ្នកជំងឺចំនួន \(6\) នាក់បានទទួលការព្យាបាលនេះដោយឯករាជ្យពីគ្នា ៖

    1. រកប្រូបាបដែលអ្នកជំងឺទាំងអស់ជាសះស្បើយ។

    2. រកប្រូបាបដែលមានអ្នកជំងឺយ៉ាងតិច \(4\) នាក់ជាសះស្បើយ។

    3. គណនាចំនួនអ្នកជំងឺជាមធ្យមដែលរំពឹងថានឹងជាសះស្បើយ។

  10. គេឱ្យអថេរចៃដន្យ \(X\) មានតារាងបំណែងចែកប្រូបាបដូចខាងក្រោម ៖

    \(X\) \(1\) \(2\) \(3\)
    \(P(X = x)\) \(0.2\) \(0.5\) \(0.3\)

    គេកំណត់អថេរចៃដន្យថ្មី \(Y = 3X - 2\)។

    1. សរសេរតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(Y\)។

    2. គណនា \(E(X)\) និង \(V(X)\) រួចទាញរក \(E(Y)\) និង \(V(Y)\) ដោយប្រើលក្ខណៈនៃសង្ឃឹមគណិត និងវ៉ារ្យ៉ង់។

ចម្លើយ និងដំណោះស្រាយ

បើកមើលចម្លើយ និងដំណោះស្រាយលម្អិត
colframe=teal!80!black, colback=white, colbacktitle=teal!80!black, coltitle=white, title= តារាងចម្លើយសំណួរពហុជ្រើសរើស (MCQ 100) — មេរៀនទី ៣, halign=center, arc=1.5mm, boxrule=1.2pt, left=1mm, right=1mm, top=2mm, bottom=2mm
ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ ល.រ ចម្លើយ
១ គ ២១ គ ៤១ គ ៦១ គ ៨១ គ
២ ខ ២២ ខ ៤២ ខ ៦២ ខ ៨២ ខ
៣ ក ២៣ ក ៤៣ ក ៦៣ ក ៨៣ ក
៤ ឃ ២៤ ឃ ៤៤ ឃ ៦៤ ឃ ៨៤ ឃ
៥ គ ២៥ គ ៤៥ គ ៦៥ គ ៨៥ គ
៦ ខ ២៦ ខ ៤៦ ខ ៦៦ ខ ៨៦ ខ
៧ ក ២៧ ក ៤៧ ក ៦៧ ក ៨៧ ក
៨ ឃ ២៨ ឃ ៤៨ ឃ ៦៨ ឃ ៨៨ ឃ
៩ គ ២៩ គ ៤៩ គ ៦៩ គ ៨៩ គ
១០ ខ ៣០ ខ ៥០ ខ ៧០ ខ ៩០ ខ
១១ ក ៣១ ក ៥១ ក ៧១ ក ៩១ ក
១២ ឃ ៣២ ឃ ៥២ ឃ ៧២ ឃ ៩២ ឃ
១៣ គ ៣៣ គ ៥៣ គ ៧៣ គ ៩៣ គ
១៤ ខ ៣៤ ខ ៥៤ ខ ៧៤ ខ ៩៤ ខ
១៥ ក ៣៥ ក ៥៥ ក ៧៥ ក ៩៥ ក
១៦ ឃ ៣៦ ឃ ៥៦ ឃ ៧៦ ឃ ៩៦ ឃ
១៧ គ ៣៧ គ ៥៧ គ ៧៧ គ ៩៧ គ
១៨ ខ ៣៨ ខ ៥៨ ខ ៧៨ ខ ៩៨ ខ
១៩ ក ៣៩ ក ៥៩ ក ៧៩ ក ៩៩ ក
២០ ឃ ៤០ ឃ ៦០ ឃ ៨០ ឃ ១០០ ឃ
ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃលំហាត់អនុវត្តន៍
លំហាត់ទី ១

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ព្រមគ្នា។ តាង \(X\) ជាផលបូកនៃលេខដែលចេញលើមុខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរ។

ក ចូរកំណត់សំណុំតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ \(X\)។ ខ រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។ គ គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\)។

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = 6 \times 6 = 36\)។

ក សំណុំតម្លៃនៃ \(X\) ៖

\[X(S) = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\]
ដូចនេះ ៖

ខ តារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\) ៖

\(x_i\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(P\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\)
\(x_i\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\)
\(P\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)

គ គណនា \(E(X)\) និង \(V(X)\) ៖
ដោយបំណែងចែកស៊ីមេទ្រីធៀបនឹង \(7\) ៖

\[E(X) = 7\]
\(E(X^2) = \frac{1974}{36} = \frac{329}{6}\) ៖
\[V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{329}{6} - 49 = \frac{35}{6} \approx 5.833\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ២

តារាងខាងក្រោមជាបំណែងចែកប្រូបាបនៃអថេរចៃដន្យដាច់ \(Y\) ៖

\(Y\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(P(Y = y)\) \(0.15\) \(c\) \(0.35\) \(2c\) \(0.20\)

ក រកតម្លៃថេរ \(c\)។ ខ គណនា \(P(Y < 0)\) និង \(P(Y \ge 1)\)។ គ គណនា \(E(Y)\), \(V(Y)\) និង \(\sigma(Y)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក រកតម្លៃ \(c\) ៖
ផលបូកប្រូបាបទាំងអស់ស្មើ \(1\) ៖

\[0.15 + c + 0.35 + 2c + 0.20 = 1\]
\[\implies 3c + 0.70 = 1 \implies 3c = 0.30 \implies c = 0.10\]
ដូចនេះ ៖

ខ គណនាប្រូបាប ៖

\[P(Y < 0) = P(-2) + P(-1) = 0.15 + 0.10 = 0.25\]
\[P(Y \ge 1) = P(1) + P(2) = 0.20 + 0.20 = 0.40\]
ដូចនេះ ៖

គ គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖

\[E(Y) = (-2)(0.15) + (-1)(0.10) + 0 + 1(0.20) + 2(0.20)\]
\[= -0.40 + 0.60 = 0.20\]
\(E(Y^2) = 4(0.15) + 1(0.10) + 0 + 1(0.20) + 4(0.20) = 1.70\)
\[V(Y) = 1.70 - (0.20)^2 = 1.70 - 0.04 = 1.66\]
\[\sigma(Y) = \sqrt{1.66} \approx 1.288\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៣

ក្នុងថង់មួយមានប៊ិចខៀវ \(5\) ដើម និងប៊ិចក្រហម \(3\) ដើម (សរុប \(8\) ដើម)។ គេចាប់យកប៊ិច \(2\) ដើមព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ តាង \(X\) ជាចំនួនប៊ិចខៀវដែលចាប់បាន។

ក រកសំណុំតម្លៃនៃ \(X\)។ ខ រៀបចំតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(X\)។ គ គណនាតម្លៃមធ្យម \(E(X)\) និងគម្លាតស្តង់ដា \(\sigma(X)\)។

ដំណោះស្រាយ

ចំនួនករណីអាច ៖ \(n(S) = C_8^2 = 28\)។

ក សំណុំតម្លៃ ៖ \(X(S) = \{0, 1, 2\}\)។ ដូចនេះ ៖

ខ គណនាប្រូបាប ៖
\(\bullet\) \(P(X=0) = \frac{C_3^2}{28} = \frac{3}{28}\)
\(\bullet\) \(P(X=1) = \frac{C_5^1 C_3^1}{28} = \frac{15}{28}\)
\(\bullet\) \(P(X=2) = \frac{C_5^2}{28} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}\)

\(X\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(P(X=x)\) \(\frac{3}{28}\) \(\frac{15}{28}\) \(\frac{10}{28}\)

គ គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖

\[E(X) = 0 + 1\left(\frac{15}{28}\right) + 2\left(\frac{10}{28}\right) = \frac{35}{28} = 1.25\]
\(E(X^2) = 0 + 1\left(\frac{15}{28}\right) + 4\left(\frac{10}{28}\right) = \frac{55}{28}\)
\[V(X) = \frac{55}{28} - (1.25)^2 = \frac{45}{112} \approx 0.4018\]
\[\sigma(X) = \sqrt{0.4018} \approx 0.6339\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៤

ការប្រឡងតេស្តមួយមាន MCQ ចំនួន \(10\) សំណួរ ជម្រើស \(4\) (មានត្រូវតែ \(1\))។ សិស្សជ្រើសរើសចម្លើយដោយចៃដន្យទាំងស្រុង។ តាង \(X\) ជាចំនួនសំណួរដែលឆ្លើយត្រូវ។

ក កំណត់បំណែងចែក និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ \(X\)។ ខ គណនាសង្ឃឹមគណិត និងគម្លាតស្តង់ដា។ គ រកប្រូបាបដែលគាត់ឆ្លើយត្រូវ \(3\) សំណួរគត់។ ឃ រកប្រូបាបដែលគាត់ឆ្លើយខុសទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយ

ក ការឆ្លើយសំណួរនីមួយៗជាពិសោធន៍ប៊ែរនូយីឯករាជ្យ ៖

\[n = 10 \quad{} , \quad{} p = \frac{1}{4} = 0.25 \quad{} , \quad{} q = 0.75\]
នាំឱ្យ \(X \sim B(10,\, 0.25)\)។ ដូចនេះ ៖

ខ គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖

\[E(X) = np = 10 \times 0.25 = 2.5 \text{ សំណួរ}\]
\[V(X) = npq = 10 \times 0.25 \times 0.75 = 1.875\]
\[\sigma(X) = \sqrt{1.875} \approx 1.369 \text{ សំណួរ}\]
ដូចនេះ ៖

គ ឆ្លើយត្រូវ \(3\) សំណួរគត់ (\(k=3\)) ៖

\[P(X = 3) = C_{10}^3 (0.25)^3 (0.75)^7\]
\[= 120 \times 0.015625 \times 0.133484 \approx 0.2503\]
ដូចនេះ ៖

ឃ ឆ្លើយខុសទាំងអស់ (\(k=0\)) ៖

\[P(X = 0) = (0.75)^{10} \approx 0.0563\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៥

តាមស្ថិតិនៃរោងចក្រមួយ គេដឹងថាមានផលិតផលខូច \(5\%\) (\(p=0.05\))។ គេជ្រើសរើសផលិតផល \(8\) មកត្រួតពិនិត្យដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល ៖

ក គ្មានផលិតផលខូចសោះ ខ មានផលិតផលខូច \(1\) គត់ គ មានផលិតផលខូចយ៉ាងតិច \(2\)

ដំណោះស្រាយ

តាង \(X\) ជាចំនួនផលិតផលខូច ៖ \(X \sim B(8,\, 0.05)\) ជាមួយ \(q = 0.95\)។

ក គ្មានផលិតផលខូចសោះ (\(k=0\)) ៖

\[P(X = 0) = (0.95)^8 \approx 0.6634\]
ដូចនេះ ៖

ខ មានផលិតផលខូច \(1\) គត់ (\(k=1\)) ៖

\[P(X = 1) = C_8^1 (0.05)^1 (0.95)^7 = 8(0.05)(0.6983) \approx 0.2793\]
ដូចនេះ ៖

គ មានផលិតផលខូចយ៉ាងតិច \(2\) ៖

\[P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]\]
\[= 1 - (0.6634 + 0.2793) = 1 - 0.9427 = 0.0573\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៦

គេបោះកាក់មួយដែលល្អស្មើចំនួន \(6\) ដង (\(n=6, p=0.5\))។ រកប្រូបាបដែល ៖

ក ចេញខាងរូបចំនួន \(4\) ដង ខ ចេញខាងរូបយ៉ាងតិច \(5\) ដង គ ចេញខាងរូប និងខាងលេខមានចំនួនស្មើគ្នា

ដំណោះស្រាយ

តាង \(X\) ជាចំនួនដងចេញរូប ៖ \(X \sim B(6,\, 0.5)\)។

ក ចេញខាងរូប \(4\) ដង ៖

\[P(X = 4) = C_6^4 (0.5)^6 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.2344\]
ដូចនេះ ៖

ខ ចេញខាងរូបយ៉ាងតិច \(5\) ដង ៖

\[P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)\]
\[= (C_6^5 + C_6^6)(0.5)^6 = (6 + 1)\frac{1}{64} = \frac{7}{64} \approx 0.1094\]
ដូចនេះ ៖

គ ចេញរូប និងលេខស្មើគ្នា (\(k=3\)) ៖

\[P(X = 3) = C_6^3 (0.5)^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៧

អថេរចៃដន្យ \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម \(B(n, p)\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(E(X) = 8\) និង \(\sigma(X) = 2\)។

ក រកតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(n\) និង \(p\)។ ខ គណនាប្រូបាប \(P(X = 0)\) និង \(P(X = 1)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក រកតម្លៃ \(n\) និង \(p\) ៖
យើងមាន ៖ \(E(X) = np = 8\) និង \(V(X) = \sigma^2 = 4\)។
ដោយ \(V(X) = np(1-p)\) ៖

\[8(1-p) = 4 \implies 1-p = \frac{1}{2} \implies p = 0.5\]
\[n = \frac{8}{0.5} = 16\]
ដូចនេះ ៖

ខ គណនាប្រូបាប ៖

\[P(X = 0) = C_{16}^0 (0.5)^{16} = \frac{1}{65536} \approx 1.53 \times 10^{-5}\]
\[P(X = 1) = C_{16}^1 (0.5)^{16} = \frac{16}{65536} = \frac{1}{4096} \approx 2.44 \times 10^{-4}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៨

ក្នុងប្រអប់មួយមានសំបុត្រឆ្នោត \(20\) សន្លឹក ក្នុងនោះត្រូវរង្វាន់ \(4\) សន្លឹក។ មនុស្សម្នាក់ចាប់យកសំបុត្រម្តងមួយៗចំនួន \(3\) លើក ដោយដាក់ចូលប្រអប់វិញរាល់ពេលចាប់រួច។ តាង \(X\) ជាចំនួនសន្លឹកត្រូវរង្វាន់។

ក បង្ហាញថា \(X\) មានបំណែងចែកប៊ីណូម និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ខ គណនាប្រូបាបដែលគាត់ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក។ គ គណនាសង្ឃឹមគណិត \(E(X)\) និងវ៉ារ្យ៉ង់ \(V(X)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក ដោយការចាប់មានការដាក់ចូលវិញ ការចាប់នីមួយៗជាពិសោធន៍ប៊ែរនូយីឯករាជ្យដែលមានអត្រាត្រូវថេរ ៖

\[p = \frac{4}{20} = 0.2 \quad{} , \quad{} q = 0.8 \quad{} , \quad{} n = 3\]
នាំឱ្យ \(X \sim B(3,\, 0.2)\)។ ដូចនេះ ៖

ខ ត្រូវរង្វាន់យ៉ាងតិច \(1\) សន្លឹក ៖

\[P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0.8)^3 = 1 - 0.512 = 0.488\]
ដូចនេះ ៖

គ គណនា \(E(X)\) និង \(V(X)\) ៖

\[E(X) = np = 3 \times 0.2 = 0.6 \text{ សន្លឹក}\]
\[V(X) = npq = 3 \times 0.2 \times 0.8 = 0.48\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ៩

មន្ទីរពេទ្យមួយទទួលព្យាបាលអ្នកជំងឺដោយឱសថថ្មីមួយប្រភេទដែលមានអត្រាជោគជ័យជាសះស្បើយ \(80\%\) (\(p=0.8\))។ អ្នកជំងឺ \(6\) នាក់បានទទួលការព្យាបាលនេះដោយឯករាជ្យពីគ្នា ៖

ក រកប្រូបាបដែលអ្នកជំងឺទាំងអស់ជាសះស្បើយ។ ខ រកប្រូបាបដែលមានអ្នកជំងឺយ៉ាងតិច \(4\) នាក់ជាសះស្បើយ។ គ គណនាចំនួនអ្នកជំងឺជាមធ្យមដែលរំពឹងថានឹងជាសះស្បើយ។

ដំណោះស្រាយ

តាង \(X\) ជាចំនួនអ្នកជំងឺជាសះស្បើយ ៖
\(X \sim B(6,\, 0.8)\) ជាមួយ \(q = 0.2\)។

ក ទាំងអស់ជាសះស្បើយ (\(k=6\)) ៖

\[P(X = 6) = (0.8)^6 \approx 0.2621\]
ដូចនេះ ៖

ខ យ៉ាងតិច \(4\) នាក់ជាសះស្បើយ ៖

\[P(X \ge 4) = P(4) + P(5) + P(6)\]
\[P(4) = C_6^4 (0.8)^4 (0.2)^2 = 15(0.4096)(0.04) = 0.24576\]
\[P(5) = C_6^5 (0.8)^5 (0.2)^1 = 6(0.32768)(0.2) = 0.393216\]
\[P(6) = (0.8)^6 = 0.262144\]
\[\implies P(X \ge 4) = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 \approx 0.9011\]
ដូចនេះ ៖

គ ចំនួនជាមធ្យម ៖

\[E(X) = np = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ នាក់}\]
ដូចនេះ ៖

លំហាត់ទី ១០

គេឱ្យអថេរចៃដន្យ \(X\) មានតារាងបំណែងចែកប្រូបាបដូចខាងក្រោម ៖

\(X\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(P(X = x)\) \(0.2\) \(0.5\) \(0.3\)

គេកំណត់អថេរចៃដន្យថ្មី \(Y = 3X - 2\)។

ក សរសេរតារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(Y\)។ ខ គណនា \(E(X)\) និង \(V(X)\) រួចទាញរក \(E(Y)\) និង \(V(Y)\)។

ដំណោះស្រាយ

ក តារាងបំណែងចែកប្រូបាបនៃ \(Y\) ៖
\(\bullet\) \(x = 1 \implies y = 3(1) - 2 = 1\)
\(\bullet\) \(x = 2 \implies y = 3(2) - 2 = 4\)
\(\bullet\) \(x = 3 \implies y = 3(3) - 2 = 7\)

\(Y\) \(1\) \(4\) \(7\)
\(P(Y = y)\) \(0.2\) \(0.5\) \(0.3\)

ខ គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ៖

\[E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1\]
\[E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9\]
\[V(X) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49\]
តាមលក្ខណៈសង្ឃឹមគណិត និងវ៉ារ្យ៉ង់ ៖
\[E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3(2.1) - 2 = 4.3\]
\[V(Y) = V(3X - 2) = 3^2 V(X) = 9 \times 0.49 = 4.41\]
ដូចនេះ ៖

សំណួរពហុជ្រើសរើស

ជ្រើសរើសចម្លើយត្រឹមត្រូវតែមួយ រួចចុច «ពិនិត្យ»។ ចម្លើយរបស់អ្នកត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងកុំព្យូទ័រនេះ។

✎ សំណួរទី ១–១០

✎ សំណួរទី ១១–២០

✎ សំណួរទី ២១–៣០

✎ សំណួរទី ៣១–៤០

✎ សំណួរទី ៤១–៥០

✎ សំណួរទី ៥១–៦០

✎ សំណួរទី ៦១–៧០

✎ សំណួរទី ៧១–៨០

✎ សំណួរទី ៨១–៩០

✎ សំណួរទី ៩១–១០០

តេស្តសមត្ថភាព ៖ មេរៀនទី ២៥ អថេរចៃដន្យ និងបំណែងចែកប្រូបាប — ៥០ សំណួរ · ៩០ នាទី

ចាប់ផ្ដើមតេស្ត